2020-2021学年浙江省绍兴一中高三(上)期中考试数学(文科)试题Word版含解析
2020-2021学年浙江省绍兴一中高三（上）期中考试数学（文科）试题一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.）1．（3分）若全集U=R，集合A={x|x2﹣4≥0}，则∁U A=（）A．（﹣2，2）B．（﹣，）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）2．（3分）函数y=3﹣2sin2x的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π3．（3分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1] B．[﹣1，3] C．[﹣3，1] D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）4．（3分）对两条不相交的空间直线a和b，则（）A．必定存在平面α，使得a⊂α，b⊂αB．必定存在平面α，使得a⊂α，b∥αC．必定存在直线c，使得a∥c，b∥cD．必定存在直线c，使得a∥c，b⊥c5．（3分）若||=||=2||，则向量+与的夹角为（）A．B．C． D．6．（3分）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，满足f[f（a）]=的实数a的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．87．（3分）以BC为底边的等腰三角形ABC中，AC边上的中线长为6，当△ABC面积最大时，腰AB长为（）A．6 B．6 C．4 D．48．（3分）到两条互相垂直的异面直线距离相等的点的轨迹，被过一直线与另一直线垂直的平面所截，截得的曲线为（）A．相交直线 B．双曲线C．抛物线D．椭圆弧二、填空题（每小题4分，共28分.）9．（4分）已知f（x）=lg（2x﹣4），则方程f（x）=1的解是，不等式f（x）＜0的解集是．10．（4分）设数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，已知a1+a4+a10=27，则a5= ，S9= ．11．（4分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于．12．（4分）已知实数a＞0，且a≠1，函数f（x）=log a|x|在（﹣∞，0）上是减函数，函数的大小关系为．13．（4分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，则a+b的最小值为．14．（4分）已知F1、F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点F2到直线AF1的距离为2a，则该双曲线的离心率的取值范围是．15．（4分）边长为2的正三角形ABC内（包括三边）有点P，•=1，求•的取值范围．三、解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（8分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2cos（B﹣C）=4sinB•sinC﹣1．（1）求A；（2）若a=3，sin=，求b．17．（10分）数列{a n}满足a1=1，（n∈N+）．（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）设b n=n（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和S n．18．（10分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的正方形，点C在平面AA1B1B上的射影H恰好为A1B的中点，且CH=，设D为CC1中点，（Ⅰ）求证：CC1⊥平面A1B1D；（Ⅱ）求DH与平面AA1C1C所成角的正弦值．19．（10分）已知抛物线y2=2px，过焦点且垂直x轴的弦长为6，抛物线上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2=4，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C．（1）求抛物线方程；（2）试证线段AB的垂直平分线经过定点，并求此定点；（3）求△ABC面积的最大值．20．（10分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+bx（Ⅰ）当a=2，且f（x）是R上的增函数，求实数b的取值范围；（Ⅱ）当b=﹣2，且对任意a∈（﹣2，4），关于x的程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．2020-2021学年浙江省绍兴一中高三（上）期中考试数学（文科）试题参考答案一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.）1．（3分）若全集U=R，集合A={x|x2﹣4≥0}，则∁U A=（）A．（﹣2，2）B．（﹣，）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【分析】所有不属于A的元素组成的集合就是我们所求，故应先求出集合A．再求其补集即得．【解答】解：A={x|x≥2或x≤﹣2}，易知C∪A={x|﹣2＜x＜2}，故选A．【点评】本题考查了补集的运算、一元二次不等式，属于基础运算．2．（3分）函数y=3﹣2sin2x的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π【分析】利用降幂法化简函数y，即可求出它的最小正周期．【解答】解：∵函数y=3﹣2sin2x=3﹣2•=2+cos2x，∴函数y的最小正周期为T==π．故选：B．【点评】本题考查了三角函数的化简以及求三角函数最小正周期的应用问题，是基础题目．3．（3分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1] B．[﹣1，3] C．[﹣3，1] D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）【分析】根据直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，可得圆心到直线x﹣y+1=0的距离不大于半径，从而可得不等式，即可求得实数a取值范围．【解答】解：∵直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点∴圆心到直线x﹣y+1=0的距离为∴|a+1|≤2∴﹣3≤a≤1故选C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离不大于半径，建立不等式．4．（3分）对两条不相交的空间直线a和b，则（）A．必定存在平面α，使得a⊂α，b⊂αB．必定存在平面α，使得a⊂α，b∥αC．必定存在直线c，使得a∥c，b∥cD．必定存在直线c，使得a∥c，b⊥c【分析】根据空间直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系的性质与判定，对各个选项依次加以判别，即可得到B项是正确的，而A、C、D都存在反例而不正确．【解答】解：对于A，若两条直线a、b是异面直线时，则不存在平面α使得a⊂α且b⊂α成立，故A不正确；对于B，因为a、b不相交，所以a、b的位置关系是平行或异面：①当a、b平行时，显然存在平面α，使得a⊂α且b∥α成立；②当a、b异面时，设它们的公垂线为c，在a、b上的垂足分别为A、B．则经过A、B且与c垂直的两个平面互相平行，设过A的平面为α，过B的平面为β，则α∥β，且a、b分别在α、β内，此时存在平面α，使得a⊂α且b∥α成立．故B正确；对于C，若两条直线a、b是异面直线时，则不存存在直线c，使得a∥c且b∥c成立，故C不正确；对于D，当a、b所成的角不是直角时，不存在直线c，使得a∥c且b⊥c成立，故D不正确．综上所述，只有B项正确．故选：B【点评】本题给出空间直线不相交，要我们判定几个命题的真假性，考查了空间直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系等知识，属于基础题．5．（3分）若||=||=2||，则向量+与的夹角为（）A．B．C． D．【分析】将已知式子平方可得=0，代入向量的夹角公式可得其余弦值，结合夹角的范围可得答案．【解答】解：∵，∴，两边平方可得=，化简可得=0，设向量与的夹角为θ则可得cosθ====，又θ∈[0，π]，故θ=故选B．【点评】本题考查数量积与向量的夹角，涉及向量的模长公式，属中档题．6．（3分）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，满足f[f（a）]=的实数a的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】令f（a）=x，则f[f（a）]=转化为f（x）=．先解f（x）=在x≥0时的解，再利用偶函数的性质，求出f（x）=在x＜0时的解，最后解方程f（a）=x即可．【解答】解：令f（a）=x，则f[f（a）]=变形为f（x）=；当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1=，解得x1=1+，x2=1﹣；∵f（x）为偶函数，∴当x＜0时，f（x）=的解为x3=﹣1﹣，x4=﹣1+；综上所述，f（a）=1+，1﹣，﹣1﹣，﹣1+；当a≥0时，f（a）=﹣（a﹣1）2+1=1+，方程无解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=1﹣，方程有2解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=﹣1﹣，方程有1解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=﹣1+，方程有1解；故当a≥0时，方程f（a）=x有4解，由偶函数的性质，易得当a＜0时，方程f（a）=x也有4解，综上所述，满足f[f（a）]=的实数a的个数为8，故选D．【点评】本题综合考查了函数的奇偶性和方程的解的个数问题，同时运用了函数与方程思想、转化思想和分类讨论等数学思想方法，对学生综合运用知识解决问题的能力要求较高，是高考的热点问题．7．（3分）以BC为底边的等腰三角形ABC中，AC边上的中线长为6，当△ABC面积最大时，腰AB长为（）A．6 B．6 C．4 D．4【分析】设D为AC中点，由已知及余弦定理可求cosA=，在△ABD中，由余弦定理可求2a2+b2=144，利用配方法可得S=ah=，利用二次函数的图象和性质即可得解当△ABC面积最大时，腰AB长．【解答】解：如下图所示，设D为AC中点，由余弦定理，cosA==，在△ABD中，BD2=b2+（）2﹣2×，可得：2a2+b2=144，所以，S=ah====，所以，当a2=32时，S有最大值，此时，b2=144﹣2a2=80，解得：b=4，即腰长AB=4．故选：D．【点评】本题主要考查了余弦定理，二次函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了配方法的应用，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题．8．（3分）到两条互相垂直的异面直线距离相等的点的轨迹，被过一直线与另一直线垂直的平面所截，截得的曲线为（）A．相交直线 B．双曲线C．抛物线D．椭圆弧【分析】建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程可得，设空间内任意点设它的坐标是（x，y，z）根据它到两条异面直线的距离相等，求得z的表达式，把z=0和y=0代入即可求得轨迹．【解答】解：如图所示，建立坐标系，不妨设两条互相垂直的异面直线为OA，BC，设OB=a，P（x，y，z）到直线OA，BC的距离相等，∴x2+z2=（x﹣a）2+y2，∴2ax﹣y2+z2﹣1=0若被平面xoy所截，则z=0，y2=2ax﹣1；若被平面xoz所截，则y=0，z2=﹣2ax+1故选C．【点评】本题主要考查了抛物线的方程．考查了学生分析归纳和推理的能力．二、填空题（每小题4分，共28分.）9．（4分）已知f（x）=lg（2x﹣4），则方程f（x）=1的解是7 ，不等式f（x）＜0的解集是（2，2.5）．【分析】由f（x）=1，利用对数方程，可得结论；由f（x）＜0，利用对数不等式，即可得出结论．【解答】解：∵f（x）=1，∴lg（2x﹣4）=1，∴2x﹣4=10，∴x=7；∵f（x）＜0，∴0＜2x﹣4＜1，∴2＜x＜2.5，∴不等式f（x）＜0的解集是（2，2.5）．故答案为：7；（2，2.5）．【点评】本题考查对数方程、对数不等式，比较基础．10．（4分）设数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，已知a1+a4+a10=27，则a5= 9 ，S9= 81 ．【分析】等差数列的性质可得：a1+a4+a10=27=3a5，解得a5，再利用S9==9a5．即可得出．【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a4+a10=27=3a5，解得a5=9，∴S9==9a5=81．故答案分别为：9；81．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（4分）几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于 4 ．【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中：侧面PAB⊥底面BACD，底面为矩形ABCD．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中：侧面PAB⊥底面BACD，底面为矩形ABCD．∴该几何体的体积V==4，故答案为：4．【点评】本题考查了四棱锥的三视图及其体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．（4分）已知实数a＞0，且a≠1，函数f（x）=log a|x|在（﹣∞，0）上是减函数，函数的大小关系为g（2）＜g（﹣3）＜g（4）．【分析】由已知中函数f（x）=log a|x|在（﹣∞，0）上是减函数，我们根据复合函数的单调性，可求出a 与1的关系，进而判断出函数的奇偶性及单调区间，再根据偶函数函数值大小的判断方法，即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=log a|x|在（﹣∞，0）上是减函数，令u=|x|，则y=log a u，由u=|x|在（﹣∞，0）上是减函数，及复合函数同增异减的原则可得外函数y=log a u为增函数，即a＞1又∵函数为偶函数且函数在[0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0]上单调递减且|2|＜|﹣3|＜|4|∴g（2）＜g（﹣3）＜g（4）故答案为：g（2）＜g（﹣3）＜g（4）【点评】本题考查的知识点是指数函数单调性的应用，其中利用复合函数的单调性性质，确定底数a的取值范围是解答本题的关键．13．（4分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，则a+b的最小值为8 ．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出a+b的最小值．【解答】解：满足约束条件的区域是一个四边形，如图4个顶点是（0，0），（0，1），（，0），（2，3），由图易得目标函数在（2，3）取最大值35，即35=2ab+3∴ab=16，∴a+b≥2=8，在a=b=4时是等号成立，∴a+b的最小值为8．故答案为：8【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．14．（4分）已知F1、F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点F2到直线AF1的距离为2a，则该双曲线的离心率的取值范围是．【分析】设A点坐标为（m，n），则直线AF1的方程为（m+c）y﹣n（x+c）=0，求出右焦点F2（c，0）到该直线的距离，可得直线AF1的方程为ax﹣by+ac=0，根据A是双曲线上的点，可得b4﹣a4＞0，即可求出双曲线的离心率的取值范围．【解答】解：设A点坐标为（m，n），则直线AF1的方程为（m+c）y﹣n（x+c）=0，右焦点F2（c，0）到该直线的距离=2a，所以n=（m+c），所以直线AF1的方程为ax﹣by+ac=0，与﹣=1联立可得（b4﹣a4）x2﹣2a4cx﹣a4c2﹣a2b4=0，因为A在右支上，所以b4﹣a4＞0，所以b2﹣a2＞0，所以c2﹣2a2＞0，即e＞．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查点到直线距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．15．（4分）边长为2的正三角形ABC内（包括三边）有点P，•=1，求•的取值范围[3﹣2，5﹣] ．【分析】先建立坐标系，根据•=1，得到点P在（x﹣1）2+y2=2的半圆上，根据向量的数量积得到•=﹣x﹣y+4，设x+y=t，根据直线和圆的位置关系额判断t的范围，即可求出•的取值范围．【解答】解：以B为原点，BC所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，∵正三角形ABC边长为2，∴B（0，0），A（1，），C（2，0），设P的坐标为（x，y），（0≤x≤2，0≤y≤），∴=（﹣x，﹣y），=（2﹣x，﹣y），∴•=x（x﹣2）+y2=1，即点P在（x﹣1）2+y2=2的半圆上，∵=（﹣1，﹣）∴•=﹣x﹣y+4，设x+y=t，则直线x+y﹣t=0与圆交点，∴d=≤，解得0≤t≤2+1，当直线x+y﹣t=0过点D（﹣1，0）时开始有交点，∴﹣1=t，即t≥﹣1，∴﹣1≤t≤2+1，∴3﹣2≤4﹣t≤5﹣，故•的取值范围为[3﹣2，5﹣]．故答案为：[3﹣2，5﹣]．【点评】本题考查了数量积运算，直线和圆的位置关系，培养了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（8分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2cos（B﹣C）=4sinB•sinC﹣1．（1）求A；（2）若a=3，sin=，求b．【分析】（1）由已知利用两角和的余弦公式展开整理，cos（B+C）=﹣．可求B+C，进而可求A（2）由sin，可求cos=，代入sinB=2sin cos可求B，然后由正弦定理，可求b【解答】解：（1）由2cos（B﹣C）=4sinBsinC﹣1 得，2（cosBcosC+sinBsinC）﹣4sinBsinC=﹣1，即2（cosBcosC﹣sinBsinC）=﹣1．从而2cos（B+C）=﹣1，得cos（B+C）=﹣．…4分∵0＜B+C＜π∴B+C=，故A=．…6分（2）由题意可得，0＜B＜π∴，由sin，得cos=，∴sinB=2sin cos=．…10分由正弦定理可得，∴，解得b=．…12分．【点评】本题主要考查了两角和三角公式的应用，由余弦值求解角，同角基本关系、二倍角公式、正弦定理的应用等公式综合应用．17．（10分）数列{a n}满足a1=1，（n∈N+）．（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）设b n=n（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（I）由已知中（n∈N+），我们易变形得：，即，进而根据等差数列的定义，即可得到结论；（II）由（I）的结论，我们可以先求出数列的通项公式，进一步得到数列{a n}的通项公式a n；（Ⅲ）由（II）中数列{a n}的通项公式，及b n=n（n+1）a n，我们易得到数列{b n}的通项公式，由于其通项公式由一个等差数列与一个等比数列相乘得到，故利用错位相消法，即可求出数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）证明：由已知可得，即，即∴数列是公差为1的等差数列（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知b n=n•2nS n=1•2+2•22+3•23++n•2n2S n=1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1（10分）相减得：=2n+1﹣2﹣n•2n+1（12分）∴S n=（n﹣1）•2n+1+2【点评】本题考查的知识点是数列的递推公式及数列求各，其中（I）中利用递推公式，得到数列是等差数列并求出其通项公式是解答本题的关键．18．（10分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的正方形，点C在平面AA1B1B上的射影H恰好为A1B的中点，且CH=，设D为CC1中点，（Ⅰ）求证：CC1⊥平面A1B1D；（Ⅱ）求DH与平面AA1C1C所成角的正弦值．【分析】方法一：常规解法（I）由已知中，棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的正方形，易得CC1⊥A1B1，取A1B1中点E，可证出DE⊥CC1，结合线面垂直的判定定理可得CC1⊥平面A1B1D；（II）取AA1中点F，连CF，作HK⊥CF于K，结合（I）的结论，我们可得DH与平面AA1C1C所成角为∠HDK，解Rt△CFH与Rt△DHK，即可得到DH与平面AA1C1C所成角的正弦值．方法二：向量法（I）以H为原点，建立空间直角坐标系，分别求出向量的坐标，根据坐标的数量积为0，易得到CC1⊥A1D，CC1⊥B1D，进而根据线面垂直的判定定理得到CC1⊥平面A1B1D；（II）求出直线DH的方向向量及平面AA1C1C的法向量，代入向量夹角公式，即可求出DH与平面AA1C1C所成角的正弦值．【解答】证明：方法一：（Ⅰ）因为CC1∥AA1且正方形中AA1⊥A1B1，所以CC1⊥A1B1，取A1B1中点E，则HE∥BB1∥CC1且，又D为CC1的中点，所以，得平行四边形HEDC，因此CH∥DE，又CH⊥平面AA1B1B，得CH⊥HE，DE⊥HE，所以DE⊥CC1∴CC1⊥平面A1B1D（6分）解：（Ⅱ）取AA1中点F，连CF，作HK⊥CF于K因为CH∥DE，CF∥A1D，所以平面CFH∥平面A1B1D，由（Ⅰ）得CC1⊥平面A1B1D，所以CC1⊥平面CFH，又HK⊂平面CFH，所以HK⊥CC1，又HK⊥CF，得HK⊥平面AA1C1C，所以DH与平面AA1C1C 所成角为∠HDK（10分）在Rt△CFH中，，在Rt△DHK中，由于DH=2，（14分）方法二：（向量法）证明：（Ⅰ）如图，以H为原点，建立空间直角坐标系，则C（0，0，），C1（），A1（），B1（0，，0），所以，，∴，，因此CC1⊥平面A1B1D；（6分）解：（Ⅱ）设平面AA1C1C的法向量，由于则，得，所以（10分）又，所以（14分）【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的判定，其中方法一的关键是熟练掌握空间直线与平面关系的判定、性质及定义，方法二的关键是建立空间坐标系，将线面夹角问题转化为向量夹角的问题．19．（10分）已知抛物线y2=2px，过焦点且垂直x轴的弦长为6，抛物线上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2=4，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C．（1）求抛物线方程；（2）试证线段AB的垂直平分线经过定点，并求此定点；（3）求△ABC面积的最大值．【分析】（1）由题意，2p=6，即可得出抛物线方程为y2=6x；（2）设线段AB的中点为M（x0，y0），求出线段AB的垂直平分线的方程由此能求出直线AB的垂直平分线经过定点C（5，0）．（3）直线AB的方程为y﹣y0=（x﹣2），代入y2=6x，由此利用两点间距离公式和点到直线距离公式能求出△ABC面积的表达式，利用均值定理能求出ABC面积的最大值．【解答】（1）解：由题意，2p=6，∴抛物线方程为y2=6x．…（2分）（2）设线段AB的中点为M（x0，y0），则x0=2，y0=，k AB==．线段AB的垂直平分线的方程是y﹣y0=﹣（x﹣2），①由题意知x=5，y=0是①的一个解，所以线段AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，且点C坐标为（5，0）．所以直线AB的垂直平分线经过定点C（5，0）．…（4分）（2）由①知直线AB的方程为y﹣y0=（x﹣2），①即x=（y﹣y0）+2，②②代入y2=6x得y2=2y0（y﹣y0）+12，即y2﹣2y0y+2y02﹣12=0，③依题意，y1，y2是方程③的两个实根，且y1≠y2，所以△＞0，﹣2＜y0＜2．|AB|==．定点C（5，0）到线段AB的距离h=|CM|=．∴S△ABC=•．…（8分）（3）由（2）知S△ABC=•≤=，…（11分）当且仅当=24﹣2，即y0=所以，△ABC面积的最大值为．…（13分）【点评】本题考查直线的垂直平分线经过定点的证明，考查三角形面积的表达式的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．20．（10分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+bx（Ⅰ）当a=2，且f（x）是R上的增函数，求实数b的取值范围；（Ⅱ）当b=﹣2，且对任意a∈（﹣2，4），关于x的程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．【分析】（Ⅰ）去绝对值号得，f（x）在R上递增等价于这两段函数分别递增，从而解得；（Ⅱ），tf（a）=﹣2ta，讨论a以确定函数的单调区间，从而求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），因为f（x）连续，所以f（x）在R上递增等价于这两段函数分别递增，所以，解得，b≥2；（Ⅱ），tf（a）=﹣2ta，当2≤a≤4时，＜≤a，f（x）在（﹣∞，）上递增，在（，a）上递减，在（a，+∞）上递增，所以f极大（x）=f（）=﹣a+1，f极小（x）=f（a）=﹣2a，所以对2≤a≤4恒成立，解得：0＜t＜1，当﹣2＜a＜2时，＜a＜，f（x）在（﹣∞，）上递增，在（，）上递减，在（，+∞）上递增，所以f极大（x）=f（）=﹣a+1，f极小（x）=f（）=﹣﹣a﹣1，所以﹣﹣a﹣1＜﹣2ta＜﹣a+1对﹣2＜a＜2恒成立，解得：0≤t≤1，综上所述，0＜t＜1．【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了数形结合的数学思想，属于难题．。
2020届浙江省绍兴一中高三上学期期中数学试题解析
绝密★启用前2020届浙江省绍兴一中高三上学期期中数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．设集合{|12},{|}.A x x B x x a =<<=<若,A B ⊆则a 的范围是（ ） A ．2a ≥ B ．1a ≤ C ．1a ≥ D ．2a ≤答案：A试题分析：由,A B ⊆可知满足12x <<的数x 都在x a <内，所以2a ≥ 2．设1z i =-（i 为虚数单位），则2z z-=（ ） A ．2 B ．2iC ．2i -D ．8答案：B 把复数z 代入2z z-，然后直接利用复数代数形式的除法运算化简求值. 解：1z i =-Q22(1)1(1)21z i i i i z i∴-=--=+--=- 故选：B. 点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题. 3．若双曲线的一条渐近线为，则实数( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案：B 根据双曲线方程，可得它的渐近线方程为y=±x ，比较系数得m=4. 解：∵双曲线的方程为，∴双曲线的渐近线方程为y=±x 又∵一条渐近线方程为y=x∴m=4故选：B点评：本题给出双曲线的方程和一条渐近线方程，求参数m的值，属于基础题．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．3 B．6C．8 D．12答案：B试题分析：根据题意可知，该三视图对应的几何体是四棱柱截取了个四棱锥，那么可知四棱柱的底面是边长为2的正方形，高度为2，那么可知四棱锥的体积为地面是个矩形，长为2，宽为1，高为2，那么借助于体积公式可知为31212262-⨯⨯⨯=,故答案为B. 【考点】三视图还原几何体点评：解决的关键是对于几何体的理解和公式的准确运用，属于基础题．5．已知,x y满足404x yx yx-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y-的最小值为（）A．4 B．8 C．12 D．16答案：A作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x=，结合图象，可得最值．解：作出x、y满足404x yx yx-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所对应的可行域（如图ABCV），变形目标函数可得3y x z=-，平移直线3y x=可知，当直线经过点(2,2)A时，截距z-取得最大值，此时目标函数z取得最小值3224⨯-=.故选：A.点评：本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题． 6．随机变量X 的分布列如表所示，若1()3E X =，则(32)D X -=（ ） X1- 01P16abA ．59B ．53C ．5D ．7答案：C 由1()3E X =，利用随机变量X 的分布列列出方程组，求出13a =，12b =，由此能求出()D X ，再由(32)9()D X D X -=，能求出结果． 解： 1()3E X =Q ∴由随机变量X 的分布列得：1161163a b b ⎧++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得1312a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 2221111115()(1)(0)(1)3633329D X ∴=--⨯+-⨯+-⨯=，5(32)9()959D X D X ∴-==⨯=故选：C ． 点评：本题考查方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．数列{}n a 满足11a =，22a =，222(1cos)sin (1,2,3)22n n n n a a n ππ+=++=⋯，则22020a =（ ） A ．1010 B ．2020C ．10102D ．20202答案：C利用二倍角余弦公式，计算化简可知，偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列，代入可求2020a . 解：2221cos 1cos (1cos )sin (1)2222n n n n n n n a a a ππππ++-=++=++Q ∴当n 为偶数时，22n n a a +=，即偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列，101020202a ∴=.故选：C. 点评：本题考查了二倍角余弦公式的应用，由数列递推公式求通项公式，属于基础题. 8．若正数,x y 满足20x y xy +-=，则32x y+的最大值为（ ）A ．13B ．38C ．37D ．1答案：A根据条件可得出2x >，212y x =+-，从而33222(2)52x y x x =+-++-，再根据基本不等式可得出3123x y ≤+，则32x y +的最大值为13.解：0x Q >，0y >，20x y xy +-=，2122x y x x ∴==+--，0x >， 333222212(2)522x y x x x x ∴==+++-++--，22(2)5592x x -++≥=-Q ， 当且仅当122x x -=-，即3x =时取等号， 31232(2)52x x ∴≤-++-，即3123x y ≤+，32x y ∴+的最大值为13.故选：A. 点评：本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算和推理能力，属于中档题. 9．已知关于x-=k 的取值范围（ ） A ．3(0,)4B ．3(,1]4C ．5(,1]12D ．53(,)124答案：B将方程变形，转化成两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合法，求出k 的取值范围. 解：-=得2(1)[1,1))k x x +-=∈-，方程有两个解等价于直线2(1)y k x =+-与半圆y =点，易知直线过定点(1,2)，如图所示，两个极端情况：“一切”，“一交”，直线与半圆相切时，由2211kk-+=+得34k=，直线与半圆交两个点时，过点(1,0)-，此时1k=，所以3(,1]4k∈.故选：B.点评：本题考查了直线与圆的位置关系，将方程的解的个数转化为直线与半圆的交点个数问题是本题的解题关键，属于中档题.10．已知ABCV中，AC BC≥，D E、分别是AC BC、的中点，沿直线DE将CDE△翻折成C DE'V，设1C DAθ'∠=，2C EBθ'∠=，二面角C DE A'--的平面角为3θ，则（）A．123θθθ≥≥B．132θθθ≥≥C．213θθθ≥≥D．312θθθ≥≥答案：A过C作AB（或其延长线）的垂线，垂足为H，交DE（或其延长线于G），找出二面角C DE A'--的平面角3θ，连接C C'，在C GC'V，C DC'V，C EC'V中，由已知结合三角形的边角关系可得C DC C EC C GC'''∠≤∠≤∠，从而得到123θθθ≥≥．解：过C作AB（或其延长线）的垂线，垂足为H，交DE（或其延长线于G），则C GH'∠为二面角C DE A'--的平面角为3θ，1C DAθ'∠=，2C EBθ'∠=，连接C C'，在C GC'V，C DC'V，C EC'V中，C C C C''=Q,CD CE CG≥≥，C D C E C G'''≥≥，则C DC C EC C GC'''∠≤∠≤∠，123θθθ∴≥≥.故选：A．点评：本题考查二面角的平面角及其求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．二、填空题11．现有一根7节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则公差为______，这7节竹子中最小容积为______升.答案：16；12.设最上面一节的容积为1a，每节的容积自上而下组成等差数列{}n a，公差为d，由题意可得：12343a a a a+++=，5674a a a++=，解出再利用求和公式即可得出．解：设每节的容积自上而下组成等差数列{}n a，公差为d，由题意可得：123456734a a a aa a a+++=⎧⎨++=⎩，即114633154a da d+=⎧⎨+=⎩，解得11216ad⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由公差106d =>，知该数列是递增数列，则最小项为112a =， 所以该数列公差为16，这7节竹子中最小容积为12.故答案为：16；12.点评：本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．已知函数2235,4()log (4),4x x f x x x -⎧-<=⎨+≥⎩，若()4f m =，则(())f f m =_____，(10)f m -=_____.答案：3； 4-.分类讨论，求出m 的值，进而求出(())f f m ，(10)f m -的值. 解：2235,4()log (4),4x x f x x x -⎧-<=⎨+≥⎩Q ，若()4f m =，则2439m m -<⎧⎨=⎩，或24log (4)4m m ≥⎧⎨+=⎩，44m m <⎧∴⎨=⎩或412m m ≥⎧⎨=⎩，则12m =，2(())(4)log 83f f m f ∴===， 22(10)(2)354f m f --==-=-点评：本题考查了分段函数已知函数值，求自变量的问题，注意对m 的值进行分类讨论，属于基础题.13．已知3()(1)x a x ++展开式中所有项的系数之和为2-，则a =_____，2x 项的系数为_____.答案：2-； 6.利用赋值法，先求出a 的值，再把3()(1)x a x ++按照二项式定理展开，可得结论． 解：令1x =可得3()(1)x a x ++展开式中所有项的系数之和为32(1)2a +=-，11a ∴+=-，则2a =-，3333()(1)(2)(1)(2)(2)x a x x x x x x ∴++=-+=-+-故2x 项的系数为221133(2)(2)6C C -+-= 故答案为：2-；6． 点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则cos A =_____，ABC V 的面积是______.答案：2；（1）由已知结合正弦定理可求sin A ，结合同角平方关系及余弦定理判断cos A 的符号，可求解cos A ；（2）由已知及余弦定理可求bc ，然后代入三角形的面积公式即可求解． 解：ABC V 中，sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，由正弦定理得，sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C += 1sin 2A ∴=， 又2228b c a +-=，及余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，知cos 0A >，cos A ∴=bc =，ABC ∴V 的面积为111sin 222ABC S bc A ===V .3.点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．15．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，1210F F =，P 是y轴正半轴上一点，1PF 交椭圆于点A ，若21AF PF ⊥，且2APF V 的内切圆半径为22，则椭圆的离心率是______. 答案：53. 由题意，直角三角形的内切圆半径22r =可得21222AF AF -=，结合1210F F =，从而可求得12322AF AF a +==，即可求得椭圆的离心率.解：由题意，直角三角形的内切圆半径2221212222PA AF PF PA AF PF AF AF r +-+--====212AF AF ∴-= 1210F F =Q 221210AF AF ∴+=，1228AF AF ∴⋅=， 212()18AF AF ∴+=，12322AF AF a ∴+==，122F F c ==Q∴椭圆的离心率是3c e a ===．点评：本题考查椭圆的定义及离心率，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 16．某中学安排,,,A B C D 四支小队去3所不同的高校参观，上午每支小队各参观一所高校，下午A 小队有事返回学校，其余三支小队继续参观.要求每支小队上下午参观的高校不能相同，且每所高校上午和下午均有小队参观，则不同的安排有_____种. 答案：72.本题属于分组分配问题，可按上午参观时A 是否与其他小队分在一组进行讨论，分上下午两步安排参观，即可得出答案. 解：若A 与B 、C 、D 中的某一支小队分在一组，上午有1333C A ⋅种参观方法， 下午参观时B 、C 、D 三支小队不去各自上午参观的高校，有2种方法， 故有1333236C A ⋅⋅=种；若B 、C 、D 中某两支队分在一组，上午有2333C A ⋅种参观方法， 下午再安排时，也有2种方法， 故有2333236C A ⋅⋅=种. 所以一共有363672+=种. 故答案为：72. 点评：本题考查考查分组分配问题，注意其中的分类分步，属于中档题.17．如图，已知Rt AOC V 的斜边2AC =，以AC 为直角边作等腰直角三角形ABC ，使,O B 位于AC 两侧，,P Q 分别是,AC AB 中点，则||OP OQOQ ⋅u u u r u u u r u u u r 的取值范围是______.答案：22. 以点C 为坐标原点，CA 、CB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系.由题知，点O在以AC 为直径的半圆上，将||OP OQOQ ⋅u u u r u u u r u u u r 表示为数量积的坐标运算，结合y 的范围，即可求解. 解：以点C 为坐标原点，CA 、CB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，2AC =Q ，ABC V 为等腰直角三角形，则2BC =(2,0)A ∴，(0,2)B又Q ,P Q 分别是,AC AB 中点，(1,0)P ∴，()1,1Q ，由Rt AOC V 知，点O 在以AC 为直径的下半圆上，∴设(,)O x y ，则22(1)1(10)x y y -+=-≤<，(1,)OP x y ∴=--u u u r ，(1,1)OQ x y =--u u u r，则22||(1)(1)OP OQ OQ x y ⋅=-+-u u u r u u u ru u u r 2222(1)21x y y =-+-+22y=-2=[1,0)y ∈-Q (1(,1]2||OP OQ OQ ⋅∴∈u u u r u u u r u u u r故答案为：(2点评：本题考查了平面向量数量积的坐标运算，圆的轨迹方程，其中根据题意建立适当的直角坐标系是本题解题的关键，属于较难题.三、解答题18．已知函数()cos (sin cos )f x x m x x =+，且满足14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求m 的值； （2）若0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值和最小值，并求出相应的x 的值.答案：（1）1m =；（2）最大值为12，此时8x π=，最小值为1，此时0x =或4π.（1）直接将4x π=代入解析式，解出m 的值即可；（2）利用二倍角公式及辅助角公式，化简已知函数，结合正弦函数的单调性，求出最值及对应的x 的值即可. 解：解：（1）由14f π⎛⎫=⎪⎝⎭，得1222m +=， 1m ∴= ；（2）()cos (sin cos )f x x x x =+11cos 2sin 222x x +=+21sin(2)242x π=++ [0,]4x π∈Q ，32[,]444x πππ∴+∈则当244x ππ+=或34π时，()f x 取得最小值1， 当242x ππ+=时，()f x 取得最大值212+， 故()f x 的最大值为21+，此时8x π=，()f x 的最小值为1，此时0x =或4π. 点评：本题考查了三角函数恒等变换，三角函数解析式的求法，三角函数最大值和最小值的求法，属于基础题.19．如图，多面体P ABCD -中，//AB CD ，90BAD PAB ︒∠=∠=，12AB PA DA PD DC ====，2PM MB =u u u u r u u u r .（1）求证：PA CD ⊥；（2）求直线PC 与平面CDM 所成角的正弦值. 答案：（1）见解析；（2105. （1）可通过线面垂直来证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值． 解：（1）由90BAD PAB︒∠=∠=知AB AD⊥,AB AP⊥，又AD AP A=Q I，AB∴⊥平面PAD，则由//AB CD，知CD⊥平面PAD，PA⊂Q平面PADPA CD∴⊥；（2）设122AB PA DA PD DC=====，以点D为原点，DP、DC所在直线分别为x轴、z轴，建系如图，则(0,0,0)D，3,0)A，(2,0,0)P，3,2)B，(0,0,4)C，由2PM MB=u u u u r u u u r解得4234(,)333M设平面CDM的一个法向量为(,,)m x y z=u r(0,0,4)DC=u u u r，434(,)333DM=u u u u r，则由m DCm DM⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vvu u u u vv得40423433zx y z=⎧⎪⎨+=⎪⎩取(3,2,0)m=-u r，又(2,0,4)PC=-u u u r，设直线PC与平面CDM所成角为θ，则sin cos,m PCθ=<>u r u u u rm PCm PC⋅=u r u u u ru r u u u r==故直线PC 与平面CDM. 点评：本题考查空间中直线与直线、直线与平面的垂直关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，考查了利用空间向量求线面角的正弦值，是中档题． 20．已知数列{}n a 满足()*1112,2n n n n na a a n n N a a -+-=≥∈-且1231a a ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对任意*n N ∈，都有2n nna λ≥恒成立，求实数λ的最小值. 答案：（1）1()21n a n N n *=∈-；（2）158. （1）利用倒数法，构造数列1{}na ，通过等差中项证得其为等差数列，求出其通项，进而求出{}n a 的通项公式；（2）结合第（1）题的结论，将不等式等价变形，构造新数列.通过解不等式组，找出该数列的最大的项，进而得到λ的取值范围. 解：解：（1）()*1112,2n n n n na a a n n N a a -+-=≥∈-Q 11112121n n n n n n n a a a a a a a -+---∴==-， 即11112(2,)n n n n n N a a a *+-+=≥∈ 1{}na ∴是等差数列，又1231a a ==，即111a =，213a =，1{}n a ∴的公差2d =，112(1)21nn n a ∴=+-=- 1()21n a n N n *∴=∈-； （2）由（1）知1021n a n =>- 则2n n n a λ≥等价于(21)22n n nn n n a λ-≥= 设(21)2n nn n b -=，则max ()n b λ≥ 由11n n n n b b b b -+≥⎧⎨≥⎩即11(21)(1)(23)22(21)(1)(21)22n n n n n n n n n n n n -+---⎧≥⎪⎪⎨-++⎪≥⎪⎩，解得：9944n n n ⎧+≤≤⎪⎪⎨⎪≤≥⎪⎩又n N *∈Q3n ∴=，则max 333(231)15()28n b b ⨯⨯-===，158λ∴≥， 故λ的最小值为158. 点评：本题考查了由等差中项判断等差数列，求数列的最大项，其中构造新的数列是解题的关键，属于中档题.21．已知F 是抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，M 是抛物线C 上一点过,,M F O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为32.（1）求抛物线C 的方程；（2）若点M 的横坐标为4，过F 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，直线l 与圆Q 交于点,E F ，且点E 的横坐标大于4，求当||||AB EF ⋅取得最小值时直线l 的方程.答案：（1）24x y =；（2）7411y x -=+. （1）由抛物线方程知(0,)2p F ，知圆心Q 在线段OF 的中垂线4py =上，点Q 到 准线2py =-的距离为32，则可求出p 的值，进而求得抛物线C 的标准方程； （2）由题意设出直线方程1y kx =+，分别在抛物线和圆Q 中求出弦长AB 和EF ，将||||AB EF ⋅表示成关于k 的函数()f k ，且由点E 的横坐标大于4可得出k 的取值范围3(1,)4-，利用导函数分析函数()f k 在3(1,)4-上的单调性，求出其取得最小值时k 的值，进而求出直线l 的方程. 解：解：（1）由题意可知(0,)2p F ， 过,,M F O 三点的圆的圆心Q 应在线段OF 的中垂线4py =上， 又因为点Q 到准线2py =-的距离为32， 解得2p =，故所求抛物线的方程为：24x y =；（2）Q 过F 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点,A B∴直线l 的斜率存在，设l 为：1y kx =+由214y kx x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx --=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y由韦达定理得121244x x kx x +=⎧⎨=-⎩故焦点弦12AB y y p =++12112kx kx =++++12()4k x x =++ 24(1)k =+Q 圆Q 过点(4,4)M ，(0,1)F 及点(0,0)O ，∴可求得圆Q 的方程为227125()()222x y -+-=由2217125()()222y kx x y =+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩得22(1)(7)0k x k x ++-=，(0,1)F ∴，22771(,)11k k E k k -+++ ， Q 点E 的横坐标大于4，2741k k -∴>+，解得314k -<<则EF ==2||||4(1)AB EF k ∴⋅=+=设22()(1)(7)f k k k =+-22()2(7)(1)2(7)(1)f k k k k k '=-++⋅-⋅- 22(7)(271)k k k =--+令()0f k '=，得74k ±=或7k =， 又3(1,)4k ∈-Q ()f x ∴在7(1,4--单调递减，73()44-单调递增，故min 7()(4f k f -=即当k =时，AB EF ⋅取得最小值， 故所求直线l的方程为：714y x =+. 点评：本题考查了抛物线标准方程的求法，抛物线的焦点弦长公式，直线与圆相交的弦长的求法，考查了利用导函数求函数的最值问题，注意化归转化思想的应用，是一道综合性较强的题.22．已知函数()2ln f x x ax =+，2()12()g x x f x =+-. （1）讨论函数()f x 在[4,)+∞上的单调性； （2）若()g x有唯一零点，证明：16a <<. 答案：（1）0a ≥时，函数()f x 在[4,)+∞上单调递增； 12a ≤-时，函数()f x 在[4,)+∞上单调递减；102a -<<时，函数()f x 在2[4,)a -上单调递增，在2(,)a -+∞上单调递减；（2）见解析.（1）先求导，然后根据a 的取值范围对()f x '符号的影响进行讨论，进而确定函数的单调性；（2）通过求导，求得()0g x '=的根0x ，函数()g x 在0(0,)x 单调递减，0(,)x +∞单调递增，由()g x 有唯一零点知，0()0g x =. 联立求得0x 满足的方程2004ln 50x x +-=，利用导函数求出0x 的范围，再由002a x x =-得出a 的范围，从而命题得证. 解：解：（1）由题意，22()ax f x a x x+'=+=，定义域为：(0,)+∞若0a =，则2()0f x x'=>恒成立， 故()f x 在[4,)+∞上单调递增，若0a ≠，令()0f x '=，得2x a =-， ①当0a >，即20a-<时，()0f x '>， 则()f x 在[4,)+∞上单调递增， ②当12a ≤-，即24a-≤时，()0f x '≤， 则()f x 在[4,)+∞上单调递减， ③当102a -<<，即24a ->时， ()f x 在2[4,)a -上单调递增，在2(,)a-+∞上单调递减， 综上所述，0a ≥时，函数()f x 在[4,)+∞上单调递增，12a ≤-时，函数()f x 在[4,)+∞上单调递减， 102a -<<时，函数()f x 在2[4,)a -上单调递增，在2(,)a -+∞上单调递减； （2）证明：由题意，2()14ln 2g x x x ax =+--， 242(2)()22x ax g x x a x x--'=--=，令()0g x '=，解得0x =是唯一的变号正根， 且20020x ax --=①当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，min 0()()g x g x ∴=，要使()g x 有唯一零点，只需0()0g x =，即200014ln 20x x ax +--=②由①②可知，2004ln 50x x +-=，令2000()4ln 5h x x x =+-，显然0()h x 在(0,)+∞上单调递增，393311()4ln 54ln 24224h =+-=-Q, 31ln 22<=， 3111()40224h ∴<⨯-<又352ln 320h =+=->03(2x ∴∈ 由①知002a x x =-，其在3(2上单调递增，32322a ∴-<<即16a <<得证. 点评：本题考查了利用导函数判断函数单调性，求函数的最值，函数零点所在区间的判断问题，注意分类讨论思想，转化和化归思想的应用.。
浙江省绍兴市数学高三上学期文数期中考试试卷
浙江省绍兴市数学高三上学期文数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞log2x，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（）A . p∨q是假命题B . p∨（￢q）是假命题C . p∧q是真命题D . p∧（￢q）是真命题2. （1分） (2020高一上·瑞安月考) 已知集合满足，则有满足条件的集合的个数是（）A . 6B . 7C . 8D . 93. （1分）已知， O是坐标原点，则等于（）A .B .C .D .4. （1分）若函数y=f(x)的值域是，则函数的值域是（）A .B .C .D .5. （1分）下列函数中，在区间上为增函数的是（）A .B .C .D .6. （1分）函数的值域是（）A . [2,8]B .C .D .7. （1分） (2016高一上·上杭期中) 已知f（x）= ，若函数f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是（）A . （1，3）B . （1，2）C . [2，3）D . （1，2]8. （1分） (2016高一下·新疆期中) 已知{an}为等差数列，且a7﹣2a4=﹣1，a3=0，则公差d=（）A . ﹣2B . ﹣C .D . 29. （1分） (2018高一下·湖州期末) 在中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若，，则A .B .C .D .10. （1分） (2017高一下·景德镇期末) 函数f（x）=（kx+4）lnx﹣x（x＞1），若f（x）＞0的解集为（s，t），且（s，t）中只有一个整数，则实数k的取值范围为（）A . （﹣2，﹣）B . （﹣2，﹣ ]C . （﹣，﹣1]D . （﹣，﹣1）11. （1分） (2018高三上·湖南月考) 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）A . 向左平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向右平移个单位长度12. （1分）(2019·大连模拟) 函数的最小正周期是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一下·汕头期末) 设变量满足约束条件则目标函数的最大值为________.14. （1分） (2018高三上·广东月考) 已知向量，若且方向相反，则________.15. （1分） (2020高一下·南宁期中) 在数列中，，，则 ________.16. （1分） (2018高一下·福州期末) 设函数（其中、、、为非零实数），若，则的值是________．三、解答题 (共5题；共12分)17. （2分） (2018高二上·武邑月考) 已知命题p：命题q：1－m≤x≤1＋m ，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18. （2分） (2019高一下·衢州期中) 已知，，求：（1）的值；（2）的值.19. （3分） (2019高二上·吉林月考) 在数列{an}中，已知a1＝1＋，且，n∈N*.（1）记bn＝(an－1)2 ，n∈N* ，证明数列{bn}是等差数列；（2）设{bn}的前n项和为Sn ，证明 .20. （2分） (2018高三上·福建期中) 函数 .(I)求的单调区间；(II)若，求证： .21. （3分） (2019高一上·罗庄期中) 函数，且，．（1）求的定义域，判断奇偶性；（2）若，求使得成立的x的集合．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共12分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：。
2020-2021绍兴市绍兴一初高中必修一数学上期中试题带答案
2020-2021绍兴市绍兴一初高中必修一数学上期中试题带答案一、选择题1．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭3．f (x)＝－x 2＋4x ＋a ，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( ) A ．－1B ．0C ．1D ．24．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③5．设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，6．对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式[][]2436450x x -+<成立的x 的取值范围是（ ） A ．315,22⎛⎫⎪⎝⎭ B ．[]28, C ．[)2,8 D ．[]2,77．若函数()(),1231,1xa x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭8．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >> B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>9．函数()111f x x =--的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数21(1)()2(1)a x x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-11．已知函数21,0,()|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩若函数()y f x a =-有四个零点1x ，2x ，3x ，4x ，且12x x <3x <4x <，则312342()x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．(1,0)-C ．(0,1]D ．[1,0)-12．函数()(1)f x x x =-在[,]m n 上的最小值为14-，最大值为2，则n m -的最大值为（ ） A ．52B ．5222+C ．32D ．2二、填空题13．设25a b m ==,且112a b+=,则m =______. 14．已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______． 15．设函数21()ln(1||)1f x x x=+-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是_____.16．函数()12x f x -的定义域是__________． 17．如果关于x 的方程x 2+（m -1）x -m =0有两个大于12的正根，则实数m 的取值范围为____________.18．已知()32,,x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a的取值范围是________．19．定义在[3,3]-上的奇函数()f x ，已知当[0,3]x ∈时，()34()x x f x a a R =+⋅∈，则()f x 在[3,0]-上的解析式为______．20．关于函数()f x =__________.①()f x 的定义域为[)(]1,00,1-U ；②()f x 的值域为()1,1-；③()f x 的图象关于原点对称；④()f x 在定义域上是增函数.三、解答题21．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x （x N *∈）件.当20x ≤时，年销售总收人为（233x x -）万元；当20x >时，年销售总收人为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元.(年利润=年销售总收入一年总投资) (1)求y (万元)与x (件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少? 22．已知集合A={x|x ＜-1，或x ＞2}，B={x|2p-1≤x≤p+3}． （1）若p=12，求A∩B； （2）若A∩B=B，求实数p 的取值范围．23．近年来，雾霾日趋严重，雾霾的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题，某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律，每生产该型号空气净化器x （百台），其总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()Q x （万元）满足20.522,016(){224,16x x x Q x x -+≤≤=>，假定该产品销售平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入-总成本）； （2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？24．有一种候鸟每年都按一定的路线迁陟，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数301log lg 2100x v x =-，单位是min km ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（参考数据：lg 20.30=， 1.23 3.74=， 1.43 4.66=）（1）若02x =，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少min km ？（2）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（3）若雄鸟的飞行速度为2.5min km ，雌鸟的飞行速度为1.5min km ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？25．设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角. （1）证明：2B A π-=； （2）求sin sin A C +的取值范围.26．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()f x =1()2x．①求函数()f x 的解析式；②画出函数的图象，根据图象写出函数()f x 的单调区间．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.2．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.3．C解析：C 【解析】因为对称轴2[0,1]x =∉，所以min max ()(0)2()(1)31f x f a f x f a ===-∴==+= 选C.4．C解析：C 【解析】 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．5．D解析：D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.6．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】分析：先解一元二次不等式得315[]22x <<，再根据[]x 定义求结果. 详解：因为[][]2436450x x -+<，所以315[]22x <<因为[][]2436450x x -+<，所以28x ≤<, 选C.点睛：本题考查一元二次不等式解法以及取整定义的理解，考查基本求解能力.7．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >， 且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34a ≤， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦. 本题选择C 选项. 【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．8．A解析：A 【解析】由0.50.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，所以a c b >>，故选A .9．B解析：B 【解析】 【分析】 把函数1y x=先向右平移一个单位，再关于x 轴对称，再向上平移一个单位即可. 【详解】 把1y x = 的图象向右平移一个单位得到11y x =-的图象， 把11y x =-的图象关于x 轴对称得到11y x =--的图象，把11 yx=--的图象向上平移一个单位得到()111f xx=--的图象，故选：B.【点睛】本题主要考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力，属于中档题.10．C解析：C【解析】x⩽1时,f(x)=−(x−1)2+1⩽1，x>1时,()()21,10a af x x f xx x=++'=-…在(1,+∞)恒成立，故a⩽x2在(1,+∞)恒成立，故a⩽1，而1+a+1⩾1，即a⩾−1，综上,a∈[−1,1]，本题选择C选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f(x1)－f(x2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．11．C解析：C【解析】作出函数函数()21,0,|log,0,x xf xx x⎧+≤⎪=⎨⎪⎩的图象如图所示，由图象可知，123442,1,12x x x x x+=-=<≤，∴()312334422222x x x xx x x++=-+=-+，∵422yx=-+在412x<≤上单调递增，∴41021x<-+≤，即所求范围为(]0,1。
浙江省绍兴市高三上学期期中数学试卷
浙江省绍兴市高三上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共15分)1. （1分）若全集U=R，A={x|x＞2}，B={x|x＞5}，则A∩∁UB=________2. （1分） (2015高一下·沈阳开学考) 函数y=lg（3﹣4x+x2）的定义域为M，当x∈M时，则f（x）=2x+2﹣3×4x的最大值为________．3. （1分） (2016高二上·马山期中) 关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|﹣＜x＜ }，则a+b=________．4. （1分）(2017·厦门模拟) 已知cosθ=﹣，θ∈（π，2π），则sin +cos =________．5. （1分）(2017·杭州模拟) 设a，b，c为正数，且a+ + =1．则3a2+2bc+2ac+3ab的最大值为________．6. （1分） (2016高三上·珠海模拟) 已知函数f（x）是定义在R上的周期为4的奇函数，当0＜x＜2时，f （x）=4x ，则f（﹣）+f（2）=________．7. （1分） (2019高一下·上海月考) 已知，则 ________.8. （1分） (2015高三上·上海期中) 函数f﹣1（x）是函数f（x）=2x﹣3+x，x∈[3，5]的反函数，则函数y=f（x）+f﹣1（x）的定义域为________．9. （1分）已知sinx=a，x∈（，π），用反正弦函数表示x，则x=________10. （1分） (2017高一下·乌兰察布期末) 求函数f（x）=sinx﹣ cosx的单调区间________．11. （2分） (2019高一上·宁波期中) 已知函数，把的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，得到的图象，则的解析式为________；的递减区间为________.12. （1分）已知函数f（x）= ，关于f（x）的叙述①最小正周期为2π②有最大值1和最小值﹣1③对称轴为直线④对称中心为⑤在上单调递减其中正确的命题序号是________．（把所有正确命题的序号都填上）13. （1分） (2015高二下·黑龙江期中) 给出下列5种说法：①标准差越小，样本数据的波动也越小；②回归分析研究的是两个相关事件的独立性；③在回归分析中，预报变量是由解释变量和随机误差共同确定的；④相关指数R2是用来刻画回归效果的，R2的值越大，说明回归模型的拟合效果越好．⑤对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握越小．其中说法正确的是________（请将正确说法的序号写在横线上）．14. （1分）(2019·湖州模拟) 我国古代某数学著作中记载了一个折竹抵地问题：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何？”意思是：有一根竹子（与地面垂直），原高二丈（1丈=10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离为六尺，则折断处离地面的高为________尺．二、选择题 (共4题；共8分)15. （2分）已知是直线，是平面，且，则“”是“”的（）A . 必要不充条件B . 充分不必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件16. （2分）已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是（）A . a>c>b>dB . a>b>c>dC . c>d>a>bD . c>a>b>d17. （2分）若函数f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且满足f（x）+g（x）=ex ，则下列结论正确的是（）A . f（x）=且0＜f（1）＜g（2）B . f（x）=且0＜f（1）＜g（2）C . f（x）=且g（2）＜f（1）＜0D . f（x）=且g（2）＜f（1）＜018. （2分） (2016高一上·烟台期中) 函数f（x）=2 的大致图象为（）A .B .C .D .三、解答题 (共5题；共40分)19. （5分） (2016高二上·呼和浩特期中) 解不等式|x﹣2|+|x﹣4|＞6．20. （10分） (2018高一上·海安月考) 如图，在海岸A处，发现南偏东45°方向距A为(2 －2)海里的B处有一艘走私船，在A处正北方向，距A为海里的C处的缉私船立即奉命以10 海里/时的速度追截走私船．（1）刚发现走私船时，求两船的距离；（2）若走私船正以10 海里/时的速度从B处向南偏东75°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(精确到分钟，参考数据：≈1.4，≈2.5)．21. （10分） (2016高一上·延安期中) 已知函数f（x）= ．（1）求f（﹣3），f（4），f（f（﹣2））的值；（2）若f（m）=8，求m的值．22. （10分） (2019高一上·思南期中) 已知函数且 ,（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由．23. （5分） (2018高一上·佛山月考) 已知函数，记不等式的解集为 ,记函数的定义域为集合 .（Ⅰ）求集合和（Ⅱ）求和 .参考答案一、填空题 (共14题；共15分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、选择题 (共4题；共8分)15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共5题；共40分) 19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。
浙江省绍兴市绍兴一中学年第一学期高三数学期中考试试卷 文【会员独享】
绍兴一中高三数学期中考试试题卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知全集U=R ，集合A ＝}01{≤+xx x，则集合A C U 等于 （ ） A. }01{>-<x x 或 B. }01{>-≤x x 或 C. }01{≥-<x x 或 D. }01{≥-≤x x 或 2．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，()2x f x =，则)2(-f 等于（ ）A ．14 B ．4- C ．41- D ．4 3．已知z =ii31+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上所对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．关于直线a 、b 、l 及平面α、β，下列命题中正确的是 （ ） A ．若a ∥α，b ∥β，则a ∥b B ．若a ∥α，b ⊥a ，则b ⊥α C ．若a ⊂α，b ⊂α，且l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥α D ．若a ⊥α，a ∥β，则α⊥β 5.已知xy d y x c y b x a y x =+===<<,21,,,0,则它们的大小关系为（ ） A.a c d b <<< B.b c d a <<< C.b d c a <<< D.a c b d <<<6．已知一个空间几何体的三视图如图1所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸 (单位:cm )，可得这个几何体的体积是（ ） A ．πcm 3B ．34πcm 3C ．35πcm 3 D ．2π cm37. 在△ABC 中，角A 、 B 、 C 所对的边分别为,,a b c 若2cos a B c =，则-212cos sin 2AB ++的取值范围是 （ ）A．[ B．(1- C． D．8．有两盒写有数字的卡片，其中一个盒子装有数字1，2，3，4，5各一张，另一个盒子 装有数字2，3，6，8各一张，从两个盒子中各摸出一张卡片，则摸出两张数字为相邻整 数卡片的概率是 （ ）俯视图图190807060500.040.030.020.01图2A ．14 B ．15 C ．310D ．7209.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T ，且TF 与x 轴垂直，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B C ．2 D 110．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足3()()2f x f x -=，(2)3f -=-，数列{}n a 满足11a =-，且2n n S a n =+，（其中n S 为{}n a 的前n 项和）。
浙江省绍兴市高三上学期期中数学试卷
浙江省绍兴市高三上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合，则（）A . (1,2)B . [1,2)C . (1,2]D . [1,2]2. （2分） (2015高一下·河北开学考) 函数f（x）= +lg（x+1）的定义域为（）A . （﹣1，1）B . （﹣1，+∞）C . （1，+∞）D . （﹣∞，1）3. （2分）定义域为R的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，当时，，则等于（）A . -2B . 0C . 1D . 24. （2分） (2016高二上·临漳期中) 设等比数列{an}的公比为q，其前n项之和为Sn ，前n项之积为Tn ，并且满足条件：a1＞1，a2016a2017＞1，＜0，下列结论中正确的是（）A . q＜0B . a2016a2018﹣1＞0C . T2016是数列{Tn}中的最大项D . S2016＞S20175. （2分）已知为的导数，且，则（）A . -B .C .D . -6. （2分） (2016高二下·马山期末) 函数f（x）=x3﹣3x2+1是减函数的区间为（）A . （2，+∞）B . （﹣∞，2）C . （﹣∞，0）D . （0，2）7. （2分）(2018·临川模拟) 《九章算术》有这样一个问题；今有女子善织，日增等尺，七日织三十五尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十八尺，问第六日所织尺数为（）A .B .C .D .8. （2分） (2015高二下·霍邱期中) 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V乙（如图所示）．那么对于图中给定的t0和t1 ，下列判断中一定正确的是（）A . 在t1时刻，甲车在乙车前面B . t1时刻后，甲车在乙车后面C . 在t0时刻，两车的位置相同D . t0时刻后，乙车在甲车前面9. （2分）设f(x)为定义在R上的奇函数，当时，(m为常数)，则（）A . 3B . 4C . -4D . -310. （2分） (2018高一下·佛山期中) 设数列的前项和为，若为常数，则称数列为“吉祥数列”．已知等差数列的首项为，公差不为，若数列为“吉祥数列”，则数列的通项公式为（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高一上·河北月考) 某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过元，则不给于优惠；②如果超过元但不超过元，则按标价给予折优惠；③如果超过元，其元内（含元）的部分按第②条给予优惠，超过元的部分给予折优惠．某人两次去购物，分别付款元和元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款是（）．A . 元B . 元C . 元D . 元12. （2分） (2017高二上·长沙月考) 若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）设全集I＝{x||x|＜4且x∈Z}，S＝{－2,1,3}，若∁IP⊆S，则这样的集合P共有________个．14. （1分） (2017高二下·临沭开学考) 曲线y=ex+2在P（0，3）处的切线方程是________．15. （1分）(2017高二上·如东月考) 在等比数列中，，则能使不等式成立的最大正整数是________.16. （1分） (2018高一上·扬州月考) 若，则 ________．三、解答题 (共14题；共68分)17. （15分） (2016高一下·右玉期中) 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x﹣1．（1）求f（x）的函数解析式，并用分段函数的形式给出；（2）作出函数f（x）的简图；（3）写出函数f（x）的单调区间及最值．18. （10分） (2017高三下·西安开学考) 已知数列{an}的前n项和为构成数列{bn}，数列{bn}的前n项和构成数列{cn}．若，则（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{cn}的通项公式．19. （10分） (2019高一上·镇海期中) 定义在上的函数满足，且当时，．（1）求当时，的解析式；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．20. （10分） (2019高三上·浙江月考) 设函数（1）当时，若是函数的极值点，求证：；（2）（i）求证：当时，；（ii）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.注：e=2.71828...为自然对数的底数.21. （2分）极坐标方程3ρsin2θ+cosθ=0表示的曲线是（）A . 抛物线B . 双曲线C . 椭圆D . 圆22. （2分）在极坐标系中，曲线C：ρ=2sinθ，A、B为曲线C的两点，以极点为原点，极轴为x轴非负半轴的直角坐标中，曲线E：上一点P，则∠APB的最大值为（）A .B .C .D .23. （1分）曲线C：（α为参数），若以点O（0，0）为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是________24. （1分）在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，设曲线C：（α为参数），直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4．点P为曲线C上的一动点，则P到直线l的距离最大时的极坐标为________．25. （5分）已知定点O（0，0），A（3，0），动点P到定点O距离与到定点A的距离的比值是．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；（Ⅱ）当λ=4时，记动点P的轨迹为曲线D．F，G是曲线D上不同的两点，对于定点Q（﹣3，0），有|QF|•|QG|=4．试问无论F，G两点的位置怎样，直线FG能恒和一个定圆相切吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，请说明理由．26. （2分）不等式|1﹣2x|＜3的解集是（）A . {x|x＜1}B . {x|﹣1＜x＜2}C . {x|x＞2}D . {x|x＜﹣1或x＞2}27. （2分）(2017·郎溪模拟) 设函数f（x）=|x2﹣2x﹣1|，若a＞b＞1，且f（a）=f（b），则ab﹣a﹣b的取值范围为（）A . （﹣2，3）B . （﹣2，2）C . （1，2）D . （﹣1，1）28. （1分）不等式1≤|x+2|≤5的解集为________．29. （2分）(2017·嘉兴模拟) 已知f（x）=x﹣2，g（x）=2x﹣5，则不等式|f（x）|+|g（x）|≤2的解集为________；|f（2x）|+|g（x）|的最小值为________．30. （5分）已知函数f（x）=+．（I）求f（x）的最大值；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥|k﹣2|有解，求实数k的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共14题；共68分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、23-1、24-1、25-1、26-1、27-1、28-1、29-1、30-1、。
浙江省绍兴市高三上学期数学期中考试试卷
浙江省绍兴市高三上学期数学期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） 已知集合，，则A . (-2,3]B . [-2,3]C . (-2,-1)D . [-2,-1)2. （2 分） (2016·静宁模拟) 已知命题 P：有的三角形是等边三角形，则（ ）A . ¬P：有的三角形不是等边三角形B . ¬P：有的三角形是不等边三角形C . ¬P：所有的三角形都是等边三角形D . ¬P：所有的三角形都不是等边三角形=（ ）3. （2 分） 已知 A . （1，+∞） B . (1，3)是(-∞,+∞)上的增函数，则 a 的取值范围是（ ）.C . [ ,3)D . (1, )4. （2 分） 在平面直角坐标系中，点 O（0，0），P（4，3），将向量向量，则点 Q 的坐标是（ ）绕点 O 按顺时针方向旋转 后得第 1 页 共 11 页A.（，）B.（，）C.（，）D.（，）5. （2 分） (2016 高二下·玉溪期中) 在直角△ABC 中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P 为 AB 边上的点且 =λ ，若 • ≥ • ，则 λ 的取值范围是（ ）A . [ ，1]B.[，1]C.[ ，]D.[，]6. （2 分） 若函数A.B.C.D.有 4 个零点，则实数 a 的取值范围是（ ）7. （2 分） 函数 到的函数为奇函数，则 的值为（ ）的最小正周期是 ， 若其图像向左平移 个单位后得A.B.C.第 2 页 共 11 页D.8. （2 分） 已知函数 的值为（ ）的图象在点处的切线的斜率为 3，数列的前 n 项和为 ,则A.B.C.D.9. （2 分）,若，则的形状为（ ）A . 等腰三角形B . 等腰直角三角形C . 直角三角形D . 等边三角形10. （2 分） 对正整数 n，有抛物线 y2=2(2n-1)x，过 P（2n,0)任作直线 l 交抛物线于 An,Bn 两点，设数列{an}中，a1=-4，且 A . 4n(其中 n>1, )，则数列{an}的前 n 项和 Tn=（ ）B . -4nC . 2n(n+1)D . -2n(n+1)二、 多选题 (共 3 题；共 9 分)11. （3 分） (2019 高三上·德州期中) 对于实数 、 、 ，下列命题中正确的是（ ）A.若，则；第 3 页 共 11 页B.若，则C.若，则D.若，，则，12. （ 3 分 ） (2019 高 三 上 · 德 州 期 中 ) 已 知 向 量，，函数，下列命题，说法正确的选项是（ ）A.的最小正周期为B.的图象关于点对称C.的图象关于直线对称D.的单调增区间为13. （3 分） (2019 高三上·德州期中) 对于函数A.在处取得极大值B.有两个不同的零点C.，下列说法正确的是（ ）D.若在上恒成立，则三、 填空题 (共 4 题；共 5 分)14. （1 分） (2018·益阳模拟) 分别在曲线 最小值为________．与直线上各取一点 与 ，则的15. （1 分） (2019 高二下·宁夏月考) 在平行四边形，，则点 对应的复数是________．中，点 ， ， 对应的复数分别是，第 4 页 共 11 页16. （1 分） (2018 高二下·永春期末) 计算：17. （2 分） (2019 高三上·天津月考) 函数 中只有一个整数，则实数 的取值范围为________。
2021届高三上学期期中考试数学(文科)试卷(附答案)
2020—2021学年度上学期期中考试高三数学（文科）试卷考试时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合||32M x x =-<<∣，1|42xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则（ ）A ．(2,2)M N ⋂=-B ．(3,2)M N ⋂=-C ．[2,)M N ⋃=-+∞D ．()3,M N ⋃=-+∞ 2. 设iiz +-=11，则z = （ ） A.2B.3C.2D.13. 某口罩生产工厂为了了解口罩的质量，现将生产的50个口罩编号为01，02，…，50，利用如下随机数表从中抽取10个进行检测.若从下表中第1行第7列的数字开始向右依次读取2个数据作为1个编号，则被抽取的第8个个体的编号为（ ）A ．18B ．17C ．11D ．504．函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（ ） A ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于直线4x π=对称C ．关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．关于直线3x π=对称5．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示.若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中13的酒量”，即输出值是输入值的13，则输入的x =（ ） A ．35 B ．911 C ．2123 D ．45476．已知实数,x y 满足不等式组2034802x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为（ ） （第5题图） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（ ） A ．4 B ．22C ．7D ．28．已知(),0,a b ∈+∞，且不等式226a b m m +≤-+对任意[]2,3m ∈恒成立，则11a b +++的最大值为（ ） （第7题图）A ．2B ．22C ．4D ．429.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n 阶幻方()*3,n n ≥∈N ”是由前2n 个正整数组成的—个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ） （第9题图） A ．75B ．65C ．55D ．4510．函数||4x e y x=的图象可能是（ ）A B C D11．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为（ ）A . 7 B. 8C. 9D. 1012．已知函数()()11332cos 1x x x f x --+=+--，则()()0.52310.5log 9log 2f f f -⎛⎫ ⎪⎝⎭、、的大小关系（ ） A . ()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭ B.)9(log )5.0()21(log 25.03f f f >>- C.)9(log )21(log )5.0(235.0f f f >>- D.)21(log )5.0()9(log 35.02f f f >>-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2163S =，则31119a a a ++=14．设平面上向量(cos ,sin ),(0)a αααπ=≤<，1,22b ⎛=- ⎝⎭，若||3|b a b +=-，则角α的大小为15．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意x 都满足()()1f x f x +=-，且当01x ≤<时，()f x x =，则函数()()ln ||g x f x x =-的零点个数为16. 在四面体ABCD 中，若AB CD ==2==AC BD ，AD BC ==ABCD 的外接球的表面积为三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分.）17. (本小题满分12分)在ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2cos 2c B a b =+. (1)求角C ;(2)若ABC 的面积为3S c =,求ab 的最小值.18. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()14211n n S n a +=-+，且11a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()12n n n c a a =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .19．(本小题满分12分)2020年寒假，因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习，为了研究学生网上学习的情况，某学校随机抽取100名学生对线上教学进行调查，其中男生与女生的人数之比为9:11，抽取的学生中男生有30人对线上教学满意，女生中有10名表示对线上教学不满意.（1）完成22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；（2）从被调查的对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取5名学生，再在这5名学生中抽取2名学生，作线上学习的经验介绍，求其中抽取一名男生与一名女生的概率. 附：.))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=20．(本小题满分12分) 如图，矩形ABCD 中，3AB =，1BC =，E 、F 是边DC 的三等分点.现将DAE ∆、CBF ∆分别沿AE 、BF 折起，使得平面DAE 、平面CBF 均与平面ABFE 垂直.（1）若G 为线段AB 上一点，且1AG =，求证：//DG 平面CBF ； （2）求多面体CDABFE 的体积.21. （本小题满分12分）已知函数()()2122x t f x x e x x =---，()2x g x e t x=--. （1）求()g x 的单调区间；（2）已知()f x 有两个极值点1x ，()212x x x <且()15102f x e +-<，求证：12t e>+.22.（本小题满分10分）（选修4—4：极坐标与参数方程）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线22:4cos 2sin 40C ρρθρθ+-+=. （1）写出曲线1C ，2C 的普通方程； （2）过曲线1C 的左焦点且倾斜角为4π的直线l 交曲线2C 于A ，B 两点，求AB . 23.（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲） 已知函数()23f x x x a =-++. （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若存在0x 满足()00223f x x +-<，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【答案】D 2. 【答案】D 3. 【答案】B 4. 【答案】A 5. 【答案】C1i =时，21x x =-；2i =时，()221143x x x =--=-；3i =时，()243187x x x =--=-；4i =时，退出循环.此时，1873x x -=，解得2123x =.故选C6．【答案】D 【解析】如图由2z x y =-，令0z =，则目标函数的一条等值线为20x y -=当该等值线经过点()2,0A 时，目标函数有最大值 所以max 2204z =⨯-= 故选：D 7．【答案】B 【解析】由三视图可得，该几何体是如图所示的四棱锥11P DCC D -，底面11DCC D 是边长为2的正方形，侧面11PC D ∆是边长为2的正三角形，且侧面11PC D ⊥底面11DCC D ．根据图形可得四棱锥中的最长棱为1PC 和1PD ，结合所给数据可得11PC PD ==，所以该四棱锥的最长棱为．故选B ． 8．【答案】C 【解析】由题意不等式226a b m m +≤-+对任意[]2,3m ∈恒成立又()[]2226=156,9m m m -+-+∈∴a +b ≤6则292a b ab +⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭当且仅当3a b ==成立2=226+2+8=16a b a b +++=+++4≤故选：C 9.【答案】B【解析】依题意“5阶幻方”的幻和为12525122526555+⨯+++==，故选B. 10．【答案】C 【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x -=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C 11．【答案】C【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1aca c a c=++=，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+【解析】令()(1)332cos xxg x f x x -=+=+-，()()g x g x -=，所以()g x 是偶函数； ()ln 3(33)2sin x x g x x -'=-+，当(0,)x π∈时，()0g x '>，()g x 在(0,)π上是增函数，将()g x 图像向右平移一个单位得到()f x 图像， 所以()f x 关于直线1x =对称，且在(1,1)π+单调递增. ∵23log 94<<，0.50.5-=()3312log 2log 22,32-=+∈， ∴0.52314log 92log 0.512->>->>， ∴()()0.5231log 92log 0.52f f f -⎛⎫>-> ⎪⎝⎭， 又∵()f x 关于直线1x =对称，∴3311log 2log 22f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭.故选：A第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.【答案】9【解析】由等差数列性质可知：21112163S a ==，解得：113a =311191139a a a a ∴++==14．【答案】6π【解析】因为(cos ,sin )a αα=，1,22b ⎛=- ⎝⎭，所以||||1a b ==，因为|||3|b a b +=-，所以22||3|b a b +=-，所以2222323233a a b b a a b b +⋅+=-⋅+即311233b a b +⋅+=-⋅+，所以1cos 022a b αα⋅=-+=，所以tan 3α=，由0απ≤<可得6πα=.【解析】当10x -<时，则011x +<， 此时有()(1)1f x f x x =-+=--， ∵()()1f x f x +=-，∴()()21[()]()f x f x f x f x +=-+=--=，∴函数()y f x =是周期为2的周期函数． 令()()ln 0g x f x x =-=，则()ln f x x =，由题意得函数()()ln g x f x x =-的零点个数即为函数()y f x =的图象与函数y ln x =的图象交点的个数．在同一坐标系内画出函数()y f x =和函数y ln x =的图象（如图所示），结合图象可得两函数的图象有三个交点， ∴函数()()ln g x f x x =-的零点个数为3． 16.【答案】6π【解析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD 的四个面为全等的三角形，2x ，y ，z 长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x ，y ，z 的长方体，并且x 2+y 2＝3，x 2+z 2＝5，y 2+z 2＝4，则有（2R ）2＝x 2+y 2+z 2＝6（R 为球的半径），得2R 2＝3，所以球的表面积为S ＝4πR 2＝6π． 故答案为6π．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【答案】(1)2π3；(2) 12. 【解析】(1)由正弦定理及已知可得2sin cos 2sin sin ,C B A B =+ ……………… 2分()2sin cos 2sin sin C B B C B =++则有，2sin cos sin 0,B C B ∴+= (4)分1,sin 0,cos .2B BC ∴≠∴=-为三角形的内角2π,.3C C ∴=又为三角形的内角 ……………………… 6分(2)11sin ,.22S ab C c ab ==∴= ……………………… 8分 222222cos ,c a b ab C a b ab =+-=++又222234a b a b ab ab ∴=++≥， 12ab ∴≥，当且仅当a b =时等号成立.故ab 的最小值为12. ……………………… 12分 18.【答案】（1）21n a n =-；（2）21n nT n =+. 【解析】（1）14(21)1n n S n a +=-+①，当1n =时，1241S a =+，解得23a = ……………………… 1分 当2n 时，14(23)1n n S n a -=-+②，①减去②得14(21)(23)n n n a n a n a +=---， 整理得1(21)(21)n n n a n a ++=-，即12121n n a n a n ++=-， ……………………… 3分 ∴213a a =，3253a a =，⋯，12123n n a n a n --=-以上各式相乘得121na n a =-，又11a =，所以21n a n =- ……………… 6分 （2）由（1）得11111(2)(21)(21)22121n n n c a a n n n n ⎛⎫===- ⎪+-+-+⎝⎭，………… 8分1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111123352121n n ⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+21n n T n ∴=+ ……………… 12分 19.【答案】（1）填表见解析；有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；（2）35. 【解析】（1）22⨯列联表如下：……………… 3分又()2210030104515 3.03 2.70675254555K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， ……………… 5分 这说明有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”. ……………… 6分 （2）由题可知，从被调查中对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取5名学生， 其中男生2名，设为A 、B ；女生3人设为,,a b c ，则从这5名学生中抽取2名学生的基本事件有：(),A B ，(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),a b ，(),a c ，(),b c ，共10个基本事件， ……………… 8分其中抽取一名男生与一名女生的事件有(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，共6个基本事件， ……………… 10分根据古典概型，从这5名学生中抽取一名男生与一名女生的概率为63105=. … 12分20．【答案】(1)见证明(2) 2【解析】（1）分别取AE ，BF 的中点M ，N ，连接DM ，CN ，MG ，MN ，因为1AD DE ==，90ADE ︒∠=，所以DM AE ⊥，且DM =.因为1BC CF ==，90BCF ∠=，所以CN BF ⊥，且CN =. 因为面DAE 、面CBF 均与面ABFE 垂直，所以DM ⊥面ABFE ，CN ⊥面ABFE ，所以DM CN ，且DM CN =. ……………… 2分 因为cos45AM AG ︒=，所以90AMG ︒∠=，所以AMG ∆是以AG 为斜边的等腰直角三角形，故45MGA ︒∠=，而45FBA ︒∠=，则MG FB ， ……………… 4分 故面DMG 面CBF ，则DG 面CBF . ……………… 6分 （2）如图，连接BE ，DF ，由（1）可知，DM CN ，且DM CN =， 则四边形DMNC 为平行四边形，故22EF AB DC MN +===. 因为D ABE B EFCD V V V --=+ 33D ABE B DEF D ABE D BEF V V V V ----=+=+， …………… 8分所以1131322V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+ ⎪⎝⎭ 113113222⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. ……………… 12分 （其他方法酌情给分）。
2020-2021学年浙江省绍兴市鲁迅中学高三(上)期中数学试卷
2020-2021学年浙江省绍兴市鲁迅中学高三（上）期中数学试卷一、1．若集合A＝{x|1＜x＜2}，集合B＝{x|2≤2x＜4}，则A∪B＝（）A．（1，2）B．[1，2）C．[0，2）D．（0，2）2．已知复数（i为虚数单位），则复数z的模|z|＝（）A．1B．C．2D．43．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的离心率为22（2，0），则双曲线C的方程为（）A．B．C．D．4．已知实数x，y满足，则z＝x+y的最大值为（）A．4B．3C．D．25．设x，y∈R，则“0＜xy＜1”是“|x|＜（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的图象可能是（）A．B．C．D．7．已知直线x+y﹣k＝0（k＞0）与圆x2+y2＝4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有（）A．B．C．D．8．甲箱子里装有3个白球和2个红球，乙箱子里装有2个白球和2个红球．从这两个箱子里分别摸出一个球，设摸出的白球的个数为X，则（）A．P（X＝1），且E（X）＞E（Y）B．P（X＝1），且E（X）＜E（Y）C．P（X＝1）＝，且E（X）＞E（Y）D．P（X＝1）＝，且E（X）＜E（Y）9．在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，点D在斜边AB上，以CD为棱把它折成直二面角A﹣CD﹣B（）A．B．C．2D．310．已知点P是曲线y＝sin x+lnx上任意一点，记直线OP（O为坐标系原点）的斜率为k，则（）A．至少存在两个点P使得k＝﹣1B．对于任意点P都有k＜0C．对于任意点P都有k＜1D．存在点P使得k≥1二、填空题11．计算：log2＝，2＝．12．已知多项式（x+b）5＝（x﹣1）5+a1（x﹣1）4+a2（x﹣1）3+a3（x﹣1）2+a4（x﹣1）﹣32，则b＝，a2＝．13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为．14．已知抛物线y＝x2上两点A，B（A在第二象限），O为原点，且OA⊥AB，△OAB的面积为．15．平面向量，，满足||＝|，|﹣|＝|﹣|＝|﹣||的最大值为．16．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AC的中点分别为F，E，则的取值范围是．17．设S n为数列{a n}的前n项和，S n＝（﹣1）n a n﹣，n∈N*，则：（1）a3＝；（2）S1+S2+…+S100＝．三、解答题（共5小题，满分0分）18．A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限．C是圆O与x轴正半轴的交点，△AOB为正三角形．记∠AOC＝α．（Ⅰ）若A点的坐标为．求的值；（Ⅱ）求|BC|2的取值范围．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，CD∥AB，，P A＝PB＝10，，，点E为PD中点．（1）求证：PD⊥CD；（2）求直线BE与平面PCD所成角的正弦值．20．设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，已知数列是首项为1，公差为1的等差数列．（Ⅰ） 求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n＝，若不等式b1+b2+b3+…+b n≥对任意n∈N*都成立，求实数m的取值范围．21．如图，F1，F2是椭圆C：+y2＝1的左、右焦点，A，B是椭圆C上的两个动点，且线段AB的中点M在直线l：x＝﹣（1）若B的坐标为（0，1），求点M的坐标；（2）求•的取值范围．22．已知f（x）＝e x﹣ax﹣1，x∈（0，2）．（1）若f（x）无零点，求a的取值范围；（2）当a＝1时，证明：﹣＜f（x）2＜1．（参考数据：7＜e2＜8）2020-2021学年浙江省绍兴市鲁迅中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、1．若集合A＝{x|1＜x＜2}，集合B＝{x|2≤2x＜4}，则A∪B＝（）A．（1，2）B．[1，2）C．[0，2）D．（0，2）【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合A＝{x|1＜x＜2}，集合B＝{x|6≤2x＜4}＝{x|7≤x＜2}，∴A∪B＝{x|1≤x＜5}＝[1，2）．故选：B．【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．已知复数（i为虚数单位），则复数z的模|z|＝（）A．1B．C．2D．4【分析】直接利用商的模等于模的商求解．【解答】解：∵，∴|z|＝||＝．故选：C．【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．3．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的离心率为22（2，0），则双曲线C的方程为（）A．B．C．D．【分析】通过双曲线的离心率以及焦点坐标，求出c，a，然后求解b，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线C：＝1（a＞2，且其右焦点为F2（2，0），可得c＝2，a＝，所以双曲线方程为：．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力，是基础题．4．已知实数x，y满足，则z＝x+y的最大值为（）A．4B．3C．D．2【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z＝x+y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点B（4，直线y＝﹣x+z的截距最大，此时z最大，此时z＝3，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键5．设x，y∈R，则“0＜xy＜1”是“|x|＜（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】“0＜xy＜1”⇒0＜|xy|＜1⇒“|x|＜”．反之不成立．【解答】解：“0＜xy＜1”⇒4＜|xy|＜1⇒“|x|＜”．，反之不成立，例如﹣8＜xy＜0，∴“0＜xy＜7”是“|x|＜”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．函数的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】由f（﹣3）＝0直接可以得出答案．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠±1}，令f（x）＝0，符合要求的只有选项B．故选：B．【点评】本题考查由函数解析式确定函数图象，属于基础题．7．已知直线x+y﹣k＝0（k＞0）与圆x2+y2＝4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有（）A．B．C．D．【分析】利用平行四边形法则，借助于直线与圆的位置关系，利用直角三角形，即可求得结论．【解答】解：设AB中点为D，则OD⊥AB∵，∴∴∵∴∵直线x+y﹣k＝2（k＞0）与圆x2+y3＝4交于不同的两点A、B，∴∴4＞∴4＞∵k＞0，∴故选：C．【点评】本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．8．甲箱子里装有3个白球和2个红球，乙箱子里装有2个白球和2个红球．从这两个箱子里分别摸出一个球，设摸出的白球的个数为X，则（）A．P（X＝1），且E（X）＞E（Y）B．P（X＝1），且E（X）＜E（Y）C．P（X＝1）＝，且E（X）＞E（Y）D．P（X＝1）＝，且E（X）＜E（Y）【分析】由题意计算P（X＝1）和X、Y的数学期望E（X）、E（Y）即可．【解答】解：由题意知，P（X＝1）＝+＝+＝；又P（X＝0）＝＝，P（X＝4）＝＝，∴X的数学期望为E（X）＝0×+1×＝；P（Y＝0）＝＝，P（Y＝4）＝+＝+＝，P（Y＝2）＝＝，∴Y的数学期望为E（Y）＝0×+1×＝；∴E（X）＞E（Y）．故选：C．【点评】本题考查了离散型随机变量的概率分布与数学期望的计算问题，是基础题．9．在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，点D在斜边AB上，以CD为棱把它折成直二面角A﹣CD﹣B（）A．B．C．2D．3【分析】设∠ACD＝θ，则∠BCD＝90°﹣θ，作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，于是AM ＝3sinθ，CN＝2sinθ，MN＝|2sinθ﹣3cosθ|，由此能求出当θ＝45°，AB有最小值，最小值是．【解答】解：设∠ACD＝θ，则∠BCD＝90°﹣θ，作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，于是AM＝3sinθ，CN＝2sinθ，∴MN＝|5sinθ﹣3cosθ|，∵A﹣CD﹣B是直二面角，AM⊥CD，∴AM与BN成90°角，∴AB＝＝≥．∴当θ＝45°，即CD是∠ACB的平分线时，AB有最小值，最小值是．故选：B．【点评】本题考查线段长最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10．已知点P是曲线y＝sin x+lnx上任意一点，记直线OP（O为坐标系原点）的斜率为k，则（）A．至少存在两个点P使得k＝﹣1B．对于任意点P都有k＜0C．对于任意点P都有k＜1D．存在点P使得k≥1【分析】结合正弦函数的值域和对数函数y＝lnx和直线y＝x﹣1的关系，即可判断D；当≤x＜π时，y＝sin x+lnx＞0，即可判断B；＝﹣1，即sin x+lnx+x＝0至少存在两解，运用导数判断单调性，即可判断A，由排除法思想即可得到结论．【解答】解：任意取x为一正实数，一方面y＝sin x+lnx≤lnx+1，另一方面由y＝lnx和直线y＝x﹣1的图象容易证lnx+7≤x成立，所以y＝sin x+lnx≤x，因为y＝sin x+lnx≤lnx+1与lnx+1≤x中两个等号成立条件不一样，所以y＝sin x+lnx＜x恒成立，所以k＜6；当≤x＜π时，所以k＞0；对于A选项，至少存在两个点P使得k＝﹣3＝﹣1至少存在两解，即sin x+lnx+x＝0至少存在两解，（sin x+lnx+x）′＝cos x+，所以sin x+lnx+x＝0至多存在一解，故排除A，故选：C．【点评】本题考查直线的斜率的范围，考查分类讨论思想方法，以及正弦函数的性质、函数的导数与单调性的运用，考查分析问题和判断能力、推理能力，属于中档题．二、填空题11．计算：log2＝，2＝．【分析】进行对数的运算即可．【解答】解：，＝．故答案为：．【点评】本题考查了对数的运算性质，对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础题．12．已知多项式（x+b）5＝（x﹣1）5+a1（x﹣1）4+a2（x﹣1）3+a3（x﹣1）2+a4（x﹣1）﹣32，则b＝﹣3，a2＝40．【分析】根据（x+b）5＝[（x﹣1）+b+1]5，利用二项展开式的通项公式，求得b和a2的值．【解答】解：∵（x+b）5＝[（x﹣1）+b+5]5＝（x﹣1）8+a1（x﹣1）2+a2（x﹣1）6+a3（x ﹣1）8+a4（x﹣1）﹣32，∴•（b+1）8＝﹣32，∴b＝﹣3．∴a2＝•（b+1）6＝40，故答案为：﹣3；40．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为．【分析】几何体是四棱锥，几何直观图判断四棱锥的底面四边形的形状及相关几何量的数据；再由侧视图判断几何体的高，把数据代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，如图：四棱锥的底面四边形为直角梯形，直角梯形的底边长分别为2、1；四棱锥的高为：，AB＝2，BC＝1，P A＝PB＝4，DC＝，CP＝，∴几何体的体积V＝×＝．表面积为：×++++＝．故答案为：；．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．14．已知抛物线y＝x2上两点A，B（A在第二象限），O为原点，且OA⊥AB，△OAB的面积为3．【分析】设出点A的坐标，即可直线OA的斜率以及直线AB的斜率，所以求出直线AB 的方程，代入抛物线方程求出x的最小值，此时点距离y轴的距离最近，距离为2，进而求出点A，B的坐标，从而可以求解．【解答】解：由题意设点A（﹣m，m2），（m＞0），所以k，则直线AB的方程为：y﹣m2＝，即y＝，代入抛物线方程可得：mx7﹣x﹣m（m2+1）＝8，即（x+m）（mx﹣m2﹣1）＝2＝0，解得x＝m+，此时点距离y轴的距离最近，距离为2，此时x A＝﹣m＝﹣1，y，x，即A（﹣1，1），2），所以|OA|＝，|AB|＝，所以三角形AOB的面积为S＝，故答案为：3．【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系的应用，涉及到利用基本不等式求解最值的问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．15．平面向量，，满足||＝|，|﹣|＝|﹣|＝|﹣||的最大值为2．【分析】由题意||＝||＝1，设，，，利用向量的夹角运算，OA＝OB，AC＝CB＝AB，可得△CAO≌△CBO，从而OC垂直平分AB，结合三角函数化简，即可求解||的最大值．【解答】解：由题意，设，，，向量与，根据||＝|，|﹣|＝|﹣﹣|，如图：OA＝OB，AC＝CB＝AB，可得△CAO≌CBO，即OC垂直平分AB，设AB＝t，那么t＝2sin，等边三角形ABC的高CH为，那么＝＝2sin（），当＝时，||的最大值为2．故答案为：2．【点评】本题考查了向量夹角和数量积的关系、向量的坐标运算，属于基础题．16．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AC的中点分别为F，E，则的取值范围是（，）．【分析】在△ABE和在△ACF中，利用余弦定理分别求出BE2，CF2，再做除法，利用三角形角A的范围，得出cos A∈（﹣1，1），进行合理变形可求解．【解答】解：∵F，E分别为AB，∴AE＝，在△ABE中，BE5＝AB2+AE2﹣5AB•AE•cos A＝4+﹣2×2×﹣8cos A，在△ACF中，CF2＝AC2+AF8﹣2AC•AF•cos A＝9+5﹣2×3×2×cos A＝10﹣6cos A，∴＝＝＝1﹣×，∵A∈（0，π），7），16），∴，），∴∈（，），∴，）．故答案为：（，）．【点评】本题考查知道两边和夹角利用余弦定理求出第三边，要进行合理变形，准确确定比值的范围，是中档题．17．设S n为数列{a n}的前n项和，S n＝（﹣1）n a n﹣，n∈N*，则：（1）a3＝﹣；（2）S1+S2+…+S100＝．【分析】（1）把给出的数列递推式先分n＝1和n≥2讨论，由此求出首项和n≥2时的关系式．对此关系式再分n为偶数和奇数分别得到当n为偶数和奇数时的通项公式，则a3可求；（2）把（1）中求出的数列的通项公式代入，n∈N*，则利用数列的分组求和和等比数列的前n项和公式可求得结果．【解答】解：由，n∈N*，当n＝1时，有，得．当n≥2时，．即．若n为偶数，则．所以（n为正奇数）；若n为奇数，则＝．所以（n为正偶数）．所以（1）．故答案为﹣；（2）因为（n为正奇数），又（n为正偶数）．则．，．则．…．所以，S1+S2+S6+S4+…+S99+S100＝＝＝＝．故答案为．【点评】本题考查了数列的求和，考查了数列的函数特性，解答此题的关键在于当n为偶数时能求出奇数项的通项，当n为奇数时求出偶数项的通项，此题为中高档题．三、解答题（共5小题，满分0分）18．A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限．C是圆O与x轴正半轴的交点，△AOB为正三角形．记∠AOC＝α．（Ⅰ）若A点的坐标为．求的值；（Ⅱ）求|BC|2的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，求得所给式子的值．（Ⅱ）由题意可得∠AOB＝，α∈（，），由余弦定理以及余弦函数的定义域和值域，求得|BC|2的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）若A点的坐标为，则cosα＝，∴＝＝＝20．（Ⅱ）由题意可得∠AOB＝，∴由余弦定理可得|BC|2＝OB2+OC3﹣2OB•OC•cos（+α）＝4+1﹣2cos（，∵∠AOC＝α∈（，），∴+α∈（，）+α）∈（﹣，∴﹣2cos（+α）∈（3，）+α）∈（4）．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，余弦定理，余弦函数的值域，属于中档题．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，CD∥AB，，P A＝PB＝10，，，点E为PD中点．（1）求证：PD⊥CD；（2）求直线BE与平面PCD所成角的正弦值．【分析】（1）取AB中点F，连接PF、FD，证明AB⊥PF，AB⊥FD，推出AB⊥平面PFD，说明AB⊥PD，然后证明PD⊥CD．（2）过P做PO⊥FD于O，过O做OG∥AB交BC于G，则PO、OF、OG两两垂直，以OF、OG、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系o﹣xyz，求出，平面PCD的法向量，然后利用空间向量的数量积求解直线BE与平面PCD所成角的正弦值即可．【解答】（1）证明：取AB中点F，连接PF，∵P A＝PB＝10，，∴AB⊥PF，AB⊥FD，∵PF∩FD＝F，∴AB⊥平面PFD，PD⊂平面PFD，∴AB⊥PD，又∵CD∥AB，∴PD⊥CD．（2）解：过P做PO⊥FD于O，∵AB⊥平面PFD，PO⊂平面PFD，∴AB⊥PO，∵AB∩FD＝F．过O做OG∥AB交BC于G，则PO、OG两两垂直，以OF、OG、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系o﹣xyz，∵AB＝16，P A＝PB＝10，，，∴PF＝6，FD＝12，∴PF6+PD2＝FD2，∴PF⊥PD，∴，OF＝3．∵CD∥AB，，∴CD∥OG∥FB，CD＝FB，∴四边形FBCD是矩形，CD＝OG＝FB＝8，∴，D（﹣9，0，B（2，8，C（﹣9，3，∵E为PD中点，∴，∴，，．设平面PCD的法向量，由，得，令x2＝1，得，则，则与所成角设为α，设为β，∴直线BE与平面PCD所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．20．设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，已知数列是首项为1，公差为1的等差数列．（Ⅰ） 求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n＝，若不等式b1+b2+b3+…+b n≥对任意n∈N*都成立，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用等差数列通项公式，推出前n项和，然后求解数列的通项公式．（Ⅱ）化简b n＝，求出数列的和，然后求出m的不等式，推出结果即可．【解答】解：（Ⅰ）∵数列是首项为1，∴．∴．当n＝1时，a2＝S1＝1； 当n≥4时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣（n﹣6）2＝2n﹣3．又a1＝1适合上式．∴a n＝5n﹣1．…（4分）（Ⅱ）＝＝，∴b1+b7+…+b n＝＝＝．∴对任意n∈N*都成立，得对任意n∈N*都成立．令，则．∴c n+1＞c n．∴．∴．∴实数m的取值范围为．…（10分）【点评】本题考查数列的应用，数列求和以及数列与不等式相结合，考查计算能力．21．如图，F1，F2是椭圆C：+y2＝1的左、右焦点，A，B是椭圆C上的两个动点，且线段AB的中点M在直线l：x＝﹣（1）若B的坐标为（0，1），求点M的坐标；（2）求•的取值范围．【分析】（1）先求得A点的横坐标为﹣1，代入椭圆方程+y2＝1，解得y的值，可得A的纵坐标，再根据中点公式求得M的坐标．（2）当AB垂直于x轴时，易得•的值．当AB不垂直于x轴时，设AB的斜率为k，M（﹣，m），由可得k＝，可得AB的方程为y＝x+①．把①代入椭圆方程化简利用韦达定理，由判别式大于零，求得m2的范围，化简•为．令t＝1+8m2，则1＜t＜8，再根据函数的单调性求得•＝[3t+]的范围．【解答】解：（1）∵B的坐标为（0，1）上，∴A点的横坐标为﹣1，代入椭圆方程+y2＝5，解得y＝±，）或点A（﹣1，﹣）．∴线段AB的中点M（﹣，+）或（﹣，﹣）．（2）由于F1（﹣6，0），F2（5，0），AB的方程为x＝﹣，﹣）、B（﹣，），求得•＝．当AB不垂直于x轴时，设AB的斜率为k，m）1，y6 ），B（x2，y2），由可得（x8+x2）+2（y5+y2）•＝7，即k＝，故AB的方程为y﹣m＝（x+）x+ ①．再把①代入椭圆方程+y8＝1，可得x2+x+•＝6．由判别式△＝1﹣＞72＜．∴x1+x2＝﹣7，x1•x2＝，y1•y2＝（•x1+）（x2+），∴•＝（x1﹣1，y8 ）•（x2﹣1，y3）＝x1•x2+y4•y2﹣（x1+x8）+1＝．令t＝1+7m2，则1＜t＜3，∴•＝＝[8t+]．再根据[3t+，）上单调递减，8）上单调递增求得]的范围为[，）．综上可得，[3t+，）．【点评】本题主要考查本题主要考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，两个向量的数量积公式的应用，直线和二次曲线的关系，考查计算能力，属于难题．22．已知f（x）＝e x﹣ax﹣1，x∈（0，2）．（1）若f（x）无零点，求a的取值范围；（2）当a＝1时，证明：﹣＜f（x）2＜1．（参考数据：7＜e2＜8）【分析】（1）求出f'（x），分a≤1，，和a≥e2四种情况，利用导数分别研究f（x）的单调性以及极值情况，再求出a的取值范围；（2）将问题转化为证明，x∈（0，2），分别构造函数和h（x）＝（x2+x+2）e﹣x，利用导数研究函数g（x）和h（x）的性质，即可证明．【解答】解：（1）f（x）＝e x﹣ax﹣1，x∈（0，则f'（x）＝e x﹣a，当a≤2时，f'（x）＞0，所以f（x）＞f（0）＝0，则函数f（x）无零点；当时，令f'（x）＝e x﹣a＝0，解得x＝lna，则f（x）在（0，lna）上单调递减，4）上单调递增，因为f（lna）＜f（0）＝0，f（2）＝e2﹣7a﹣1＞0，根据零点的存在性定理，可知f（x）在（lna，不符合题意；当时，令f'（x）＝e x﹣a＝0，解得x＝lna，则f（x）在（0，lna）上单调递减，2）上单调递增，又f（lna）＜f（0）＝0，f（2）＝e2﹣8a﹣1≤0，故函数f（x）无零点；当a≥e4时，f'（x）＝e x﹣a＜0，则f（x）＜f（0），符合题意．综上，a的取值范围为；（2）证明：要证﹣＜f（x）﹣x2＜2，即证明，即证明，x∈（6，令，则，令g'（x）＞4，解得，解得，故g（x）在上单调递增，在，则，故只要证明，只需证明，又，故只需证明，又，所以，所以；令h（x）＝（x2+x+2）e﹣x，则，所以h（x）在（8，2）上单调递减，所以h（x）＞h（2）＝，所以e2﹣x5﹣x﹣1＜1．综上所述，﹣＜f（x）﹣x2＜2．【点评】本题考查了函数与不等式、函数与方程的综合应用，考查了利用导数研究函数的性质，涉及知识点多，综合性强，考查学生逻辑思维能力与转化化归能力，属于难题．。
2020～2021学年度第一学期期中考试卷高三文数试题
2020—2021学年度 第一学期 期中考试高三数学(文科)试卷考试说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟。
（1） 答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2） 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,在草稿纸、试题上答题无效。
第Ⅰ卷(共60分)一、选择题(60分,每题5分)1.设集合2{|2,},{|10},xA y y x RB x x ==∈=-<则A B ⋃=( ) A.(1,1)-B.(0,1)C.(1,)-+∞D.(0,)+∞2.设i 是虚数单位,条件:p 复数()1,a bi a b R -+∈是纯虚数,条件:1q a =,则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.设m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是( ) A.若////m n αα，,则//m nB.若//m n αβαβ⊂⊂，，,则//m nC.若m n n m αβα=⊂⊥，，,则n β⊥D.若//m m n n αβ⊥⊂，，,则αβ⊥4.在等比数列{}n a 中,11a =,322a a -=,则5a =( ) A.16B.1-C.16-或1-D.16或15.在ABC ∆中,3cos 5C =-,1BC =,5AC =,则AB =( ) A.30B.42C.29D.256.已知a ,b 均为单位向量,它们的夹角为060,那么3a b += ( ) A.B.10C.D.47.函数()2ln 1x f x x ⎛⎫=⎪-⎝⎭的图像大致是( ) A. B. C. D.8.曲线()()()'11=--x f x f e e x 在点()()0,0f 处的切线的斜率为( )A.2e -B.12e - C.1 D.42e - 9.已知0a >,0b >,并且1a ,12,1b成等差数列,则9a b +的最小值为( )A.16B.9C.5D.410.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在[)0,∞+上单调递增,则三个数()3log 13a f =-,121log 8b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()0.62c f =的大小关系为( ) A.a b c >> B.a c b >> C.b a c >> D.c a b >> 11.若将函数y ＝sin (2x 4π+)的图象向右平移6π个单位长度,平移后所得图象为曲线y ＝f (x ),下列四个结论： ①f (x )＝sin (2x 12π-) ②f (x )＝sin (2x 712π+) ③曲线y ＝f (x )的对称中心的坐标为(224k ππ+,0),(k ∈Z ) ④曲线y ＝f (x )的对称中心的坐标为(7224k π+π,0)(k ∈Z ) 其中所有正确的结论为( ) A.①④B.②③C.②④D.①③12.若函数()()()1sin 0f x a x x a =-->恰有两个零点1x ,2x ,且12x x <,则11tan x x -=( ) A.2-B.2C.1-D.1第II 卷(共90分)二、填空题(20分,每题5分)13.在某班举行的成人典礼上,甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物. 甲说：“礼物不在我这”； 乙说：“礼物在我这”； 丙说：“礼物不在乙处”.如果三人中只有一人说的是真的,请问__________(填“甲”、“乙”或“丙”)获得了礼物.14.设,x y 满足约束条件22022x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩,则2z x y =-的最小值是____________.15.的正方形,若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为__________. 16.已知菱形ABCD 的边长为2,120BAD ∠=︒,点E 、F 分别在边BC ,CD 上,BE BC λ=,DF DC μ=,若522λμ+=,则AE AF ⋅的最小值__________. 三、解答题(70分,第17题10分,其余每道大题12分)17.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为342x ty t=⎧⎨=-⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程是22123cos ρθ=+. (Ⅰ)求直线l 和曲线C 的直角坐标方程； (Ⅱ)求曲线C 上的点到直线l 距离的最小值.18.设{}n a 是等差数列,且123ln 2,5ln 2a a a =+=.(Ⅰ)求{}n a 的通项公式； (Ⅱ)求12n a a a e e e +++.19.已知函数()|31||33|f x x x =-++. (1)求不等式()10f x ≥的解集； (2)正数,a b 满足2a b +=,.20.已知函数()222cos 1f x x x =--,x ∈R (1)求函数()f x 的最小正周期；(2)设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且c =()0f C =,且()sin sin 2sin 2C B A A +-=,求ABC ∆的面积.21.H 市某企业坚持以市场需求为导向,合理配置生产资源,不断改革、探索销售模式.下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量x (吨)与相应的生产总成本y (万元)的五组对照数据.(1)根据上达数据,若用最小二乘法进行线性模拟,试求y 关于x 的线性回归直线方程ˆˆˆybx a =+； 参考公式：1221ˆni ii nii x y nxybxnx ==-=-∑∑,ˆˆay bx =-. (2) 记第(1)问中所求y 与x 的线性回归直线方程ˆˆˆybx a =+为模型①,同时该企业科研人员利用计算机根据数据又建立了y 与x 的回归模型②：2112ˆyx =+.其中模型②的残差图(残差=实际值-预报值)如图所示：请完成模型①的残差表与残差图,并根据残差图,判断哪一个模型更适宜作为y 关于x 的回归方程？并说明理由；(3) 根据模型①中y 与x 的线性回归方程,预测产量为6吨时生产总成本为多少万元？22.已知函数()(2)ln xf x x e a x ax =-+-(a R ∈)(1)若1x =为()f x 的极大值点,求a 的取值范围；(2)当0a ≥时,判断()y f x =与x 轴交点个数,并给出证明.产量x (件)1 2 3 4 5 生产总成本y (万元) 37 8 10 12。