12.4(1)椭圆的基本性质课件
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椭圆的课件ppt
$y=bsintheta$。
对于长轴在y轴上的椭圆，参 数方程为：$x=bsintheta$,
$y=acostheta$。
其中，$theta$为参数，表示 椭圆上的点与长轴之间的夹角。源自05椭圆的作图方法
椭圆的基本作图方法
定义法
根据椭圆的定义，通过两个固定 点（焦点）和一根线段（焦距） 来绘制椭圆。
椭圆的任意两个不同点与椭圆中 心的连线形成的角为直角或锐角
。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程为 $x = a cos theta, y = b sin theta$，其中 $theta$ 是参数。
该方程描述了椭圆上任意一点 $P$ 的坐标与参数 $theta$ 的 关系。
通过参数方程，可以方便地研 究椭圆的几何性质和运动轨迹 。
离心率与长短轴关系
离心率与长短轴之间存在反比关系，即长轴越短，离心率越大；短轴 越短，离心率越小。
椭圆的对称性
对称性定义
椭圆关于坐标轴和原点对 称。
对称轴
椭圆有两条对称轴，分别 是长轴和短轴所在的直线 。
对称中心
椭圆的中心称为对称中心 ，是椭圆上任意一点关于 对称轴的对称点。
03
椭圆的几何应用
椭圆在几何图形中的应用
当 $a > b$ 时，椭圆呈横向；当 $a < b$ 时，椭圆呈纵向。
该方程描述了一个平面上的二维椭圆 ，其中心位于原点，长轴位于x轴上。
椭圆的几何性质
椭圆是一个封闭的二维曲线，由 两个焦点和其上的所有点组成。
椭圆的两个焦点到任意一点 $P$ 的距离之和等于椭圆的长轴长度 ，即 $|PF_1| + |PF_2| = 2a$。
01
椭圆在几何图形中可以作为椭圆 形的绘制基础，如椭圆形的车轮 、椭圆形的镜子等。
对于长轴在y轴上的椭圆，参 数方程为：$x=bsintheta$,
$y=acostheta$。
其中，$theta$为参数，表示 椭圆上的点与长轴之间的夹角。源自05椭圆的作图方法
椭圆的基本作图方法
定义法
根据椭圆的定义，通过两个固定 点（焦点）和一根线段（焦距） 来绘制椭圆。
椭圆的任意两个不同点与椭圆中 心的连线形成的角为直角或锐角
。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程为 $x = a cos theta, y = b sin theta$，其中 $theta$ 是参数。
该方程描述了椭圆上任意一点 $P$ 的坐标与参数 $theta$ 的 关系。
通过参数方程，可以方便地研 究椭圆的几何性质和运动轨迹 。
离心率与长短轴关系
离心率与长短轴之间存在反比关系，即长轴越短，离心率越大；短轴 越短，离心率越小。
椭圆的对称性
对称性定义
椭圆关于坐标轴和原点对 称。
对称轴
椭圆有两条对称轴，分别 是长轴和短轴所在的直线 。
对称中心
椭圆的中心称为对称中心 ，是椭圆上任意一点关于 对称轴的对称点。
03
椭圆的几何应用
椭圆在几何图形中的应用
当 $a > b$ 时，椭圆呈横向；当 $a < b$ 时，椭圆呈纵向。
该方程描述了一个平面上的二维椭圆 ，其中心位于原点，长轴位于x轴上。
椭圆的几何性质
椭圆是一个封闭的二维曲线，由 两个焦点和其上的所有点组成。
椭圆的两个焦点到任意一点 $P$ 的距离之和等于椭圆的长轴长度 ，即 $|PF_1| + |PF_2| = 2a$。
01
椭圆在几何图形中可以作为椭圆 形的绘制基础，如椭圆形的车轮 、椭圆形的镜子等。
高中数学椭圆课件
已知椭圆的一个焦点到椭圆上任意一点的距离的 最小值为4，求椭圆的标准方程。
题目4
已知椭圆上任意一点P与椭圆中心O的距离为d， 求点P到椭圆两个焦点的距离之差的绝对值。
答案3
根据椭圆的性质，焦点到椭圆上任意一点的距离 的最小值为半短轴b。已知这个距离的最小值为4 ，可以得出半短轴b=4。由于没有给出半长轴a的 具体数值，所以无法确定椭圆的标准方程。
注意事项：避免常见错误和陷阱
方程形式
注意椭圆的标准方程形式，不要混淆不同的形式 。
焦点位置
注意焦点的位置，有时题目中没有明确指出焦点 的位置，需要自己判断。
参数范围
在解题时，要注意参数的范围，不要超出范围进 行计算。
单位长度
在计算时，要注意单位长度的一致性，不要出现 单位不匹配的情况。
06
椭圆的练习题与答案解析
已知椭圆的一个焦点到 椭圆上任意一点的距离 和为10，求椭圆的标准 方程。
根据椭圆的定义，任意 一点到两个焦点的距离 之和为常数，这个常数 等于长轴的长度。已知 这个距离和为10，可以 得出半长轴a=5。由于 没有给出半短轴b的具 体数值，所以无法确定 椭圆的标准方程。
提高练习题：挑战更高难度
题目3
椭圆的准线与焦点
定义
椭圆的准线是指与椭圆焦点距离 相等的点所在的直线。
性质
准线与椭圆相交于四个点，这四 个点称为椭圆的焦点。焦点到椭 圆中心的距离称为焦距。
03
椭圆的方程求解方法
直接法求解椭圆方程
定义椭圆
根据椭圆的定义，确定椭圆的标准方程。
确定参数
根据椭圆的标准方程，确定参数a、b、c的值。
求解方程
高中数学椭圆课件
目
CONTENCT
题目4
已知椭圆上任意一点P与椭圆中心O的距离为d， 求点P到椭圆两个焦点的距离之差的绝对值。
答案3
根据椭圆的性质，焦点到椭圆上任意一点的距离 的最小值为半短轴b。已知这个距离的最小值为4 ，可以得出半短轴b=4。由于没有给出半长轴a的 具体数值，所以无法确定椭圆的标准方程。
注意事项：避免常见错误和陷阱
方程形式
注意椭圆的标准方程形式，不要混淆不同的形式 。
焦点位置
注意焦点的位置，有时题目中没有明确指出焦点 的位置，需要自己判断。
参数范围
在解题时，要注意参数的范围，不要超出范围进 行计算。
单位长度
在计算时，要注意单位长度的一致性，不要出现 单位不匹配的情况。
06
椭圆的练习题与答案解析
已知椭圆的一个焦点到 椭圆上任意一点的距离 和为10，求椭圆的标准 方程。
根据椭圆的定义，任意 一点到两个焦点的距离 之和为常数，这个常数 等于长轴的长度。已知 这个距离和为10，可以 得出半长轴a=5。由于 没有给出半短轴b的具 体数值，所以无法确定 椭圆的标准方程。
提高练习题：挑战更高难度
题目3
椭圆的准线与焦点
定义
椭圆的准线是指与椭圆焦点距离 相等的点所在的直线。
性质
准线与椭圆相交于四个点，这四 个点称为椭圆的焦点。焦点到椭 圆中心的距离称为焦距。
03
椭圆的方程求解方法
直接法求解椭圆方程
定义椭圆
根据椭圆的定义，确定椭圆的标准方程。
确定参数
根据椭圆的标准方程，确定参数a、b、c的值。
求解方程
高中数学椭圆课件
目
CONTENCT
椭圆的几何性质ppt课件
的对称轴，坐标原点是对称中心. 椭圆的对称中
（3）顶点
在方程①中，令
= 0，得
轴有两个交点，可以记作
=−
作
或
1 (0,
− )，
交点，即
的顶点.
= ，可知椭圆
2 (0,
1， 2
和
=−
1(
或
− ,0)，
与
). 因此，椭圆
= ，可知椭圆
2(
,0)；令
与
= 0 ，得
轴也有两个交点，可以记
与它的对称轴共有 4 个
=− ， = ， =− ， =
x
a 且 b
y
b ，这说明，椭圆
所围成的矩形内，如图所示.
（2）对称性
如果 ( , ) 是方程①的一组解，则不难看出，( − , )，( , − )，( − , − )
都是方程的解，这说明椭圆
因此，
轴、
心也称为椭圆的中心.
关于
轴是椭圆
轴、
轴、坐标原点对称，如图所示.
1 ， 2 ，如图所示，这四个点都称为椭圆
注意到
1 2
椭圆的长轴，线段
=2 ，
1
而且椭圆的长轴长为 2
2
1 2
=2
，而且
>
> 0 ，所以线段
1 2
称为
称为椭圆的短轴. 显然，椭圆的两个焦点在它的长轴上，
，短轴长为 2 .
于是， ，
距为 2 ，则
分别是椭圆的半长轴长和半短轴长，如果设椭圆的焦
是椭圆的半焦距，由
轴上的椭圆是一致的，如图所示.
例 1 求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率：
椭圆ppt课件
02
椭圆的绘制方法
几何法绘制椭圆
固定两点法
选取两个固定点，利用细线、笔 和画板，通过细线两端分别绕两 个固定点旋转绘制椭圆。
圆心与半径法
选取一个圆心，以不同半径分别 用圆规画出两个相交的圆，连接 两个交点得到椭圆的长短轴，再 绘制椭圆。
代数法绘制椭圆
标准方程法
根据椭圆的标准方程，确定长短轴长度和中心位置，利用坐标纸和直尺绘制椭圆 。
椭圆的几何性质
焦点
椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，距离原点分别为c。
长轴和短轴
椭圆有两条对称轴，分别是长轴和短轴。长轴通过两个焦 点，短轴与长轴垂直。长轴长度为2a，短轴长度为2b。
离心率
椭圆的离心率e定义为c/a，它描述了椭圆的扁平程度。 0<e<1时，椭圆越扁平；e=0时，椭圆变为圆；e>1时， 椭圆不存在。
椭圆形储罐
椭圆形储罐结构受力均匀 ，节省材料，常用于石油 、化工等行业的聚焦于一点，应用于望 远镜、卫星天线等光学设 备中。
经济学中椭圆的应用
生产可能性边界
生产可能性边界呈椭圆形，表示 在一定资源和技术条件下，两种
产品最大可能产量的组合。
效用函数
在消费者选择理论中，效用函数常 用椭圆函数形式来描述消费者在无 差异曲线上的偏好。
参数方程法
根据椭圆的参数方程，设定参数范围和步长，利用计算器或计算机软件生成椭圆 上的离散点，再连接成椭圆。
电脑绘图软件绘制椭圆
绘图软件工具
使用绘图软件中的椭圆工具，通过鼠标点击和拖动直接在画 布上绘制椭圆。
自定义绘制
利用绘图软件的编程功能，编写自定义的椭圆绘制程序，实 现更复杂的椭圆绘制需求。
03
椭圆的应用举例
椭圆的几何性质优秀课件公开课
切线斜率与法线斜率互为相反数的倒数。
3
切线、法线与椭圆关系
切线、法线都与椭圆在切点处有且仅有一个公共 点。
应用举例：求解相关问题
求给定点的切线方程
给定椭圆上一点，求该点的切线方程。
求给定斜率的切线方程
给定椭圆的方程和切线的斜率，求切线的 方程。
求椭圆与直线的交点
利用切线、法线解决最值问题
给定椭圆和直线的方程，求它们的交点坐 标。
加空间的变化和美感。
椭圆在物理学中的应用
天体运动轨道
椭圆是描述天体运动轨道的重要几何形状之一， 如行星绕太阳的轨道就是椭圆形的。
光学性质
椭圆的光学性质也被广泛应用于物理学中，如椭 圆形的透镜、反射镜等。
电磁学
在电磁学中，椭圆也被用于描述电场和磁场的分 布。
椭圆在工程学中的应用
机械工程
01
椭圆在机械工程中应用广泛，如椭圆形的齿轮、轴承等机械零
工程学
在工程学中，椭圆也经常被用来描述一些物体的形状或运动轨迹。例如，一些机械零件的 截面形状就是椭圆形的；在航空航天领域，飞行器的轨道也可能是椭圆形的。
数学及其他领域
在数学领域，椭圆作为一种重要的几何图形，经常被用来研究一些数学问题。此外，在物 理学、经济学等其他领域，椭圆也有着广泛的应用。
02
从椭圆外一点向椭圆引切线，切线长 相等。这个定理在解决与椭圆切线有 关的问题时非常有用。
03
椭圆上点与焦点关系
点到两焦点距离之和为定值
椭圆上任意一点到两 个焦点的距离之和等 于椭圆的长轴长。
通过该性质，可以推 导出椭圆的其他几何 性质。
这是椭圆定义的基础 ，也是椭圆最基本的 几何性质之一。
点到两焦点距离差与长轴关系
3
切线、法线与椭圆关系
切线、法线都与椭圆在切点处有且仅有一个公共 点。
应用举例：求解相关问题
求给定点的切线方程
给定椭圆上一点，求该点的切线方程。
求给定斜率的切线方程
给定椭圆的方程和切线的斜率，求切线的 方程。
求椭圆与直线的交点
利用切线、法线解决最值问题
给定椭圆和直线的方程，求它们的交点坐 标。
加空间的变化和美感。
椭圆在物理学中的应用
天体运动轨道
椭圆是描述天体运动轨道的重要几何形状之一， 如行星绕太阳的轨道就是椭圆形的。
光学性质
椭圆的光学性质也被广泛应用于物理学中，如椭 圆形的透镜、反射镜等。
电磁学
在电磁学中，椭圆也被用于描述电场和磁场的分 布。
椭圆在工程学中的应用
机械工程
01
椭圆在机械工程中应用广泛，如椭圆形的齿轮、轴承等机械零
工程学
在工程学中，椭圆也经常被用来描述一些物体的形状或运动轨迹。例如，一些机械零件的 截面形状就是椭圆形的；在航空航天领域，飞行器的轨道也可能是椭圆形的。
数学及其他领域
在数学领域，椭圆作为一种重要的几何图形，经常被用来研究一些数学问题。此外，在物 理学、经济学等其他领域，椭圆也有着广泛的应用。
02
从椭圆外一点向椭圆引切线，切线长 相等。这个定理在解决与椭圆切线有 关的问题时非常有用。
03
椭圆上点与焦点关系
点到两焦点距离之和为定值
椭圆上任意一点到两 个焦点的距离之和等 于椭圆的长轴长。
通过该性质，可以推 导出椭圆的其他几何 性质。
这是椭圆定义的基础 ，也是椭圆最基本的 几何性质之一。
点到两焦点距离差与长轴关系
椭圆的简单几何性质(共29张)-完整版PPT课件
x2 y2 1(a b 0) a2 b2 -a ≤ x≤ a, - b≤ y≤ b
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
-a ≤ y ≤ a, - b≤ x ≤ b
对称性
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
顶点坐标
焦点坐标 半轴长
离心率
a、b、c 的关系
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b)
则|PayF22 1|=bx22a+（1eya0>，b>|P0F）2同|=下理a焦:-eya点c02P。F为2其x0F中1a，c|P上F1焦|、点|P为FF2|叫2，焦P0半（径x0.,y0）为椭圆上一点，
c a2
PF2
( a
c
x0 ) a ex0
本堂检测
练习：P42 T2、3、5
D 1.椭圆
即离心率是反映椭圆扁平程度的一个量。
结论：离心率越大，椭圆越扁； 离心率越小，椭圆越接近圆。
思考：当e＝0时，曲线是什么？
当e＝1时曲线又是什么？
[3]e与a,b的关系:
e c a
a2 b2 a2
b2 1 a2
内容升华
两个范围，三对称 四个顶点，离心率
定义 标准方程
与两个定点F1、F2 的距离的和等于常数(大于 |F1F2|)
c
三、椭圆的焦半径公式
已知椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)上一点P的横坐标是x0 ,
F1、F2分 别 是 椭 圆
PF1 a ex0 , PF2
的 左 、 右 焦点
a ex0。
，
且e为
离
心率
Y
，
则
椭圆的简单几何性质 课件
例 2、已知椭圆 x2 y2 1 ,直线 l: 4x 5 y 40 0,椭圆 25 9
上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?
分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4x 5 y 40 0的距离的表达式.
d 4x0 5 y0 40 4x0 5 y0 40
1(a
b 0)
3.椭圆中a,b,c的关系是:
a2=b2+c2
我们用椭圆的标准方程
x2 a2
y2 b2
1a
b
0
1
来研究椭圆的几何性质.
上面从椭圆的定义几何特征出发建 立了
椭圆的标准方程.下面再利用椭圆的标准方 程研究它的几何性质,包括椭圆的形状、大 小、对称性和位置等.
y
O
x
观察
观
察
椭
圆x a
42 52
41
且 x02 y02 1 25 9
例 3、已知椭圆 x2 y2 1 ,直线 l: 4x 5 y 40 0,椭圆
25 9 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?
解:设直线 m 平行于直线 l，则
直线 m 的方程可写成 4x 5 y k 0
l
m
4x 5y k 0
_A_1_(_－__a_，__0_)、__A__2(_a_，__0_) _B_1_(_0_，__－__b_)、__B__2(_0_，__b_)
焦点在y轴上 __－__b_≤_x_≤__b_ _且__－__a_≤__y≤__a__
_A_1_(_0_，__－__a_)、__A__2(_0_，__a_) _B_1_(_－__b_，__0_)、__B__2(_b_，__0_)
椭圆的几何性质课件
13:20:35
21
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:20:35
22
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:20:35
23
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:20:35
24
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:20:35
3.椭圆中a,b,c的关系是:
13:20:34
c2 a2 b2
1
一、椭圆的范围
由
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
1
和
y2 b2
1
即 x a和 y b
y
y=b
-a≤x≤a , -b≤y≤b x =-a
由
x =a
o
x
y = -b
13:20:34
3
二、椭圆的对称性 y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
令 x=0，得 y=？说明椭圆与 y轴的交点？ y
B2 (0,b)
A1
y2
2
b
=1
13:20:36
51
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:20:36
52
y
· · F1
o F2
椭圆的简单几何性质课件培训讲解
03
CHAPTER
椭圆的面积与周长
椭圆的面积
1 2
椭圆面积
椭圆的面积可以通过其长半轴和短半轴的长度计 算得出，公式为$S = pi ab$，其中$a$是长半轴 长度，$b$是短半轴长度。
面积计算
在已知椭圆的长半轴和短半轴长度的情况下，可 以直接代入公式计算出椭圆的面积。
3
面积与长、短半轴关系
椭圆的面积与其长半轴和短半轴的长度密切相关， 当长半轴和短半轴长度发生变化时，椭圆的面积 也会相应地发生变化。
转换的意义
在实际应用中，经常需要在直角坐标系和极坐标系之间进行转换。例如，在物理学、工程学和天文学等领域中， 许多问题可以通过极坐标或直角坐标方便地描述和解决。因此，掌握这两种坐标之间的转换方法对于解决实际问 题非常重要。
06
CHAPTER
椭圆的几何性质在生活中的 应用
地球轨道的椭圆性质
总结词
地球的轨道是椭圆形的，这是天文学和地理学中一个重要的 知识点。
椭圆的简单几何性质课件培训 讲解
目录
CONTENTS
• 椭圆的定义与性质 • 椭圆的焦点与离心率 • 椭圆的面积与周长 • 椭圆的切线与切点性质 • 椭圆的对称性与极坐标表示 • 椭圆的几何性质在生活中的应用
01
CHAPTER
椭圆的定义与性质
椭圆的定义
椭圆是平面内与两个定点F1、 F2的距离之和等于常数（大于
工程设计中的椭圆应用
总结词
在工程设计中，椭圆也有着广泛的应用。
详细描述
例如桥梁、建筑和机械零件的设计中，经常需要使用到椭圆的几何性质。特别是 在结构稳定性和力学分析方面，椭圆的几何性质发挥了重要的作用。
THANKS
椭圆复习课件
椭圆复习课件椭圆是平面上的一个特殊的几何图形，它具有许多独特的性质和特点。
本文将通过复习课件的形式，系统地介绍椭圆的基本定义、性质以及相关的公式和定理。
下面将分为三个部分进行椭圆的复习：椭圆的定义与基本性质、椭圆的方程与坐标系以及椭圆的焦点、准线与焦准线定理。
一、椭圆的定义与基本性质1.1 定义椭圆可以由一个固定点F（称为焦点）到平面上所有点P的距离之和等于一个常数2a（称为长轴的长度）来定义。
椭圆上的点集满足条件：PF1 + PF2 = 2a。
1.2 基本性质椭圆有以下几个基本性质：- 椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，其中b < a。
- 椭圆的长轴与短轴的交点为两个焦点F1和F2，它们与椭圆的中心C共线。
- 椭圆的离心率e = c / a，其中c是焦点到中心的距离。
- 椭圆的离心率0 < e < 1，且离心率越小，椭圆越狭长。
二、椭圆的方程与坐标系2.1 点的坐标表示在平面直角坐标系中，椭圆的中心C可表示为坐标（h，k），焦点F1和F2的坐标分别为（h ± c，k），其中c为焦距。
椭圆上的点P可表示为（x，y）。
2.2 椭圆的标准方程椭圆的标准方程为(x - h)² / a² + (y - k)² / b² = 1。
其中，a为长轴的长度，b为短轴的长度，（h，k）为椭圆的中心坐标。
2.3 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为x = h + a * cosθ，y = k + b * sinθ，其中θ为参数。
三、椭圆的焦点、准线与焦准线定理3.1 焦点与准线椭圆的焦点F1和F2分别位于长轴上，且焦点到中心的距离等于c= √(a² - b²)。
椭圆的准线为通过焦点F1和F2的直线，即长轴上的两个交点连线。
3.2 焦准线定理焦准线定理是椭圆的重要性质之一。
对于椭圆上的任意一点P，设直线l过焦点F1并且与椭圆不相交，过点P作直线与直线l交于点Q，则PF1 / PQ = e，其中e为椭圆的离心率。
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12.4椭圆的性质(1)
标准方程
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
y
y
P
不
图形
F2 P
同
F1 O F2
x
O
x
F1
点
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
相
定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
1、中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，
若短轴长为6，且过点(1,4)，则其标准方程 是 y2 x2 . 1
18 9
2、中心在原点,焦点在坐标轴上,若长轴长为18,
且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程
是
x2 y2 1或 y2 .x2 1
81 72 81 72
提示：∵2a=18,2c= 13×2a=6
⑵长轴长等于20，短轴长等于16。
（1）解：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对
称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于
是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短
轴的一个端点，故a＝3，b＝2，故椭圆的标准方
程为
x2 y2 1
94
⑵ x2 y2 1或 y2 x2 1
100 64
100 64
例3.如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地
心（地球的中心）F2为一个焦点 的椭圆。已知它的近地点A（离 地面最近点）距地面439km，远地点B（离地面最远的点）距地
面 6327318k4mk.m求，卫并星且运F行2、的A轨、道B方在程同（一精直确线到上1，k地m球）y半径约为 分析：
a-c=|OA|-|OF2|=|F2A|
=|F2A1|+|A1A|=6371+439=6810
方程 图形
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y B2
O A1 F1
F2 A2 x
B1
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
A2 y
F2
B2
B1
O
x
F1
A1
范围 a x a,b y b a y a,b x b
对称性
关于x轴、y轴、原点对称
A1(-a,0), A2(a,0)
顶点
B1(0,-b), B2(0,b)
同 点
a、b、c 的关系
a2 = b2 + c2
焦点位置的判断 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
椭圆的性质—研究问题
方程：x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
1、特殊点：
令x=0,则y2=b2, 即y=±b;
令y=0,则x2=a2, 即x=±a,
Y
B2
A1
ba
A2
F1 O c F2
X
B1
从图象上看A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)， 外加F1(-c,0),F2(c,0).
∴a=9,c=3,b2=81-9=72
. 2c. 2a
练：已知x轴上的一定点A（1,0），Q为椭
圆x2 y2 1
4 上的y 动点，求AQ中点M的轨迹方程.
Q
解：设动点M的坐标为(x,y)，
M
则Q的坐标为(2x-1,2y)
-2
O A 2 x 因为Q点为椭圆 x2 y2 1
上的点
4
所以有 (2x 1)2 (2 y)2 1 4
根据前面所学有关知识画出下列图形
（1）
x2 y2 1
25 16
（2） x2 y2 1 25 4
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2
-3
-4 B1
y
4
3 2
B2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2 -3
B1
-4
两种标准方程的椭圆性质的比较
即 (x 1)2 4y2 1
2 所以点M的轨迹方程是 (x
1)2
4y2
1
2
线段A1A2叫长轴，其长度等于2a; 线段B1B2叫短轴，其长度等于2b; 线段F1F2叫焦距，其长度等于2c.
► a、b、c的几何意义
y B1 (0,b)
(-a,0)
b
a c
A1
F1
O
F2
(a,0)
A2 x
B2(0,-b)
a2 b2 c2
B1F1 B1F2 B2F1 B2F2 a
Y
49
椭圆的长轴长等于6，短轴长等于4，焦点坐标为F1 0,- 5 、F2 0, 5 ,
顶点坐标是A1 0, 3、A2 0,3、B1 2,0、B2 2,0.
2设与椭圆 x2 4
y2 9
1同焦点的椭圆的方程为 x2 b2
y2 b2 5
1
b R
例3：求适合下列条件的椭圆的标准方程
⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；
A1(0,-a), A2(0,a) B1(-b,0), B2(b,0)
例1.已知椭圆的方程为9x2 4 y2 36.
1 求它的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标.
2写出与椭圆9x2 4 y2 36有相同焦点的至少
两个不同的椭圆方程
解：19x2 4 y2 36 x2 y2 1 a 3,b 2, c a2 b2 5.
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
2、对称性：
B2
ba
A1
A2
F1 O c F2
X
B1
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。
从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；
（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变， 图象关于原点成中心对称。
x2 a2
y2 b2：
Y
B2
ba
A1
A2
F1 O c F2
X
从图象上看： -a≤x≤a,-b≤y≤b
B1
从方程看：x2
a2
1
y2 b2
1
x2
a2
a
x
a
y2 b2
1
x2 a2
1
x2
b2
b
y
b
故整个椭圆位于y b, x a所围成的矩形内。
4、特殊三角形:
观察直角三角形B2OF2 , 关系式:a2=b2+c2
a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|
B
F1 F2
B1
o
A1 A x
=|F2B1|+|B1B|=6371+2384=8755 解得 a=7782.5 c=972.5
b a2 b2 a ba b 8755 6810 7722
卫星的轨道方程是:
x2 7783 2
y2 7722 2
1
.
练习:
标准方程
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
y
y
P
不
图形
F2 P
同
F1 O F2
x
O
x
F1
点
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
相
定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
1、中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，
若短轴长为6，且过点(1,4)，则其标准方程 是 y2 x2 . 1
18 9
2、中心在原点,焦点在坐标轴上,若长轴长为18,
且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程
是
x2 y2 1或 y2 .x2 1
81 72 81 72
提示：∵2a=18,2c= 13×2a=6
⑵长轴长等于20，短轴长等于16。
（1）解：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对
称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于
是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短
轴的一个端点，故a＝3，b＝2，故椭圆的标准方
程为
x2 y2 1
94
⑵ x2 y2 1或 y2 x2 1
100 64
100 64
例3.如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地
心（地球的中心）F2为一个焦点 的椭圆。已知它的近地点A（离 地面最近点）距地面439km，远地点B（离地面最远的点）距地
面 6327318k4mk.m求，卫并星且运F行2、的A轨、道B方在程同（一精直确线到上1，k地m球）y半径约为 分析：
a-c=|OA|-|OF2|=|F2A|
=|F2A1|+|A1A|=6371+439=6810
方程 图形
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y B2
O A1 F1
F2 A2 x
B1
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
A2 y
F2
B2
B1
O
x
F1
A1
范围 a x a,b y b a y a,b x b
对称性
关于x轴、y轴、原点对称
A1(-a,0), A2(a,0)
顶点
B1(0,-b), B2(0,b)
同 点
a、b、c 的关系
a2 = b2 + c2
焦点位置的判断 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
椭圆的性质—研究问题
方程：x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
1、特殊点：
令x=0,则y2=b2, 即y=±b;
令y=0,则x2=a2, 即x=±a,
Y
B2
A1
ba
A2
F1 O c F2
X
B1
从图象上看A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)， 外加F1(-c,0),F2(c,0).
∴a=9,c=3,b2=81-9=72
. 2c. 2a
练：已知x轴上的一定点A（1,0），Q为椭
圆x2 y2 1
4 上的y 动点，求AQ中点M的轨迹方程.
Q
解：设动点M的坐标为(x,y)，
M
则Q的坐标为(2x-1,2y)
-2
O A 2 x 因为Q点为椭圆 x2 y2 1
上的点
4
所以有 (2x 1)2 (2 y)2 1 4
根据前面所学有关知识画出下列图形
（1）
x2 y2 1
25 16
（2） x2 y2 1 25 4
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2
-3
-4 B1
y
4
3 2
B2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2 -3
B1
-4
两种标准方程的椭圆性质的比较
即 (x 1)2 4y2 1
2 所以点M的轨迹方程是 (x
1)2
4y2
1
2
线段A1A2叫长轴，其长度等于2a; 线段B1B2叫短轴，其长度等于2b; 线段F1F2叫焦距，其长度等于2c.
► a、b、c的几何意义
y B1 (0,b)
(-a,0)
b
a c
A1
F1
O
F2
(a,0)
A2 x
B2(0,-b)
a2 b2 c2
B1F1 B1F2 B2F1 B2F2 a
Y
49
椭圆的长轴长等于6，短轴长等于4，焦点坐标为F1 0,- 5 、F2 0, 5 ,
顶点坐标是A1 0, 3、A2 0,3、B1 2,0、B2 2,0.
2设与椭圆 x2 4
y2 9
1同焦点的椭圆的方程为 x2 b2
y2 b2 5
1
b R
例3：求适合下列条件的椭圆的标准方程
⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；
A1(0,-a), A2(0,a) B1(-b,0), B2(b,0)
例1.已知椭圆的方程为9x2 4 y2 36.
1 求它的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标.
2写出与椭圆9x2 4 y2 36有相同焦点的至少
两个不同的椭圆方程
解：19x2 4 y2 36 x2 y2 1 a 3,b 2, c a2 b2 5.
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
2、对称性：
B2
ba
A1
A2
F1 O c F2
X
B1
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。
从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；
（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变， 图象关于原点成中心对称。
x2 a2
y2 b2：
Y
B2
ba
A1
A2
F1 O c F2
X
从图象上看： -a≤x≤a,-b≤y≤b
B1
从方程看：x2
a2
1
y2 b2
1
x2
a2
a
x
a
y2 b2
1
x2 a2
1
x2
b2
b
y
b
故整个椭圆位于y b, x a所围成的矩形内。
4、特殊三角形:
观察直角三角形B2OF2 , 关系式:a2=b2+c2
a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|
B
F1 F2
B1
o
A1 A x
=|F2B1|+|B1B|=6371+2384=8755 解得 a=7782.5 c=972.5
b a2 b2 a ba b 8755 6810 7722
卫星的轨道方程是:
x2 7783 2
y2 7722 2
1
.
练习: