五方阵的行列式
矩阵的行列式定义
矩阵的行列式定义矩阵是线性代数中的一个重要概念，与之紧密相关的是矩阵的行列式。
行列式是一个数学工具，用于描述矩阵的性质和特征。
在本文中，我们将探讨矩阵的行列式定义及其相关概念。
一、矩阵的概念矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，由m行和n列组成，通常记作A=[a_{ij}]，其中i表示行数，j表示列数。
每个元素a_{ij}都是一个实数或复数。
矩阵的大小由行数和列数决定，常用的矩阵有方阵、行向量和列向量。
二、行列式的定义行列式是一个与方阵相关的数值。
对于一个n阶方阵A=[a_{ij}]，其行列式记作det(A)，其中n表示方阵的阶数。
行列式的计算方法是通过对矩阵元素进行特定运算得到的。
三、行列式的计算方法1. 二阶行列式的计算方法对于一个2阶方阵A=[a_{ij}]，其行列式的计算方法为：det(A) = a_{11} * a_{22} - a_{12} * a_{21}。
2. 三阶行列式的计算方法对于一个3阶方阵A=[a_{ij}]，其行列式的计算方法为：det(A) = a_{11} * a_{22} * a_{33} + a_{12} * a_{23} * a_{31} + a_{13} * a_{21} * a_{32} - a_{13} * a_{22} * a_{31} - a_{12} * a_{21} * a_{33} - a_{11} * a_{23} * a_{32}。
对于更高阶的行列式，其计算方法可以通过递推的方式得到。
行列式的计算方法较为繁琐，但是对于线性代数的研究和应用起着重要的作用。
四、行列式的性质1. 行列式的值与矩阵的行列有关，与矩阵的元素排列顺序有关。
行列式的值随着矩阵元素的变化而变化。
2. 行列式的值可以为0，也可以为正数或负数。
当行列式的值为0时，表示矩阵的行或列之间存在一定的相关性，线性无关性受到限制。
3. 行列式的值可以用于判断矩阵的可逆性。
当行列式的值不为0时，矩阵是可逆的；当行列式的值为0时，矩阵是不可逆的。
方阵行列式证明
方阵行列式证明方阵的行列式是一个数学概念，它在线性代数中具有重要的作用。
在这篇文章中，我们将探讨方阵行列式的定义、性质以及如何证明行列式的一些重要特性。
让我们来定义什么是一个方阵。
方阵是一个二维矩阵，其行数和列数相等，即n×n的矩阵。
方阵可以用来表示一些具有特殊性质的线性方程组或者线性变换。
行列式是一个与方阵相关的数值，它可以通过方阵的元素计算得出。
方阵的行列式通常用一个竖线包围，并在竖线下方写上方阵的元素。
例如，对于一个2×2的方阵A，其行列式可以表示为|A| = a*d - b*c，其中a、b、c、d是方阵A的元素。
行列式具有一些重要的性质。
首先，行列式的值可以为正、负或零，这取决于方阵的元素。
其次，行列式的值与方阵的转置矩阵的行列式相等，即|A| = |A^T|。
此外，如果方阵A的某一行或某一列的元素都是零，那么行列式的值为零。
最后，如果方阵A的某两行或某两列完全相同，那么行列式的值为零。
证明行列式的性质可以通过一些基本的运算法则和性质来完成。
例如，要证明行列式的转置与原行列式的值相等，我们可以使用转置矩阵的定义和行列式的定义进行推导。
另外，要证明行列式的某一行或某一列全为零时，行列式的值为零，我们可以利用行列式的定义和矩阵运算的性质进行推导。
除了这些基本的性质外，行列式还有一些其他的重要特性。
例如，方阵A的行列式的值等于其特征值的乘积，即|A| = λ1 * λ2 * ... * λn，其中λ1、λ2、...、λn是方阵A的特征值。
此外，如果方阵A可逆，即存在一个方阵B使得A * B = B * A = I，其中I是单位矩阵，那么方阵A的行列式不为零。
通过这些性质和特性，我们可以对方阵行列式进行证明。
例如，我们可以证明方阵的行列式的值与其特征值的乘积一致。
我们可以通过求解特征值和对应的特征向量，然后将特征值带入行列式的定义中进行计算，最后验证它们的一致性。
另一个例子是证明行列式的可逆性与其值不为零之间的关系。
行列式及其计算
= ( A − E )2 = ( A − E )( A − E ) = 1 (3E − A)
2
2
2
4
4、解矩阵方程
1）
⎜⎝⎛
2 1
54⎟⎠⎞ X
=
⎜⎝⎛
3 0
−15⎟⎠⎞
解：
X
=
⎜⎝⎛
2 1
5 4
⎟⎠⎞
−1
⎜⎝⎛
3 0
−15⎟⎠⎞
=
1 3
⎜⎝⎛
4 −1
−25⎟⎠⎞⎜⎝⎛
3 0
−5 1
⎟⎠⎞
=
⎜⎛ ⎜ ⎜⎜⎝
0 a L0 0 0 O0
0
a
n−1
LLL L a
1 0 0 L 0 n−1
a
0
= a n + (−1)1+n ×1× (−1)n−1+1 O
a n − a n−2 = a n−2 (a 2 − 1)
0
a
n−2
a
1
a
1
解四：
Dn
按第二 行展开
a(−1)
2+
2
O
按第二 行展开
a
⋅
a(−1)
2+
2
O
1
a
= a11x12 + a12 x1x2 + a13 x1x3 + a21x2 x1 + a22 x22 + a2 x2 x3 + a31x3 x1 + a32 x3 x2 + a33 x32
3、设方阵 A 满足 A2 − A − 2E = 0 ，证明 A 圾 A+2E 都可逆，并求 A−1 及 ( A + 2E)−1
八大类型行列式及其解法
八大类型行列式及其解法一、行列式的定义行列式是一个重要的线性代数概念，用于刻画矩阵的性质和求解线性方程组。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)或|A|。
行列式的定义如下：对于2阶方阵A = [a11 a12] ，其行列式定义为det(A) = a11 * a22 - a12 * a21。
对于3阶及以上的方阵，行列式的定义并不直观，可以通过划线法、拉普拉斯展开等方法进行计算。
接下来，我们将介绍八大类型的行列式及其解法。
二、二阶行列式二阶行列式的计算非常简单，直接应用行列式的定义即可。
对于2阶方阵A =[a11 a12；a21 a22] ，其行列式计算公式为：det(A) = a11 * a22 - a12 * a21。
三、对角行列式对角行列式是指所有非对角元素都为0的行列式。
对于n阶对角行列式A =diag(a1, a2, …, an)，其行列式计算公式为：det(A) = a1 * a2 * … * an。
四、三角行列式三角行列式是指所有主对角线以下元素为0的行列式。
对于n阶上三角行列式A，其行列式计算公式为：de t(A) = a11 * a22 * … * ann。
五、上三角行列式上三角行列式是指所有主对角线及以上元素为0的行列式。
对于n阶上三角行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = a11 * a22 * … * ann。
六、下三角行列式下三角行列式是指所有主对角线及以下元素为0的行列式。
对于n阶下三角行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = a11 * a22 * … * ann。
七、轮换行列式轮换行列式的计算是一种常用的方法，可以通过对行列式中元素的位置进行变换，从而简化计算过程。
对于n阶轮换行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = a1 * a2 * … * an。
八、范德蒙行列式范德蒙行列式是一类特殊的行列式，可以应用于插值、多项式拟合等问题中。
对于n阶范德蒙行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = Π i<j (xi - xj)。
矩阵的运算及其运算规则（1）
矩阵的运算及其运算规则（1）矩阵的运算及其运算规则⼀、矩阵的加法与减法1、运算规则设矩阵，，则简⾔之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！注意：只有对于两个⾏数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可⾏的．2、运算性质（假设运算都是可⾏的）满⾜交换律和结合律交换律；结合律．⼆、矩阵与数的乘法1、运算规则数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每⼀个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵．2、运算性质满⾜结合律和分配律结合律：(λµ)A=λ(µA)；(λ+µ)A =λA+µA．分配律：λ(A+B)=λA+λB．典型例题例6.5.1已知两个矩阵满⾜矩阵⽅程，求未知矩阵．解由已知条件知三、矩阵与矩阵的乘法1、运算规则设，，则A与B的乘积是这样⼀个矩阵：(1) ⾏数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即．(2) C的第⾏第列的元素由A的第⾏元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．典型例题例6.5.2设矩阵计算解是的矩阵．设它为想⼀想：设列矩阵，⾏矩阵，和的⾏数和列数分别是多少呢是3×3的矩阵，是1×1的矩阵，即只有⼀个元素．课堂练习1、设，，求．2、在第1道练习题中，两个矩阵相乘的顺序是A在左边，B在右边，称为A左乘B或B右乘A．如果交换顺序，让B在左边，A在右边，即A右乘B，运算还能进⾏吗？请算算试试看．并由此思考：两个矩阵应当满⾜什么条件，才能够做乘法运算．3、设列矩阵，⾏矩阵，求和，⽐较两个计算结果，能得出什么结论吗？4、设三阶⽅阵，三阶单位阵为，试求和，并将计算结果与A⽐较，看有什么样的结论．解：第1题第2题对于，．求是有意义的，⽽是⽆意义的．结论1只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可⾏的：左矩阵的列数＝右矩阵的⾏数．第3题是矩阵，是的矩阵．．结论2在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成⽴．可见矩阵乘法不满⾜交换律．第4题计算得：．结论3⽅阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．单位阵在矩阵乘法中的作⽤相当于数1在我们普通乘法中的作⽤．典型例题例6.5.3设，试计算和．解．结论4两个⾮零矩阵的乘积可以是零矩阵．由此若，不能得出或的结论．例6.5.4利⽤矩阵的乘法，三元线性⽅程组可以写成矩阵的形式若记系数、未知量和常数项构成的三个矩阵分别为，，，则线性⽅程组⼜可以简写为矩阵⽅程的形式：．2、运算性质（假设运算都是可⾏的）(1) 结合律．(2) 分配律（左分配律）；（右分配律）．(3) ．3、⽅阵的幂定义：设A是⽅阵，是⼀个正整数，规定，显然，记号表⽰个A的连乘积．四、矩阵的转置1、定义定义：将矩阵A的⾏换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作或．例如，矩阵的转置矩阵为．2、运算性质（假设运算都是可⾏的）(1)(2)(3)(4) ，是常数．典型例题例6.5.5利⽤矩阵验证运算性质：解；⽽所以．定义：如果⽅阵满⾜，即，则称A 为对称矩阵．对称矩阵的特点是：它的元素以主对⾓线为对称轴对应相等．五、⽅阵的⾏列式1、定义定义：由⽅阵A 的元素所构成的⾏列式（各元素的位置不变），称为⽅阵A 的⾏列式，记作或．2 、运算性质(1) （⾏列式的性质）(2) ，特别地：(3) （是常数，A的阶数为n）思考：设A为阶⽅阵，那么的⾏列式与A的⾏列式之间的关系为什么不是，⽽是？不妨⾃⾏设计⼀个⼆阶⽅阵，计算⼀下和．例如，则．于是，⽽．思考：设，有⼏种⽅法可以求？解⽅法⼀：先求矩阵乘法，得到⼀个⼆阶⽅阵，再求其⾏列式．⽅法⼆：先分别求⾏列式，再取它们的乘积．。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要概念，是一种用于描述矩阵特征的数学工具。
在数学和工程领域中，行列式的计算是非常重要的，它与矩阵的性质及相关运算具有密切的关系。
本文将介绍关于行列式的几种计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和应用行列式。
一、行列式的定义在了解行列式的计算方法之前，我们首先来了解行列式的定义。
行列式是一个用方括号表示的数学量，它是一个矩阵所代表的线性变换对“面积”或“体积”的伸缩因子。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)，其中n表示方阵的阶数。
行列式的计算方法有很多种，下面我们将介绍其中的几种常见方法。
二、拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种常见的行列式计算方法。
在使用拉普拉斯展开法计算行列式时，首先需要选择一个行或列，然后将行列式展开成以该行或列元素为首元素的一系列代数余子式的和。
具体步骤如下：1. 选择一个行或列，我们以第一行为例；2. 对第一行的每个元素，计算它的代数余子式，代数余子式的计算方法是去掉对应行和列的元素后计算得到的行列式；3. 计算每个元素的代数余子式，然后与对应元素相乘再相加，得到最终的行列式值。
对于一个3阶矩阵A```a b cd e fg h i```使用拉普拉斯展开法，选择第一行进行展开，计算行列式的方法如下：```det(A) = a*det(A11) - b*det(A12) + c*det(A13)```其中A11、A12、A13分别为：A11 =```e fh i```A12 =```d fg i```A13 =```d eg h```通过计算A11、A12、A13的行列式值，再按照上述公式计算，即可得到矩阵A的行列式值。
三、性质法行列式的性质法是一种简单而有效的计算方法，它是通过一些行列式的基本性质来简化和计算行列式的值。
行列式的基本性质包括以下几条：1. 对调行或列，行列式变号；2. 行或列成比例，行列式为0；3. 行列式中有两行、两列相同，行列式为0；4. 两行或两列互换，行列式变号；5. 行列式中某一行或列乘以一个数，等于这个数与行列式的乘积。
行列式的几种计算方法7篇
行列式的几种计算方法7篇第1篇示例：行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵中的一个数值，可以帮助我们判断矩阵的性质，计算行列式的值是线性代数中的基础技能之一。
下面我们将介绍几种行列式的计算方法以及其应用。
一、直接展开法计算行列式最基本的方法就是直接展开法。
以3阶行列式为例，一个3阶方阵的行列式可以表示为：\[\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}\]通过公式展开，可以得到：\[\begin{aligned}\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix} & = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \\& = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\end{aligned}\]这样就可以直接计算出行列式的值。
但是这种方法比较繁琐，不适用于高阶行列式的计算。
二、拉普拉斯展开法\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{vmatrix}\]以第一行为例，可以按照以下公式展开：\[ \text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots +a_{1n}C_{1n} \]C_{ij}表示元素a_{ij}的代数余子式，通过递归计算代数余子式，最终可以得到行列式的值。
5阶行列式计算公式
5阶行列式计算公式行列式是线性代数中一个非常重要的概念，它可以用来表示线性方程组的解、计算向量空间的基等。
在行列式的计算中，5阶行列式是一个比较常见的情况，本文将介绍5阶行列式的计算公式及其应用。
一、5阶行列式的定义对于一个5阶方阵A，它的行列式定义为：$$begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}a_{21}&a_ {22}&a_{23}&a_{24}&a_{25}a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}&a_{35}a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}&a_{45}a_{51}&a_{52}&a_{53}&a_{5 4}&a_{55}end{vmatrix}$$其中，$a_{ij}$表示A的第i行第j列的元素。
二、5阶行列式的计算公式为了方便计算5阶行列式，我们可以使用拉普拉斯展开法。
具体来说，我们可以选取A的某一行或某一列，然后对应的元素乘上它们的代数余子式，再按照正负号规则相加即可。
这个方法虽然比较繁琐，但是可以保证计算结果的正确性。
如果我们选取第一行进行展开，那么5阶行列式的计算公式为：$$begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}a_{21}&a_ {22}&a_{23}&a_{24}&a_{25}a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}&a_{35}a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}&a_{45}a_{51}&a_{52}&a_{53}&a_{54}&a_{55}end{vmatrix}=a_{11}begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}&a_{ 24}&a_{25}a_{32}&a_{33}&a_{34}&a_{35}a_{42}&a_{43}&a_{44}&a _{45}a_{52}&a_{53}&a_{54}&a_{55}end{vmatrix}-a_{12}begin{vm atrix}a_{21}&a_{23}&a_{24}&a_{25}a_{31}&a_{33}&a_{34}&a_{35 }a_{41}&a_{43}&a_{44}&a_{45}a_{51}&a_{53}&a_{54}&a_{55}end{ vmatrix}+a_{13}begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}&a_{24}&a_{25}a_{ 31}&a_{32}&a_{34}&a_{35}a_{41}&a_{42}&a_{44}&a_{45}a_{51}&a _{52}&a_{54}&a_{55}end{vmatrix}-a_{14}begin{vmatrix}a_{21}& a_{22}&a_{23}&a_{25}a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{35}a_{41}&a_{42 }&a_{43}&a_{45}a_{51}&a_{52}&a_{53}&a_{55}end{vmatrix}+a_{1 5}begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}a_{31}&a_{32}&a_ {33}&a_{34}a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}a_{51}&a_{52}&a_{53}& a_{54}end{vmatrix}$$三、5阶行列式的应用5阶行列式的计算公式虽然比较繁琐，但是它有着广泛的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 3
a31 a32 a33 x3
2.
设
P1 AP
, 其中P
1 1
4 1
,
1 0
0
2
,
求A.
D=
an1 1
an2 0
L L
ann an1b11 an2b21 L annbn1 L 0
0 1 L 0 0
LLLL
0 0 L 1
a11b1n a12b2n L a1nbnn a21b1n a22b2n L a2nbnn LLLLLLLLLL an1b1n an2b2n L annbnn
5 4
例10 设
1 0 0
A
0 0
2 0
0 3
求与 A 可交换的所有矩阵。
解设
x1 x2 x3
X
y1
y2
y3
z1 z2 z3
与 A 可交换，即有
1 0 0 x1 x2 x3 x1 x2 x3 1 0 0
0
2
0
y1
y2
y3
y1
y2
y3
0
2
0
0 0 3 z1 z2 z3 z1 z2 z3 0 0 3
表示aij 的共轭复数，记
A (aij ).
则 A 称为A的共轭矩阵。
2.运算律
设 A 、B 为复矩阵，λ 为复数.
1) A B A B;
2) A A
3) AB A B.
七、 可换矩阵及方阵多项式
1、可换矩阵 设 A、B 均为n阶方阵，若 AB = BA ，则称是可换的。
例9 设
3 2 5 3 3 6 2 0 0121 312
0 3
3 6
33
0 0
2 0
0 2
2 5 1
1 1
2 3
1 0
.
练习：
1.计算下列矩阵的乘积.
3 2
(1) 1
2
3
2
; (2)
1 1
2;
(3) x1
x2
a11
x3 a21
a12 a22
a13 x1 a23 x2 .
a 0 0
0 0
b 0
0 c
其中 a ，b，c 为任意实数。
2、方阵多项式
设有 n 阶矩阵 A 和多项式 f ( λ ) = amλm + am-1λm-1 + … + a1λ + a0
规定 f ( A ) = am Am + am-1 Am-1 + … + a1A + a0
称 f ( A ) 为方阵 A 的矩阵多项式。
于是
| AB | = | A | | B |
例6：设A , B 均为 n 阶方阵 且 AAT E, BT B E, A 1,
B
则 A B 0. 证 A B＝ ABT B AAT B A(BT AT )B
A (A B)T B B2 AB
AB
故 A B 0.
例7 设 A 是 n 阶反对称矩阵， B 是 n 阶对称矩阵，则 AB + BA 是 n 阶反对称矩阵。
五、方阵的 行列式
1、定义 定义6 由n阶方阵A的元素所构成的行列式 （各元素的位置不变），称为方阵A的行列式， 记作 |A| 或 detA 。
2、运算律
1). AT A ;
2). A n A;
3). AB A B
我们仅证明3），设A = (aij), B = (bij)。 记 2n 阶行列式
于是
x1 x2 x3 x1 2x2 3x3
2
y1
2 y2
2
y3
y1
2 y2
3
y3
3z1 3z2 3z3 z1 2z2 3z3
从而 x2 = 2x2 , x3 = 3x3 ,
2y1 = y1 , 2y3 = 3y3 ,
3z1 = z1 , 3z2 = 2z2 ,
即 x2 = x3 = y1 = y3 = z1 = z2= 0 , 所以，与可交换的任一矩阵是
A
1 1
2 1
,
B
a 3
b 2
.
若矩阵 A与 B 可交换，求 a ,b 的值 。
解 由于 AB = BA ，即
1 2 a b a b1 2
1
1 3
2
3
2
1
1
即
a a
6 3
b 4 ab
b
2
5
2a b
4
a 6
亦即
b
a
4 3
b 2
故a=8,b=6。
ab 2a b
例11 设有多项式 f (λ) = λ2－ 3λ + 2和矩阵
1 1 2
A
0 1
1 2
11
求矩阵多项式 f (A) 。
解 因为
1 1 2 1 1 2
A2
0
1
1
0
1
1
1 2 1 1 2 1
3 2 5
1 2
1 3
2 1
3 3 6
3
A
0 3
3 6
33
则 f (A) = A2－ 3A + 2E
1 3
2 3
1 2
1
3 2
1 3
2
3
1
An = ( αβT )n = αβTαβTαβT … αβT = 3n-1A
| An | = | 3n-1A | = (3n-1)n| A |
11 1 23
(3n1)n 2
1
2 3
3
3 2
1
=0
六、共轭矩阵
1、定义
定义7 设A= (aij )为复矩阵，aij
a11 L a1n
M
M
0
D = an1 L ann
1
b11 L b1n
O
M
M
1 bn1 L bnn
AO
E B
显然，D = |A||B| ,而在 D 中以 b1j 乘第 1 列，b2j 乘第 2 列 ，… ， bnj 乘第 n 列 , 都加到第 n + j 列上 （j=1,2,…,n) , 有
a11 a12 L a1n a11b11 a12b21 L a1nbn1 L a21 a22 L a2n a21b11 a22b21 L a2nbn1 L L L L L LLLLLLLLLL L
AC D
E 0
其中 C = ( cil ) , cij = ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj , 故 C = AB。
再对 D 的行作 rj ↔ rn+j （j = 1, 2, … , n ），有
D (1)n E
0 ,
AC
从而有
D = ( －1 )n|－E||C| = ( －1 )n( －1 )n| C | = | C | = | AB |。
证 ( AB + BA )T = (AB)T + (BA)T = BTAT + ATBT = －BA－AB = －（ AB + BA ）
所以， AB + BA 为 n 阶反对称矩阵。
例8 设
1
1
2
,
1 2
3
1 3
令 A = αβT, 求 An 及| An|。
解
1
2 3
1,
1, 2
1