计算理论17复杂理论高级专题
计算概论知识点总结
计算概论知识点总结一、基本概念1. 计算概论的概念计算概论是一门研究计算的基本理论和方法的学科。
它是计算机科学的基础，包括了算法、数据结构、分析技术、计算复杂性理论等内容。
计算概论的研究对象是计算的过程和方法，它研究计算机问题的抽象和形式化描述、计算机问题的求解方式、计算机问题求解的复杂性以及计算机问题求解的效率等问题。
2. 算法的概念算法是解决问题的一种有序的数学过程，它包括了从问题描述到问题求解的所有步骤。
算法是对问题求解的精确描述，是计算机问题求解的基础，因此算法的设计和分析是计算概论中的重要内容。
3. 数据结构的概念数据结构是一种用来组织和存储数据的方式，它包括了数据的逻辑组织和物理存储。
数据结构是算法的载体，它的设计和选择对算法的效率有很大的影响，因此数据结构的研究也是计算概论的重要内容之一。
4. 复杂性理论的概念复杂性理论是研究计算问题的复杂性和可解性的学科。
它研究计算问题求解的时间和空间资源的需求与问题规模之间的关系，同时也研究计算问题的难解性和不可解性等问题。
二、算法分析1. 时间复杂度算法的时间复杂度是描述算法在求解问题时所需的时间资源的度量。
它通常用算法的基本操作数量与问题规模的关系来描述。
时间复杂度是算法效率的重要指标，它决定了算法在不同规模的问题上所需的时间资源。
2. 空间复杂度算法的空间复杂度是描述算法在求解问题时所需的空间资源的度量。
它通常用算法所需的额外空间与问题规模的关系来描述。
空间复杂度是算法效率的另一个重要指标，它决定了算法在不同规模的问题上所需的空间资源。
3. 算法的渐进分析算法的渐进分析是描述算法复杂度的一种常用方法，它用来描述算法在问题规模趋近无穷时的复杂度情况。
渐进分析包括了最坏情况复杂度、平均情况复杂度和均摊情况复杂度等。
4. 算法的正确性算法的正确性是指算法对于所有输入数据都能得到正确的输出。
算法正确性是算法设计的基本要求，同时也是算法分析的关键内容。
计算理论导引习题答案
什么是时间复杂度？请举例说 明。
时间复杂度是评价算法执行时 间快慢的一个指标，通常用大O 表示法来表示。例如，对于一 个简单的顺序查找算法，其时 间复杂度为O(n)，表示随着问 题规模n的增加，算法的执行时 间线性增长。
计算模型习题答案详解
习题1
解释图灵机的基本原理和工作过程。
答案
图灵机是一种理论上的计算模型，由一条无限长的纸带和一个读写头组成。读写头可以读取、写入和移动纸带上 的符号，根据当前状态和读取的符号来决定下一步的动作和状态转移。图灵机的工作过程可以模拟任何计算机程 序的执行过程。
RAM模型的扩展与优化
包括引入并行计算、分布式计算等概念，以 提高RAM模型的计算能力和效率。
其他计算模型
量子计算模型
利用量子力学原理进行计算的模型，具有在某些特定 问题上比传统计算机更高的计算效率。
生物计算模型
模拟生物体内信息处理过程的计算模型，如神经网络、 基因算法等。
光计算模型
利用光学原理进行计算的模型，具有高速并行处理和 低能耗等优点。
形式语言与自动机习题答案详解
习题1
解释什么是形式语言，并给出其定义和性质 。
答案
形式语言是பைடு நூலகம்于描述计算机程序的语法和语 义的一种数学工具。它由一组符号和一组规 则组成，可以表示各种不同类型的数据结构 和算法。形式语言具有确定性、封闭性和可 计算性等性质，这些性质使得我们可以对计
算机程序进行精确的描述和分析。
Python语言基础 掌握Python语言的基本语法、数 据类型、控制结构、函数等，以 及常用的Python库和框架。
其他编程语言 了解其他常见的编程语言，如C#、 JavaScript、Go等，以及它们的 特点和应用场景。
计算复杂性理论
计算复杂性理论计算复杂性理论是计算机科学中重要的一个分支，它研究了计算问题的难度和可解性。
通过对问题的复杂性进行分析和分类，计算复杂性理论为我们提供了解决问题的指导原则和限制条件。
本文将介绍计算复杂性理论的基本概念、主要研究内容以及其在实际应用中的重要性。
一、基本概念1. P和NP问题在计算复杂性理论中，最基本的概念是P问题和NP问题。
P 问题是指可以在多项式时间内解决的问题，即存在一个算法可以在多项式时间内给出问题的正确答案。
而NP问题则是指可以在多项式时间内验证答案的问题，但尚未找到多项式时间内解决的算法。
P问题是NP问题的子集，即所有的P问题也是NP问题，但目前尚不清楚P问题和NP问题是否是相同的类。
2. NP完全性NP完全性是计算复杂性理论中的一个关键概念，它指的是一类最困难的NP问题。
一个问题被称为是NP完全的，如果它既是一个NP问题，又满足以下条件：对于任何一个NP问题，都可以用多项式时间的算法将其约化为该问题。
换句话说，如果我们能够找到一个多项式时间算法来解决一个NP完全问题，那么我们也可以用同样的算法来解决所有的NP问题。
3. NP难度除了NP完全性概念，计算复杂性理论还引入了NP难度的概念。
一个问题被称为是NP难度的，如果对于任何一个NP问题，都可以用多项式时间的算法将其约化为该问题。
虽然NP难度问题不一定是NP问题，但它们和NP完全问题一样，都是十分困难的问题。
二、主要研究内容1. 多项式时间算法计算复杂性理论的一个主要研究内容是寻找和分析多项式时间算法。
多项式时间算法是指可以在多项式时间内解决的算法，即其执行时间与输入规模呈多项式关系。
研究多项式时间算法的目标是寻找高效的解决方法，从而提高问题的可解性。
2. 算法复杂性分析算法复杂性分析是计算复杂性理论中的另一个重要内容。
通过对算法的复杂性进行全面的分析，我们可以预测算法在实际应用中的性能表现。
算法复杂性分析的主要方法包括时间复杂性分析和空间复杂性分析，通过对算法的时间和空间需求进行测量和评估，我们可以判断算法在给定条件下的可行性和效率。
计算理论习题答案
计算理论习题答案计算理论，也称为理论计算机科学，是研究算法和计算过程的数学理论基础的学科。
以下是一些计算理论习题的答案示例：1. 确定性图灵机（Deterministic Turing Machine, DTM）：- 习题：证明一个确定性图灵机可以模拟任何其他确定性图灵机。
- 答案：确定性图灵机可以读取输入，根据当前状态和读取到的符号，按照预定的转移规则移动磁带头并改变状态。
要模拟另一台确定性图灵机，只需要将被模拟机的状态转移表编码为模拟机的转移规则即可。
2. 非确定性图灵机（Nondeterministic Turing Machine, NTM）：- 习题：证明非确定性图灵机比确定性图灵机更强大。
- 答案：非确定性图灵机可以在多个可能的转移中选择，这使得它能够解决一些确定性图灵机无法解决的问题，例如哈密顿回路问题。
此外，任何确定性图灵机都可以被一个非确定性图灵机模拟，但反之则不成立。
3. 可计算性（Computability）：- 习题：证明某个特定的函数是可计算的。
- 答案：要证明一个函数是可计算的，需要展示一个算法或图灵机，它对于该函数的任何输入都能在有限步骤内给出输出。
例如，一个简单的加法函数f(x, y) = x + y是可计算的，因为它可以通过迭代或递归来实现。
4. 不可解问题（Undecidable Problems）：- 习题：解释停机问题（Halting Problem）为什么是不可解的。
- 答案：停机问题是不可解的，因为它涉及到预测一个图灵机是否会在有限步骤内停止。
如果存在一个算法能够解决停机问题，那么我们可以构造一个悖论，即一个图灵机可以模拟自身并决定自己是否会停止，这会导致自指的悖论。
5. 复杂性类（Complexity Classes）：- 习题：区分P类问题和NP类问题。
- 答案：P类问题是指可以在多项式时间内解决的问题，而NP类问题是指可以在多项式时间内验证一个解的问题。
计算理论课件第三章
式时间内可以验证其解的正 问题规模的增大而急剧增加，
确性，但至今尚未找到多项 导致在实际应用中往பைடு நூலகம்难以
式时间算法来求解的问题。
求解。
所有NP完全问题在多项式时间 内可以相互转化，即如果一个 问题能够在多项式时间内求解 ，那么其他所有NP完全问题也 能够在多项式时间内求解。
NP完全问题涵盖了计算机科 学、数学、物理学等多个领
03
探讨利用光的物理特性进行计算的新方法，包括光计算基本原
理、光量子计算技术、光计算应用等。
近似算法与启发式算法研究动态
近似算法设计与分析
研究在多项式时间内求解NP难问题的近似算法，分析其时间复杂度和近似比等性能指标 。
启发式算法原理及应用
探讨模拟自然界现象或过程的启发式算法，如遗传算法、蚁群算法、粒子群算法等，以及 它们在组合优化、机器学习等领域的应用。
丘奇-图灵论题
1 2
丘奇-图灵论题的定义
所有可有效计算的函数都可以用图灵机来计算。
丘奇-图灵论题的意义
奠定了计算机科学的基础，为计算机程序设计提 供了理论支持。
3
丘奇-图灵论题的应用
用于证明某些问题的不可解性，如停机问题等。
不可计算性证明
01
不可计算性的定义
指某些问题无法用图灵机在有限步骤内得出答案。
可满足性问题（SAT Problem）：给定一个布尔表 达式，求解是否存在一种变量赋值使得表达式为真。
NP完全问题在实际应用中的意义
算法设计挑战
NP完全问题的存在为 算法设计领域提供了持 续的挑战和动力，推动 了计算机科学领域的发 展。
评估问题难度
NP完全问题作为一类 难解问题的代表，为评 估其他问题的难度提供 了一个基准。如果一个 新问题被证明是NP完 全的，那么我们可以认 为这个问题是难解的。
计算理论课件第一章
例如，V＝{0,1}
V+={0,1,00,01,10,11,000,001,010,011,100,101,110,111,…}
V*={,0,1,00,01,10,11,000,001,010,011,100,101,110,111,…} 六．语言
定义：设V是个字母表, LV*,则称L是V上的一个语言。 例如，V＝{0,1}
Na+A(α2)= Nb+B(α2)。 ② 此派生是对α1中的变元A作代换，必用产生式
A→a|aS|bAA , 显然不论使用哪一个产生式，都能得出结
论Na+A(α2)= Nb+B(α2)。
③ 此派生是对α1中的变元B作代换，必用产生式 B→b|bS|Abb ，显然不论使用哪一个产生式，都能得出
结论：Na+A(α2)= Nb+B(α2)。 综上所述，上述命题成立。
文法不仅作为一个“装置”，给出语言的句子的结构， 而
且本身也是一个数学系统。
例如：前边定义“十进制数”的文法。
G=({F,I,D,N}, {.,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, P, F)
F—十进制数、 I—无符号整数、
D—十进制小数、N—数字 于是该文法的产生式集合P中产生式如下： 终极符
例如利用此文法产生3.14:
3.1N3.14
识别法：核心是一个自动机。对于给定的符号串可以
由自动机识别出是否为给定语言中合法的句子。
自动机的具体的例子以后再介绍。
1-1 形式语言基本概念
形式语言必须规定所用基本符号集合，这就是字母表。 一.字母表
字母表：符号的有限集合。通常用V或者表示。 例如 V＝a,b,c 。 二． 符号串 符号串：是由字母表中的符号组成的序列。 例如，aabbcc就是上述字母表V上的一个符号串。 符号串的长度：即是符号串所含符号个数。 例如符号串＝aabbcc 用表示的长度，则 |＝6。 空符号串：不含任何符号的符号串，通常用表示。 显然＝0 。
计算理论基础知识
计算理论基础知识计算理论是计算机科学的核心领域之一，它研究的是计算过程的本质和限制。
在计算机科学的发展过程中，计算理论提供了重要的理论基础和方法，为计算机科学和技术的发展奠定了坚实的基础。
本文将简要介绍计算理论的基础知识。
一、自动机理论自动机是计算理论中的重要概念之一，它用于描述计算过程的抽象模型。
自动机可以分为有限自动机和非确定性有限自动机等多种类型。
有限自动机是一种最简单的计算模型，它由状态、输入字母表、转换函数和初始状态等组成。
通过状态的转换和输入的驱动，有限自动机可以执行特定的计算任务。
非确定性有限自动机则相对更加复杂，它在进行状态转换时可以有多个可能的选项。
二、形式语言与文法形式语言和文法是计算理论中研究自动机行为规律的重要工具。
形式语言是由符号组成的集合，用于表示计算过程中的输入、输出和中间结果等信息。
文法则定义了形式语言的句子生成规则。
常见的文法类型有上下文无关文法、上下文相关文法等。
形式语言和文法的研究使得我们能够通过规则来描述和分析计算过程，从而更好地理解计算机科学中的一些重要概念和问题。
三、图灵机和可计算性理论图灵机是计算理论中最重要的概念之一，它由一个无限长的纸带和一个读写头组成。
图灵机通过读写头在纸带上的移动和改写来模拟计算过程。
图灵机的提出使得我们能够更深入地研究计算过程的本质和限制。
可计算性理论是计算理论中的一个重要分支，它研究的是什么样的问题可以通过某种计算模型解决。
根据可计算性理论，存在一些问题是不可计算的，即无法用任何计算模型来解决。
四、复杂性理论复杂性理论是计算理论中的另一个重要分支，它研究的是计算问题的复杂度。
复杂性理论主要关注计算问题的难解性和可解性。
常见的复杂性类别有P类、NP类等。
P类问题是可以在多项式时间内解决的问题，而NP类问题是可以在多项式时间内验证解的问题。
复杂性理论的研究使得我们能够更好地理解计算问题的本质，从而设计更高效的算法和方法。
五、计算复杂性和可计算性的关系计算复杂性和可计算性是计算理论中两个重要的概念。
计算机科学的知识点总结
计算机科学的知识点总结计算机科学是一门研究计算机系统原理、设计、开发和应用的学科。
它涵盖了广泛的主题，包括计算理论、软件工程、计算机体系结构、数据结构和算法、人机交互和人工智能等。
本文将对计算机科学中的一些重要知识点进行总结。
一、计算理论1. 自动机理论：自动机是一种抽象模型，用来描述计算过程。
有限自动机、正则语言和上下文无关语言是自动机理论的基础概念。
2. 图灵机理论：图灵机是一种理论计算模型，具有无限长的纸带和可执行的指令集。
图灵机理论是计算机科学的基石，用于研究计算的可行性和复杂性。
3. 复杂性理论：复杂性理论研究计算问题的难度和复杂性。
NP完全问题和P与NP问题是复杂性理论的重要概念。
二、软件工程1. 软件开发生命周期：软件开发生命周期包括需求分析、系统设计、编码、测试和维护等阶段。
每个阶段都有不同的任务和目标，以确保软件开发的质量和可靠性。
2. 软件需求工程：软件需求工程是关注软件系统的需求分析和规范的过程。
它涉及到需求获取、需求分析、需求规范和需求验证等步骤。
3. 软件测试和调试：软件测试是验证软件系统是否满足规格和用户需求的过程。
调试是查找和修复软件系统中的错误和故障的过程。
三、计算机体系结构1. 冯·诺依曼体系结构：冯·诺依曼体系结构是目前计算机体系结构的基础模型。
它由存储器、控制器、算术逻辑单元和输入输出设备等核心组件组成。
2. 指令集体系结构：指令集体系结构描述了计算机的指令集和操作方式。
常见的指令集体系结构包括精简指令集（RISC）和复杂指令集（CISC）。
3. 并行计算：并行计算是指多个处理器同时执行任务的计算方式。
并行计算可以提高计算速度和性能，常用于高性能计算和大规模数据处理。
四、数据结构和算法1. 数据结构：数据结构是组织和存储数据的方式。
常见的数据结构包括数组、链表、栈、队列、树和图等。
2. 算法设计与分析：算法是解决问题的一系列指令和步骤。
算法设计包括贪心算法、分治算法、动态规划和回溯算法等。
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多项式时间概率算法
设F是一个至少含有3m个元素的有限域。 D “对输入 B1 , B2 ，B1和B2是两个只读一次的分支程序： 在F中随机选取m个元素a1， ，am 计算赋给B1和B2的多项式p1和p2在a1， ，am的值 如果p1 (a1， ，am ) p2 (a1， ，am )，则接受；否则拒绝”
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RP类
定理11.9：
令PRIMES {n n是二进制素数}，PRIMES BPP
单侧错误：当算法输出拒绝时，输入一定是合数，当输出接
受时，只能知道输入可能是素数。
RP是多项式时间概率图灵机识别的语言类，在这里，在语
言中的输入以不小于1/2的概率被接受；不在语言中的输入 以概率1被拒绝。
优解。
在实践中，可能并不一定非要最优解不可，一个接近最优的
解可能是足够好的，而且可能更容易找到。
近似算法是为了求近似最优解而设计的。
XXXXX
2016/5/26
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顶点覆盖问题
若G是无向图，则G的顶点覆盖是节点的一个子集，使得
G的每条边都与子集中的节点之一相关联。
5 1
5 4
4
1
2 3
2 3
XXXXX
2016/5/26
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最小顶点覆盖的一个近似算法
下述多项式时间算法近似地解这个最优化问题，它给出一个顶点覆
盖，其大小不超过最小顶点覆盖的大小的2倍。
A＝ “对于输入<G>，这里G是一个无向图：
重复下述操作直至G中所有的边都与有标记的边相邻。
2016/5/26
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引理10.19 对于f(n)≥n，有 ATIME(f(n))SPACE(f(n))
把O(f(n))时间的交错式图灵机M转换成O(f(n))空间的确定型 图灵机S
S如下模拟M：对于输入w，S对M的计算树做深度优先搜索， 确定哪些顶点接受。如果树根接受，则S接受。
如果p是伪素数则能通过全部测试，如果p不是伪素数则至
多能通过全部测试的一半。于是它通过全部k个随机选择的
测试的概率不大于 2 k，因此该算法以错误概率2 k 识别所 有伪素数组成的语言。
XXXXX
2016/5/26
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避免卡米切尔数的算法PRIME
Chap 10 复杂性理论中的高级专题
本章提纲 10.1 近似算法、 10.2 概率算法 10.3 交错式
10.4 交互证明，
10.5 并行计算 10.6 密码学
XXXXX
2016/5/26
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近似算法
在最优化问题中，通常试图在可行解中寻找最好的解，即最
在G中找一条不与任何有标记的边相邻的边。 给这条边作标记。
输出所有有标记边的顶点。 ”
XXXXX
2016/5/26
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定理1０.1
定理11.1：A是一个多项式时间算法，它给出G的一个顶点覆盖，其大
小不超过最小顶点覆盖的大小的2倍。 证明思路: A的运行时间显然是多项式界限的。 设X是它输出的顶点集合，H是有标记的边的集合。因为G的每一 条边要么属于H，要么与H中的一条边相邻，因此X与G的所有边 关联，因此X是一个顶点覆盖。 证明X的大小不超过最小顶点覆盖Y的大小的2倍。
证明思路：M2用如下方式模拟M1：运行M1多项式次，并且
取这些运行结果中的多数作为计算结果。错误概率将随M1的 运行次数指数下降。
XXXXX
2016/5/26
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素数性
定理11.6： 如果p是素数，且a ，则a p1
p
1(mod p)。
XXXXX
2016/5/26
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概率算法
概率算法使用随机过程的结果。典型包含一条“
扔硬币”的指令，并且扔硬币的结果可能影响算 法后面的执行和输出。
BPP类
素数性
只读一次的分支程序
XXXXX
2016/5/26
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X的大小是H的2倍 H不大于Y
XXXXX
2016/5/26
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k-优算法
如果一个最小化问题的近似算法总能找到不超过最优解k
倍的可行解，则称这个算法是k-优的。
对于最大化问题，一个k-优近似算法总能找到不小于最
优解大小的1/k的可行解。
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概率图灵机
概率图灵机M是一种非确定型图灵机，它的每一非确定步，
称作掷硬币步，并且有两个合法的下次动作。定义分支b的 概率如下，其中k是在分支b中出现的掷硬币步的步数。
定义M接受ω的概率为
Pr[b] 2
k
Pr[ M接受 ]＝
b是接受分支
Pr[b]
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XXXXX
2016/5/26
XXXXX
2016/5/26
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引理10.20 对于f(n)≥n，有 SPACE(f(n)) ATIME(f2(n))
从O(f(n))空间的确定性图灵机M出发，构造一台O(f 2(n))时间 的交错式图灵机S
cm
∧
∨ …
t/2步内从c1到c2
XXXXX
2016/5/26
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引理10.21 对于对于f(n)≥log n，有 ASPACE(f(n)) TIME(2O(f(n)))
构造一台2O(f(n))时间的确定型图灵机S，模拟O(f(n))空间的交 错式图灵机。
S构造M对w的计算图如下：顶点集是M关于w的所有格局， 每一顶点最多使用df(n)空间（d是与M有关的常数）。从 每一个格局到M移动一步所得到格局连一条边。
XXXXX
2016/5/26
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例10.16 永真式是一个布尔公式，对于变量的每一个 赋值，它的值都等于1。
令TAUT={<Ф>| Ф是一个永真式}
对输入Ф ： 1. 全称的选取对Ф的变量的所有赋值 2. 对一个具体的赋值，计算Ф的值 3. 如果Ф的值为1，则接受；否则拒绝
XXXXX
2016/5/26
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BPP类
对于0<=ε<1/2，如果满足下面的条件则称M以错误概率ε识
别语言A。
A蕴涵 Pr[ M接受 ] 1 A蕴涵 Pr[ M拒绝 ] 1
BPP是多项式时间的概率图灵机以错误概率1/3识别的语言
类。
只读一次的分支程序是指在它的从起
始顶点到输出顶点的每一条有向路径 上，每个变量只能被询问一次。
X3 0
1
0
X2 1
0
1
XXXXX
2016/5/26
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定理10.12
令EQROBP { B1 , B2 B1和B2是两个等价的只读一次的分支程序} 则有 EQROBP BPP
XXXXX
2016/5/26
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引理10.5
引理11.5：设ε是一个固定常数，且0<ε<1/2。又设M1是一台
错误概率为ε的多项式时间概率图灵机，则对于任意的多项式 poly (n) poly(n)，存在与M1等价的错误概率为 的多项式时间 2 概率图灵机M2。
XXXXX
2016/5/26
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交错式图灵机的定义
定义：一种特殊的非确定型图灵机。除 qaccept和qreject 外，它的状态分成全称状态和存在状态。
∨ ∧ ∧ ∨
∧ · · ·
XXXXX 2016/5/26
∧
∨
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XXXXX
2016/5/26
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只读一次的分支程序
分支程序是一个无圈有向图，除两个
输出顶点标记0和1外，其他顶点（询 问顶点）都标记变量，并引出两条边 ，一条标记0、一条标记1，在分支程 序中指定一个顶点为起始顶点。
1
X1 0 X2 0 1 X3 1 0
试，则称这个数为伪素数，其中可能包含卡米切尔数和素数 。
XXXXX
2016/5/26
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测试伪素数的多项式概率算法
PSEUDOPRIM E “对于输入p： 在 p中随机地选取a1 , , ak 对于每一个i，计算ai( p 1) mod p 如果所有计算出来的值都等于1，则接受；否则拒绝”
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交错式语言类
ATIME(t(n))={L|L是被一台O(t(n))时间的交错式图灵机判定的 语言} ASPACE(t(n))={L|L是被一台O(f(n))空间的交错式图灵机判定 的语言}
APSPACE ASPACE(n )
k k
AP PTIME (n )
k k
AL ASPACE(log n)
XXXXX
2016/5/26
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定理1０.2
定理11.2：B是最大割集的2-优的多项式近似算法。 证明：
割的大小不超过G的边数，故B是多项式时间的。 证明B输出的割X至少包含G中的所有边的一半。 G的每个顶点的割边>=非割边。 G的所有顶点的割边数和＝ X的割边总数×2。 G的所有顶点的非割边数和＝ 非割边总数×2。 X的割边数和>= 非割边数和 X的割边数 >= G的所有边数/2 G的所有边数>=最大割边数