泛函分析重要内容
教学大纲_实变函数与泛函分析
《实变函数与泛函分析》教学大纲课程编号：120233B课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课□专业选修课□√学科基础课总学时：48 讲课学时：48 实验（上机）学时：0学分：3适用对象：经济统计学先修课程：数学分析、高等代数、空间解析几何毕业要求：1.应用专业知识，解决数据分析问题2.可以建立统计模型，获得有效结论3.掌握统计软件及常用数据库工具的使用4.关注国际统计应用的新进展5.基于数据结论，提出决策咨询建议6.具有不断学习的意识一、课程的教学目标本课程以实变函数与泛函分析基本理论为基础，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。
本课程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程应尽量避免。
本课程基本目标为：能理解、掌握Lebesgue测度和Lebesgue积分，赋范空间和Hilbert空间一些基本概念、基本理论和基本方法。
本课程的难点在于学生初次涉及众多的抽象概念，并且论证的部分很多，教学中应密切结合数学分析中学到的相对来说比较直观的内容讲解，并督促学生下工夫理解。
二、教学基本要求（一）教学内容及要求《实变函数与泛函分析》在理解数学分析思想及基本知识和线性代数的基本知识后将其拓展到实数域上，进而讨论集合，欧氏空间，Lebesgtle测度，Lebesgue 可测函数，Lebesgue积分，测度空间，测度空间上的可测函数和积分，L^p空间，L^2空间，卷积与Fourier变换，Hilbert空间理论，Hilbert空间上的有界线性算子，Banach空间，Banach空间上的有界线算子，Banach空间上的连续线性泛函、共轭空间与共轭算子，Banach空间的收敛性与紧致性。
其中要求同学们：1. 理解和掌握集合间的关系和集与映射间的关系，了解度量空间的相关概念和Lebesgue可测集的有关内容和性质。
实变函数与泛函分析课程教学大纲
《实变函数与泛函分析》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：110047课程名称：实变函数与泛函分析英文名称：Real variable analysis And Functional analysis课程类别：专业基础课学时：50学分：3适用对象：信息与计算科学专业本科考核方式：考试，平时成绩30％，期末成绩70％先修课程：数学分析和高等代数二、课程简介中文简介：实变函数起源于对连续而不可微函数以及Riemann可积函数等的透彻研究，在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质，其主要内容是引入Lebesgue积分并克服了Riemann积分的不足。
它是数学分析的继续、深化和推广，是一门培养学生数学素质的重要课程，也是现代数学的基础。
泛函分析起源于经典的数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中一个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工程问题，其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。
英文简介：Real variable analysis And Functional analysis is a theoretical course of mathematics which can be used in variable fields such as engineering and technology, physics, chemical, biology, economic and other fields. The educational aim in this course is to develop the abilities of students in analyzing and solving practical problem by the special ways of Real variable analysis And Functional analysis’ thinking and reasoning.三、课程性质与教学目的本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上，着重泛函分析的应用，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。
实变函数和泛函分析讲义
实变函数和泛函分析讲义实变函数是指以实数作为自变量和函数值的函数。
实变函数是数学分析的一个重要分支，它研究的对象是实数集上的函数。
泛函分析是用数学的工具来研究函数空间及其上的线性算子的学科，它是实变函数分析的推广和拓展。
实变函数分析是数学中非常重要的分支之一，它涉及到实数集、函数极限、连续性、可导性、积分等一系列的基本概念和基本定理。
实变函数与实数集上各种运算和关系有关，可以通过极限、连续性、可微性等概念来刻画函数的性质。
实变函数分析主要研究实值函数的极限、连续性、可微性、积分等性质，通过这些性质进行函数间的比较和函数空间的构造。
泛函分析则是对实变函数分析的拓展，它主要研究的对象是函数空间及其上的线性算子。
函数空间是由实数集或复数集上的函数构成的集合，泛函分析主要研究的是函数空间的结构、性质以及其上的线性算子的性质。
泛函分析的一个重要概念是泛函，泛函是将一个函数映射到一个实数或复数上的映射。
泛函分析研究的是这样一类映射的性质，它们常常是函数空间上的线性连续映射。
实变函数分析和泛函分析在很多领域中有着广泛的应用，例如物理学、工程学和经济学等。
在物理学中，实变函数分析和泛函分析被用于描述和求解物理系统的运动方程和边值问题。
在工程学中，实变函数分析和泛函分析被应用于信号处理、图像处理和控制系统设计等领域。
在经济学中，实变函数分析和泛函分析被用于分析经济现象和决策问题。
总之，实变函数分析和泛函分析是数学中非常重要的分支，它们分别研究的是实数集上的函数和函数空间及其上的线性算子。
实变函数分析和泛函分析在很多领域中都有广泛的应用，是现代数学的重要基础和工具。
对实变函数和泛函分析的深入研究不仅有助于理解和掌握数学分析的基本概念和定理，也为其他学科中的问题建模和解决提供了数学的框架和方法。
泛函分析总结范文高中
泛函分析是现代数学分析的一个重要分支，它主要研究的是函数构成的函数空间以及这些空间上的线性算子。
相较于高中数学中的实变函数和复变函数，泛函分析更多地关注函数之间的相互关系和映射性质，为解决实际问题提供了新的视角和方法。
一、泛函分析的基本概念1. 函数空间：泛函分析研究的对象是函数，这些函数构成一个集合，称为函数空间。
常见的函数空间有实值函数空间、复值函数空间、有界函数空间、连续函数空间等。
2. 线性算子：函数空间上的线性算子是一种映射，它将一个函数映射到另一个函数，同时满足线性性质。
线性算子是泛函分析的核心概念，如积分算子、微分算子、傅里叶变换等。
3. 范数：范数是度量函数空间中函数“大小”的一种方式。
一个函数空间的范数满足以下性质：非负性、齐次性、三角不等式和归一性。
4. 内积：内积是度量函数空间中函数“夹角”的一种方式。
一个函数空间的内积满足以下性质：非负性、齐次性、共轭对称性和三角不等式。
二、泛函分析的主要理论1. 线性算子的谱理论：研究线性算子的特征值和特征向量，以及这些特征值和特征向量的性质。
2. 线性算子的有界性：研究线性算子是否具有有界性，以及有界性的条件。
3. 线性算子的连续性：研究线性算子是否具有连续性，以及连续性的条件。
4. 线性算子的可逆性：研究线性算子是否具有可逆性，以及可逆性的条件。
5. 线性算子的对偶性：研究线性算子的对偶算子，以及对偶算子的性质。
三、泛函分析的应用1. 微分方程：泛函分析为微分方程的求解提供了新的方法，如泛函微分方程、积分方程等。
2. 积分方程：泛函分析为积分方程的求解提供了新的方法，如变分法、迭代法等。
3. 函数论：泛函分析为函数论的研究提供了新的工具，如傅里叶分析、Sobolev空间等。
4. 线性代数：泛函分析为线性代数的研究提供了新的视角，如无穷维线性空间、线性算子等。
总之，泛函分析是一门具有广泛应用前景的数学分支。
通过对函数空间、线性算子、范数、内积等基本概念的研究，泛函分析为解决实际问题提供了新的思路和方法。
“泛函分析”课程学习指南
“泛函分析”课程学习指南本课程主要分为四部分内容：绪论，空间理论，算子理论和算子谱理论。
绪论从分析和代数中的若干问题出发，运用类比、联想、化归等方法，引入泛函分析中的一些基本概念和研究方法，诠释数学研究的基本思想。
空间理论中主要介绍距离空间，赋范空间和内积空间三类空间结构，重点讲授Hilbert空间的几何特征。
算子理论中主要介绍了Banach空间中有界线性算子的基本定理和它们的应用，即：一致有界原则，开映射定理，闭图像定理和Hahn-Banach定理，这是本门课程的核心内容。
算子谱理论中主要介绍有界线性算子的基本性质，重点讲述了有界自共轭算子和紧算子谱的性质。
为了让学生更好地理解和掌握这些内容，下面按章列出知识要点，重点难点和学习要求。
绪论1.知识要点泛函分析中十分抽象的基本概念（空间的结构、收敛性、按坐标分解等）的来源和背景2.重点难点从有限维空间到无穷维空间的过渡，数学研究的基本方法：化归，类比，归纳，联想。
3.学习要求从分析和代数中具体的实例中感悟数学研究的思想方法。
第一章距离空间1.知识要点距离空间的定义；收敛性；开集；闭集；连续映射；可分的距离空间；距离空间中的列紧集；完备的距离空间；距离空间的完备化；压缩映射原理2.重点难点一些具体的距离空间（如：[,],,,,p pC a b L l S s）的完备性，可分性及收敛的具体含义。
3.学习要求(1)掌握距离空间的定义及例；(2)掌握距离空间中点集的拓扑概念；(3)清楚具体的距离空间的拓扑性质和收敛的具体含义；(4)掌握压缩映射原理的内容及证明，并能利用压缩映射原理解决一些具体问题。
第二章赋范空间1.知识要点赋范空间和Banach空间的定义；范数与距离的关系；Riesz引理；有限维空间的几何特征；赋范空间中的级数；赋范空间的商空间2.重点难点(1)范数与距离的关系；(2)Riesz引理的内容与应用。
3.学习要求(1)掌握赋范空间的定义和典型例子；(2)能够证明一些具体空间是赋范空间及它的完备性；(3)准确掌握Riesz引理的背景，内容和应用；(4)掌握有限维空间的几何特征；(5)了解赋范空间中的级数和商空间的含义。
《实变函数与泛函分析》教学大纲-数学专业
实变函数与泛函分析教学大纲应用数学与信息计算等专业使用修订单位：山东财政学院统计与数理学院修订时间：2009年8月修订课程中文名称：实变函数与泛函分析课程英文名称：Real Analysis and functional Analysis 课程号：30001001学时数：68学分数：4先修课程：数学分析、线性代数适用专业：应用数学与信息计算等专业。
一、课程的性质和任务1. 课程性质《实变函数与泛函分析》是数学专业的一门专业基础课程。
《实变函数》课程结合抽象测度与积分理论, 介绍Lebesgue测度与Lebesgue积分的理论。
通过本课程的学习, 应使学生掌握测度论和实变函数论的基本理论和方法, 并且应用所学知识, 解决一些相关的理论和应用问题, 解决一些具有一定难度的习题。
同时, 通过本课程的学习, 要加深学生对数学分析课程中知识的理解, 培养学生严密的逻辑思维能力。
《泛函分析》课程是现代教学中的一门较新的数学分支，它综合地运用分析的，代数和几何的观点，方法研究分析数学中的许多问题，由它把具体的分析问题，由于它把具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数拓扑结构的形式中进行研究，因此逐步形成了综合运用代数，几何平段处理问题的新方法，正因为这种纯粹形式的代数，拓扑结构是跟植于肥沃的经典分析和数学物理土壤之中的，所以由此发展起来的基本概念，定理和方法也就显的更为广泛，更为深刻，现在泛函分析已成为一门内容丰富，方法系统，体系完备，应用广泛的独立分支，通过该课程的学习，学生不仅能学到泛函分析的基本理论和方法，而且对学习其他数学分支以及把他应用到数理经济，现代控制论，量子场论，统计物理，工程技术等领域有很大帮助。
学生通过学习本课程，既能从较高的观点总结一、二年级学过的分析、代数中的有关概念、理论和方法，又能获得抽象思维和逻辑论证的进一步训练，为今后深入学习拓扑、微分方程、随机过程、最优化等现代数学各个学科提供基础。
大学四年级数学教案复变函数与泛函分析
大学四年级数学教案复变函数与泛函分析复变函数与泛函分析教案一、教学目标本教案旨在帮助大学四年级数学专业学生掌握复变函数与泛函分析的基本概念、性质和方法，提高他们的数学分析能力和问题解决能力。
二、教学内容1. 复变函数a. 复数及其性质b. 复变函数的定义与性质c. 解析函数与调和函数d. 应用：复变函数与几何2. 泛函分析a. 赋范线性空间与巴拿赫空间b. 算子与线性泛函c. 可分空间与有界算子d. 应用：泛函分析在偏微分方程中的应用三、教学过程1. 复变函数a. 复数及其性质i. 复数的定义ii. 复数的运算法则iii. 复数的共轭和模b. 复变函数的定义与性质i. 复平面上的函数ii. 解析函数与调和函数的定义与性质 c. 解析函数与调和函数i. 柯西—黎曼方程ii. 解析函数的性质与调和函数的性质 d. 应用：复变函数与几何i. 线性分式变换与圆—直线映射ii. 几何变换的应用2. 泛函分析a. 赋范线性空间与巴拿赫空间i. 赋范线性空间的定义与性质ii. 巴拿赫空间的定义与性质b. 算子与线性泛函i. 算子的定义与性质ii. 线性泛函的定义与性质c. 可分空间与有界算子i. 可分空间的定义与性质ii. 有界算子的定义与性质d. 应用：泛函分析在偏微分方程中的应用i. 广义函数与分布理论ii. 泛函分析方法在偏微分方程求解中的应用四、教学方法1. 讲授法：通过示例和定义引导学生理解复变函数与泛函分析的基本概念与性质；2. 互动式教学法：组织学生进行小组讨论，共同解决复变函数与泛函分析的相关问题；3. 实践体验法：引导学生通过实际问题和数学模型，运用所学知识解决实际问题，提高问题解决能力。
五、教学评估1. 课堂提问：根据教学内容随机提问学生，检验他们对复变函数与泛函分析的理解程度；2. 作业与报告：布置相关作业和实验报告，检验学生对复变函数与泛函分析相关内容的掌握情况；3. 试题测试：安排期中和期末考试，考察学生对复变函数与泛函分析知识的综合应用能力。
《泛函分析》教学大纲
《泛函分析》教学大纲课程编码：110819课程名称：泛函分析学时/学分：54/3先修课程：《数学分析》、《实变函数》适用专业：数学与应用数学开课教研室：分析与方程教研室一、课程性质与任务1．课程性质：本课程是数学与应用数学专业的一门专业选修课，是现代数学中的一个较新的重要分支，它综合地运用分析、代数和几何的观点与方法，研究分析数学，现代物理和现代工程技术提出的许多问题。
2．课程任务：通过该课程的学习，使学生掌握泛函分析中的基本概念、基本方法。
初步了解其思想方法对现代纯粹数学与应用数学、理论物理及现代工程技术理论等问题的渗透，为今后更进一步的数学研究工作打下坚实的基础。
二、课程教学基本要求在概要讲述和掌握实变函数中的集合论和欧氏空间中的点集等预备知识的基础上，理解和掌握度量空间的定义、性质及其上度量的特征，熟练掌握度量空间的典型例子；线性赋范空间的定义和性质及典型的Banach空间例子；内积空间的定义和性质；Hilbert空间及其特征；理解线性有界算子（线性连续泛函）的概念、性质，了解线性算子空间和共轭空间的理论；初步理解和掌握空间中的四大基本定理；泛函延拓定理；一致有界性定理；逆算自定理和闭图象定理；理解线性算子的谱理论初步等。
成绩考核形式：末考成绩（闭卷考试）（70%）＋平时成绩（平时测验、作业、课堂提问、课堂讨论等）（30％)。
成绩评定采用百分制，60分为及格。
三、课程教学内容第一章距离空间与赋范空间1．教学基本要求通过本章学习使学生理解空间的线性结构和度量结构以及两者的结合，其中包括度量空间、赋范线性空间和内积空间，以及它们的拓扑结构和空间结构等。
2．要求学生掌握的基本概念、理论、技能通过本章教学使学生理解泛函分析研究的对象，掌握度量空间的定义及度量空间中极限、稠密集、可分空间的概念，能够对具体的问题进行判断；进一步了解连续映射的概念；掌握完备的度量空间；理解压缩映射原理，掌握压缩映射原理，能够应用压缩映射原理证明实际问题；掌握线性空间、赋范线性空间和Banach空间。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
们同意前人的提法，认为线性泛函与无穷维空间上引进坐标的思想有关，而对偶理论则有如无穷维线性空间上的解析几何学。
Chp.1距离线性空间SS1.选择公理，良序定理，佐恩引理有序集的定义：（1）若a在b之先，则b便不在a之先。
（2）若a在b之先，b在c之先，则a在c之先。
这种先后关系记作■-良序集：A的任何非空子集C都必有一个属于C的最先元素。
良序集的超限归纳法：（1）!… 为真，这里「是A中最先的元素。
2）厂'’对一切- ，-'，为真，则1；卜;:L亦真那么「对一切a E 4皆真。
选择公理设N={N}是一个非空集合构成的族，则必存在定义在N上的函数f，使得对一切:L N都有「\部分有序称元素族X是部分有序的，如果在其中某些元素对（a,b）上有二元关系& - ，它据有性质：。
Y 心；If a and BY% then a = &; 7/ a band b Y® then呛Y 起例如X中包换关系在部分有序集下，有上界、极大元和完全有序其中完全有序的C：门；.兀心化心強工冷总好宀百例如在复数域中，按大小关系定义两个复数的关系，则复平面是部分有序的，实轴、虚轴是完全有序的。
佐恩引理设X非空的部分有序集，如果X的任何完全有序子集都有一个上界在X中，则X必含有极大元。
从现代观点来看，泛函分析研究的主要是研究实数域或者复数域上的完备赋范线性空间SS2.线性空间，哈迈尔（Hamel ）基线性空间的定义：加法交换、加法结合、有零元，有负元、有单位元等。
线性流形：线性空间中的非空子集，如果它加法封闭、数乘封闭。
线性流形的和M+N :所有形如m+n的元素的集合，其中m € M, n € N 线性流形的直和：如果M AN={ 0}则以代替M+N如果.- ?.-■：■■ ■；；.；，则称M与N是代数互补的线性流形。
于是有下述定理：定理2.1设M,N是线性空间X的线性流形，则.< —⑴当且仅当对每个x€ X都有唯一的表达式x=m+n, m € M,n € N.定理 2.2 若上一.：：:=：卜，贝Ll dimX=dimM+dimNHamel基的定义：设X是具有非零元的线性空间，X的子集H称为X的Hamel基，如果（1）H是线性无关的。
（2）H张成的线性流形是整个空间。
则有Hamel基和线性无关子集的关系：定理2.3设X是线性空间，S是X中任意的线性无关子集，则存在X的一个Hamel基使得二启推论任何非零线性空间必有Hamel基由定理2.3,可有定理2.4设M是线性空间X的线性流形，则必有线性流形、'- > 使得'- '，即N是M的代数补。
SS3距离空间（度量空间），距离线性空间定义了距离（满足正定性、对称性和三角不等式的映射）d（x,y）的空间即为距离空间，记为<X,d>按距离收敛：设距离空间<X,d>中的点列；使得:%爲g出讣―忑则称；「二按d（•）收敛到X，简记为H JT~卞工距离线性空间：设赋有距离d（；）的线性空间X满足（1）注卜-f ■ ..■■■：' '一―....'（2）炖沁匸；一；：\氏：、7書七.疸:化.俩-一用說—'；■距离线性空间的例子例1有界序列空间(m )设X 代表所有有界数列篇升八、:;的集合，设': ■ /； L© ； <- -V定义加法和数乘： 、、: !<… 匕〕 u ｛「•■:」；起T,站)=SlLp|fj ~T7j|以及距离：'则它是一个线性距离空间 例2收敛序列空间(c )元素、加法、数乘和距离定义同上，序列有极限。
例3本质有界可测函数空间 ' 亠〔监匕：定义加法和数乘：(x+y)(t)=x(t)+y(t), (ax)(t)=ax(t)以及距离：d(x,y)=essup|x(t)-y(t)|例4所有序列空间(s )元素、加法和数乘定义同例1，例5空间辛 ''宀—訂.: 设X 代表满足条件二5 f 圮的所有数列的集合，加法和数乘同例1， 距离为水d =(幼右一昭鬥SSS4距离空间中的拓扑，可分空间<X,d>中，球、开集、邻域、闭集、内点、内部的概念同拓扑。
其中，极限点的概念相当于拓扑学中的聚点，连续函数的定义和拓扑也是一致的。
稠密：设＜X,d ＞是距离空间，S 包含于X 称为稠密的，如果任给距离 宙一 G 丨*(1 +0 — ^1)t ＞0, W T €Hzn 6 & s.t.頁工,ro) ＜匚空间X称为可分的，如果X内有一个可数的稠密集。
例5、所有序列空间(s)是可分的；有界序列空间(m)，例3是可分的。
SS5完备距离空间完备性：称＜X,d＞是完备的，若对任意的柯西序列都收敛。
例C[0,1]:所有复值连续函数的集合，是完备的。
定义与例3相同的加法和数乘，定义距离d(x,y)=max|x(t)-y(t)|，则它是线性距离空间，称为连续函数空间完备化：对距离空间＜X,d＞，若有完备的距离空间，使X等距于工，即有' I ! ! , , , /. \ ，且T(x)是I 中的稠密子集, 则.'为X的完备化。
进一步，有定理定理5.1任何距离空间都存在完备化SS6列紧性列紧：＜X,d＞中集合M是列紧的，如果M中任何序列都有收敛子列。
闭的列紧集称为自列紧集。
e网：对＜X,d＞中的M,N，£为给定正数，若对M中的任一点x,必存在N中的一点x'使得d(x,x')＜E,贝U N是M的& 网。
完全有界：距离空间X中的集合M是完全有界的，若对人给的£0，总存在由有限元组成的M的&网。
定理6.1：在距离空间中，列紧性蕴含完全有界性；若更设X完备，则列紧性与完全有界性等价。
定理6.2:在距离空间中，任何完全有界集是可分的。
定理6.3:在距离空间中，紧(紧致)性和自列紧性等价。
等同连续：设F是一族从＜X,d＞到＜Y, p的函数，若任给：；」丄一" “I匚厂都有p f(x),f'(x))＜&当d(x,x')＜测称F是等同连续的定理6.4: (阿尔采拉-阿斯科利) 是列紧的必须且只需F是一致有界且等同连续的。
定理6.5: (蒙泰尔)设是区域◎上一致有界的解析函数列，则与任何完全位于◎内的有界区域D ( D的闭包在◎内)，恒有f的子序列在D上一致收敛。
SS7赋范线性空间满足范数三公理的从X到R的映射II -II称为范数，这样的赋范线性空间记为＜X, IH＞。
赋范线性空间X中，权I是x的连续函数。
线性算子设T是从：A的函数(映射)，若对一切x,y€X和数a,b都有T(ax+by)=aT(x)+bT(y)，则称T是X到Y的线性算子。
如果还存在常数C＞0，使对一切x €X都有J ■- ' '| ' I，则T是有界的如上的C的下确界称为T的范数，记为IITI定理7.1设X,Y是赋范线性空间，T是从X到Y的线性算子，则下述等价：(1)T在X某点连续；(2)T在X中所有点连续；(3)T是有界的。
线性算子的值域、满射的线性算子、单射的线性算子，逆算子这些定义是显然的。
其中有界线性算子的逆算子一般未必有界，若有界则称为有界可逆的。
定义在从线性空间X到复数域C的线性算子函数，称为线性泛函。
命题7.2有限维赋范线性空间中点收敛等价于坐标收敛命题7.3有限维赋范线性空间与同维度实数域线性同构且同胚。
Riesz引理：设M是赋范线性空间X的真子空间，则对任给的正数'-・一」—| ", | 〔且. : / —* / 『I ■■ I 「根据这个引理，我们知道任何赋范线性空间X,若球B(x,r是列紧的，则X必是有限维的Chp.2希尔伯特空间SS1内积空间定义设X是复线性空间，如果对任给的x,y€ X都恰有一个复数，记为(x,y)，与之对应，并且这个对应有下列四条性质: （1）r-. ■- "：广一I - —J⑵：「一*二：1 - 討丿厂-总:，对任意的x,y€ X和a€ C,则称(x,y)是x与y的内积，称X为具有内积的内及空间正交的定义：(x,y)=0进一步可以构建正规正交集，并且向欧几里得空间那样构建二范数II x II。
定理1.1给出内及空间X中的正规正交集{x},则对任何x€ X||B||2=另|広工If + Ik - E仙％）环|巴贝塞尔不等式施瓦茨不等式1(込切I W |阖| II创I定理1.2每个内积空间X按二范数称为赋范线性空间名义命题1.1内积(x,y)是x,y的二元连续函数，即当x,y有极限时，内积也有极限。
命题1.2设点集M在内积空间X中稠密，若有x' € X使(x,x')=0,对任意x € X则x'=0须知，内积空间中向量的范数有着异于其它赋范线性空间中向量范数的独特性质。
命题1.3平行四边形法则|険+卅+上一亦“(|研+|研)是否每个赋范线性空间X都能赋以内积(x,y)使得原来的范数II x I总可以表成呢？可以证明:X能赋以内积的充要条件是X中的范数满足平行四边形法则。
例1在空间C[0,1]不是内积空间。
只需取x(t)=1,y(t)=t,考虑ix+y I和x-y I即可。
(C[0,1]是完备的) 定义1.3若内积空间是完备的，则称H为希尔伯特空间例2空间 I® : £|&i|2 < co,® = ｛£■｝岂 的全体形成的线性空间，是希尔伯特空间 例3空间-1 ■'］是希尔伯特空间。
（注意到上两例同时也是线性距离空间）命题1.4内积空间X 的完备化.Y 是希尔伯特空间SS2正规正交基现设H 表示非零希尔伯特空间正规正交基：设S 是H 中的正规正交集，如果 H 中没有其他的正规正交集真包含 S ,则称S 为H 的正规正交基。
这等价于：命题2.1设S 是H 中的正规正交集，则S 是H 的正规正交基充要条件是 H 中没有非零元与S 中每个元正交。
定理2.1若H 可分，则H 必有一个可数的正规正交基。
定理2.2每个非零的希尔伯特空间都有正规正交基 定理2.3设芒’一 I ；*：.」：」是H 的一个正规正交基，则对任何的 x € X 都有H — E JI C J L （區 ）^99 11血IF = 匸虫 |（九 Xa ）F推论每个可分的希尔伯特空间都与l A 2同构。
SS3射影定理，弗雷切特-利亚茨表现定理设M 是希尔伯特空间H 的线性流形，定义’：厂一・..打厂；"- ''，称其为M 的正交补，二者的交为｛0｝，它也是H 的子空间。