第四讲复杂网络的同步

当网络节点 N 很大时，这个特征根的比NC , N NC ,2 很大，因而网络的同步化能力很差。
②全局耦合网络
全局耦合网络对应的外耦合矩阵的最小特征值和第 二大特征值均为N。因此，由前面关于类型Ⅰ网络 的描述可知，只要1 1 ，该网络就可以到达同步。
2
③星形耦合网络 星形耦合网路对应的外耦合矩阵的最小特 征值和第二大特征值之比为N 。因此，当网 络规模 N 时，此比值也趋于无穷，该网 络无法达到同步。
由以上分析，对连续时间耗散耦合的类型网络 Ⅱ动态网络(1)，可以得到以下结论：
(1)对给定的耦合强度 c ，不管它有多大，当网络规 模充分大时，最近邻耦合网络和星形网络都无法达 到同步。 (2)全局耦合网络的同步化能力与网络规模无关， 只要 1 1 ，全局耦合网络就可以达到同步。
2
2.小世界网络的完全同步
然而网络的拓扑结构在决定网络动态特征方面起到很 重要的作用。例如，Wu C W的结果表明：在一定条件 下，足够强的耦合可以导致网络中节点间的同步现象。 缺点：无法解释弱耦合情况下，许多复杂网络仍出现较 强的同步现象。 各种复杂网络共有的小世界和无标度特性的发现， 使得人们开始关注网络的拓扑结构与网络同步化行为之 间的关系。
1 2 c 2 N
N 2 或者 1 2
注意：一个给定的复杂动态网络(1)属于上述三 种类型中的哪一种是由该网络的孤立节点的动力学函 f () 数 和网络的内外耦合函数 () 和 确定的。尽管 同步判据Ⅰ和Ⅱ之间的精确关系目前还不十分清楚， 但是它们并不矛盾。此外，假设网络是连通的，那么 只要网络的耦合强度充分大，类型Ⅰ网络是一定可以 实现同步的；而只有当耦合强度属于一定范围内时类 型Ⅱ网络才能实现同步，也就是说，太弱或太强个耦 合强度都会使类型Ⅱ网络无法实现同步。这里，同步 判据Ⅰ和Ⅱ的值一般可以通过数值计算来估计。
j 1 K 2
在一般情况下，对于任意K，当网络规模 N 时， NC ,2 单调上升趋于零，意味着当网络规模很大时，最近邻 耦合网络很难或无法达到同步
②全局耦合网络
全局耦合网络对应的耦合矩阵为： 1 1 N 1 1 N 1 1 AGC 1 N 1 1
y Df s c D s y

3.网络分类
根据同步化区域 S 可以把连续时间复杂动态网络 （1）分为以下几种类型： 1）类型Ⅰ网络 对应的同步化区域为S1 (, 1 ) ，其中 1 0 。 若网络耦合强度和外耦合矩阵的特征值满足 c2 1 ， 即满足同步判据Ⅰ：
四、复杂动力网络的完全同步
1、规则网络的完全同步
1）类型Ⅰ网络
类型Ⅰ网络的同步化能力由耦合矩阵 A的第二大特 征值 2 确定。 ①最近邻耦合网络 对于节点度为（偶数）K的最近邻耦合动态网 ANC 是一个特殊的循 络（1）而言，它对应的耦合矩阵 环矩阵，其第二大特征值为：
NC ,2 4 sin 2 ( j N )
它除了零特征根外，其余的特征根均 N 。因 GC 此，当网络的规模 N 时， ,2 N 单调下降趋 于无穷，说明网络很容易达到同步。
③星形网络
星形网络对应的耦合矩阵是：
N 1 1 1 1 1 0 ASC 0 1 1
•实际上，在物理学，数学和理论生物等领域，耦合 动力学系统中的同步现象已经研究了很多年。 •（1967年，Winfree开创性的工作）假设每个振子只 与它周围有限个振子之间存在着强力作用（忽略振子 的振幅变化），这样将同步问题转化成研究相位变化 的问题。 •Kuramoto认为，一个具有有限个恒等振子的耦合系 统，无论系统内部各振子间的耦合强度多么微弱，其 动力学特性都可由一个简单的相位方程表示。 20世纪，工作大多数集中在具有规则拓扑形状的 网络结构上，例：耦合映象格子（全耦合或最近邻耦 合等）和细胞神经网络等。人们重点研究网络节点的 非线性动力学所产生的复杂行为。缺点：没有考虑网 络结构复杂性对网络动态行为的影响。
那么，类型Ⅱ网络的同步流形是渐进稳定的。因此， 类型Ⅱ网络关于拓扑结构的同步化能力可以用对应的 N 2 外耦合矩阵 的特征值的比率 来刻画： N 2 A 值越小，其同步化能力越强。 3）类型Ⅲ网络 对应的同步化区域为 S3 空集 。对于任意c的耦合 强度和外耦合矩阵 A ，这类网络都无法实现同步。
k [ Df (s) ck D(s)]k , k 1, 2,, N
其最大lyapunov指数Lmax是变量 和 的函数，称为动 力网络的主稳定函数。
给定一个耦合强度 c 对于每一个固定的k (k 1,2,, N ) 在( , ) 复平面上可以对应地找到固定的一点ck ，该 点所对应的 Lmax 正负号反应了该特征模态的稳定性 （负时稳定，正时不稳定）。如果与k (k 1, 2,, N ) 对应的所有特征模态都稳定，那么就认为在该耦合强 度下整个网络的同步流形是渐进稳定的。
复杂网络的同步
许秀竹 2010-12-11
一、同步现象举例
1665年，物理学家惠更斯 发现：并排挂在墙上的两个 钟摆不管从什么不同的初始 位臵出发，经过一段时间以后会出现同步摆动的现象。 1680年，荷兰旅行家肯普弗在 泰国旅行时观察到了一个奇特的 现象：停在同一棵树上的萤火虫 有时候同时闪光又同时不闪光， 很有规律而且在时间上很准确。 这两个例子表现的就是现实 世界中的同步现象。
当一场精彩的戏剧演出结束时，人们的掌声从三三两两， 到大家都按着共同的节奏鼓掌。 在我们的心脏中，无数的心脏细胞同步震荡着，他们同 时做着一个动作，使心瓣膜舒张开，然后又一下子同时停 下来，心瓣膜就收缩了。 同步在激光系统、超导材料和通信系统等领域中起着重 要的作用。 •有些同步时有害的。如：2000年伦敦千年桥落成，当成千 上万的人们开始通过大桥时，共振使大桥开始振动。桥体 的S形振动所引起的偏差甚至达到了20cm，使得桥上的人们 开始恐慌，大桥不得不临时关闭。 Internet上也有一些对网络性能不利的同步想象。如： Internet网上的每个路由器都要周期性地发布路由消息。尽 管每个路由器都是自己决定它什么时候发布路由信息，但 是研究人员发现不同的路由器最终会以同步的方式发送路 由消息，从而引发网络交通阻塞。
i i
其中： f () 是定义好的函数（通常是非线性的）常数 c 0为网络的耦合强度；
7
j 1
ij
j
H ()节点状态变量之间的内部耦合函数，也称为节点的
输出函数，这里假设每个节点的输出函数是相同的。 所谓耗散耦合是指耦合矩阵 A[aij ]nn 满足耗散耦合 条件 aij 0 。当所有的节点状态都相同时，（1）式右 j 端的耦合项自动消失。 如果在动态网络（1）中，当t 时有： x1 (t ) x2 (t ) xn (t ) （2） 则称网络达到完全（渐进）同步。 这里，x1 x2 xn 称为网络状态空间中的同步流形。 当同步实现后，记其结果为： x1 (t ) x2 (t ) xn (t ) s(t ) （3） 这里 s(t ) 称为同步状态。
2.同步的判定
对状态方程（1），关于同步状态s(t ) 做线性化，令 i 为第 i 个节点状态向量的变分，则可以得到变分方程： N Df ( s) ca D( s) , i 1, 2, N （4）
i i

j 1
ij
i
这里，Df (s) 和 D(s) 分别是 f ( s) 和 ( s) 关于s 的Jacobi矩 阵，通常要求为无界。令： [1 , 2 ,, N ] 则上式可以 写成矩阵方程： Df ( s ) cD ( s ) AT （5） T 1 ,其中 diag ( , , , )，而 k }k 1 是 { N 做分解A S S 1 2 N 矩阵 A 的特征根且 1 0。
二、同步的基本概念
(精确)同步：两个或多个动力学系统，除了自身的演 化外，其间还有相互作用（耦合），这种作用既可以 是单向的，也可以是双向的。当满足一定条件时，在 耦合的影响下，这些系统的状态输出就会逐渐趋同进 而完全相等，称为同步（精确同步）。 广义的同步还包括相同步和频率同步等等。 复杂系统中的同步主要有两大类：完全同步和广义同 步，前者两个相同单元研究得比较多，两个不同单元 研究得比较少；后者包括部分同步，如相同步、滞后 同步、频率同步等。两个不同单元的同步研究更具挑 战性，是今后一个重要研究方向。
2 那么类型Ⅰ网络的同步流形是渐进稳定的。因此，类型 Ⅰ网络关于拓扑结构的同步化能力可以用对应的外耦合 矩阵 A 的第二大特征值2 来刻画：2 值越小，其同步化 能力越强。
0
1
c
2）类型Ⅱ网络 对应的同步化网络区域 S2 ( 2 , 1 ) ，其中 2 1 0 。若网络耦合强度和耦合矩阵的特征 值满足cN > 2 和 2 1 ，即满足同步判据条件Ⅱ：
无权无向连通的简单网络的外耦合矩阵A的特征根均 为实数，不妨排列为 1 2 3 N 0 这时其主稳定方程（6）变为 并且其对应的主稳定函数Lmax 是实参数 的函数。使 L 得主稳定函数max 为负的 的取值范围 称为动态网 S 络（1）的同步化区域，主要由孤立节点上的动力学 f( A c 函数) ，耦合强度 以及外耦合矩阵 和内耦合矩阵 函数 () c A 确定。如果耦合强度 与每个外耦合矩阵 的每 个负值的特征值之积都属于同步化区域，即： ck S , k 2,3,, N 那么同步流形是渐进稳定的。
它的第二大特征根为： SC ,2 ，1 与网络的规模无 关，故同步化能力与网 络规模无关。
对于连续时间耗散耦合的类型Ⅰ动态网络式(1)，可以 得到一下结论： (1)对给定的耦合强度 c，不管它有多大，当网络规模 充分大时，最近邻耦合网络无法达到同步。 (2)对给定的非零耦合强度 c，不管它有多小，只要网 络规模充分大，全局耦合网络必然可以达到同步。 (3)星形耦合网络的同步能力与网络的规模无关，即当 耦合强度大于一个与网络规模无关的临界值时，星形 网络可以实现同步。