球体的表面积与体积

Si
Vi
则球的体积为：
V V 1 V 2 V 3 V n
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第 二 步： 求 近 似 和
球的表面积
Si
hi
O
O
Vi
Vi 13Sihi
由第一步得： V V 1 V 2 V 3 V n
V 1 3S 1h 1 1 3S 2h 2 1 3S 3h 3 1 3S nh n
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割圆 术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推 导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”。 他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的 边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所 谓“割之弥细，所失弥小”。这样重复下去， 就达到了“割之又割，以至于不可再割，则 与圆合体而无所失矣”。这是世界上最早的 “极限”思想。
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二、球的概念
❖ 旋转体角度
球面:半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面。 球面所围成的几何体叫球体简称球。
球体与球面的区别？
❖ 点集角度
在空间内到一个定点的距离为定长的点的集合
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二、球的概念
球的截面 的形状
圆面
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球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆 不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆
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第 三 步：
Si
hi
化
Vi
为
准 确
Si
R
和
O Vi
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球的表面积
如果网格分的越细,则: “小锥 体”就越接近小棱锥
hi的 值 就 趋 向 于 球 的 半R径
Vi 13SiR
V 1 3S iR 1 3S 2R 1 3S 3R 1 3S n R
1 3R (S iS 2S 3.. .S n)1 3RS
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球的体积
A
A
O
C2
O
B2
r1 R2 R,
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r2
R2 (R)2 , n
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r3
R2 (2R)2, n
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A
球的体积
ri
O
R (i 1)
Байду номын сангаас
n
R
O
第i层“小圆片”下底面半的径：
ri
R 2[R(i1)2 ],i1,2 ,n . n
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球的体积
1
1
(1 )(2 )
V半 球 R3[1
n
n]
6
当 n 时 , 10. n
V 半球
2 R 3
3
从而 V 4 R 3 .
3
定理：R 半 的径 球是 的体 V 积 4R 为 3 ：
3
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球的表面积
球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图 求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法, 是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢?
下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式．
1)球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平均分割成n个小块, 每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似 看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接 近于甚至等于球的表面积.
2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为 顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大, 越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.
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例题讲解
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)
解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
7.9[4(5)34x3]142
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球的体积
学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来．所以 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法．
我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新
拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是 R和R的矩.形
那么圆的面积就近似于等R2 .
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球的体积
ri
R 2[R(i1)2 ],i1,2, ,n n
V ir i2R n R n 3[1 (i n 1 )2 ]i, 1 ,2 ,n
V 半 球 V 1 V 2 V n
R n3[n1222 n 2(n1)2]
R n3[nn 12(n1)n 6(2n1)]
R 3[1n 1 2(n1)6 2 (n1)]
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球的表面积
Si
o o
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球的表面积
第 一 步： 分 割
O
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球面被分割成n个网格，表面积分别为：
S 1 ， S 2 ， S 3 , ,S n
则球的表面积： O
S S 1 S 2 S 3 S n
设 “ 小 锥 体 ” 的 体 积为 Vi
球的体积
当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式．
分割
求近似和
化为准确和
下面我们就运用上 法述 导方 出球的体积公式
即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积， 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．
又球的体积V为 4： R3
3
4R 31R,S 从S 而 4 R 2
3
CHEN3 LI
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例题讲解
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
V4R 34(5)312 c5m 3
3
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(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)
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复习回顾
球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。
球(即球体):球面所围成的几何体。 它包括球面和球面所包围的空间。
半径是R的球的体积： V 4R3
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推导方法：
分割 求近似和 化为准确和
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球的概念
球的直径
球心
球的半径
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重点难点
教学重点
➢球的体积公式及应用
➢球的表面积公式及应用
教学难点
➢球的表面积公式的推导
➢球的体积公式的推导
分割 求近似 和化为准确和思想
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球的体积
高等于底面半径的旋转体体积对比
R
V圆
锥
1 R3
3
V半球 ?
V圆
柱
3 R3
3
猜:V 测 半 球 3 2R 3,从 V 而 4 3R 3.