5.2 微积分基本公式-习题
微积分基本公式与计算
微积分基本公式与计算微积分是数学中的一个分支，研究的是函数的变化、变化率和积分运算。
微积分的基本公式是指在微积分的基础知识中常用的、基础性的公式和计算方法。
下面将介绍微积分中的基本公式与计算方法。
1.导数公式导数是函数在其中一点上的变化率，描述了函数沿着自变量的变化速率。
常用的导数公式如下：（1）常数函数的导数为0：d(c)/dx = 0，其中c为常数。
（2）幂函数的导数为幂次与系数的乘积：d(x^n)/dx = nx^(n-1)，其中n为实数。
（3）指数函数的导数为函数自身与底数的乘积：d(a^x)/dx = ln(a) * a^x，其中a为底数。
（4）对数函数的导数为导数值与函数自身的倒数的乘积：d(log_a(x))/dx = 1/(x * ln(a))，其中a为对数的底数。
2.求导法则求导法则是指求导数时常用的一些运算规则。
常用求导法则如下：（1）和差法则：d(u ± v)/dx = du/dx ± dv/dx，其中u和v是两个函数。
（2）乘积法则：d(uv)/dx = u * dv/dx + v * du/dx，其中u和v是两个函数。
（3）商法则：d(u/v)/dx = (v * du/dx - u * dv/dx) / v^2 ，其中u和v是两个函数，v≠0。
（4）链式法则：如果函数y = f(u)和u = g(x)有关系，那么y对x 的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx。
3.积分公式积分是导数的逆运算，是计算函数在一个区间上面积的方法。
常用的积分公式如下：（1）不定积分的基本公式：∫f(x)dx = F(x) + C，其中F'(x) = f(x)，C为常数。
（2）定积分的基本公式：∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F'(x) = f(x)。
（3）换元积分法：根据函数的复合结构，选择适当的变量替换，使得被积函数简化，然后再进行积分。
微积分基本公式
微积分基本公式
一、问题的提出； 二、牛顿－莱布尼茨公式； 三、小结
一、问题的提出
设某物体作直线运动，已知运动速度 v = v(t) 是事件区间[T1,T2]上 的一个连续函数，且v (t) ≥0，求物体在此时间区间上的运动路程。 变速直线运动中路程为
T
另一方面这段路程可表示为
T2
1
v ( t )dt
3 1
arctan 3 arctan( 1)
7 ( ) 3 4 12
例5. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶到某处需要减速停车,设汽车以 等加速度a=-5m/s2刹车, ,问从开始刹车到停车走了多少距离? 解: 设开始刹车时刻为t =0,则此时刻汽车速度
361000 3600
时，必须满足函数f (x)在区间[a,b]上连续的条件，否则 公式不一定成立
因此求定积分问题，转化为求原函数的问题.
例3 求 解
2
1
1 dx. x
1 x
当 x 0 时， 的一个原函数是ln | x | ,
2
例4. 计算 解:
1
1 1 dx ln | x | 2 ln1 ln 2 ln 2. x
3 1
dx arctanx 1 x2
已知F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
a x0 x1 x2 xn b
由拉格朗日定理，存在i[xi-1, xi],使
F ( xi ) F ( xi 1 ) F ( i )( xi xi 1 ) f ( i )xi
F ( xi ) F ( xi 1 ) F ( i )( xi xi 1 ) f ( i )xi
§5.2 微积分基本公式
上的原函数, 故有 ( x) F( x) C, x [a, b]
C是待定常数, 即有
ax f (t)dt F (ax) C, x [a, b] a 0 C F (a)
18
x
C F(a),
a f (t)dt F ( x) C
bx f (t )dt F ( xb) F (a) x [a,b] a
它在该区间上的任意一个原函数在区间[a, b] 上的
增量. （2） N-L公式揭示了积分学两类基本问题—— 不定积分与定积分两者之间的内在联系
（3）求定积分问题转化为求原函数的问题.
（4） 为定积分的计算提供了一个普遍、有效而又 简便的方法，使得定积分的计算大为简化。
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
部分的和的 形式.)
2 2 cos x d x 0
2 (cos x)d x
2
2sin
x
2 0
2sin x
2
2.
2
22
例 2 (2cos x sin x 1)dx 0
解
原式
2sin
x
cos
x
x
2
0
3
2
例 计算曲线y sin x在[0, ]上与x轴所围成的
平面图形的面积.
解 面积 A sin x dx 0
其中 s(t) v(t)
2
T2
T1
v(t )dt
s(T2 )
s(T1 )
启发 如果能从v(t)求出s(t),定积分 T2 v(t)dt
运算就可化为减法
s(T2 )
T1
s(T1 )运算.
这正是第四章已经解决了的微分运算的
5.2 微积分基本公式
记为
即
x
O ax
bx
积分上限函数的性质
定理１ 如果 f ( x)在[a,b]上连续，则积分上限的函
数( x)
x
a
f
(t )dt 在[a,b] 上具有导数，且它的导
数是(
x)
d dx
x
a
f (t )dt
f (x)
y
证
xx
( x x) a f (t)dt
(a x b)
( x x) ( x)
dx a
du dx
补充2 d
b
f (t)dt＝ d
a(x)
f (t)dt f
a(x) a(x)
dx a(x)
dx b
补充3 如果 f (t )连续，a( x)、b( x) 可导，
则F ( x) b( x) f (t )dt 的导数F ( x) 为 a( x)
F( x) d
b( x)
1
2xdx
2
5dx 6.
0
1
o 12x
例6 求 2 max{x, x2 }dx. 2
y
解 由图形可知
y x2
f ( x) max{x, x2 }
yx
x2 2 x 0
2
o 1 2x
x
0 x1 ,
x
2
1 x2
原式
0 x2dx
1
xdx
2 x2dx 11.
2
0
1
2
例7 求 1 1dx.
2 x
解 当 x 0时，1 的一个原函数是ln | x |,
x
1
2
1dx x
ln |
x
5-2 微积分基本公式
解
sin x f ( x) = , x
π π x ∈[ , ] 4 2
x cos x − sin x cos x ( x − tan x ) f ′( x ) = = < 0, 2 2 x x
π π f ( x ) 在[ , ]上单调下降 上单调下降, 4 2
π π 故 x = 为最大值点，x = 为最小值点, 4 2
充分条件
上连续时， 若函数 f ( x ) 在[a , b]上连续时， f ( x ) 在[a , b]上可积. 上可积. 则
且只有有限个间断点， 且只有有限个间断点， 上有界， 若函数 f ( x ) 在[a , b ]上有界，
上可积. 则 f ( x ) 在[a , b ]上可积.
1
3．定积分的性质 ．
x
d x 数是 Φ ′( x ) = ∫a f ( t )dt = f ( x ) dx y x + ∆x 证 Φ ( x + ∆x ) = ∫ f ( t )dt a
∆Φ = Φ( x + ∆x ) − Φ( x )
=∫
x + ∆x a x
(a ≤ x ≤ b)
Φ(x)
f ( t )dt − ∫ f ( t )dt
∫a f ( x )dx =
b
y
f (ξ )
在区间[a , b]上至少存在一 个点ξ ，使得以区间[a , b]为
底边， 底边， 以曲线 y = f ( x ) 为曲边的曲边梯形的面积 等于同一底边而高为 f (ξ )
的一个矩形的面积。 的一个矩形的面积。
13
o
a ξ
b x
可导， 例 3 设 f ( x ) 可导，且 lim f ( x ) = 1，
微积分基本公式
5.2.2 微积分基本公式
记号
微积分的创始人—牛顿（1643— 1727，英国物理学家、数学家， 百科全书式的“全才” ）与莱布
尼兹 （1646－1716，德国犹太 族哲学家、数学家，历史上少见 的通才。 ）
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5.2.2 微积分基本公式
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5.2.2 微积分基本公式
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5.2 微积分基本公式
➢ 5.2.1 变上限积分函数及其性质 ➢ 5.2.2 微积分基本公式
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5.2.1 变上限积分函数及其性质
Hale Waihona Puke 定积分计算结果是常数
：
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5.2.1 变上限积分函数及其性质
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5.2.1 变上限积分函数及其性质
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小结
1.
变上限积分函数
x
(x) a f (t)dt
x
a f (t)dt f (x)
2. 牛顿—莱布尼兹公式
b
a f (x)dx F (b) F (a)
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作业
P99 习 题 5-2 2 ， 3（2）（3）（5）
5.2.2 微积分基本公式
课堂练习
1. 填空题：
(1) d 1sin x2dx=_____; (2) d x sin t 2dt=____
dx 0
dx 0
(3) d
0
sin
t
2dt
____ ；
(4)
d
0sinx2dx ___
dx x
dx x
2. P99 习题5-2: 1；2； （1）（4）
微积分的基本定理
如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续，则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b] 上的一个 原函数.
定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的.
x
（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.
补充 如果 f (t ) 连续，a( x )、b( x ) 可导，
1 2 0 1
o
1
2
x
例6
求 2 max{ x , x }dx.
2 2
y
解
由图形可知
y x2
2
f ( x ) max{ x , x }
y x
2
x 2 x 0 x 0 x 1 , x2 1 x 2
2
0 2 1 2 0 1
o
1
2
x
原式 x dx xdx x 2dx
所以F ( x ) 0 即原方程在 0,1] 上只有一个解. [
1 1
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理 3（微积分基本公式）
[ 如果F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间 a , b] 上
的一个原函数，则a f ( x )dx F (b) F (a ) .
证 已知F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
又 ( x )
b
a
x
f ( t )dt 也是 f ( x ) 的一个原函数,
F ( x ) ( x ) C
x [a , b ]
F ( x ) f (t )dt c,
a
x
令
xa
F (a ) C ,
§5、2 微积分基本公式
x
= ∫ f (t )dt ．
0
x
定理 1 指出了一个重要结论：连续函数 f ( x) 取变上限 x 的定积分然后求导，其结果还 原为 f ( x) 本身．联想到原函数的定义，就可以从定理 1 推知 Φ ( x) 就是连续函数 f ( x) 的一 个原函数．因此，可得不定积分概念那一节未证的原函数的存在定理．
s(T1) T1
∫T1 v ( t ) d t = s = s ( T 2 ) − s ( T1 ) 6 447 4 4 8
s(T2) T2
T2
s t
隔 [T1 , T2 ] 内经过的路程 s 可以用速度函数 v(t ) 在 [T1 , T2 ] 上的定积分来表达：
s = ∫ v(t )dt ；
T1
f ( x) 在部分区间 [a, x] 上的定积分
∫
x a
f ( x)dx
y
在几何上表示如图所示曲边梯形的面积 Ax ． 这里， 记号 x 既表示定积分的上限，又表示积分变量．因为定积分与积 分变量的记法无关，所以，为了明确起见，我们把积分变 量改用其他符号，例如用 t 表示，则上面的定积分可以写 成
a ∆
x
一的值与之对应．因此，
Φ ( x) = ∫ f (t )dt (a ≤ x ≤ b)
a
x
为上限 x 的函数． 为了几何直观表述积分上限的函数，上面我们对被积函数 f ( x) 作了非负、连续的假 设．实际上，此条件减弱为可积即可．一般地，我们有如下定义．
定义 设 f ( x) 在 [a, b] 上可积，则
注： （1）设 f ( x) 连续， g ( x) 、 h( x) 均可导， a 为常数，则 ① ②
d g ( x) f (t )dt = f [ g ( x)] ⋅ g ′( x) ； dx ∫ a d g ( x) f (t )dt = f [ g ( x)] ⋅ g ′( x) − f [h( x)] ⋅ h′( x) ． dx ∫ h ( x )
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1．设函数0cos xy tdt =⎰，求'(0)y ，'()4y π。
【解】由题设得'()cos y x x =，于是得 '(0)cos01y ==，'()cos442y ππ==。
2．计算下列各导数：⑴20x d dx⎰；【解】20x d dx⎰2)x =2= ⑵1td dt dx ；【解】1td dt dx 1()t ddt dx =-=-=。
⑶cos 2sin cos()x x d t dt dxπ⎰； 【解】cos 2sin cos()x x d t dt dx π⎰0cos 22sin 0[cos()cos()]x xd t dt t dt dx ππ=+⎰⎰ 》0cos 22sin 0cos()cos()x x d d t dt t dt dx dx ππ=+⎰⎰sin cos 2200[cos()]cos()x xd d t dt t dt dx dx ππ=-+⎰⎰ 22cos(sin )(sin )cos(cos )(cos )d dx x x x dx dx ππ=-+22cos(sin )cos cos[(1sin )](sin )x x x x ππ=-+--22cos(sin )cos cos(sin )sin x x x x πππ=---22cos(sin )cos cos(sin )sin x x x x ππ=-+2cos(sin )(sin cos )x x x π=-。
⑷2ln 1x x d dt dx t⎰。
【解】2ln 1x x d dt dx t ⎰21ln 111[]x x d dt dt dx tt =+⎰⎰ 21ln 111x x d d dt dt dx t dx t=+⎰⎰ …2ln 1111[]x x d d dt dt dx t dx t =-+⎰⎰2211(ln )()ln d d x x x dx x dx =-+21112ln x x x x =-⋅+⋅12ln x x x =-+11(2)ln x x=-。
3．设函数()y y x =由方程0cos 0yxt e dt tdt +=⎰⎰所确定，求dydx。
【解法一】方程0cos 0yxt e dt tdt +=⎰⎰中完成积分即为 0sin 0ty x e t+=，亦即为 (1)sin 0ye x -+=，得知1sin ye x =-，解出y ，得ln(1sin )y x =-， 于是得1cos (1sin )1sin 1sin dy d x x dx x dx x -=-=--cos sin 1x x =-。
【解法二】在方程cos 0yxt e dt tdt +=⎰⎰两边对x 求导，注意到()y y x =，得—00[cos ](0)y x t d de dt tdt dx dx+=⎰⎰即得 ()cos 0y d e y x dx+=， 亦即cos 0y dy ex dx +=，解出dy dx ，得cos y dy x dx e=-， 方程0cos 0yxte dt tdt +=⎰⎰中完成积分即为 0sin 0tyx e t+=，亦即为 (1)sin 0ye x -+=，得知1sin ye x =-，再将1sin ye x =-代入cos y dy xdx e=-中， 得cos cos 1sin sin 1dy x x dx x x =-=--。
4．设0sin t x udu =⎰，0cos t y udu =⎰，求dydx。
【解】问题是由参数方程求导【解法一】dy dy dt dx dx dt =0cos sin ttd udu dt d udu dt =⎰⎰cos cot sin t t t ==。
~【解法二】dy dx 00cos sin ttd udud udu =⎰⎰cos sin tdt tdt =cos cot sin tt t==。
5．求下列极限： ⑴20cos limxx t dt x→⎰；【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得 200cos limxx t dt x→⎰20cos lim 1x x →=2cos 01==。
⑵02arctan limxx tdt x →⎰；【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得 02arctan limxx tdt x →⎰0arctan lim2x xx→= ---- 应用洛必达法则2011lim 2x x →+= ---- 再次应用洛必达法则 $21112102=⋅=+。
⑶22limx x x→⎰；【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得22limx x x →⎰0x →= ---- 应用洛必达法则0x →= ---- 完成求导2()'xx →= ---- 整理1=。
⑷2220020()limxt xx t e dt te dt→⎰⎰。
【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得 2220020()limxt xx t e dt te dt→⎰⎰2220202limxx t t xx d e dt e dt dx xe →⋅=⎰⎰ ---- 应用洛必达法则；222202limxt xxx e dt e xe →⋅=⎰ ---- 完成求导20x t d e dt dx⎰ 222limxt xx e dtxe →=⎰ ---- 分子分母同消去2x e222202lim2x xx x ee x e→=+ ---- 再次应用洛必达法则202lim 12x x →=+ ---- 分子分母同消去2x e 222120==+⨯。
6．当x 为何值时，函数2()xt I x te dt -=⎰有极值。
【解】由给定的函数2()xt I x te dt -=⎰可见，其定义域为(,)-∞+∞，由于2'()x I x xe -=，可得()I x 有唯一驻点0x =，无不可导点， 显见，当0x <时，'()0I x <，当0x >时，'()0I x >， 可知，函数()I x 在点0x =处取得极小值。
,7．计算下列定积分：⑴22411()x dx x +⎰； 【解】22411()x dx x +⎰321311()33x x=-33111(21)(1)332=---218=。
⑵4dx +⎰；【解】4dx +⎰1924()x x dx =+⎰3292421()32x x =+33222221(94)(94)32=-+- 21(278)(8116)32=-+-2716=。
⑶211dx x +；【解】211dx x +arctan==36ππ=-6π=。
⑷2201dx a x +；【解】2201dx a x +22111()dx x a a =+02111()xd x a a a=+ (1a=1arctan 0)a =-1a=13a π=⋅3a π=。
⑸420213311x x dx x -+++⎰； 【解】420213311x x dx x -+++⎰02211(3)1x dx x -=++⎰31(arctan )x x -=+30(1)arctan 0arctan(1)=--+--10arctan1=++14π=+。
⑹1011e dx x -+⎰；【解】1011e dx x-+⎰101(1)1e d x x -=++⎰1ln(1)e x -=+ln ln1e =-1=。
⑺240tan xdx π⎰；【解】240tan xdx π⎰240(sec 1)x dx π=-⎰40(tan )x x π=-tan44ππ=-14π=-。
—⑻240cos ()2xdx π⎰；【解】240cos ()2x dx π⎰401cos 2x dx π+=⎰41(sin )2x x π=+1(sin )244ππ=+84π=+。
⑼212x dx -⎰；【解】212x dx -⎰021022x dx x dx -=+⎰⎰0210(2)2x dx xdx -=-+⎰⎰2221x x -=-+22[0(1)](20)=---+-5=。
⑽20sin x dx π⎰；【解】20sin x dx π⎰20sin sin x dx x dx πππ=+⎰⎰20sin (sin )xdx x dx πππ=+-⎰⎰20cos cos xxπππ=-+(cos cos0)(cos 2cos )πππ=--+-(11)[1(1)]=---+--4=。
⑾；<【解】=340cos x dx π=3242cos cos ]x dx x dx πππ=+⎰⎰3242cos cos )xdx xdx πππ=-⎰⎰32402sin )xxπππ=-3sin 0)(sinsin )]242πππ=---0)(1)]2=---1=。
⑿2()f x dx ⎰，其中21, 1()1, 12x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩。
【解】2()f x dx ⎰121()()f x dx f x dx =+⎰⎰122011(1)2x dx x dx =++⎰⎰2132111()26x x x =++11(1)(81)26=++-83=。
8．设2, [0,1)(), [1,2]x x f x x x ⎧∈=⎨∈⎩，求0()()x x f t dt Φ=⎰在[0,2]上的表达式，并讨论()x Φ在(0,2)内的连续性。
【解】当0x =时，0()()0x f t dt Φ==⎰3013x x ==；当(0,1)x ∈时，0()()xx f t dt Φ=⎰20xt dt =⎰313x t =313x =； [当1x =时，1(1)()f t dt Φ=⎰120t dt =⎰311133t ==3113x x ==2111()26x x ==-；当(1,2)x ∈时，0()()xx f t dt Φ=⎰11()()xf t dt f t dt =+⎰⎰1201x t dt tdt =+⎰⎰312011132x t t =+211(1)32x =+-21126x =-， 当2x =时，2(2)()f t dt Φ=⎰121()()f t dt f t dt =+⎰⎰12201t dt tdt =+⎰⎰3122011132t t =+211(21)32=+-116=2211()26x x ==-，于是，321, [0,1)3()11, [1,2]26x x x x x ⎧∈⎪⎪Φ=⎨⎪-∈⎪⎩，由于初等函数313x 在[0,1)内连续，初等函数21126x -在(1,2]内连续，故要讨论()x Φ在(0,2)内的连续性，仅须讨论()x Φ在1x =处的连续性，由于31111lim ()lim 33x x x x --→→Φ==，211111lim ()lim()263x x x x ++→→Φ=-=， 且(1)Φ2111()26x x ==-13=，可知()x Φ在1x =处连续，、从而，()x Φ在(0,2)内连续。