运筹学之4.2不平衡运输问题概要
运筹学(第四版)：第3章 运输问题
x11 x12 x1n x21 x22 x2n xm1 xm2 xmn
u1 1 1 1
u2
um
1
1
1
1
1
1
m行
v1 1
1
1
v2 1
vn
1
1
1
1
1
n行
5
第1节 运输问题的数学模型
该系数矩阵中对应于变量xij的系数向量Pij，其分量中除第i个和 第m+j个为1以外，其余的都为零。即
21
2.2 最优解的判别
判别的方法是计算空格(非基变量)的检验数cij−CBB-1Pij， i,j∈N。因运输问题的目标函数是要求实现最小化，故当 所有的cij−CBB-1Pij≥0时，为最优解。下面介绍两种求空格 检验数的方法。 1.闭回路法； 2.位势法
22
2.2 最优解的判别
1.闭回路法
2.1 确定初始基可行解
第二步：从行或列差额中选出最大者，选择它所在行或列 中的最小元素。在表3-10中B2列是最大差额所在列。B2列 中最小元素为4，可确定A3的产品先供应B2的需要。得表311
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
7
A2
4
A3
6
9
销量 3 6 5 6
18
2.1 确定初始基可行解
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
A2
3
43 7
1
4
A3
6
39
销量
36 56
12
2.1 确定初始基可行解
用最小元素法给出的初始解是运输问题的基可行解，其理由为： (1) 用最小元素法给出的初始解，是从单位运价表中逐次地
(典型例题)《运筹学》运输问题
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
运筹学运输问题解析
2. 典型的运输问题：
cij
a1 a2 …
am
A1
A2 … Am
B1
b1
B2
…
b2 … bn
Bn
求最小运费的运输方案
销地 产地 A1
B1
c11 c21
B2
c12 c22
…
Bn
c1n c2n
产量
a1
A2
… Am
a2
…
cm1 b1 b2
cm2 …
cmn bn
am
销量
销地 产地
B1
B2
…
Bn
产量
A1
ij
j =1, 2, …,n
xij 0
产销平衡问题为等式约束。 产销平衡问题中各产地产量之和与各销 售地点的销量之和相等。
二、运输问题数学模型的特点： 1. 运输问题一定有最优解；
2. 运输问题约束条件的系数矩阵：
x11 +x12+x13 x11
x12
xij 0
x21+x22+x23 + x21 +x22 x13 +x23
min Z cij xij
i 1 j 1
2
3
x
j 1
2
3
ij
ai
bj
i=1,2
x
i 1
ij
j =1, 2, 3
xij 0
典型运输问题的数学模型
min Z cij xij
i 1 j 1
m
n
x
x
i 1
n
j 1 m
ij
ai
bj
i=1,2,…,m
运筹学产销不平衡运输大学论文
管理运筹学论文---产销不平衡运输摘要运输问题是运筹学中的一个重要问题，也是物流系统优化中常见的问题，同时也是一种特殊的线性规划问题。
怎么样尽可能的在产地与销地之间减少运输成本和降低运输费用是很多运输公司热切关注的话题。
本文涉及的是一个总产量大于总销量的产销不平衡运输问题，通过对产地与销售地车辆运输的建立模型，在运用表上作业迭代法（最小元素法）求解后，再根据模型用lingo软件编写程序进行求解。
然后对结果进行分析，以及运输问题的延伸。
最后证明用lingo 解决车辆运输的可行性。
关键字：运输问题，产销不平衡，表上作业法，lingo目录一、问题的提出与分析 .................................................. 错误！未定义书签。
1.1问题提出 (3)1.2问题分析 (3)二、模型的建立与基本假设 ............... . (1)2.1模型的建立 (4)2.2基本假设....................................................................... 错误！未定义书签。
三、定义符号说明与表上作业法 (6)四、问题求解..................................................................... 错误！未定义书签。
4.1、Lingo求解模型......................................................... 错误！未定义书签。
4.2、Lingo结果 (9)五、模型结果分析与改进 (10)参考文献............................................................................. 错误！未定义书签。
一、问题的提出与分析1.1问题提出重庆有三家电子厂分别是新普，隆宇和恒华，生产的笔记本电脑将要运向北京，天津，广东，上海四个城市销售，其产量和销售量见下表：（单位：万台）表：1-1北京天津广东上海产量新普 6 2 6 7 30隆宇 4 9 5 3 25恒华8 8 1 5 21销量15 17 22 12 -问：哪种销售方案将会取得最少的运输费用，费用为多少？1.2问题分析图表数据显示产量总和为30+25+21=76万台，销量的总和为15+17+22+12=66万台，说明了此问题是一个总产量大于总销量的运输问题（76>66）。
运筹学 第四章 运输问题
最小元素法 西北角法 沃格尔(Vogel)法
1。最小元素法 思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。
表 3-2
销地
产地
B1
4
B2
12 10
B3
4 3
B4
11
产 量
A1
A2
A3
销 量
16
2
8
9
2 810
22
5
14
11
12 14
6
48
8
①
表 3-2
销地
产地
B1
4
B2
12 10
B3
4
B4
11
2．运输问题约束方程组的系数矩阵是一个只有0和1两个数值 的稀疏矩阵,其中1的总数为 2×m×n 个。
3、约束条件系数矩阵的每一列有两个非零元素，这对应于
每一个变量在前m个约束方程中出现一次，在后n个约束方
程中也出现一次
4、约束条件系数矩阵的秩是m+n-1。即运输问题的基变量总 数是m+n-1 证明：因A的前m行对应元素的和与后n行对应元素的和相等， 恰好都是： E1
故 [ xij ] 是一组可行解。
x
i 1 ij i 1
m
m
ai b j d
bj
a d
i 1
m
i
bj
又因 ai 0, b j 0. 所以
xij 0.
又因为总费用不会为负值（存在下界）。这说明，运输问题
既有可行解，又必然有下界存在，因此一定有最优解存在。
运输问题数学模型的特点
表 3-2
销地
产地
B1
4
x11
运筹学之4.2不平衡运输问题
煤矿
A B C 最低需要量 最高需求量
解题分析1
电厂 煤矿 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 产量
A
B
16
14
13
13
22
19
17
15
50
60
C
最低需要量 最高需求量
19
30 50
20
70 70
23
0 30
10 不限
50
这是一个产销不平衡的运输问题，总产量160个单位， 四个电厂的年最低需求为110个单位。小于产量160。 根据现有产量，第四个电厂每年最多能再多获得50个单位的供 应量，因此，最高需求为210个单位，大于产量160。 为了求得平衡，增加一个假想的煤矿D，其年产量为50个单位。
退化问题的处理
在确定初始基可行解的过程中，如果某一步中出现的 情况： 产地的拥有量与销地的销量同时为0 只需划去其中的一行或一列； 因此某一调运线路的调运量为0， 即相应的基变量为0 。 称为退化问题。 为了说明这一点，试确定下列的初始解。
退化问题实例
给定运输问题的数据表
B1 A1 A2 A3 销量 7 2 1 2 B2 8 6 4 1 B3 1 5 2 7 B4 4 3 7 6 产量 3 5 8
生产能力（万罐）
生产成本(元/罐) 订货数量（万罐）
50
8.8 20
64
9.1 28
56
9.0 45
20
9.4 35
解:
由于每个季度生产出的饮料不一定当寄交货, 设xij为第i季度生产第j季度交货的饮料数量, 应满足订货要求:
x 11 x 12 x 22 x 13 x 23 x 33
运筹学 第二章 运输问题
=
j
j = 1
(
(
这就是运输问题的数学模型，它包含 m·n 变量, m + n 个约束条件。如果用单纯形法求解，先得在各约 束条件上加入一个人工变量(以便求出初始基可行解)。 因此，即使是 m = 3 ， n = 4 这样的简单问题, 变量数 就有19个之多，计算起来非常复杂。因此，我们有必 要针对运输问题的某些特点，来寻求更为简单方便的 求解方法。
销地产地
B1
B2
B3
B4
A1
x11
x12
A2
x21
x24
A3
x32
x34
x11 、 x12 、 x32 、 x34 、 x24 、 x21 构成一个闭回路. 这里有： i1 = 1 ， i2 = 3 ， i3 = 2；j1 = 1 ，j2 = 2 ，j3 = 4. 若把闭回路 的顶点在表中画出, 并且把相邻两个变量用一条直线相连 (今后就称这些直线为闭回路的边)。
第二节 表上作业法1. 表上作业法的基本概念与重要结论针对运输问题的数学模型结构的特殊性，它的约束方 程组的系数矩阵具有如下形式( 具体见下一张幻灯片 )，该 矩阵中， 每列只有两个元素为1，其余都是0。根据这个特 点，在单纯形法的基础上，创造出一种专门用来求解运输 问题的方法，这种方法我们称为表上作业法。运输问题也是一个线性规划问题，当用单纯形法进 行求解时，我们首先应当知道它的基变量的个数；其次， 要知道这样一组基变量应当是由哪些变量来组成。由运输 问题系数矩阵的形式并结合第一章单纯形算法的讨论可以 知道: 运输问题的每一组基变量应由 m+n-1个变量组成。 (即基变量的个数 = 产地个数 + 销售地个数 – 1) 进一步我 们想知道, 怎样的 m+n-1个变量会构成一组基变量？
北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第4章 运输问题
第四章运输问题4.1 运输问题的数学模型4.1.1 运输问题的模型本章研究物资的运输调度问题，其典型情况是：设某种物品有m个产地，A1，A2，…，A m；各产地的产量分别是a1，a2，…，a m；有n个销地B1，B2，…，B n；各销地的销量分别是b1，b2，…，b n；假定从产地向销地运输单位物品的运价是c ij；问：怎样调运这些物品才能使总运费最小?设变量ij x为第i个产地运往第j个销地的产品数量。
为直观起见，可将产品产地、销地的产销量以及运输物品的单价为一个汇总表，如表4-1所示。
表4-11A2A1B2BmAnB"#11c12c1n c2ncmnc2mc1mc21c22c11x12x1n x21x22x2n x1mx2m x mn x1a2ama1b2b n b"#如果运输问题的总产量等于其总销量，即有∑∑===njjmiiba11(4-1)则称该运输问题为产销平衡运输问题；反之，称为产销不平衡运输问题。
产销平衡运输问题的数学模型可表示如下：m nij iji1i1nij ij1mij ji1ijmin z c xx a,i1,2,,mx b,j1,2,,nx0,i1,2,,m,j1,2,,n=====⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩≥==∑∑∑∑""""目标函数约束条件决策变量(4-2)其中，约束条件右侧常数a i，和b j，满足总量平衡条件。
在模型(4-2)中，目标函数表示运输总费用极小化；约束条件前m个约束条件的意义是：由某一产地运往各个销地的物品数量之和等于该产地的产量；中间n个约束条件是指由各产地运往某一销地的物品数量之和等于该销地的销量；后m×n个约束条件为变量非负条件。
运输问题模型是线性规划问题特例。
因而可用单纯形法求解，但是，需要引进很多个人工变量，计算量大而复杂。
应该寻求更简便的、更好的解法。
例4.1某公司经销甲产品。
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M
am am1
bn
n xij ai (i 1,2, , m 1) 1 j m 1 xij b j ( j 1,2, , n) i 1 xij 0
其中 c( m 1) j M , am 1 b j ai
j 1
n
令x i (n+1)是从产地Ai到虚拟销地B n+1的调运量， 它相当于产地Ai的贮存量，不需花运费，因而运价为 0：
ci (n1) 0
在这个意义下化为平衡运输问题
供大于 求运输 问题的 模型
m
A1
c11 c21
B1
c12 c22
B2
A2
Hale Waihona Puke Amcm1
cm 2 b2
销量
n 1
n
销量
b1
c1n
Bn
产量
a1
c2 n
a2
cmn
bn
am
虚拟产地
由于供不应求，则应设想一个虚拟产Am+1， 并让虚拟产地A m+1来供给销地Bj所需物资差额。
虚拟产地A m+1的产量为
n m
am1 b j ai
j 1 i 1
由于销地实际上不能从虚拟产地A m+1得到 供应，故其运价是高额的，令
销地 产地
B1 7 8 100
B2 6 5 320
B3 8 9 260
供应量 280 270
A1 A2 需求量
销地 产地
B1
B2
B3
供应量
A1
A2
7
8
6
5
8
9
280
270
需求量
100
320
260
销地 产地
B1 7 8 M 100
B2 6 5 M 230
其中 ci ( n 1) 0, bn 1 ai b j
i 1 j 1 m n
供不应 求的运 输问题
A1
c11
B1
c12 c22
B2
A2 c21
Am
cm 2 b2
cm1
销量
b1
m i 1
c1n
Bn
产量
a1
c2 n
a2
cmn
bn
n
am
2.当供不应求时，总产量小于总销量， ai b j
退化问题的处理
在确定初始基可行解的过程中，如果某一步中出现的 情况： 产地的拥有量与销地的销量同时为 0 只需划去其中的一行或一列； 因此某一调运线路的调运量为0， 即相应的基变量为0 。 称为退化问题。 为了说明这一点，试确定下列的初始解。
退化问题实例
给定运输问题的数据表
2
3
4
6
4
销地 产地
B1
2
B2
B3
B4
3
B5
2 2 7 5
A1 A2
3
A3
2 3
4
4
3
6 4
7
销地 产地
B1 2
B2
B3 3
B4
B5 2 2 7 5 7
A1 A2 A3
3 1 6
2
3
4
6
4
练习题2、 B1，B2，B3三个工厂所用热水由A1，A2供应，各厂的 需求量、锅炉房的供应量及输送热水的单位费用见下 表。由于供小于求，决定：保证B1的需求，B2的供应 量最多可减少90，B3的供应量不能少于180，应如何按 排给三个厂的供热水方案，在保证各厂基本需求的情 况下，使输送总费用最低。
1.供过于求，总产量大于总销量， ai b j
i 1 j 1
m
n
由于总产量大于总销量，某些产地的产量调运不出去，即调 运量小于其产量；由此可以建立供过于求的数学模型。
min z cij xij
i 1 j 1
m
n
n xij ai (i 1,2, , m) 1 jm xij b j ( j 1,2, , n) i 1 xij 0
B1 A1 A2 A3 销量 7 2 1 2 B2 8 6 4 1 B3 1 5 2 7 B4 4 3 7 6 产量 3 5 8
试确定初始解
3.3 不平衡的运输问题
所谓不平衡的运输问题是指总产量不等于总销量的运 输问题。 前面几节所讨论的运输问题都要求总产量等于总销量， 因而也称为平衡的运输问题。 在实际问题中，产销量往往是不平衡的，为了利用作 业法求解，就往往需要把不平衡的运输问题化成平衡 的运输问题。 其基本思路是引入松弛变量，相当于增加一个虚拟的 产地或销地。
j 1
由于总产量小于总销量，某些销地的需求得不到 满足，即调入量小于其销量；由此可以建立供不应 求的数学模型。
供不应求的运输 问题的数学模型
min z cij xij
i 1 j 1 m n
A1
c11
B1
c12 c22
B2
A2 c21
Am
cm 2 b2
cm1
xij ai (i 1,2,, m) 1 jm xij b j ( j 1,2,, n) i 1 xij 0
j 1 i 1 m
练习题1、
销地 产地
B1
2 8.8 20
B2
64 9.1 28
B3
56 9.0 45
B4
20 9.4 35 7 5 7
A1 A2 A3
2
销地 产地
3
B3 56 9.0 45
4
B4 20 9.4 35
6
B5 0 0 0 7 5 7
B1 2 8.8 20
B2 64 9.1 28
A1 A2 A3
A1
c11
B1
c12 c22
B2
A2 c21
Am
cm 2 b2
cm1
销量
b1
c1n
Bn
产量
a1
c2 n
a2
cmn
bn
am
虚拟销地 由于产品供大于求，应考虑把多余的物资就 地贮存，即增加一个虚拟销地B n+1
虚拟销地B n+1的总销量为
m i 1
bn1 ai b j
b1
c1n
Bn
Bn1
产量
0 0
a1
c2 n
a2
cmn bn
0 bn 1
am
min z cij xij i 1 j 1 n 1 (i 1,2,, m) xij ai m j 1 ( j 1,2,, n 1) xij b j i 1 xij 0
c(m1) j M
其中Ｍ是一个充分大的正数。
A1
c11
B1
c12 c22
B2
供不应求 运输问题 模型
min z cij xij
i 1 j 1 m 1 n
A2 c21
Am Am1
cm 2
M
cm1
M
销量
b1
b2
n
c1n
Bn
产量
a1
c2 n
a2