线性代数16方阵的行列式
称列）的数表
a11a12
a21a22
(*)
表 达 式 a11a22a12a21称 为 数 表 （ *） 所 确 定 的 二 阶
行 列 式 ， 并 记 作a11 a12 a21 a22
(**)
即
Da11 a21
a a1 22 2a1a 122 a1a 22.1
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11 副对角线 a12
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标
a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算
a11 a12 a13 a 11 a 12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a 21 a 22
a31 a32 a33 a 31 a 32 D a 1 a 2 1 a 3 2 3 a 1 a 2 2 a 3 3 a 1 1 a 2 3 a 3 12 a 1 a 2 a 1 3 3 a 2 1 a 2 a 2 3 1 a 3 1 a 2 a 3 3 2 .1
第一章 矩阵
1 2 4
例2. 2 2 1
3 4 2
= 14.
§1.6 方阵的行列式
第一章 矩阵
§1.6 方阵的行列式
一般地, 在n阶行列式中, 把元素aij所在的第i行 和第j列划去, 留下来的n1阶行列式叫做元素
aij的余子式(minor), 记作Mij, 令Aij = (1)i+jMij, 并称之为aij的代数余子式(cofactor). 例如, 四阶阶行列式
a31 a32 a33
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31 .
第一章 矩阵
§1.6 方阵的行列式
例1 求解二元线性方程组
32x1x12
x2 x2
12, 1.
解
3 2
D
3(4)70,
21
12 D1 1
2
3
1 14, D2 2
12 1
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
二、三阶行列式
定义 设有 9个数排3行 成3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
= =
b1a22a12b2 a11b2b1a21
当a11a22a12a21 0时,
x1=
b1a22a12b2 a11a22a12a21
,
x2=
a11b2b1a21 a11a22a12a21
.
由方程组的四个系数确定.
一. 行列式(determinant)的定义
定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
a11 a12 a21 a22 a31 a32 a41 a42
a13 a14 a23 a24 a33 a34 a43 a44
a11 a13 a14
中a32的余子式为 M32=
a21 a41
a23 a43
a24 a44
,
代数余子式A32 = (1)3+2M32 = M32.
第一章 矩阵
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
(2)对角线法则 a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
a1a 122 a33a12 a23 a31a13 a2a 132 a13a22a31a12a2a133a1a 12a 33.2
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
G. W. Leibniz[德]
(1646.7.1~1716.11.14)
S. Takakazu[日]
(1642?~1708.10.24)
第一章 矩阵
a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2
§1.6 方阵的行列式
消元法
(a11a22a12a21)x1 (a11a22a12a21)x2
a12 a11a22a12a21.
a 22
对于二元线性方程组 a a1 2x x 1 11 1 a a1 2x 2 x 22 2 b b1 2,.
若记
Da11 a12,
系数行列式
a21 a22
第一章 矩阵
§1.6 方阵的行列式
记D =
a11 a21
a12 a22
,
D1 =
b1 b2
a12 a22
a13的余子式:
M13 =
a21 a31
a22 a32
代数余子式: A13 = (1)1+3M13
第一章 矩阵
§1.6 方阵的行列式
a11 a12 a13 3阶方阵A = a21 a22 a23 的行列式|A|定义为
a31 a32 a33
a11 a12 a13 |A| = a21 a22 a23 = a11A11 + a12A12 + a13A13
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
§1.6 方阵的行列式
a11的余子式:
M11 =
a22 a32
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a23 a33
代数余子式: A11 = (1)1+1M11
a12的余子式:
M12 =
a21 a31
a23 a33
代数余子式: A12 = (1)1+2M12
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
记
a31 a32 a33
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23 a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32(6)
a 31 a 32 a 33
a 1a 1 2a 3 3 2a 1a 2 2a 1 3 3a 1a 3 2a 2 3,1
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
,
D2 =
a11 a21
b1 b2
,
则当D = a11a22a12a21 0时,
a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2
有唯一确定的解
x1=
b1a22a12b2 a11a22a12a21
=
D1 , D
x2=
a11b2b1a21 a11a22a12a21
=
D2 . D
第一章 矩阵
回忆: ①§1.5一开始提出的问题.
② 一阶方阵a可逆 a 0.
③ 习题1(B)第17题:
A=
a11 a21
a12 a22
可逆
a11a22 a12a21 0
D=
a11 a21
a12 a22
0.
§1.6 方阵的行列式
第一章 矩阵
§1.6 方阵的行列式
§1.6 方阵的行列式
历史上, 行列式因线性方程组的求解而被发明
线性代数Ⅰ—行列式
例:
a b 0 0 d a d e b e c 0 =? f c f
1 1 1 2 1 1 2 1 0 3 2 2 1 1 1 0
1 2 3 2 3 4 =? 4 6 8
2 1
3 2
4 3
ka kb kc = ?
a1 + 2 a2 + 3 a3 + 4 = ?
例:计算
10
几个特别的行列式
(1)
22
(五) (B) 第一行公因数 2
1 2 D=2 3 4 1 x 3 4 1 3 x 4 1 r2 2r1 3 r3 3r1 2 4 r4 4r1 x 1 1 1 1 0 x2 1 1 =0 0 0 x3 1 0 0 0 x4
得 2( x 2)( x 3)( x 4) = 0 x1 = 2, x2 = 3, x3 = 4
1 5
16 9 49 25 64 27 343 125
15
例题和习题
0 0 0 λ1 (一) 行列式 0 0 λ2 0 的值为[ λn 0 0 0
]
n ( n 1) 2
(A) 0
1 4 (二) 设 A = 2 5
(B) λ1λ2 λn (C) (1)
2 3 0 1 3 2 1 1
λ1λ2 λn (D) λ1λ2 λn
]条,则 Dn = 0
(A) Dn 中0元素个数多于 n 个 (C) D中有一列元素是另外二列之和 (D) D中每个元素均为两数之和
a2 b2 (十五) D = 2 c d2 (a + 1) 2 (b + 1) 2 (c + 1) 2 (d + 1) 2 (a + 2) 2 (b + 2) 2 (c + 2) 2 (d + 2) 2 (a + 3) 2 (b + 3) 2 =[ 2 (c + 3) (d + 3) 2
线性代数方阵的行列式
a21 b2 j a2n a21 c2 j a2n
an1 bnj ann an1 cnj ann
§2 n阶行列式的性质
➢例
1025 1025 1025
2 D
1
0 0
1 3
0 2 41
0 0
1 3
02
41
0 0
1 3
0 2D
4
2042 2042 2042
D 0.
➢ 推论 行列式的某一行(列)的元素全为零，则行列 式的值为零. ➢ 证 设行列式的第i行(列)的元素全为零，因行列 式的均布项都含第i行(列)的元素，故其值为零.
1201
120 1
r1 r2
1 3 5 0 0 r1 r4 1 5 1
D
0156
015 6
1234
003 3
120 1
120 1
0 r2 r3 1 5 1 r3 r4 0 1 5 1
000 7
003 3
003 3
000 7
11 3 7 21
§2 n阶行列式的性质
➢ 例2
3 1 1 1 6 r2 r1 6 6 6
a11 a12
即
ai1
ai 2
aj1 aj2
an1 an2
a1n
a11
ain kri rj
ai1
aj2
a j1 kai1
ann
an1
a12
ai 2
a j2 kai2
an2
a1n ain a jn kain ann
§2 n阶行列式的性质
➢或
a11 a1i a1 j a1n
a11 a12
即 ai1 ai2
线性代数讲解习题课
place定理 place定理 是一个n阶行列式 中取某K行 或列 或列), 是一个 阶行列式， 中取某 定义 设D是一个 阶行列式，在D中取某 行(或列 则含于此k阶行 或列)中的所以 阶行(或列 中的所以k阶子式与其代数余子 则含于此 阶行 或列 中的所以 阶子式与其代数余子 式的乘积之和恰好等于D.即 式的乘积之和恰好等于 即
设排列 该排列中在 ai右边比 (i=1,2,---,n). 于是
ai小的数有 ai −1− ki个
τ (anan−1 ⋯a2a1 ) = (a1 −1− k1 ) + (a2 −1− k2 ) +⋯+ (an −1− kn )
= (a1 + a2 +⋯+ an ) − n − (k1 + k2 +⋯+ kn )
1 对 、 角行 式 列 λ1 D= λ2 ⋱ λn
λ1 D= λn λ2 ⋰ = (−1)
n(n−1) 2
= λ1λ2 ⋯λn ;
λ1λ2 ⋯λn.
2、上、下 三角行列 式。 a11 a12 ⋯ a1n 0 a22 ⋯ a2n ⋮ 0 ⋮ 0 ⋱ ⋮ ⋯ ann a11 0 ⋯ a21 a22 ⋯ 0 0
D = N 1 A1 + N 2 A2 + ⋯ + N t At
其中 N1 , N 2 ,⋯ N t是D的被选定的k行(或列)所含的K阶 的被选定的k 或列)所含的K 子式, 子式, A1 , A2 ,⋯ At 分别是它们的代数余子式. t = C k 分别是它们的代数余子式.
n
二.几个重要的公式
3.设 3.设A是m阶方阵，B是n阶方阵，则 阶方阵， 阶方阵，
a11 ⋯ a1m ⋮ ⋮ am1 ⋯ amm D= c11 ⋯ c1m ⋮ ⋮ cn1 ⋯ cnm 0 ⋮ ⋯ 0 ⋮
线性代数课件1-5~1-6行列式的性质与计算
a11 a1i a1 j a1n a21 a2 i a2 j a2 j an1 ani anj anj
a11 ka1 j a1 j a1n a21 ka2 j a2 j a2 j an1 kanj anj anj
推论 如果行列式有两行（列）完全相同， a11 a12 a1n 则此行列式为零. 证明 设行列式为 D 互换相同的两行，有
D D
D0
1 7 5 6 6 2 0
6 6 2
a21 a22 b1 b1 b2 b2 a n1 a n 2 ann bn bn a2 n
4 0 0
r4 2 r5
3 0 0 0
5
0 0 0 1 4 0 0 0
0 0 2 0 3 0 5 0 0
0 r 3r 0 0 2 5 1 0 0 3 0 1 2 5 0 0
r2 r1
0 16 2 7
0 16 2 7
r3 4r2 0 2 1 1 D 0 8 4 6 r4 8r2 0 0 8 10 0 16 2 7 0 0 10 15
0 2 1 1
1
3
1
2
1 3 1
2
1 3 1 2 5 r4 r3 0 2 1 1 2 8 5 40. 4 2 0 0 8 10 5 0 0 0 2
a11 ai1 a12 a1n a i 2 a in a11 ai1 a12 a1n a i 2 a in
k 0. ka i 1 ka i 2 ka in a i 1 a i 2 a in a n1 a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn
同济大学线性代数教案第二章方阵的行列式教学文稿
同济大学线性代数教案第二章方阵的行列式线性代数教学教案第二章方阵的行列式授课序号01121212()12(1)n n np p p p p np p p p a a a τ-∑L L L称为由2n 个元素(,1,2,,)ij a i j n =L 构成的n 阶行列式，记为111212122212n n n n n nna a a a a a D a a a =L LM M O M L，即：1212121112121222()1212(1)n n nn n p p p n p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑L L L LL M M O M L.其中12np p p ∑L 表示对所有的n 阶全排列12n p p p L 求和,数(),1,2,,ij a i j n =L 称为行列式的(),i j 元素，其中第一个下标i 称为元素ij a 的行标，第二个下标j 称为元素ij a 的列标. 方阵A 的行列式: 记矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭L LM M O M L A ，则行列式通常也称为方阵A 的行列式，记为A . 有时为了表明行列式是由元素ij a 构成的，也简记为det()ij a =A 、ij n na ⨯或ij na .二阶行列式:1212121112()12112212212122(1)p p p p p p a a a a a a a a a a τ=-=-∑.三阶行列式: 123123123111213()212223123313233(1)p p p p p p p p p a a a A a a a a a a a a a τ==-∑112233132132122331132231122133112332=++---a a a a a a a a a a a a a a a a a a .二、三阶行列式也可借助于对角线法则来记忆：11122122a a a a授课序号02授课序号03授课序号04精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除。
行列式的性质及求解方法
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
线性代数课件第三节 行列式
0 0 1 0
3 0 0 1 0 0 1 2
1 (1)11 1
11
0 0 1 0 0 1
2 0 1 0 2
0 3 (1)13 3 1 0 0 2
当然，按照第二列展开是最简单的计算方法！
用首行展开法Байду номын сангаас以证明
a11 a21 M an1 0 L 0 0 M ann a22 L M O an 2 L
性质1.10 如果行列式的某一行（列）的元素都是两项 的和，则可以把该行列式拆成相应的两个行列 式之和。 a a L a
11 12 1n
a21 M bi1 ci1 M
a22 M bi 2 ci 2 M an 2 a11
L M
a2 n M
L bin cin M M L
a11 a21 M bi1 M an1
下三角形 行列式
a11a22 L
下三角 形行列式 之值等于 ann 主对角线 元素之积
后面还可以证明
a11 a12 0 a22 M M 0 0 L L O L a1n a2 n M ann
上三角形 行列式
a11a22 L
上三角 形行列式 之值等于 ann 主对角线 元素之积
计算
观察哪一行或 列的零最多
即：主对角线元素之积减去副对角线元素之积。
a11 a12 a13 对于3阶方阵 A a21 a22 a23 , 定义其行列式|A|为 a a32 a33 31 a11 a12 a13 a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 A a21 a22 a23 a13a22 a31 a12 a21a33 a11a23a32 a31 a32 a33
线性代数-行列式(完整版)
01
对于二元一次方程组，可以直接应用克拉默法则求解
未知数。
02
对于三元一次方程组，需要先判断系数矩阵的行列式
是否为零，若不为零，则可以使用克拉默法则求解。
03
对于更高元次的线性方程组，克拉默法则同样适用，
但计算量会随着元次的增加而急剧增大。
矩阵可逆性判别方法
01
一个方阵可逆的充分必要条件是其行列式不等于零。
行列式基本性质
行列式中如果有两行（或两列）元素成比例，则此行列式等于零。
若行列式的某一行（或某一列）的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之 和：$a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$，则此行列式等于两个行列式之和，这两个行列式的第i行 分别为$b_{ij}$和$c_{ij}$，其余各行与原行列式的相应的行相同。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|或det(A)， 是一个数值。
行列式的值可以通过对矩阵元素进行特定的运算 得到，该运算满足一定的性质。
行列式基本性质
行列式与它的转置行列式相等。
交换行列式的两行（或两列），行列式变号。 行列式的某一行（或某一列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘 此行列式。
克拉默法则介绍
克拉默法则（Cramer's Rule）是线性 代数中一个关于求解线性方程组的定理。
该法则适用于具有相同数量方程的方程组， 且系数矩阵的行列式不为零的情况。
克拉默法则通过计算系数矩阵的行 列式以及将系数矩阵的某一列替换 为常数项列后得到的新矩阵的行列 式，来求解方程组的解。
克拉默法则在方程组求解中应用
应用领域
范德蒙德行列式在多项式插值、数值分析等领域有广 泛应用。
范德蒙德行列式在多项式拟合中应用
线性代数第2讲 方阵的行列式
□
性质 7
□
性质 7′ | c1 , , c j , , ci , , cn | | c1 , , ci , , c j , , cn | . 注 6′统称为行列式的初等列变换性质. 命题 1 设 A [ aij ] 为 n 阶方阵，则
- 10 -
□
性质 7、3( k 0 )、6 统称为行列式的初等行变换性质；性质 7′、3′( k 0 )、
□
3、按一行(列)展开公式 设 A [ aij ] 为 n 阶方阵 ( n 2) ，则
| A | ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain , i 1, 2, , n .
上式称为行列式的 Laplace 按一行展开公式. 定理 2′设 A [ aij ] 为 n 阶方阵 (n 2) ，则 □
i j
的 (i, j ) 元素 aij [或 (i, j ) 位置]的余子式 M ij 、代数余子式 Aij (1) 阵. k 阶子方阵的行列式即为 k 阶子式. 定理 1
M ij .
在 m n 矩阵中，k l 子矩阵的余子阵为 ( m k ) ( n l ) 子矩阵，二者互为余子 在 n 阶方阵 A [ aij ] 中选定第 i1 i2 ik 行( 1 k n 1 )，则
-9-
性质 2
r1 r1 r1 ri ri ri ri . rn rn rn
□
性质 2′ | c1 , , c j cj , , cn | | c1 , , c j , , cn | | c1 , , cj , , cn | .
注 2(三角行列式)
a12 a22 a32
线性代数1.6行列式按行(列)展开
感谢您的观看
THANKS
某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即
$D = a_{i1}A_{ j1} + a_{i2}A_{ j2} + ldots + a_{in}A_{ jn} = 0$，其中 $i neq j$。
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即
$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ldots + a_{in}A_{in}$ 或 $D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + ldots + a_{nj}A_{nj}$。
行列式按行(列)展开的性质二
行列式中某一行（列）的所有元素都 乘以同一数 $k$，等于用数 $k$ 乘此 行列式。即：$D_1 = kD$。
行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式等于零。
行列式按行(列)展开的性质三
若行列式中某一行（列）的所有元素 都是两数之和，则这个行列式可以拆 分为两个行列式的和，这两个行列式 分别由这两组数构成。
01
02
行列式是一个数值，由方阵中所 有元素的代数和计算得出。
03
行列式具有交换性质，即交换行 列式中两行（列）的位置，行列 式的值变号。
04
行列式按行(列)展开的意义
行列式按行（列）展开是计算行列式的 一种重要方法，特别是当行列式的阶数 较高时，直接计算往往比较困难，而按 行（列）展开可以简化计算过程。
行列式按行展开的步骤
01
1. 选择要展开的行（或列）。
02 2. 划去该元素所在的行和列，得到余子式。
03