北师大九年级上册数学期末考试试题及答案
A
B
BC 之间运动，则他在墙上的投影长度随着他离墙的距离变小
而
． ( 填“变大”、“变小”或“不变” ).
8．反比例函数 y
k2 （ k 为常数， k 0 ）的图象位于第
x
象限．
1
9．根据天气预报，明天的降水概率为 15％，后天的降水概率为 70％，假如小明准备明天或 者后天去放风筝，你建议他 __________ 天去为好 .
E ，连结 EC ，则 AEC 的度数是
．
A
A
ED
O
BF
C
Ｅ
13．已知关于 x 的方程 x2 3mx m 2 0 的一个根是 x 1 ， Ｂ
Ｄ
C
那么 m
．
14．要组织一次篮球联赛， 赛制为单循环形式 （每两队之间都赛一场） ，计划安排 21 场比赛，
应邀请
个球队参加比赛． [来源 :学 #科 #网 Z#X#X#K]
21．小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为 帮小强计算这块菜地的面积（结果保留根号） ．
40m，50m，第三边上的高为 30m，请你
3
22．某农场去年种植了 10 亩地的南瓜， 亩产量为 2000 kg ，根据市场需要， 今年该农场扩 大
了种植面积， 并且全部种植了高产的新品种南瓜， 已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增 长率的 2 倍，今年南瓜的总产量为 60 000kg，求南瓜亩产量的增长率．
，若翻到“哭脸”就不
获奖 ,参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会，且翻过的牌不能再翻．有一位观众已翻牌两次，
一次获奖，一次不获奖，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是
1
2
1
5
C
A．
B．
C．
D．
5
9
4
18
二、填空题（每小题 3 分，共 27 分）
7．如图， 地面 A 处有一支燃烧的蜡烛 ( 长度不计 ) ，一个人在 A 与墙
10．随机掷一枚均匀的正方体骰子，骰子停止后朝上的点数小于
3 的概率是
．
11．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O ，过点 O 的直线分别交 AD 和 BC 于
点 E、 F， AB 2， BC 3 ，则图中阴影部分的面积为
．
12．如图， ABC 50 ， AD 垂直平分线段 BC 于点 D， ABC 的平分线 BE 交 AD 于点
15．已知梯形的两底边长分别为 6 和 8，一腰长为 7，则另一腰长 a 的取值范围是
．
三、解答题 （本题共 8 道小题，第 16 小题 8 分，第 9 ~ 20 小题各 9 分，第 21、22 小题各 10 分，第 23 题 11 分，共 75 分）
16．下图是一个立体 图形的三视图，请根据 视图写出该立体图形的名称，并计算该立体图 形的体积（结果保留 ）．
北师大版九年级上册数学期末考试试题及答案
一、选择题（每小题 4 分，共 24 分） 下列各小题均有四个答案， 其中只有一个是正确的，
括号内。
请将正确答案的代号字母填入题后
1．在Rt△ ABC中， C＝90 ， BAC 的角平分线 AD 交 BC 于 点
A
D， CD＝2 ，则点 D 到 AB 的距离是（
正
左
视
10
视
图
图
10
俯 视 图
10
k 17．如图，反比例函数 y 的图象与一次函数 y mx b 的图象交于 A(1，3) ，B (n， 1) 两
x
点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象回答：当 x 取何值时，反比例函数的值大于一
y
A 次
函数的值．
O
x
B
2
18．九年级（ 1）班要举行一场毕业联欢会，规定每个同学同时转动下图中①、②两个转盘 （两个转盘分 别被二等分和三等分） ，若两个转盘停 止后指针所指的数字之和为奇数，则这 个同学要表演唱歌节目； 若数字之和为偶数， 则要表演其他节目． 试求出这个同学表演唱歌 节目的概率（要求用画树状 图或列表方法求解） ．
A
D 110 O
C
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4
23．如图，点 O 是等边 △ ABC 内一点， AOB 110 ， BOC
按顺时针方向旋转 60 得 △ ADC ，连接 OD ． （1）求证： △COD 是等边三角形；
（2）当 150 时，试判断 △ AOD 的形状，并说明理由 ；
（3）探究：当 为多少度时， △ AOD 是等腰三角形？
B
．将 △ BOC 绕点 C
）
A．1
B．2
C． 3
D ．4
2．一元二次方程 3x2 x 0 的解是（
）
B
DC
A． x 0
B． x1 0，x2 3
1 C． x1 0, x2
3
3．顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是
1 D． x
3
()
A ．平行四边形
B ．菱形
C ．矩形
D ．正方形
4．小明拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地面上形成的投影不可能 ．．．是
1
2
转盘①
1 23
转盘②
19．如图，已知在 □ABCD 中， E、F 是对角线 BD 上的两点， BE＝ DF ，点 G、 H 分别在 BA 和 DC 的延长线上，且 AG＝CH ，连接 GE、 EH 、 HF 、 FG． 求证：四边形 GEHF 是平行四边形．
20． 请写出一元二次方 程的求根公式，并用配方法推导这个公式。
A
B
C
D
5．某农场的粮食总产量为 1500 吨，设该农场人数为 x 人，平均每人占有粮食数为
y 与 x 之间的函数图象大致是（
）
y
y
y
y
y 吨， 则
0
x
0
x
0
x
ห้องสมุดไป่ตู้
A．
B．
C．
6． 在李咏主持的“幸运 52 ”栏 目中，曾有一种竞猜游戏，游戏规则是：在
0
x
D． 20 个商标牌中，有
5 个商标牌的背面注 明了一定的奖金，其余商标牌的背面是一张“哭脸”
北师大版九年级上册数学期末测试卷及含答案
北师大版九年级上册数学期末测试卷及含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B 向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（）A.4.5米B.6米C.3米D.4米2、下列说法正确的是（）A.菱形都是相似图形B.各边对应成比例的多边形是相似多边形C.等边三角形都是相似三角形D.矩形都是相似图形3、面积为4的矩形的长为x，宽为y，则y与x的函数关系的图象大致是（）A. B. C.D.4、以下变换可以改变图形的大小的是（）A.位似变换B.旋转变换C.轴对称变换D.平移变换5、若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的最大边的比是（）A.1：2B.1：4C.1：5D.1：166、在△ABC中，DE∥BC，AE：EC=2：3，DE=4，则BC等于（）A.10B.8C.9D.67、下列说法不一定正确的是（）A.所有的等边三角形都相似B.有一个角是100 °的等腰三角形相似 C.所有的正方形都相似 D.所有的矩形都相似8、如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上.若光源到幻灯片的距离为30cm，光源到屏幕的距离为90cm，且幻灯片中的图形的高度为7cm，则屏幕上图形的高度为（）A.21cmB.14cmC.6cmD.24cm9、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，AB＝3，点E是边CB上一动点，过点E作EF∥CA交AB于点F，D为线段EF的中点，按下列步骤作图：①以C 为圆心，适当长为半径画弧交CB，CA于点M，点N；②分别以M，N为圆心，适当长为半径画弧，两弧的交点为G；③作射线CG．若射线CG经过点D，则CE 的长度为（）A. B. C. D.10、如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则的值为（）A. B.1:2 C.1:3 D.1:411、关于对位似图形的4个表述中：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．正确的个数（）A.1个B.2个C.3个D.4个12、如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC=6，则PA 的长为（）A.4B.2C.3D.2.513、已知：如图,菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE∥DC交BC于点E,AD=6cm,则OE的长为（）A.6 cmB.4 cmC.3 cmD.2 cm14、矩形面积为3cm2，则它的宽y(cm)与x(cm)长之间的函数图象位于（）A.第一、三象限B.第二象限C.第三象限D.第一象限15、已知M、N两点关于y轴对称，且点M在反比例函数y=的图象上，点N 在一次函数 y=x+3的图象上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=abx2+(a+b)x（）A.有最小值，且最小值是-B.有最大值，且最大值是-C.有最大值，且最大值是D.有最小值，且最小值是二、填空题(共10题，共计30分)16、若点A（，3）在反比例函数的图象上，则=________.17、在△ABC中，点A到直线BC的距离为d，AB＞AC＞d，以A为圆心，AC为半径画圆弧，圆弧交直线BC于点D，过点D作DE∥AC交直线AB于点E，若BC=4，DE=1，∠EDA=∠ACD，则AD=________.18、已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是BC边上的高，AC=3，AB=5，AD=2，此圆的直径等于________.19、已知一次函数的图象过定点M.①请写出点M的坐标________，②若一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A(p，q).当一次函数y的值随x的值增大而增大时，p的取值范围是________．20、如图，已知在△ABC中，，，，点E为AB 的中点，D为BC边上的一动点，把△ACD沿AD折叠，点C落在点F处，当△AEF为直角三角形时，CD的长为________.21、“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG=15里，HG经过A点，则FH=________里．22、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2 ，BC= ．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB'C′，连接B'C，则sin∠ACB′=________．23、一元二次方程的两根为, ,则的值为________ .24、若方程两根为，则=________．25、如图，已知点A在反比例函数的图象上，作，边BC在x轴上，点D为斜边AC的中点，连结DB并延长交y轴于点E，若的面积为6，则k=________.三、解答题(共5题，共计25分)26、解方程：.27、我县实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，胡老师为了了解班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对某班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，胡老师一共调查了_________ 名同学，其中女生共有_________ 名；（2）将上面的条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，胡老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．28、如图,小丽在观察某建筑物AB．（1）请你根据小亮在阳光下的投影,画出建筑物AB在阳光下的投影．（2）已知小丽的身高为1.65m,在同一时刻测得小丽和建筑物AB的投影长分别为1.2m和8m,求建筑物AB的高．29、如图，△OAB以O为位似中心放大1倍到△A′OB′，写出变化前后各顶点的坐标，并指出坐标的变化规律．30、如图，边长为6的正方形ABCD中，AD＝2AE，AB＝3AF，连接EF和AC交于点G，求FG的长.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、C3、B4、A5、A6、A7、D8、A9、C10、C11、B12、A13、C14、D15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、30、。
北师大版九年级上册数学期末考试试卷及答案
北师大版九年级上册数学期末考试试题一、单选题1．下列方程，是一元二次方程的是（）A ．2 310x x +-=B ．2 51y x -=C ． 210x +=D ．21 1x x +=2．下面几何体的主视图是（）A ．B ．C ．D ．3．若△ABC ∽△DEF ，且△ABC 与△DEF 的面积比是94，则△ABC 与△DEF 的对应高的比为（）A ．23B ．8116C ．94D ．324．若正方形的对角线长为2，则这个正方形的面积为（）A ．2B ．4CD ．5．如图，点A 为反比例函数k y x=的图象上一点，过A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接OA ，已知△ABO 的面积为3，则k 值为（）A ．-3B ．3C ．-6D ．66．如图，线段AB 两个端点的坐标分别为(2,2)(2.5,0.8)A B 、，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 扩大为原来的2倍后得到线段CD ，则端点C 的坐标为（）A ．(3,1.6)B ．(4,3.2)C ．(4,4)D ．(6,1.6)7．由于疫情得到缓和，餐饮行业逐渐回暖，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元，若设每天的增长率为x ，则x 满足的方程是（）A ．5000（1+x ）＝6050B ．5000（1+2x ）＝6050C ．5000（1﹣x ）2＝6050D ．5000（1+x ）2＝60508．如图，正比例函数11y k x =的图像与反比例函数22k y x =的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的横坐标为2，当12y y >时，x 的取值范围是（）A ．x ＜-2或x ＞2B ．x ＜-2或0＜x ＜2C ．-2＜x ＜0或0＜x ＜2D ．-2＜x ＜0或x ＞29．如图，正方形ABCD 中，E 为BC 中点，连接AE ，DF AE ⊥于点F ，连接CF ，FG CF ⊥交AD 于点G ，下列结论：①CF CD =；②G 为AD 中点；③~DCF AGF ∆∆；④23AF EF =，其中结论正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF．当100BAD∠=︒时，则CDF∠=（）A．15︒B．30°C．40︒D．50︒二、填空题11．方程x2＝x的解为___．12．若关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围为___．13．一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子6颗和黑珠子若干颗,每次随机摸出一颗珠子,放回摇匀后再摸,通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在0.3左右,则盒子中黑珠子可能有__颗.14．已知矩形ABCD，当满足条件______时，它成为正方形(填一个你认为正确的条件即可)．15．反比例函数kyx=的图象经过点（1，﹣2），则k的值为_____．16．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E，F分别是边AD，BC上的点，将正方形纸片沿EF折叠，使得点A落在CD边上的点A′处，此时点B落在点B′处．已知折痕EF=13，则AE的长等于_________．17．如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD 的高DH=_____．三、解答题18．解方程：2x2﹣4x﹣1＝0．19．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．20．如图，小明站在路灯B下的A处，向前走5米到D处，发现自己在地面上的影子DC 是2米．若小明的身高DE是1.8米，则路灯B离地面的高度AB是多少米？21．如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠ACB＝30°，AB＝2．(1)求AC的长及∠AOB的度数；(2)以OB，OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积．22．有一块长60m，宽50m的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中黑色部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为am）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．(1)设通道的宽度为xm，则a＝（用含x的代数式表示）；(2)若塑胶运动场地总的占地面积为2430m2，则通道的宽度为多少？23．已知，如图，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数图象交于A点（3，2），（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式．（2）根据图象回答：在第一象限内，当反比例函数值大于正比例函数值时x的取值范围？（3）M（m，n）是反比例函数上一动点，其中0大于m小于3，过点M作直线MN平行x 轴，交y轴于点B．过点A作直线AC平行y轴，交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．24．如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l：y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线CD相交于点D，其中AC＝14，C（﹣6，0），D（2，8）．(1)求直线l的函数解析式；(2)如图2，点P为线段CD延长线上的一点，连接PB，当△PBD的面积为7时，将线段BP 沿着y轴方向平移，使得点P落在直线AB上的P'处，求点P′到直线CD的距离；(3)若点E 为直线CD 上的一点，则在平面直角坐标系中是否存在点F ，使以点A ，D ，E ，F 为顶点的四边形为菱形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，一次函数y=x+b 和反比例函数y=xk （k≠0）交于点A （4，1）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB 的面积；（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．26．如图，在矩形ABCD 的边AB 上取一点E ，连接CE 并延长和DA 的延长线交于点G ，过点E 作CG 的垂线与CD 的延长线交于点H ，与DG 交于点F ，连接GH ．（1）当tan 2BEC ∠=且4BC =时，求CH 的长；（2）求证：DF FG HF EF ⋅=⋅；（3）连接DE ，求证：CDE CGH ∠=∠．参考答案1．A 【分析】根据一元二次方程的概念(只含有一个未知数,并且未知数项的最高次数是二次的整式方程叫做一元二次方程)，逐一判断．【详解】A.2310x x +-=，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；B.251y x -=，方程含有两个未知数，故本选项错误；C.210x +=，未知数项的最高次数是一次，故本选项错误；D.211x x+=，不是整式方程，故本选项错误.故答案选A.【点睛】本题重点考查了满足一元二次方程的条件：（1）该方程为整式方程．（2）该方程有且只含有一个未知数．（3）该方程中未知数的最高次数是2．2．B 【分析】主视图是从物体正面看所得到的的图形．【详解】解：从几何体正面看，从左到右的正方形的个数为：2,1,2．故选：B ．【点睛】本题考查了三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种试图混淆而错误地选其它选项．3．D 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，再结合相似三角形的对应高的比等于相似比解答即可．【详解】解：∵△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的面积比是94，∴△ABC 与△DEF 的相似比为32，∴△ABC 与△DEF 对应高的比为32，故选：D ．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．4．A 【分析】根据正方形的性质，对角线平分、相等、垂直且平分每一组对角求解．【详解】如图所示：∵四边形ABCD 是正方形，∴AO=BO=12AC=1cm ，∠AOB=90°，由勾股定理得，2，S 正=2）2=2cm2．故选A ．【点睛】考查正方形的性质，解题关键是根据对角线平分、相等、垂直且平分每一组对角进行分析．5．C 【分析】先设出A 点的坐标，由△AOB 的面积可求出xy 的值，即xy ＝﹣6，即可写出反比例函数的解析式．【详解】解：设A 点坐标为A （x ，y ），由图可知A 点在第二象限，∴x ＜0，y ＞0．又∵AB ⊥x 轴，∴|AB|＝y ，|OB|＝|x|，∴S △AOB 12=⨯|AB|×|OB|12=⨯y×|x|＝3，∴﹣xy ＝6，∴k ＝﹣6．故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，解题的关键是掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．6．C 【分析】根据位似中心的定义可得:2:1OC OA =，由此即可得出答案．【详解】解：由题意得：:2:1OC OA =，则端点C 的坐标为(22,22)C ⨯⨯，即为(4,4)C ，故选：C ．【点睛】本题考查了位似图形的性质，理解定义是解题关键．7．D 【分析】根据开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元列方程即可得到结论．【详解】解：设每天的增长率为x ，依题意，得：5000（1+x ）2＝6050．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．D 【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B 点坐标，再由函数图象即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，∴A 、B 两点关于原点对称，∵点A 的横坐标为2，∴点B 的横坐标为-2，∵由函数图象可知，当-2＜x ＜0或x ＞2时函数y 1=k 1x 的图象在22k y x=的上方，∴当y 1＞y 2时，x 的取值范围是-2＜x ＜0或x ＞2．故选：D ．9．D 【分析】如图（见解析），过点C 作CM DF ⊥于点M ，先根据三角形全等的判定定理证出ADF DCM ≅ ，根据全等三角形的性质可得AF DM =，再利用正切三角函数可得1tan 1tan 42BE AB ∠=∠==，从而可得AF FM DM ==，然后根据线段垂直平分线的判定与性质即可判断①；先根据等腰三角形的性质可得25∠=∠，从而可得17∠=∠，再根据等腰三角形的判定可得DG FG =，然后根据角的和差可得36∠=∠，最后根据等腰三角形的判定可得AG FG =，由此即可判断②；先根据上面过程可知3256=∠∠∠=∠=，再根据相似三角形的判定即可判断③；设(0)AF x x =>，从而可得2DF x =，先利用勾股定理可得5,2AD AB BC AE x ====，再根据线段的和差可得32EF x =，由此即可判断④．【详解】解：如图，过点C 作CM DF ⊥于点M ，四边形ABCD 是正方形，,90AB BC CD AD B BAD ADC ∴===∠=∠=∠=︒，2190∴∠+∠=︒，DF AE ⊥ ，90,1390AFD DMC ∴∠=∠=︒∠+∠=︒，32∴∠=∠，在ADF 和DCM △中，9032AFD DMC AD DC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADF DCM AAS ∴≅ ，AF DM ∴=，点E 是BC 的中点，1122BE BC AB ∴==，349031∠+∠=︒=∠+∠ ，41∴∠=∠，1tan 1tan 42BE AB ∴∠=∠==，12AFDF ∴=，即2DF AF =，DF DM FM AF FM =+=+ ，2AF AF FM ∴=+，即AF FM =，DM FM ∴=，又CM DF ⊥ ，CF CD ∴=，结论①正确；25∴∠=∠，FG CF ⊥ ，90CFG ADC ∴∠=︒=∠，17∴∠=∠，DG FG ∴=，又139076∠+∠=︒=∠+∠ ，36∴∠=∠，AG FG ∴=，AG DG ∴=，即G 为AD 中点，结论②正确；由上已得：32536,2,∠=∠∠∠∠=∠=，56∴∠=∠，在DCF 和AGF 中，2356∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，DCF AGF ∴ ，结论③正确；设(0)AF x x =>，则2DF x =，BC AB AD ∴====，122BE BC ∴==，52AE x ∴==，32EF AE AF x ∴=-=，3223AF x EF x ∴==，结论④正确；综上，结论正确的个数有4个，故选：D ．10．B 【分析】连接BF ，根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BAC=50°，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AF=BF ，根据等边对等角可得∠FBA=∠FAB ，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC ，然后求出∠CBF ，最后根据菱形的对称性可得∠CDF=∠CBF ．【详解】解：如图，连接BF ，在菱形ABCD 中，∠BAC=12∠BAD=12×100°=50°，∵EF 是AB 的垂直平分线，∴AF=BF ，∴∠FBA=∠FAB=50°，∵菱形ABCD 的对边AD ∥BC ，∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-100°=80°，∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=80°-50°=30°，由菱形的对称性，∠CDF=∠CBF=30°．故选：B ．11．0x =或1x =【分析】利用因式分解法解方程即可；【详解】2x x =，20x x -=，()10x x -=，0x =或1x =；故答案是：0x =或1x =．12．2a ≥-且0a ≠##a≠0且a≥-2【分析】根据题意可知0∆≥，代入求解即可．【详解】解：一元二次方程ax 2+4x ﹣2＝0，,4,2a a b c ===-，∵关于x 的一元二次方程ax 2+4x ﹣2＝0有实数根，∴0∆≥且0a ≠，即244(2)0a -⨯-≥，0a ≠解得：2a ≥-且0a ≠故答案为：2a ≥-且0a ≠．13．14【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【详解】解：由题意可得，60.36n=+，解得n=14．经检验n=14是原方程的解故估计盒子中黑珠子大约有14个．故答案为：14．14．AB=BC【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴（1）当AB=BC时，矩形ABCD是正方形；（2）当AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形.故答案为：AB=CD（或AC⊥BD）.15．﹣2．【分析】将点（1，﹣2）代入kyx=，即可求解．【详解】∵反比例函数kyx=的图象经过点（1，﹣2），∴k21-=，解得k=﹣2．故答案为-2．16．16924【分析】过点F作FG⊥AD，垂足为G，连接AA′，在△GEF中，由勾股定理可求得EG=5，轴对称的性质可知AA′⊥EF，由同角的余角相等可证明∠EAH=∠GFE，从而可证明△ADA′≌△FGE，故此可知GE=DA′=5，最后在△EDA′利用勾股定理列方程求解即可．【详解】解：过点F作FG⊥AD,垂足为G,连接AA′.在Rt△EFG中，5=，∵轴对称的性质可知AA′⊥EF，∴∠EAH+∠AEH=90∘，∵FG⊥AD，∴∠GEF+∠EFG=90∘，∴∠DAA′=∠GFE，在△GEF 和△DA′A 中，90EGF D FG AD DAA GFE ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠'=∠⎩，∴△GEF ≌△DA′A ，∴DA′=EG=5，设AE=x,由翻折的性质可知EA′=x ，则DE=12−x ，在Rt △EDA′中，由勾股定理得：A′E 2=DE 2+A′D 2,即x 2=(12−x)2+52，解得：x=16924，故答案为16924，【点睛】本题主要考查正方形、轴对称、全等三角形的性质及勾股定理等相关知识.利用辅助线构全等形、利用勾股定理建立方程是解题的关键.17．4.8【分析】根据菱形的性质得到AC ⊥BD ，求出OA ，OB ，由勾股定理求出AB ，再利用菱形的面积公式得到12AC•BD=AB•DH ，由此求出答案．【详解】解：在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，∵AC=8，BD=6，∴OA=12AC=12×8=4，OB=12BD=12×6=3，在Rt △AOB 中，==5，∵DH ⊥AB ，∴菱形ABCD 的面积=12AC•BD=AB•DH ，即12×6×8=5DH ，解得DH=4.8．故答案为：4.8．【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，熟记菱形的性质并熟练应用解决问题是解题的关键．18．【分析】用配方法解一元二次方程即可.【详解】解：∵2x2﹣4x ﹣1=0，∴2x2﹣4x=1，则x2﹣2x=12，∴x2﹣2x+1=32，即（x ﹣1）2=32，则x ﹣，∴．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确使用,把左边配成完全平方式,右边化为常数.19．证明见解析．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD ⊥BC ，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明．【详解】∵在△ABC 中，AB=AC ，BD=CD ，∴AD ⊥BC ．又∵CE ⊥AB ，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B ，∴△ABD ∽△CBE ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，正确找到相似的条件是解题的关键．20．路灯B 离地面的高度 6.3AB =米【分析】根据ED ∥AB ，得出△ECD ∽△BCA ，进而得出比例式求出即可．【详解】解：由题图知，2DC =米， 1.8=ED 米，5AD =米，∴527=+=+=AC AD DC （米）．∵ED AB ∥，∴ECD BCA ∽△△．∴ED DC AB AC =，即1.827AB =．∴路灯B 离地面的高度 1.87 6.32AB ⨯==（米）．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△ECD ∽△EBA 是解决问题的关键．21．(1)4AC =，60AOB ∠=︒；(2)菱形OBEC 的面积是【分析】(1)根据AB 的长结合“在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”可得出AC 的长度，根据矩形的对角线互相平分可得出OBC 为等腰三角形，从而利用外角的知识可得出∠AOB 的度数；(2)先求出△OBC 和的面积，从而可求出菱形OBEC 的面积.(1)解：在矩形ABCD 中，90ABC ∠=︒，在Rt ABC 中，30ACB ∠=︒．∴24AC AB ==．∴2AO OB ==．又∵2AB =，∴AOB 是等边三角形．∴60AOB ∠=︒．(2)解：在Rt ABC 中，由勾股定理，得BC ==．∴122ABC S =⨯⨯= ．∴12BOC ABC S S ==△△．∴菱形OBEC 的面积是【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的性质及勾股定理的知识，熟练掌握矩形的性质、菱形的性质及勾股定理是解题的关键．22．(1)6032x-(2)通道的宽度为2m ．【分析】（1）结合图形可得：荒地的长为60m ，内部两个矩形的宽为am ，通道宽为xm ，可得方程等式，化简即可得；（2）结合图形，利用大面积减去黑色部分的面积可得方向，求解即可得．(1)解：结合图形可得：荒地的长为60m ，内部两个矩形的宽为am ，通道宽为xm ，∴2360a x +=，6032x a -=，故答案为：6032x -；(2)解：根据题意得：(502)(603)2430---⋅=x x x a ，∵6032x a -=，∴603(502)(603)24302x x x x ----⋅=，解得122,38x x ==（不合题意，舍去）．∴通道的宽度为2m ．【点睛】题目主要考查列代数式及一元二次方程的应用，理解题意，找准面积之间的关系是解题关键．23．（1）6y x =，23y x =；（2）03x <<；（3）理由见解析【分析】（1）把A 点坐标分别代入两函数解析式可求得a 和k 的值，可求得两函数的解析式；（2）由反比例函数的图象在正比例函数图象的下方可求得对应的x 的取值范围；（3）用M 点的坐标可表示矩形OCDB 的面积和△OBM 的面积，从而可表示出四边形OADM 的面积，可得到方程，可求得M 点的坐标，从而可证明结论．【详解】解：（1）∵将()3,2A 分别代入k y x =，y ax =中，得23k =，32a =，∴6k =，23a =，∴反比例函数的表达式为：6y x =，正比例函数的表达式为23y x =．（2）∵()3,2A 观察图象，得在第一象限内，当03x <<时，反比例函数的值大于正比例函数的值；（3）BM DM=理由：∵//MN x 轴，//AC y 轴，∴四边形OCDB 是平行四边形，∵x 轴y ⊥轴，∴OCDB 是矩形．∵M 和A 都在双曲线6y x=上，∴6BM OB ⨯=，6OC AC ⨯=，∴132OMB OAC S S k ==⨯= ，又∵6OADM S =四边形，∴33612OMB OAC OBDC OADM S S S S =++=++= 矩形四边形，即12OC OB ⋅=，∵3OC =，∴4OB =，即4n =∴632m n ==，∴32MB =，33322MD =-=，∴MB MD =．【点睛】本题为反比例函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、函数与不等式、矩形及三角形的面积和数形结合思想等．在（2）中注意数形结合的应用，在（3）中用M 的坐标表示出四边形OADM 的面积是解题的关键．24．(1)直线l 的函数解析式为43233y x =-+(2)点P '到直线CD 的距离为2(3)存在点1(8F +或2(8F --或3(6,14)F -或4(33,25)F ，使以点A ，D ，E ，F 为顶点的四边形为菱形．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由△PBD 的面积求出点P 的坐标，进而求出点P'(5,4)，构建△P'DN 用解直角三角形的方法即可求解；（3）分AD 是菱形的边、AD 是菱形的对角线两种情况，利用图像平移和中点公式，分别求解即可．（1）解：∵14,(6,0)=-AC C ，点A 在点C 右侧，∴(8,0)A ．∵直线l 与直线CD 相交于点(2,8)D ，∴80,28,k b k b +=⎧⎨+=⎩解得4,332.3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线l 的函数解析式为43233y x =-+．（2）解：如图1，过点P 作PN y ⊥轴于点N ，作'∥PP y 轴，交AB 于点P '，过点P '作'⊥P M CD 于点M ，过点D 作DE y ⊥轴于点E ，设CD 与y 轴交于点F，0设直线CD 的解析式为y mx n =+，∵(6,0),(2,8)-C D ，∴60,28,m n m n -+=⎧⎨+=⎩解得 1.6.m n =⎧⎨=⎩∴直线CD 的解析式为6y x =+．(0,6)F ∴∴6OC OF ==．∴OCF OFC∠=∠∵OC OF ⊥，∴45OCF OFC ∠=∠=︒∵直线l 的解析式为43233y x =-+，∴320,3B ⎛⎫⎪⎝⎭．∴323OB =．∴3214633=-=-=BF OB OF ．设(,6)+P a a ，∵7=-= PBD PBF DBF S S S ，∴11722⋅-⋅=BF PN BF DE ，即114(2)723⨯-=a ，解得5a =．∴(5,11)P ．∵将线段BP 沿着y 轴方向平移，使得点P 落在直线AB 上的P '处，∴4325433-⨯+=．∴(5,4)'P ．∴1147='-=PP ．∵45PCA OCF ∠=∠=︒，PP AC '⊥∴45'︒∠=MPP ．∵'⊥P M CD ，∴45PP M P PM ''∠=∠=︒∴PMP ' 是等腰直角三角形．∴==''P M ，即点P '到直线CD 的距离为2．（3）解：①如图2，当AD 、AF 为边时，∵(8,0),(2,8)A D ，∴10==AD ．∵四边形ADEF 是菱形，∴,10==∥DE AF AD AF ．∵直线CD 的解析式为6y x =+，∴可设直线AF 的解析式为y x b =+．∵(8,0)A ，∴80b +=，解得8b =-．∴直线AF 的解析式为8y x =-．设(,8)-F c c ，∴10===AF AD ，解得8=±c∴12(8(8+--F F ．当AD 、AE 为边时，∵(8,0),(2,8)A D ，∴10==AD ．∵四边形ADFE 是菱形，∴,10∥DF AE AD AE ==．∵直线CD 的解析式为6y x =+，∴可设直线AF 的解析式为y x b =-+．∵(8,0)A ，∴-80b +=，解得8b =．∴直线AF 的解析式为8y x =-+．设(,8)F d d -+，∴10DF AD ===，解得6d =-或8d =（舍去），∴3(6,14),F -．②如图3，当AD 为对角线时，则,=∥DF AF AF DE ．由①得直线AF 的解析式为8y x =-．设(,8)-F t t ，∵(2,8),(8,0)D A ，2222(2)(88)(8)(8)t t t t -+--=-+-解得33t =．∴4(33,25)F ．综上所述，存在点1(852,52)F +或2(852,52)F --或3(6,14)F -或4(33,25)F 使以点A ，D ，E ，F 为顶点的四边形为菱形．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等，分类求解解题的关键．25．（1）反比例函数的解析式为：y=4x ；一次函数的解析式为：y=x ﹣3；（2）S △AOB =152；（3）一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围为：﹣1＜x ＜0或x ＞4．【分析】（1）把A 的坐标代入y=k x ，求出反比例函数的解析式，把A 的坐标代入y=x+b 求出一次函数的解析式；（2）求出D 、B 的坐标，利用S △AOB =S △AOD +S △BOD 计算，即可求出答案；（3）根据函数的图象和A 、B 的坐标即可得出答案．【详解】（1）∵反比例函数y=k x的图象过点A （4，1），∴1=k 4，即k=4，∴反比例函数的解析式为：y=4x．∵一次函数y=x+b （k≠0）的图象过点A （4，1），∴1=4+b ，解得b=﹣3，∴一次函数的解析式为：y=x ﹣3；（2）∵令x=0，则y=﹣3，∴D （0，﹣3），即DO=3．解方程4x=x ﹣3，得x=﹣1，∴B （﹣1，﹣4），∴S △AOB =S △AOD +S △BOD =12×3×4+12×3×1=152；（3）∵A （4，1），B （﹣1，﹣4），∴一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围为：﹣1＜x ＜0或x ＞4．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了观察函数图象的能力．26．（1）10CH =；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据已知条件先求出CE 的长，再证明∠=∠BEC ECH ，在Rt △CHE 中解三角形可求得EH 的长，最后利用勾股定理求CH 的长；（2）证明∽∆∆GFE HFD ，进而得出结果；（3）由（2）∽∆∆GFE HFD 得∠=∠EGF FHD ，进而sin sin ∠=∠EGF FHD ，即=CD CE CG CH ，再结合∠=∠ECD DCE ，可得出∽∆∆CDE CGH ，进一步得出结果.【详解】（1）解：∵矩形ABCD ，EH CG ⊥，∴90∠=︒=∠=∠BCD CEH B .而90BEC BCE ∠+∠=︒，90∠+∠=︒BCE ECH ，∴∠=∠BEC ECH ，又∵4BC =，tan 2BEC ∠=，∴2BE =，易得CE ==∴tan 2∠==EH ECH CE ，∴EH =∴10CH ==.（2）证明：∵矩形ABCD ，EH CG ⊥，∴∠=∠CEH HDG ，而∠=∠GFE DFH ，∴∽∆∆GFE HFD ，∴=DF FH EF FG，∴⋅=⋅DF FG EF FH ；（3）证明：由（2）∽∆∆GFE HFD 得∠=∠EGF FHD ，∴sin sin ∠=∠EGF FHD ，即=CD CE CG CH，而∠=∠ECD DCE ，∴∽∆∆CDE CGH ，∴CDE CGH ∠=∠．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，关键是掌握基本的概念与性质.。
北师大版九年级上册数学期末考试试卷含答案解析
北师大版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．在一个四边形ABCD 中，依次连结各边中点的四边形是菱形，则对角线AC 与BD 需要满足条件（）A ．垂直B ．相等C ．垂直且相等D ．不再需要条件2．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，将其折叠，使AB 边落在对角线AC 上，得到折痕AE ，则点E 到点B 的距离为（）A ．32B ．2C ．52D ．33．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是A ．()()12132+=+x x B ．02112=-+x x C ．02=++c bx ax D ．1222-=+x x x 4．已知点()12,A y -、B （－1，y 2）、C （3，y 3）都在反比例函数4y x=的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（）A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 3<y 1<y 2D ．y 2<y 1<y 35．学生冬季运动装原来每套的售价是100元，后经连续两次降价，现在的售价是81元，则平均每次降价的百分数是A ．9%B ．．5%C ．9．5%D ．10%6．二次三项式243x x -+配方的结果是（）A ．2(2)7x -+B ．2(2)1x --C ．2(2)7x ++D ．2(2)1x +-7．函数x ky =的图象经过（1，-1），则函数2-=kx y 的图象是2222-2-2-2-2O OOOy y y y xxxxA ．B ．C ．D．8．如图，矩形ABCD ，R 是CD 的中点，点M 在BC 边上运动，E 、F 分别是AM 、MR 的中点，则EF 的长随着M 点的运动A ．变短B ．变长C ．不变D．无法确定9．如图，点A 在双曲线=6上，且OA ＝4，过A 作AC ⊥轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于B ，则△ABC 的周长为（）A ．47B ．5C ．27D ．2210．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ．若AD=4，DB=2，则的值为．二、填空题11．反比例函数2k y x+=的图象在一、三象限，则k 应满足_________．12．把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的12倍，边长应缩小到原来的____倍．13．已知一元二次方程22(1)7340a x ax a a -+++-=有一个根为0，则a 的值为_______.14．已知534a b c ==，则232a b c a b c++=++_______15．如图，已知点A 在反比例函数(0)ky x x=<的图象上，AC y ⊥轴于点C ，点B 在x 轴的负半轴上，若2ABC S = ，则k 的值为_________．16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，若AD=1，BD=4，则CD=_____．17．若关于x 的一元二次方程()21210k x x -+-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______．三、解答题18．解方程（1）；（2）．19．（8分）已知，如图，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱．AB=5m ，某一时刻AB 在阳光下的投影BC=3m ．B（1）请你在图中画出此时DE 在阳光下的投影；（2）在测量AB 的投影时，同时测量出DE 在阳光下的投影长为6m ，请你计算DE 的长．20．(10分)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．21．已知甲同学手中藏有三张分别标有数字11,,124的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有数字1，3，2的卡片，卡片外形相同.现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为,a b.(1)请你用树形图或列表法列出所有可能的结果.(2)现制定这样一个游戏规则：若所选出的能使得有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜.请问这样的游戏规则公平吗？请你用概率知识解释22．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．23．某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?24．如图，已知A (−4，n )，B (2，−4)是一次函数y =kx +b 的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点；(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积；(3)求不等式kx +b −mx<0的解集(请直接写出答案)．25．在平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝x +5与反比例函数y ＝kx（k ≠0，x ＞0）图象交于点A（1，n ）；另一条直线l 2：y ＝﹣2x +b 与x 轴交于点E ，与y 轴交于点B ，与反比例函数y ＝k x（k ≠0，x ＞0）图象交于点C 和点D （12，m ），连接OC 、OD ．（1）求反比例函数解析式和点C 的坐标；（2）求△OCD 的面积．26．（12分）如图，在ABC △中，5AB =，3BC =，4AC =，动点E （与点A C ，不重合）在AC 边上，EF AB ∥交BC 于F 点．CE FA B（1）当ECF△的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长；（2）当ECF△的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长；（3）试问在AB上是否存在点P，使得EFP△为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出EF的长．参考答案1．B【解析】试题分析：如图：∵四边形EFGH是菱形，∴EH=FG=EF=HG=12BD=12AC，故AC=BD．故选B．考点：中点四边形．2．A【解析】试题分析：由于AE是折痕，可得到AB=AF，BE=EF，设出未知数，在Rt△EFC中利用勾股定理列出方程，通过解方程即可得到答案．设BE=x，∵AE为折痕，∴AB=AF，BE=EF=x，∠AFE=∠B=90°，Rt△ABC中，，∴Rt△EFC中，FC=5-3=2，EC=4-X，∴，解得，故选A.考点：本题考查的是图形折叠的性质及勾股定理点评：熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．3．A【解析】试题分析：A、由原方程得到3x2+4x+1=0，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；B、该方程中分母中含有未知数．不属于整式方程，故本选项错误；C、当a=0时．该方程不是一元二次方程．故本选项错误；D、由原方程得到2x+1=0，即未知数的最高次数是1．故本选项错误；故选A．考点：一元二次方程定义4．D【分析】分别把各点坐标代入反比例函数y=4x，求出y1，y2，y3的值，再比较大小即可．【详解】∵点A（-2，y1）、B（-1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数y=4x的图象上，∴y1=-2，y2=-4，y3=4 3，∵-4＜-2＜4 3，∴y2＜y1＜y3．故选D．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．5．D【解析】试题分析：设平均每次降价的百分数是x，依题意得100（1-x）2=81，解方程得x1=0.1，x2=1.9（舍去）所以平均每次降价的百分数是10%．故选D．考点：一元二次方程的应用6．B【解析】试题分析：在本题中，若所给的式子要配成完全平方式，常数项应该是一次项系数-4的一半的平方；可将常数项3拆分为4和-1，然后再按完全平方公式进行计算．解：x2-4x+3=x2-4x+4-1=（x-2）2-1．故选B．考点：配方法的应用．7．A【解析】试题分析：∵函数xky=的图象经过（1，-1），∴k=-1，∴函数2-=kxy的解析式为：y=-x-2，函数y=-x-2的图像过二、四象限过（0，-2），（-2，0）点，故选A考点：1.反比例函数图像2.一次函数8．C【解析】试题分析：∵E，F分别是AM，MR的中点，∴EF=12AR.∵R是定点，∴AR的定长.∴无论M运动到哪个位置EF的长不变.故选C．考点：1.动点问题；2.三角形中位线定理．9．C【解析】试题分析：∵OA的垂直平分线交OC于B，∴AB=OB，∴△ABC的周长=OC+AC，设OC=a，AC=b，则：ab＝6，a2+b2＝16，解得a+b=27，即△ABC的周长=OC+AC=27．故选C考点：反比例函数图象上点的坐标特征10．2 3【解析】试题分析：：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB=DE：BC，∵AD=4，DB=2，∴AD：AB=DE：BC=2：3．则的值为2 3．考点：相似三角形的判定与性质．11．k＞-2【解析】试题分析：反比例函数：当时，图象在第一、三象限；当时，图象在第二、四象限.由题意得，考点：本题主要考查了反比例函数的性质点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握反比例函数的性质，即可完成．12．2【解析】试题分析：：∵改做的三角形与原三角形相似，且面积缩小到原来的倍，∴边长应缩小到原来的2倍．考点：相似三角形的性质13．-4【解析】【分析】将x=0代入原方程可得关于a的方程，解之可求得a的值，结合一元二次方程的定义即可确定出a的值.【详解】把x=0代入一元二次方程（a-1）x2+7ax+a2+3a-4=0，可得a2+3a-4=0，解得a=-4或a=1，∵二次项系数a-1≠0，∴a≠1，∴a=-4，故答案为-4．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式以及一元二次方程的解，熟知一元二次方程二次项系数不为0是解本题的关键.14．15 26【解析】试题分析：设=k ，则a=5k ，b=3k ，c=4k ，25641532153826a b c k k k a b c k k k ++++==++++考点：比例的性质15．-4【分析】连结OA ，由AC ⊥y 轴，可得AC ∥x 轴，可知S △ACB =S △ACO =2，可得=4k ，由反比例函数图像在第二象限（x<0），可知k<0，可求k=-4．【详解】解：连结OA ，∵AC ⊥y 轴，∴AC ∥x 轴，∴S △ACB =S △ACO =2，∴1=22k ，∴=4k ，∵反比例函数图像在第二象限（x<0），∴k<0，∴k=-4．故答案为：-4．【点睛】本题考查反比例函数解析式，掌握反比例函数的性质，关键是反比例函数中k 的几何意义．16．2．【分析】首先证△ACD ∽△CBD ，然后根据相似三角形的对应边成比例求出CD 的长．【详解】解：Rt △ACB 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ；∴∠ACD=∠B=90°﹣∠A ；又∵∠ADC=∠CDB=90°，∴△ACD ∽△CBD ；∴CD 2=AD•BD=4，即CD=2．故答案为：2【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质．17．0k >且1k ≠【分析】根据题意，结合一元二次方程的定义和根的判别式可得关于k 的不等式，然后解不等式即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()21210k x x -+-=有两个不相等的实数根，∴21024(1)(1)0k k -≠⎧⎨∆=--⨯->⎩，10k k ≠⎧⎨>⎩，∴k 的取值范围是0k >且1k ≠，故答案为：0k >且1k ≠．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式、解一元一次不等式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是解答的关键．18．（1）1x =2x =.（2）【详解】试题分析：（1）用公式法（2）用分解因式法试题解析：（1）因为(()245248∆=--⨯-⨯=，所以x =即1x =2x =.（2）移项得，分解因式得，解得考点：解一元二次方程19．（1）见解析；（2）DE=10m【解析】试题分析：（1）根据投影的定义，作出投影即可；（2）根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例；构造比例关系AB BC DE EF =．计算可得DE试题解析：（1）如图：连接AC ，过点D 作DE//AC ，交直线BC 于点F ，线段EF 即为DE 的投影（2）∵AC//DF ，∴∠ACB=∠DFE.∵∠ABC=∠DEF=90°∴△ABC ∽△DEF.53,.6AB BC DE EF DE ∴=∴= ∴DE=10（m ）考点：平行投影20．（1）BD=CD ．（2）当△ABC 满足：AB=AC 时，四边形AFBD 是矩形．【解析】试题分析：（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE ，然后利用“角角边”证明△AEF 和△DEC 全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD ，再利用等量代换即可得证；（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD 是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．试题解析：（1）BD=CD．理由如下：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD，∵AF=BD，∴BD=CD；（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD，∴∠ADB=90°，∴▱AFBD是矩形．考点：1.矩形的判定2.全等三角形的判定与性质．21．（1）列表见解析；（2）不公平，理由见解析．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果；（2）利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求解即可求得甲、乙获胜的概率，比较概率大小，即可确定这样的游戏规是否公平．【详解】（1）列表如下：a b12312(12，1)（12，2）（12，3）14（14，1）（14，2）(14，3)1（1，1）（1，2）（1，3）（2）要使方程210ax bx ++=有两个不相等的实根，即△=240b a ->，满足条件的有5种可能：1111,2,,2,,3,,3,(1,3)2424⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴甲获胜的概率为()59P =甲，乙获胜的概率为()49P =乙，5499> 即此游戏不公平．22．证明见解析．【分析】（1）一方面Rt △ABC 中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC ，另一方面△ABE 是等边三角形，EF ⊥AB ，由此得到AE=2AF ，并且AB=2AF ，从而可证明△AFE ≌△BCA ，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF ．（2）根据（1）知道EF=AC ，而△ACD 是等边三角形，所以EF=AC=AD ，并且AD ⊥AB ，而EF ⊥AB ，由此得到EF ∥AD ，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE 是平行四边形．【详解】证明：（1）∵Rt △ABC 中，∠BAC=30°，∴AB=2BC ．又∵△ABE 是等边三角形，EF ⊥AB ，∴AB=2AF ．∴AF=BC ．∵在Rt △AFE 和Rt △BCA 中，AF=BC ，AE=BA ，∴△AFE ≌△BCA （HL ）．∴AC=EF ．（2）∵△ACD 是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD ．∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°．∴EF ∥AD ．∵AC=EF ，AC=AD ，∴EF=AD ．∴四边形ADFE 是平行四边形．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质；3．平行四边形的判定．23．每张贺年卡应降价0.1元．【分析】设每张贺年卡应降价x 元，等量关系为：（原来每张贺年卡盈利-降价的价格）×（原来售出的张数+增加的张数）=120，把相关数值代入求得正数解即可．【详解】设每张贺年卡应降价x 元，根据题意得：（0.3-x ）（500+1000.1x ）=120，整理，得：21002030x x +-=，解得:120.1,0.3x x ==-（不合题意，舍去），∴0.1x =，答：每张贺年卡应降价0.1元．24．（1）8y x=-，2y x =--；（2）C 点坐标为(2,0)-，6；（3）40x -<<或2x >．【分析】（1）先把B 点坐标代入代入m y x =求出m 得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定A 点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；（2）根据x 轴上点的坐标特征确定C 点坐标，然后根据三角形面积公式和AOB 的面积AOC BOC S S ∆∆=+进行计算；（3）观察函数图象得到当4x <-或02x <<时，一次函数图象都在反比例函数图象下方．【详解】解：（1）把(2,4)-B 代入m y x=得2(4)8m =⨯-=-，所以反比例函数解析式为8y x =-，把(4,)A n -代入8y x=-得48n -=-，解得2n =，则A 点坐标为(4,2)-，把(4,2)A -，(2,4)-B 分别代入y kx b =+得4224k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得12k b =-⎧⎨=-⎩，所以一次函数的解析式为2y x =--；（2）当0y =时，20x --=，解得2x =-，则C 点坐标为(2,0)-，∴AOC BOCAOB S S S ∆∆∆=+11222422=⨯⨯+⨯⨯6=；（3）由kx +b −m x <0可得kx +b <m x故该不等式的解为40x -<<或2x >．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合．（1）中理解函数图象上的点都满足函数关系式是解题关键；（2）中掌握“割补法”求图形面积是解题关键；（3）中掌握数形结合思想是解题关键．25．（1）y ＝6x ，点C （6，1）；（2）1434．【分析】（1）点A （1，n ）在直线l 1：y ＝x +5的图象上，可求点A 的坐标，进而求出反比例函数关系式，点D 在反比例函数的图象上，求出点D 的坐标，从而确定直线l 2：y ＝﹣2x +b 的关系式，联立求出直线l 2与反比例函数的图象的交点坐标，确定点C 的坐标，（2）求出直线l 2与x 轴、y 轴的交点B 、E 的坐标，利用面积差可求出△OCD 的面积．【详解】解：（1）∵点A （1，n ）在直线l 1：y ＝x +5的图象上，∴n ＝6，∴点A （1，6）代入y ＝k x 得，k ＝6，∴反比例函数y ＝6x ，当x ＝12时，y ＝12，∴点D （12，12）代入直线l 2：y ＝﹣2x +b 得，b ＝13，∴直线l 2：y ＝﹣2x +13，由题意得：6213y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩解得：111212x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，2261x y =⎧⎨=⎩，∴点C （6，1）答：反比例函数解析式y ＝6x，点C 的坐标为（6，1）．（2）直线l 2：y ＝﹣2x +13，与x 轴的交点E （132，0）与y 轴的交点B （0，13）∴S △OCD ＝S △BOE ﹣S △BOD ﹣S △OCE11311113143131312222224=⨯⨯-⨯⨯⨯=答：△OCD 的面积为1434．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数与一次函数交点问题、以及反比例函数与几何面积的求解，解题的关键是灵活处理反比例函数与一次函数及几何的关系．26．（1）CE ＝22；（2）CE 的长为724；（3）在AB 上存在点P ，使△EFP 为等腰直角三角形，此时EF ＝3760或EF ＝49120【解析】试题分析：（1）因为EF ∥AB ，所以容易想到用相似三角形的面积比等于相似比的平方解题；（2）根据周长相等，建立等量关系，列方程解答；（3）先画出图形，根据图形猜想P 点可能的位置，再找到相似三角形，依据相似三角形的性质解答．试题解析：（1）∵△ECF 的面积与四边形EABF 的面积相等∴S △ECF :S △ACB ＝1:2又∵EF ∥AB ∴△ECF ∽△ACB.,21)(2==∆∆CA CE S S ACB ECF 且AC ＝4∴CE ＝22；（2）设CE 的长为x∵△ECF ∽△ACB ∴CB CF CA CE =∴CF=x 43.由△ECF 的周长与四边形EABF 的周长相等，得EFx x x EF x +-++-=++)433(5)4(43解得724=x ∴CE 的长为724；（3）△EFP 为等腰直角三角形，有两种情况：①如图1，假设∠PEF ＝90°，EP ＝EF图1A B由AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，得∠C ＝90°∴Rt △ACB 斜边AB 上高CD ＝512设EP ＝EF ＝x ，由△ECF ∽△ACB ，得CD EP CD AB EF -=，即5125125xx -=，解得3760=x ，即EF ＝3760，当∠EFP´＝90°，EF ＝FP´时，同理可得EF ＝3760.②如图2，假设∠EPF ＝90°，PE ＝PF 时，点P 到EF 的距离为EF 21。
北师大版九年级上册数学期末考试试卷及答案
北师大版九年级上册数学期末考试试题一、单选题1．如图所示的几何体的俯视图是（）A ．B ．C ．D ．2．已知反比例函数ky x的图象经过点（﹣3，6），则k 的值是（）A ．﹣18B ．﹣2C ．2D ．183．方程x 2＝3x 的解为（）A ．x ＝3B ．x ＝0C ．x 1＝0，x 2＝﹣3D ．x 1＝0，x 2＝34．如图，△ABO ∽△CDO ，若BO ＝8，DO ＝4，CD ＝3，则AB 的长是（）A ．2B ．3C ．4D ．65．如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a ，b 与l 1、l 2、l 3分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若AB ：AC=2：5，DE ＝6，则EF 的长是（）A ．15B ．10C ．9D ．26．如图，菱形OABC 的顶点C 的坐标为（3，4），顶点A 在x 轴的正半轴上．反比例函数ky x=（x ＞0）的图象经过顶点B ，则k 的值为（）A ．12B ．16C ．20D ．327．同一时刻，小明在阳光下的影长为2米，与他邻近的旗杆的影长为6米，小明的身高为1.6米，则旗杆的高为（）A ．3.2米B ．4.8米C ．5.2米D ．5.6米8．关于x 的方程230x x n -+=有两个不相等的实数根，则n 的取值范围是（）A ．n ＜94B ．n ≤94C ．n ＞94-D ．n ＞949．在平面直角坐标系中，已知点A （﹣4，2），B （﹣6，﹣4），以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A′的坐标是（）A ．（﹣2，1）B ．（﹣8，4）C ．（﹣8，4）或（8，﹣4）D ．（﹣2，1）或（2，﹣1）10．已知反比例函数y ＝abx的图象如图所示，则二次函数y =ax 2－2x 和一次函数y ＝bx+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．若32b a =，则a b b +的值等于__．12．若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的周长比是________．13．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中．不断重复实验多次后，摸到黑球的频率逐渐稳定在0.2左右．则据此估计盒子中大约有白球___________个．14．已知关于x 的一元二次方程20x x k -+=的一个根是2，则k 的值是______．15．如图，已知 ABC ∽ AMN ，点M 是AC 的中点，AB ＝6，AC ＝8，则AN ＝_____．16．端午节期间，某食品专卖店准备了一批粽子，每盒利润为50元，平均每天可卖300盒，经过调查发现每降价1元，可多销售10盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利16000元，设每盒粽子降价x 元，可列方程________．17．已知，一次函数1y x =-+与反比例函数2y x=-的图象交于点A 、B ，在x 轴上存在点P （n ，0），使△ABP 为直角三角形，则P 点的坐标是______．18．如图，OA OB OC ==且30ACB ∠=︒，则AOB ∠的大小是______度．三、解答题19．解方程：2450x x --=．20．如图，在平行四边形ABCD 中，点P 是AB 边上一点（不与A ，B 重合），过点P 作PQ ⊥CP ，交AD 边于点Q ，且∠QPA ＝∠PCB ．求证：四边形ABCD 是矩形．21．如图，D 、E 、F 分别是ABC 各边的中点，连接DE 、EF 、AE ．（1）求证：四边形ADEF 为平行四边形；（2）加上条件后，能使得四边形ADEF 为菱形，请从①90BAC ∠=︒；②AE 平分BAC ∠；③AB AC =，这三个条件中选择一个条件填空（写序号），并加以证明．22．2016年，某楼盘以每平方米8000元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2018年的均价为每平方米6480元()1求平均每年下调的百分率；()2假设2019年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款40万元，张强的愿望能否实现？为什么？（房价每平方米按照均价计算）23．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．（1）经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的1 3？（2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似？24．如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积．25．如图是一矩形广告牌ACGE，2AE 米，为测量其高度，某同学在B处测得A点仰角为45︒，该同学沿GB 方向后退6米到F 处，此时测得广告牌上部灯杆顶端P 点仰角为37︒．若该同学眼睛离地面的垂直距离为1.7米，灯杆PE 的高为2.25米，求广告牌的高度(AC 或EG 的长)．(精确到1米，参考数据：sin 370.6︒≈，tan370.75︒≈)26．如图，在▱ABCD 中过点A 作AE ⊥DC ，垂足为E ，连接BE ，F 为BE 上一点，且∠AFE=∠D ．（1）求证：△ABF ∽△BEC ；（2）若AD=5，AB=8，sinD=45，求AF 的长．27．已知C 、D 是双曲线()0ky k x=>上的两点，过点C 作CA ⊥x 轴点A ，过点D 作DE ⊥x 轴点E ，交OC 于点F ．（1）如图1，若点D 坐标为（1，1），OE ：OA=1：3，则DOF S =（2）如图2，延长OD ，AC 相交于点B ，若点D 为OB 的中点．①当6OBCS = ，求k 的值；②若点C 的坐标是（6，1），试求四边形DFCB 的面积．参考答案1．A2．A3．D4．D5．C6．D7．B8．A9．D 10．C11．53或者5：312．1：2 13．16 14．-215．16316．()()503001016000x x -+=17．（3，0）或（-3，0）或⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭18．60．19．125,1x x ==-【详解】解：2450x x --=(5)(1)0x x -+=50x ∴-=或10x +=解得：125,1x x ==-．20．见解析【分析】根据垂直的性质可得90QPC ∠=︒，利用各角之间的等量关系可得90B ∠=︒，再由矩形的判定定理即可证明．【详解】证明：∵PQ CP ⊥，∴90QPC ∠=︒，∴1809090QPA BPC ∠+∠=︒-︒=︒，∵QPA PCB ∠=∠，∴90BPC PCB ∠+∠=︒，∴()18090B BPC PCB ∠=︒-∠+∠=︒，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形．21．（1）见解析；（2）②或③，见解析【分析】（1）先证明//EF AB ，根据平行的传递性证明EF //AD ，即可证明四边形ADEF 为平行四边形．（2）选②AE 平分BAC ∠，先证明DAE FAE ∠=∠，由四边形ADEF 是平行四边形ADEF ，得出AF EF =，即可证明平行四边形ADEF 是菱形．选③AB AC =，由//DE AC 且12DE AC =，AB AC =得出EF DE =，即可证明平行四边形ADEF 是菱形．【详解】（1）证明：已知D 、E 是AB 、BC 中点∴//DE AC又∵E 、F 是BC 、AC 的中点∴//EF AB ∵//DE AF ∴EF //AD∴四边形ADEF 为平行四边形（2）证明：选②AE 平分BAC ∠∵AE 平分BAC ∠∴DAE FAE ∠=∠又∵平行四边形ADEF ∴//EF DA ∴=∠∠FAE AEF ∴AF EF=∴平行四边形ADEF 是菱形选③AB AC =∵//EF AB 且12EF AB =//DE AC 且12DE AC =又∵AB AC =∴EF DE=∴平行四边形ADEF 为菱形故答案为：②或③【点睛】本题考查菱形的判定、平行四边形的性质及判定，熟练进行角的转换是关键，熟悉菱形的判定是重点．22．（1）平均每年下调的百分率为10%；（2）能，理由见解析【分析】（1）根据增长率问题的列式方法列出一元二次方程，解方程；（2）根据第一问求出的增长率算出2019年的房价，看张强的钱是否足够．【详解】解：()1设平均每年下调的百分率为x ，()2800016480x -=，解得：120.110%, 1.9x x ＝＝＝（不合题意舍去），答：平均每年下调的百分率为10%；()()26480110%10058320058.32-⨯==，由于20406058.32+＝＞，所以张强的愿望能实现．【点睛】本题考查一元二次方程的应用题，解题的关键是掌握增长率问题的列式方法．23．（1）2秒或4秒；（2）125秒或1811秒【分析】（1）分别表示出线段PC 和线段CQ 的长后利用S △PCQ =13S △ABC 列出方程求解；（2）设运动时间为ts ，△PCQ 与△ACB 相似，当△PCQ 与△ACB 相似时，则有CP CQ=CA CB或CP CQ=CB CA，分别代入可得到关于t 的方程，可求得t 的值．【详解】解：（1）设经过x 秒△PCQ 的面积为△ACB 的面积的13，由题意得：PC=2xm ，CQ=（6﹣x ）m ，则12×2x （6﹣x ）=13×12×8×6，解得：x=2或x=4．故经过2秒或4秒，△PCQ 的面积为△ACB 的面积的13；（2）设运动时间为ts ，△PCQ 与△ACB 相似．当△PCQ 与△ACB 相似时，则有CP CQ =CA CB 或CP CQ=CB CA，所以2686t t -=，或2668t t -=，解得t=125，或t=1811．因此，经过125秒或1811秒，△OCQ 与△ACB 相似；24．(1)见解析(2)四边形CEFG 的面积为203．【分析】（1）根据题意和翻折的性质，可以得到△BCE ≌△BFE ，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立；（2）根据题意和勾股定理，可以求得AF 的长，进而求得EF 和DF 的值，从而可以得到四边形CEFG 的面积．（1）证明：由题意可得，△BCE ≌△BFE ，∴∠BEC=∠BEF ，FE=CE ，∵FG ∥CE ，∴∠FGE=∠CEB ，∴∠FGE=∠FEG ，∴FG=FE ，∴FG=EC ，∴四边形CEFG 是平行四边形，又∵CE=FE ，∴四边形CEFG 是菱形；（2）解：∵矩形ABCD 中，AB=6，AD=10，BC=BF ，∴∠BAF=90°，AD=BC=BF=10，∴AF=8，∴DF=2，设EF=x ，则CE=x ，DE=6-x ，∵∠FDE=90°，∴22+（6-x ）2=x 2，解得，x=103，∴CE=103，∴四边形CEFG 的面积是：CE•DF=103×2=203．【点睛】本题考查翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．25．广告牌的高度为17米【分析】首先延长DH 交EG 于M ,交AC 于N ,构造直角三角形,可得到EM AN =,设AN x =,表示出PM,在Rt AND ∆中得到AN ND x ==,628MH x x =++=+,在Rt PHM ∆中运用勾股定理求解即可.【详解】依题意：6DH BF ==米, 1.7DB HF ==米, 2.25PE =米,如图设直线DH 交EG 于M ,交AC 于N ,则EM AN =.设AN x =m 则 2.25PM x =+,在Rt AND ∆中,∵45ADN ∠=︒,∴AN ND x ==,∵2AE MN ==,则628MH x x =++=+,在Rt PHM ∆中,∵tan 37PM MH ︒=,∴ 2.250.758x x +≈+,解得15x ≈,∴15 1.717AC AN NC =+=+≈(米),∴广告牌的高度为17米.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角的问题,准确构造直角三角形和找准角度是解题的关键.26．（1）证明见解析；（2）【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB ∥CD ，AD ∥BC ，AD=BC ，得出∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC ，证出∠C=∠AFB ，即可得出结论；（2）由勾股定理求出BE ，由三角函数求出AE ，再由相似三角形的性质求出AF 的长．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AD=BC ，∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC ，∵∠AFB+∠AFE=180°，∴∠C=∠AFB ，∴△ABF ∽△BEC ；（2）解：∵AE ⊥DC ，AB ∥DC ，∴∠AED=∠BAE=90°，在Rt △ABE 中，根据勾股定理得：==在Rt △ADE 中，AE=AD•sinD=5×45=4，∵BC=AD=5，由（1）得：△ABF ∽△BEC ，∴AF AB BC BE=，即5AF =解得：．27．（1）49；（2）①4；②274【分析】（1）将D 代入双曲线解析式中求出k ，根据反比例函数k 的几何意义和相似三角形的性质求解即可；（2）①设D （m ，k m)，则可求得点B 、C 的坐标，根据反比例函数k 的几何意义和OBC ABC OAC S S S =- 列出k 的方程求解即可；②根据点C 坐标可得出OA ，进而可求得OE 和点B 、D 的坐标，根据相似三角形的性质可求得EF 和DF ，利用梯形的面积公式求解即可．【详解】解（1）将D （1，1）代入k y x =，得k=1，∴11||22ODE OAC S S k === ，∵CA ⊥x 轴，DE ⊥x 轴，∴DE ∥AC ，∵OE ：OA=1：3，∴△OEF ∽△OAC ，∴19OEF OAC S S = ，∴1112918OEF S =⨯= ，∴1142189DOF S =-= ；（2）①设D （m ，km )，∵点D 为OB 的中点，∴B （2m ，2k m )，C （2m ，2km )，∵6OBC ABC OAC S S S -== ，∴2112622k m k m ⨯⨯-=，∴4k =；②∵点C （6，1），∴OA ＝6，AC=1，∵点D 是OB 的中点，DE ∥AC ，D 在反比例函数6y x =上，∴OE ＝12OA ＝3，点D （3，2），∴点B （6，4），DE=2，又∵△OEF ∽△OAC ，∴12EFAC =，∴EF=12，∴DF ＝2－12=32，BC ＝3，EA ＝3∴四边形DFCB 的面积=312733224+⨯⨯=（）．。
北师大版九年级上册数学期末考试试卷及答案
北师大版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．下列长度的各组线段中，能构成比例的是（）A ．2，5，6，8B ．3，6，9，18C ．1，2，3，4D ．3，6，7，92．如图，正比例函数y 1=k 1x 和反比例函数y 2=2k x的图象都经过点A （2，﹣1），若y 1＞y 2，则x 的取值范围是（）A ．﹣1＜x ＜0B ．x ＞2C ．﹣2＜x ＜0或x ＞2D ．x ＜﹣2或0＜x ＜23．关于反比例函数y ＝﹣3x，下列说法错误的是（）A ．图象经过点（1，﹣3）B ．图象分布在第一、三象限C ．图象关于原点对称D ．图象与坐标轴没有交点4．如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，点F 为AC 中点，DE 是ABC 的中位线，若6DE =，则BF =（）A ．6B ．4C ．3D ．55．已知1x =是关于x 的方程22(1)10k x k x -+-=的根，则常数k 的值为（）A ．0B ．1C ．0或1D ．0或－18．6．关于x 的一元二次方程210kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是A ．14k <B ．14k >C ．14k <且0k ≠D ．14k >且0k ≠7．某企业今年1月份产值为x 万元，2月份的产值比1月份减少了10%，则2月份的产值是（）A ．（1﹣10%）x 万元B ．（1﹣10%x ）万元C ．（x ﹣10%）万元D ．（1+10%）x 万元8．下列说法正确的是（）A ．对角线互相垂直的四边形是菱形B ．矩形的对角线互相垂直C ．一组对边平行的四边形是平行四边形D ．四边相等的四边形是菱形9．如图，在正方形OABC 中，OA ＝6，点E 、F 分别在边BC ，BA 上，OE ＝，若∠EOF＝45°，则点F 的纵坐标为（）A ．2B ．53C D 1-10．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝9，DB ＝3，CE ＝2，则AC 的长为（）A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题11．矩形纸片ABCD ，长8cm AD =，宽4cm AB =，折叠纸片，使折痕经过点B ，交AD 边于点E ，点A 落在点A '处，展平后得到折痕BE ，同时得到线段BA '，EA '，不再添加其它线段，当图中存在30 角时，AE 的长为__________厘米．12．已知y 与2x+1成反比例，且当x=1时，y=2，那么当x=﹣2时，y=______．13．在一只不透明的口袋中放入红球6个，黑球2个，黄球n 个，这些球除颜色不同外，其它无任何差别．搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为13，则放入口袋中的黄球总数n=__．14．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的等边△OAB 的OA 边在x 轴的正半轴上，反比例函数y=k x（x ＞0）的图象经过AB 边的中点C ，且与OB 边交于点D ，则点D 的坐标为_____．15．如图，已知在ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC =，4BC =．D 为ABC 所在平面内的一个动点，且满足90BDC ∠=︒，E 为线段AD 的中点，连结CE ，则线段CE 长的最大值为______．16．如图，矩形ABOC 的面积为3，反比例函数y ＝k x的图象过点A ，则k ＝_____．17．关于x 的方程（m ﹣2）x 2﹣2x +1＝0是一元二次方程，则m 满足的条件是_____.三、解答题18．解方程（1）3x 2+8x +4=0（配方法）（2）2310x x --=（公式法）（3）4x (2x +1)=3(2x +1)（4）3x 2-x -2=019．设一元二次方程260x x k -+=的两根分别为1x 、2x .（1）若12x =，求2x 的值；（2）若5k =，且1x 、2x 分别是Rt ABC ∆的两条直角边的长，试求Rt ABC ∆的面积.20．如图，在平行四边形ABCD 中，ABD ∠的平分线BE 交AD 于点E ，CDB ∠的平分线DF 交BC 于点F ．求证：四边形DEBF 是平行四边形．21．如图，E 是矩形ABCD 的边BC 延长线上的一点，连接AE ，交CD 于F ，把ABE ∆沿CB 向左平移，使点E 与点C 重合，ADF CBG ∆≅∆吗？请说明理由.22．如图，四边形ABCD 是矩形，E 是BC 边上一点，点F 在BC 的延长线上，且CF ＝BE ．（1）求证：四边形AEFD 是平行四边形；（2）连接ED ，若∠AED ＝90°，AB ＝4，BE ＝2，求四边形AEFD 的面积．23．如图，A 是反比例函数k y x=()0k <图象上的一点，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，连0A ，AOB 的面积为2，点A 的坐标为()1,m -．（1）求反比例函数的解析式．（2）若一次函数3y ax =+的图象经过点A ，交双曲线的另一支于点()4,C n ，交y 轴于点D ，若y 轴上存在点P ，使PAC △的面积为5，求点P 的坐标．24．在抗击“新冠病毒”期间，某路口利用探测仪对过往的物体进行检查，探测仪A 测得某物体的仰角∠BAD ＝35°，俯角∠DAC ＝45°，探测仪到货物表面的距离AD ＝3米，求货物高BC 的长．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，结果精确到0.1）25．如图，点P 是正方形ABCD 对角线AC 上一动点，点E 在射线BC 上，且PE =PB ，连接PD ，O 为AC 中点．（1）如图1，当点P 在线段AO 上时，试猜想PE 与PD 的数量关系和位置关系．（2）①如图2，当点P 在线段OC 上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由．②图2，试用等式来表示PB 、BC 、CE 之间的数量关系，并证明．参考答案1．B【解析】分析：分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断．详解：∵3×18=6×9，∴3，6，9，18成比例．故选B ．点睛：本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．2．D【解析】如图，∵点A 坐标（2，﹣1），又∵正比例函数y 1=k 1x 和反比例函数y 2=2k x都是关于原点对称，∴它们的交点A 、B 关于原点对称，∴点B坐标（﹣2，1），∴由图象可知，y1＞y2时，x＜﹣2，或0＜x＜2，故选D．3．B【解析】【分析】反比例函数y＝kx（k≠0）的图象k＞0时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；k＜0时位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质并结合其对称性对各选项进行判断．【详解】A、把点（1，﹣3）代入函数解析式，﹣3＝﹣3，故本选项正确，不符合题意，B、∵k＝﹣2＜0，∴图象位于二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误，符合题意，C、反比例函数的图象可知，图象关于原点对称，故本选项正确，不符合题意D、∵x、y均不能为0，故图象与坐标轴没有交点，故本选项正确，不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查的是反比例函数的性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.4．A【分析】由DE是ABC的中位线，可得AC=12，在Rt ABC中，点F为AC中点，可得BF=6即可．【详解】解：∵DE是ABC的中位线，∴AC=2DE=2×6=12，∵在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，点F 为AC 中点，∴BF =1112622AC =⨯=，故选择A ．【点睛】本题考查三角形中位线与三角形中线性质，掌握三角形中位线与三角形中线性质是解题关键．5．C【详解】试题分析：①当1k =时，方程22(1)10k x k x -+-=为一元一次方程，解为1x =；②1k ≠时，方程22(1)10k x k x -+-=为一元二次方程，把1x =代入方程22(1)10k x k x -+-=可得：2110k k -+-=，即20k k -=0，可得(1)0k k -=，即k=0或1（舍去）；故选C ．考点：一元二次方程的解．6．C【分析】根据一元二次方程kx 2-x+1=0有两个不相等的实数根，知△=b 2-4ac ＞0，然后据此列出关于k 的方程，解方程即可．【详解】解：∵kx 2-x+1=0有两个不相等的实数根，∴△=1-4k ＞0，且k≠0，解得，k ＜14且k≠0；故答案是：k ＜14且k≠0．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．解题时，注意一元二次方程的“二次项系数不为0”这一条件．7．A【分析】1、本题属于列代数式的题目，解答此类题目首先要弄清楚语句中各个量之间的关系；2、细查题意，由2月份比1月份减少了10%先表示出2月份的产值为(1-10%)x 万元.【详解】由2月份比1月份减少了10%得2月份的产值是(1-10%)x 万元.故答案选A.【点睛】本题考查了列代数式，解题的关键是弄清楚题目中各个量之间的关系.8．D【详解】选项A ，菱形的对角线互相垂直，当对角线互相垂直的四边形不一定是菱形；选项B ，矩形的对角线相等但不一定垂直；选项C ，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；选项D ，四边相等的四边形是菱形．故选D.9．A【分析】延长BA 到点M ，使AM =CE ，连接OM ，由题意易得△OCE ≌△OAM ，则有OE =OM ，∠COE =∠AOM ，然后可得∠EOF =∠MOF ，进而可得△EOF ≌△MOF ，则有FM =EF ，根据勾股定理可得CE =3，设AF =x ，则EF =3+x ，BE =3，BF =6-x ，最后根据勾股定理建立方程求解即可．【详解】解：延长BA 到点M ，使AM =CE ，连接OM ，如图所示：∵四边形OABC 是正方形，OA ＝6，∴6,90OA OC AB BC OCE OAM OAF B COA ====∠=∠=∠=∠=∠=︒，∴△OCE ≌△OAM ，∴OE =OM ，∠COE =∠AOM ，∵∠EOF ＝45°，∴45COE AOF ∠+∠=︒，∴45AOM AOF ∠+∠=︒，∴∠EOF =∠MOF ，∵OF =OF ，OE =OM ，∴△EOF ≌△MOF （SAS ），∴EF FM AF AM AF CE ==+=+，∵OE ＝∴在Rt △OEC 中，3CE ==，设AF =x ，则EF =3+x ，BE =3，BF =6-x ，∴在Rt △EBF 中，222BE BF EF +=，∴()()222363x x +-=+，解得：2x =，∴点F 的纵坐标为2；故选A ．【点睛】本题主要考查正方形的性质、勾股定理及图形与坐标，熟练掌握正方形的性质、勾股定理及图形与坐标是解题的关键．10．C【分析】利用平行线分线段成比例定理得到=AD AE DB EC ，利用比例性质求出AE ，然后计算AE +EC 即可．【详解】解：∵DE ∥BC ，∴=AD AE DB EC ，即9=32AE ，∴AE ＝6，∴AC ＝AE +EC ＝6+2＝8．故选：C ．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．11．3或8-【分析】分∠ABE=30°或∠AEB=30°或∠ABA′=30°时三种情况，利用锐角三角函数进行求解即可．【详解】解：当∠ABE=30°时，∵AB=4cm ，∠A=90°，∴AE=AB·tan30°=3cm ；当∠AEB=30°时，则∠ABE=60°，∵AB=4cm ，∠A=90°，∴AE=AB·tan60°=；当∠ABE=15°时，∠ABA′=30°，延长BA′交AD 于F ，如下图所示，设AE=x ，则EA′=x ，sin 603x EF ==︒，∵AF=AE+EF=ABtan30°=3，∴x +，∴8x =-∴8AE =-cm ．故答案为：3或8-【点睛】本题考查了矩形与折叠，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．12．－2【解析】试题分析：设反比例函数的解析式为：y=2r1，根据题意可得y=62r1，当x=－2时，y=－2.考点：待定系数法求反比例函数解析式.【详解】试题分析：随机从口袋中摸出一个恰好是黄球的概率为13，说明黄球的数目是口袋中所有球的数目的13，则可列方程：1623n n =++，解得：n=4.考点：概率的定义.14．3）【分析】由等边三角形的性质可求出B （2，，然后由中点坐标公式求出C （3，从而可求出反比例函数解析式，再求出直线OB 的解析式，然后与反比例函数解析式联立可求出点D 的坐标.【详解】∵△AOB 是等边三角形，边长为4，∴B （2，，∵BC =CA ，∴C （3），把点C 坐标代入k y x=上，得到k∵直线OB 的解析式为y，由y y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或3x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴D3），3）．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，待定系数法求函数关系式，反比例函数与一次函数的交点，求出反比例函数与直线OB 的解析式是解答本题的关键.15．1+取BC 的中点O ，连接OA 、OD ，取AO 中点M ，连接CM 、EM ，根据三角形斜边上的中线性质得出122OD BC ==，再根据三角形中位线性质得出112EM OD ==,然后根据勾股定理及角形斜边上的中线性质得出12CM OA ==最后根据两点之间线段最短即可得出答案．【详解】解：取BC 的中点O ，连接OA 、OD ，取AO 中点M ，连接CM 、EM在Rt △CDB 中，O 为斜边BC 的中点122OD BC ∴==在△AOD 中，AE =DE ，AM =OM 112EM OD ∴==在Rt △ACO 中，AC =OC =2AO ∴==∴12CM OA ==在△CME 中，1CE CM EM ≤+即CE 1．1．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握性质定理和添加合适的辅助线是解题的关键．16．-3【分析】根据比例系数k 的几何含义：在反比例函数y=k x的图象中任取一点,过这一个点向x 轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|即可解题．【详解】解：∵矩形ABOC 的面积为3,∴|k|=3.∴k=±3.又∵点A 在第二象限,∴k<0,∴k=−3.故答案为−3.【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义,反比例函数图象上点的坐标特征,属于简单题,熟悉反比例函数的图像和性质是解题关键.17．2m ≠【分析】根据一元二次方程的定义ax 2+bx+c=0(a≠0),列含m 的不等式求解即可.【详解】解：∵关于x 的方程（m ﹣2）x 2﹣2x+1＝0是一元二次方程，∴m-2≠0,∴m≠2.故答案为：m≠2.【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，满足二次项系数不为0是解答此题的关键.18．（1）x 1=23-，x 2=2-；（2）x 1=32+，x 2=32；（3）x 1=34，x 2=12-；（4）x 1=1，x 2=23-【分析】（1）将方程常数项移到右边，未知项移到方程左边，方程两边同时除以3将二次项系数化为1，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；（2）化成一般形式后用公式法解比较方便；（3）把右边的项移到左边，用提公因式的方法因式分解解方程；（4）化成一般形式后用公式法解比较方便；【详解】解：（1）23840x x ++=，∴2384x x +=-，∴28433x x +=-，∴28164163939x x ++=-+，∴24439x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴4233x +=±，解得：x 1=23-，x 2=2-；（2）2310x x --=，则a =1，b =-3，c =-1，∵b 2-4ac =9+4=13＞0，∴x解得：x 1，x 2（3）()()421321x x x +=+，∴()()4213210x x x +-+=，∴()()04321x x -+=，∴4x -3=0或2x +1=0，解得：x 1=34，x 2=12-；（4）2320x x --=，则a =3，b =-1，c =-2，∵b 2-4ac =1+24=25＞0，∴x ，解得：x 1=1，x 2=23-．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法、公式法及因式分解法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边的多项式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．19．解：（1）24x =（2）2.5.【分析】（1）利用根与系数的关系12b x x a +=-求解；（2）解一元二次方程，然后利用三角形面积公式进行计算求解.【详解】解：∵一元二次方程260x x k -+=的两根分别为1x 、2x ∴12b x x a +=-，即226x +=∴24x =；（2）当5k =时，2650x x -+=解得：121,5x x ==∵1x 、2x 分别是Rt ABC ∆的两条直角边的长∴115 2.52Rt ABC S ∆=⨯⨯=【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系及解一元二次方程，掌握公式和解方程的一般步骤正确计算是本题的解题关键.20．详见解析【分析】根据平行四边形性质得出AB=CD ，∠A=∠C ．求出∠ABD=∠CDB ．推出∠ABE=∠CDF ，根据ASA 推出△ABE ≌△CDF 即可证得DE=BF ；再又DE ∥BF 可得．【详解】证明：在□ABCD 中，AB=CD ，∠A=∠C,AD=BC ．∵AB ∥CD ，∴∠ABD=∠CDB ．∵BE 平分∠ABD ，DF 平分∠CDB ，∴∠ABE=12∠ABD ，∠CDF=12∠CDB ．∴∠ABE=∠CDF ．∵在△ABE 和△CDF 中，A C AB DC ABE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE ≌△CDF （ASA ）．∴AE=CF∴AD-AE=BC-CF,即DE=BF又AD ∥BC∴四边形DEBF 是平行四边形【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定义等知识点的应用，熟练运用平行四边形的判定和性质是关键．21．见解析【解析】【分析】根据平移的性质得到∠GCB=∠DAF ，然后利用ASA 证得两三角形全等即可．【详解】解：△ADF ≌△CBG ；理由：∵把△ABE 沿CB 向左平移，使点E 与点C 重合，∴∠GCB=∠E ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠E=∠DAF ，∴∠GCB=∠DAF ，在△ADF 与△CBG 中，90D GBC GCB DAF BC AD ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△CBG （ASA ）．【点睛】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定等知识，解题的关键是了解矩形的性质与平移的性质，难度不大．22．（1）见解析；（2）40【分析】（1）先根据矩形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，然后证明AD＝EF可判断四边形AEFD 是平行四边形；（2）连接DE，如图，先利用勾股定理计算出AE＝ABE∽△DEA，利用相似比求出AD，然后根据平行四边形的面积公式计算．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BE＝CF，∴BE+EC＝EC+CF，即BC＝EF，∴AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形；（2）解：连接DE，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，在Rt△ABE中，AE∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EAD，∵∠B＝∠AED＝90°，∴△ABE∽△DEA，∴AE：AD＝BE：AE，∴AD ＝2＝10，∵AB ＝4，∴四边形AEFD 的面积＝AB ×AD ＝4×10＝40．【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识点是解题的关键．23．（1）4y x=-；（2）点P 的坐标为()0,1或()0,5．【分析】（1）根据反比例函数系数的几何意义，利用△AOB 的面积即可求出m 值，然后把点A 的坐标代入反比例函数解析式，计算即可得到k 的值．（2）先一次函数的解析式，再求出点C 坐标为（4，−1），设P 点坐标为（0，c ），根据题意有：113134522c c ⨯-⨯+⨯-⨯=，解方程即可求得．【详解】解：（1）依题意得1122m ⨯⨯=，∴4m =，∴()1,4A -，把点()1,4A -代入k y x=得41k =-，∴4k =-，∴反比例函数解析式为4y x =-；（2）∵()1,4A -，代入一次函数3y ax =+，得4=-a +3，解得a =-1∴3y x =-+令x =0，y =3，∴D （0，3）将点()4,C n 代入4y x=-，得：1n =-，则点C 坐标为()41-,，设点P 坐标为()0,c ，∴PD =3c -PAC △的面积为5，∴113134522c c ⨯-⨯+⨯-⨯=，解得：1c =或5c =，则点P 的坐标为()0,1或()0,5．【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数图象的交点问题，反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k |，三角形的面积是12|k |．24．这件货物高约5.1米．【分析】根据解直角三角形的解法得出BD ，CD 的长即可．【详解】解：∵tan ∠BAD ＝BD AD ，tan ∠CAD ＝CD AD ，∴BD ＝AD tan ∠BAD ＝3×tan35°≈2.1，CD ＝AD tan ∠CAD ＝3×1＝3，∴BC ＝BD +CD ＝2.1+3＝5.1（米）答：这件货物高约5.1米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形．25．（1）PD =PE 且PD ⊥PE ，理由见详解；（2）①（1）中猜想成立，理由见详解；②2222BC CE PB +=，证明见详解．【分析】（1）根据点P 在线段AO 上，利用三角形的全等判定可以得出问题；（2）①利用三角形全等得出BP =PD ，由PB =PE 可得PE =PD ，要证PE ⊥PD 可从三方面分析，当点E 在线段BC 上（E 与B 、C 不重合）时，当点E 与点C 重合时，点P 恰好在AC 中点处，当点E 在BC 的延长线上时，分别分析即可求解；②连接DE ，由①知PE =PD ，PE ⊥PD ，由勾股定理可得22222DE PD PE PE =+=，由四边形ABCD 是正方形可得BC =DC ，∠BCD =∠DCE =90°，根据222DC CE DE +=知22222BC CE DE PE +==，然后结合PE =PB 可求解．【详解】解：（1）PD=PE且PD⊥PE，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，∵PC=PC，∴△BCP≌△DCP（SAS），∴PB=PD，∠PBC=∠PDC，∵PE=PB，∴PD=PE，∠PBC=∠PEB，∴∠PDC=∠PEB，∴∠PDC+∠PEC=180°，由四边形PECD内角和为360°，∴∠DPE+∠DCE=180°，∵∠DCE=90°，∴∠DPE=90°，∴PD=PE且PD⊥PE；（2）①（1）中结论仍成立，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BA=DA，∠BAP=∠DAP=45°，∵PA=PA，∴△BAP≌△DAP（SAS），∴PB=PD，∵PE=PB，∴PD=PE，a、当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时PE⊥PD；b、当点E在BC的延长线上时，如图所示：∵△BAP ≌△DAP ，∴∠ABP =∠ADP ，∴∠CDP =∠CBP ，∵BP =PE ，∴∠CBP =∠PEC ，∴∠PDC =∠PEC ，∵∠1=∠2，∴∠DPE =∠DCE =90°，∴PE ⊥PD ，综上所述：PD =PE 且PD ⊥PE 仍成立；②数量关系：2222BC CE PB +=，证明如下：如图2，连接DE ，由①可得PD =PE 且PD ⊥PE ，∴22222DE PD PE PE =+=，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC =DC ，∠BCD =∠DCE =90°，∴在Rt △DCE 中，222DC CE DE +=，∴22222BC CE DE PE +==，∵PE =PB ，∴2222BC CE PB +=．【点睛】本题主要考查正方形的性质、勾股定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、勾股定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键．。
北师大版九年级数学第一学期期末试题及答案
北师大版九年级数学第一学期期末试题及答案一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3，b＝0.6，c＝2，则线段d的长为（）A．0.4B．0.6C．0.8D．42．（3分）如图所示的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．3．（3分）如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，点A是位似中心，且AC：AF＝2：3，则四边形ABCD 与四边形AEFG的面积之比等于（）A．2：3B．4：9C．1：4D．1：24．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+n＝0没有实数根，则实数n的值可以为（）A．0B．1C．2D．35．（3分）已知反比例函数y＝，在下列结论中，不正确的是（）A．图象必经过点（1，2）B．图象在第一、二象限C．图象在第一、三象限D．若x＝2，则y＝16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积是3，则矩形ABCD的面积是（）A．6B．9C．12D．157．（3分）笼子里关着一只小松鼠（如图）．笼子主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先过第一道门（A或B），再过第二道门（C，D或E）才能出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门、再经过D门”的概率为（）A．B．C．D．8．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，AC为边作正方形ABPQ，ACFH，BP交FH于点O．若BC＝BF＝2，则OP的长为（）A．B．2C．D．2二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+6＝0．其中一个解x＝3，则m的值为．10．（3分）地面上有一支蜡烛，蜡烛前面有一面墙，王涛同学在蜡烛与墙之间运动，则他在墙上的投影长度随着他离墙的距离变小而（增大、变小）．11．（3分）在一个布袋中装有只有颜色不同的a个小球，其中红球的个数为2，随机摸出一个球记下颜色后再放回袋中，通过大量重复实验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出a大约是．12．（3分）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为．13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F在AD上，且AF：AD＝1：3，EF交AC于G．若AC＝40，则AG＝．三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）14．（5分）解方程：y（y﹣7）+2y﹣14＝0．15．（5分）画出如图所示的正三棱柱的三视图．16．（5分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，以AC为边长作正方形ACEF，求这个正方形的周长．17．（5分）已知反比例函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，求正整数m的值．18．（5分）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．求证：四边形BFDE是矩形．19．（5分）某游泳池有1200立方米水，设放水的平均速度为v立方米/小时，将池内的水放完需t小时．（1）求v关于t的函数表达式；（2）若要求在3小时之内把游泳池的水放完，则每小时应至少放水多少立方米？20．（5分）如图，延长正方形ABCD的一边CB至E，ED与AB相交于点F，过F作FG∥BE交AE于点G，求证：GF＝FB．21．（6分）解读诗词（通过列方程算出周瑜去世时的年龄）：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄．22．（7分）学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶E、标杆顶端A、大楼顶端C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF＝1.5米，“标杆“AB＝2.5米，BD＝23米，FB＝2米，EF、AB、CD均垂直于地面BD．求大楼的高度CD．23．（7分）甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有三个种类的奶制品：A：纯牛奶，B：酸奶，C：核桃奶；伊利品牌有两个种类的奶制品：D：纯牛奶，E：核桃奶．（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是；（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请用列表法或画树状图法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．24．（8分）如图，在△ABC中，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，∠CBD＝∠A，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E．（1）求证：△ECD∽△EDB；（2）求△DCE与△ACB的周长比．25．（8分）如图，直角坐标系中，点B坐标为（6，0），且AO＝AB＝5，AH⊥x轴于点H，过B作BC⊥x轴交过点A的双曲线于点C，连接OC交AB于点D，交AH于点M．（1）求双曲线的表达式；（2）求的值．26．（10分）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长交AD于点E，交BA的延长线于点F．（1）求证：△APD≌△CPD；（2）求证：△APE∽△FP A；（3）若PE＝4，PF＝12，求PC的长．参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3，b＝0.6，c＝2，则线段d的长为（）A．0.4B．0.6C．0.8D．4【分析】由a、b、c、d四条线段是成比例的线段，根据成比例线段的定义，即可得＝，又由a＝3，b＝0.6，c＝2，即可求得d的值．【解答】解：∵a、b、c、d四条线段是成比例的线段，∴＝，∵a＝3，b＝0.6，c＝2，∴＝解得：d＝0.4．故选：A．【点评】此题考查了比例线段，此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义．2．（3分）如图所示的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左边看是两个同心圆，内圆要画成实线．故选：C．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．3．（3分）如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，点A是位似中心，且AC：AF＝2：3，则四边形ABCD 与四边形AEFG的面积之比等于（）A．2：3B．4：9C．1：4D．1：2【分析】根据位似图形的概念得到EF∥BC，证明△BAC∽△EAF，根据相似三角形的性质求出，根据相似多边形的性质计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，∴四边形ABCD∽四边形AEFG，EF∥BC，∴△BAC∽△EAF，∴＝＝，∴四边形ABCD与四边形AEFG的面积之比为4：9，故选：B．【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．4．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+n＝0没有实数根，则实数n的值可以为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据方程没有实数根得出（﹣3）2﹣4×1×n＜0，解之求出n的范围，结合各选项可得答案．【解答】解：根据题意，得：（﹣3）2﹣4×1×n＜0，解得：n＞，∴n的值可以是3，故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．5．（3分）已知反比例函数y＝，在下列结论中，不正确的是（）A．图象必经过点（1，2）B．图象在第一、二象限C．图象在第一、三象限D．若x＝2，则y＝1【分析】由k＝2＞0即可判断B，C；把x＝2，代入y＝可判断A，D．【解答】解：A．把（2，1）代入y＝得：左边＝右边，故本选项不符合题意；B．k＝2＞0，图象在第一、三象限内，故本选项符合题意；C．k＝2＞0，图象在第一、三象限内，故本选项不符合题意；D．把x＝2，代入y＝得y＝1，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，能熟练地根据反比例函数的性质进行判断是解此题的关键．6．（3分）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积是3，则矩形ABCD的面积是（）A．6B．9C．12D．15【分析】由矩形的性质可得AO＝CO＝BO＝DO，可得S△AOB＝S△BOC＝S△AOD＝S△OCD＝3，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO＝BO＝DO，∴S△AOB＝S△BOC＝S△AOD＝S△OCD＝3，∴矩形ABCD的面积＝12，故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．7．（3分）笼子里关着一只小松鼠（如图）．笼子主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先过第一道门（A或B），再过第二道门（C，D或E）才能出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门、再经过D门”的概率为（）A．B．C．D．【分析】画树状图，即可得出答案．【解答】解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，先经过A门、再经过D门只有1种结果，所以先经过A门、再经过D门的概率为，故选：D．【点评】此题考查的是用树状图法．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；正确画出树状图是解题的关键．8．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，AC为边作正方形ABPQ，ACFH，BP交FH于点O．若BC＝BF＝2，则OP的长为（）A．B．2C．D．2【分析】根据正方形的性质得到△FOB∽△CBA，根据相似三角形的性质得到OF，利用勾股定理分别求出OB，PB进而可求．【解答】解：∵四边形ABPQ，ACFH为正方形，∴PB＝AB，AC＝CF＝CB+BF＝4，∠F＝∠C＝90°，∠PBA＝90°，∴∠FOB+∠FBO＝90°，∠ABC+∠FBO＝90°∴∠FOB＝∠ABC，∴△FOB∽△CBA，∴＝，即＝，∴OF＝1，在Rt△FBO中，由勾股定理得，OB＝＝＝，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝＝2，∴OP＝PB﹣OB＝，故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质和相似三角形的性质与判定，利用正方形的性质得到△FOB∽△CBA，根据相似三角形的性质得到OF是解题的关键．二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+6＝0．其中一个解x＝3，则m的值为5．【分析】把x＝3代入方程x2﹣mx+6＝0得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．【解答】解：把x＝3代入方程x2﹣mx+6＝0得9﹣3m+6＝0，解得m＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．10．（3分）地面上有一支蜡烛，蜡烛前面有一面墙，王涛同学在蜡烛与墙之间运动，则他在墙上的投影长度随着他离墙的距离变小而变小（增大、变小）．【分析】可连接光源和人的头顶可知，墙上的影长和人到墙的距离变化规律是：距离墙越近，影长越短，距离墙越远影长越长．【解答】解：连接光源和人的头顶可知，墙上的影长和人到墙的距离变化规律是：距离墙越近，影长越短，距离墙越远影长越长．则他在墙上投影长度随着他离墙的距离变小而变小．故答案为变小．【点评】本题综合考查了中心投影的特点和规律．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．11．（3分）在一个布袋中装有只有颜色不同的a个小球，其中红球的个数为2，随机摸出一个球记下颜色后再放回袋中，通过大量重复实验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出a大约是10．【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【解答】解：由题意可得，＝0.2，解得，a＝10．故可以推算出a大约是10个．故答案为：10．【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．12．（3分）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为2．【分析】首先延长BA交y轴于点E，易得四边形ADOE与四边形BCOE是矩形，又由点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，即可得S矩形ADOE＝1，S矩形BCOE＝3，继而求得答案．【解答】解：延长BA交y轴于点E，∵四边形ABCD为矩形，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，∴AE⊥y轴，∴四边形ADOE与四边形BCOE是矩形，∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，∴S矩形ADOE＝1，S矩形BCOE＝3，∴S矩形ABCD＝S矩形BCOE﹣S矩形ADOE＝3﹣1＝2．故答案为：2．【点评】此题考查了反比例函数的系数k的几何意义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F在AD上，且AF：AD＝1：3，EF交AC于G．若AC＝40，则AG＝8．【分析】设AC的中点为O，连接EO，根据题意可得OE是△ABC的中位线，从而可得OE＝BC，OE∥BC，进而可证8字模型相似三角形△AFG∽△OEG，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：设AC的中点为O，连接EO，∴AO＝AC＝20，∵E是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝BC，OE∥BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴AD∥OE，∴∠F AG＝∠AOE，∠AFG＝∠OEG，∴△AFG∽△OEG，∴＝，∵AF：AD＝1：3，∴＝，∴＝＝，∴＝，∴AG＝8，故答案为：8．【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）14．（5分）解方程：y（y﹣7）+2y﹣14＝0．【分析】根据因式分解法即可求出答案．【解答】解：y（y﹣7）+2y﹣14＝0，y（y﹣7）+2（y﹣7）＝0，分解因式得：（y﹣7）（y+2）＝0，则y﹣7＝0或y+2＝0，解得：y1＝7，y2＝﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．15．（5分）画出如图所示的正三棱柱的三视图．【分析】根据题意可得正三棱柱的主视图为中间有一条竖的实心线的矩形，左视图为矩形，俯视图为正三角形，从而可画出三视图．【解答】解：如图所示：【点评】此题考查了作图﹣三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握三视图的观察方法，要求一定的空间想象能力．16．（5分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，以AC为边长作正方形ACEF，求这个正方形的周长．【分析】根据已知可求得△ABC是等边三角形，从而得到AC＝AB，再根据正方形的周长公式计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝4，∴正方形ACEF的周长是16．【点评】本题考查菱形与正方形的性质，关键是根据已知可求得△ABC是等边三角形．17．（5分）已知反比例函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，求正整数m的值．【分析】先根据反比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵反比例函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，∴3﹣2m＞0，解得m＜，∴正整数m的值是1．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．18．（5分）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．求证：四边形BFDE是矩形．【分析】根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵BE∥DF，BE＝DF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形．【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题关键．19．（5分）某游泳池有1200立方米水，设放水的平均速度为v立方米/小时，将池内的水放完需t小时．（1）求v关于t的函数表达式；（2）若要求在3小时之内把游泳池的水放完，则每小时应至少放水多少立方米？【分析】（1）由题意得vt＝900，即v＝，自变量的取值范围为t＞0，（2）把t＝3代入求出相应的v的值，即可求出放水速度．【解答】解：（1）由题意得：vt＝1200，即：v＝，答：v关于t的函数表达式为v＝，自变量的取值范围为t＞0．（2）当t＝3时，v＝＝400，所以每小时应至少放水400立方米．【点评】考查求反比例函数的应用，根据常用的数量关系得出函数关系式是解题的关键．20．（5分）如图，延长正方形ABCD的一边CB至E，ED与AB相交于点F，过F作FG∥BE交AE于点G，求证：GF＝FB．【分析】结合条件可得到GF∥AD，则有＝，由BF∥CD可得到＝，又因为AD＝CD，可得到GF ＝FB．【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形，∴BF∥CD，∴＝，∵FG∥BE，∴GF∥AD，∴＝，∴＝，且AD＝CD，∴GF＝BF．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例及正方形的性质，掌握平行线分线段中的线段对应成比例是解题的关键，注意利用比例相等也可以证明线段相等．21．（6分）解读诗词（通过列方程算出周瑜去世时的年龄）：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄．【分析】设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3．根据题意建立方程求出其值就可以求出其结论．【解答】解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3，依题意得：10（x﹣3）+x＝x2，解得x1＝5，x2＝6，当x＝5时，25＜30，（不合题意，舍去），当x＝6时，36＞30（符合题意），答：周瑜去世时的年龄为36岁．【点评】本题是一道数字问题的运用题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，在解答中理解而立之年是一个人30岁的年龄是关键．22．（7分）学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶E、标杆顶端A、大楼顶端C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF＝1.5米，“标杆“AB＝2.5米，BD＝23米，FB＝2米，EF、AB、CD均垂直于地面BD．求大楼的高度CD．【分析】如图1中，过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J．则四边形EFBJ，四边形EFDH都是矩形．利用相似三角形的性质求出CH，可得结论．【解答】解：如图中，过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J．则四边形EFBJ，四边形EFDH都是矩形．∴EF＝BJ＝DH＝1.5米，BF＝EJ＝2米，DB＝JH＝23米，∵AB＝2.5米．∴AJ＝AB﹣BJ＝2.5﹣1.5＝1（米），∵AJ∥CH，∴△EAJ∽△ECH，∴＝，∴＝，∴CH＝12.5（米），∴CD＝CH+DH＝12.5+1.5＝14（米）．答：大楼的高度CD为14米．【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．23．（7分）甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有三个种类的奶制品：A：纯牛奶，B：酸奶，C：核桃奶；伊利品牌有两个种类的奶制品：D：纯牛奶，E：核桃奶．（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是；（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请用列表法或画树状图法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．【分析】（1）根据概率公式求解即可；（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是，故答案为：；（2）列表如下：A B CD（A，D）（B，D）（C，D）E（A，E）（B，E）（C，E）由表知，共有6种等可能结果，其中两人选购到同一种类奶制品的有2种结果，所以两人选购到同一种类奶制品的概率为＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．24．（8分）如图，在△ABC中，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，∠CBD＝∠A，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E．（1）求证：△ECD∽△EDB；（2）求△DCE与△ACB的周长比．【分析】（1）由DE∥AB得∠EDC＝∠A，因为∠CBD＝∠A，所以∠EDC＝∠EBD，而∠A＝∠A，可证明△ECD ∽△EDB；（2）由DE∥AB可证明△DCE∽△ACB，而AC＝3CD，所以△DCE的周长：△ACB的周长＝CD：AC＝1：3，即可得出问题的答案．【解答】（1）证明：如图，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠A，∵∠CBD＝∠A，∴∠EDC＝∠CBD，即∠EDC＝∠EBD，∵∠E＝∠E，∴△ECD∽△EDB；（2）解：∵DE∥AB，∴△DCE∽△ACB，∵AC＝3CD，∴△DCE的周长：△ACB的周长＝CD：AC＝1：3＝，∴△DCE与△ACB的周长比为．【点评】此题考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，其中证明△DCE∽△ACB是解题的关键．25．（8分）如图，直角坐标系中，点B坐标为（6，0），且AO＝AB＝5，AH⊥x轴于点H，过B作BC⊥x轴交过点A的双曲线于点C，连接OC交AB于点D，交AH于点M．（1）求双曲线的表达式；（2）求的值．【分析】（1）根据B坐标为（6，0），得到OB＝6，根据等腰三角形的性质得到OH＝BH＝OB＝3，根据勾股定理得到AH＝＝＝4，求得A坐标为（3，4），于是得到结论；（2）设C坐标为（6，m），根据y＝（x＞0）经过点C，求得BC＝2，根据相似三角形的性质得到＝，根据三角形的中位线定理得到MH＝BC＝×2＝1于是得到结论．【解答】解：（1）∵B坐标为（6，0），∴OB＝6，∵AO＝AB＝5，AH⊥x轴于点H，∴OH＝BH＝OB＝3，在Rt△AOH中，AO2＝AH2+OH2，∴AH＝＝＝4，∴A坐标为（3，4），∵y＝（x＞0）经过点A，∴4＝，∴k＝12，∴双曲线表达式为y＝（x＞0）；（2）设C坐标为（6，m），∵y＝（x＞0）经过点C，∴m＝＝2，∴BC＝2，∵AH⊥x轴，BC⊥x轴，∴AM∥CB，∴△ADM∼△ABC，∴＝，∵OH＝BH，∴OM＝CM，∴MH是△OBC的中位线，∴MH＝BC＝×2＝1，∴AM＝AH﹣MH＝3，∴＝．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．26．（10分）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长交AD于点E，交BA的延长线于点F．（1）求证：△APD≌△CPD；（2）求证：△APE∽△FP A；（3）若PE＝4，PF＝12，求PC的长．【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质得AD＝CD＝AB＝CB，还有BD是公共边，可证明△ADB ≌△CDB，得∠PDA＝∠PDC，再证明△APD≌△CPD即可；（2）由CD∥AB得∠F＝∠PCD，由△APD≌△CPD得∠P AE＝∠PCD，所以∠P AE＝∠F，而∠P AE＝∠FP A，即可证明△APE∽△FP A；（3）由△APE∽△FP A得＝，其中PE＝4，PF＝12，可求出P A的长，由△APD≌△CPD可知PC＝P A，即可求得PC的长．【解答】（1）证明：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD＝AB＝CB，在△ADB和△CDB中，，∴△ADB≌△CDB（SSS），∴∠PDA＝∠PDC，在△APD和△CPD中，，∴△APD≌△CPD（SAS）．（2）证明：如图，∵CD∥AB，∴∠F＝∠PCD，∵∠P AE＝∠PCD，∴∠P AE＝∠F，∵∠P AE＝∠FP A，∴△APE∽△FP A．（3）解：如图，∵△APE∽△FP A，∴＝，∵PE＝4，PF＝12，∴P A2＝PE•PF＝4×12＝48，∴P A＝＝4，∴PC＝P A＝4．∴PC的长为4．【点评】此题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，根据菱形的性质找出相等的角并证明角相等是解题的关键．。
北师大版数学九年级上册期末考试试卷含答案
北师大版数学九年级上册期末考试试题一、选择题(本大题共14个小题，每题2分，共28分)1．□ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，可推出□ABCD是菱形，那么这个条件可以是()A．AB=CD B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD2．下列四组线段中，不能成比例的是()A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4B．a＝1，b＝3，c＝2，d＝6C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10D．a＝2，b＝5，c＝4，d＝103．下列相似图形不是位似图形的是()A．B．C．D．4．用配方法解一元二次方程22310x x--=，配方正确的是()A．231324x⎛⎫-=⎪⎝⎭B．23142x⎛⎫-=⎪⎝⎭C．2317416x⎛⎫-=⎪⎝⎭D．2131124x⎛⎫-=⎪⎝⎭5．如图，在平行四边形纸片ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，若随机向平行四边形纸片ABCD内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为()A．12B．13C．14D．166．如图，要使ABC ACD ∆∆ ，需补充的条件不能是()A ．ADC ACB∠=∠B ．ABC ACD ∠=∠C ．AD AC AC AB =D ．AD BC AC DC⋅=⋅7．若反比例函数21k y x +=的图象位于第一、三象限，则k 的取值可以是()A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．08．如图，直线12//l l ，:2:3AF FB =，:2:1BC CD =，则:AE EC 是()A ．1:2B ．1:4C ．2:1D ．3:29．在一个不透明的布袋中，有黄色、白色的玻璃球共有20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小刚每次换出一个球后放回，通过多次摸球实验后发现摸到黄色球的频率稳定在40%，则布袋中白色球的个数很可能是()A ．8个B ．15个C ．12个D ．16个10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝a (a <2)，BC ＝2．以点D 为圆心，CD 的长为半径画弧，交AD 于点E ，交BD 于点F ．下列哪条线段的长度是方程2240x ax +-=的一个根()A ．线段AE 的长B ．线段BF 的长C ．线段BD 的长D ．线段DF 的长11．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，DE BC ⊥，垂足为点E ，连接AC 交DE 于点F ，点G 为AF 的中点，2ACD ACB ∠=∠．若3DG =，1EC =，则DE 的长为()A12B10C8D612．如图1，有一张长32cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形(图中阴影部分)之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是2130cm，则纸盒的高为()A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm13．已知一次函数y=kx+b的图象如图，那么正比例函数y=kx和反比例函数y=bx在同一坐标系中的图象的形状大致是()A．B．C．D．14．如图，四边形ABCD为菱形，BF∥AC，DF交AC的延长线于点E，交BF于点F，且CE：AC＝1：2．则下列结论：①△ABE≌△ADE；②∠CBE＝∠CDF；③DE＝FE；④S△BCE：S四边形ABFD＝1：10．其中正确结论的个数是()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题(本题共3个小题；每个小题4分，共12分)15．若干个桶装方便面摆放在桌子上，小明从三个不同方向看到的图形(分别是：主视图，左视图，和俯视图)如图所示，则这一堆方便面共有__________个16．方程()()130x x --=的解是__________．17．已知在Rt ABC ∆中，90,3,4C BC cm AC cm ︒∠===，点,M N 分别在边AC AB 、上，将ABC ∆沿直线MN 对折后，点A 正好落在对边BC 上，且折痕MN 截ABC ∆所成的小三角形(即对折后的重叠部分)与ABC ∆相似，则折折痕MN =__________cm三、解答题(本题共8道题，18-20每题6分，21-245每题8分，25题10分，满分60分)18．我们定义一种关于“★”的新运算：a ★b ab a b =+-，试根据条件回答问题．(1)计算：2★()=3-_____；(2)若x ★()11x +=，求x 的值．19．己知：如图，点A 在反比例函数()0k y x x =>的图像上，且点A 的横坐标为2，作AH 垂直于x 轴，垂足为点H ，3AOHS = ．(1)求AH 的长；(2)求k 的值；(3)若()11,M x y 、()22,N x y 在该函数图像上，当120x x <<时，比较1y 与2y 的大小关系．20．2019年，市教育局在全市中小学中选取了63所学校从学生的思想品德、学业水平、学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价．评价小组在选取的某中学全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习的时间，并绘制成如下不完整的统计图．根据上述信息，解答下列问题：(1)本次抽取的学生人数是______；扇形统计图中的圆心角 等于______；补全统计直方图．(2)被抽取的学生还要进行一次50米跑测试，每4人一组进行．在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概率．21．一批发市场某服装批发价为240元/件．为拉动消费，该批发市场规定：当批发数量超过10件时，给予降价优惠，但批发价不得低于150元/件．经市场调查发现，优惠时批发价y(元/件)与x(件)之间成一次函数关系，当批发数量为15件时，批发价为210元/件；当批发数量为22件时，批发价为168元/件．(1)求批发价y(元/件)与x(件)之间的一次函数表达式；(2)在该市场降价优惠期间，某顾客一次性支付了3600元，求该顾客批发了多少件服装？22．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，AD上，AH＝2，连接CF．(1)当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；(2)当DG＝6时，求△FCG的面积；(3)求△FCG的面积的最小值．23．如图是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置.(1)在小亮由B沿OB所在的方向行走的过程中，他在地面上的影子的变化情况为______；(2)请你在图中画出小亮站在AB处的影子；(3)当小亮离开灯杆的距离 4.2OB m =时，身高(AB )为1.6m 的小亮的影长为1.6m ，问当小亮离开灯杆的距离6OD m =时，小亮的影长是多少m ？24．饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y (℃)与开机时间x (分)满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y (℃)与开机时间x (分)成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序(如图所示)，根据图中提供的信息，解答问题：(1)当0≤x ＜8时，求水温y (℃)与开机时间x (分)的函数关系式．(2)求图中t 的值；(3)若在通电开机后即外出散步，请你预测散步42分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？25．如图所示，在△ABC 中，BA ＝BC ＝20cm ，AC ＝30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x秒．(1)当x 为何值时，PQ //BC ；(2)当13BCQABC S S ∆∆=时，求S △BPQ ：S △ABC 的值；(3)△APQ 能否与△CQB 相似？若能，求出时间x 的值；若不能，说明理由．答案一、选择题1．C.2．C ．3．D ．4．C.5．C.6．D.7．D ．8．C ．9．B ．10．B.11．C ．12．C ．13．C ．14．D ．二、填空题15．516．11x =，23x =17．32或158．三、解答题18.解：(1)根据题中的新定义得：2★()()36231-=-+--=-；故答案为: 1-；(2)根据题中的新定义得：x ★()()()111x x x x x +=++-+=21x x +-∴21x x +-=1∴220x x +-=∴(2)(1)0x x +-=∴122,1x x =-=故答案是:-2或1．19.解：(1)∵点A 的横坐标为2，∴OH=2∵3AOH S = ∴12OH·AH=3解得：AH=3(2)∵OH=2，AH=3∴点A 的坐标为(2，3)将点A 的坐标代入ky x =中，得32k=解得：k=6(3)∵k=6＞0∴反比例函数在第一象限内，y 随x 的增大而减小∵()11,M x y 、()22,N x y 在该函数图像上，且120x x <<∴1y ＞2y ．20.(1)34-小时的人数有6人，占总人数20％，∴总人数有：620÷％30=(人)，23-小时的人数有：30376212----=(人)，占总人数为：1210030⨯％40=％，36040α=︒⨯％144=︒．补全直方图如下：；(2)列表法：小红，小花12341()2,1()3,1()4,12()1,2()3,2()4,23()1,3()2,3()4,34()1,4()3,4()3,461122P ==．21.解：(1)根据题意，则设一次函数的解析式为：y kx b =+，∴1521022168k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：6300k b =-⎧⎨=⎩，∴6300y x =-+；(2)根据题意，则可列方程：(6300)3600x x -+=，解得：1220,30x x ==当20x =时，6300180x -+=＞150当30x =时，6300120x -+=＜150，不合题意，舍去答：该顾客批发了20件服装．22.解：(1)∵四边形EFGH 为正方形，∴HG=HE ，∠EAH=∠D=90°，∵∠DHG+∠AHE=90°，∠DHG+∠DGH=90°，∴∠DGH=∠AHE ，∴△AHE ≌△DGH(AAS)，∴DG=AH=2；(2)过F 作FM ⊥DC ，交DC 延长线于M ，连接GE ，∵AB∥CD，∴∠AEG=∠MGE，∵HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠MGF，在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，∴△AHE≌△MFG(AAS)，∴FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，因此S△FCG =12×FM×GC=12×2×(7-6)=1；(3)设DG=x，则由(2)得，S△FCG=7-x，在△AHE中，AE≤AB=7，∴HE2≤53，∴x2+16≤53，∴37，∴S△FCG的最小值为37，此时37，∴当37时，△FCG的面积最小为(7-37)．23.(1)因为光是沿直线传播的,所以当小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中,他在地面上的影子长度的变化情况为变短;(2)如图所示,BE 即为所求(3)先设OP=x,则当OB=4.2米时,BE=1.6米，∴ 1.6 1.6, 4.2 1.6AB BE OP OE x ==+即∴x=5.8米当OD=6米时,设小亮的影长是y 米,∴DF CDDF OD OP=+∴ 1.66 5.8yy =+y=167(米)即小亮的影长是167米。
北师大版九年级上册数学期末考试试卷及答案
北师大版九年级上册数学期末考试试题一、单选题1．如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．2．如果2a＝5b，那么下列比例式中正确的是（）A．25ab=B．25ab=C．52ab=D．25a b=3．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则下列选项错误的是（）A．m+n＝﹣2B．mn＝﹣5C．m2+2m﹣5＝0D．m2+2n﹣5＝04．已知反比例函数6yx=-，下列说法中正确的是（）A．该函数的图象分布在第一、三象限B．点()2,3在该函数图象上C．y随x的增大而增大D．该图象关于原点成中心对称5．如图，某游乐场山顶滑梯的高BC为50米，滑梯的坡比为5：12，则滑梯的长AB为A．100米B．110米C．120米D．130米6．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有30个，黑球有n个．随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为（）A．20B．30C．40D．507．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是（）A B ．136C ．1D ．568．如图，在平面直角坐标系中，OAB 与OCD 位似，点O 是它们的位似中心，已知()4,2A -，()2,1C -，则OAB 与OCD 的面积之比为（）A ．1:1B ．2:1C ．3:1D ．4:19．如图，在ABC 中，E 、F 分别是AB 和AC 上的点，且EF BC ∥，且10AB =，6AE =，5AF =，那么AC 的长是（）A ．253B ．103C ．325D ．31010．如图，在菱形ABCD 中，8AC =，3tan 4BAO ∠=，则菱形ABCD 的面积是（）A ．12B ．24C ．48D ．20二、填空题11．已知△ABC ∽△A B C '''，AD 和A D ''是它们的对应中线，若AD ＝8，A D ''＝6，则△ABC 与△A B C '''的周长比是_____．12．已知关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是_____．13．抛物线212y x ＝向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线表达式为______．14．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为AB 中点，68AC BD ==，，则线段OE 的长为________________．15．如图，小树AB 在路灯O 的照射下形成投影BC ．若树高AB ＝2m ，树影BC ＝3m ，树与路灯的水平距离BP ＝4m ．则路灯的高度OP 为_____m ．16．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AB 的中点，CE 和BD 交于点O ，若1EOB S =△，则四边形AEOD 的面积为___________．17．如图，点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(1，2)，将 OAB 绕点A 第一次顺时针旋转90°得到 O 1AB 1，将 O 1AB 1绕点B 1第二次顺时针旋转90°得到 O 2A 1B 1，将 O 2A 1B 1绕点B 1第三次顺时针旋转90°得到 O 3A 2B 1，…，如此进行下去，则点O 2021的坐标为__．三、解答题18．用适当的方法解方程：(1)2410x x -=+；(2)22350x x --=．19．计算：2cos45°+（﹣12）-1+（2020）0+|2|．20．如图，小明想在自己家的窗口A 处测量对面建筑物CD 的高度，他首先量出窗口A 到地面的距离AB 为1.5m ，又测得从A 处看建筑物底部C 的俯角为30°，看建筑物顶部D 的仰角为45°，且AB ，CD 都与地面垂直，点A ，B ，C ，D 在同一平面内．则建筑物CD 的高度_____m ．21．已知：△ABC 在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A （0，3），B （3，4），C （2，2）.（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）（1）画出△ABC 向下平移4个单位得到的△A 1B 1C 1，并直接写出C 1点的坐标；（2）以点B 为位似中心，在网格中画出△A 2BC 2，使△A 2BC 2与△ABC 位似，且位似比为2︰1，并直接写出C 2点的坐标及△A 2BC 2的面积．22．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是边BC 上的中线，过点A 作AE //BC ，过点D 作DE //AB ，DE 与AC ，AE 分别交于点O ，E ，连接EC ．（1）求证：四边形ADCE 是菱形；（2）若AB ＝AO ，OD ＝1，则菱形ADCE 的周长为．23．如图，在 ACB中，AB＝AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．（1）求证： BDE∽ CEF；（2）当点E移动到BC的中点时，且BD＝3，CF＝2，则DEEF的值为．24．某超市准备进一批每个进价为40元的小家电，经市场调查预测，售价定为50元时可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．（1）设每个定价增加x元，此时的销售量是多少？（用含x的代数式表示）（2）超市若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个应定价为多少元？25．在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝3E是边AD上的一个动点，连接BE，以BE 为一边在其左上方作矩形BEFG，过点F作直线AD的垂线，垂足为点H，连接DF．(1)当BE＝EF时．①求证：FH＝AE；②当 DEF 的面积是358时，求线段DE 的长；(2)如图2，当BE ，且射线FE 经过CD 的中点时，请直接写出线段FH 长．26．如图，一次函数1y x =--的图像与反比例函数ky x=的图像交于点A 、B ，与x 轴交于点C ，1AOCS =△．（1）求点A 的坐标与反比例函数的表达式．（2）设直线AB 与y 轴相交于点D ，经过计算可知点B 的坐标为()2,3-．若点Q 是y 轴上一点，是否存在点Q ，使得AQD AOB S S =△△？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）求1kx x--≥的x 的取值范围．参考答案1．D 2．C 3．D4．D 5．D 6．A 7．D 8．D 9．A 10．B 11．4：312．3a <且2a≠【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式△＞0，即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】∵关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，∴22024(2)10a a -≠⎧⎨=--⨯>⎩，解得：a ＜3且a≠2．故答案为：a ＜3且a≠213．21212y x =++（）【分析】根据函数图象向左平移加，向上平移加，可得答案．【详解】解：把抛物线212y x ＝向左平移1个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式是21212yx =++（），故答案为：21212y x =++（）．14．52【分析】由菱形的性质可得3OA OC ==，4OB OD ==，AO BO ⊥，由勾股定理求出AB ，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．【详解】解： 四边形ABCD 是菱形，6AC =，8BD =，3OA OC ∴==，4OB OD ==，AO BO ⊥，在Rt AOB 中，由勾股定理得：5AB ===，E 为AB 中点，1522OE AB ∴==故答案为：52．15．143【分析】由于OP 和AB 与地面垂直，则AB ∥OP ，根据相似三角形的判定可证△ABC ∽△OPC ，然后利用相似三角形的性质即可求出OP 的长．【详解】解：∵AB ∥OP ，∴△ABC ∽△OPC ，∴AB CBOP CP =，即2334OP =+，∴OP ＝143m ．故答案为：143．16．5【分析】由在平行四边形ABCD 中，点E 是AB 的中点，可知CD ∥AB ，1122BE AB CD ==，则△DOC ∽△BOE ，则2OD OC CD OB OE BE ===，进而可得2COD EOD S CD S BE ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，则2241CODS ==△，解得4CODS = ，由32BD OB OD OD =+=，可知334622BCD COD S S ==⨯=△△，由四边形ABCD 为平行四边形，可知6ABDBCD S S == ，进而可知615ABD BOE AEOD S S S =-=-=△△四边形．【详解】解：∵在平行四边形ABCD 中，点E 是AB 的中点，∴CD ∥AB ，1122BE AB CD ==，∴△DOC ∽△BOE ，∴2OD OC CDOB OE BE===，∴2COD EOD S CD S BE ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，∴2241CODS ==△，∴4CODS = ，32BD OB OD OD =+=，∴334622BCD COD S S ==⨯=△△，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴6ABDBCD S S == ，∴615ABD BOE AEOD S S S =-=-=△△四边形，故答案为：5．17．(2021，1)【分析】根据题意得出O 点坐标变化规律，进而得出点O 2021的坐标位置，进而得出答案．【详解】解：∵点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（1，2），△AOB 是直角三角形，∴OA ＝1，AB ＝2，将△OAB 绕点A 第一次顺时针旋转90°得到△O 1AB 1，此时O 1为（1，1），将△O 1AB 1绕点B 1第二次顺时针旋转90°得到△O 2A 1B 1，得到O 2为（1+2+1，2），再将△O 2A 1B 1绕点B 1第三次顺时针旋转90°得到△O 3A 2B 1，得到O 3（1+2+2，﹣1），…，依此规律，∴每4次循环一周，O 1（1，1），O 2（4，2），O 3（5，﹣1），O 4（4，0），∵2021÷4＝505…1，∴点O 2021（505×4+1，1），即（2021，1）．故答案为（2021，1）．18．(1)12x =-，22x =；(2)11x =-，252x =；【分析】(1)用配方法求一元二次方程的解，首先把-1转化为4-5的形式，则前三项可凑成完全平方式，再通过用平方根的方法求解即可.(2)直接用十字相乘法解一元二次方程.（1）解：2410x x -=+24450x x ++-=()2250x +-=，()225x +=，2x +=12x =-，22x =-；（2）解：22350x x --=()()1250x x +-=10x +=或250x -=，11x =-，252x =．19．1【分析】根据题意直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简即可得出答案．【详解】解：2cos45°+（﹣12）-1+（20200+|2|＝2×2﹣2+1+2﹣2+1+2＝1．20【分析】作AE ⊥CD 于E ，则四边形ABCE 为矩形，CE ＝AB ＝1.5m ．解Rt △ACE 可得AE 的长，再解Rt △ADE 可得DE 的长，最后根据CD ＝CE+DE 计算即可．【详解】解：如图，作AE ⊥CD 于E ，则四边形ABCE 为矩形，∴CE ＝AB ＝1.5m ，AE ＝BC ，在Rt △ACE 中，tan ∠CAE ＝CEAE，∴AE ＝tan CE CAE ∠＝ 1.5tan 30︒＝2（m ），在Rt △ADE 中，∵∠DAE ＝45°，∴△ADE 为等腰直角三角形，∴DE ＝AE ，又∵CE ＝AB ＝1.5m ，∴CD ＝CE+DE ＝m ）．答：建筑物CD ．21．解：（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求，C 1（2，－2）．（2）如图，△A 2BC 2即为所求，C 2（1，0），△A 2BC 2的面积：10【详解】分析：（1）根据网格结构，找出点A 、B 、C 向下平移4个单位的对应点1A 、1B 、1C 的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点1C 的坐标；（2）延长BA 到2A 使A 2A =AB ，延长BC 到2C ，使C 2C =BC ，然后连接A 2C 2即可，再根据平面直角坐标系写出2C 点的坐标，利用△2A B 2C 所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．本题解析：（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求，C 1(2，－2)(2)如图,△2A B 2C 为所求,2C (1,0)，△2A B2C的面积：6×4−12×2×6−12×2×4−12×2×4=24−6−4−4=24−14=10，22．（1）见解析；（2）【分析】（1）先证四边形ABDE为平行四边形，再证得AE＝CD，得四边形ADCE是平行四边形，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得AD＝CD，即可得出结论；（2）先由菱形的性质得AD＝AE＝CE＝CD，AC⊥DE，OA＝OC，再证OD是△ABC的中位线，得AB＝2OD＝2，则AO＝AB＝2，然后由勾股定理求出AD的长即可解决问题．【详解】解：（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE＝BD，∵AD是边BC上的中线，∴BD＝CD，∴AE＝CD，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，∴AD＝12BC＝CD，∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：∵四边形ADCE是菱形，∴AD＝AE＝CE＝CD，AC⊥DE，OA＝OC，∵BD＝CD，∴OD是△ABC的中位线，∴AB＝2OD＝2，∴AO＝AB＝2，∴AD∴菱形ADCE的周长＝4AD＝故答案为：23．（1）见解析；（2）2【分析】（1）由相似三角形的判定可证 BDE ∽ CEF ；（2）由相似三角形的性质可得DBBECE CF =，可求BE ＝CE ，即可求解．【详解】（1）证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵∠BDE ＝180°﹣∠B ﹣∠DEB ，∠CEF ＝180°﹣∠DEF ﹣∠DEB ，又∵∠DEF ＝∠B ，∴∠BDE ＝∠CEF ，∴ BDE ∽ CEF ；（2）解：∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，∵ BDE ∽ CEF ，∴DBBECE CF =，∴BE 2＝DB•CF ＝6，∴BE ＝CE ，∵ BDE ∽ CEF ，∴DEDBEF CE =故答案为：224．（1）40010x -；（2）每个定价70元.【分析】（1）根据销售量=400-10x 列关系式；（2）总利润=每个的利润×销售量，销售量为400-10x ，列方程求解，根据题意取舍；【详解】（1）根据题意得出：40010x -；（2）()()10400106000x x +-=整理得：2302000x x -+=，解得120x =，210x =（舍去），∴每个定价70元.25．(1)①证明见详解；②52或72；11;【分析】（1）①根据正方形的性质和全等三角形的性质与判定解答即可；②根据全等三角形的性质和三角形的面积公式解答即可；（2）根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．（1）①证明：∵EH⊥AE，∴∠FEH+∠HFE=90°，∵四边形BEFG为矩形，∴∠FEH+∠AEB=90°，∴∠AEB=∠HFE，在△FHE与△EAB中，90BAE EHFHFE AEBBE EF∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FHE≌△EAB（AAS），∴FH=AE；②解：∵△FHE≌△EAB，∴AE=FH，∵AD=6，设DE=x，AE=6－x，∴35182DEFS DE FH==⋅△，可得：()135628x x-=，解得：152x=，272x=，即线段DE的长度为：52或72；（2）解：FH⊥AE，∴∠FEH+∠HFE=90°，∵四边形BEFG为矩形，∴∠FEH ＋∠AEB=90°，∴∠AEB=∠HFE ，∴△FHE ∽△EAB ，∴FH EF AE BE =∵AB =，∴HE EF AB BE ==∴HE=2，延长EF 交DC 于点Q ，如图所示，∵Q 是CD 的中点，∴1122DQ CD AB ===，设FH 为x ，则AE =，则6DE =-，∵∠DEQ=∠FEH ，=90°，∴△EDQ ∽△EHF ，∴FH HE DQ DE =，=解得：11x =+，21x =，∴线段FH 11．26．（1）()3,2A -，6y x =-；（2）存在，20,3Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭或80,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）3x ≤-或02x <≤【分析】（1）直线AB 与x 轴的交点()1,0C -，由1AOC S =△，可求得点A 的纵坐标，然后代入一次函数求得点A 的坐标，把点A 的坐标代入反比例函数即可求得反比例函数解析式．（2）结合题意可以求得AOB 的面积，然后设设点()0,Q y ，然后用三角形的面积公式列等式，求解即可得出答案；（3）根据A 、B 点的坐标和图象得出答案．【详解】解：（1）直线AB ：1y x =--与x 轴的交点C ，令y ＝0，则1=0x --，解得：x ＝﹣1，∴点()1,0C -．设(),A x y ，∵1AOC S =△，∴1112y ⨯⨯=∴2y =，∴(),2A x 将点A 代入1y x =--得，3x =-，∴()3,2A -，∴6k =-，∴反比例函数解析式为：6y x =-；（2）存在，理由如下：∵1152113222AOB S =⨯⨯+⨯⨯=△，设点()0,Q y ，直线AB 与y 轴的交点为()0,1-，则153122ADQ S y =⨯⨯+=△，∴23y =或83y =-，∴20,3Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭或80,3⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）∵一次函数与反比例函数交于点()3,2A -、B ()2,3-，∴由图像可知：要使1kx x--≥∴3x ≤-或02x <≤。
北师大版九年级上册数学期末考试试卷及答案
北师大版九年级上册数学期末考试试题一、单选题1．下列关系式中y 是x 的反比例函数的是（）A ．5y x=B ．k y x=C ．25y x =D ．3xy =2．如图，三视图正确的是（）A ．主视图B ．左视图C ．左视图D ．俯视图3．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -=4．反比例函数ky x=的图象如图所示，则k 值可能是（）A ．－2B ．2C ．4D ．85．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论：①当AB ＝BC 时，它是菱形；②当AC ⊥BD 时，它是菱形；③当∠ABC ＝90°时，它是矩形；④当AC ＝BD 时，它是正方形，其中错误的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，在△ABC 中，点D 、E 在边AB 上，点F 、G 在边AC 上，且DF ∥EG ∥BC ，AD＝DE ＝EB ，若Δ1ADF S =，则EBCG S =四边形（）A ．3B ．4C ．5D ．67．若关于x 的方程()()22222280x x x x +++-=有实数根，则22x x +的值为（）A ．－4B ．2C ．－4或2D ．4或－28．在一只不透明的口袋中放入红球5个，黑球1个，黄球n 个，这些球除颜色不同外，其它无任何差别．搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为13，则放入口袋中的黄球总数n 是（）A ．3B ．4C ．5D ．69．如图，O 是矩形ABCD 对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，若BC ＝8，OB ＝5，则OM 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，点A 落在点E 处，DE 交BC 于点F ，若∠CFD ＝40°，则∠ABD 的度数为（）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°二、填空题11．反比例函数ky x=图象上有两点A （－3，4）、B （m ，2），则m ＝_____．12．为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼_____条．13．已知一元二次方程（m －2）m x ＋3x －4＝0，那么m 的值是_____．14．在平面直角坐标系中，△ABC 中点A 的坐标是（2，3），以原点O 为位似中心把△ABC 放大，使放大后的三角形与△ABC 的相似比为3：1，则点A 的对应点A′的坐标为_____．15．若一元二次方程220x -=的两根分别为m 与n ，则m nn m+=_____．16．在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，BD ⊥DE 交AC 的延长线于点E ，则DE ＝_____．17．如图，在平行四边形ABCD 中，CE ⊥AB 且E 为垂足，如果∠A ＝125°，则∠BCE ＝____.三、解答题18．如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ，与BC 相交于点N ，连接BM ，DN ．（1）求证：四边形BMDN 是菱形；（2）若AB ＝4，AD ＝8，求菱形BMDN 的面积．19．等腰三角形的三边长分别为a 、b 、c ，若6a =，b 与c 是方程22(31)220x m x m m -+++=的两根，求此三角形的周长．20．如图，一次函数2y kx =+与y 轴交于点A ，与反比例函数my x=的图象相交于B 、C 两点，BD ⊥y 轴交y 轴于点D ，OA ＝OD ，8ABDS ∆=．(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)求点C 的坐标，并直接写出不等式2mkx x+>的解集；(3)在所在平面内，存在点E 使以点B 、C 、D 、E 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标．21．如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，//AD BC ，2AD BC =，90ABD ∠=︒，E 为AD 的中点，连接BE ．（1）求证：四边形BCDE 为菱形；（2）连接AC ，若AC 平分BAD ∠，1BC =，求AC 的长．22．某数学小组为调查实验学校周五放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“A ：乘坐电动车，B ：乘坐普通公交车或地铁，C ：乘坐学校的定制公交车，D ：乘坐家庭汽车，E ：步行或其他”这五种方式中选择最常用的一种，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题．（1）本次调查中一共调查了名学生；扇形统计图中，E选项对应的扇形圆心角是度；（2）请补全条形统计图；（3）若甲、乙两名学生放学时从A、B、C三种方式中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率．23．如图，在▱ABCD中过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．（1）求证：△ABF∽△BEC；（2）若AD=5，AB=8，sinD=45，求AF的长．24．已知：如图，△ABO与△BCD都是等边三角形，点O为坐标原点，点B、D在x轴上，AO＝2，点A、C在一反比例函数图象上．（1）求此反比例函数解析式；（2）求点C的坐标；（3）问：以点A为顶点，且经过点C的抛物线是否经过点(0？请说明理由．25．如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积．26．如图，点A、B在反比例函数kyx的图象上，且点A、B的横坐标分别为a、2a（a＞0），AC⊥x轴，垂足为点C，且△AOC的面积为2(1)求该反比例函数的解析式；(2)若点（﹣a，y1），（﹣2a，y2）在该反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小；(3)求△AOB的面积．参考答案1．D 【分析】根据反比例函数的定义：(0)ky k x=≠且k 为比例系数，即可作出判断．【详解】A 、此函数为一次函数，故不符合题意；B 、不一定反比例函数，当k=0时，则y=0，故不符合题意；C 、不是反比例函数，未知数x 的指数不满足反比例函数的定义，故不符合题意；D 、由3xy =得：3y x=，符合反比例函数的定义，故符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，掌握其解析形式是关键，特别注意k 是不为零的常数．2．A 【分析】根据几何体的形状，从三个角度得到其三视图即可．【详解】解：主视图是一个矩形，内部有两条纵向的实线，故选项A 符合题意；左视图是一个矩形，内部有一条纵向的实线，故选项B 、C 不符合题意；俯视图是一个“T ”字，故选项D 不符合题意；故选：A ．【点睛】此题主要考查了画三视图的知识，解题的关键是掌握主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．3．B 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式．【详解】解：2250x x --=移项得：225x x -=方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：22151x x -+=+配方得：()216x -=．故选：B ．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程的步骤，解题的关键是熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤．配方法的步骤：配方法的一般步骤为：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．4．B 【分析】根据函数所在象限和反比例函数上的点的横纵坐标的积小于4判断．【详解】解：∵反比例函数图象在第一、三象限，∴k ＞0，∵当图象上的点的横坐标为2时，纵坐标小于2，∴k ＜4，故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，反比例函数的图象与性质，比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解答本题的关键．5．A 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定可以判断题目中的各个小题的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解： 四边形ABCD 是平行四边形，A 、当AB BC =时，它是菱形，选项不符合题意，B 、当AC BD ⊥时，它是菱形，选项不符合题意，C 、当90ABC ∠=︒时，它是矩形，选项不符合题意，D 、当AC BD =时，它是矩形，不一定是正方形，选项符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查正方形、菱形、矩形的判定，解答本题的关键是熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理．6．C 【分析】利用////DF EG BC ，得到ADF ABC ∆∆∽，ADF AEG ∆∆∽，利用AD DE EB ==，得到13AD AB =，12AD AE =，利用相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，分别求得AEG ∆和ABC ∆的面积，利用ABC AEG EBCG S S S ∆∆=-四边形即可求得结论．【详解】解：AD DE EB == ，∴13AD AB =，12AD AE =．////DF EG BC ，ADF ABC ∴∆∆∽，ADF AEG ∆∆∽．∴2(ADF ABC S AD S AB∆∆=，2(ADF AEG S AD S AE ∆∆=．99ABC ADF S S ∆∆∴==，44AEG ADF S S ∆∆==．945ABC AEG EBCG S S S ∆∆∴=-=-=四边形．故选：C ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，用ABC AEG EBCGS S S ∆∆=-四边形解答．7．B 【分析】设22x x y +=，则原方程可化为2280y y +-=，解得y 的值，即可得到22x x +的值．【详解】解：设22x x y +=，则原方程可化为2280y y +-=，解得：14y =-，22y =，当4y =-时，224x x +=-，即2240x x ++=，△224140=-⨯⨯<，方程无解，当2y =时，222x x +=，即2220x x +-=，△()22412=120=-⨯⨯->，方程有实数根，22x x ∴+的值为2，故选：B ．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，的关键是把22x x +看成一个整体来计算，即换元法思想．8．A 【分析】根据概率公式列出关于n 的分式方程，解方程即可得．【详解】解：根据题意可得51n n ++＝13，解得：n ＝3，经检验n ＝3是分式方程的解，即放入口袋中的黄球总数n ＝3，故选：A ．【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n．9．C 【分析】由O 是矩形ABCD 对角线AC 的中点，可求得AC 的长，然后运用勾股定理求得AB 、CD 的长，又由M 是AD 的中点，可得OM 是△ACD 的中位线，即可解答．【详解】解：∵O 是矩形ABCD 对角线AC 的中点，OB ＝5，∴AC ＝2OB ＝10，∴CD ＝AB 6，∵M 是AD 的中点，∴OM ＝12CD ＝3．故答案为：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．10．C 【分析】根据矩形的性质和平行线的性质得到∠FDA ＝40°，根据翻折变换的性质得到∠ADB ＝∠EDB ＝20°，根据直角三角形的性质可求出∠ABD 的度数，即可求出答案．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠A ＝90°，∴∠FDA ＝∠CFD ＝40°，由翻折变换的性质得到∠ADB ＝∠EDB ＝20°∴∠ABD ＝70°故选C ．【点睛】本题考查平行线的性质、图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．11．6-【分析】由点A 的坐标得到反比例函数的解析式，再把点B 的坐标代入可得m 的值．【详解】解：把(3,4)A -代入ky x =可得3412k =-⨯=-，所以反比例函数的解析式是12y x=-，当2y =时，6m =-．故答案为：6-．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握待定系数法求得解析式．12．20000【详解】试题分析：1000÷10200=20000（条）．考点：用样本估计总体．13．2-【分析】根据一元二次方程的定义进行计算即可．【详解】解：由题意可得：||2m =且20m -≠，2m ∴=±且2m ≠，2m ∴=-，故答案为：2-．【点睛】本题考查了绝对值，一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，即()200ax bx c a ++=≠．14．(6,9)或(6,9)--【分析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或k -进行解答．【详解】解：以原点O 为位似中心，把ABC ∆放大，使放大后的三角形与ABC ∆的相似比为3:1，则点(2,3)A 的对应点A '的坐标为(6,9)或(6,9)--．故答案为：(6,9)或(6,9)--．【点睛】本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或k -．15．72-【分析】先根据根与系数的关系得m n +=mn=-2，再把原式变形为2()2m n mn mn+-，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵一元二次方程220x -=的两根分别为m 与n ，根据根与系数的关系得m n +=，mn=-2，所以原式=()(()2222222722m n mn m n mn mn -⨯-+-+===--．故答案为：72-．16．1207【分析】由勾股定理可求AC 的长，由矩形的性质可得5OD OB ==，由面积法可求DH 的长，通过证明OD DE OH DH =，即可求解．【详解】解：如图：过点D 作DH AC ⊥于H ，6AB = ，8BC =，10AC ∴==，四边形ABCD 是矩形，152AO CO BO DO AC ∴=====， 11··22ADC S AD CD AC DH == ，6810DH ∴⨯=，245DH ∴=，75OH ∴===，∵=90DOH ODH ∠+︒∠，=90DOH E ∠+︒∠，∴ODH E∠=∠90DHO EHD ∠=∠=︒Q ，ODH DEH ∴∆∆∽，∴OD DE OH DH=，∴572455DE =，1207DE ∴=，故答案为：1207．17．35【详解】分析：根据平行四边形的性质和已知，可求出∠B ，再进一步利用直角三角形的性质求解即可．详解：∵AD ∥BC ，∴∠A+∠B=180°，∴∠B=180°-125°=55°，∵CE ⊥AB ，∴在Rt △BCE 中，∠BCE=90°-∠B=90°-55°=35°．故答案为35．点睛：本题主要考查了平行四边形的性质，运用平行四边形对边平行的性质，得到邻角互补的结论，这是运用定义求四边形内角度数的常用方法．18．（1）见解析；（2）菱形BMDN 的面积是20【分析】（1）证△DMO ≌△BNO ，得出OM ＝ON ，根据对角线互相平分证四边形BMDN 是平行四边形，再根据对角线互相垂直证菱形即可；（2）设BM=x ，根据勾股定理列出方程，求出菱形边长，再用面积公式求解即可．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，MN 垂直平分BD ，∴AD ∥BC ，∠A ＝90°，OB ＝OD ，∴∠MDO ＝∠NBO ，∠DMO ＝∠BNO ，∵在△DMO 和△BNO 中，DMO BNO MDO NBO OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DMO ≌△BNO （AAS ）∴OM ＝ON又∵OB ＝OD∴四边形BMDN 是平行四边形∵MN 垂直平分BD ，即MN ⊥BD∴平行四边形BMDN 是菱形．（2）解：∵四边形BMDN 是菱形∴MB ＝MD在Rt △AMB 中，设BM=x ，BM 2＝AM 2+AB 2即x 2＝（8﹣x ）2+42解得：x ＝5，MD=5∴BN=MD=5∴5420BMDN S BN AB =⨯=⨯=菱形答：菱形BMDN 的面积是20．19．此三角形的周长为16或22．【分析】分两种情况进行讨论分析：①若6a =是三角形的腰，则b 与c 中至少有一边长为6；若6a =是三角形的底边，则b 、c 为腰，即b c =；根据题意，代入方程确定m 的值，然后代入方程求解，确定三边长度，考虑三边关系判定能否构成三角形，然后求周长即可得．【详解】解：①若6a =是三角形的腰，则b 与c 中至少有一边长为6，代入方程得：()226316220m m m -+⨯++=，解得3m =或5m =，∴当3m =时，方程可化为210240x x -+=，解得14x =，26x =，∴三角形三边长分别为4、6、6，周长为：46616++=；当5m =时，方程可化为216600x x -+=，解得16x =，210x =；三角形三边长分别为6、6、10，周长为：106622++=；∴三角形的周长为16或22；②若6a =是三角形的底边，则b 、c 为腰，即b c =，则方程有两个相等的实数根，∴()()22314220m m m ⎡⎤-+-+=⎣⎦，解得1m =，∴原方程可化为2440x x -+=，解得122x x ==，此时，6a =，2b c ==，不能构成三角形，舍去；综上所述，三角形的周长为16或22．【点睛】题目主要考查等腰三角形的定义及一元二次方程的解法，三角形的三边关系等，理解题意，进行分类讨论是解题关键．20．(1)一次函数的解析式为：2y x =+；反比例函数的解析式为：8y x=(2)40x -<<或2x >(3)（6，4）、（-6，-8）、（-2，4）【分析】（1）首先求出点D 的坐标，从而得出AD 的长，由8ABD S ∆=，得出BD 的长，从而得出点B 的坐标，从而解决问题；（2）由（1）可联立方程组28y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程组得出点C 的坐标，根据图象可得答案；（3）分当BC 、CD 、BD 为对角线三种情形，分别通过对角互相平分进行求解．（1）解： 点A 是一次函数2y kx =+与y 轴的交点，∴令0x =，则022y k =⨯+=，即(0,2)A 2OA ∴=，又OD OA =Q ，2OD ∴=，(0,2)D ∴-，24AD OD ∴==．BD y ⊥ 轴，∴点B 的纵坐标为2-，8ABD S ∆= ，∴182AD BD ⋅=，∴1482BD ⨯⨯=，4BD ∴=，∴点B 的坐标为(4,2)--，把点(4,2)B --分别代入一次函数2y kx =+与反比例函数my x =，可得：422k -=-+，24m-=-，1k ∴=，8m =，∴一次函数的解析式为：2y x =+，反比例函数的解析式为：8y x =；（2）解：由（1）可联立方程组28y x y x=+⎧⎪⎨=⎪⎩，解这个方程组得：42x y =-⎧⎨=-⎩或24xy =⎧⎨=⎩，点C 在第一象限，故点C 坐标为(2,4)，由图象可得当40x -<<或2x >时，2mkx x +>；（3）解：如图，当BC 为对角线时，取对角线的交点为(,)F x y ，根据对角线互相平分，即(,)F x y 为1,BC DE 的中点，(4,2),(2,4),(0.2)B C D --- ，42241,122x y -+-+==-==，设111(,)E x y ，11021,122x y+-+-==，解得：112,4x y =-=，1(2,4)E ∴-；如图，当CD 为对角线时，取对角线的交点为(,)F x y ，根据对角线互相平分，即(,)F x y 为2,CD BE 的中点，(4,2),(2,4),(0.2)B C D --- ，20421,122x y +-====，设222(,)E x y ，22421,122x y --==，解得：116,4x y ==，2(6,4)E ∴；如图，当BD 为对角线时，取对角线的交点为(,)F x y ，根据对角线互相平分，即(,)F x y 为3,BD CE 的中点，(4,2),(2,4),(0.2)B C D --- ，40222,222x y -+--==-==-，设333(,)E x y ，33242,222x y ++-=-=，解得：336,8x y =-=-，3(6,8)E ∴--；∴符合条件的点E 的坐标为：(6,4)、(6,8)--、(2,4)-．【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象与一次函数图象交点问题，平行四边形的性质，函数与不等式的关系等知识，解题的关键是运用分类思想来解答．21．（1）见解析；（2）AC =（1）根据2AD BC =，E 为AD 的中点，证得四边形BCDE 是平行四边形，再根据BE=DE 即可证得结论；（2）根据AD ∥BC ，AC 平分BAD ∠，求出AD=2BC=2=2AB ，得到30ADB ∠=︒，60ADC ∠=︒，90ACD ∠=︒，根据Rt ACD ∆求出答案即可．【详解】（1）证明：2AD BC = ，E 为AD 的中点，DE BC ∴=．//AD BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形．90ABD ∠=︒ ，AE DE =，BE DE ∴=，则四边形BCDE 是菱形；（2）解：如答图所示，连接AC ，//AD BC ，AC 平分BAD ∠，BAC DAC BCA ∴∠=∠=∠．1AB BC ∴==．22AD BC ∴==，2AD AB ∴=，∴在Rt ABD ∆中，30ADB ∠=︒．30DAC ∴∠=︒，60ADC ∠=︒，90ACD ∠=︒．在Rt ACD ∆中2AD = ，1CD ∴=，∴AC ==．22．（1）200，72；（2）见解析；（3）13．【分析】（1）根据B 的人数以及百分比得到被调查的人数，再根据扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°进行计算即可；（2）求出C 组的人数即可补全图形；（3）列表得出所有等可能结果，即可运用概率公式得甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率．【详解】解：（1）本次调查的学生人数为6030%200÷=（名)，扇形统计图中，B项对应的扇形圆心角是40 36072200︒⨯=︒，故答案为：200；72；（2）C选项的人数为200(20603040)50-+++=（名)，补全条形图如下：（3）画树状图如图：共有9个等可能的结果，甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的结果有3个，∴甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率为31 93=．【点睛】此题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图和概率公式，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出解题的有关信息，正确画出树状图．23．（1）证明见解析；（2）【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，得出∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，证出∠C=∠AFB，即可得出结论；（2）由勾股定理求出BE，由三角函数求出AE，再由相似三角形的性质求出AF的长．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，∵∠AFB+∠AFE=180°，∴∠C=∠AFB ，∴△ABF ∽△BEC ；（2）解：∵AE ⊥DC ，AB ∥DC ，∴∠AED=∠BAE=90°，在Rt △ABE 中，根据勾股定理得：=在Rt △ADE 中，AE=AD•sinD=5×45=4，∵BC=AD=5，由（1）得：△ABF ∽△BEC ，∴AF AB BC BE=，即5AF =解得：．24．（1）y =（2）(1C -；（3）是，理由见解析．【分析】（1）首先过点A 、C 分别作AF ⊥OB 于点F ，CE ⊥DB 于点E ，根据AO ＝2，△ABO 与△BCD 是等边三角形，得出A 点坐标，进而求出反比例函数解析式；（2）首先表示出C 点坐标，进而代入函数解析式求出即可；（3）首先设y ＝a （x ＋1）2C 坐标代入得出a 的值，进而将点（0答案．【详解】解：（1）过点A 、C 分别作AF ⊥OB 于点F ，CE ⊥DB 于点E ，∵AO ＝2，△ABO 与△BCD 是等边三角形，∴OF ＝1，FAA 的坐标是（－1，把（－1k y x=，得k∴反比例函数的解析式是y =（2）设BE ＝a ，则CE∴点C 的坐标是（－2－a），把点C 的坐标代入y=2－a a 1，∴点C的坐标是（－1-）；（3）过点C的抛物线是经过点（0．理由：设y＝a（x＋1）2把点C坐标代入得a，∴y（x＋1）2当x＝0时，代入上式得y＝2，∴点C的抛物线是经过点（0，2）．【点睛】此题主要考查了反比例函数的综合应用以及图象上点的坐标特点等知识，根据已知表示出C点坐标是解题关键．25．(1)见解析(2)四边形CEFG的面积为20 3．【分析】（1）根据题意和翻折的性质，可以得到△BCE≌△BFE，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立；（2）根据题意和勾股定理，可以求得AF的长，进而求得EF和DF的值，从而可以得到四边形CEFG的面积．（1）证明：由题意可得，△BCE≌△BFE，∴∠BEC=∠BEF，FE=CE，∵FG∥CE，∴∠FGE=∠CEB，∴∠FGE=∠FEG，∴FG=FE，∴FG=EC，∴四边形CEFG 是平行四边形，又∵CE=FE ，∴四边形CEFG 是菱形；（2）解：∵矩形ABCD 中，AB=6，AD=10，BC=BF ，∴∠BAF=90°，AD=BC=BF=10，∴AF=8，∴DF=2，设EF=x ，则CE=x ，DE=6-x ，∵∠FDE=90°，∴22+（6-x ）2=x 2，解得，x=103，∴CE=103，∴四边形CEFG 的面积是：CE•DF=103×2=203．【点睛】本题考查翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．26．(1)4y x =(2)y 1＜y 2(3)3【分析】（1）由122AOC S xy ∆==，设反比例函数的解析式k y x =，则4k xy ==；（2）由于反比例函数的性质是：在0x <时，y 随x 的增大而减小，2a a ->-，则12y y <；（3）连接AB ，过点B 作BE x ⊥轴，交x 轴于E 点，通过分割面积法AOB AOC BOE ACEB S S S S ∆∆∆=+-梯形求得．(1)解：2AOC S ∆= ，24AOC k S ∆∴==；4y x ∴=；(2)解：0k > ，∴函数y 的值在各自象限内随x 的增大而减小；0a > ，2a a ∴-<-；12y y ∴<；(3)解：连接AB ，过点B 作BE x ⊥轴，2AOC BOE S S ∆∆==，4(,)A a a ∴，2(2,)B a a ；()124232ACEB S a a a a ⎛⎫=+⨯-= ⎪⎝⎭梯形，3AOB AOC BOE ACEB S S S S ∆∆∆∴=+-=梯形．。
北师大版九年级上册数学期末考试试卷含答案解析
北师大版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．下列四个几何体中，主视图是三角形的是（）A．B．C．D．2．在Rt ABC中，90C∠=，5AB=，3BC=，则sin A的值是（）A．35B．53C．45D．343．一元二次方程2640x x--=配方为（）A．()2313x-=B．()239x-=C．()2313x+=D．()239x+=4．若ABC DEF∆∆∽，面积之比为9:4，则相似比为（）A．94B．49C．32D．81165．点1()3A y-，、()21,y-都在反比例函数1yx=-的图象上，则1y、2y的大小关系是（）A．12y y<B．12y y=C．12y y>D．不能确定6．设32ab=，下列变形正确的是（）A．32ba=B．23a b=C．32a b=D．23a b=7．一个不透明的袋子装有除颜色外其余均相同的2个白球和n个黑球．随机地从袋中摸出一个球记录下颜色，再放回袋中摇匀．大量重复试验后，发现摸出白球的频率稳定在0．2附近，则n的值为（）A．2B．4C．8D．108．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10000元的销售利润，台灯的售价是多少？若设每个台灯涨价为x元，则可列方程为（）A．()()40306001010000x x+--=B．()()40306001010000x x+-+=C．()()30600104010000x x---=⎡⎤⎣⎦D．()()30600104010000x x⎡⎤=⎦+⎣--9．如图，一人站在两等高的路灯之间走动，GB为人AB在路灯EF照射下的影子，BH为人AB在路灯CD照射下的影子．当人从点C走向点E时两段影子之和GH的变化趋势是A ．先变长后变短B ．先变短后变长C ．不变D ．先变短后变长再变短10．点A （﹣3，y 1）、B （﹣1，y 2）、C （2，y 3）都在反比例函数y ＝6x-的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（）A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 3<y 1<y 2D ．y 2<y 1<y 3二、填空题11．若锐角A 满足1cos 2A =，则A ∠=__________︒．12．若2x =是方程230x x q -+=的一个根．则q 的值是________．13．菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为_____．14．如图，点P 在反比例函数2y x=的图象上，过点P 作坐标轴的垂线交坐标轴于点A 、B ，则矩形AOBP 的面积为_________．15．关于x 的一元二次方程2960x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_________．16．如图，为了测量塔CD 的高度，小明在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进60m 至B 处，测得仰角为60︒，那么塔的高度是____________m ．（小明的身高忽略不计，结果保留根号）三、解答题17．计算：2sin 452tan 30sin 60︒-︒⋅︒18．解方程：2x 2﹣4x+1＝0．19．已知关于x 的方程220x ax a ++-=.（1）当该方程的一个根为1时，求a 的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.20．甲、乙两个人在纸上随机写一个-2到2之间的整数（包括-2和2）．若将两个人所写的整数相加，那么和是1的概率是多少？21．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，15AC =，面积为150．（1）尺规作图：作C ∠的平分线交AB 于点D ；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，求出点D 到两条直角边的距离．22．已知反比例函数6y x=-和一次函数()0y kx b k =+≠．（1）当两个函数图象的交点的横坐标是-2和3时，求一次函数的表达式；（2）当23k =时，两个函数的图象只有一个交点，求b 的值．23．如图，BD 是△ABC 的角平分线，过点作DE //BC 交AB 于点E ，DF //AB 交BC 于点F ．（1）求证：四边形BEDF 是菱形；（2）若∠ABC ＝60°，∠ACB ＝45°，CD ＝6，求菱形BEDF 的边长．24．如图，已知AB //CD ，AD ，BC 交于点E ，F 为BC 上一点，且∠EAF ＝∠C ，若AF ＝6，FB ＝8，求EF ．25．如图，在矩形ABCD 的边AB 上取一点E ，连接CE 并延长和DA 的延长线交于点G ，过点E 作CG 的垂线与CD 的延长线交于点H ，与DG 交于点F ，连接GH ．（1）当tan 2BEC ∠=且4BC =时，求CH 的长；（2）求证：DF FG HF EF ⋅=⋅；（3）连接DE ，求证：CDE CGH ∠=∠．参考答案1．B【解析】主视图是三角形的一定是一个锥体，只有B是锥体．故选B．2．A【分析】根据正弦函数是对边比斜边，可得答案．【详解】解：sinA=BCAB=35．故选A．【点睛】本题考查了锐角正弦函数的定义.3．A【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．【详解】解：x2-6x-4=0，x2-6x=4，x2-6x+32=4+32，（x-3）2=13，故选：A．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4．C 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出结果．【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为9：4，∴它们的相似比为3：2．故选：C ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．5．A 【分析】根据反比例函数的性质，图象在二、四象限，在双曲线的同一支上，y 随x 的增大而增大，则-3＜-1＜0，可得12y y <．【详解】解：∵k=-1＜0，∴图象在二、四象限，且在双曲线的同一支上，y 随x 增大而增大∵-3＜-1＜0∴y 1＜y 2，故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．6．D 【分析】根据比例的性质逐个判断即可．【详解】解：由32a b =得，2a=3b,A 、∵32b a =，∴2b=3a ，故本选项不符合题意；B 、∵23a b=，∴3a=2b ，故本选项不符合题意；C 、32a b =，故本选项不符合题意；D 、23a b =，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了比例的性质，能熟记比例的性质是解此题的关键，如果a cb d=，那么ad=bc ．7．C 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：依题意有：22n+=0.2，解得：n=8．故选：C ．【点睛】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=mn是解题关键．8．A 【分析】设这种台灯上涨了x 元，台灯将少售出10x ，根据“利润=（售价-成本）×销量”列方程即可.【详解】解：设这种台灯上涨了x 元，则根据题意得，（40+x-30）（600-10x ）=10000.故选：A.【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．9．C 【分析】连接DF ，由题意易得四边形CDFE 为矩形.由DF ∥GH ，可得DF ADGH AH=.又AB ∥CD ，得出AB AH CD DH =，设AB AH CD DH ==a,DF=b （a,b 为常数），可得出11DH AD AH ADAH a AH AH+===+，从而可以得出ADAH ，结合DF AD GH AH=可将DH 用含a,b 的式子表示出来，最后得出结果.【详解】解：连接DF ，已知CD=EF ，CD ⊥EG,EF ⊥EG,∴四边形CDFE 为矩形.∴DF ∥GH,∴.DF AD GH AH=又AB ∥CD ，∴AB AHCD DH=.设AB AHCD DH==a ，DF=b,∴11DH AD AH ADAH a AH AH +===+,∴11,AD AH a=-∴11,DF AD GH AH a==-∴GH=11a DF aba a =-- ，∵a,b 的长是定值不变，∴当人从点C 走向点E 时两段影子之和GH 不变．故选：C.【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．10．C 【分析】分别把A 、B 、C 各点坐标代入反比例函数y ＝6x-求出y 1、y 2、y 3的值，再比较大小即可．【详解】解：∵点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝6x-的图象上，∴y1＝63--＝2，y2＝61--＝6，y3＝62-＝﹣3，∵﹣3＜2＜6，∴y3＜y1＜y2，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键11．60︒【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【详解】解：由∠A为锐角，且1 cos2A=，∠A=60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．12．2【分析】根据一元二次方程的解的定义,将x=2代入已知方程,列出关于q的新方程,通过解该方程即可求得q的值.【详解】∵x=2是方程x²-3x+q=0的一个根,∴x=2满足该方程,∴2²-3×2+q=0,解得,q=2.故答案为2.【点睛】本题考查了方程的解的定义.一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立.13．5【分析】根据菱形对角线垂直平分，再利用勾股定理即可求解.【详解】解：因为菱形的对角线互相垂直平分，5．故答案为5．【点睛】此题主要考查菱形的边长求解，解题的关键是熟知菱形的性质及勾股定理的运用. 14．2【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|．【详解】解：∵PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于B点，∴矩形AOBP的面积=|2|=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了反比例函数kyx=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数kyx=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．15．1k<【分析】方程有两个不相等的实数根，则∆＞0，由此建立关于k的不等式，然后可以求出k的取值范围．【详解】解：由题意知，∆=36-36k＞0,解得k＜1．故答案为：k＜1.【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式∆的关系：（1）∆＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）∆=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）∆＜0⇔方程没有实数根．同时注意一元二次方程的二次项系数不为0．16．【分析】由题意易得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC ⊥AC ，即可证得△ABD 是等腰三角形，然后利用三角函数，求得答案．【详解】解：根据题意得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC ⊥AC ，∴∠ADB=∠DBC-∠A=30°，∴∠ADB=∠A=30°，∴BD=AB=60m ，∴m ）．故答案为：【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．注意证得△ABD 是等腰三角形，利用特殊角的三角函数值求解是关键．17．12-【分析】根据特殊角三角函数值计算即可.【详解】解：原式2112123222=-⨯=-⎝⎭.【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．18．x 1＝1+2，x 2＝1﹣2【分析】先把方程两边除以2，变形得到x 2-2x+1=12，然后利用配方法求解．【详解】x 2-2x+1=12，（x-1）2=12，x-1=±2，所以x 1=1+2，x 22．【点睛】此题考查解一元二次方程-配方法，解题关键在于掌握运算法则.19．（1）12，32-；（2）证明见解析.【详解】试题分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可.（2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可.试题解析：（1）设方程的另一根为x 1，∵该方程的一个根为1，∴1111{211a x a x +=--⋅=.解得132{12x a =-=.∴a 的值为12，该方程的另一根为32-.（2）∵()()222241248444240a a a a a a a ∆=-⋅⋅-=-+=-++=-+>，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2.一元二次方程根根的判别式；3.配方法的应用.20．425【分析】先画树状图展示所有25种等可能的结果数，再找出两数和是1的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状为：共25种可能，其中和为1有4种．∴和为1的概率为425.【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．21．（1）见解析；（2）607【分析】（1）利用尺规作图的步骤作出∠ACB 的平分线交AB 于点D 即可；（2）作DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F,根据面积求出BC 的长.法一：根据角平分线的性质得出DE=DF ，从而得出四边形CEDF 为正方形.再由BDF BAC ∆∆∽，得出DF BF AC BC =，列方程可以求出结果；法二：根据150∆∆+=BCD ACD S S ，利用面积法可求得DE,DF 的值.【详解】解：（1）∠ACB 的平分线CD 如图所示：（2）已知15AC =，面积为150，∴20BC =.法一：作DE AC ⊥，DF BC ⊥，∵CD 是ACB ∠角平分线，∴DF DE =，90DFC DEC ∠=∠=︒，而90ACB ∠=︒,∴四边形CEDF 为正方形．设DF 为x ，则由DF AC ，∴BDF BAC ∆∆∽，∴DF BF AC BC=.即201520x x -=，得607x =.∴点D 到两条直角边的距离为607.法二：150∆∆+=BCD ACD S S ，即15022⋅⋅+=BC DF DE AC ，又由（1）知AC=15，BC=20，∴201515022DF DF +=，∴607=DF .故点D 到两条直角边的距离为607.【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，直角三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本性质，属于中考常考题型．22．（1）1y x =-+；（2）4b =±【分析】（1）根据两个函数图象的交点的横坐标是-2和3先求出两个交点坐标，然后把两点代入一次函数解析式求出k ，b 值，即可得到一次函数解析式；（2）两个函数解析式联立组成方程组消去y 得到关于x 的一元二次方程，根据判别式=0求出b 的值.【详解】解：（1）把-2和3分别代入6y x=-中，得：()2,3-和()3,2-.把()2,3-，()3,2-代入y kx b =+中，231,321k b k k b b -+==-⎧⎧∴⎨⎨+=-=⎩⎩.∴一次函数表达式为：1y x =-+；（2）当23k =，则23y x b =+，联立得：236y x b y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，整理得：223180++=x bx ，只有一个交点，即0∆=，则291440∆=-=b ，得4b =±．故b 的值为4或-4.【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式和函数交点坐标的求法，先利用反比例函数解析式求出两交点坐标是解本题的关键．23．（1）见解析；（2）【分析】（1）由题意可证BE ＝DE ，四边形BEDF 是平行四边形，即可证四边形BEDF 为菱形；（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，由直角三角形的性质可求解．【详解】证明：（1）∵DE ∥BC ，DF ∥AB ，∴四边形DEBF 是平行四边形，∵DE ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBF ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBF ＝12∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EDB ，∴DE ＝BE ，又∵四边形BEDF 为平行四边形，∴四边形BEDF 是菱形；（2）如图，过点D 作DH ⊥BC 于H ，∵DF ∥AB ，∴∠ABC ＝∠DFC ＝60°，∵DH ⊥BC ，∴∠FDH ＝30°，∴FH ＝12DF ，DH FH ＝2DF ，∵∠C ＝45°，DH ⊥BC ，∴∠C ＝∠HDC ＝45°，∴DC DH ＝2DF ＝6，∴DF ＝，∴菱形BEDF 的边长为【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握菱形的判定定理是本题的关键．24．EF ＝92．【分析】由已知的平行得到一对内错角相等，再由已知的两角相等，等量代换得到∠B =∠EAF ，加上公共角相等，利用两对对应角相等可以得到△AFE ∽△BFA ，从而可以得到AF EF BF AF =，然后代入数据计算即可．【详解】解：∵AB //CD ，∴∠B ＝∠C ，∵∠EAF ＝∠C ，∴∠B ＝∠EAF ，∵∠AFE ＝∠BFA ，∴△AFE ∽△BFA ，∴AF EF BF AF=，∵AF ＝6，FB ＝8，∴686EF =，∴EF ＝92．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行线的性质，相似三角形的判定方法一般有：1、两对对应角相等的两三角形相似；2、两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；3、三边对应成比例的两三角形相似；在证明线段的乘积形式时，常常把乘积形式化为比例形式来分析，借助三角形相似即可得证．25．（1）10CH =；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据已知条件先求出CE 的长，再证明∠=∠BEC ECH ，在Rt △CHE 中解三角形可求得EH 的长，最后利用勾股定理求CH 的长；（2）证明∽∆∆GFE HFD ，进而得出结果；（3）由（2）∽∆∆GFE HFD 得∠=∠EGF FHD ，进而sin sin ∠=∠EGF FHD ，即=CD CE CG CH ，再结合∠=∠ECD DCE ，可得出∽∆∆CDE CGH ，进一步得出结果.【详解】（1）解：∵矩形ABCD ，EH CG ⊥，∴90∠=︒=∠=∠BCD CEH B .而90BEC BCE ∠+∠=︒，90∠+∠=︒BCE ECH ，∴∠=∠BEC ECH ，又∵4BC =，tan 2BEC ∠=，∴2BE =，易得CE ==∴tan 2∠==EH ECH CE ，∴EH =∴10CH ==.（2）证明：∵矩形ABCD ，EH CG ⊥，∴∠=∠CEH HDG ，而∠=∠GFE DFH ，∴∽∆∆GFE HFD ，∴=DF FH EF FG，∴⋅=⋅DF FG EF FH ；（3）证明：由（2）∽∆∆GFE HFD 得∠=∠EGF FHD ，∴sin sin ∠=∠EGF FHD ，即=CD CE CG CH，而∠=∠ECD DCE ，∴∽∆∆CDE CGH ，∠=∠．∴CDE CGH【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，关键是掌握基本的概念与性质.。