63、矩阵、行列式的运算及性质
矩阵与行列式解析矩阵与行列式的性质与运算规律
矩阵与行列式解析矩阵与行列式的性质与运算规律矩阵和行列式是线性代数中重要的概念和工具。
它们在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将详细解析矩阵与行列式的性质和运算规律。
一、矩阵的性质与运算规律1. 矩阵的定义矩阵是一个按照长方阵列排列的数。
它由m行n列元素组成，记作A=(a_ij),其中1≤i≤m，1≤j≤n。
矩阵的行数和列数分别称为矩阵的阶数或维数。
2. 矩阵的运算规律2.1 矩阵的加法和减法设A=(a_ij)和B=(b_ij)是两个同阶矩阵，则它们的和C=A+B的定义为C=(c_ij)，其中c_ij=a_ij+b_ij。
矩阵的减法定义类似。
2.2 矩阵的数乘设A=(a_ij)是一个矩阵，k是一个数，则kA的定义为kA=(ka_ij)，其中ka_ij=ka_ij。
2.3 矩阵的乘法设A=(a_ij)是一个m行n列的矩阵，B=(b_ij)是一个n行p列的矩阵，则它们的乘积C=AB的定义为C=(c_ij)，其中c_ij=a_i1b_1j+...+a_inb_nj。
3. 矩阵的性质3.1 矩阵的转置设A=(a_ij)是一个m行n列的矩阵，A的转置记作A^T，定义为A^T=(a_ji)是一个n行m列的矩阵。
3.2 矩阵的逆设A是一个n阶方阵，若存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则称矩阵A可逆，B为A的逆矩阵。
若A不可逆，则称为奇异矩阵。
3.3 矩阵的行列式矩阵A的行列式记作|A|，行列式是一个标量，它由矩阵元素按一定规则计算而得。
行列式的性质包括行列式的加法性、数乘性、转置性等。
二、行列式的性质与运算规律1. 行列式的定义行列式是一个方阵的特征值之一。
设A=(a_ij)是一个n阶方阵，行列式的定义为|A|=a_11a_22...a_nn-a_11a_23...a_n(n-1)-...-a_1n-1a_2n...a_n。
2. 行列式的运算规律2.1 行列式的数乘若k是数，A是n阶方阵，则kA的行列式等于k的n次方乘以A 的行列式，即|kA|=k^n|A|。
矩阵与行列式知识点总结
矩阵与行列式知识点总结矩阵和行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
本文将对矩阵和行列式的定义、性质以及相关运算进行总结，以便读者对这两个概念有更深入的了解。
一、矩阵的定义与性质矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，包含m行n列，用记号A[m×n]表示。
其中，每个数字称作矩阵的元素，用aij表示第i行第j列的元素。
矩阵可以是实数矩阵、复数矩阵或其他数域上的矩阵。
矩阵的性质包括以下几点：1. 矩阵的大小由它的行数和列数决定，记作m×n。
2. 矩阵可以进行加法和数乘运算。
3. 矩阵的转置将行和列对换。
4. 矩阵可以相乘，但乘法不满足交换律。
5. 矩阵对应的行向量和列向量也有相应的定义和运算。
二、行列式的定义与性质行列式是一个与矩阵相关的特殊函数，对于方阵A[n×n]，其行列式记作det(A)或|A|。
行列式是一个标量值，可以用于衡量矩阵的性质。
行列式的性质包括以下几点：1. 行列式的值可以是实数、复数或其他数域上的元素。
2. 行列式的值表示了矩阵所包含的信息，可用于判断矩阵的可逆性、线性相关性等。
3. 行列式满足代数运算的规律，如加法、数乘、转置等。
4. 行列式可以通过对换行或列、倍乘行或列等行列变换来计算。
5. 行列式的值等于其转置矩阵的值。
三、矩阵与行列式的运算矩阵与行列式之间存在着紧密的联系，它们可以进行多种运算。
1. 矩阵的加法和数乘运算：两个矩阵相加（减）时，先确定它们的大小是否一致，然后逐个对应元素相加（减）。
数乘运算即将一个矩阵的每个元素乘以一个常数。
2. 矩阵的乘法运算：两个矩阵相乘时，第一个矩阵的列数要等于第二个矩阵的行数。
将第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列进行对应元素的乘法运算，并求和得到结果矩阵的相应元素。
3. 矩阵的转置运算：矩阵的转置是将其行和列交换得到的新矩阵。
转置后的矩阵行数与原矩阵的列数相等，列数与原矩阵的行数相等。
线性代数行列式的性质与计算
线性代数行列式的性质与计算线性代数中的行列式是一种非常重要的数学工具，它在各个领域的数学和物理问题中都具有广泛的应用和重要性。
行列式是一个数，它与矩阵的元素有关，在许多情况下可以通过一些算法进行计算。
一、行列式的性质1.行列式有可加性：若A为n阶方阵，有两列完全相同，则行列式的值为0；若A为n阶方阵，交换两列，行列式的值变号。
2.行列式有因子约束：若A的其中一行或其中一列的元素是两个数之和，则A的行列式等于这两个数的和的行列式之和。
3.行列式有数乘的性质：若将A的其中一行或其中一列的元素都乘以k，则A的行列式等于k乘以这个行列式。
4.行列式对其中一行与另一行的代换变号，对其中一列与另一列的代换变号，换行、换列对行列式无影响。
5.方阵A与其转置矩阵A'行列式相等，即，A，=，A'。
6.若A为可逆的方阵，则，A，≠0；若A的其中一行全为0，则，A，=0。
二、行列式的计算1.二阶行列式的计算：设A为二阶方阵。
2.三阶行列式的计算：设A为三阶方阵a11a12a1A=，a21a22a23a31a32a33.高阶行列式的计算：a)拉普拉斯展开法：以行或列为基准进行展开，逐步减小行列式的阶数，直至计算到二阶行列式。
b)三角形矩阵法：若A为上（下）三角矩阵，则A的行列式等于对角元素的乘积。
c)伴随矩阵法：设A为n阶方阵，A的伴随矩阵的转置矩阵为A*，则，A，=，A*，=A*A^-1d)特征值法：设A的特征值为λ1,λ2,…,λn，则，A，=λ1λ2…λn.e)克拉默法则：若Ax=b为线性方程组，其中A为n阶方阵，且，A，≠0，则方程组有唯一解x=A^-1b.总之，行列式作为一种数学工具，在线性代数中具有重要的地位和作用。
它不仅可以帮助我们判断矩阵的可逆性，还可以求解线性方程组、计算矩阵的秩、判断矩阵的相似性等。
行列式的性质和计算方法可以帮助我们更好地理解和应用线性代数的相关知识。
矩阵与行列式知识点
矩阵与行列式知识点矩阵和行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将介绍矩阵和行列式的基本定义与性质，以及它们在实际问题中的应用。
一、矩阵的定义与性质矩阵是由一些数按照矩形排列而成的表格。
我们用$m\timesn$表示一个矩阵，其中$m$代表矩阵的行数，$n$代表矩阵的列数。
一个矩阵的元素通常用小写字母（如$a_{ij}$）表示，其中$i$表示元素所在的行数，$j$表示元素所在的列数。
矩阵的转置是指行和列互换，转置后的矩阵用$A^T$表示。
矩阵可以进行一些基本的运算，如矩阵的加法和数乘。
对于两个相同维数的矩阵$A$和$B$，它们的加法定义为$A+B$，即将对应位置的元素相加得到新的矩阵。
对于一个矩阵$A$和一个标量$c$，它们的数乘定义为$cA$，即将矩阵$A$中的每个元素都乘以$c$得到新的矩阵。
矩阵的乘法是指两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
对于一个$m\times n$的矩阵$A$和一个$n\times p$的矩阵$B$，它们的乘积$AB$是一个$m\times p$的矩阵。
矩阵相乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
二、行列式的定义与性质行列式是一个与方阵相关的标量值。
对于一个$n\times n$的方阵$A$，我们用$|A|$表示它的行列式。
行列式的计算主要依靠代数余子式和代数余子式矩阵。
对于方阵$A$的元素$a_{ij}$，它的代数余子式$M_{ij}$是去掉$a_{ij}$所在的行和列后的余下元素的行列式，即由$n-1$阶子方阵组成。
代数余子式矩阵$A^*$是由方阵$A$的每个元素的代数余子式按照一定的规则排布而成的矩阵。
行列式的计算方法有很多，包括拉普拉斯展开法、行列式按行展开法等。
其中，拉普拉斯展开法是最常用的方法，即选择方阵的任意一行或一列展开，并用代数余子式乘以对应元素后进行求和。
行列式具有很多重要的性质，如行列式的性质对换、行列式的性质正交等。
矩阵与行列式的运算与应用
矩阵与行列式的运算与应用矩阵与行列式是线性代数中的重要概念和工具，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将探讨矩阵与行列式的运算规则及其在实际问题中的应用。
一、矩阵的定义与基本运算矩阵是由m行n列的数按一定顺序排列而成的矩形阵列。
其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵的元素可以是实数、复数或其他数域中的元素。
矩阵的加法定义为：若A和B是同型矩阵（即行数和列数相等），则它们的和A + B是一个同型矩阵，其元素由对应位置的元素相加得到。
矩阵的乘法定义为：若A是m行n列的矩阵，B是n行p列的矩阵，则它们的乘积AB是一个m行p列的矩阵，其元素由A的第i行与B的第j列的元素按一定规则相乘再相加得到。
矩阵的转置定义为：若A是一个m行n列的矩阵，其转置记作A^T，即将A 的行变为列，列变为行。
矩阵的逆定义为：若A是一个n阶方阵（即行数等于列数），且存在一个n阶方阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵，则称A是可逆的，B为A的逆矩阵，记作A^(-1)。
二、行列式的定义与性质行列式是一个与方阵相关的数值函数，用于刻画方阵的性质。
一个n阶方阵A 的行列式记作det(A)或|A|。
行列式的定义为：对于2阶方阵A = [[a, b], [c, d]]，其行列式定义为|A| = ad - bc。
对于n阶方阵A，其行列式的计算可以通过代数余子式和代数余子式构成的代数余子式矩阵进行。
行列式的性质包括：1. 行列式的值与方阵的行列互换无关，即|A| = |A^T|。
2. 行列式的值与方阵的某一行（列）成比例，即若方阵的某一行（列）元素都乘以一个常数k，则行列式的值也乘以k。
3. 行列式的值与方阵的两行（列）交换符号相反，即若方阵的两行（列）交换，则行列式的值取相反数。
4. 行列式的值与方阵的某一行（列）的线性组合无关，即若方阵的某一行（列）是另外两行（列）的线性组合，则行列式的值为0。
三、矩阵与行列式的应用矩阵与行列式作为线性代数的基本工具，在实际问题中有着广泛的应用。
行列式的性质与运算法则
行列式的性质与运算法则行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算中起着至关重要的作用。
行列式的性质和运算法则是我们学习和应用行列式的基础，本文将围绕这一主题展开阐述。
一、行列式的定义和基本性质行列式是一个数，它是一个方阵中元素的一种特殊组合。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或|A|，其中n表示方阵的阶数。
行列式具有以下基本性质：1. 方阵A的行列式等于其转置矩阵A^T的行列式，即det(A) = det(A^T)。
2. 对调方阵A的两行（或两列），其行列式的值不变，即行列式具有行对换性质。
3. 如果方阵A的某一行（或某一列）的元素全为0，则行列式的值为0。
4. 行列式的值与方阵的行列式的值成正比，即如果一个方阵的某一行（或某一列）的元素都乘以一个常数k，那么行列式的值也将乘以k。
二、行列式的运算法则行列式的运算法则包括加法法则、数乘法则、乘法法则和转置法则。
1. 加法法则对于两个n阶方阵A和B，它们的行列式之和等于行列式分别取和的结果，即det(A + B) = det(A) + det(B)。
2. 数乘法则对于一个n阶方阵A和一个数k，方阵A的行列式乘以k等于行列式乘以k的结果，即det(kA) = k^n * det(A)。
3. 乘法法则对于两个n阶方阵A和B，它们的乘积的行列式等于行列式分别取乘积的结果，即det(AB) = det(A) * det(B)。
4. 转置法则对于一个n阶方阵A，它的转置矩阵A^T的行列式等于原方阵A的行列式，即det(A^T) = det(A)。
三、行列式的应用行列式的应用广泛，它在线性代数、微积分、几何学等领域都有重要的应用。
1. 判断方阵的可逆性一个n阶方阵A可逆的充要条件是其行列式不等于0，即det(A) ≠ 0。
利用这一性质，我们可以通过计算方阵的行列式来判断其可逆性。
2. 求解线性方程组对于一个n元线性方程组，我们可以将其系数矩阵表示为一个方阵A，并将常数项表示为一个列向量b。
行列式的性质与计算方法
行列式的性质与计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，是矩阵的一个标量。
它可以用来描述线性方程组的解的情况，也可以用来判断矩阵是否可逆等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质和计算方法。
一、行列式的性质1. 行列式与转置矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列调换，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
如果行列式的元素都是实数，那么它的值不会受转置操作的影响，即$\left|A\right|=\left|A^{T}\right|$2. 行列式的行列互换行列式的行列互换是指将行列式的任意两行或两列互换位置，得到的新行列式称为原行列式的行列互换。
行列互换会改变行列式的符号，即$\left|A\right|=-\left|A_{i j}\right| \text { , } i \neq j$其中$A_{i j}$表示将矩阵$A$的第$i$行和第$j$列删除后得到的$(n-1)\times(n-1)$矩阵的行列式。
3. 行列式的元素线性组合如果一个行列式的某一列（或某一行）减去另一列（或行）的$k$倍，得到的新行列式的值等于原行列式的值乘以$k$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}}+k a_{j} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}}& {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} &{a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{j}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots}& {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|$4. 行列式的行列成比例如果一个行列式的某两行或某两列成比例，那么该行列式的值为$0$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {k a_{i 1}} & {k a_{i 2}} & {\cdots} & {k a_{i n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\{a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} & {a_{j}}\end{array}\right|=0$其中$\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)$和$\left(a_{j 1},a_{j 2}, \cdots, a_{j n}\right)$是比例行列式的两行，$k$是一个非零实数。
矩阵与行列式的运算与特性总结
矩阵与行列式的运算与特性总结矩阵与行列式是线性代数中重要的概念，它们在各个领域中都有广泛的应用。
本文将对矩阵与行列式的运算与特性进行总结，并介绍其在数学和科学中的应用。
一、矩阵的基本概念与运算1.1 矩阵的定义与表示矩阵是由若干个数按一定的规则排列成的矩形阵列。
一般用大写字母表示矩阵，如A、B等。
矩阵的行数和列数分别表示矩阵的阶数。
1.2 矩阵的运算矩阵的运算包括矩阵的加法、减法和乘法。
两个矩阵可以相加或相减的条件是它们的阶数相同，对应位置上的元素进行相加或相减。
矩阵的乘法要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，运算结果的行数与第一个矩阵的行数相同，列数与第二个矩阵的列数相同。
1.3 矩阵的转置与逆矩阵矩阵的转置是将矩阵的行变为列，列变为行得到的新矩阵。
逆矩阵是满足乘法交换律的矩阵，即矩阵与其逆矩阵相乘等于单位矩阵。
二、行列式的基本概念与特性2.1 行列式的定义与性质行列式是一个与矩阵相关的数值，用来表示线性方程组的解的情况。
行列式的值为零表示线性方程组无解，非零表示线性方程组有唯一解或无数解。
2.2 行列式的性质行列式具有以下特性：- 行列式与其转置行列式相等；- 行列式的两行（列）互换，行列式变号；- 行列式的某一行（列）乘以常数，等于常数乘以行列式；- 行列式的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变。
2.3 行列式的运算行列式的运算包括代数余子式、余子式、伴随矩阵和逆矩阵等。
代数余子式是行列式中每个元素对应的余子式乘以(-1)的幂次，而余子式是去掉某一行和某一列后所得到的行列式。
伴随矩阵是将原矩阵中的元素换成对应的代数余子式，并且将矩阵转置。
逆矩阵是满足矩阵与其逆矩阵相乘等于单位矩阵的矩阵。
三、矩阵与行列式的应用3.1 线性方程组的求解矩阵与行列式的概念广泛应用于线性方程组的求解。
通过将系数矩阵与常数向量组成增广矩阵，并进行初等行变换，可以求得方程组的解或判断方程组是否有解。
3.2 统计学中的应用矩阵与行列式在统计学中也有重要的应用。
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第62课矩阵、行列式的运算及性质【教学目标】1. 理解矩阵的概念,掌握矩阵的算法,会利用矩阵解线性方程组。
2. 理解行列式的概念,掌握行列式的算法,会利用行列式判断二元(三元)一次方程组解的情况,了解三阶行列式的性质并能运用于计算。
【教学难点】1. 会利用矩阵解线性方程组2. 利用行列式判断二元(三元)一次方程组解的情况。
【教学重点】1.用矩阵表示实际问题中的相关量,运用矩阵的运算解决实际问题。
2.二阶(三阶)行列式的算法, 利用行列式判断二元(三元)一次方程组解的情 况。
【知识整理】1．矩阵是一个数表,可以用来表示块状数据；2．矩阵的运算，如：加法、减法、数乘、乘法等； 3．矩阵的基本变换。
４．行列式是表示特定算式的记号，其结果是一个数；５．对于给定的方程组，能正确找出D 、x D 、y D ，并根据它们的值判断方程组解的情况，或写出方程组的解。
【例题解析】【属性】高三，矩阵，矩阵，解答题，中，运算【题目】已知矩阵279315A ⎛⎫=⎪--⎝⎭，314026B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，6411103C -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，计算： （1）()A B C +； （2）()B C A +； （3）B A C A +；（4）从上述计算结果中你能得到什么结论？【解答】（1）11110()2413A B C ⎛⎫+=⎪-⎝⎭；（2）151842()234610131133B C A ---⎛⎫⎪+=-- ⎪ ⎪---⎝⎭；（3）151842234610131133BA CA ---⎛⎫⎪+=-- ⎪ ⎪---⎝⎭；（4）矩阵运算不满足交换率，但满足分配率。
【属性】高三，矩阵，矩阵，解答题，中，运算【题目】一家水果店出售5种水果，它们的单价和利润如表1所示。
该家水果店的经理要在计算每笔生意营业额的同时，计算该笔生意的利润额。
假设现有3位顾客购买水果，他们的购买量如表2所示。
试计算每笔生意的营业额和利润额。
表1：表2：【解答】设1058.5320155 2.5515101087.5A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，36.54.558B ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭，0.51.511.21.3C ⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；AB =131.75172.5255⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，即三位顾客的营业额分别为131.75元，172.5元和225元，共计559.25元；27.23751.85AC ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，即三位顾客的利润分别为27.2元，37元和51.85元，共计116.55元。
【属性】高三，矩阵，矩阵，解答题，中，数学探究与创新能力【题目】用矩阵变换方法解下列问题：（1）若方程组2(1)(1)4x y k x k y +=⎧⎨-++=⎩的解x 与y 相等，求k 的值。
（2）有黑白两种小球各若干个，且同色小球质量均相等，在如下图所示的两次称量的 天平恰好平衡，如果每只砝码质量均为5克，每只黑球和白球的质量各是多少克？【解答】（1）1121121121140262013k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−→−−→⎪ ⎪⎪-+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭101013k k -⎛⎫−−→⎪-⎝⎭解得13x k y k=-⎧⎨=-⎩，由题意知：13k k -=-求得：2k =。
（2）设黑球和白球的质量各为x 、y 千克，则由题意知：25310x y x y +=⎧⎨+=⎩ 通过矩阵变换1251251251033110055011011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−→−−→−−→⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得：黑球每个3千克，白球每个1千克。
【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，解答题，中，运算 【题目】展开下列行列式，并化简： （1）10937--； （2）121m m mm +++； （3）sin cos sin cos ααββ-【解答】（1）97； （2）1； （3）sin()αβ-+。
【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，解答题，中，分析问题解决问题第一次称量第二次称量【题目】关于,,x y z 的方程组212x y z x y m z m x z m ++=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩有唯一解，求m 满足的条件，并求出唯一解。
【解答】22111111011D m m ==-≠，1m ≠±，方程组有唯一解的条件是1m ≠±；2321111231(1)(221)201xDm m m m m m m m ==-+=-+-，23221111221(1)(21)121yDm m m m m m m m m ==-++-=--+-，11111112z D m m m==-，方程组的解为22221211(,,)111m m m m m m m +-+-+++。
【课堂反馈】【属性】高三，矩阵，矩阵，填空题，中，运算 【题目】已知1111A ⎛⎫= ⎪--⎝⎭，1111B-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则A B = ，BA =； 。
【解答】0000⎛⎫⎪⎝⎭2222⎛⎫ ⎪--⎝⎭【属性】高三，矩阵，矩阵，填空题，易，运算【题目】已知矩阵x 满足10413231x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则x = 。
【解答】 2.50.51.50.5⎛⎫⎪⎝⎭【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，填空题，中，分析问题解决问题 【题目】把22111133332223a b a b a b a b a b a b +-表示成三阶行列式 。
【解答】112233123a b a b a b --【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，填空题，易，分析问题解决问题【题目】若关于,x y 的方程组12m x y m x m y m +=+⎧⎨+=⎩无解，则实数m的值为 。
【解答】-1 【课堂小结】主要方法：1．将实际问题中的数据用矩阵表示；2．运用矩阵的运算对实际问题中的数据进行分析、处理； 3．运用矩阵的基本变换解线性方程组。
４．行列式的算法：①按对角线展开，②按某行（列）展开的算法；５．运用行列式解方程组时，应把方程组化为标准形式，以便得到正确的D 、x D 、y D ， 然后在理解方程组解得几种情况的基础上给出正确解答。
【课后作业】【属性】高三，矩阵，矩阵，填空题，中，运算【题目】12x A y⎛⎫=⎪⎝⎭和43mB n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若A B =时，则log mn y x += . 【解答】由1423x m y n ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =，2n =，3y =，4x = ∴12log 3log 45m n y x +=+=评注：矩阵相等必须满足行数和列数分别相等，而且对应位置的元素也要相等.【属性】高三，矩阵，矩阵，填空题，难，分析问题解决问题【题目】已知矩阵0110A -⎛⎫=⎪-⎝⎭，则向量(2,3)经过矩阵A 变换后所得的向量为 ，矩阵A 对向量(2,3)产生的变换是 .【解答】∵0110A -⎛⎫=⎪-⎝⎭是一个22⨯的矩阵，而向量可以看成是12⨯的矩阵 ∴向量(2,3)经过矩阵A 变换可以写成01(23)(32)10-⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭可知(3,2)--与(2,3)关于直线y x =-对称.评注：向量(2,3)为行向量的形式，因此用矩阵0110A -⎛⎫=⎪-⎝⎭右乘(23). 如果向量(2,3)写作列向量23⎛⎫⎪⎝⎭的形式，则用矩阵0110A -⎛⎫=⎪-⎝⎭要左乘23⎛⎫ ⎪⎝⎭，即01231032--⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同样可以得到(3,2)--与(2,3)关于直线y x =-对称. 【属性】高三，矩阵，矩阵，填空题，中，运算 【题目】若()X xy =，()12C c c =，且二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩可以写成矩阵形式X A C =，则矩阵A = .【解答】由XA C =，得()()12xy A c c =，∴1212a a A b b ⎛⎫=⎪⎝⎭评注：矩阵1212a a A b b ⎛⎫=⎪⎝⎭实际上是系数矩阵的转置. 二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩还可以写成矩阵形式111222a b c x a b c y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()x y 与x y ⎛⎫⎪⎝⎭互为转置，()12c c 与12c c ⎛⎫⎪⎝⎭互为转置. 【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，填空题，易，运算 【题目】满足条件034312≤++x x 的x 的值是_____________)(N x ∈。
【解答】0或1【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，填空题，易，运算【题目】若3=dcb a ，且1-=feb a ，则=++fd ec b a 2233_______________。
【解答】３【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，填空题，中，数学探究与创新能力【题目】分别编写一个二元一次方程组，使它们满足：（1）0===y x D D D ： ；（2）0,0==≠y x D D D ： ；（3）0,0,0≠≠≠y x D D D ： 。
【解答】略【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，解答题，中，分析问题解决问题【题目】已知甲、乙、丙三种合金中，铜、金、铬的含量如下表：如果要配置23千克的合金，且含铬149克，含金30克，那么三种合金各需多少千克？（不计损耗）【解答】据题意设合金中甲x 克，乙y 克，丙z 克，得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++304.16.021********z y x z y x z y x 。
4.54.16.025108111-==D ，2.164.16.0305101491123-==x D ，274.1302514981231-==y D ，81306.021*******11-==z D ，∴方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧===1553z y x 。
答：合金中需要甲3克，乙5克，丙15克。
【题目资源】【属性】高三，矩阵，矩阵，填空题，易，运算【题目】已知754121312,111541111A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则2A B += ，3A B -= ；【解答】15129735993⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭411021812-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，填空题，易，运算【题目】在三阶行列式111222333a b c a b c a b c 中，元素2b 的代数余子式是 【解答】1133a c a c【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，填空题，易，运算【题目】将代数式xy ab -表示成行列式 ；【解答】x a by【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，填空题，易，运算【题目】sin cos sin cos ααββ-＝【解答】sin()αβ-+【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，选择题，中，运算 【题目】函数34cos sin -=x x y 在]2,0[π∈x 上的值域为 （ ）（A ）]5,5[- （B ）]5,0[ （C ）]5,3[ （D ）]5,4[【解答】Ｄ【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，选择题，中，分析问题解决问题【题目】ABC ∆中，角B A 、和边b a 、满足行列式0cos cos =ABb a ，则ABC ∆是 （ ） （A ）等腰三角形 （C ）直角三角形（C ）等腰直角三角形 （D ）等腰三角形或直角三角形 【解答】Ｄ【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，选择题，中，分析问题解决问题【题目】设二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 恰有一组解),(βα，则方程组⎩⎨⎧=+=+222111325325c y b x a c y b x a 的解=),(y x （ ）（A ）(），（βα2353（B ）），（25βα（C ）），（βα33 （D ）），（βα615 【解答】Ａ【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，选择题，易，分析问题解决问题【题目】若关于y x ,的二元一次方程组⎩⎨⎧=++=+mmy x m y mx 21无解，则m 的值为 （ ）（A ）1± （B ）1 （C ）1- （D ）不存在 【解答】Ｃ【属性】高三，矩阵，矩阵，填空题，易，运算 【题目】已知1123A -⎛⎫=⎪⎝⎭，则1A -= ；【解答】0.60.20.40.2⎛⎫⎪-⎝⎭【属性】高三，行列式的运算及性质，行列式的运算及性质，填空题，中，数学探究与创新能力【题目】把643179231592642-+--表示成一个三阶行列式： 。