二次函数与几何综合类存在问题39PPT课件
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二次函数的应用课件ppt课件ppt课件ppt
要点一
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
中考复习：二次函数与几何综合类存在性问题(共29张PPT)
解析
(1)由题意知，点 A 与点 B 关于直线 x＝－1 对
称，A(－3，0)，
∴B(1，0)． (2)①当 a＝1 时，则 b＝2，把 A(－3，0)代入 y＝x2＋2x
＋c 中得 c＝－3， ∴该抛物线的关系式为 y＝x2＋2x－3.
∵S△BOC＝12·OB·OC＝21×1×3＝32，
∴S△POC＝4S△BOC＝4×32＝6.
故经过 A、B、C 三点的抛物线的关系式是 y＝－12x2＋32x＋2.
解析
(2)∵y＝－12x2＋32x＋2＝－12x－232＋285，
∴M 32，285.
设直线 MC 对应的函数关系式是 y＝kx＋b，
把 C(0，2)，M
32，285
代入，得285＝32k＋b， b＝2，
－－322－3×－32＝94.
总结：
解有关二次函数的综合问题时，首先要根据已知条件求出二 次函数的关系式，再结合图象，运用几何知识解决问题．
探究二.二次函数与四边形的结合
例2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象 与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于C(0，－3)， 点P是直线BC下方抛物线上的动点．
总结：此类问题常涉及运用待定系数法求二次函数、一次 函数的关系式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直 角三角形、等腰三角形的判定．要注意的是当相似三角形的 对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．
探究四.二次函数与圆的结合
例4．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点 为O，A点坐标为(4，0)，B点坐标为(－1，0)， 以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴 正半轴交于点C. (1)求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函 数关系式； (2)设M为(1)中抛物线的顶点，求直线MC对 应的函数关系式； (3)试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明 你的结论．
二次函数的课件ppt课件ppt课件
二次函数的极坐标表示
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$在极 坐标系下的表示为$r = a\cos^{2}\theta + b\cos\theta + c$。
05
二次函数的应用实例
生活中的二次函数应用
打篮球的抛物线
篮球运动员投篮时，篮球的运动 轨迹可以近似为二次函数。通过 调整投篮角度和力度，可以最大
数是偶函数。
03
二次函数的公式与运算
二次函数的公式
标准的二次函数公式
y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为系数，且a≠0。
顶点式
y = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标。
交点式
y = a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为与x轴的交点坐标。
二次函数的运算规则
解
根据顶点式，可知顶点坐标为(1.5, -0.75)；根据交点式，可知 与x轴的交点坐标为(2.5, 0)和(2.5, 0)；与y轴的交点坐标为(0, 5)。
例题2
已知二次函数y = -3x^2 + 6x + 9，求函数的对称轴和最小值。
04
二次函数的图像变换
平移变换
水平平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向右平移$m$个单位，得到新的 二次函数$y = a(x - m)^{2} + b(x - m) + c$。
垂直平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向上平移$n$个单位，得到新的 二次函数$y = ax^{2} + bx + c + n$。
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$在极 坐标系下的表示为$r = a\cos^{2}\theta + b\cos\theta + c$。
05
二次函数的应用实例
生活中的二次函数应用
打篮球的抛物线
篮球运动员投篮时，篮球的运动 轨迹可以近似为二次函数。通过 调整投篮角度和力度，可以最大
数是偶函数。
03
二次函数的公式与运算
二次函数的公式
标准的二次函数公式
y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为系数，且a≠0。
顶点式
y = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标。
交点式
y = a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为与x轴的交点坐标。
二次函数的运算规则
解
根据顶点式，可知顶点坐标为(1.5, -0.75)；根据交点式，可知 与x轴的交点坐标为(2.5, 0)和(2.5, 0)；与y轴的交点坐标为(0, 5)。
例题2
已知二次函数y = -3x^2 + 6x + 9，求函数的对称轴和最小值。
04
二次函数的图像变换
平移变换
水平平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向右平移$m$个单位，得到新的 二次函数$y = a(x - m)^{2} + b(x - m) + c$。
垂直平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向上平移$n$个单位，得到新的 二次函数$y = ax^{2} + bx + c + n$。
中考复习专题：二次函数与几何的综合题PPT课件
10
即y=∴∴13x–二23–次=a函83(0x数+–13的)．(0解–析9)，式解为4分得y=a=13(x3+1，)(x–9)，
（2０11资阳）已知抛物线C：y=ax2+bx+c(a<0)过原点，与x 轴的另一个交点为B(4，0)，A为抛物线C的顶点．
(1) 如图14-1，若∠AOB=60°，求抛物线C的解析式；(3分)
2008年资阳24．（本小题满分12分）如图10，已知点A的坐标是（－1，0），
点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、 BC，过A、B、C三点作抛物线． （1）求抛物线的解析式；
解：(1) ∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
3.联立函数表达式.
互转化的基础是：点坐标与线段长。 一般解题思路是：
解析式方程组的解是图像交点坐标
（1）已知点坐标 线段长，线段长 点
坐标；
（2）用待定系数法求函数解析式；
（3）解析式 点坐标 线段长 面积
及其它。
（压轴题07） 点P为抛物线 y x2 2mx m2 (m为常数， )上任m一点0，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90度后得到的 新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q 为点P旋转后的对应点.
(2) (3分) 求点D的坐标；
三垂直：横平竖直
F
O'D=O'A=2,DC=AC=4 ∆DO'F∽∆CDM,类似比1：2 设O'F=a，DF=b。 则DM=2a，CM=2b。 所以，2a+b=4.且2+a=2b。
DN=DF-FN=3/5
N
二次函数与几何图形综合题(共67张PPT)
解得 k＝－3 b＝3 ，
∴y＝－3x＋3，
∴当△ACG是一个以AG为底边的等腰三角形时，CG的解析式为y＝－3x＋3；
③以CG为底边，则AC＝AG，
∴10＝(1＋g)2，
解得x1＝－1＋ 10，x2＝－1－ 10， ∴点G的坐标为(－1＋ 10 ，0)或(－1－ 10 ，0)，
将G(－1＋ 10 ，0)，C(0，3)代入y＝kx＋b中，可得y＝－
3.
∴∠C′BH＝60°. 由翻折得∠DBH＝ 1 ∠C′BH＝30°，
2
∵在Rt△BHD中，DH＝BH· tan∠DBH＝2tan30°＝2 3 ，
3 ∴点D的坐标为(1， )；(7分)
(3)如解图①，取(2)中的点C′，D，连接CC′， ∵BC′＝BC，∠C′BC＝60°， ∴△C′CB为等边三角形． 分类讨论如下：
(2)∵A(－5，0)，B(－1，0)，C(0，5)， ∴AA′＝AB＝4， 由平移的性质可知C′(4，5)． 四边形AA′C′C是平行四边形． 理由如下： ∵AA′＝CC′＝4，AA′∥CC′， ∴四边形AA′C′C是平行四边形；
(3)点G是坐标平面内一点，当四边形ACGM是平行四边形时，求GE的长；
第1题解图①
①当点P在x轴上方时，点Q在x轴上方， 连接BQ，C′P， ∵△PCQ，△C′CB为等边三角形， ∴CQ＝CP，BC＝C′C，∠PCQ＝∠C′CB＝60°. ∴∠BCQ＝∠C′CP. ∴△BCQ ≌ △C′CP. ∴BQ＝C′P. ∵点Q在抛物线的对称轴上， ∴BQ＝CQ. ∴C′P＝CQ＝CP.
第1题解图①
又∵BC′＝BC，
∴BP垂直平分CC′.
由翻折可知BD垂直平分CC′，
∴点D在直线BP上．
设直线BP的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
∴y＝－3x＋3，
∴当△ACG是一个以AG为底边的等腰三角形时，CG的解析式为y＝－3x＋3；
③以CG为底边，则AC＝AG，
∴10＝(1＋g)2，
解得x1＝－1＋ 10，x2＝－1－ 10， ∴点G的坐标为(－1＋ 10 ，0)或(－1－ 10 ，0)，
将G(－1＋ 10 ，0)，C(0，3)代入y＝kx＋b中，可得y＝－
3.
∴∠C′BH＝60°. 由翻折得∠DBH＝ 1 ∠C′BH＝30°，
2
∵在Rt△BHD中，DH＝BH· tan∠DBH＝2tan30°＝2 3 ，
3 ∴点D的坐标为(1， )；(7分)
(3)如解图①，取(2)中的点C′，D，连接CC′， ∵BC′＝BC，∠C′BC＝60°， ∴△C′CB为等边三角形． 分类讨论如下：
(2)∵A(－5，0)，B(－1，0)，C(0，5)， ∴AA′＝AB＝4， 由平移的性质可知C′(4，5)． 四边形AA′C′C是平行四边形． 理由如下： ∵AA′＝CC′＝4，AA′∥CC′， ∴四边形AA′C′C是平行四边形；
(3)点G是坐标平面内一点，当四边形ACGM是平行四边形时，求GE的长；
第1题解图①
①当点P在x轴上方时，点Q在x轴上方， 连接BQ，C′P， ∵△PCQ，△C′CB为等边三角形， ∴CQ＝CP，BC＝C′C，∠PCQ＝∠C′CB＝60°. ∴∠BCQ＝∠C′CP. ∴△BCQ ≌ △C′CP. ∴BQ＝C′P. ∵点Q在抛物线的对称轴上， ∴BQ＝CQ. ∴C′P＝CQ＝CP.
第1题解图①
又∵BC′＝BC，
∴BP垂直平分CC′.
由翻折可知BD垂直平分CC′，
∴点D在直线BP上．
设直线BP的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
二次函数与几何综合类存在性问题课件
03
注意答案的完整性和规 范性；
04
在解答过程中，注意逻 辑的严密性和推理的准 确性。
02
二次函数与几何综合类存在
性问题的类型
以二次函数为背景的存在性问题
总结词
这类问题主要考察二次函数的性质，如开口方向、对称轴、顶点等，以及这些 性质在几何图形中的应用。
详细描述
这类问题通常会给出二次函数的一般形式，如$f(x) = ax^2 + bx + c$，然后要 求求解满足某些条件的点或线。例如，求函数$f(x) = x^2 - 2x$在$x$轴上的交 点，或求函数$f(x) = x^2 - 2x$的对称轴等。
3. 将代数结果和几何结果相互印证，得出最终结论。
04
二次函数与几何综合类存在
性问题的实例分析
实例一
总结词
利用抛物线的性质和点到直线距离公式，求出最小值。
详细描述
设抛物线方程为 $y = ax^2 + bx + c$，直线方程为 $y = mx + n$。首先，将抛线上的点 $(x, y)$ 到直线的距离表示为 $d = frac{|ax^2 + bx + c - mx - n|}{sqrt{m^2 + 1}}$。然后，利用抛物线的 性质和极值定理，求出 $d$ 的最小值。
实例三
总结词
利用双曲线的性质和点到直线距离公 式，求出最小值。
详细描述
设双曲线方程为 $frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$，直线方程为 $y = mx + n$。首先，将双曲线上的点 $(x, y)$ 到直线的 距离表示为 $d = frac{|mx - y + n|}{sqrt{m^2 + 1}}$。然后，利用双曲线的性质和极值定理 ，求出 $d$ 的最小值。
二次函数与几何综合类问题复习课件
①当 m＝－3， n＞3 时， 求
S△ACO S四边形AOED
的值(用含 n 的代数式表示)．
②当四边形 AOED 为菱形时， m 与 n 满足的关系式为________； 当四边形 AOED 为正方形时，m＝________，n＝________．
图 40－2
解：(1)当 m＝－1 时，y＝x ＝1，当 n＝4 时，y＝x ＝16. ∴点 A 的坐标为(－1，1)，点 B 的坐标为(4，16)． ∵直线 y＝kx＋b 过 A、B 两点， 1＝－k＋b， k＝3， ∴ 解得 16＝4k＋b. b＝4. 当 m＝－2 时，y＝x2＝4，当 n＝3 时，y＝x2＝9. ∴点 A 的坐标为(－2，4)，点 B 的坐标为(3，9)．
情况二：当－2＜t＜0 时，如图②，设过点 P 且平行于 y 轴 的直线交 AC 于点 N，则 OP＝－t，PA＝t－(－2)＝t＋2. ∵PN∥OC，∴△APN∽△AOC， PN PA PN t＋2 ∴ ＝ ，即 ＝ ， OC OA 3 2 3 ∴PN＝ (t＋2)， 2
1 1 3 3 ∴S△APN＝ PN·PA＝ × (t＋2)×(t＋2)＝ (t＋2)2， 2 2 2 4 1 3 3 2 2 ∴S＝S△ABC－S△APN＝ ×6×3－ (t＋2) ＝－ (t＋2) ＋9. 2 4 4 3 综上所述，当 0≤t＜4 时，S＝ (4－t)2；当－2＜t＜0 时，S 8 3 ＝－ (t＋2)2＋9. 4
②如图，连接 AE 交 OD 于点 P.
∵点 A(m，m2)关于 y 轴的对称点为 E， ∴E(－m，m2)，∴OP＝m2. ∵k＝m＋n，b＝－mn，∴D(0，－mn)． 若四边形 AOED 为菱形，则 OP＝DP，即－mn＝2m2，∴n＝－2m. 若四边形 AOED 为正方形，则 OP＝AP，即－m＝m2，解得 m＝－1 或 m＝0(舍去)，∴n＝－2m＝2. 故答案为 n＝－2m；－1，2.
二次函数初三ppt课件ppt课件ppt课件
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contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
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【解题方法点析】 求四边形面积的函数解析式，一般是利用割补法把四边形的 面积转化为三角形面积的和或差．
考向互动探究
探究一 二次函数与三角形的结合 例 1 [2014·内江] 如图抛物线 y＝ax2＋bx＋C 经过点 A(－3，0)，C(0， 4)，点 B 在抛物线上，CB∥x 轴，且 AB 平分∠CAO.
(1)求抛物线所对应的函数解析式． (2)线段 AB 上有一动点 P，过点 P 作 y 轴的平行线，交拋物线于点 Q，求线段 PQ 的最大值． (3)抛物线的对称轴上是否存在点 M，使△ABM 是以 AB 为直角边 的直角三角形？如果存在，求出点 M 的坐标；如果不存在，说明理由．
第39课时┃ 二次函数与几何综合类存在性问题
【例题分层分析】
(1)根据CB∥x轴，且AB平分∠CAO等几何条件，能求出点B 的坐标吗？
(2)为了求抛物线所对应的函数解析式已具备了哪些条件？ (3)点P在哪儿，如何用x表示点P的坐标？事实上只要求出AB 所在直线所对应的函数解析式就可以了． (4)线段PQ的两个端点在哪两个函数图象上，怎样表示它们 的坐标，如何表示PQ的长？ (5)△ABM是以AB为直角边的直角三角形存在以∠MAB为直 角和以∠MBA为直角两种情况．
第39课时┃ 二次函数与几何综合类存在性问题
解：(1)点 A 的坐标为(－3，0)，点 C 的坐标为(0，4)，∴AC ＝5.
∵AB 平分∠CAO，∴∠CAB＝∠BAO. ∵CB∥x 轴，∴∠CBA＝∠BAO， ∴∠CAB＝∠CBA，∴AC＝BC＝5， ∴点 B 的坐标为(5，4)． 将 A(－3，0)，C(0，4)，B(5，4)代入 y＝ax2＋bx＋c，得
∴直线 AB 所对应的函数解析式为 y＝12x＋32. 设点 P 的坐标为(x，12x＋32)，则点 Q 的坐标为(x，－16x2＋56x ＋4)， PQ＝－16x2＋56x＋4－(12x＋32)＝－16(x－1)2＋83， 故当 x＝1 时，线段 PQ 的值最大，最大值为83.
第39课时┃ 二次函数与几何综合类存在性问题
第39课时 二次函数与几何综合类 存在性问题
第39课时┃ 二次函数与几何综合类存在性问题
二次函数与三角形、四边形、圆和相似三角形常常综合 在一起考查，解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数 ”与“形”结合起来，互相渗透．存在探索型问题是指在给 定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现 的问题，解决这类问题的一般思路是先假设结论存在，然后 在这个假设下进行演绎推理，若推出矛盾，即可否定假设； 若推出合理，则可肯定假设．
0＝9a－3b＋c，
a＝－16，
44＝＝c2，5a＋5b＋c，解得bc＝＝456，，
∴抛物线所对应的函数解析式为 y＝－16x2＋56x＋4.
第39课时┃ 二次函数与几何综合类存在性问题
(2)设直线 AB 所对应的函数解析式为 y＝kx＋n，把 A(－3， 0)，B(5，4)代入，得04＝ ＝－ 5k3＋k＋ n，n，解得nk＝＝1232，，
第39课时┃ 二次函数与几何综合类存在性问题
【例题分层分析】
(1)图中已知抛物线上几个点？将点B，C的坐标代入二次函 数的解析式．
(2)画出四边形POP′C，若四边形POP′C为菱形，那么点P必 在OC的垂直平分线上，由此能求出点P的坐标吗？
(3)由于△ABC的面积为定值，求四边形ABPC的最大面积 ，即求△BPC的最大面积．
探究二 二次函数与四边形的结合
例 2 [2013·枣庄] 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ x2＋bx＋C 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，点 B 的坐标为(3，0)， 与 y 轴交于点 C(0，－3)，点 P 是直线 BC 下方抛物线上的动点．
(1)求这个二次函数的解析式． (2)连接 PO，PC，并将△POC 沿 y 轴对折，得到四边形 POP′C， 那么是否存在点 P，使得四边形 POP′C 为菱形？若存在，求出此 时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大？求 出此时点 P 的坐标和四边形 ABPC 的最大面积．
(3)抛物线 y＝－16x2＋56x＋4 的对称轴是直线 x＝52. 要使△ABM 是以 AB 为直角边的直角三角形，有两种情况： ①当点 B 为直角顶点时，如图①所示．
设抛物线的对称轴与 BC 交于点 D，与 AB 交于点 G，与 x 轴交于点 H.
由点 G 在直线 AB 和抛物线的对称轴上可知，点 G 的坐标 为(52，141)．
第39课时┃ 二次函数与几何综合类存在性问题
∵∠BDG＝90°，BD＝5－52＝52，DG＝4－141＝54，
∴BG＝ BD2＋DG2＝
（5）2＋（5）2＝5
2
4
4
5.
同理 AG＝11 4 5. ∵∠AGH＝∠MGB，∠AHG＝∠MBG＝90°， ∴△AGH∽△MGB，
11 5
∴MAGG＝GGHB，即
第39课时┃ 二次函数与几何综合类存在性问题
【解题方法点析】 以二次函数、三角形为背景的有关点的存在性的问题是以二 次函数的图象和解析式为背景，判断三角形满足某些关于点 的条件时，是否存在的问题，这类问题有关于点的对称点、 线段、三角形等类型之分．这类试题集代数、几何知识于一 体，数形结合，5
4
，解得 5
MG＝245，
4
∴MH＝MG＋GH＝245＋141＝9， 故点 M 的坐标为(52，9)．
第39课时┃ 二次函数与几何综合类存在性问题
②当点 A 为直角顶点时，如图②所示．设抛物线的对称轴与 AB 交于点 G，与 x 轴交于点 H.
由①知 GH＝141.∵∠GHA＝∠BAM＝90°， ∴∠MAH＝90°－∠GAH＝∠AGM. ∵∠AHG＝∠MHA，∠AGH＝∠MAH， ∴△AGH∽△MAH，∴GAHH＝MAHH，即3＋14152＝3M＋H52， 解得 MH＝11，∴点 M 的坐标为(52，－11)． 综上所述，存在点 M，点 M 的坐标为(52，9)或(52，－11)．
考向互动探究
探究一 二次函数与三角形的结合 例 1 [2014·内江] 如图抛物线 y＝ax2＋bx＋C 经过点 A(－3，0)，C(0， 4)，点 B 在抛物线上，CB∥x 轴，且 AB 平分∠CAO.
(1)求抛物线所对应的函数解析式． (2)线段 AB 上有一动点 P，过点 P 作 y 轴的平行线，交拋物线于点 Q，求线段 PQ 的最大值． (3)抛物线的对称轴上是否存在点 M，使△ABM 是以 AB 为直角边 的直角三角形？如果存在，求出点 M 的坐标；如果不存在，说明理由．
第39课时┃ 二次函数与几何综合类存在性问题
【例题分层分析】
(1)根据CB∥x轴，且AB平分∠CAO等几何条件，能求出点B 的坐标吗？
(2)为了求抛物线所对应的函数解析式已具备了哪些条件？ (3)点P在哪儿，如何用x表示点P的坐标？事实上只要求出AB 所在直线所对应的函数解析式就可以了． (4)线段PQ的两个端点在哪两个函数图象上，怎样表示它们 的坐标，如何表示PQ的长？ (5)△ABM是以AB为直角边的直角三角形存在以∠MAB为直 角和以∠MBA为直角两种情况．
第39课时┃ 二次函数与几何综合类存在性问题
解：(1)点 A 的坐标为(－3，0)，点 C 的坐标为(0，4)，∴AC ＝5.
∵AB 平分∠CAO，∴∠CAB＝∠BAO. ∵CB∥x 轴，∴∠CBA＝∠BAO， ∴∠CAB＝∠CBA，∴AC＝BC＝5， ∴点 B 的坐标为(5，4)． 将 A(－3，0)，C(0，4)，B(5，4)代入 y＝ax2＋bx＋c，得
∴直线 AB 所对应的函数解析式为 y＝12x＋32. 设点 P 的坐标为(x，12x＋32)，则点 Q 的坐标为(x，－16x2＋56x ＋4)， PQ＝－16x2＋56x＋4－(12x＋32)＝－16(x－1)2＋83， 故当 x＝1 时，线段 PQ 的值最大，最大值为83.
第39课时┃ 二次函数与几何综合类存在性问题
第39课时 二次函数与几何综合类 存在性问题
第39课时┃ 二次函数与几何综合类存在性问题
二次函数与三角形、四边形、圆和相似三角形常常综合 在一起考查，解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数 ”与“形”结合起来，互相渗透．存在探索型问题是指在给 定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现 的问题，解决这类问题的一般思路是先假设结论存在，然后 在这个假设下进行演绎推理，若推出矛盾，即可否定假设； 若推出合理，则可肯定假设．
0＝9a－3b＋c，
a＝－16，
44＝＝c2，5a＋5b＋c，解得bc＝＝456，，
∴抛物线所对应的函数解析式为 y＝－16x2＋56x＋4.
第39课时┃ 二次函数与几何综合类存在性问题
(2)设直线 AB 所对应的函数解析式为 y＝kx＋n，把 A(－3， 0)，B(5，4)代入，得04＝ ＝－ 5k3＋k＋ n，n，解得nk＝＝1232，，
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【例题分层分析】
(1)图中已知抛物线上几个点？将点B，C的坐标代入二次函 数的解析式．
(2)画出四边形POP′C，若四边形POP′C为菱形，那么点P必 在OC的垂直平分线上，由此能求出点P的坐标吗？
(3)由于△ABC的面积为定值，求四边形ABPC的最大面积 ，即求△BPC的最大面积．
探究二 二次函数与四边形的结合
例 2 [2013·枣庄] 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ x2＋bx＋C 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，点 B 的坐标为(3，0)， 与 y 轴交于点 C(0，－3)，点 P 是直线 BC 下方抛物线上的动点．
(1)求这个二次函数的解析式． (2)连接 PO，PC，并将△POC 沿 y 轴对折，得到四边形 POP′C， 那么是否存在点 P，使得四边形 POP′C 为菱形？若存在，求出此 时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大？求 出此时点 P 的坐标和四边形 ABPC 的最大面积．
(3)抛物线 y＝－16x2＋56x＋4 的对称轴是直线 x＝52. 要使△ABM 是以 AB 为直角边的直角三角形，有两种情况： ①当点 B 为直角顶点时，如图①所示．
设抛物线的对称轴与 BC 交于点 D，与 AB 交于点 G，与 x 轴交于点 H.
由点 G 在直线 AB 和抛物线的对称轴上可知，点 G 的坐标 为(52，141)．
第39课时┃ 二次函数与几何综合类存在性问题
∵∠BDG＝90°，BD＝5－52＝52，DG＝4－141＝54，
∴BG＝ BD2＋DG2＝
（5）2＋（5）2＝5
2
4
4
5.
同理 AG＝11 4 5. ∵∠AGH＝∠MGB，∠AHG＝∠MBG＝90°， ∴△AGH∽△MGB，
11 5
∴MAGG＝GGHB，即
第39课时┃ 二次函数与几何综合类存在性问题
【解题方法点析】 以二次函数、三角形为背景的有关点的存在性的问题是以二 次函数的图象和解析式为背景，判断三角形满足某些关于点 的条件时，是否存在的问题，这类问题有关于点的对称点、 线段、三角形等类型之分．这类试题集代数、几何知识于一 体，数形结合，5
4
，解得 5
MG＝245，
4
∴MH＝MG＋GH＝245＋141＝9， 故点 M 的坐标为(52，9)．
第39课时┃ 二次函数与几何综合类存在性问题
②当点 A 为直角顶点时，如图②所示．设抛物线的对称轴与 AB 交于点 G，与 x 轴交于点 H.
由①知 GH＝141.∵∠GHA＝∠BAM＝90°， ∴∠MAH＝90°－∠GAH＝∠AGM. ∵∠AHG＝∠MHA，∠AGH＝∠MAH， ∴△AGH∽△MAH，∴GAHH＝MAHH，即3＋14152＝3M＋H52， 解得 MH＝11，∴点 M 的坐标为(52，－11)． 综上所述，存在点 M，点 M 的坐标为(52，9)或(52，－11)．