《实变函数》课程大纲
实变函数课程教学大纲
《实变函数》课程教学大纲一、课程基本信息
二、课程目标及对毕业要求指标点的支撑
三、教学内容及进度安排
四、课程考核
五、教材及参考资料
［1］程其襄，张奠宙等.实变函数与泛函分析基础（第四版）出］.北京：高等教育出版社，2019,ISBN:9787040508109
［2］夏道行等.实变函数论与泛函分析（第三版）出］,北京：高等教育出版社，2010,ISBN:9787040274318
［3］江泽坚,吴智泉，纪友清.实变函数论（第三版）［M］,北京：高等教育出版社，2007,ISBN:9787040226430
［4］曹广福.实变函数论与泛函分析（第三版）［M］,北京：高等教育出版社，2011,TSBN:9787040316742
六、教学条件
需要多媒体教室,电脑要安装好WindoWS7、Office2010sMathType6.9>MathematicaH以上版本的正版软件。
附录：各类考核评分标准表。
《××》课程教学大纲-上饶师范学院
《实变函数》课程教学大纲课程编号：0112207课程性质：主要专业课（必修课）适用专业：数学与应用数学专业（师范类本科）开设学期：第四学期一、课程教学目的与任务1、本课程是上饶师范学院数学计算机系数学与应用数学专业的一门必修课程,它的任务是使学生掌握近代抽象分析的基本思想，掌握点集、测度、可测函数、Lebesgue积分等知识，加深对数学分析及中学数学有关内容的理解，是进一步学习数学与应用数学专业的其它高年级课程的基础，也是钻研现代数学理论打下初步基础。
2、本课程的基本要求：通过本课程的讲授与作业应使学生对点集、测度、可测函数、Lebesgue积分等思想和方法有较深刻的认识,基本上掌握实变函数中的论证方法，能比较熟练地应用测度论的观点来分析和解决问题。
3、本课程的重点和难点：可数集合；点集；可测集；可测函数；Lebesgue积分。
难点：可测函数；Lebesgue积分。
二、与各课程的联系是学习概率论与数理统计、泛函分析等后继课程的基础三、教学时数及分配总学时18 4=72 其中讲授 57学时习题等 15 等学时四、讲授内容与要求（分章节）第一章集合(13学时)1、学目的和要求：让学生理解上限集和下限集、对等与基数、可数集合的性质、不可数集合的性质等。
2、教学内容：1 ) 集合的概念、集合的运算、上限集和下限集、收敛集列。
（2学时）2) 对等的概念、性质、Bernstein定理。
（3学时）3 ) 可数集合的定义、性质、基数的含义、常见的一些可数集。
（3学时）4) 不可数集合的定义、连续基数、不可数集的性质和常见的一些不可数集（2学时）5）半序集和曹恩引理、习题课（3学时）第二章点集(11学时)1、教学目的和要求：让学生理解度量空间、聚点、内点、界点、开集、闭集、完备集的定义，掌握常见的度量空间，理解聚点、内点、界点、开集、闭集、完备集性质，以及直线上的开集、闭集、完备集的构造。
2、教学内容：1）度量空间、常见的度量空间的例子和邻域的定义和性质、有界点集等。
实变函数课程教学大纲
《实变函数》课程教学大纲课程编号：0112207课程性质：主要专业课（必修课）适用专业：数学与应用数学专业（师范类本科）开设学期：第四学期一、课程教学目的与任务1、本课程是上饶师范学院数学计算机系数学与应用数学专业的一门必修课程,它的任务是使学生掌握近代抽象分析的基本思想，掌握点集、测度、可测函数、Lebesgue积分等知识，加深对数学分析及中学数学有关内容的理解，是进一步学习数学与应用数学专业的其它高年级课程的基础，也是钻研现代数学理论打下初步基础。
2、本课程的基本要求：通过本课程的讲授与作业应使学生对点集、测度、可测函数、Lebesgue积分等思想和方法有较深刻的认识,基本上掌握实变函数中的论证方法，能比较熟练地应用测度论的观点来分析和解决问题。
3、本课程的重点和难点：可数集合；点集；可测集；可测函数；Lebesgue积分。
难点：可测函数；Lebesgue积分。
二、与各课程的联系是学习概率论与数理统计、泛函分析等后继课程的基础三、教学时数及分配总学时 18 4=72 其中讲授 57学时习题等 15 等学时四、讲授内容与要求（分章节）第一章集合(13学时)1、学目的和要求：让学生理解上限集和下限集、对等与基数、可数集合的性质、不可数集合的性质等。
2、教学内容：1 ) 集合的概念、集合的运算、上限集和下限集、收敛集列。
（2学时）2) 对等的概念、性质、Bernstein定理。
（3学时）3 ) 可数集合的定义、性质、基数的含义、常见的一些可数集。
（3学时）4) 不可数集合的定义、连续基数、不可数集的性质和常见的一些不可数集（2学时）5）半序集和曹恩引理、习题课（3学时）第二章点集(11学时)1、教学目的和要求：让学生理解度量空间、聚点、内点、界点、开集、闭集、完备集的定义，掌握常见的度量空间，理解聚点、内点、界点、开集、闭集、完备集性质，以及直线上的开集、闭集、完备集的构造。
2、教学内容：1）度量空间、常见的度量空间的例子和邻域的定义和性质、有界点集等。
《实变函数》教学大纲
《实变函数》教学大纲一、课程名称：《实变函数论》二、课程性质：数学与应用数学专业必修课，信息与计算科学专业选修课先修课程：数学分析、高等代数、复变函数论、常微分方程等课程三、课程的地位及教学目的《实变函数》是在数学分析的基础上发展起来的一门学科，是数学专业的一门重要的专业基础课。
其内容主要是以n维欧氏空间上的实值函数为对象，介绍勒贝格测度和勒贝格积分理论。
《实变函数》这一课程无论在思想方法上，还是在理论上都把数学分析往前推进了一步，在经典数学与现代数学之间起着承前启后的作用。
教学目的是通过对该课程的学习，使学生掌握《实变函数》的基本理论和基本方法，特别是勒贝格测度理论和勒贝格积分理论，进一步充实、拓宽和加深已经学过的数学基础知识和分析功底，提高对数学概念和数学方法的认识水平，同时也提高学生分析抽象问题和解决应用问题的能力，为今后从事《分析学》领域的研究工作打下坚实的基础。
四、教学原则与教学方法按照数学学科的特点和规律，《实变函数》这一课程应采取精讲、讨论与自学相结合的手段。
考虑到《实变函数》这一课程具有高度的抽象性，在教学过程中应主要采用精讲的方式，个别内容可以进行讨论或留给学生自学。
采取教师讲授、师生互动讨论式和问题式的教学方法，充分调动学生的学习积极性，达到教学目的。
五、总学时68课时（含复习考试）六、课程教学内容要点及建议学时分配第一章集合（10学时）一、教学目的与要求通过对这一章内容的学习，让学生理解和掌握（1）集合的运算，重点是无穷集合的运算及集合的极限运算；（2）掌握基数概念，理解并较熟练应用伯恩斯坦定理；（3）掌握可数集和不可数集的基本知识。
二、教学原则与教学方法综合运用线性代数，数学分析的相关知识，将集合的运算推广到无穷多个集合上；引入集合间的对等概念进而给出基数概念，进而讨论与此有关的一系列相关问题，如集合列的收敛性、可数集、不可数集的性质的讨论等。
教学方法以讲解和讨论为主。
1.1 集合的概念1.2* 集合的运算（2课时）1.3* 对等与基数（4课时）1.4* 可数集与不可数集（4课时）1.5 半序集与Zorn引理（简单介绍）作业要求：完成13~15道基础性练习题，1~2提高性练习题。
实变函数教学大纲
《实变函数》教学大纲一、教学目的和要求实变函数是高等师范院校数学专业的一门必修课程。
是重要的专业基础课，对于进一步学习近代数学理论、加深对数学分析及其它有关课程的理解有着至关重要的作用。
它的任务是使学生掌握近代抽象分析的基本思想，为进一步钻研现代数学理论打下初步基础。
二、课程的教学内容该课程主要讲授经典的Lebesgue积分理论，尽量用比较简捷的方法在R n上得出主要结果。
使用Caratheodory外测度定义可测性。
详细介绍与Lebesgue 积分理论相关的有关概念：集合的势；直线上的开集、闭集和完全集的构造；测度与可测集；可测函数与依测度收敛等。
简单介绍Peano曲线；测度平移不变性；不可测集；Stieltjes积分等。
第一章集合与映射 10学时1.重点介绍映射、象与原象、一族集合的交、并、余集的象与原象、集合及其运算、集合的基数、可列集。
2.简单介绍不可列集、半序集、选择公理、Zorn引理等。
第二章点集 10学时1.系统介绍n维欧氏空间；点集的内点、外点、聚点、界点、孤立点以及点集的内部、导集、闭包等概念和相互间的关系。
2.重点介绍用邻域作为工具的这一最基本方法，以及直线上非空开集的构造定理。
3.重要例子——Cantor集及其性质。
4.简单了解Peano曲线。
第三章测度 14学时1.系统介绍建立Lebesgue测度的过程以及外测度的概念。
2.重点介绍Caratheodory条件，可测集的性质及Gδ和Fσ型集，Borel集。
3.简单介绍测度的平移不变性，不可测集。
第四章可测函数 12学时1.系统介绍可测函数的概念及可测函数的性质。
2.重点介绍依测度收敛及和它与几乎处处收敛、一致收敛之间的关系。
第五章 Lebesgue积分 18学时1.系统介绍Lebesgue积分的概念及其性质。
2.重点介绍积分的极限定理，黎曼积分与勒贝格积分的关系。
第六章微分与积分 8学时1.系统介绍有界变差函数和绝对连续函数的概念，有界变差函数的可微性与可积性。
实变函数课程教学大纲
实变函数课程教学大纲一、课程说明：1、课程性质：本课程是数学系基础课，为数学系本科学生所必修，也是微积分的进一步深化，这部分内容为学生进一步学习其它数学分支如泛函分析，函数论，微分方程，概率论和科学研究提供必不可少的基础知识。
它是一学期课程，学时数的安排为：一学期68=174课时，其中习题课17课时。
2、本课程的教学目的与要求：通过实变函数这一学科的学习，应使学生较好的掌握测度与积分这个基本的数学工具，特别是极限与积分顺序的交换。
并且在一定程度上掌握集的分析方法。
通过这门学科的教学，要加强对学生的抽象思维能力，逻辑推理能力的培养。
在某些与中学教材相关的教学内容中，要引导学生在学习新知识的同时要加深对相关的中学教材的内容及背景的理解，使他们在今后的教学实践能用较高的观点处理中学教材。
为培养成人师范学生较强的教学能力打下坚实的基础。
3、先行或后继课程：实变函数是第五学期开设的专业必修课。
是在数学分析的基础上发展而成，同时本课程又用到了高等代数和解几何中的一些基本知识。
它的后继课程课有概率统计、泛函分析、点集拓扑等。
4、教学时数分配表：章节目录第一节．集合与子集合第二节．集合的运算第三节．映射与基数第一章第四节．Rn中点与点之间的距离某点集的极限点集合n与点集第五节．R中基本点集：闭集、开集、Borel集、Cantor集第六节．某连续变换与可测集习题课第二章第一节．点集的Lebegue外测度课时分配11421341(选学)415110Lebegue第二节．可测集与测度441112测度第三节．可测集与Borel 集的关系第四节．正测度与矩体的关系第五节．不可测集第六节．某连续变换与可测集习题课第一节．可测函数的定义及其性质484462462416第三章第二节．可测函数列的收敛可测函数第三节．可测函数与连续函数的关系习题课第一节．非负可测函数的积分第二节.一般可测函数的积分第四章Lebegue第三节．可积函数与连续函的性质第四节.Lebegue积分与Riemann积分的性质第五节.重积分与累次积分的关系习题课总课时数积分685、使用教材：普通高等教育“九五”教育部重点教材北京大学出版社，周民强编著《实变函数论》。
《实变函数》教学大纲.doc
《实变函数》课程教学大纲一、课程性质与目标（一） 课程性质实变函数是高等师范院校数学专业的一门专业必修课程，是重要的专业基础 课，这部分内容为学生进一步学习其它数学分支如泛函分析和科学研究提供必不可 少的基础知识。
而且对加深对数学分析及其它有关课程的理解有着至关重要的作 用。
它的任务是使学生掌握近代抽象分析的基本思想，为进一步钻研现代数学理论 打下初步基础。
（二） 课程目标通过实变函数这一学科的学习，应使学生较好的掌握测度与积分这个基本的数 学工具，特别是极限与积分顺序的交换。
并且在一定程度上掌握集的分析方法。
通过这门学科的教学，要加强对学生的抽象思维能力，逻辑推理能力的培养。
在某些与中学教材相关的教学内容中，要引导学生在学习新知识的同时要加深对相 关的中学教材的内容及背景的理解，使他们在今后的教学实践能用较高的观点处理 中学教材。
为培养成人师范学生较强的教学能力打下坚实的基础。
采用课堂讲授，倡导和实施启发式和交互式教学法，组织课程教学。
二、课程内容与教学（一）课程内容1、 课程内容选编的基本原则（1） 、把握理论、技能相结合的基本原则。
（2） 、注意教学内容与其他相关课程的联系和渗透。
2、 课程基本内容（二）课程教学1、 注重数学思想与数学素养的培养，阐述所讲内容在整个理论体系中的作用 和地位。
2、 加强建立数学模型的思想和训练，提高学生的数学素养和创新能力。
3、 在传授基础理论和基本技能的同时，加强学生分析实际问题和解决实际问 题的能力。
4、 注重课堂讲授、习题课、习题批改等环节。
三、课程实施与评价（一）学时、学分 本课程总学时为54学时。
学生修本课程部分内容，成绩合格，可获3学分。
本大纲的完成需54学时。
由于课时的限制，主要以讲授第一章、第二章和第 三章为主；在教学过程中，根据实际情况，计划可能要作一些调整。
集点测可积\|7 \|7 \—/ \—/ \)/ 1 2 3 4 5（二）教学基本条件1、教师教师应具有良好的师德和较高的专业素质与教学水平，一般应具备讲师以上职称或本专业硕士以上学位。
实变函数-重庆师范大学-数学学院
课程教学大纲(理论课)课程名称：实变函数适用专业：数学与应用数学课程类别：学科知识深化课程制订时间：2006年8月数学与计算机科学学院制《实变函数》课程教学大纲（2000年制订，2006年修订）一、课程代码：0501142001二、课程类别：学科知识深化课程（必修）三、预修课程：数学分析、解析几何四、学分：4学分五、学时：72学时六、课程概述：实变函数是高等师范院校数学系的一门重要的必修课。
实变函数论的重点是建立Lebesque测度及积分理论，它是数学分析课程中微积分理论的进一步深入，同时实变函数论的内容也为进一步学习数学的其他专门理论如：一般测度理论、函数论、泛函分析、概率论、微分方程等提供必要的测度和积分论基础,本课程着重培养学生的思维能力和逻辑推理能力，为进一步钻研现代数学理论打下基础。
七、教学目的：使学生系统掌握集合论的初步知识；掌握n维欧几里得空中的点集理论；可测函数的性质；可测函数与连续函数之间的关系；各种收敛之间的关系以及测度与(L)积分的基本理论。
使学生进一步加深对数学分析的相关知识的理解与认识。
提高学生的数学思维能力，分析问题、论证问题的能力，进一步提高学生的数学修养及其师范生的素质。
为有志于深造的学生提供一个雄厚而坚实的理论基础。
八、学时分配表九、教学基本内容：第一章集合 (12学时)教学要求：熟练掌握集合的各种运算，正确地运用De.Morgan公式，熟悉上下极限集的并交表达式，掌握单调集列的极限集。
掌握一一映射、对等和集合势的概念。
深刻理解有限集和无限集的特征。
能运用Bernstein定理确定某些集合的势(主要指可列集和连续统的势，Bernstein定理的证明不作要求)。
教学内容：一、集合概念与运算(1学时)基本内容：集合、子集及包含关系的概念和性质。
重点内容：集合的包含关系基本要求：1、能用列举法和分析法表示集合2、掌握集合的子集或包含关系的性质，以及验证方法。
二、集合的运算(3学时)基本内容：集合的并、交、差及极限集的概念及其性质。
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备注说明：
1.带*内容为必填项。
2.课程简介字数为300-500字；课程大纲以表述清楚教学安排为宜，字数不限。
专业必修课
授课对象
（Audience）
数学系本科生
授课语言
(Language of
Instruction)
中文或英文
*开课院系
（School）
数学系
先修课程
（tructor）
课程网址
(Course Webpage)
无
*课程简介（Description）
*课程简介（Description）
The Course is one of the core courses for the above majors. It is required for all math majors. The following topics are covered in this course:
实变函数教学大纲
课程基本信息（Course Information）
课程代码
（Course Code）
MA3132/MA301
*学时
（Credit Hours）
64
*学分
（Credits）
4
*课程名称
（Course Name）
（中文）实变函数
（英文）Real Analysis
课程性质
(Course Type)
*教材或参考资料
(Textbooks & Other
参考书目：
Materials)
1． 周民强， 实变函数论，北京大学出版社ISBN：9787301045794
2． Walter Rudin, Real andComplexAnalysis,ISBN：9780070542341
其它
（More）
备注
（Notes）
《实变函数》是一门数学系重要的专业基础课程，这是一门以证明为主的课程。它的主要任务是通过各教学环节，使学生掌握Lebesgue测度，Lebesgue积分及收敛性定理，有界变差函数和绝对连续函数的基本性质，和抽象测度理论基础。本课程不仅对数学专业的学生很重要，对学习应用数学，概率统计和金融等专业也很重要，为学生进一步学习泛函分析，偏微分方程，概率统计和随机过程等方向打下坚实的基础。
（1）考试，占总成绩的70％。
（2）小测验（约3次），占15％。
（3）作业成绩（作业＋出勤），占15％。
Homework15%
Quiz5%*3
FinalExam70%
1． Elias Stein， Rami Shakarchi, RealAnalysis,ISBN:9787506282383
2． 江泽坚等编著， 实变函数论，高等教育出版社，ISBN：9787040226430
3)Differentiability of functions of bounded variations, absolutely continuous functions, and averaging property of integrable functions: definitions and theirproperties.
(4)抽象测度空间的定义， 及其上的可测函数， 积分的定义，
Radon-Nikodyn导数：定义和几个重要的例子。(A5,A4,B1,B2,B3)
教学内容
学时
教学方式
作业及要求
基本要求
考查方式
Lebesgue测
度和可测函数
16
面授
习题
完成要求
书面作业
Lebesgue积分及收敛性定 理，Fubini定
4)Abstract measure spaces and Radon-Nikodyn derivatives: definitions andseveral
important examples.
课程教学大纲（course syllabus）
*学习目标(Learning Outcomes)
(1)Lebesgue测度和可测函数：外测度，Lebesgue测度的定义及Lebesgue可测集的基本性质，可测函数的定义和基本性质，Egorov定理，可测函数与连续函数的关系。(A5,A4,B1,B2,B3)
理
20
面授
习题
完成要求
书面作业
有界变差函
完成要求
数，绝对连续
函数和可积函
16
面授
习题
书面作业
*教学内容、进度安排
数的平均定理
及要求
抽象测度空间
完成要求
(Class Schedule
Radon-Nikodyn
12
面授
习题
书面作业
&Requirements)
导数。
……
*考核方式(Grading)
本课程的考试，注重对学生综合运用所学知识解决问题能力的考核，考试成绩包括三个方面：
(2)Lebesgue积分及收敛性定理，Fubini定理：如何从简单函数出发定义Lebesgue积分，Lebesgue积分与Riemann积分的关系，几个重要的积分收敛性定理，Lebesgue可积函数的绝对连续性，Fubini定理的证明与应用。(A5,A4,B1,B2,B3)
(3)有界变差函数，绝对连续函数和可积函数的平均定理：可积函数的平均定理和可测集/可测函数的Lebesgue点，有界变差函数的定义及主要性质，绝对连续函数的定义及性质。(A5,A4,B1,B2,B3)
1)Lebesgue measure and measurable functions: exterior measure, Lebesgue measure and properties of measurable sets, measurable functions and their properties, Egorov theorem.