(版)导数题型归类讲：交点与根的分布

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如何用导数探讨函数图像的交点问题

用导数探讨函数图象的交点问题运用导数进行函数的性质、函数图象的交点和方程根的分布等的综合研究，实际上就是运用导数考查函数图象的交点个数问题。

如何运用导数的知识研究函数图象的交点问题呢？例1 已知函数f(x)=－x 2+8x,g(x)=6lnx+m （Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);（Ⅱ）是否存在实数m ，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；，若不存在，说明理由。

解：（Ⅰ）略（II ）∵函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点， ∵x>0∴函数 (x)=g(x)－f(x) =2x －8x+6ln x+m 的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

∵)('x ϕ=2x －8+随x 变化如下表：∴极大值(1)=1-8+m=m-7，x 极小值= (3)=∵当x →0+时， (x )→ ，当x 时， (x ) ∴要使 (x)=0有三个不同的正实数根，必须且只须 ⎩⎨⎧<-=>-=,0153ln 6)(,07)(＋极小值极大值m x m x ϕϕ ∴7<m<15－6ln 3. 所以存在实数m ，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为（7，15—6ln 3）. （分析草图见下图1）图1图2 引申1：如果“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有一个不同的交点”怎么解答呢？前面相同，只需把后面改为 m+6In3-15>0或 m-7<0，即m>15-6In3 或m<7时，函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有一个不同的交点（分析草图见图2和图3）。

引申2：如果“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有两个不同的交点”怎么解答呢？前面相同，只需把后面改为=极小值)(x ϕm+6In3-15=0或=极大值)(x ϕm-7=0，y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点（分析草图见图4和图5）),0()3)(1(268262>--=+-=x x x x x =极小值)(x ϕ=极大值)(x ϕϕϕ∞-+∞→+∞→ϕ)(x ϕϕϕ图4 图5从上题的解答我们可以看出，用导数来探讨函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象的交点问题，有以下几个步骤：①构造函数 (x)= f(x)－g(x)②求导 ③研究函数ϕ(x )的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）④画出函数ϕ(x )的草图，观察与x 轴的交点情况，列不等式⑤解不等式。

考前归纳总结导数中的有关方程根的问题

导数中的有关方程根的问题一、常见基本题型：(1) 判断根的个数问题，常常转化为函数图象的交点个数问题，通过构造函数来求解，例1.已知函数221()ln(1),().1f x x g x a x =+=+-求方程()()f x g x =的根的个数. 解：令221()()()ln(1)1h x f x g x x a x =-=+--- '2222222211()21(1)1(1)x x h x x x x x x ⎡⎤=+=+⎢⎥+-+-⎣⎦当[0,1)(1,)x ∈⋃+∞时，'()0h x ≥当(,1)(1,0)x ∈-∞-⋃-时，'()0h x <因此，()h x 在(,1),(1,0)-∞--时，()h x 单调递减，在(0,1),(1,)+∞时，()h x 单调递增.又()h x 为偶函数，当(1,1)x ∈-时，()h x 极小值为(0)1h a =-当1x -→-时，()h x →-∞，当1x +→-时，()h x →+∞当x →-∞时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞故()()f x g x =的根的情况为：当10a ->时，即1a <时，原方程有2个根；当10a -=时，即1a =时，原方程有3个根；当10a -<时，即1a >时，原方程有4个根（2）已知方程在给定的区间上解的情况，去求参数的取值范围，另外有关方程零点的个数问题其实质也是方程根的问题。

例1.已知32()(),(,f x ax bx b a x a b =++-是不同时为零的常数），其导函数为()f x '，（1）求证：函数()y f x '=在(1,0)-内至少存在一个零点；（2）若函数()f x 为奇函数，且在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，关于x的方程1()4f x t =-在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数根，求实数t 的取值范围.解：（1）证明：因为2()32f x ax bx b a '=++-当0a =时，12x =-符合题意；当0a ≠时，2321b b x x a a ++-，令b t a =，则2321x tx t ++- 令2()321h x x tx t =++-，11()024h -=-<，当1t >时，(0)10h t =->， ()y h x ∴=在1(,0)2-内有零点；当1t ≤时，(1)210h t -=-≥>，()y h x ∴=在1(1,)2--内有零点.∴当0a ≠时，()y h x =在(1,0)-内至少有一个零点. 综上可知，函数()y f x '=在(1,0)-内至少有一个零点（2）因为32()()f x ax bx b a x =++-为奇函数，所以0b =，所以3()f x ax ax =-，2()3f x ax a '=-. 又()f x 在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，所以1a =，即3()f x x x =-.()f x ∴在(,),()33-∞-+∞上是单调递增函数，在[上是单调递减函数，由()0f x =解得1x =±，0x =，由1()4f x x =-解之得0x x ==作()y f x =与14y x =-的图知交点横坐标为02x x =±=当383[(0,){}x ∈时，过14y x =-图象上任意一点向左作平行于 x 轴的直线与()y f x =都只有唯一交点，当x 取其它任何值时都有两个或没有交点。

导数中分类讨论的三种常见类型

导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论. 1.导函数根的大小比较实例1：求函数()321132a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间.分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对函数()321132a f x x x ax a -=+--进行求导可以得到导函数()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的范围未知，要讨论函数()321132a f x x x ax a -=+--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进行讨论：当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -.当1a =-时， ()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间.当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.综上所述，当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -；当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当1a >-时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -. 点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于a R ∈，所以要分1a <-，1a =-，1a >-三种情况，这里注意不能漏了1a =-的情况. 2.导函数的根的存在性讨论实例2：求函数()32f x x ax x =++的单调区间分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数()32f x x ax x =++进行求导可以得到导函数()'2321f x x ax =++，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程23210x ax ++=是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式2412a ∆=-，若24120a ∆=-<即a <<23210x ax ++=没有实根，即()'0f x > 在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=-=即a =，方程23210x ax ++=有两个相等的实根123ax x ==-，即()'0f x ≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=->即a a <>，则方程23210x ax ++=有两个不同实根，由求根公式可解得13a x -=，23a x -+=，显然12x x <此时()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：综上所述，当a ≤≤()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当a a <>时，()f x 的单调递增区间为⎛-∞ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭，单调递减区间为33a a ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两个根的大小关系，实例2则相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出来的两根大小已知，所以不用再讨论。

(完整版)导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳

导数习题题型十七:含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1．求导后,导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。

★已知函数ax x a x x f 2)2(2131)(23++-=(a 〉0），求函数的单调区间)2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a xax x f ln )2(2)(+--=（a 〉0）求函数的单调区间 222))(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-='★★★例3已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。

（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程; （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。

解：（Ⅰ）当1a =时,曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。

(Ⅱ）由于0a ≠,所以()()12)1(222+-+='x x a x f ，由()'0f x =,得121,x x a a=-=。

这两个实根都在定()()()()()()22'2222122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++义域R 内，但不知它们之间的大小。

因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。

（1)当0a >时,则12x x <.易得()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数。

故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。

导数中方程根的问题

导数四：导数中的有关方程根的问题一、常见基本题型：(1) 判断根的个数问题，常常转化为函数图象的交点个数问题，通过构造函数来求解，例1.已知函数221()ln(1),().1f x x g x a x =+=+- 求方程()()f x g x =的根的个数.解：令221()()()ln(1)1h x f x g x x a x =-=+--- '2222222211()21(1)1(1)x x h x x x x x x ⎡⎤=+=+⎢⎥+-+-⎣⎦当[0,1)(1,)x ∈⋃+∞时，'()0h x ≥当(,1)(1,0)x ∈-∞-⋃-时，'()0h x <因此，()h x 在(,1),(1,0)-∞--时，()h x 单调递减，在(0,1),(1,)+∞时，()h x 单调递增.又()h x 为偶函数，当(1,1)x ∈-时，()h x 极小值为(0)1h a =- 当1x -→-时，()h x →-∞，当1x +→-时，()h x →+∞ 当x →-∞时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞故()()f x g x =的根的情况为：当10a ->时，即1a <时，原方程有2个根；当10a -=时，即1a =时，原方程有3个根；当10a -<时，即1a >时，原方程有4个根（2）已知方程在给定的区间上解的情况，去求参数的取值范围，另外有关方程零点的个数问题其实质也是方程根的问题。

例1.已知32()(),(,f x ax bx b a x a b =++-是不同时为零的常数），其导函数为()f x '，（1）求证：函数()y f x '=在(1,0)-内至少存在一个零点；（2）若函数()f x 为奇函数，且在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，关于x 的方程1()4f x t =-在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数根，求实数t 的取值范围.解：（1）证明：因为2()32f x ax bx b a '=++-当0a =时，12x =-符合题意；当0a ≠时，2321b b x x a a++-，令b t a =，则2321x tx t ++- 令2()321h x x tx t =++-，11()024h -=-<，当1t >时，(0)10h t =->， ()y h x ∴=在1(,0)2-内有零点；当1t ≤时，(1)210h t -=-≥>，()y h x ∴=在1(1,)2--内有零点.∴当0a ≠时，()y h x =在(1,0)-内至少有一个零点.综上可知，函数()y f x '=在(1,0)-内至少有一个零点（2）因为32()()f x ax bx b a x =++-为奇函数，所以0b =，所以3()f x ax ax =-，2()3f x ax a '=-. 又()f x 在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，所以1a =，即3()f x x x =-.()f x ∴在(,),()33-∞-+∞上是单调递增函数，在[,]33-上是单调递减函数，由()0f x =解得1x =±，0x =，由1()4f x x =-解之得02x x =±=作()y f x =与14y x =-的图知交点横坐标为,02x x =±=当383[(0,){}229x ∈-时，过14y x =-图象上任意一点向左作平行于x 轴的直线与()y f x =都只有唯一交点，当x 取其它任何值时都有两个或没有交点。

高中数学第一章导数及其应用 1.3 导数在研究函数中

二次函数闭区间上的最值问题与根的分布一、二次函数闭区间上的最值问题一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。

一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设2()(0)f x ax bx c a =++≠，求在[,]x m n ∈上的最大值与最小值。

分析：将2()(0)f x ax bx c a =++≠配方，得对称轴方程2b x a=- 当0a >时，抛物线开口向上若[,]2b m n a-∈必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值；若[,]2b m n a-∉ 当0a >时，抛物线开口向上，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离对称轴2bxa =-较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值。

当0a <时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当0a >时 m a x 121()()()22()1()()()22b f m m n a f x b f n m n a ⎧-≥+⎪⎪=⎨⎪-<+⎪⎩如图如图，，f x f n b a n f b a m b a n f m b a m ()()()()()()()m in =->-≤-≤-<⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪，，，如图如图如图2222345当a <0时f x f n b a n f b a m b a n f m b a m ()()()()()()()m ax =->-≤-≤-<⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪，，，如图如图如图2222678 m i n 9101()()()22()1()()()22b f m m n a f x b f n m n a ⎧-≥+⎪⎪=⎨⎪-<+⎪⎩如图如图，，。

新高考数学复习考点知识培优专题讲解 22 导数解决函数零点交点和方程根的问题(解析版)

新高考数学复习考点知识培优专题讲解专题22 导数解决函数零点交点和方程根的问题一、单选题1．已知关于x 的方程2x e ax =有三个不等的实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(),e +∞D ．()2,e +∞【答案】B 【分析】参变分离后可根据直线y a =与函数()()20xef x x x=≠的图象有3个不同的交点可得实数a 的取值范围. 【详解】问题等价于2xe a x =又三个不等的实数根，令()()20xe f x x x =≠，()()32x e x f x x-'=，当(),0x ∈-∞时，()0f x '>，当()2,+x ∈∞时，()0f x '>，当()0,2x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在(),0-∞和()2,+∞上为增函数，在()0,2上为减函数，又()0f x >，且极小值为()224e f =，()f x 的图象如图所示：因此y a =与()f x 的图象有三个不同的交点时，24e a >. 故选：B. 【点睛】方法点睛：对于导数背景下的函数零点问题，我们可以针对不同的题型采取不同的策略：（1）填空题或选择题类：可以采用参变分离的方法把参数的范围问题归结为动直线与不含参数的函数的图象的交点问题，后者可以利用导数来刻画图象；（2）解题类：一般不可以利用参变分离的方法来处理，因为函数的图象可能有渐近线，一般地利用导数研究函数的单调性，并结合零点存在定理来判断.2．已知函数()3sin f x x x ax =+-，则下列结论错误的是（）A ．()f x 是奇函数B ．若0a =，则()f x 是增函数C ．当3a =-时，函数()f x 恰有三个零点D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点【答案】C对A,根据奇函数的定义判定即可. 由条件可得()2cos 3f x x x a '=+-，则()sin 6f x x x ''=-+，()cos 60f x x ''=-+≥,所以()sin 6f x x x ''=-+在R 上单调递增,且()00f ''=,所以当0x <时，()0f x ''<，当0x >时，()0f x ''>，则()2cos 3f x x x '=+在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则()()01f x f a ''≥=-,将a 的值代入分别计算分析，可判断选项B ，C ，D 【详解】对A, ()3sin f x x x ax =+-的定义域为R ,且()()()3sin f x x x ax -=-+-+3sin ()x x ax f x =--+=-.故A 正确.由条件可得()2cos 3f x x x a '=+-，则()sin 6f x x x ''=-+，()cos 60f x x ''=-+≥所以()sin 6f x x x ''=-+在R 上单调递增,且()00f ''= 所以当0x <时，()0f x ''<，当0x >时，()0f x ''>，则()2cos 3f x x x '=+在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则()()01f x f a ''≥=- 对B, 当0a =时，()2'cos 30f x x x =+>，所以()f x 是增函数，故B 正确.对C,当3a =-时，由上可知, ()()014f x f a ''≥=-=，所以()f x 是增函数,故不可能有3个零点.故C 错误.对D,当3a =时，()2cos 33f x x x '=+-，由上可知在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增. 则()()min 0132f x f ''==-=-，()1cos10f '-=>，()1cos10f '=> 所以存在()()121,0,0,1x x ∈-∈，使得()10fx '=，()20f x '=成立则在()1,x -∞上，()0f x '>，在()12,x x 上，()0f x '<，在()2,x +∞上，()0f x '>.所以函数()3sin 3f x x x x =+-在()1,x -∞单调递增，在()12,x x 的单调递减，在()2,x +∞单调递增.所以函数()f x 恰有两个极值点，故D 正确. 故选：C关键点睛：本题主要考查利用导数分析函数的单调性从而得出函数的零点和极值情况，解答本题的关键是对原函数的单调性分析，由条件可得()2cos 3f x x x a '=+-，则()sin 6f x x x ''=-+，()cos 60f x x ''=-+≥所以()sin 6f x x x ''=-+在R 上单调递增,且()00f ''=，所以当0x <时，()0f x ''<，当0x >时，()0f x ''>，则()2cos 3f x x x '=+在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则()()01f x f a ''≥=-，经过多次求导分析出单调性，属于中档题. 3．已知函数x y a =（1a >）与log a y x =（1a >）的图象有且仅有两个公共点，则实数a 的取值范围是（） A ．1e1ea <<B ．1e a <<C ．1ee e a <<D ．e a >【答案】A 【分析】将问题转化为()1xy aa =>的图象与y x =有两个公共点，即ln ln xa x=有两解，再构造新函数()ln xf x x=，根据()f x 的单调性和取值分析ln a 的取值即可得到结果. 【详解】因为函数()()1,log 1xa y aa y x a =>=>的图象关于直线y x =对称，所以两个图象的公共点在y x =上，所以()1xy aa =>的图象与y x =有两个公共点，即x x a =有两解，即ln ln x x a =有两解，即ln ln xa x=有两解，令()ln x f x x =，所以()21ln xf x x -'=，当()0,x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，()f x 大致图象如下图所示：所以()10ln a f e e<<=，所以11e a e <<，故选：A. 【点睛】结论点睛：函数图象的交点个数、方程根的数目、函数的零点个数之间的关系：已知()()()h x f x g x =-，则有()h x 的零点个数⇔方程()()f x g x =根的数目⇔函数()f x 与函数()g x 的图象的交点个数.4．已知函数()ln xf x e x ax b =+--，则下列说法正确的是（）A ．存在a 、b ∈R ，函数()f x 没有零点B ．任意b ∈R ，存在0a >，函数()f x 恰有1个零点C ．任意0a >，存在b ∈R ，函数()f x 恰有2个零点D ．任意b ∈R ，存在0a >，函数()f x 恰有3个零点【答案】B 【分析】利用零点存在定理可判断A 选项的正误；分析出()()0min f x f x '='，讨论当()00f x '≥时，利用函数()f x 的单调性与零点存在定理可判断B 选项的正误；由B 选项可判断C 选项的正误；令()ln x g x e x ax =+-，可知当函数()f x 恰有3个零点，函数()g x 必有两个极值点，利用导数求得()g x 的极大值为负数，进而可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，当0x →时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →+∞时，所以，对任意的a 、b ∈R ，函数()f x 必有零点，A 选项错误；对于B 选项，()1xf x e a x '=+-，则()21x f x e x''=-，函数()f x ''在()0,∞+上单调递增， 2329034f e ⎛⎫''=-< ⎪⎝⎭，()110f e ''=->，所以，存在02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00f x ''=.当00x x <<时，()0f x ''<，此时函数()f x '单调递减；当0x x >时，()0f x ''>，此时函数()f x '单调递增.所以，()()00min 01x f x f x e a x ''==+-. 当010xa e x <≤+时，对任意的0x >，()0f x '≥，此时函数()f x 单调递增，由A 选项可知，函数()f x 有唯一的零点，B 选项正确；对于C 选项，任意0a >，由B 选项可知，当010x a e x <≤+时，对任意的0x >，()0f x '≥，此时函数()f x 单调递增，函数()f x 至多有1个零点，C 选项错误；对于D 选项，令()ln xg x e x ax =+-，则函数()f x 的零点个数等价于直线y b =与函数()g x 的图象的交点个数，若函数()f x 有三个零点，则函数()g x 必有两个极值点1x 、2x ，且满足102x x x <<，()1x g x e a x =+-'，由题意可得()()1211221010x x g x e a x g x e a x ⎧=+-=⎪⎪⎨⎪=+-='⎩'⎪，且()()g x f x ''=，由于函数()g x '在区间()00,x 上单调递减，在区间()0,x +∞上单调递增，所以，当10x x <<或2x x >时，()0g x '>，当12x x x <<时，()0g x '<. 所以，()()()1111111111111ln ln 1ln 1xxxx g x g x e x ax e x x e x e x x ⎛⎫==+-=+-+=-+- ⎪⎝⎭极大值，()()()22221ln 1x g x g x x e x ==-+-极小值，令()()1ln 1xh x x e x =-+-，则()()211x x h x xe x e xf x x x ⎛⎫'''=-=-=- ⎪⎝⎭，由B 选项可知，令()0h x '=，可得02,13x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭使得()00h x '=，则0201x e x =，可得002ln x x =-. 当00x x <<时，()0h x '>，此时函数()h x 单调递增；当0x x >时，()0h x '<，此时函数()h x 单调递减.所以，()()()000000022max 0001111ln 11122xx x x h x h x x e x x x x -==-+-=--=---3200022222x x x x ---=，函数()32222p x x x x =---在2,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，27620327p ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，当213x <<时，()203p x p ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以，()()0max 0h x h x =<. 所以，()()10g x g x =<极大值，因此，当0b >时，不存在0a >使得函数()f x 有3个零点，D 选项错误. 故选：B. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.5．函数()22ln 3xf x xe x x k =---+有且只有一个零点，则k 的值为（）A ．ln 5B ．52ln 2-C ．2D ．ln3【答案】B 【分析】分离参数22ln 3x k xe x x =--+有一个交点，设()22ln 3xg x xe x x =--+，利用导数求出()g x 的单调区间，若()g x 有且只有1个零点，所以()00g x =，代入函数()g x 求解即可. 【详解】函数()22ln 3xf x xe x x k =---+有且只有一个零点，22ln 3x k xe x x ∴=--+有一个交点，设()22ln 3xg x xe x x =--+，则()2e e 2xxg x x x '=+--，则()()()22e 20x g x x x''=⋅++>，所以()f x '单调递增. 而102f ⎛⎫'< ⎪⎝⎭，()20f '>，所以存在01,22⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 使得()000002e e 20x x g x x x '=+--=，即()00021e 0x x x ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭，且当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>.所以()g x 在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增.又因为0x →且0x >时，()g x →+∞，x →+∞时，()g x →+∞，且()g x 有且只有1个零点，所以()00g x =.由()00021e 0x x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（02x >）可得002e 0x x -=，即002e x x =，两边同时取自然对数得00ln 2ln x x =-，整理得00ln ln 2x x +=；又00e2x x =，所以()()00000e 2ln 322ln 230x f x x x x k k =-+-+=--+=，所以52ln 2k =-，故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的零点，解题的关键是转化为求()22ln 3x g x xe x x =--+的单调区间，考查了转化为与划归的思想.6．已知函数()ln f x x =，若函数()12g x kx =-与函数()y f x =的图象有且仅有三个交点，则k 的取值范围是（）A ．120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭）B ．1122,e e --⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1122,00,e e --⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1122,00,e e -⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C 【分析】()g x 的图象是直线，()f x 的图象是()ln f x x =的图象及关于y 轴对称的图象，直线与()f x 的图象要有三个交点，可求出直线与()y f x =的图象相切时的斜率k ，然后结合图象利用分类讨论思想可得结论．【详解】易知函数()12g x kx =-的图象是过定点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，斜率为k 的直线，设为l ；利用偶函数()f x 的图象关于y 轴对称的性质，作出()f x 的图象如图所示（左右两支），其中1,0A ，结合图形易知函数()g x 与函数()fx 的图象有且仅有三个交点时，直线l 与左支有两个交点()0k <或与右支有两个交点()0k >.当0k >时，直线l 与()fx 图象的右支相切于点B 为临界状态，且0PBk k<<.设()()000,1B x y x >，1()f x x '=，则有00011ln 2PB PB k x x k x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⋅-⎪⎩，解得12012PBx e k e -⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以120k e -<<；当0k <时，由于函数()f x 的图象关于y 轴对称，所以120ek --<<.故选：C.【点睛】方法点睛：本题考查直线与函数图象交点个数问题，解题方法是数形结合思想，即作出函数图象与直线，观察它们交点个数，求出临界点的直线斜率，然后得出结论．7．已知函数()3ln ,393x f x x x <≤=⎨<≤⎪⎩，若函数()()g x f x ax =-有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A．12⎫⎪⎪⎣⎭B ．ln 311,932e ⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭C．1ln 31,,3923e ⎡⎡⎫⋃⎢⎪⎢⎣⎭⎣⎭D．ln 3110,9332e ⎫⎛⎫⎧⎫⋃⋃⎪⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎩⎭⎣⎭【答案】D 【分析】函数()()g x f x ax =-有两个不同的零点等价于方程()f x a x=有两个不同的根，即可得答案；【详解】函数()()g x f x ax =-有两个不同的零点等价于方程()f x a x=有两个不同的根，3,()ln3,39,x f x x x x x<≤⎪=⎨⎪<≤⎪⎩，令()u x =∴''()u x == ''()012,()023,u x x u x x >⇒<<<⇒<<∴()u x 在(1,2)递增，在(2,3)递减，∴1(1)0,(2),(3)23u u u ===∴()(0,]3u x ∈，且令lnln33()33x xv x x x ==⨯，39x <≤，令3xt =，则1ln ()3t y v x t ==，13t <≤，'211ln 3t y t-=⋅，当'0y t e =⇒=，'01y t e >⇒<<，'03y e t <⇒<<，∴y 在(1,)e 递增，在(,3)e 递减，且1ln 3(1)0,(),(3)39y y e y e === ∴1()(0,]3v x e∈，所以直线y a =与3,()ln3,39,x x f x x x x x<≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩有两个交点，可得a的取值范围为：ln 3110,932e ⎫⎛⎫⎧⎫⋃⋃⎪⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎩⎭⎣⎭. 故选：D. 【点睛】利用参变全分离，再结合导数研究函数的图象特征，从而得到参数的取值范围，是常用的方法；本题若是采用半分离，图象不好作出，容易犯错.8．已知函数()ln f x x ax =-有两个零点，则实数a 的取值范围为（） A ．1a e<B ．0a <C ．0a ≤D ．10a e<<【答案】D 【分析】求出()f x 的导数，可得0a ≤时函数单调递增，不满足题意，0a >时，利用()max 0f x >可得. 【详解】可知()f x 的定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，()f x 单调递增，则()f x 不可能有两个零点；当0a >时，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，则()f x 在1x a =处取得极大值即最大值11ln 1f a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，要满足()ln f x x ax =-有两个零点，则1ln 10a ->，解得10a e<<，综上，10a e<<.故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数的零点，根据零点个数求参数，一般如下步骤：（1）求出函数的定义域，求出函数的导数；（2）先讨论参数范围（以明显使得导数为正或负为参数界点讨论）；（3）利用导数正负讨论函数单调性，得出极值或最值；（4）以极值或最值列出满足条件的等式或不等式，即可求出.9．已知函数()()22,02ln ,0x x f x a x x x x -⎧<⎪=⎨++>⎪⎩，若恰有3个互不相同的实数1x ，2x ，3x ，使得()()()1232221232f x f x f x x x x ===，则实数a 的取值范围为（） A ．1a e>-B ．10a e-<< C ．0a ≥ D ．0a ≥或1a e=-【答案】D 【分析】根据题意，令()()221,02ln 2,0x x f x x g x x x a x x ⎧<⎪⎪⋅==⎨⎪++>⎪⎩，得到函数()()2f xg x x =与直线2y =共有三个不同的交点；根据导数的方法，分别判断0x <和0x >时，函数的单调性，以及最值，结合题中条件，即可得出结果. 【详解】因为()()22,02ln ,0x x f x a x x x x -⎧<⎪=⎨++>⎪⎩，令()()221,02ln 2,0x x f x xg x x x a x x ⎧<⎪⎪⋅==⎨⎪++>⎪⎩，由题意，函数()()2f x g x x=与直线2y =共有三个不同的交点；当0x <时，()212x g x x =⋅，则()()()()222232222ln 222ln 22222x x x x x x x x x x g x x x x '-⋅⋅+⋅+'==-=-⋅⋅⋅，由()3ln 2202x x g x x +'=-=⋅解得222log ln 2x e =-=-；所以()2,2log x e ∈-∞-时，()0g x '<，即函数()212x g x x=⋅单调递减； ()22log ,0x e ∈-时，()0g x '>，即函数()212x g x x=⋅单调递增；所以()()()()222222min 2log 2212log 2422log 4log ee e g x g e e e -=-==<<⋅-，又2121122122g -⎛⎫-==> ⎪⎝⎭⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，()()271128724927g --==>⋅-，所以()212x g x x=⋅与直线2y =有且仅有两个不同的交点；当0x >时，()ln 2xg x a x =++，则()21ln x g x x-'=，由()21ln 0xg x x-'==得x e =，所以当()0,x e ∈时，()0g x '>，则函数()ln 2xg x a x =++单调递增；当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，则函数()ln 2xg x a x=++单调递减；所以()()max 12g x g e a e ==++，又当1≥x 时，()ln 22xg x a a x =++≥+；当01x <<时，()2g x a <+；当x e ≥时，()ln 22xg x a a x =++>+，所以为使()ln 2xg x a x=++与直线2y =只有一个交点，只需122a e ++=或22a +≥，即1a e=-或0a ≥.故选：D.【点睛】本题主要考查由方程根的个数求参数，转化为函数交点个数问题求解即可，属于常考题型. 10．已知函数2()ln (2)(0)f x x ax b a x a b x =++-+->恰有三个零点，则（） A ．0a > B ．0b ≤C ．0ab ≥D ．0ab ≤【答案】A 【分析】由函数式确定函数有一个零点1，然后变形为：两个零点是方程ln (1)1xa xb x -=-+-的两根．确定ln ()1xg x x =--的单调性，同时求出1x →时，()g x 的极限为1-，从而作出函数()g x 的图象，作直线(1)y a x b =-+，由图象可得0a >时直线与()g x 的图象才可能有两交点．【详解】222()ln (2)ln (21)(1)ln (1)(1)f x x ax b a x a b x a x x b x x a x b x =++-+-=+-++-=+-+-，显然1x =是函数的一个零点，因此另两个零点是方程ln (1)1xa xb x -=-+-的两根．即函数ln ()(01xg x x x =->-且1)x ≠的图象与直线(1)y a x b =-+有两个交点，直线(1)y a x b =-+过点(1,)b ，2211ln ln 1()(1)(1)x x x x x g x x x ---+'=-=--，设1()ln 1h x x x=-+，则22111()x h x x x x -'=-=，01x <<时，()0h x '<，()h x 递减，1x >时，()0h x '>，()h x 递增，∴()(1)0h x h ≥=．∴0x >且1x ≠时，()0g x '>，∴()g x 在(0,1)和(1,)+∞上都是增函数，又1111ln lim ()lim lim 111x x x x x g x x →→→⎛⎫⎪⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭，因此定义(1)1g =-，这样新函数()g x 在(0,)+∞上是增函数，作出函数ln ,01()11,1xx x g x x x ⎧->≠⎪=-⎨⎪-=⎩且的图象，作直线(1)y a x b =-+，显然只有0a >，它们才可能有两个交点．故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题解题关键是把零点转化为方程的解，再转化为函数图象与直线的交点，通过导数研究出新函数的性质，作出大致图象，可得直线与函数图象交点个数情况，从而得解． 11．已知函数()()ln f x a x x a a R =--∈有两个零点，则a 的取值范围（） A ．(),e -∞ B ．()2,e-∞C ．(),e +∞D ．()2,e +∞【答案】D 【分析】求导，分类讨论a ，当0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，()f x 最多只有一个零点，不符合题意；当0a >时，()f x 在(0,)a 上递增，在(,)a +∞上递减，()f x 取得最大值()ln 2f a a a a =-，由()ln 20f a a a a =->解得结果即可得解. 【详解】()f x 的定义域为(0,)+∞，()1a a x f x x x'-=-=，当0a ≤时，()0f x '≤，函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，()f x 最多只有一个零点，不符合题意；当0a >时，由()0f x '<得x a >，由()0f x '>得0x a <<，所以()f x 在(0,)a 上递增，在(,)a +∞上递减，所以当x a =时，()f x 取得最大值()ln 2f a a a a =-，因为x 趋近于0时，()f x 趋近于负无穷大，x 趋近于正无穷大时，()f x 趋近于负无穷大，所以要使()f x 有两个零点，只需()ln 20f a a a a =->，因为0a >，所以ln 2a >，所以2a e >. 故选：D 【点睛】方法点睛：已知函数零点的个数求参数值(取值范围)常用的方法：利用导数判断函数的单调性，研究函数的极值与最值，根据函数变化趋势作出大致图象，通过图象直观分析解决问题. 12．若函数2()x f x mx e -=-+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为（） A ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(1,)eD ．(,)e +∞【答案】B 【分析】根据题意，得到方程有两不等实根，构造函数2()x e g x x-=，0x ≠，对其求导，判定函数单调性，求出极值，画出函数大致图像，结合图像，即可得出结果. 【详解】显然，0x =不是函数()f x 的零点，令2()0x f x mx e-=-+=，得2x e m x-=，构造函数2()x e g x x -=，0x ≠，则22(1)()x e x g x x--'=，令()0g x '>得到1x >，令()0g x '<得到1x <且0x ≠，即函数2()x e g x x-=在(),0-∞上单调递减，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；所以函数2()x e g x x-=有极小值1(1)g e =；画出函数()g x 的图象，如图所示，由图像可知，当0m ≤时，直线y m =与()g x 的图象不可能有两个交点，当0m >，只需1m e>，()g x 的图象与直线y m =即有两个不同的交点，即函数2()x f x mx e -=-+恰有两个不同的零点，∴m 的取值范围为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题主要考查导数的方法研究函数的零点，利用数形结合的方法即可求解，属于常考题型.二、多选题13．函数()ln 1xx kf x e x+=--在()0,∞+上有唯一零点0x ，则（） A ．001x x e=B ．0112x << C ．1k = D ．1k >【答案】ABC 【分析】由()0f x =，可得出()ln xxk xe xe=-，令()xu x xe =，0x >，利用导数得出函数()u x 在()0,∞+上为增函数，再令()ln g t t t =-，其中0t >，利用导数分析函数()g t 在()0,∞+上的单调性，可求得1k =，可判断ACD 选项的正误，再结合函数()u x 的单调性可判断B 选项的正误. 【详解】由()0f x =，可得()ln 0xxe x x k -+-=，即()ln xxk xe xe=-，令()xu x xe =，其中0x >，则()()10xu x x e '=+>，所以，函数()xu x xe =在区间()0,∞+上单调递增，则()()00u x u >=，令()ln g t t t =-，其中0t >，()111t g t t t'-=-=. 当01t <<时，()0g t '<，此时函数()g t 单调递减；当1t >时，()0g t '>，此时函数()g t 单调递增. 所以，()()min 11g t g ==.若函数()f x 在()0,∞+上有唯一零点0x ，则1k =. 所以，()0001x u x x e==，由于函数()u x 在()0,∞+上单调递增，112u ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()11u e =>，即()()0112u u x u ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，0112x ∴<<，所以，ABC 选项正确，D 选项错误. 故选：ABC.【点睛】利用导数求解函数的零点个数问题，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程（或不等式）组求解，实现形与数的和谐统一. 14．已知函数()1ln f x x x x=-+，给出下列四个结论，其中正确的是（） A ．曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为10x y ++= B ．()f x 恰有2个零点C ．()f x 既有最大值，又有最小值D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】BD 【分析】本题首先可根据()10f -=以及13f判断出A 错误，然后根据当0x >时的函数单调性、当0x <时的函数单调性、()10f -=以及()10f =判断出B 正确和C 错误，最后根据()()120f x f x +=得出()121f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，根据函数单调性即可证得121=x x ，D 正确. 【详解】函数()1ln f x x x x=-+的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，当0x >时，()1ln f x x x x=-+，()2221111x x f x x x x -+-'=--=；当0x <时，1ln f x xx x，()2221111x x f x x x x -+-'=--=，A 项：1ln 1110f，22111131f，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为031y x ，即33y x =--，A 错误；B 项：当0x >时，222215124x xx f xx x ，函数()f x 是减函数，当0x <时，222215124x x x f xx x ，函数()f x 是减函数，因为()10f -=，()10f =，所以函数()f x 恰有2个零点，B 正确； C 项：由函数()f x 的单调性易知，C 错误； D 项：当1>0x 、20x >时，因为()()120f x f x +=，所以1222222221111ln lnf x f x x x x fx x x x ，因为()f x 在()0,∞+上为减函数，所以121x x =，120x x >，同理可证得当10x <、20x <时命题也成立，D 正确，故选：BD. 【点睛】本题考查函数在某点处的切线求法以及函数单调性的应用，考查根据导函数求函数在某点处的切线以及函数单调性，导函数值即切线斜率，若导函数值大于0，则函数是增函数，若导函数值小于0，则函数是减函数，考查函数方程思想，考查运算能力，是难题. 15．已知函数()()2+cos 4x f x x x R ππ=-∈，则下列说法正确的有（）A ．直线y =0为曲线y =f (x )的一条切线B ．f (x )的极值点个数为3C ．f (x )的零点个数为4D ．若f (1x )=f (2x )(1 x ≠2x )，则1x +2x =0 【答案】ABD 【分析】求导()()'2sin xfx x x R π=-∈，令'0f x，即2sin xx π=，令1sin y x =，22xy π=，在同一坐标系中作出两函数的图像，得出导函数取得正负的区间，从而可得出原函数的单调性，再求出()0f ，2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫- ⎪⎝⎭，可作出函数()f x 的图象，从而可得出选项. 【详解】因为()()2+cos 4x f x x x R ππ=-∈，所以()()'2sin xf x x x R π=-∈，令'0f x，即2sin xx π=，令1sin y x =，22xy π=，在同一坐标系中作出两函数的图像，由图像得：当,2x π⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭和,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2sin x x π<，所以此时()'>0f x ，所以()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭和,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 上单调递增；当,2x π⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭和02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2sin >x x π，所以此时()'0f x <，所以()f x 在2π⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，和0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；且()014f π=-，22+cos 0224f πππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=-= ⎪⎝⎭，22+cos 0224f πππππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，作出函数()f x 的图象如下图所示：对于A 选项：根据函数的图象，知A 选项正确；对于B ：由图象得'0f x 有3个不同的解，有3个极值点，故B 正确；对于C ：当2x π=或2x π=-时，()0f x =，所以函数()f x 有2个零点，故C 不正确；对于D ：因为()()()()22+cos +cos 44x x f x x x f x ππππ--=--=-=，所以函数()f x 是偶函数，所以函数()f x 关于y 轴对称，若()()12f x f x =，则()()()122f x f x f x ==-，所以12x x =-，即12+0x x =，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查运用导函数求函数的切线方程，运用导函数研究函数的单调性，极值，零点，关键在于由导函数的正负，得出原函数所对应的单调性，从而得出原函数的图象趋势，运用数形结合的思想解决问题，属于中档题.16．已知函数()ln f x x mx =-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列结论不正确的是（） A ．10m e<<B ．21x x -的值随m 的增大而减小C ．101x <<D ．2x e >【答案】ABD 【分析】由()0f x =得出ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断ACD 选项的正误；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<，利用函数()g x 的单调性结合不等式的基本性质得出2121ξξηη->-，可判断B 选项的正误. 【详解】令()0f x =，可得ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，定义域为()0,∞+，()1ln x g x x -'=. 当0x e <<时， ()0g x '>，此时函数()g x 单调递增；当x e >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减. 所以，()()max 1g x g e e==，如下图所示：由图象可知，当10m e <<时，直线y m =与函数()ln x g x x=的图象有两个交点，A 选项正确；当1x >时，()0g x >，由图象可得11x e <<，2x e >，C 选项错误，D 选项正确；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<. 由于函数()g x 在区间()1,e 上单调递增，且()()11g g ξη<，11ξη∴<；函数()g x 在区间(),e +∞上单调递减，且()()22g g ξη<，22ξη∴>. 由不等式的基本性质可得1212ξξηη-<-，则2121ξξηη->-. 所以，21x x -的值随m 的增大而减小，B 选项正确.故选：ABD. 【点睛】在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定()m g x =有两个实根时实数m 应满足的条件，并注意()g x 的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数()y g x =的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．三、解答题17．已知函数()sin f x x =，()cos xg x e x =．（1）讨论函数()()()g x h x f x =在()0,π上的单调性；（2）求函数()()()H x g x xf x =-在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点个数．【答案】（1）函数在()0,π上的单调递减；（2）有且只有一个零点．【分析】（1）由题设得()e cos sin x xh x x=，求导()21e sin 212sin x x h x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=，可判断()0h x '<，故函数()()()g x h x f x =在()0,π上的单调递减．（2）由题设()e cos sin xH x x x x =-，求()()e cos sin cos sin xH x x x x x x '=---，可判断()0H x '<，故函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，又π04H ⎛⎫> ⎪⎝⎭，π02H ⎛⎫< ⎪⎝⎭，可知函数()()()H x g x xf x =-在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个零点．【详解】（1）()e cos sin x x h x x=，则()()221e sin 21e sin cos 12sin sin x x x x x h x x x⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==．当()0,πx ∈时， 0x e >，2sin 0x >，111sin 2,222x -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即1sin 2102x -<， ()0h x '∴<，故函数()()()g x h x f x =在()0,π上的单调递减．（2）()()()e cos sin xH x g x xf x x x x =-=-，则()e cos e sin cos sin x x H x x x x x x '=---()e cos sin cos sin x x x x x x =---，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，cos 0x x∴≥，sin 0x >，又cos sin 4x x x π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且ππ3π,424x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，cos sin 0x x ∴-<()0H x '∴<，故函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，又π4ππe 0424H ⎫⎛⎫=->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ022H ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，因此，函数()()()H x g x xf x =-在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个零点．【点睛】方法点睛：本题考查判断函数单调性，及求函数零点个数，求函数零点个数常用的方法：（1）方程法：令()0f x =，如果能求出解，有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．（3）数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 18．已知函数()()ln xx xf x ax a e +=-∈R ．（1）当1a e=时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 只有1个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()f x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间()1,+∞；（2）(]1,0e ⎧⎫-∞⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）由1a e=得到()f x ，求得()f x '，然后由()()0,0f x f x ''><求解. （2）由()0f x =得到ln xx x ax e+=，令()()ln 0x x xG x x e +=>，将问题转化为y ax =与函数()G x 的图象有且只有一个交点，利用导数法画出()G x 的大致图象，利用数形结合法求解.【详解】（1）()f x 的定义域是()0,∞+，当1a e =时，()ln xx x x f x e e +=-，()1111ln 1ln 1x x xx x e x xx x f x e e e -+----++'=-=，易知111ln x y ex x x-=--++单调递增，且当1x =时，0y =，所以当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，因此()f x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间()1,+∞．（2）由()0f x =，得ln xx xax e +=，令()()ln 0xx xG x x e+=>，若函数()f x 只有一个零点，则直线y ax =与函数()G x 的图象有且只有一个交点．()()()2111ln 1ln x x xx e x x ex x x x G x e e ⎛⎫+-++-- ⎪⎝⎭'==，令()()11ln 0H x x x x x =+-->，则()21110H x x x'=---<，所以()H x 在()0,∞+上单调递减，易知()1111ln110H =+--=>，()11212ln 2ln 2022H =+--=--<，所以存在()01,2x ∈，使得()00H x =，当00x x <<时，()0H x >，()0G x '>，()G x 单调递增；当0x x >时，()0H x <，()0G x '<，()G x 单调递减．易知当0x +→时，()G x →-∞；当x →+∞时，()0G x →．作出直线y ax =与函数()G x 的大致图象如图所示，由图可知，若0a ≤，则直线y ax =与函数()G x 的图象有且只有一个交点．若0a >，则当直线y ax =与函数()G x 的图象相切时，有且只有一个交点，设切点为()(),0m am m >，则11ln ln m mm mm a e m mam e ⎧+--⎪=⎪⎨⎪+=⎪⎩，得1m =，1a e =．故实数a 的取值范围是(]1,0e ⎧⎫-∞⎨⎬⎩⎭．【点睛】方法点睛：函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一．19．已知函数()()3ln 1f x x x =-，()ln 4m g x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭．（1）求()f x 的最值；（2）若4m ≤，求关于x 的方程()()f x g x =（1≥x ）的实数根的个数．【答案】（1）最小值为2e 3-，无最大值；（2）当4m =时，关于x 的方程()()f x g x =（1≥x ）的实数根的个数为2；当4m <时，关于x 的方程()()f x g x =（1≥x ）的实数根的个数为1．【分析】（1）求出()()23ln 2f x xx '=-得出()f x 的单调区间，从而得出其最值.（2）将问题转化为()()221ln h x x x x =--（1≥x ）的图象与射线4my =-（1≥x ）的交点个数，求出()h x '得出()h x 的单调区间，分析其交点情况，得出答案. 【详解】（1）因为()()3ln 1f x x x =-（0x >），所以()()2223ln 23ln 2f x x x x xx '=-=-．令()0f x '=，解得23e x =，当230e x <<时，()0f x '<；当23e x >时，()0f x '>．所以函数()()3ln 1f x x x =-在230,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在23e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．故()32222333mine e e ln e 13f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当x →+∞ 时，()f x →+∞所以()f x 的最小值为2e 3-，无最大值．（2）因为()()f x g x =（1≥x ），所以()221ln 4mx x x --=-（1≥x ），关于x 的方程()()f x g x =（1≥x ）的实数根的个数等价于函数()()221ln h x x x x =--（1≥x ）的图象与射线4my =-（1≥x ）的交点个数．因为()12ln h x x x x x'=--（1≥x ），令()()x h x ϕ='（1≥x ），则()212ln 10x x xϕ'=++>，所以()h x '在[)1,+∞上单调递增，又()120h '=-<，()11e 2ln 0h e e e e e e'=--=->，故存在唯一的()01,x e ∈，使得()00h x '=，所以()h x 在[)01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，且()()1e 1h h ==-，因为当2x e >时，()()()2222221ln 1ln 2h x x x x x e x x =-->--=-，所以当x e >时，()1h x >-．因为4m ≤，所以14m-≥-，当4m =时，函数()h x 的图象与射线1y =-（1≥x ）有两个交点，当4m <时，函数()h x 的图象与射线4my =-（1≥x ）有一个交点．综上，当4m =时，关于x 的方程()()f x g x =（1≥x ）的实数根的个数为2；当4m <时，关于x 的方程()()f x g x =（1≥x ）的实数根的个数为1．【点睛】方法点睛：根据方程的根的个数（或零点个数）求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 20．已知函数()3213f x x ax bx ab =-+++．（1）若()f x 是奇函数，且有三个零点，求b 的取值范围；（2）若()f x 在1x =处有极大值223-，求当[]1,2x ∈-时()f x 的值域．【答案】（1）()0,∞+；（2）5022,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）先由函数奇偶性，得到0a =，得出()313f x x bx =-+，对其求导，分别讨论0b ≤和0b >两种情况，根据导数的方法判定函数单调性，结合零点个数，即可求出结果；（2）先对函数求导，根据极大值求出2,5.a b =-⎧⎨=⎩，根据函数单调性，即可求出值域.【详解】（1）∵()f x 是定义域为R 的奇函数，所以0a =，且()00f =． ∴()313f x x bx =-+， ∴()2f x x b '=-+．当0b ≤时，()20f x x b '=-+≤，此时()f x 在R 上单调递减，()f x 在R 上只有一个零点，不合题意．当0b >时，()20f x x b '=-+>，解得x <<∴()f x 在(,-∞，)+∞上单调递减，在(上单调递增，∵()f x 在R 上有三个零点，∴0f >且(0f <，即3103f=-+>，即0>，而0>恒成立，∴0b >．所以实数b 的取值范围为()0,∞+．（2）()22f x x ax b '=-++，由已知可得()1120f a b '=-++=，且()122133f a b ab =-+++=-，解得2,3,a b =⎧⎨=-⎩或2,5.a b =-⎧⎨=⎩ 当2a =，3b =-时，()3212363f x x x x =-+--，()243f x x x '=-+-，令()0f x '≥，即2430x x -+-≥，解得13x ≤≤，令()0f x '<，即2430x x -+-<，解得1x <或3x >，即函数()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,3上单调递增，在()3,+∞上单调递减；所以1x =是()f x 的极小值点，与题意不符．当2a =-，5b =时，()32125103f x x x x =--+-，()245f x x x '=--+．令()0f x '≥，即2450x x --+≥，解得51x -≤≤；令()0f x '<，即2450x x --+<，解得5x <-或1x >，即函数()f x 在(),5-∞-上单调递减，在()5,1-上单调递增，在()1,+∞上单调递减；所以1x =是()f x 的极大值点，符合题意，故2a =-，5b =．又∵[]1,2x ∈-，∴()f x 在[]1,1-上单调递增，在[]1,2上单调递减．又()5013f '-=-，()2213f =-，()3223f =-．所以()f x 在[]1,2-上的值域为5022,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【点睛】思路点睛：导数的方法求函数零点的一般步骤：先对函数求导，由导数的方法求出函数的单调性区间，根据函数极值的定义，求出函数的的极值，再根据函数函数的零点个数，确定极值的取值情况，进而可得出结果. 21．设函数21()sin cos 2f x x x x ax =+-．（1）当12a =时，讨论()f x 在(,)ππ-内的单调性；（2）当13a >时，证明：()f x 有且仅有两个零点．【答案】（1）在,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭或,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,3ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；（2）证明见解析. 【分析】（1）先求导，根据导数和函数的单调性，结合三角函数的性质即可求出单调区间；（2）先判断出函数为偶函数，则问题转化为()f x 在(0,)+∞有且只有一个零点，再利用导数和函数单调性的关系，以及函数零点存在定理即可求出．【详解】（1）当12a =时，21()sin cos 4f x x x x x =+-， 11()sin cos sin (cos )22f x x x x x x x x ∴'=+--=-，令()0f x '=，解得0x =或3x π=，3x π=-，当()0f x '<时，解得03x π-<<或3x ππ<<，当()0f x '>时，解得3x ππ-<<-或03x π<<，()f x ∴在(3π-，0)或(3π，)π上单调递减，在(,)3ππ--或(0,)3π上单调递增；（2）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2211()()sin()cos()()sin cos ()22f x x x x a x x x x ax f x -=--+-+-=+-=，()f x ∴为偶函数， (0)10f =>，()f x ∴有且仅有两个零点等价于()f x 在(0,)+∞有且只有一个零点， ()(cos )f x x x a '=-，当1a 时，cos 0x a -，()0f x '恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上单调递减，2211()sin cos 1022f a a ππππππ=+-=--<，(0)?()0f f π∴<，()f x ∴在(0,)+∞上有且只有一个零点，当113a <<时，令()(cos )0f x x x a '=-=，即cos x a =，可知存在唯一(0,)2πθ∈，使得cos a θ=，当(0,)x θ∈或(22,22)x k k ππθππθ∈+-++时，k ∈N ，()0f x '>，函数()f x 单调递增，当(2,22)x k k πθππθ∈++-时，k ∈N ，()0f x '<，函数()f x 单调递减，。

四种方法解根的分布问题

四种方法解根的分布问题根的分布问题作为高考的一个重要题型，也是学生学习的难点之一，本文就一道题介绍一下根的分布问题的几种解法，并加以分析：问题：方程0422=+-ax x 的两根均大于1，求实数a 的取值范围。

设x x 21,为方程0422=+-ax x 的两根，根据题意，则有 ⎪⎩⎪⎨⎧>∆>-->-+-00)1)(1(0)1()1(2121x x x x 解得：252<≤a 方程0422=+-ax x 的两根为42164222-±=-±=a a a a x 要使两根均大于1，只需小根142>--a a 即可解之得：252<≤a 点评：因为无理不等式的解法考纲中已不做要求，加上学生计算普遍易错，所以这种解法在教学中一般不提倡。

解法三：使用二次函数图象设,42)(2+-=ax x x f 要使方程2则图象如下图所示由图知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->≥∆1220)1(0a f解之得：252<≤a 点评：此解法需要准确画出函数的图象，然后从四个方面（开口方向、判别式、对称轴、区间端点函数值的符号）并列出与之等价的不等式组，即本命题的充要条件。

解法四：分离参数法由0422=+-ax x 知0≠x xx a 42+=∴ 由方程0422=+-ax x 的两根均大于1，求实数a 的取值范围即转换为求对号函数x x y 4+=在),1(+∞∈x 时的值域。

利用函数xx y 4+=的单调性可得出)5,4[2∈a 即)25,2[∈a 点评：这种解法将根的分布问题转化为利用单调性求值域，在教学中学生比较容易理解，并且计算量较小，比较受学生欢迎。

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2015版导数题型归类
第二讲交点与根的分布
一、学习目标
1.交点问题转化为函数的最值问题
2.根的分布利用数形结合转化为基本的不等式问题
二、重难点
重点：交点问题
难点：交点问题
三、引入
我们知道导数可以用于研究切线、单调性、极值、最值问题，那么：
已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点，若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，则b 的取值范围为．
它是哪一类啦？
四、过程
【知识点一】交点（零点或其变形）
两个函数的图像有交点也就是方程组有解，但是对于超越函数我们往往解不出，那么转化为一个函数，再利用图像研究其极值和最值问题成为了一种思路。

例题1.已知函数33y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点，则c = ．
A ．-2或2
B ．-9或3
C ．-1或1
D ．-3或1
例题2.（交点个数与根的分布）已知x=3是函数f(x)=aln(x+1)+2
x -10x 的一个极值点。

1）求a;
2）求函数的单调区间;
3）若直线y=b 与函数y=f(x)的图像有三个交点，求b 的取值范围.
【巩固练习】
1.若函数x e
y x a 4)1(+=-有大于零的极值点，则a 的范围为_______.
2.（2011年福建）已知a,b 为常数，且0≠a ，函数x ax b ax x f ln )(++-=，2)(=e f
1）求实数b;
2）求函数的单调区间
3）当a=1时，是否同时存在实数m 和M （m<M ），使得对于每一个],[M m t ∈，直线y=t 与曲线),1)((⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈=e e
x x f y 都有交点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由。

【知识点二】根的分布
二次函数根的分布主要考虑开口、对称轴、判别式、特殊点的函数值；那么利用导函数也可以研究一些特殊函数的零点（根）的分布问题。

方法：数形结合、分类讨论
例题2.（利用根的分布）已知函数x e
b ax x x x f -+++=)3()(23
1）若a=b=-3，求函数的单调区间
2）若f(x)在区间),2(),,(βα-∞单调增加，在),(),2,(+∞βα单调减小，证明6<-αβ
[巩固练习]
1.【2013学年第一学期期中杭州地区七校联考】函数32()f x x ax ax =++()x R ∈不存在极值点，则a 的取值范围是_________.
2.（转换变量后为根的分布）已知函数x x x f -=3)(
1）求曲线y=f(x)在点M （t,f(t)）处的切线方程
2）设a>0,如果过点（a,b ）可做曲线y=f(x)的三条切线，证明：-a<b<f(a)
3.已知函数)0(,22
1ln 2<--a x ax x . 1）若函数f(x)存在单调减去减，求a 的范围；
2）若21-=a 且关于x 的方程b x x f +-=2
1)(在区间[ 1 , 4 ]上恰有两个不等的实数根，求实数b 的取值范围.
五、课堂巩固
1.【2014全国1高考理第11题】已知函数32
()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（）
A ．()2,+∞
B ．()1,+∞
C ．(),2-∞-
D ．(),1-∞- 2.【2014高考山东卷第20题】设函数22()(ln )x e f x k x x x
=-+（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）.
（Ⅰ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围.
六、课后作业
1.【浙江省湖州中学2013学年第一学期高三期中考试】函数21()2ln 2
f x x x x a =
+-+在区间(0,2)上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是_____.
2.【2014高考四川第21题】已知函数2()1x f x e ax bx =---，其中,a b R ∈， 2.71828e =为自然对数的底数.
（Ⅰ）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值；（Ⅱ）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围。