AMATLAB微积分及泰勒级数计算

2.2 微分运算
2.2.1符号表达式的极限运算 limit
函数的调用格式为：
limit(f,x,a) Limit(f)
lim f (x)
xa
limit函数的另一种功能是求单边极限，其调用 格式为：
limit(f,x,a,'right')
limit(f,x,a,'left')
例2.10求极限。
在MATLAB命令窗口，输入命令：
int(f,x,a,b)
例2.14求定积分。
2
y1 1 1 x dx
1
y2
dx
1 x 2
sin t
y3 4txdx
2
3
y4
x3
dx
2 ( x 1)100
命令如下： x=sym('x');t=sym('t'); int(abs(1-x),1,2) f=1/(1+x^2); int(f,-inf,inf)
s1=expand(s)
%对s展开
s2=collect(s,x) %对s按变量x合并同类项(无同 类项)
factor(s2)
% 对s2分解因式
(4)表达式化简 MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有： simplify(S) 应用函数规则对S进行化简。 simple(S) 调用MATLAB的其他函数对表达
%求(4)。z对y的偏导数
f=x^2+y^2+z^2-a^2;
zx=-diff(f,x)/diff(f,z)
%求(5)。按隐函数求导公式求z对x的偏导数
zy=-diff(f,y)/diff(f,z)
%求(5)。按隐函数求导公式求z对y的偏导数
例2.12在曲线y=x3+3x-2上哪一点的切线与直线y=4x-1平 行。
第2章 MATLAB符号计算
2.1 符号计算基础 2.2 微分运算 2.3 积分运算 2.4 泰勒级数 2.5 求解方程 2.6 积分变换
2.1 符号计算基础
2.1.1 符号对象
1. 建立符号变量和符号常数
(1)sym函数 S=sym(A)
sym函数用来建立单个符号变量，例如，a=sym(‘a’)建 立符号变量a，此后，用户可以在表达式中使用变量a 进行各种运算。
%求极限(3)
f=(sqrt(x)-sqrt(a)-sqrt(x-a))/sqrt(x*x-a*a);
limit(f,x,a,'right')
%求极限(4)
2.2.2 符号函数求导及其应用 MATLAB中的求导的函数为： diff(f,x,n)
diff函数求函数f对变量x的n阶导数。参数x的 用法同求极限函数limit，可以缺省，缺省 值与limit相同，n的缺省值是1。
式进行综合化简，并显示化简过程。
例2.9化简
命令如下：
syms x y;
s=(x^2+y^2)^2+(x^2-y^2)^2;
simplify(s)
%应用函数规则对s进行化简。
(5) 符号表达式中变量的确定
MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常数。 findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的符 号变量。该函数的调用格式为：
例2.11 求函数的导数。
命令如下：
syms a b t x y z;
f=sqrt(1+exp(x));
diff(f)
%求(1)。未指定求导变量和阶数，按缺省规则处理
f=x*cos(x);
diff(f,x,2)
%求(2)。求f对x的二阶导数
diff(f,x,3)
%求(2)。求f对x的三阶导数
f1=a*cos(t);f2=b*sin(t);
命令如下：
syms a b x y;
A=[2*a^2*b^3*x^2-4*a*b^4*x^3+10*a*b^6*x^4,3*x*y5*x^2;4,a^3-b^3];
factor(A)
%对A的每个元素分解因式
例2.8 计算表达式S的值。
命令如下：
syms x y;
s=sym((-7*x^2-8*y^2)*(-x^2+3*y^2));
dsolve 参数说明

(1)Eqn
微分方程输入方法：D

d dx
Dn

dn dx n

例：
d 2 y dy 2 3y 0
dx2 dx
Dy dy dx
D2y d 2 y dx 2
命令：Y=dsolve(‘D2y-2*Dy-3*y=0’,’x’) (2)condition 初始条件 y(a)=b;Dy(a)=c;D2y(a)=d; 最多可接受12个输入参量
例2.18 求微分方程的通解。 命令如下： y=dsolve('Dy-(x^2+y^2)/x^2/2','x')
端为0时可以不写 y=dsolve('Dy*x^2+2*x*y-exp(x)','x') y=dsolve('Dy-x/y/sqrt(1-x^2)','x')
%解(1)。方程的右
%解(2) %解(3)
命令如下：
x=sym('x');
y=x^3+3*x-2; %定义曲线函数
f=diff(y);
%对曲线求导数
g=f-4;
solve(g) 数为4
%求方程f-4=0的根，即求曲线何处的导
2.3 积分运算
2.3.1 不定积分 在MATLAB中，求不定积分的函数是int，其调用格式为： int(f,x) int函数求函数f对变量x的不定积分。参数x可以缺省，
% 计算数值表达式值
区别
数值数字并不能保证被完全准确存储，运算时 也会引进截断误差；
符号类数字总是被准确记录和计算。
(2)syms函数
1.用于定义多个符号变量。
syms函数的一般调用格式为：
syms var1 var2 … varn 函数定义符号变量var1,var2,…,varn等。
用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加 字符分界符(‘)，变量间用空格而不要用逗号分 隔。
➢ Numeric，eval：将符号常数转换为数字或计算表达式的 函数；
➢ Sym2poly：将符号多项式变换为等价系数向量。 ➢ Poly2sym：要求用户指定用于表达式的变量（x，y等） 例2.6 f=sym(‘2*x^2+7*x+9’) n=sym2poly(f) f1=poly2sym(n,y)
定义符号常量
如pi=sym(pi)

a=sym(3/4)
例2.1考察符号变量和数值变量的差别。
在 MATLAB命令窗口，输入命令：
a=sym('a');b=sym('b');c=sym('c');d=sym('d'); %定义4个符号变量
w=10;x=5;y=-8;z=11; %定义4个数值变量
积分(2) int(4*t*x,x,2,sin(t)) f=x^3/(x-1)^100; I=int(f,2,3)
%求定积分(1)
%负无穷到正无穷求定 %求定积分(3)
%用符号积分的方法求 定积分(4)
例2.15 轴的长度为10米，若该轴的线性密度计算公式是 f距离)，求轴的质量。
(3)因式分解与展开
factor(S) 对S分解因式，S是符号表达式或符号矩阵。 expand(S) 对S进行展开，S是符号表达式或符号矩阵。 collect(S) 对S合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵。 collect(S,v) 对S按变量v合并同类项，S是符号表达式或
符号矩阵。
例2.7 对符号矩阵A的每个元素分解因式。
缺省原则与diff函数相同。
例2.13求不定积分。
命令如下：
x=sym('x');
f=(3-x^2)^3;
int(f)
%求不定积分(1)
f=sqrt(x^3+x^4);
f1=int(f)
%求不定积分(2)
g=simple(f1)
%调用simple函数对结果化简
2.3.2 定积分
定积分在实际工作中有广泛的应用。在MATLAB中， 定积分的计算使用函数：
A=[a,b;c,d]
%建立符号矩阵A
B=[w,x;y,z]
%建立数值矩阵B
det(A)
%计算符号矩阵A的行列式
det(B)
%计算数值矩阵B的行列式
例2.2 比较符号常数与数值变量在代数运算时 的差别。
在 MATLAB命令窗口，输入命令：
pi1=sym(‘pi’);k1=sym(‘8’);k2=sym(‘2’);k3=sym(‘3’); % 定义符号常数
常微分方程（补充）
微分方程：凡是表示未知函数、未知函数的导 数与自变量之间的关系的方程叫做微分方程。
常微分方程：未知函数是一元函数的，叫做常 微分方程。
微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的 最高阶导数即是微分方程的阶。
一般地，n阶微分方程的形式是：
其中F是n+2个变量的函数，且 是必须出现 的，而小于n阶导数的变量不一定要出现。
syms a m x;
f=(x^(1/m)-a^(1/m))/(x-a);
limit(f,x,a)
%求极限(1)
f=(sin(a+x)-sin(a-x))/x;
limit(f)
%求极限(2)
limit(f,inf)