五方阵的行列式讲解学习
《九章算术》行列式-概述说明以及解释
《九章算术》行列式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述九章算术是中国古代数学经典之一，行列式是九章算术中的重要内容之一。
在数学研究和实际应用中，行列式有着广泛的应用和重要性。
本文旨在介绍九章算术中的行列式，包括其定义和性质，计算方法以及在数学和应用领域中的具体应用。
行列式可以看作是一个方阵所具有的一种性质或特征，它具有许多重要的数学性质。
九章算术中，行列式的定义和性质被详细研究和总结，并被广泛应用于解决各种数学问题。
行列式的计算方法也是九章算术中的重要内容之一，通过一系列的运算和变换，可以得到方阵的行列式值。
行列式作为一种数学工具，不仅在纯数学研究中发挥着重要的作用，同时也有广泛的应用领域。
在线性代数、概率论、统计学等数学领域中，行列式被用于解决线性方程组、计算变量相关性、判断矩阵的可逆性等问题。
此外，在工程、物理、经济学等应用领域中，行列式也被广泛应用于解决实际问题，例如电路分析、力学问题、经济模型等。
本文将从九章算术的角度出发，详细介绍行列式的定义和性质，阐述行列式的计算方法，并举例说明行列式在数学和应用领域中的具体应用。
通过深入理解九章算术中行列式的内容，我们可以更好地应用行列式解决实际问题，并探索行列式在未来的发展和研究方向。
总之，行列式是九章算术中的重要组成部分，具有广泛的应用和重要性。
通过对行列式的研究和应用，我们可以更好地理解和应用九章算术，同时也可以在数学和应用领域中解决实际问题，推动行列式研究的发展。
在接下来的内容中，我们将详细介绍九章算术中行列式的各个方面，以期让读者对行列式有一个全面且深入的了解。
1.2文章结构文章结构部分的内容：文章结构是指文章的整体组织和布局方式，它对于读者来说非常重要，可以为读者提供一个清晰的框架，使他们能够更好地理解和掌握文章的内容。
本文将按照以下结构展开叙述：2.正文：2.1 九章算术简介在本部分中，将对九章算术的起源、发展以及其在数学领域中的地位和作用进行介绍。
矩阵行列式规则_概述说明以及解释
矩阵行列式规则概述说明以及解释1. 引言1.1 概述矩阵行列式是线性代数中的重要概念之一，它在各个方面都有着广泛的应用。
矩阵行列式规则是对于矩阵行列式计算过程中的一些基本操作和规律的总结和概括。
通过研究和了解矩阵行列式规则，我们可以更好地理解矩阵与行列式的关系，推导出更多的定理和性质，并将其应用于实际问题求解、判断矩阵可逆性等领域。
1.2 文章结构本文主要分为五个部分：引言、矩阵与行列式、矩阵行列式规则、解释矩阵行列式规则的意义以及结论。
其中，在引言部分将对整篇文章进行概述；在矩阵与行列式部分，将介绍基本的矩阵与行列式的定义和性质；在矩阵行列式规则部分，将详细讲解常用的几个运算规则；在解释矩阵行列式规则的意义部分，将探讨它们在线性方程组求解、判断矩阵可逆性以及几何变换中的应用；最后，在结论中对矩阵行列式规则及其重要性进行总结，并提出未来的研究方向或应用领域。
1.3 目的本文的目的是对矩阵行列式规则进行概述、说明和解释。
通过本文的阐述，读者将能够了解到什么是矩阵和行列式，以及它们之间的关系；掌握常用的矩阵行列式规则，并了解其运用于线性方程组、矩阵可逆性判断和几何变换等领域；认识到矩阵行列式规则在数学领域中的重要性，以及未来可能深入探索和扩展该领域的方向。
通过本文的学习，读者将能够更加准确地理解和应用矩阵行列式规则，从而提升自己在相关数学问题上的能力。
2. 矩阵与行列式2.1 矩阵概念矩阵是由m行n列的数字排成的矩形阵列，可以用来表示线性方程组、向量空间的线性变换以及图像处理等问题。
一个矩阵可以用大写字母表示，如A，并且可以表示为以下形式：A = [a11, a12, ..., a1n;a21, a22, ..., a2n;...,am1, am2, ..., amn]其中，a_ij代表第i行第j列的元素。
2.2 行列式概念行列式是矩阵中一个非常重要的数值指标。
对于一个n阶矩阵A，它的行列式记作|A|或det(A)，其计算方式为：|A| = a11C11 + a12C12 + ... + a1nC1n= ∑(-1)^(i+j)a_ij*Cij其中，a_ij表示第i行第j列的元素，Cij是代数余子式。
第五专题矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)讲解学习
第五专题矩阵的数值特征(行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数)一、行列式已知A p x q, B q x p,则|l p+AB| = |l q + BA|证明一：参照课本194 页，例4.3.证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质；从而l p+AB ，l q+BA 中不等于1 的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。
行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值(不等于1)的乘积，所以二者相等。
二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。
下面讨论有关迹的一些性质和不等式。
nn定义：tr(A) a ii i ，etrA=exp(trA)i 1 i 1性质：1. tr( A B) tr(A) tr(B) ，线性性质；2. tr(A T ) tr(A) ；3. tr(AB) tr(BA) ；14. tr(P 1AP) tr(A) ；5. tr(x H Ax) tr(Axx H),x 为向量；nn6. tr(A) i ,tr(A k) i k;i 1 i 1从Schur 定理(或Jordan 标准形) 和(4)证明；7. A 0,则tr(A) 0 ,且等号成立的充要条件是A=0；8. A B(即A B 0),则tr(A) tr(B)，且等号成立的充要条件是A=B( A B i(A) i(B) )；9. 对于n阶方阵A，若存在正整数k,使得A k=0, 则tr(A)=0 (从Schur 定理或Jordan 标准形证明)。
若干基本不等式对于两个m x n复矩阵A和B, tr(A H B)是m x n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式2[x,y] w [x,x]. [y,y]得定理：对任意两个m x n 复矩阵A 和B|tr(A H B)|2w tr(冲A) • tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。
高中数学教案认识矩阵的行列式
高中数学教案认识矩阵的行列式高中数学教案：认识矩阵的行列式在高中数学中，矩阵及其行列式是一个重要的概念和工具。
矩阵是由数按照矩形排列而成的一种数学结构，而行列式则是矩阵所具有的一种特殊性质。
了解矩阵的行列式对于深入理解线性代数和高等数学具有重要意义。
本教案将带领学生深入认识矩阵的行列式，通过理论和实践相结合的方式，帮助学生掌握相关的概念和计算方法。
一、矩阵的概念及表示方法1.1 矩阵的定义：矩阵是一个由m行n列数排列成的数表，可以用大写字母表示，例如A。
1.2 矩阵的元素：矩阵中的每个数称为元素，用小写字母加下标表示，例如a_ij表示第i行第j列的元素。
1.3 矩阵的表示方法：可以用方括号或圆括号将矩阵元素括起来，元素之间用逗号或空格隔开。
例如，A=[a_ij]表示一个矩阵A，其中a_ij为矩阵A的元素。
二、行列式的定义及性质2.1 行列式的定义：行列式是一个与方阵相关的数值，它可以从矩阵的元素中按照一定规律计算出来。
一个n阶方阵A的行列式可以用det(A)或|A|表示。
2.2 行列式的计算方法：2.2.1 二阶行列式的计算方法：对于二阶方阵A=[a_ij]，行列式的计算方法为：det(A) = a_11 * a_22 - a_12 * a_212.2.2 三阶及以上行列式的计算方法：对于n阶方阵A=[a_ij]，行列式的计算方法为：det(A) = a_11 * A_11 + a_12 * A_12 + ... + a_1n * A_1n其中A_ij为元素a_ij的代数余子式。
2.3 行列式的性质：2.3.1 行列式与转置：对于任意方阵A，有det(A) = det(A^T)，即行列式与其转置矩阵的行列式相等。
2.3.2 行列式与初等行变换：对于方阵A，若将其某一行（列）与另一行（列）互换位置，行列式的值变号。
2.3.3 行列式的性质：- 若矩阵A的某一行（列）全为0，则det(A) = 0。
方阵的行列式.ppt
10a13 5a23 5a33
6a11 解； 3a21
3a31
2a12 a22 a32
a11
2 (3) 5 a21
a31
10a13
3a11 a12
5a23 2 3a21 a22
5a33
3a31 a32
5a13 5a23 5a33
a12 a13
a22 a23 2 (3) 5 1 30
a a a a x b a b a
11 22
12 21
2
2 11 1 21
当a11a22 a12a21 0时：
b1
x1
b2 a11
a21
a12 a22 a12 a22
a11
x2
a21 a11
a21
b1 b2 a12 a22
设：det A a11 a12 0 a21 a22
det
B1
b1 b2
例：a21 a22 a23 a24 a12 a22 a32 a42
a31 a32 a33 a34
a13 a23 a33 a43
a41 a42 a43 a44
a14 a24 a34 a44
性质2. 交换行列式的某两行列，行列式的值变号。
1 0 1 例. 1 2 0 1,
1 3 2
1 0 1 1 3 2 1. 120
A 记为 ij 。即 Aij (1)i j Mij
a11 a12 a13 a14
a11 a13 a14
例
D a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
A32 (1)32 M32 a21 a23 a24
a41 a42 a43 a44
a41 a43 a44
5阶行列式计算公式
5阶行列式计算公式行列式是线性代数中一个非常重要的概念，它可以用来表示线性方程组的解、计算向量空间的基等。
在行列式的计算中，5阶行列式是一个比较常见的情况，本文将介绍5阶行列式的计算公式及其应用。
一、5阶行列式的定义对于一个5阶方阵A，它的行列式定义为：$$begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}a_{21}&a_ {22}&a_{23}&a_{24}&a_{25}a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}&a_{35}a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}&a_{45}a_{51}&a_{52}&a_{53}&a_{5 4}&a_{55}end{vmatrix}$$其中，$a_{ij}$表示A的第i行第j列的元素。
二、5阶行列式的计算公式为了方便计算5阶行列式，我们可以使用拉普拉斯展开法。
具体来说，我们可以选取A的某一行或某一列，然后对应的元素乘上它们的代数余子式，再按照正负号规则相加即可。
这个方法虽然比较繁琐，但是可以保证计算结果的正确性。
如果我们选取第一行进行展开，那么5阶行列式的计算公式为：$$begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}a_{21}&a_ {22}&a_{23}&a_{24}&a_{25}a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}&a_{35}a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}&a_{45}a_{51}&a_{52}&a_{53}&a_{54}&a_{55}end{vmatrix}=a_{11}begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}&a_{ 24}&a_{25}a_{32}&a_{33}&a_{34}&a_{35}a_{42}&a_{43}&a_{44}&a _{45}a_{52}&a_{53}&a_{54}&a_{55}end{vmatrix}-a_{12}begin{vm atrix}a_{21}&a_{23}&a_{24}&a_{25}a_{31}&a_{33}&a_{34}&a_{35 }a_{41}&a_{43}&a_{44}&a_{45}a_{51}&a_{53}&a_{54}&a_{55}end{ vmatrix}+a_{13}begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}&a_{24}&a_{25}a_{ 31}&a_{32}&a_{34}&a_{35}a_{41}&a_{42}&a_{44}&a_{45}a_{51}&a _{52}&a_{54}&a_{55}end{vmatrix}-a_{14}begin{vmatrix}a_{21}& a_{22}&a_{23}&a_{25}a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{35}a_{41}&a_{42 }&a_{43}&a_{45}a_{51}&a_{52}&a_{53}&a_{55}end{vmatrix}+a_{1 5}begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}a_{31}&a_{32}&a_ {33}&a_{34}a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}a_{51}&a_{52}&a_{53}& a_{54}end{vmatrix}$$三、5阶行列式的应用5阶行列式的计算公式虽然比较繁琐，但是它有着广泛的应用。
《线性代数》课件-第2章方阵的行列式
教学难点：n阶行列式的计算，拉普拉斯定理的应用.
教学时间：6学时.
§1 n 阶行列式的定义
设n阶方阵A=(aij),称
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
为方阵A 的行列式,记为| A |或det A .
1.1 n 阶行列式的引出
于是D中可能不为0的均布项可以记为
a a a b b . 1p1 1p2
mpm 1q1
nqn
这里，pi=ri,qi=rm+i-m,设l为排列p1p2 …pm(m+q1) …(m+qn)的 逆序数。以t，s分别表示排列p1p2 …pm及q1q2 …qn的逆序数，
应有l= t+s，于是
D
(1)l a1p1 a2 p2 a b b mpm 1q1 2q2 bnqn
b2
a2n , j 1, 2, , n.
an1
bn
ann
提出三个问题
（1）D=？（怎么算）？
（2）当D≠0时，方程组是否有唯一解？
（3）若D≠0时，方程组有唯一解，解的形式 是否是
xj
Dj D
,
j 1,2,
, n.
1.2 全排列及其逆序数
1、全排列 用1，2，3三个数字可以排6个不重复三位数即：
第二章 方阵的行列式
行列式是一种常用的数学工具，也是代数学中必不可 少的基本概念，在数学和其他应用科学以及工程技术中有 着广泛的应用。本章主要介绍行列式的概念、性质和计 算方法。
教学目的：通过本章的教学使学生了解行列式的概念， 掌握行列式的性质，会计算各种类型的行列式.
方阵的逆矩阵和行列式
第一章 矩阵
§1.6 方阵的行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a22 a23 a11的余子式: M11 = a a 32 33 代数余子式: A11 = (1)1+1M11
a21 a23 a12的余子式: M12 = a a 31 33 代数余子式: A12 = (1)1+2M12
a21 a22 a13的余子式: M13 = a31 a32
代数余子式: A13 = (1)1+3M13
第一章 矩阵
§1.6 方阵的行列式
a11 a12 a13 3阶方阵A = a21 a22 a23 的行列式|A|定义为 a31 a32 a33 a11 a12 a13 |A| = a21 a22 a23 = a11A11 + a12A12 + a13A13 a31 a32 a33
§1.6 方阵的行列式
假设n1阶行列式已经定义, 则定义n阶行列式 a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann
P.-S. Laplace[法]
(1749.3.23~1827.3.5)
= a11A11+a12A12+…+a1nA1n
= a11(1)1+1M11 + a12(1)1+2M12 + … + a1n (1)1+nM1n
a11 a21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a11 a13 a14 a24 中a32的余子式为 M32= a21 a23 a24 , a34 a41 a43 a44 a44
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例8 设
1
1
2
,
1 2
3
1 3
令 A = αβT, 求 An 及| An|。
解
1
231,
1, 2
1 1323
1 2
1
3 2
1 3
2
3
1
2020/6/5
An = ( αβT )n = αβTαβTαβT … αβT = 3n-1A
| An | = | 3n-1A | = (3n-1)n| A |
即 a a 6 3
b4 ab b2 5
2ab
4
a 6
亦即ba
4 3
b 2
故 a = 2020/6/5 8 , b = 6 。
ab 2a b
5 4
例10 设
1 0 0
A
0
2
0
0 0 3
求与 A 可交换的所有矩阵。
解设
x1 x2 x3
X
y1
y2
y
3
z1 z 2 z3
2.
设 P 1 A P ,其 中 P 1 1 1 4 ,
10 02 ,
求A.
2020/6/5
A(AB)T B B2 AB
A B
故AB0. 2020/6/5
例7 设 A 是 n 阶反对称矩阵，
B 是 n 阶对称矩阵，则 AB + BA 是
n 阶反对称矩阵。 证 ( AB + BA )T = (AB)T + (BA)T
= BTAT + ATBT = －BA－AB = －（ AB + BA ） 所以， AB + BA 为 n 阶反对称矩阵。
3 2 5 3 3 6 2 0 0
21
1 3
1203
3 6
3300
2 0
02
2 5 1
1
2
1
.
2020/6/5
1 3 0
练习：
1.计算下列矩阵的乘积.
(1) 1 2 323;(2) 121 2; (3) x1
x2
a11 a12 a13x1
x3 a21 a22 a23x2.
1 3
a31 a32 a33x3
111 23
(3n1)n 2
1
2 3
3
3 2
1
=0
2020/6/5
六、共轭矩阵
1、定义
定义7 设A= ( a ij )为复矩阵，a ij
表示a ij 的共轭复数，记
A (aij ).
则 A 称为A的共轭矩阵。
2020/6/5
2.运算律
设 A 、B 为复矩阵，λ 为复数.
1ห้องสมุดไป่ตู้ ABAB;
2) A A
3) ABAB.
2020/6/5
七、 可换矩阵及方阵多项式 1、可换矩阵 设 A、B 均为n阶方阵，若 AB = BA ，则称是可换的。 例9 设
A11 21,Ba3 b2.
若矩阵 A与 B 可交换，求 a ,b 的值 。 解 由于 AB = BA ，即
2020/6/5
1 2a b a b1 2 1 13 23 21 1
a11 L M
D = an1 L 1
O
a1n
M
0
a nn
b11 L b1n
M
M
1 bn1 L bnn
AO
E B
2020/6/5
显然，D = |A||B| ,而在 D 中以 b1j 乘第 1 列，b2j 乘第 2 列 ，… ， bnj 乘第 n 列 , 都加到第 n + j 列上 （j=1,2,…,n) , 有
a11 a12 L a1n a11b11a12b21L a1nbn1 L a21 a22 L a2n a21b11a22b21L a2nbn1 L L L L L LLLLLLLLLL L
D=
an1 1
an2 0
L L
ann 0
an1b11an2b21L annbn1 L
0 1 L 0 0
LLLL
0 0 L 1
1 1 2
A
0
1
1
1 2 1
求矩阵多项式 f (A) 。
2020/6/5
解 因为
1 1 2 1 1 2 A2 0 1 10 1 1
1 2 1 1 2 1
3 2 5
1 2
1 3
2 1
3 3 6
3
A
0
3
3
2020/6/5
3 6 3
则 f (A) = A2－ 3A + 2E
2020/6/5
2、方阵多项式
设有 n 阶矩阵 A 和多项式 f ( λ ) = amλm + am-1λm-1 + … + a1λ + a0
规定 f ( A ) = am Am + am-1 Am-1 + … + a1A + a0
称 f ( A ) 为方阵 A 的矩阵多项式。
例11 设有多项式 f (λ) = λ2－ 3λ + 2和矩阵
五、方阵的 行列式 1、定义 定义6 由n阶方阵A的元素所构成的行列式 （各元素的位置不变），称为方阵A的行列式， 记作 |A| 或 detA 。
2020/6/5
2、运算律
1).AT A;
2).An A;
3).AB AB
2020/6/5
我们仅证明3），设A = (aij), B = (bij)。 记 2n 阶行列式
2020/6/5
a11b1n a12b2n L a1nbnn a21b1n a22b2n L a2nbnn LLLLLLLLLL an1b1n an2b2n L annbnn
例6：设A , B 均为 n 阶方阵
且
A
A TE,BTBE,
A 1,
B
则AB0.
证 AB＝ AT B BAT A B
A(BTAT)B
与 A 可 交 换 ， 即 有 2020/6/5
1 0 0x1 x2 x3 x1 x2 x31 0 0 0 2 0y1 y2 y3y1 y2 y30 2 0 0 0 3z1 z2 z3 z1 z2 z30 0 3
于是 x1 x2 x3 x1 2x2 3x3 2y1 2y2 2y3y1 2y2 3y3 3z1 3z2 3z3 z1 2z2 3z3
从而 x2 = 2x2 , x3 = 3x3 ,
2y1 = y1 , 2y3 = 3y3 ,
3z = z , 2020/6/5 1
1
3z2 = 2z2 ,
即 x2 = x3 = y1 = y3 = z1 = z2= 0 , 所以，与可交换的任一矩阵是
a 0 0
0
b
0
0 0 c
其中 a ，b，c 为任意实数。