北京大学强基与北京大学高水平艺术团校测数学笔试试题、答案
2022_年北京大学强基计划数学试题及其详解
２０２２年北京大学强基计划数学试题及其详解甘超一(华南农业大学资源环境学院２０１９级环境科学２班ꎬ广东广州５１０６４２)摘㊀要:文章对２０２２年北京大学强基计划数学测试题进行解析.关键词:２０２２年ꎻ北京大学ꎻ强基计划ꎻ数学测试中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１９－０１０１－０７收稿日期:２０２３－０４－０５作者简介:甘超一(２００１－)ꎬ男ꎬ北京人ꎬ本科在读ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:北京市教育学会 十三五 教育科研滚动立项课题 数学文化与高考研究 (项目编号:ＦＴ２０１７ＧＤ００３)㊀㊀１.满足正整数ｎɤ２０２２且２ｎ＋１与３ｎ＋１均为完全平方数的ｎ的个数是(㊀).Ａ.０㊀㊀Ｂ.１㊀㊀Ｃ.２㊀㊀Ｄ.以上均错解析㊀㊀设２ｎ＋１＝(２ｋ＋１)２(ｋɪＮ∗)ꎬ可得ｎ＝２ｋ(ｋ＋１)ɤ２０２２ꎬｋɤ３１.还可设３ｎ＋１＝６ｋ(ｋ＋１)＋１＝５(ｋ２＋ｋ)＋(ｋ２＋ｋ＋１)＝ｌ２(ｌɪＮ∗)ꎬ所以ｋ２＋ｋ＋１ʉｌ２ʉ０ꎬ１ꎬ４(ｍｏｄ５)ꎬ进而可得ｋʉ０ꎬ４(ｍｏｄ５).再由ｋɪＮ∗ꎬｋɤ３１ꎬ可得ｋ只可能取１２个值:４ꎬ５ꎬ９ꎬ１０ꎬ１４ꎬ１５ꎬ１９ꎬ２０ꎬ２４ꎬ２５ꎬ２９ꎬ３０.再由６ｋ(ｋ＋１)＋１＝ｌ２(ｌɪＮ∗)ꎬ可得ｋ＝５ꎬｌ＝１１ꎬ再得ｎ＝４０ꎬ所以满足题设的ｎ的个数是１.２.满足øＡＣＢ＝øＣＡＤ＝４０ʎꎬøＡＢＤ＝øＢＤＣ＝５０ʎ且两两不相似的凸四边形ＡＢＣＤ的个数是(㊀㊀).㊀Ａ.１㊀㊀Ｂ.２㊀㊀Ｃ.３㊀㊀Ｄ.以上均错解析㊀在凸四边形ＡＢＣＤ中ꎬ由øＡＣＢ＝øＣＡＤꎬ可得ＡＤʊＢＣꎻ同理可得ＡＢʊＣＤ.所以凸四边形ＡＢＣＤ是平行四边形.设▱ＡＢＣＤ两条对角线的交点是Ｏꎬ不妨设ＯＡ＝ＯＣ＝１ꎬøＯＡＢ＝θꎬøＯＢＣ＝９０ʎ－θ(０ʎ<θ<９０ʎ).在әＯＡＢ与әＯＢＣ中ꎬ由正弦定理可得１ｓｉｎ５０ʎ＝ＯＢｓｉｎθꎬ１ｃｏｓθ＝ＯＢｓｉｎ４０ʎꎬ１ＯＢ＝ｓｉｎ５０ʎｓｉｎθ＝ｃｏｓθｓｉｎ４０ʎꎬ２ｓｉｎθｃｏｓθ＝２ｓｉｎ４０ʎｓｉｎ５０ʎꎬｓｉｎ２θ＝ｓｉｎ８０ʎ(０ʎ<θ<９０ʎ)ꎬ所以θ＝４０ʎꎬ５０ʎ.所以满足题设的凸四边形ＡＢＣＤ的个数是２.３.满足正整数ｙɤ２０２２且１００２ｙ＋ｙ的ｙ的个数是(㊀㊀).Ａ.１６㊀㊀Ｂ.１８㊀㊀Ｃ.２０㊀㊀Ｄ.以上均错解析㊀可得２２２ｙ＋ｙꎬ再得２ｙꎬ又得４ｙꎬ可设ｙ＝４ｘ(ｘɪＮ∗ꎬｘɤ５０５).因而题设即２５２４ｘ＋４ｘꎬ２５(５ˑ３＋１)ｘ＋４ｘ(ｘɪＮ∗ꎬｘɤ５０５).由５(５ˑ３＋１)ｘ＋４ｘ(ｘɪＮ∗ꎬｘɤ５０５)ꎬ可得５１＋４ｘꎬ５ｘ－１(ｘɪＮ∗ꎬｘɤ５０５)ꎬ因而可设ｘ＝５ｚ＋１(ｚɪＮꎬｚɤ１００).因而题设即２５２２０ｚ＋４＋２０ｚ＋４ꎬ２５４(２２０)ｚ＋５ｚ＋１(ｚɪＮꎬｚɤ１００).由２５２１０＋１ꎬ可得２５２２０－１(由欧拉定理 若(ａꎬｎ)＝１ꎬ则ｎａφ(ｎ)－１ꎬ其中φ(ｎ)表示不大于ｎ且与ｎ互素的正整数的个数.关于欧拉函数φ(ｎ)ꎬ有下面的结论成立:φ(ᵑｋｉ＝１ｐαｉｉ)＝ᵑｋｉ＝１ｐαｉ－１ｉ(ｐｉ－１)ꎬ其中ｋꎬαｉɪＮ∗ꎻｐｉ是两两互异的素数ꎬｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｋ也可直接得到该结论)ꎬ所以２５４ˑ１＋５ｚ＋１ꎬ５ｚ＋１(ｚɪＮꎬｚɤ１００)ꎬ也即ｚ＝５ｎ－１(ｎɪＮ∗ꎬｎɤ２０)ꎬ也即ｙ＝４ｘ＝２０ｚ＋４＝１００ｎ－１６(ｎɪＮ∗ꎬｎɤ２０)ꎬ因而满足题设的ｙ的个数是２０.４.用[ｘ]表示不超过ｘ的最大整数ꎬ比如[１.２]＝１ꎬ[－１.２]＝－２.若α＝１＋５２ꎬ则[α１２]＝(㊀㊀).Ａ.３２０㊀Ｂ.３２１㊀Ｃ.３２２㊀Ｄ.以上均错解析㊀设ａｎ＝１＋５２æèçöø÷ｎ＋１－５２æèçöø÷ｎ(ｎɪＮ)ꎬ可得ａ０＝２ꎬａ１＝１ꎬａｎ＋２＝ａｎ＋ａｎ＋１(ｎɪＮ).进而可得ａ２＝３ꎬａ３＝４ꎬａ４＝７ꎬａ５＝１１ꎬａ６＝１８ꎬａ７＝２９ꎬａ８＝４７ꎬａ９＝７６ꎬａ１０＝１２３ꎬａ１１＝１９９ꎬａ１２＝３２２.再由ａ１２＝α１２＋５－１２æèçöø÷１２＝３２２ꎬ０<５－１２<１ꎬ０<５－１２æèçöø÷１２<１ꎬ可得[α１２]＝３２１.注㊀该题解答中的数列ａｎ{}就是数学史上著名的卢卡斯数列.５.所有满足条件ｙ１ｙ２ｆ３ｆ４ｄ５ｄ６ｆ４ｄ５ｄ６＝(１＋ｙ１ｙ２ｆ３)２的六位数ｙ１ｙ２ｆ３ｆ４ｄ５ｄ６之和是(㊀)(请注意:ｆ４ｄ５ｄ６不一定是三位数).Ａ.２０６５０２０㊀㊀㊀Ｂ.２０６６０２０Ｃ.２０６７０２０Ｄ.以上均错解析㊀设ｙ１ｙ２ｆ３＝ｍ(ｍɪＮ∗ꎬ１００ɤｍɤ９９９)ꎬｆ４ｄ５ｄ６＝ｎ(ｎɪＮ∗ꎬｎɤ９９９)ꎬ可得题中的条件即１０００ｍ＋ｎｎ＝(１＋ｍ)２ꎬ１０００ｎ＝ｍ＋２.再由ｍɪＮ∗ꎬ１０２ɤｍ＋２ɤ１００１ꎬ可得ｎɪＮ∗ꎬｎɤ９ꎬｎ１０００ꎬ所以ｎ＝１ꎬ２ꎬ４ꎬ５ꎬ８.进而可求得(ｍꎬｎ)＝(９９８ꎬ１)ꎬ(４９８ꎬ２)ꎬ(２４８ꎬ４)ꎬ(１９８ꎬ５)ꎬ(１２３ꎬ８)ꎬ所以满足题中条件的六位数１０００ｍ＋ｎ共五个:９９８００１ꎬ４９８００２ꎬ２４８００４ꎬ１９８００５ꎬ１２３００８.可求得它们的和是２０６５０２０.６.满足ａꎬｂꎬｃꎬｄɪＺ且ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝６的正整数ａｂ＋ａｃ＋ａｄ＋ｂｃ＋ｂｄ＋ｃｄ的取值个数是(㊀㊀).Ａ.１０㊀Ｂ.２０㊀Ｃ.３０㊀Ｄ.以上均错解析㊀由柯西不等式ꎬ可得(１２＋１２＋１２＋１２)(ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２)ȡ(１ａ＋１ｂ＋１ｃ＋１ｄ)２＝３６ꎬａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２ȡ９.由恒等式２(ａｂ＋ａｃ＋ａｄ＋ｂｃ＋ｂｄ＋ｃｄ)＝(ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ)２－(ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２)ꎬ及题设ａꎬｂꎬｃꎬｄɪＺ且ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝６ꎬ可得２ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２.下证８⫮(ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２).由恒等式(２ｎ＋１)２－１＝８ｎ(ｎ＋１)２ꎬ可得８奇数２－１ꎬ奇数２＝８ｍ＋１(ｍɪＺ).进而可得:当ａꎬｂꎬｃꎬｄ中的奇数个数是１ꎬ２ꎬ３时ꎬ均可得４⫮(ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２)ꎬ所以８⫮(ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２)ꎻ当ａꎬｂꎬｃꎬｄ中的奇数个数是４时ꎬ可得８⫮(ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２).当ａꎬｂꎬｃꎬｄ中的奇数个数是０ꎬ即ａꎬｂꎬｃꎬｄ全是偶数时ꎬ可设ａ＝２ａᶄꎬｂ＝２ｂᶄꎬｃ＝２ｃᶄꎬｄ＝２ｄᶄ(ａᶄꎬｂᶄꎬｃᶄꎬｄᶄɪＺ)ꎬ得ａᶄ＋ｂᶄ＋ｃᶄ＋ｄᶄ＝３.再由恒等式(ａᶄ＋ｂᶄ＋ｃᶄ＋ｄᶄ)２＝ａᶄ２＋ｂᶄ２＋ｃᶄ２＋ｄᶄ２＋２(ａᶄｂᶄ＋ａᶄｃᶄ＋ａᶄｄᶄ＋ｂᶄｃᶄ＋ｂᶄｄᶄ＋ｃᶄｄᶄ)ꎬ可得２⫮(ａᶄ２＋ｂᶄ２＋ｃᶄ２＋ｄᶄ２)ꎬ８⫮[(２ａᶄ)２＋(２ｂᶄ)２＋(２ｃᶄ)２＋(２ｄᶄ)２]ꎬ８⫮(ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２).所以８⫮(ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２).所以本题即求满足ａꎬｂꎬｃꎬｄɪＺ且ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝６ꎬ１０ɤａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２ɤ３４ꎬ２ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２ꎬ８⫮(ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２)的整数ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２取值个数.再由１＋１＋２＋２＝６ꎬ１２＋１２＋２２＋２２＝１０ꎬ０＋２＋２＋２＝６ꎬ０２＋２２＋２２＋２２＝１２ꎬ０＋１＋２＋３＝６ꎬ０２＋１２＋２２＋３２＝１４ꎬ０＋０＋３＋３＝６ꎬ０２＋０２＋３２＋３２＝１８ꎬ(－１)＋１＋３＋３＝６ꎬ(－１)２＋１２＋３２＋３２＝２０ꎬ(－１)＋１＋２＋４＝６ꎬ(－１)２＋１２＋２２＋４２＝２２ꎬ(－１)＋０＋３＋４＝６ꎬ(－１)２＋０２＋３２＋４２＝２６ꎬ(－２)＋２＋２＋４＝６ꎬ(－２)２＋２２＋２２＋４２＝２８ꎬ(－２)＋１＋３＋４＝６ꎬ(－２)２＋１２＋３２＋４２＝３０ꎬ(－２)＋１＋２＋５＝６ꎬ(－２)２＋１２＋２２＋５２＝３４ꎬ所以所求答案是１０.７.满足ＡＢ＝１ꎬＢＣ＝２ꎬＣＤ＝４ꎬＤＡ＝３的凸四边形ＡＢＣＤ的内切圆半径的取值范围是(㊀㊀).Ａ.０ꎬ２６５æèç]㊀㊀㊀Ｂ.１５５ꎬ２６５æèç]Ｃ.１５５ꎬ２６５[]Ｄ.以上均错解析㊀我们先证明沈根银发表于«中学数学研究»２００２年第７期第１８－１９页的文章«凸四边形的一个面积公式及其应用»中的引理:在凸四边形ＡＢ￣ＣＤ中ꎬ若ＡＢ＝ａꎬＢＣ＝ｂꎬＣＤ＝ｃꎬＤＡ＝ｄꎬｐ＝１２(ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ)ꎬ则该凸四边形的面积Ｓ＝(ｐ－ａ)(ｐ－ｂ)(ｐ－ｃ)(ｐ－ｄ)－ａｂｃｄｃｏｓ２Ａ＋Ｃ２.证明㊀连接凸四边形ＡＢＣＤ的对角线ＢＤꎬ在әＡＢＤ与әＣＢＤ中ꎬ分别由余弦定理可得ａ２＋ｄ２－２ａｄｃｏｓＡ＝ＢＤ２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃｃｏｓＣ.①由Ｓ＝ＳәＡＢＤ＋ＳәＣＢＤ＝１２ａｄｓｉｎＡ＋１２ｂｃｓｉｎＣꎬ得ａｄｃｏｓＡ－ｂｃｃｏｓＣ＝１２(ａ２－ｂ２－ｃ２＋ｄ２)ꎬａｄｓｉｎＡ＋ｂｃｓｉｎＣ＝２Ｓ.{把这两个等式平方相加ꎬ可得Ｓ２＝１４(ａ２ｄ２＋ｂ２ｃ２)－１１６(ａ２－ｂ２－ｃ２＋ｄ２)２－１２ａｂｃｄｃｏｓ(Ａ＋Ｃ).进而可得引理成立.再来解答本题.由引理及题设ꎬ可得Ｓ＝２６ｓｉｎＡ＋Ｃ２ꎬ且凸四边形ＡＢＣＤ的内切圆半径ｒ＝Ｓｐ＝２６５ｓｉｎＡ＋Ｃ２.由①及题设可得ｃｏｓＣ＝３ｃｏｓＡ＋５８(由题设还可得Ａ的取值范围是(０ꎬπ)).所以ｓｉｎＣ２＝１－ｃｏｓＣ２＝３－３ｃｏｓＡ４ꎬｃｏｓＣ２＝１＋ｃｏｓＣ２＝３ｃｏｓＡ＋１３４.故４２ｓｉｎＡ＋Ｃ２＝４２ｓｉｎＡ２ｃｏｓＣ２＋４２ｃｏｓＡ２ｓｉｎＣ２＝－３ｃｏｓ２Ａ－１０ｃｏｓＡ＋１３＋３ｓｉｎＡ.设函数ｆ(Ａ)＝－３ｃｏｓ２Ａ－１０ｃｏｓＡ＋１３＋３ｓｉｎＡ(０<Ａ<π)ꎬ可求得ｆᶄ(Ａ)＝３ｓｉｎＡｃｏｓＡ＋５ｓｉｎＡ－３ｃｏｓ２Ａ－１０ｃｏｓＡ＋１３＋３ｃｏｓＡ(０<Ａ<π).令ｆᶄ(Ａ)＝０ꎬ可解得ｃｏｓＡ＝－５１１(０<Ａ<π).设Ａ０＝π－ａｒｃｃｏｓ５１１ꎬ可得ｆ(Ａ)在(０ꎬＡ０]ꎬ[Ａ０ꎬπ)上分别单调递增㊁单调递减.再由ｌｉｍＡң０＋ｆ(Ａ)＝０ꎬｆ(Ａ０)＝４２ꎬｌｉｍＡңπ－ｆ(Ａ)＝２５ꎬ可得ｓｉｎＡ＋Ｃ２的取值范围是(０ꎬ１]ꎬ所以凸四边形ＡＢＣＤ的内切圆半径ｒ的取值范围是０ꎬ２６５æèç].８.已知三个复数ｚ１＝(５－ａ)＋(６－４ｂ)ｉꎬｚ２＝(２＋２ａ)＋(３＋ｂ)ｉꎬｚ３＝(３－ａ)＋(１＋３ｂ)ｉ(ａꎬｂɪＲ).若ｚ１＋ｚ２＋ｚ３取最小值ꎬ则３ａ＋６ｂ＝(㊀㊀).Ａ.１１７㊀㊀Ｂ.２２７㊀㊀Ｃ.３３７㊀㊀Ｄ.以上均错解析㊀由题设ꎬ可得ｚ１＋ｚ２＋ｚ３ɪＮ∗.ｚ１＋ｚ２＋ｚ３＝１０１＋ｉ＝１０２ꎬ当且仅当ａｒｇｚ１＝ａｒｇｚ２＝ａｒｇｚ３＝ａｒｇ(１＋ｉ)＝π４ꎬ５－ａ＝６－４ｂꎬ２＋２ａ＝３＋ｂꎬ３－ａ＝１＋３ｂꎬ也即ａ＝５７ꎬｂ＝３７时ꎬｚ１＋ｚ２＋ｚ３取最小值ꎬ此时３ａ＋６ｂ＝３３７.９.若复数ｚ满足ｚ２与２ｚ的实部㊁虚部均在区间[－１ꎬ１]上取值ꎬ则ｚ在复平面上形成轨迹的面积是(㊀㊀).Ａ.１２＋π㊀Ｂ.１２－π㊀Ｃ.１２－２π㊀Ｄ.以上均错解析㊀设满足题设的复数ｚ＝ｘ＋ｙｉ(ｘꎬｙɪＲ)ꎬ可得ｚ２＝ｘ２＋ｙ２ｉꎬ２ｚ＝２ｘｘ２＋ｙ２－２ｙｘ２＋ｙ２ｉꎬ因而题设即ｘ２ꎬｙ２ꎬ２ｘｘ２＋ｙ２ꎬ－２ｙｘ２＋ｙ２ɪ[－１ꎬ１]ꎬ也即ｘɤ２ꎬｙɤ２ꎬｘ２＋ｙ２ȡ２ｘꎬｘ２＋ｙ２ȡ２ｙ.所以有０ɤｘɤ２ꎬ０ɤｙɤ２(ｘ－１)２＋ｙ２ȡ１ｘ２＋(ｙ－１)２ȡ１ìîíïïïïï或－２ɤｘɤ０ꎬ０ɤｙɤ２(ｘ＋１)２＋ｙ２ȡ１ｘ２＋(ｙ－１)２ȡ１ìîíïïïïï或－２ɤｘɤ０ꎬ－２ɤｙɤ０(ｘ＋１)２＋ｙ２ȡ１ｘ２＋(ｙ＋１)２ȡ１ìîíïïïïï或０ɤｘɤ２ꎬ－２ɤｙɤ０ꎬ(ｘ－１)２＋ｙ２ȡ１ꎬｘ２＋(ｙ＋１)２ȡ１.ìîíïïïïï进而可作出这四个不等式组表示的区域分别是图１中阴影部分的右上角㊁左上角㊁左下角㊁右下角.所以所求答案即图１中阴影部分的面积８２ˑ２２－１ˑ１２－πˑ１２４æèçöø÷＝１２－２π.图１㊀第９题图１０.在әＡＢＣ中ꎬ角ＡꎬＢꎬＣ的对边长分别是ａꎬｂꎬｃ.若әＡＢＣ的面积是ｃ２(ａ－ｂ)ꎬ外接圆半径Ｒ＝２ꎬ且４(ｓｉｎ２Ａ－ｓｉｎ２Ｂ)＝(３ａ－ｂ)ｓｉｎＢꎬ则ｓｉｎＡ－Ｂ２＋ｓｉｎＣ２＝(㊀㊀).Ａ.３㊀㊀Ｂ.２㊀㊀Ｃ.１㊀㊀Ｄ.以上均错解析㊀由Ｒ＝２及正弦定理ꎬ可得ｓｉｎＡ＝ａ４ꎬｓｉｎＢ＝ｂ４.再由题设ꎬ可得ａ２－ｂ２＝(３ａ－ｂ)ｂꎬａ＝３ｂ.再由ＳәＡＢＣ＝１２ｂｃｓｉｎＡ＝ｃ２(ａ－ｂ)ꎬ可得ｓｉｎＡ＝３－１ꎬｓｉｎＢ＝ｓｉｎＡ３＝１－１３.故ｓｉｎＡ－Ｂ２＋ｓｉｎＣ２æèçöø÷２＝ｓｉｎＡ－Ｂ２＋ｃｏｓＡ＋Ｂ２æèçöø÷２＝ｓｉｎ２Ａ－Ｂ２＋ｃｏｓ２Ａ＋Ｂ２＋２ｓｉｎＡ－Ｂ２ｃｏｓＡ＋Ｂ２＝１－１２ｃｏｓ(Ａ－Ｂ)＋１２ｃｏｓ(Ａ＋Ｂ)＋ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢ＝１－ｓｉｎＡｓｉｎＢ＋ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢ＝１.由ｓｉｎＡ>ｓｉｎＢꎬ可得Ａ>Ｂꎬ所以Ａ－Ｂ２ꎬＣ２ɪ０ꎬπ２æèçöø÷ꎬ因而ｓｉｎＡ－Ｂ２＋ｓｉｎＣ２＝１.１１.在梯形ＡＢＣＤ中ꎬＡＤʊＢＣꎬ点Ｍ在边ＣＤ上.若øＡＢＭ＝øＣＢＤ＝øＢＣＤꎬ则ＡＭＢＭ的取值范围是(㊀㊀).Ａ.(０ꎬ＋ɕ)㊀㊀㊀㊀Ｂ.１２ꎬ＋ɕæèçöø÷Ｃ.(０ꎬ１]Ｄ.以上均错解析㊀如图２所示ꎬ连接ＡＭ.由题设ꎬ可得øＡＤＭ＝１８０ʎ－øＢＣＤ＝１８０ʎ－øＡＢＭꎬ所以ＡꎬＢꎬＭꎬＤ四点共圆ꎬ再得øＢＡＭ＝øＢＤＭ.图２㊀第１１题图在әＡＢＭ中ꎬ由正弦定理可得ＡＭｓｉｎøＡＢＭ＝ＢＭｓｉｎøＢＡＭ＝ＢＭｓｉｎøＢＤＭꎬＡＭＢＭ＝ｓｉｎøＡＢＭｓｉｎøＢＤＭ＝ｓｉｎøＢＣＤｓｉｎøＢＤＣ.在әＢＣＤ中ꎬ由正弦定理可得ｓｉｎøＢＣＤｓｉｎøＢＤＣ＝ＤＢＢＣ.所以ＡＭＢＭ＝ＤＢＢＣ.在等腰әＢＣＤ中ꎬＤＢ＝ＤＣꎬ所以由 三角形两边之和大于第三边 ꎬ可得ＢＣ<２ＤＢꎬ进而可得ＡＭＢＭ的取值范围是１２ꎬ＋ɕæèçöø÷.１２.方程１－ｘ２＝４ｘ３－３ｘ的所有实根个数与所有实根之积的比值是(㊀㊀).Ａ.３㊀㊀Ｂ.９㊀㊀Ｃ.１８㊀㊀Ｄ.以上均错解析㊀可设ｘ＝ｃｏｓθ(０ɤθɤπ)ꎬ进而可得原方程即ｃｏｓπ２－θæèçöø÷＝ｃｏｓ３θꎬπ２－θ＝２ｋπʃ３θ(０ɤθɤπ)ꎬ解得θ＝π８ꎬ５π８ꎬ３π４ꎬ所以原方程所有的实根个数是３ꎬ所有的实根之积是ｃｏｓπ８ｃｏｓ５π８ｃｏｓ３π４＝ｃｏｓπ８－ｓｉｎπ８æèçöø÷－ｃｏｓπ４æèçöø÷＝１２ｓｉｎπ４ｃｏｓπ４＝１４ｓｉｎπ２＝１４ꎬ所以所求比值是３ʒ１４＝１２.１３.对于十进制正整数Ａ＝ａ０ａ１ａ２ ａｎꎬ记Ｄ(Ａ)＝ａ０＋２ａ１＋２２ａ２＋ ＋２ｎａｎ.若ｂ０＝２０３３１０ꎬｂｎ＋１＝Ｄ(ｂｎ)(ｎɪＮ)ꎬ则ｂ２０２２的各位数字的平方和是(㊀㊀).Ａ.７３０㊀㊀Ｂ.５２０㊀㊀Ｃ.３７０㊀㊀Ｄ.以上均错解析㊀可得Ａ<１０ｎ＋１ꎬ１ɤＤ(Ａ)ɤ９(１＋２＋２２＋ ＋２ｎ)＝９(２ｎ＋１－１)<１０ ２ｎ＋１(ｎɪＮ).由ｂ０<１０４０ꎬ可得ｂ１＝Ｄ(ｂ０)<１０ ２４０<１０８１４<１０１５ꎻ再得ｂ２＝Ｄ(ｂ１)<１０ ２１５＝１０ ８５<１０６ꎻ又得ｂ３＝Ｄ(ｂ２)<１０ ２６＝６４０<１０３ꎻ又得ｂ４＝Ｄ(ｂ３)<１０ ２３＝８０<１０２ꎻ又得ｂ５＝Ｄ(ｂ４)<１０ ２２＝４０<１０２ꎻ 进而可得正整数ｂ２０２２是一位数或两位数ꎬ所以ｂ２０２２的各位数字的平方和不超过９２＋９２＝１６２ꎬ因而本题的答案是Ｄ.１４.若数列ａｎ{}满足ａ１＝１２ꎬａｎ＋１＝１４(３＋ａｎ＋３１＋２ａｎ)(ｎɪＮ∗)ꎬ则与ａ１０最接近的整数是(㊀㊀).Ａ.２㊀㊀Ｂ.４㊀㊀Ｃ.８㊀㊀Ｄ.以上均错解析㊀设ｂｎ＝１＋２ａｎ(ｎɪＮ∗)ꎬ可得ｂｎȡ０ꎬｂ１＝５ꎬａｎ＝ｂ２ｎ－１２(ｎɪＮ∗).所以由题中的递推式得ｂ２ｎ＋１－１２＝１４３＋ｂ２ｎ－１２＋３ｂｎæèçöø÷ꎬ即(２ｂｎ＋１)２＝(ｂｎ＋３)２ꎬ由ｂｎȡ０ꎬ得２ｂｎ＋１＝ｂｎ＋３(ｎɪＮ∗).即ｂｎ＋１－３＝１２(ｂｎ－３)(ｎɪＮ∗)ꎬ进而可得ｂｎ－３＝(ｂ１－３)１２æèçöø÷ｎ－１＝２２－ｎꎬ所以ｂｎ＝３＋２２－ｎ(ｎɪＮ∗)ꎬ所以ｂ１０＝３＋１２８.再由ａｎ＝ｂ２ｎ－１２(ｎɪＮ∗)ꎬ可得ａ１０＝３＋１２８æèçöø÷２－１２＝４＋３２８＋１２１７ꎬ故４<ａ１０<４.５.所以与ａ１０最接近的整数是４.１５.已知数列ａｋ{}１ɤｋɤ５的各项均为正整数ꎬ且ａｉ＋１－ａｉɤ１(ｉ＝１ꎬ２ꎬ３ꎬ４).若数列ａｋ{}１ɤｋɤ５中存在一项是３ꎬ则数列ａｋ{}１ɤｋɤ５可能的个数是(㊀㊀).Ａ.２１１㊀Ｂ.２４３㊀Ｃ.３８７㊀Ｄ.以上均错解析㊀(１)若ａ１＝３ꎬ由题设可列出表１ꎬ进而可得满足题设的数列共７５个:表１㊀１５题表(２)若ａ１ʂ３且ａ２＝３ꎬ可得ａ１＝２或４.由题设还可列出表２(数列ａ２ꎬａ３ꎬａ４ꎬａ５共２６个)ꎬ进而可得满足题设的数列共２ˑ２６＝５２个:表２(３)若ａ１ʂ３ꎬａ２ʂ３且ａ３＝３ꎬ可得ａ２＝２或４.当ａ２＝２时ꎬａ１＝１或２ꎻ当ａ２＝４时ꎬａ１＝４或５.所以数列ａ１ꎬａ２ꎬａ３共２ˑ２＝４个.若ａ３＝３ꎬ可得ａ４＝２.同理可得数列ａ３ꎬａ４ꎬａ５共３ˑ３＝９个.进而可得满足题设的数列共４ˑ９＝３６个.(４)若ａ１ʂ３ꎬａ２ʂ３ꎬａ３ʂ３且ａ４＝３ꎬ可得ａ５＝２或３或４ꎬ所以满足题设的数列共２７个.(５)若ａ１ʂ３ꎬａ２ʂ３ꎬａ３ʂ３ꎬａ４ʂ３且ａ５＝３ꎬ满足题设的数列共２１个.综上所述ꎬ可得所求答案是７５＋５２＋３６＋２７＋２１＝２１１.１６.若二次函数ｆ(ｘ)满足∀ｘɪＲꎬ２ｘɤｆ(ｘ)ɤｘ２＋４２及ｆ(－２)＝０ꎬ则ｆ(１０)＝(㊀㊀).Ａ.１２㊀㊀Ｂ.２４㊀㊀Ｃ.３６㊀㊀Ｄ.以上均错解析㊀令２ｘ＝ｘ２＋４２ꎬ得ｘ＝２ꎬ可得ｆ(２)＝４.再由ｆ(－２)＝０ꎬ可设ｆ(ｘ)＝(ｘ＋２)(ａｘ－２ａ＋１)(ａʂ０).因而∀ｘɪＲꎬ２ｘɤｆ(ｘ)ꎬ即∀ｘɪＲꎬａｘ２＋ｘ＋２－４ａȡ(ａʂ０)ꎬ也即ａ>０ꎬә＝１２－４ａ(２－４ａ)ɤ０.{解得ａ＝１４.当ａ＝１４时ꎬ可得ｆ(ｘ)＝１４(ｘ＋２)２.可验证它满足∀ｘɪＲꎬｆ(ｘ)ɤｘ２＋４２ꎬ所以满足题设的二次函数ｆ(ｘ)＝１４(ｘ＋２)２ꎬ因而ｆ(１０)＝３６.１７.将１２个正整数１ꎬ２ꎬ３ꎬ ꎬ１２分别放入６个两两交集为空集的二元集合中ꎬ要求每个集合中的两个元素互质ꎬ则不同的分法种数是(㊀㊀).Ａ.２５２㊀㊀Ｂ.３０２㊀㊀Ｃ.３５２㊀㊀Ｄ.以上均错解析㊀因为２ꎬ４ꎬ６ꎬ８ꎬ１０ꎬ１２这６个偶数两两不互质ꎬ所以它们应分别在题设中的６个集合(设为Ｙ２ꎬＹ４ꎬＹ６ꎬＹ８ꎬＹ１０ꎬＹ１２)中(各放一个).还可得５∉Ｙ１０ꎻ３ꎬ９∉Ｙ６ꎻ３ꎬ９∉Ｙ１２ꎻ１ꎬ７ꎬ１１可任意放入上述６个集合中(但要满足这６个集合均是二元集合).接下来ꎬ再看６个奇数１ꎬ３ꎬ５ꎬ７ꎬ９ꎬ１１如何放?分下面两种情况:(１)５ɪＹ６或５ɪＹ１２ꎬ有２种放法(比如５ɪＹ６).３与９可放在４个集合中的两个集合(比如分别放在Ｙ２ꎬＹ４ꎬＹ８ꎬＹ１０中的Ｙ２ꎬＹ４)ꎬ有Ａ２４种放法ꎻ１ꎬ７ꎬ１１有Ａ３３种放法(比如分别放入集合Ｙ８ꎬＹ１０ꎬＹ１２中).得此时共有２Ａ２４Ａ３３＝１４４种放法.(２)５∉Ｙ６且５∉Ｙ１２ꎬ可得５ɪＹ２或５ɪＹ４或５ɪＹ１２ꎬ５有３种放法(比如５ɪＹ２).３与９可放在３个集合中的两个集合(比如分别放在Ｙ４ꎬＹ８ꎬＹ１０中的Ｙ４ꎬＹ８)ꎬ有Ａ２３种放法ꎻ１ꎬ７ꎬ１１有Ａ３３种放法(比如分别放入集合Ｙ６ꎬＹ１０ꎬＹ１２中).得此时共有３Ａ２３Ａ３３＝１０８种放法.综上所述ꎬ可得所求答案是１４４＋１０８＝２５２.１８.已知ｍꎬｎꎬｋɪＮ∗ꎬ若ｆ(ｘ)＝(１＋ｘ)ｍ＋(１＋ｘ)ｎ＋(１＋ｘ)ｋ的展开式中ｘ的系数是１０ꎬ则ｆ(ｘ)的展开式中ｘ２系数的最大值与最小值之和是(㊀㊀).Ａ.２０㊀㊀Ｂ.３０㊀㊀Ｃ.４０㊀㊀Ｄ.以上均错解析㊀由题设可得ｍ＋ｎ＋ｋ＝１０(ｍꎬｎꎬｋɪＮ∗)ꎬｆ(ｘ)的展开式中ｘ２的系数是Ｃ２ｍ＋Ｃ２ｎ＋Ｃ２ｋ＝１２(ｍ２－ｍ＋ｎ２－ｎ＋ｋ２－ｋ)＝１２(ｍ２＋ｎ２＋ｋ２)－５.由柯西不等式ꎬ可得(１２＋１２＋１２)(ｍ２＋ｎ２＋ｋ２)ȡ(１ｍ＋１ｎ＋１ｋ)２＝１００.所以ｍ２＋ｎ２＋ｋ２ȡ３３１３.再由ｍꎬｎꎬｋɪＮ∗ꎬ可得ｍ２＋ｎ２＋ｋ２ȡ３４.又因为当(ｍꎬｎꎬｋ)＝(３ꎬ３ꎬ４)时ꎬｍ２＋ｎ２＋ｋ２＝３４ꎬ所以(ｍ２＋ｎ２＋ｋ２)ｍｉｎ＝３４.可得ａ２＋ｂ２ɤ１２＋(ａ＋ｂ－１)２⇔(ａ－１)(ｂ－１)ȡ０ꎬ所以有不等式ａ２＋ｂ２ɤ１２＋(ａ＋ｂ－１)２(ａꎬｂɪＮ∗).所以ｍ２＋ｎ２＋ｋ２ɤ１２＋(ｍ＋ｎ－１)２＋ｋ２ɤ１２＋１２＋(ｍ＋ｎ＋ｋ－２)２＝１２＋１２＋８２＝６６.再由当(ｍꎬｎꎬｋ)＝(１ꎬ１ꎬ８)时ꎬｍ２＋ｎ２＋ｋ２＝６６ꎬ所以(ｍ２＋ｎ２＋ｋ２)ｍａｘ＝６６.进而可得ｆ(ｘ)的展开式中ｘ２系数的最大值与最小值之和是１２ˑ６６－５æèçöø÷＋１２ˑ３４－５æèçöø÷＝４０.１９.若әＡＢＣ的各边长依次成等差数列ꎬ则ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ的取值范围是(㊀㊀).Ａ.１ꎬ３２æèç]㊀Ｂ.３２ꎬ２[öø÷㊀Ｃ.(１ꎬ２]㊀Ｄ.以上均错解析㊀可不妨设角ＡꎬＢꎬＣ的对边长分别是１－ｄꎬ１ꎬ１＋ｄ０ɤｄ<１２æèçöø÷ꎬ由余弦定理的推论可得ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ＝１２＋(１＋ｄ)２－(１－ｄ)２２(１＋ｄ)＋(１＋ｄ)２＋(１－ｄ)２－１２２(１＋ｄ)(１－ｄ)＋１２＋(１－ｄ)２－(１＋ｄ)２２(１－ｄ)＝３－６ｄ２２(１－ｄ２)＝３２２－１１－ｄ２æèçöø÷０ɤｄ<１２æèçöø÷进而可求得答案.２０.内接于椭圆ｘ２４＋ｙ２９＝１的菱形周长的最大值与最小值之和是(㊀㊀).Ａ.４１３㊀Ｂ.１４１３㊀Ｃ.１１０３１３㊀Ｄ.以上均错结论㊀设椭圆Γ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０ꎬａʂｂ)的内接菱形是Ωꎬ则Ω的周长的取值范围是８ａｂａ２＋ｂ２ꎬ４ａ２＋ｂ２éëêêùûúúꎬ当且仅当菱形Ω的四个顶点坐标依次是ａｂａ２＋ｂ２ꎬａｂａ２＋ｂ２æèçöø÷ꎬ－ａｂａ２＋ｂ２ꎬａｂａ２＋ｂ２æèçöø÷ꎬ－ａｂａ２＋ｂ２ꎬ－ａｂａ２＋ｂ２æèçöø÷ꎬａｂａ２＋ｂ２ꎬ－ａｂａ２＋ｂ２æèçöø÷时(此时Ω是正方形)Ω的周长是８ａｂａ２＋ｂ２ꎬ当且仅当菱形Ω的四个顶点坐标分别是椭圆的顶点时Ω的周长是４ａ２＋ｂ２.证明㊀由点差法可证得 圆或椭圆内除中心外的点是唯一一条弦的中点 [１]ꎬ由此可再证得结论.椭圆内接平行四边形的中心就是该椭圆的中心.④因而可设菱形Ω各顶点的坐标分别是Ａ１(ａｃｏｓαꎬｂｓｉｎα)ꎬＡ２(ａｃｏｓβꎬｂｓｉｎβ)ꎬＡ３(－ａｃｏｓαꎬ－ｂｓｉｎα)ꎬＡ４(－ａｃｏｓβꎬ－ｂｓｉｎβ)(０ɤα<β<π＋α<π＋β<２π)(即０ɤα<β<π)ꎬ且得Ａ１Ａ２＝Ａ１Ａ４ꎬ即ｂ２ｓｉｎαｓｉｎβ＝－ａ２ｃｏｓαｃｏｓβ.⑤当α＝０时ꎬ由式⑤可得β＝π２ꎬ所以菱形Ω的周长是４ａ２＋ｂ２.当α>０时ꎬ由式⑤可得０<α<π２ꎬ且ｔａｎβ＝－ａ２ｂ２ｔａｎαꎬ则Ａ１Ａ２２＝１－ｔａｎ２α１＋ｔａｎ２α＋１－ｔａｎ２β１＋ｔａｎ２βæèçöø÷ａ２－ｂ２２＋ａ２＋ｂ２＝－ａ２＋ｂ２ｂ４ｔａｎ２α＋ａ４ｔａｎ２α＋ａ４＋ｂ４＋ａ２＋ｂ２.进而可得欲证结论成立.最后解答本题:由证得的结论可得椭圆ｘ２４＋ｙ２９＝１内接菱形周长的最大值与最小值之和是１３＋４８１３＝１００１３１３.参考文献:[１]人民教育出版社ꎬ课程教材研究所ꎬ数学课程教材开发中心.普通高中课程标准实验教科书 数学[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０１０.[责任编辑:李㊀璟]。
北京大学强基计划2020数学
2020 年北京大学强基计划数学试题解析共 20 道选择题，在每题的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对得 5分，选错或不选得 0 分．1.已知w z y x ,,,均为正实数，且满足w y x 和 w z y x 2，则yz xw 的最小值等于（）A.43 B.87 C.1 D.前三个答案都不对参考答案：D 解析：由题知，22wy x z ，因而，21222y w y x x w y w y x x w yz xw x x y y x xy x y w y x212212212212 x y y x ，等号成立当且仅当 z w y x w y y x 2,,2.2．在202120192020 的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个的乘积都不是平方数，则最多可选因数的个数为（）．A．16B．31C．32D．前三个答案都不对参考答案：C解析：由于任意两个因数的乘积都不是平方数，可得任意两个因数的素因数分解式中至少有一个素因数的指数的奇偶性是不同的．因为20212021220192020235101673 ，所以可以选取的素因数为231016735，，，，，共计5个.5个素因数的不同的奇偶组合共有52种．3．已知整数列 n a （1n ）满足11a ，24a ，且对任意2n 有21112n n n n a a a ，则2020a 的个位数字是（）．A．8B．4C．2D．前三个答案都不对参考答案：A解析：由于21112n n n n a a a ，因而对任意3n 有22122n n n n a a a .则2211122n n n n n n a a a a a a ，整理得 212n n n n a a a a11+2n n a a .反证法证明每一个0n a .设s 为最小的正整数使得=0s a .根据上述递推关系可得3102=a a ，但由于31=14a ，因而矛盾.则112311222214244n n n n n n a a a a a a a a a ，因此有1142n n n a a a ．由1a ，2a Z ，可得n a Z ．列举 n a 前27项的个位数为：1，4，4，8，4，0，2，8，8，6，8，0，4，6，6，2，6，0，8，2，2，4，2，0，6，4，4．发现其个位数字具有周期性，周期为24.由于1n a 的个位数由n a ，1n a 所确定，因而 202048mod10a a ．4.设a ，b ，c ，d 是方程43223450x x x x 的4个复根，则11112222a b c d a b c d的值为（）．B．43B．23C．23D．前三个答案都不对参考答案：A 解析：111111114322222222a b c d a b c d a b c d，接下来构造以12a ，12b ，12c ，12d 为4个复根的方程，再利用韦达定理求解．因为2 不是原方程的根，令12y x，则12x y，代入43223450x x x x ，得4321111222324250y y y y．整理得4329160y y my ny l （其中常数m ，n ，l与本题的计算无关）．由韦达定理，可得11111622229a b c d ．因而1111422223a b c d a b c d ．本题也可先使用韦达定理，再把所求表达式进行通分计算转化，但计算量较大.5．设等边ABC △的边长为1，过点C 作以AB 为直径的圆的切线，交AB 的延长线于点D ，AD BD ，则BCD △的面积为（）．A．623316 B．23316 C．32316D．前三个答案都不对参考答案：C解析：如图所示，设AB 中点为O ，CD 切圆O 于E ，则CEO COD ∽△△．可得CE CO OE OD ，得64OD ．可知624BD，因而1323=216BCD S BD BO △．6．设x ，y ，z 均不为1π2k，其中k 为整数，已知 sin y z x ， sin x z y ，sin x y z 成等差数列，则依然成等差数列的是（）．A．sin x ，sin y ，sin z B．cos x ，cos y ，cos z C．tan x ，tan y ，tan z D．前三个答案都不对参考答案：C解析：由题可知， 2sin sin x z y y z x sin x y z ．整理得 sin cos cos sin sin cos x z y x z y y x z ．因而 sin cos cos cos sin 2sin cos cos x z y x z x z y y x z ．整理得sin cos cos cos cos sin 2sin cos cos x y z x y z y x z ．因而tan tan 2tan x z y ．7．方程19934x y xy 的整数解个数为（）．A．4B．8C．16D．前三个答案都不对参考答案：B解析：由19934x y xy ，因式分解可得 49341931931x y ．观察到 4933mod 4x ， 4191mod 4x ，因而4933x ，19，31，31931 ，1 ，319 ，331 ，31931 ，经验证都符合题意，共8组．8．从圆224x y 上的点向椭圆C ：2212x y 引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆C 内不与任何切点弦相交的区域面积为（）．A．π2B．π3C．π4D．前三个答案都不对参考答案：A 解析：如图，设 2cos ,2sin P 为圆上任意一点，切点弦的直线方程是cos 2sin 1x y ．该直线为椭圆2241x y 的切线系方程，因而其面积为π2ab ．9．使得 5x xy a x y 对所有正实数x ，y 都成立的实数a 的最小值为（）．A．8B．9C．10D．前三个答案都不对参考答案：B解析：方法一：参变量分离法由于0,0 y x ，因而512x xy a.进一步得，5121x yya.换元，令512x t y，显然，5t 225121441449169101692169105110112t tt t t t yx ty，等号成立当且仅当13 t ，即94 y x . 因而a 9 .方法二：待定系数法引入参数0 A ，6512556y y x xy x Ax A x A A，令656A A，可得32 A .因而 5129x xy x y ，得9a .10．设P为单位立方体1111ABCD A B C D 的面对角线1AB 上的一点，则11PA PC 的最小值为（）．22 222C．222D．前三个答案都不对参考答案：A解析：图1图2将图1中的11AA B △和矩形11B C DA 放置于同一个平面内，如图2所示，则1111112cos13522PA PC A C ，当且仅当P 在线段线段11A C 上时等号成立.11．设数列 1n n a 满足11a ，29a ，且对任意1n 有214320n n n a a a ，其前n 项和为n S ，则n S 的最大值等于（）．A．28B．35C．47D．前三个答案都不对参考答案：A解析：由题可得 21103101n n n n a a a a ，可得1+11023n n n a a ．因而当3n 时，10n n a a ．因为11a ，29a ，313a ，45a ，当5n 时，0n a ，故428S 最大．12．设直线3y x m 与椭圆2212516x y 交于A ，B 两点，O 坐标原点，则OAB △面积的最大值为（）．A．8B．10C．12D．前三个答案都不对参考答案：B解析：方法一、设 5cos ,4sin A ， 5cos ,4sin B ，可得001cos sin 15cos 4sin 11010sin()10cos sin 25cos 4sin 1OABS△ ．当π2，及4sin sin 35cos cos k时，可取到等号．方法二、联立方程可得22241150254000x mx m .可得42121202411010224110m m m S AB d x ，等号成立时当且仅当2241=2m .13．正整数3n 称为理想的，若存在正整数11k n 使得1C k n ，C k n ，1C k n 构成等差数列，其中 !C !!k n n k n k 为组合数，则不超过2020的理想数个数为（）．A．40B．41C．42D．前三个答案都不对参考答案：C解析：根据112C C C k k k n nn ，可得224420k nk n n ，解得22n n k．因而2n 是完全平方数．计算得52022 的完全平方数共42个．14．在ABC △中，150A ，1D ，2D ，…，2020D 依次为边BC 上的点，且11223BD D D D D 201920202020D D D C ．设11BAD ，122D AD ，…，201920202020D AD ，20202021D AC ，则132021242020sin sin sin sin sin sin 的值为（）．A．11010B．12020C．12021D．前三个答案都不对参考答案：D解析：如图，可知1122320202021BACBAD D AD D AD DACS S S S SV L △△△△．则1232020123420192020132021242020sin sin sin 2sin sin sin 2021BAD D AD D AC BACD AD D AD D AD S S S AB AC S S S S△△△△△△△L L L L ．因而132021242020sin sin sin 1sin sin sin 4042L L ．15．函数 22323cos cos 523cos cos 4sin f 的最大值为（）．23 B．223 223 D．前三个答案都不对参考答案：C解析：23cos 23cos 2622cos 4sin f263cos 23cos 2626cos arcsin 33cos 23cos 223等号成立当且仅当6arcsin3．5412211x x x x 的实根个数为（）．A．1B．2C．3D．前三个答案都不对参考答案：D解析：54122112111x x x x x x ，等号成立时当且仅当112x ，因而方程的实根有无数个．17．凸五边形ABCDE 的对角线CE 分别与对角线BD 和AD 交于点F 和G ，已知:5:4BF FD ，:1:1AG GD ，::2:2:3CF FG GE ，CFD S △和ABE S △分别为CFD △和ABE △的面积，则:CFD ABE S S △△等于（）．A．8：15B．2：3C．11：23D．前三个答案都不对参考答案：A 解析：如图，设BE 交AD 于H ．对BEF △及截线DGH 用梅涅劳斯定理定理，可得1BH EG FDHE GF DB，于是有32BH HE ．对BDH △及截线EFG 用梅涅劳斯定理定理，可得1BF DG HEFD GH EB，因而2DG GH ．因而815CFD CFD GED AEH ABE GED AEH ABE S S S S CF GD EHS S S S GE AH BE △△△△△△△△．18．设p ，q 均为不超过100的正整数，则有有理根的多项式 5f x x px q 的个数为（）．A．99B．133C．150D．前三个答案都不对参考答案：B解析：由题知有理根为负整数.设mt n为 f x 的有理根，且满足 ,1m n ，m 为负整数，n 为正整数.代入可得，5450m pmn qn .因而1n .当1m 时，10p q ，符合条件的 ,p q 有99组．当2m 时，1322100q p ，可得134p ，符合条件的 ,p q 有34组．当3m 时， 5100q m pm ，没有符合条件的 ,p q ．因而答案为9934133 ．19．满足对任意1n 有123n n n a a 且严格递增的数列 1n n a 的个数为（）．A．0B．1C．无穷个D．前三个答案都不对参考答案：B解析：由题意可得，1113221525n n n n a a ，因而 1122355n n n a a ．则 1112243055n n n n a a a ，即 11312522n a．当125a 时， 113125202n a恒成立，因而数列严格递增．当125a 时， (21)113lim 2522k k a， 11312522n a不可能恒成立，数列不严格递增．当125a 时， 2113lim 2522k k a， 11312522n a不可能恒成立，数列不严格递增．20．设函数 ,,x y z f x y z x y y z z x，其中x ，y ，z 均为正实数，则有（）．A．f 既有最大值也有最小值B．f 有最大值但无最小值C．f 有最小值但无最大值D．前三个答案都不对参考答案：D解析：若0 b a ，0 m ，由糖水不等式可知，ma mb ab .因而， z y x z y z y x y x z y x z x x z z z y y y x x z y x f ,, 22 z y x z y x .又由于 1,,zy x zz y x y z y x x x z z z y y y x x z y x f ，因而 2,,1 z y x f .令32,,,,x x x z y x ，则 22112,,x x x z y x f .可得 2,,lim 0z y x f x ， 1,,limz y x f x .因而，f 无最大值也无最小值.。
北京大学2020高水平艺术团招生测试数学试卷真题(含答案详解)
2020年7月16日北京大学高水平艺术团招生文化课测试1．已知1，122018,,, x x x 是201910x -=的2019个根，求122018111111x x x ++++++ 的值．2．已知18,87,A B D == 在BC 的延长线上，且DC BC =，E 在AC 上，且18,CED ∠= 求CE 与BD 的比值.3．双曲线：221169x y -=有一点P 在双曲线上，分别过P 点作渐近线平行线交x 轴于,A B ，且A 在靠近原点的一侧，过A 点作x 轴垂线交以OB 为直径的圆于点C ，求OC 的取值范围.4．正方体1111,,ABCD A B C D O P -分别为面111111,AA DD A B C D 的中心，求AP 与1OC 夹角的正弦值．5．四边形ABCD 中，8,60,30,BC b C === 且1,CD =若四边形面积为,2求AB 的长．6．已知三角形ABC 中,6,BC AD BC =⊥且4,AD =求AB AC ⋅的最小值．78．已知222264,100a cbc ⎧+=⎨+=⎩求22a b +的取值范围．9．已知三角形中：2222020a b c +=，求()cot cot tan A B C +⋅的值.10．已知8152719m n a a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求()202024301m n +-的值．11．直角ABC V 中，C 为直角，作D AB CD ,⊥到AB 的中点距离为3，又已知AB 所在的中线长为5，求ABC S ．12．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[][]π3,π4=-=-等，求012202022223333⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的值．13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[]π3=，[]π4-=-等，现记{}x 为[]x x -，则{}2020x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭有几个交点．14．已知ABCV的三条边分别为3，4，6，则长为6的边对应的中线的长度位于区间（）A．[1.6,1.7)B．[1.7,1.8)C．[1.8,1.9)D．以上答案都不正确15．已知复数z满足1122z=+，则232020,,,,z z z z中不同的数有（）A．4个B．6个C．2019个D．以上答案都不正确16．平面上有n个互不相交的圆，若该平面上的点O不论往何种方向的射线都能与3个圆相交，问n至少为多少？（）A．6B．7C．8D．都不是1．1009【分析】令2π2πcosisin 20192019k k k x =+，得()()11111k k k k x x x x +=+++1i πtan 222019=-k ，再结合()tan tan π0αα+-=可得答案．【详解】由题意可得2π2πcos isin 20192019k k k x =+，则()()2π2π1cosisin11201920192π11122cos 2019k k k k k k x k x x x +-+==++++2πisin 120192π221cos 2019k k =-⎛⎫+ ⎪⎝⎭2ππ2isincos 11i π20192019tan π22220194cos2019=-=-k k k k ，因为()tan tan πtan tan 0αααα+-=-=，所以122018111111x x x ++++++ 2018i π2π2018πtan tan tan 100922201920192019⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭．2．CEBD=【分析】利用正弦定理及两角差的正弦公式可求CEBD的值.【详解】因为()sin 7518sin75cos18cos 75sin18sin18CE CD ︒-︒︒︒==-︒，且sin75sin(4530),cos75cos(4530)44︒=︒+︒=︒=︒+︒=，下面计算18θ=︒，因为3290θθ+=︒则sin3cos2θθ=，所以323sin 4sin 12sin θθθ-=-，即()()2sin 14sin 2sin 10θθθ-+-=，因此sinθθ==，从而可得4CECD =则CEBD=3．4OC =【分析】根据直线,PA PB 方程可求得,A B x x ，由射影定理可求得结果.【详解】由对称性不妨取点P 在第一象限，设0,0，则22001169x y -=，由双曲线方程可得其渐近线方程为：34y x =±，则()003:4PA y y x x -=-，()003:4PB y y x x -=--，0043A x x y ∴=-，0043B x x y =+，2OC OA OB =⋅ ，222016169A B OC x x x y ∴=⋅=-=，4OC ∴=.4．116．【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】建立如图所示空间直角坐标系,设2AB =则()()()1(1,0,1),0,2,2,2,0,0,1,1,2O C A P ，()()11,1,2,1,2,1AP OC =-=-，∴AP 与1OC 所成角θ的余弦值为11||1225cos 6114141||||OC AP OC AP θ⋅++===++⨯++⋅uuu r uu u r uuu r uu u r .所以211sin 1cos 6θθ=-=．5．1523347AB -=【分析】把四边形面积转化为ADCB ADE EBC S S S =+ 计算即可求出边长AB .【详解】将图形补成直角三角形易知4,43,83BCE BE CE S === 因此3311(431)222ADE S AE ED AE ==⨯=⨯- 则363347AE +=，则1523347AB -=6．25【分析】本题建立直角坐标系，分析知点A 始终在直线4y =上运动，结合三角形面积公式以及等积变形可知，当sin A 最大时，AB AC ⋅取得最小值，此时AB AC =，计算即可得出结果.【详解】由题意可得6BC =，4,AD =因为1sin 122S bc A ==，所以24sin bc A =，欲使bc 最小，则sin A 最大，如图所示，显然点A 在直线4y =上运动，且在以BC 为直径的圆外，欲使sin A 最大，则只需以BC 为弦的圆与4y =相切时最大，则此时5b c ==，()min 5525=⨯=bc ，即AB AC ⋅的最小值25．7．【分析】根据基本不等式结合不等式的性质应用求出最值计算即得.【详解】因为2a b a b =++≥+,因为()()22a b a b a b a b =++≤+++=+,=当2020x =或者x =+≤==当2015x =时，等号成立因此最大值和最小值的乘积为8．[]36,164【分析】利用不等式的性质可求取值范围.【详解】根据题意知2221642a b c +=-且2064c ≤≤，所以212820c -≤-≤，则2436164216c ≤-≤，所以2243616a b ≤+≤故答案为：[]36,1649．22019【分析】先应用余弦定理化简得出22cos 2019ab C c =，再结合同角三角函数关系及两角和正弦公式化简，最后结合正弦定理求值.【详解】由余弦定理可得222220202cos a b c c ab C +==+，则22cos 2019ab C c =，则()()sin cos cos sin cos sin cos sin sin sin cot cot tan sin sin cos sin sin cos sin sin cos A B A B C A B B A C CA B C A B C A B C A B C++⎛⎫⎛⎫+⋅=+⋅=⋅=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222sin 22019sin sin cos cos 20192C c c A B C ab C c ====.10．1【分析】根据条件，利用指对数的互换和换底公式，得到24300m n +=，即可求出结果.【详解】由827m a =，得到27log 8a m =，又由1519na =，得到91log 15n a=，所以279331124303log 2log log log 0m n a a a a+=+=+=，故()()202020202430111m n +-=-=.11．20．【分析】算出斜边的长和斜边上的高的长度后可求面积.【详解】设CM 为ABC V 的中线，5,3CM DM ==，且C 为直角，则22510AB CM ==⨯=，根据勾股定理得4CD =,于是111042022ABC S AB CD =⨯⨯=⨯⨯=.12．2021230323-【分析】根据()()21mod3nn=-可求23n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的形式，再利用分组求和可求数列的和.【详解】当n 为偶数时()22121mod3,33n n n⎡⎤-==⎢⎥⎣⎦当n 为奇数时，()21mod3n=-，则22233n n ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦因此0122020012020202122222221011202023032333333⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++---++++==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.13．无穷多个【分析】根据新定义的含义可确定x 和2020x的小数部分相同，由此可得结论.【详解】由{}2020x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭得：[]20202020x x x x ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦，x ∴和2020x 的小数部分相同，2020x x∴-为整数，{}2020x x ⎧⎫∴=⎨⎬⎩⎭有无穷多个交点.14．C【分析】根据边长与中线的等式关系可得正确的选项.【详解】根据平行四边形的性质，边长为6所对应的中线长x 满足：()()222222272346(2) 3.5 1.8,1.92x x ⨯+=+⇒==∈，于是所求区间为[1.8,1.9)．故选：C.15．B【分析】根据复数的三角形式可求61z =，从而可判断出不同的数的个数.【详解】根据题意，有61cos isin 12233z z ππ⎛⎫⎛⎫=-=-+-⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是232020,,,,z z z z 中有6个不同的数．故选：B.16．D【分析】根据已知条件确定n 的最小值.【详解】设平面上有3个同心圆，O 为它们的圆心，这3个圆不相交，该平面上的点O 不论往何种方向的射线都能与3个圆相交，符合题意,n 可以取3.故选：D.。
2019-2020北京大学和清华大学强基计划数学笔试试题
2019年北京大学博雅计划笔试试题1.金字塔的底座为边长是200米的正方形。
如果一个游客处于距离底座中心200米的圆周上，则游客可以同时看到金字塔两个塔面的概率为________。
A. 13B. 12C. √32D.以上答案都不对2. 已知f (x )=a sin x ,x ∈[0,π2]. 其中a >0. 若f(x)与其反函数y =f −1(x)有两个交点，则实数a 的取值范围是_________。
A.0<a <1 B. 1<a <π2C. 2π<a <π2D.以上答案都不对3.f (x )=√1+x 2+1−x 21+x 2的取值范围是___________。
A.(−2,1]B.(−2,98]C.(−2,98)D.以上答案都不对4.四面体P −ABC 的底面是边长为2的正三角形ABC ，PC 垂直于面ABC ，PC =1. M,N 分别为AB,BC 的中点，则异面直线PN,CM 的夹角的正弦值为__________。
A. 14B. √54C.√104D.以上答案都不对5.已知函数f(x)满足对任意的x ≠0或1，均有f (x )+f (11−x )=x . 求f (2). 6. 已知点A (12,√32)关于直线y =kx 的对称点A′落在圆(x −2)2+y 2=1上，则k的值为_________。
A. 12B. √33C.1D.以上答案都不对7.已知x,y,z 均为正实数。
则f (x,y,z )=xyz(1+4x)(9x+y)(4y+z)(9z+1)的最大值为_____。
A. 1576B. 11024 C. 11296D.以上答案都不对8.已知a,b,z 均为复数，对任意的|z |=1，均有|z 4+az 2+b |=1. 则ab 的值为_________。
A.i B.−i C.1 D.以上答案都不对9.从6名男员工和4名女员工中各抽取2人，组成羽毛球混合双比赛。
北京大学2024年强基计划笔试数学试题
北京大学2024年强基计划笔试数学试题考试时间 2024年6月30日上午9：00-11：00以下为理科数学试题，共20题.2024ii=1模 7 的余数.1. 求∑�19ii20�2. 求sin36∘−sin3114∘+sin3126∘ .3. 求1,2,…,8的排列的个数,使得排列中没有出现连续的12,23,…,78 .4. 已知数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,… ,求第 2024 项模 5 的余数.5. 求四元组(aa1,aa2,aa3,aa4)的个数,使得aa ii∈{1,2,3} ,且10<aa1aa2aa3aa4< 20.6. 求(0,2ππ]上方程2cosxx=sin xx的解的个数.7. 求ℝ上方程xx�ee xx4−1−1�+(xx−1)(xx4−1)=0的解的个数.8. 求ℝ上方程xx2−13[xx]+11=0的解的个数.9. 在体积为 1 的正方体内取一个点, 过这个点作三个平行于正方体面的平面,将正方体分为 8 个长方体,求这些小长方体中体积不大于18的长方体个数的最小值.10. 在离心率为√32的椭圆中, FF1,FF2是两个焦点, PP是椭圆上一点,且∠FF1PPFF2=ππ3,|PPFF1|−|PPFF2|=3 ,求SS△PPFF1FF2 .11. 用SS(nn)表示正整数nn的数码和,求满足SS(nn+1)与SS(nn)均为 5 的倍数的nn的最小值.112. 称正整数nn为好数,当它各位数字均不相同,且对于所有正整数mm满足�nn10mm�>0 ,都有�nn10mm�∣nn ,求最大的好数的范围. (选项为(0,1000),(1000,2000),(2000,3000) .)13. 在△AAAAAA中,求cos AA cos AA cos AA的最小值.14. 在△AAAAAA中,若AAAA边上的高为13aa ,求(bb+cc)2bbcc的范围.15. 在△AAAAAA中,若aa=2,bb=√2,cc=2√2,DD在AAAA上,比较AADD2与2DDAA×DDAA的大小.16. 在△AAAAAA中,若OO为形外一点,满足∠AAOOAA=2∠AAAAAA ,线段OOAA与线段OOAA交于DD ,且OOAA=OOAA=3,OODD=2 ,求AADD×AADD .17. 在△AAAAAA中,若DD在AAAA上, AADD平分∠AAAAAA,△AADDAA的内心与△AAAAAA的外心重合,求∠AA .18. 在△AAAAAA中,若DD在AAAA上, AADD平分∠AAAAAA,AAAA=AADD=3,AADD= 2 , 求△AAAAAA的周长.19. 在△AAAAAA中,求2sin AA+sin AA+sin AA的最小值.20.aa1=√2, aa nn+1=[aa nn]+1{aa nn} ,求∑aa kk2024kk=1 .2北京大学2024年强基计划笔试数学试题解析345678。
北京大学2021年强基计划数学学科模拟题2及答案
本卷共6大题，限时80分钟1、将分数20201312111、、、、⋅⋅⋅⋅写在黑板上，一名学生任意选择两个数x ，y ，擦掉它们并写下x+y+xy ，直到黑板上只有一个数为止，求证：黑板上剩下的数是定值，并求出这个定值。
2、设两条平行于x 轴的直线分别与函数f(x) = x³+ax²+bx+c 的图像恰有两个交点。
证明:以这四个交点为顶点的四边形是菱形当且仅当其面积为6.3、设△ABC 的外接圆为圆Γ，∠A = 90°,∠B<∠C,过点A 作圆Γ的切线与BC 交于点D,E 是点A 关于BC 的对称点,点A 在BE 上的投影为X,Y 为边AX 的中点,BY 与圆Γ的第二个交点为Z.证明:BD 与△ADZ 的外接圆相切.4、求最小的正整数n ，使得在区间(-1,1)上存在n 个实数，其和是0，平方和是205、已知平面上有n 个点，任意三点不共线，证明：顶点在这n 个点当中且面积为1的三角形个数不超过2(n²-n)/3。
6、设r 、k 为正整数,且r 的所有素因数比50大.一个正整数在十进制表示下至少有 k 位数(首位数不为零),若其十进制表示下的每个连续的k 个数字组成的整数(可能首位 数为零)均为r 的倍数,则称为“好数”。
证明:若存在无穷多个好数,则10k -1为好数.参考答案1、解：.2020..11111111.1)1)(1(.,,1.2.2.1111),2(,,1211111111212121所以答案是由此，完成了归纳证明）（））（（））（（）（次操作后，剩下的数是再进行，并写下、掉了不失一般性，假设它擦个数后，剩下写在黑板上，一次操作个数考虑，结论成立假设时，结论显然是成立当）（））（（则最后的数为最初的数是用数学归纳法证明：若-+⋅⋅⋅++=-++⋅⋅⋅+-++=++=⋅⋅⋅+≥==-+⋅⋅⋅++≥⋅⋅⋅+-+++++k k k k k k k k k k k k k n n a a a b a a k a a a a a a b a a k a a a k k n n a a a n a a a2、.62816.281,811613)274()32(.274274.,.2743.3274,32.274)(274.274,32,23)(.0,).,)(()0,0,.,)(,4442324333212133222为是菱形当且仅当其面积，故四边形而则又为为平行四边形，其面积且四边形于是，），（从而，所以，由韦达定理得因为方程有重根的根的方程），，（点为与函数图像的第二个交直线）（所以，因为）（二个交点轴，其与函数图像的第为于是，直线为正实数为实数，（），（可使图像满足）（）（和）（）（通过平移变换和极小值点）图像的极大值点（别过函数分且设存在极小值和极大值，存在，当且仅当证明：满足条件的直线平行平行ABCD t S t t BC t t t t t BC t t t S ABCD t DC AB t t A t t x x t x x t x f t A q t t B xt x x f t C x p t e d t x x x f D e x f x g d x f x g B D x f q p x f q p ABCD ABCD =⇔==⇔=+=-+-=====---=⇒-===-=---='-=+=+=αααα3、.....,.,..,..外接圆的切线为因为，四点共圆，进而、、、所以，三点共线，从而、、于是，故～则又～则易知为直径，所以因为即只需证明三点共线、、接下来证明，联结如右图，作直径AZD BD ZAD ZNA MNO MDZ D Z O N MD MO ME MA MZ NM Z M N ABZ ABY ANM ANM ABY AMAY AE AX AN AB NAM BAY ANE Rt ABX Rt ABX ABE ANE EN AE AN ABZ ANM ANN ANM Z M N NE AN ∆∠=∠=∠=∠⋅=⋅=⋅∠=∠=∠∆∆==∠=∠⇒∆∆∠=∠=∠⊥∠=∠∠=∠4、 {}.22).2212(1110),111(1110.22.22..202)()()(20.0,10,211.10.221.101,211.0),211(21.021.200,,21.21.11120.,,2122221211222212212122221221222122121211212112121211221222121212222121的最小值为综上，取的例子下面是于是，矛盾）（故得由对于每个，则又妨假设也满足条件，因此，不，，，由于使得）（数于是，存在唯一的正整均有，对于所有的是最小的正整数，所以因为，即于是，是递增的并假设数列，，，设若于是，则满足条件假设个n i a i a n n k a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a i k k Z k k a a a a a a a a k k a i i a a a a a a a a a a a a a a n n n a a a a a a i i k k k k k k i i i k k i n n n n ≤≤-=≤≤==≥≤<-⋅⋅⋅---++⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++<⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++=<<<<≤≤+≤∈≤-⋅⋅⋅--<⋅⋅⋅≤<<≤⋅⋅⋅≤≤<-≤≤≠≤≤≤≤≤+⋅⋅⋅++≤=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅=≥=+⋅⋅⋅++<⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅+++5、 .2211的直线的距离均为且与的轨迹为两天平行于，即点的距离为到，则的面积为满足的定点，若点是平面上两个距离为、设引理dAB AB C d AB CABC C d B A ∆ 引理1的证明是显然的.引理2 以B A 、为其中两个顶点且面积为1的三角形的个数不超过四个.引理2的证明 若满足条件的三角形的个数多于四个，根据引理1和抽屉原理，知在这两条与AB 的距离均为d2且平行于AB 的直线中，存在一条直线至少包含三个点，矛盾. 回到原题.设满足条件的三角形个数为T .由于每两个点最多确定四个满足条件的三角形，每个三角形的三个顶点组成两个三个由两个顶点构成的点对，因此，每个三角形被重复计算了三次. 于是.343422）（，即n n T C T n -≤≤6、证明 由于无穷多个好数，则一定存在一个好数，至少有110+k 位数。
北京大学强基计划2020年数学试题(word版+解析版)
第1页/共3页北京大学强基计划2020年数学试题详解 1.正实数,,,x y z w 满足x y w ≥≥，且2()x y w z +≤+，求w z x y+的最小值. 2.若50x px q ++=有有理根，且正整数,p q 不大于100，则满足条件的(,)p q 共有几组.3.已知椭圆2212x y +=，圆224x y +=，从圆上一点作椭圆的切点弦，求切点弦围成的面积. 4.求19934x y xy +=整数解的组数.5.已知,,0x y z >，判断x y z s x y y z z x=+++++是否存在最大值与最小值. 6.已知数列{}n a 满足：11a =，24a =，且21112n nn n a a a --+-=(2n ≥，*n ∈N )，求2020a 的个位数.参考答案1.解析因为2()x y w z +≤+，所以2x y z w +≥- 所以122z x w y y y ≥+- 所以122w z w x w x y x y y +≥++- 因为w w y x y x=⋅，所以1w w w y x y y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 因为x y w ≥≥，所以11w y y y x x⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭所以111112222222w x w w w x y x x y y x y y x y ⎛⎫++-=-++≥-++≥ ⎪⎝⎭所以12w z x y +≥，其中等号当且仅当x ==且z y 时成立，故w z x y +122.解析：设50x px q ++=的有理根为m n ，其中0n >，且n ，||m 互素，则有550m pm q n n ++=，所以5450m pmn qn ++=，所以5m 能被n 整除，又因为,||n m 互素，所以1n =.所以4()q m m p =-+，因为p ,q 均为正整数，所以0m <，又因为,p q 是不大于100的正整数，所以1m =-或2m =-，当1m =-时，1q p =+，这时111001100q p p ≤=+≤⎧⎨≤≤⎩，解得199p ≤≤且*p ∈N ，满足条件的(,)p q 有99组； 当2m =-时，2(16)q p =+，由12(16)1001100q p p ≤=+≤⎧⎨≤≤⎩解得134p ≤≤且*p ∈N ，满足条件的(,)p q 有34组。
北京大学强基计划数学测试模拟试题一
北京大学强基计划数学测试模拟试题一已知函数 f(x) = x^2 - 2x + 3，则 f(2) 等于：A. 1B. 2C. 3D. 4若直线 l 通过点 P(1,2) 且斜率为 -1，则直线 l 的方程为：A. y = -x + 1B. y = -x + 2C. y = -x + 3D. y = -x + 4下列矩阵中，属于对称矩阵的是：A. [1 2; 3 4]B. [1 0; 0 -1]C. [2 1; 1 3]D. [0 1; -1 0]微积分的基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）可以表示为：A. ∫f(x)dx = F(x) + CB. ∫f(x)dx = F'(x) + CC. ∫f'(x)dx = f(x) + CD. ∫f'(x)dx = f(x) - C设随机变量 X 服从二项分布 B(n, p)，则 P(X = k) 表示：A. 在 n 次独立重复试验中事件发生的次数为 k 的概率B. 在 n 次独立重复试验中事件不发生的次数为 k 的概率C. 在 n 次独立重复试验中事件发生至少 k 次的概率D. 在 n 次独立重复试验中事件发生至多 k 次的概率已知三维向量 a = (1, 2, 3) 和 b = (4, 5, 6)，则向量 a和b的点积为：A. 32B. 26C. 13D. 5下列关于线性方程组的描述中，正确的是：A. 若线性方程组有唯一解，则系数矩阵的行列式不为零B. 若线性方程组有无穷多解，则系数矩阵的行列式为零C. 若线性方程组无解，则增广矩阵的行列式不为零D. 若线性方程组有解，则系数矩阵和增广矩阵的行列式相等已知椭圆 C: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为√3/2，且过点 (2, √3)，则 a 的值为：A. 4B. √7C. √13D. 2√3。
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二、北京大学2020年高水平艺术团招生简章
根据教育部有关文件规定，结合北京大学实际情况，为促进素质教育，繁荣校园文化，我校将于2020年2月下旬举办“北京大学2020年高水平艺术团招生测试”，并根据测试成绩，择优认定北京大学2020年高水平艺术团候选人。
一、招生对象
1、符合国家规定条件，参加2020年全国普通高等学校统一招生考试的高中毕业生。
2、艺术特长突出、综合素质全面、学习成绩优良、身体健康、符合北京大学录取条件的优秀学生。
二、招生项目及录取优惠政策
三、报名与初审
1、报名方式及时间
本次测试实行网上报名，请考生登录北京大学本科招生网上报名平台（点击“阅读原文”进入），按网上要求注册、填写并打印《北京大学2020年
高水平艺术团招生测试申请表》，经中学签章后附上相关报名材料寄至北京大学招生办公室。
报名网址：北京大学本科招生网上报名平台（点击“阅读原文”进入）
网上报名时间：2019年12月25日至2020年1月3日24:00
截止接收报名材料时间：2020年1月6日17:00（以实际收到时间为准）
邮寄地址：北京市海淀区颐和园路5号北京大学老化学楼120室邮编：100871
来函请用EMS特快专递寄出，并在信封注明所报项目、类别。
2、报名条件及要求
符合招生对象要求的考生，每人限报一个项目。
各类别报名条件如下：声乐类：只招收美声唱法的优秀考生，要求考生能熟练视唱五线谱，具备参加合唱团的经历或在省级（含）以上声乐或合唱比赛中获得优异成绩。
报名材料须包括中学提供的参加合唱团的证明或省级（含）以上声乐或合唱比赛获奖证书（复印件）、DVD格式的考生本人演唱的影像资料（录音录像必须是同期声，不允许后期对声音进行修饰处理），内容包括考生自选曲目及练声展示。
舞蹈类：招收有舞蹈特长的优秀考生。
要求考生受过系统的舞蹈训练，有扎实的舞蹈基本功功底、较强的舞蹈学习能力。
报名材料须包括DVD格式的考生影像资料，内容包括考生自选独舞剧目及基本功、技巧展示。
管弦乐类：考生演奏技术优秀，具备参加乐团演奏经历（以学校证明为准）。
报名材料须包括中学提供的参加乐团的证明和DVD格式的考生独
奏影像资料（录音录像必须是同期声，不允许后期对声音进行修饰处理）。
民乐类：考生能够熟练掌握所报考的乐器，具有参加乐团演奏经历（以学校证明为准）。
打击乐为民族打击（如大鼓、排鼓）兼键盘打击乐（如马林巴、木琴），分数各占百分之五十。
报名材料须包括中学提供的参加乐团的证明和DVD格式的考生独奏影像资料（录音录像必须是同期声，不允许后期对声音进行修饰处理。
报考打击乐项目的考生提供的影像资料须包括民族打击和键盘打击乐的演奏）。
3、报名材料
（1）各类项目指定要求的材料。
（2）由中学盖章的《北京大学2020年高水平艺术团招生测试申请表》。
考生将上述材料用EMS特快专递寄出，并在信封标注所报项目、类别，于2020年1月6日17:00前寄达北京大学招生办公室，地址：北京市海淀区颐和园路5号北京大学老化学楼120室，邮编：100871。
材料未按时寄到者，视为自动放弃报名。
为防止光盘在寄送过程中出现损坏等特殊情况，考生还可在报名过程中提供网盘的分享链接，作为备份申请材料。
考生报名材料应当清晰、真实、完整。
报名材料中存在虚假内容或隐匿可能对考生产生不利影响的重大事实的，按教育部相关规定处理。
报名材料恕不退还，请考生自行做好备份。
4、初审
我校组织专家根据考生提供的材料进行初审，确定参加高水平艺术团招生测试的考生。
未按要求提供材料者，网上报名项目与寄送的报名材料内容
不一致者，初审不予通过。
各项目参加测试的考生名额上限为拟签约人数的8倍。
四、测试程序和录取办法
1、我校对考生报名材料进行初审后将于2020年1月20日左右在北大招生网发布高水平艺术团招生测试通知，请提交申请表的考生登录北京大学本科招生网上报名平台（点击“阅读原文”进入）查询，通过初审的考生直接在报名平台打印测试通知书。
考生凭测试通知书及有效身份证件参加“北京大学2020年高水平艺术团招生测试”。
2、艺术项目测试：报名参加“北京大学2020年高水平艺术团招生测试”的所有考生须自备乐器。
测试期间，伴奏仅限CD格式，其他格式伴奏（磁带、DVD、MP
3、WMV等）不予播放。
测试过程全程录像。
艺术项目测试采用“考评分离”的办法，现场录像，异地评审。
声乐类考试要求为，现场演唱曲目（4分钟以内）及五线谱抽签视唱。
舞蹈类考试要求为，现场剧目展示（独舞，3分钟以内）及跳、转、翻、软度、控制能力等基本功技巧考核。
管弦乐类考试要求为，现场独奏乐曲一首（4分钟以内）及五线谱抽签视奏。
民乐类考试要求为，现场独奏曲目一首（4分钟以内）（打击乐两类乐器总时长5分钟以内），视奏1分钟以内（打击乐视奏用马林巴），除大提琴、低音提琴视奏用五线谱外，其他乐器视奏提供五线谱及简谱（考生可任选其一）。
参加测试的考生除马林巴、大鼓和排鼓外，其他乐器自带。
3、文化课测试：高水平艺术团招生测试期间，我校将组织考生进行文化课测试。
考试科目为：语文、数学、英语。