行列式的性质
§1.2 行列式的性质
§1.2 行列式的性质
1、 n 阶行列式的质
定义1
将行列式 D 的行和列交换后得到的 行列式称为 D 的转置行列式，记为
D T 或 D ，即若
a11 D a21 an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann , 则D D
T
a11 a12 a1n
a21 a22 a2 n
说明
①此定理称为按 k 个行展开，若将行变成 列，则行列式按 k 个列展开。 ②此定理证明的方法与定理1一样，这里证 略。 ③在计算行列式时，常常按一行或一列展开。 若在行列式 D 中某些行或某些列含多个零， 就按这些行或这些列展开，可能更方便。
an1 an 2 ann .
性质1 性质2
将行列式转置，行列式不变，即 DT D . 用数 k 乘行列式 D 的一行（列），等 于以数 k 乘以行列式 D ，即
a11 a1n a11 a1n ain kD ann
D1 kai1 an1
kain k ai1 ann an1
性质3
若行列式 D 的一行（列）每一个元素都
M ij
Aij 1
i j
。而
M ij
称为 aij
的代数余子式.
引理
一个 n 阶行列式 D ，若 i 行元素除 aij 外都为零，则 D 等于 aij 与它的代数余子 式的乘积，即
D aij Aij
（1.12）
定理1
n 阶行列式
D aij
等于其任意一行的 (1.13)
各元素与对应代数全子式乘积之和，即
性质5 若行列式有两行（列）元素成比列，则 行列式为零. 性质6 把行列式一行（列）的倍数加到另一行 （列），行列式不变. 性质7 互换行列式的两行（列），行列式变号.
1.2行列式性质
a13 a23 12 a33
a23 a33 3 a21 a33 a31
1
0 2
0 1 2
100 298
100 0 200 1 300 2
例2
计算行列式 2 1 199
3
1 2 3 0 1 2 100 1 199 2 298 3
解
1 2 3
0 1 2
100 1 200 2 300 3
D T 称为D的转置行列式。从而有 D D T
这条性质说明行列式的行和列的地位是相同的。也就 是说，对“行”成立的性质，对于“列”成立的
性质2 互换行列式的两行（列），行列式反号。即
r r i j
D
c c i j
D,
则D D
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等 于零。 性质3 行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以数k 得到行列式D1，等于数k乘以此行列式。即
0 an
例6 设
a11 11 ak 1 k1 c11 c n1
这是用两条线将行列式分成四 块了，其中一块为0，与0不在 同一对角线上的两块必须方块
D
a1 k akk kk c1 k c nk
0
c11 c n1 b11 11 bn1 bn1
0
解
b a Dn a a
a b a a
a a a a a b a a
a b a a
a a a b
a a a a
c1 c2 cn
b (n 1)a a a a a b (n 1)a b a a a b (n 1)a a a b a b (n 1)a a a a b
行列式的性质有什么技巧吗
行列式的性质有什么技巧吗行列式是矩阵的一个重要性质，对于解方程组、求逆矩阵以及矩阵的特征值等计算都有着重要作用。
在计算行列式的过程中，可以根据行列式的性质来简化计算，提高计算效率。
下面将介绍一些常用的行列式的性质和计算技巧。
1. 行列互换性质：行列式的值不变，当交换行列式中任意两行（或两列）的位置。
例如，对于一个3阶行列式A，若交换第一行和第二行的位置，行列式值不变。
2. 行列式的取公因子性质：行列式的值等于公因子与剩余元素构成的行列式的值的乘积。
例如，对于一个3阶行列式A，如果第一行的元素可以取公因子k，那么行列式A的值等于第一行元素乘以公因子k的行列式B的值，即A = k * B。
3. 行列式的倍性性质：行列式的某一行（或列）的元素乘以一个常数k，与行列式的值的乘积相等。
例如，对于一个3阶行列式A，如果将第一行的元素都乘以常数k，那么行列式A的值等于第一行元素乘以常数k的行列式B的值，即A = k * B。
4. 行列式对行的线性关系：如果行列式中两行成比例，那么这个行列式的值为0。
例如，如果行列式的第一行的元素都等于第二行元素的两倍，那么这个行列式的值为0。
5. 行列式的行列式和斜交性质：行列式中有两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值为0。
例如，如果行列式的第一行跟第二行完全相同，那么这个行列式的值为0。
6. 行列式的二次行列和二次展开定理：对于一个n阶的行列式，可以通过二次行列和二次展开定理来计算行列式的值。
即将行列式按矩阵中的某一行（或列）展开，然后将展开后的行列式分割成若干个小行列式，这些小行列式的值与对应元素的代数余子式成正负关系。
通过递归地计算这些小行列式的值，最终可以得到行列式的值。
7. 行列式的上三角行列的性质：一个上三角阵的行列式，等于对角线上的元素的乘积。
即对于一个n阶的上三角阵A，它的行列式的值等于A的对角线上的元素的乘积。
这个性质在求解方程组的过程中特别有用。
8. 行列式的性质与矩阵求逆的关系：如果一个矩阵A可逆，那么它的行列式不等于0；反之，如果一个矩阵的行列式不等于0，那么它可逆。
行列式的性质与计算方法
行列式的性质与计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，是矩阵的一个标量。
它可以用来描述线性方程组的解的情况，也可以用来判断矩阵是否可逆等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质和计算方法。
一、行列式的性质1. 行列式与转置矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列调换，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
如果行列式的元素都是实数，那么它的值不会受转置操作的影响，即$\left|A\right|=\left|A^{T}\right|$2. 行列式的行列互换行列式的行列互换是指将行列式的任意两行或两列互换位置，得到的新行列式称为原行列式的行列互换。
行列互换会改变行列式的符号，即$\left|A\right|=-\left|A_{i j}\right| \text { , } i \neq j$其中$A_{i j}$表示将矩阵$A$的第$i$行和第$j$列删除后得到的$(n-1)\times(n-1)$矩阵的行列式。
3. 行列式的元素线性组合如果一个行列式的某一列（或某一行）减去另一列（或行）的$k$倍，得到的新行列式的值等于原行列式的值乘以$k$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}}+k a_{j} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}}& {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} &{a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{j}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots}& {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|$4. 行列式的行列成比例如果一个行列式的某两行或某两列成比例，那么该行列式的值为$0$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {k a_{i 1}} & {k a_{i 2}} & {\cdots} & {k a_{i n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\{a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} & {a_{j}}\end{array}\right|=0$其中$\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)$和$\left(a_{j 1},a_{j 2}, \cdots, a_{j n}\right)$是比例行列式的两行，$k$是一个非零实数。
行列式的性质及求解方法
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
线性代数 第三节 行列式的性质
第三节 行列式的性质分布图示★ 引言★ 性质1 ★ 例1 ★ 性质2 ★ 例2 ★ 例3 ★ 性质3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 性质4 ★ 例7 ★ 例8★ 性质5 ★ 例9 ★ 利用“三角化”计算行列式 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13★ 例14 ★ 例15 ★ 例16★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-3内容要点一、行列式的性质将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为T D 或'D ,即若,212222111211nn n n n n a a a a a a a a a D = 则 nnnnn n T a a a a a aa a a D212221212111=. 性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即.T D D =注 由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有.性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号.推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数k 乘此行列式, 即.2121112112121112111kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nnn n in i i n nn n n in i i n ===第i 行(列)乘以k ,记为k i ⨯γ(或k C i ⨯).推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如,nnn n in in i i i i na a a cbc b c b a a a D 21221111211+++=. 则21212111211212111211D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nnn n in i i n nn n n in i i n +=+=. 性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变.注: 以数k 乘第j 行加到第i 行上,记作j i kr r +; 以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +.二、行列式的计算计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:如果第一列第一个元素为0, 先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0; 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.例题选讲例1若210101321-=D , 则.213102011D D T =-=例2（1）01212111012110121---=--（第一、二行互换）.（2）102110211012110121---=--（第二、三列（3）072501111=（第一、二两行相等） （4）0337224112=---（第二、三列相等）例3（1）02222510211=--因为第三行是第一行的2倍. （2）07541410053820141=---因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4倍.例4 若121013201--=D , 则D 212101321)2(12101342-=---=----又 D 41210132141240112204=--=--.例5 (E01) 设,1333231232221131211=a a a a a a a a a 求.53531026333231232221131211a a a a a a a a a ---- 解 利用行列式性质，有33323123222113121153531026a a a a a a a a a ----=3332312322211312115353522a a a a a a a a a ---5)3(2⋅-⋅-=333231232221131211a a a a a a a a a15)3(2⋅⋅-⋅-=.30=例6 证明奇数阶反对称行列式的值为零. 证 设反对称行列式D 0000321323132231211312 nn n n n n a a a a a a a a a a a a ------= 其中),(时j i a a ji ij ≠-=).(0时j i a ij == 利用行列式性质1及性质3的推论1,有D T D =0000)1(321323132231211312 nnnn nn n a a a a a a a a a a a a -------=,)1(D n -= 当n 为奇数时有,D D -=即.0=D例7（1）.110111311103111132+=++= （2）()1)2(1272305)2(11121272305211--+--++=----+122720521112730511---+--=.例8 因为,12310403212213==++--+而15)40()29(02213123=+++=-+-.因此221312303212213-+-≠++--+. 注: 一般来说下式是不成立的22211211222112112222212112121111b b b b a a a a b a b a b a b a +≠++++.例9（1）13201013113214113112----r r ,上式表示第一行乘以-1后加第二行上去, 其值不变.（2）33204103113214113113c c +--,上式表示第一列乘以1后加到第三列上去, 其值不变.例10计算行列式2150321263-=D .解 先将第一行的公因子3提出来：,21503242132150321263-=- 再计算.162354100430201541104702215421087042127189087042132150324213=⨯====----=-=D例11 (E02) 计算.3351110243152113------=D 解 21c c D→3315112043512131------- 14125r r r r +-72160112064802131------32r r ↔ 72160648011202131----- 242384r r r r -+ 1510001080011202131----3445r r +.40250001080011202131＝---例12 (E03) 计算.3111131111311113=D 解 注意到行列式的各列4个数之和都是6.故把第2，3，4行同时加到第1行，可提出公因子6，再由各行减去第一行化为上三角形行列式.D4321r r r r +++311113111131111163111131111316666= 141312r r r r r r --- .4820000200002011116=例13 (E04) 计算.1111000000332211a a a a a a --- 解 根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将第2列加至第3列，再将第3列加至第4列，目的是使4D 中的零元素增多.4D12c c +112100000033221a a a a a -- 23c c + 1321000000003321a a a a -34c c +.44321000000000321321a a a a a a =例14 (E05) 计算.3610363234232dc b a c b a b a ad c b a c b a b a a dc b a c b a b a ad c b a D ++++++++++++++++++=解 从第4行开始，后一行减前一行：D r r r r r r ---33412.363023200c b a b a a c b a b a a cb a b a a dc b a +++++++++3423r r r r -- .20200ba a ab a a a cb a b a a dc b a +++++34r r -..0002004a ab a a cb a b a a dc b a=++++例15 设nnn nkn n k kk k kb bc c b b c c a a a a D111111111111000=，,)det(,)det(1111211111nnn nij kk k kij b b b b b D a a a a a D ====证明 .21D D D =证 对1D 作运算,j i kr r +对2D 作运算,j i kc c +可分别把1D 和2D 化为下三角形行列式.1D =kk k p p p1110;11kk p p =2D =nnn q q q 1110.11nn q q = 对D 的前k 行作与对1D 相同的运算,j i kr r +再对后n 列作与对2D 相同的运算,j i kc c +即把D 化为下三角形行列式，且D nn kk q q p p 1111⋅=.21D D = 证毕.例16 (E06) 解方程.0113211232113221132111321=-+-+-+-+-------xa a a a a a a x a a a a a a a x a a a a a a a x a a a a a a a a n n n n n n nn n n n n解 从第二行开始每一行都减去第一行得),)(())((00000000000001221112211321x a a x a x a a xa xa x a x a a a a a a n n n n n n ----=---------由,0))(())((12211=------x a a x a x a a n n 解得方程的1-n 个根：.,,,,11222211----====n n n n a x a x a x a x课堂练习1. 计算行列式.0112012120112110-----=D 2. 计算n 阶行列式 ab b b bb a b b b b a。
1.4 行列式的性质
a 1n
则
D b1 a n1
bn c1 ann a n1
一、行列式的性质
注： 性质5可以推广到某一行（列）的元素为几组 数的和的情形. 性质6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一
个倍数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行
列式的值不变．
注：以数 k 乘第 j 行（列）加到第 i 行（列）上，记作
例5 设 D
ak1 c 11 c n1
a b 11 a 1 k 11 b 1 n D a ,D b , 1 det( ij) 2 det( ij) a b k 1 a kk n 1 b nn
D D . 证明 D 1 2
二、行列式性质的应用
1 1 3 1
1 1 1 3
二、行列式性质的应用
r2 ( 1 ) r1 r3 ( 1 ) r1 r4 ( 1 ) r1
1 0 6 0 0
1 2 0 0
1 0 2 0
1 0 6 8 48. 0 2
二、行列式性质的应用
例4 计算行列式
a b c d a ab abc abcd D . a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
D 4 1
r1 r2
6 1
0 2
0 1
4 1 1
二、行列式性质的应用
6 0 0 4 1 1 1 2 1
c3 c2
6
0
0
4 1 0 18. 1 2 3
1
（方法二）
2 D 1 4 1 1 200+1 100+2 100+1
§5 行列式的性质
(2) 利用性质把行列式化为上三角形行列式，从 而算得行列式的值．
1 2 3
例如 0 0 0 0 0 0 0 3 1 2 3 1 2
性质5 (拆分) 若行列式的某一列（行）的元素 都是两数之和. a11 a12 (a1i a1i ) a1n a 21 a 22 (a 2 i a i ) a 2 n 例如 2 D a n1 a n 2 (a ni a ) a nn ni
证明
D D1 D2 .
1 2
0
0
3 4 0 0 如D = ? 0 0 -1 3 0 0 5 1
a 0 0 b 0 a b 0 例5 D = 0 c d 0 c 0 0 d
看P15例11
三、小结
行列式的6个性质
同样成立). 计算行列式常用方法 (1) 利用定义;
(行列式中行与列具有同
等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也
= a4
看P13例9
例4
a11 a1k 0 b11 b1n bn1 bnn a k 1 a kk 设D c11 c1k c n1 c nk
b11 b1n a11 a1k , D1 det(a ij ) , D2 det(bij ) bn1 bnn a k 1 a kk
a11
n
a12 a22
a1n a2 n
a21 an1
an 2 ann
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零；行列式的某一行（列） 元素全为零，则行列式为零．
1 2 3 例如 4 5 6 2 4 6 1 2 3
1 24 1
2 5 2
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n 2 n 2 x3 xn
n-1阶范德蒙德行列式
Dn ( x 2 x1 )( x 3 x1 )( x n x1 )
n i j 2
( xi x j )
n i j 1
( xi x j ).
例
计算 1 1 D4 1 1
12
1 2 4
4 1 3
性质7
n 设 A, B为阶方阵， 为m阶方阵，则 C
(1) AT A ;
(2) A n A ;
(3)
(4)
A O D C
AC,
O C
A D
mn ( 1) AC
AB A B , AB BA .
例7 设 Amn , Bnm , Cmm , 则 ABC AB C A B C 例8 设A为n阶方阵
b11 b21
b12 b22
性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变． 例如 a11 a12 a13 a11 a12 a13
a21 a31
a22 a32
a23 a21 ka11 a22 ka12 a33 a31 a32
r2 kr1
1 7 6 6 3 5
7 1 5 2 6 6 2. 5 3 8 8
5
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零.
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
a11 如 ka21 a31
a12 ka22 a32
a13 a33
a11
a12
a ( n 1)b 1 1
1
ri r11 1b Fra bibliotek b bb
b b a b
b
b b b a
i 2,3, n
a (n 1)b
b ab
ab ab
n1 a (n 1)b (a b) .
例3
证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
b a b b
b b a b
b b b a
b b b a
D b b
a b D b b
b a b b
b b a b
b b c c c 1 2 n b a
a n 1b a n 1b a n 1b a n 1b
证:只证(2.10)式
把行列式 D det( a ij ) 按第 j 行展开，有
a11 ai1 a j 1 A j 1 a jn A jn a j1 a n1 a1 n a in , a jn
a nn
把 a jk 换成 a ik ( k 1,, n), 可得
a23 ka13 a33
变化的是第2行，保持行列式值不变是因为
a11 a21 ka11 a31 a12 a22 ka12 a32 a13 a11 a23 ka13 a21 a33 a31 a12 a22 a32
第二式为0
a12 ka12 a32 a13 ka13 a33
a13 a11 a23 ka11 a33 a31
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j ).
例5
设行列式D
3 2 5
0 2 3 5 1 3
4 2 0
0 2
0 7
求第四行各元素的 , 0 余子式之和.
2 2
例6
设行列式D
3 1 1 2
2 0 1
1 5 3
, 求2A11 -A12 +A13 +3A 14
这性质是针对某行（列）进行的，假如有两行每个元素 都是两数之和，则只能一次拆一行，如
a11 b11 a12 b12 a21 b21 a22 b22 a11 b11 a21 a12 b12 a11 b11 a12 b12 a22 b21 b22
a11 a12 a11 a12 b11 b12 b21 b22 a21 a22 a21 a22
1 x1 1 x2
2 x2
1 xn
2 xn
2 Dn x1 n 1 x1
n i j 1
( xi x j ).
(1)
n 1 n 1 x2 xn
证 用数学归纳法 1 1 D2 x 2 x1 ( x i x j ), x1 x 2 2 i j 1
b11 b1n a11 a1k , D1 det(a ij ) , D2 det(bij ) bn1 bnn a k 1 a kk
证明
D D1 D2 .
p11 解D pk1 c11 cn1 p11 pk1 c11 cn1 0
0 0 pkk c1k cnk 0 b11 bn1 b1n bnn
pkk c1k cnk q11 qn1 0 qnn
p11
pkk q11
qnn D1D2
性质6 行列式第 i 行的元素与第 j (j i ) 行的对应元 素的代数余子式乘积之和等于零，即
a i 1 A j 1 a i 2 A j 2 a in A jn 0 , i j .
1 3 9
1 4 16
( xi xj) 4i j1
8 27 64
(4 1)( 3 1)( 2 1)( 4 2)( 3 2)( 4 3)
a11 a1k 0 b11 b1n bn1 bnn
例4
a k 1 a kk 设D c11 c1k c n1 c nk
推论2 若行列式中某行（列）的元素全为零，则此行列 式等于零.
性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两 数之和. i ) a1 n a11 a12 (a1i a1
例如
a 21 D a n1
a 22 (a 2 i a 2i ) a2n a n 2 (a ni a ni ) a nn
A 1, 且AAT I , 求证 A I 0
1 2 1 0 注意:一般地1) A B A B 如 A , B 2 1 0 1
2) 性质 (4) 要求 A,B 都是方阵才成立，因方阵才有行列 式. 3)设A,B为n阶方阵，一般地， AB BA,
所以进行变换后第 j 行没有变化.如
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
kr1 r2
1 k
ka11 a21 a21 a31
ka12 a22 a22 a32
ka13 a23 a23 a33
例1 计算下列行列式的值
(1)
1 0 3 1
0 1 4 2
a n1 an 2
ann
行列式 D T 称为行列式 D 的转置行列式.
性质1
D DT
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质2 例如 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
1 7 5 1 7 5 6 6 2 3 5 8 , 3 5 8 6 6 2
则D等于下列两个行列式之和： i a1 n a11 a1i a1n a11 a1 a 21 a 2 i a 2 n a 21 a a2n 2i D a n1 a ni a nn a n1 a a nn ni
3 2 0 2
7 1 3 1 x 1 1 1 1
5 3 0 0 0 2 5 3 0 0 (3) 0 2 5 3 0 0 0 2 5 3 0 0 0 2 5
(2)
1 1 1 1 x
1 1 x 1 1
1 1 x 1 1
a b
例2 计算 n 阶行列式 解
b a b b
b b a b
n 2 n 2 x3 ( x 3 x1 ) x n ( x n x1 )
按第1列展开，并把每列的公 因子 ( x i x1 ) 提出， 就有
1 x2 ( x 2 x1 )( x 3 x1 )( x n x1 )
n 2 x2
1 x3
1 xn
推论1 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此 行列式为零． 证明
a11
a12 a1n
a11
a12 a1n
a i 1 a i 2 a in
a i 1 a i 2 a in
k 0. kai 1 kai 2 kain a i 1 a i 2 a in a n1 a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn
(2.10)
行列式第 i 列的元素与第 j (j i ) 列的对应元素的代 数余子式乘积之和等于零，即
a1i A1 j a2 i A2 j
ani Anj 0 ( j i )
i ,j 1, 2, , n
(2.11)
即:行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元 素的代数余子式乘积之和等于零
a11
a12 ka22 a32
a13 ka23 a33
注意:行列式提取公因子是提取某行(或某列)的公因子
如:
ka11 la21
ka12 a11 a12 lk la22 a21 a22
而矩阵提取公因子是提取矩阵中所有元素的公因子
ka11 ka 21
ka12 a11 a12 k ka22 a21 a22