实变函数课程
实变函数的课程设计
实变函数的课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解实变函数的基本概念，掌握函数的极限、连续性、可导性等性质；2. 学会运用实变函数的理论和方法分析具体问题，解决与实变函数相关的高年级数学问题；3. 掌握实变函数的积分理论，包括黎曼积分和勒贝格积分，并能够运用积分工具解决实际问题。
技能目标：1. 培养学生运用数学符号和语言准确表达问题和论证的能力；2. 培养学生独立思考和解决问题的能力，提高数学逻辑推理和数学分析技能；3. 通过解决实际问题的案例，锻炼学生将理论应用于实践的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对实变函数学科的兴趣和好奇心，激发其深入探索数学领域的热情；2. 培养学生严谨、细致的学术态度，形成科学的研究方法和思维方式；3. 通过小组讨论和合作，培养学生的团队协作精神和沟通能力，使其在学术和人际交往中更加自信。
课程性质分析：实变函数是数学专业高年级的一门核心课程，具有理论性强、逻辑严密的特点，旨在培养学生的高级数学思维和分析能力。
学生特点分析：学生已具备一定的高等数学基础，具有较强的逻辑思维能力和问题解决能力，但可能对实变函数的抽象概念和理论体系感到困难。
教学要求：结合学生特点，采用案例教学、小组讨论等方法，注重理论与实践相结合，帮助学生克服学习难点，实现课程目标的具体学习成果分解和达成。
二、教学内容1. 实变函数的基本概念：包括函数的表示、集合的极限、连续性、可导性等；- 教材章节：第一章 实变函数的基本概念2. 实变函数的微分与积分：探讨函数的微分法则、微分的应用，以及黎曼积分和勒贝格积分的定义、性质与应用；- 教材章节：第二章 微分与积分3. 函数序列与函数项级数的收敛性：研究函数序列和函数项级数的收敛性及其判别法；- 教材章节：第三章 函数序列与函数项级数4. 实变函数的Fourier分析：介绍Fourier级数及其收敛性，探讨周期和非周期函数的Fourier变换；- 教材章节：第四章 Fourier分析5. 实变函数在物理、信号处理等领域的应用：通过实际案例，展示实变函数理论在实际问题中的应用；- 教材章节：第五章 实变函数的应用教学进度安排：1. 基本概念（2周）：引入实变函数的基本概念，分析函数的极限、连续性、可导性等；2. 微分与积分（3周）：研究实变函数的微分法则、微分的应用，以及黎曼积分和勒贝格积分；3. 函数序列与级数（3周）：探讨函数序列与函数项级数的收敛性及其判别法；4. Fourier分析（4周）：介绍Fourier级数及其收敛性，研究周期和非周期函数的Fourier变换；5. 应用案例（2周）：分析实变函数在物理、信号处理等领域的具体应用。
实变函数期末课程设计
实变函数期末课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解实变函数的基本概念，掌握其性质和运算规则。
2. 学生能运用实变函数的相关理论，分析并解决实际问题。
3. 学生能掌握实变函数的极限、连续性、可导性等基本性质，并能够运用这些性质进行函数分析。
技能目标：1. 学生能够运用实变函数的理论和技巧，解决数学问题，提高数学思维能力。
2. 学生能够运用数学软件或工具，对实变函数进行图像绘制和分析，培养实际操作能力。
3. 学生能够通过小组讨论和合作，提出问题、解决问题，提高团队协作能力。
情感态度价值观目标：1. 学生通过学习实变函数，培养对数学学科的兴趣和热情，形成积极的学习态度。
2. 学生在学习过程中，学会面对困难和挑战，培养坚持不懈、勇于探索的精神。
3. 学生能够认识到数学在自然科学和社会科学等领域的重要应用，增强数学学习的实用性和责任感。
课程性质：本课程为数学专业高年级的实变函数课程，旨在帮助学生建立扎实的数学基础，提高数学分析和解决问题的能力。
学生特点：学生具备一定的数学基础，具有一定的抽象思维能力，但对实变函数的理解和应用尚需加强。
教学要求：教师需结合学生特点，采用启发式教学，引导学生主动思考、探究和实践，注重培养学生的创新能力和实际应用能力。
通过本课程的学习，使学生达到上述具体的学习成果。
二、教学内容本课程教学内容主要包括以下几部分：1. 实变函数基本概念：函数的表示方法、集合的度量、实数和实变函数的定义等。
- 教材章节：第一章 实变函数及其表示2. 实变函数的性质与运算：单调性、奇偶性、周期性、复合函数、反函数等。
- 教材章节：第二章 实变函数的性质与运算3. 实变函数的极限与连续性：数列极限、函数极限、连续函数、有界性、保号性等。
- 教材章节：第三章 极限与连续性4. 实变函数的可导性与微分：导数定义、求导法则、微分、高阶导数等。
- 教材章节：第四章 可导性与微分5. 实变函数的应用：求解方程、不等式、最值问题，以及实际问题中的应用等。
实变函数PPT
第一讲
1. 集合运算的基本性质 定理 1 (1) A A A , A A A (2) A A, A A, A A (3) A B B A, A B B A
(4) A B C A B C , A B C A B C
(5) A B C A B A C (6) A B C A C B C
第一讲
一． 言归正传
第1章 集合
§1.1 集合的运算
一． 集合的定义及其运算
1. 集合运算的定义
m
(1) 并： A B ， An ， An ， A
n 1
n 1
(2) 交： A B ， m ， An An ， A
n 1
n 1
(3) 差： A B
(4) 补：设 A S ，则 Cs A : S A
❖
（1）《微积分》或《数学分析》中讨论的函数都是比较好的函数，即
没有太多的间断点，基本上是连续函数，这些函数都有很好的可微性与可
积性，但在实际应用（理论与工程应用）中的函数一般都没有这样好的性
质。例如著名的Dirichlet函数。
D
x
1, 0,
x是0，1中的有理数 x是0，1中的无理数
在《数学分析》中，这个函数在0，1 的每一点不可微，在0，1
(9’)
S
A
S A
(10’)
S
A
S A
第一讲
一． 集合序列的上、下限集
定义 1.
假设An 是一列集合，称集合
Am
为序列
An
的
n1 mn
上限集，记作
lim
x
An
或
lim
x
sup
An
；称集合
实变函数论第三版PPT课件
n
24
单调减集列极限分析
lim A (lim inf
n n n
An )
lim A (lim sup A )
n n n n
{x : N , n N , 有x An } An
N 1 n N
{x : N , n N , 使x An } An
limA
n
n
A
22
单调增集列极限
若集列 {An }满足An An1 (n N ),则称{An }为单调增加 ; 若集列 {An }满足An An1 (n N ),则称{An }为单调减少 ;
定理 9 ：单调集列是收敛的
1)若{ An }单调增加, 则 lim An An ;
1．集合的几种表示法
我们在诸如《数学分析》等前期课程中已接触 过集合这个概念，所谓集合，指的是具有某种 特定性质的对象的全体，通常用大写英文字母 A，B，X，Y…等表示；集合中的每个对象称 为该集合的元素。一般说来，我们总用小写字 母a,b,x,y…表示集合中的元素。
3
集合及其运算
对于集合 A ，某一对象 x 如果是 A 的元素，则称 x 属于A，记作 x A ；如果x不是A的元素，则称x 不属于A，记
{x : N , n N , 有x An } An
N 1 n N
26
例
1 1 1 设A2n1 [ 1 , 4 ], A [ , 1 2n n n n n ], n N , 则
A [0,4) n lim
n
limA
n
n
(0,1]
x A或x A
《实变函数论》课程主要内容
《实变函数论》课程主要内容第一章 集 合1、 集合的并、交、差运算；余集和De Morgan 公式；上极限和下极限；练习： ①证明()()A B C A BC --=-； ②证明11[][]n E f a E f a n∞=>=≥+； 2、 对等与基数的定义及性质；练习： ①证明(0,1)； ②证明(0,1)[0,1]；3、 可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合的基数；练习： ①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；②证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集； ③Q = ；④[0,1]中有理数集E 的相关结论；4、 不可数集合、连续基数的定义及性质；练习： ①(0,1)= ； ②P = （P 为Cantor 集）；5、第一章所布置的作业。
第二章 点 集1、度量空间，n 维欧氏空间中有关概念2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定（求法）；开核，导集，闭包的概念、性质及判定（求法）；3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造；4、Cantor集的构造和性质；5、练习：①P =，P'=，P=；②111,,,,2n'⎧⎫⎨⎬⎩⎭= ；6、第二章所布置的作业。
第三章测度论1、外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性）；2、可测集的定义与性质（可测集类关于可数并，可数交，差，余集，单调集列的极限运算封闭）；可数可加性（注意条件）；3、零测度集的例子和性质；4、可测集的例子和性质；练习：①mQ=，mP=；②零测度集的任何子集仍为零测度集；③有限或可数个零测度集之和仍为零测度集；④[0,1]中有理数集E的相关结论；5、存在不可测集合；6、第三章所布置的作业。
第四章可测函数1、可测函数的定义，不可测函数的例子；练习：①第四章习题3；2、可测函数与简单函数的关系；可测函数与连续函数的关系（鲁津定理）；3、叶果洛夫定理及其逆定理；练习：①第四章习题7；4、依测度收敛的定义、简单的证明；5、具体函数列依测度收敛的验证；6、依测度收敛与几乎处处收敛的关系，两者互不包含的例子；7、第四章所布置的作业。
实变函数课程教学大纲
《实变函数》课程教学大纲课程编号：0112207课程性质：主要专业课（必修课）适用专业：数学与应用数学专业（师范类本科）开设学期：第四学期一、课程教学目的与任务1、本课程是上饶师范学院数学计算机系数学与应用数学专业的一门必修课程,它的任务是使学生掌握近代抽象分析的基本思想，掌握点集、测度、可测函数、Lebesgue积分等知识，加深对数学分析及中学数学有关内容的理解，是进一步学习数学与应用数学专业的其它高年级课程的基础，也是钻研现代数学理论打下初步基础。
2、本课程的基本要求：通过本课程的讲授与作业应使学生对点集、测度、可测函数、Lebesgue积分等思想和方法有较深刻的认识,基本上掌握实变函数中的论证方法，能比较熟练地应用测度论的观点来分析和解决问题。
3、本课程的重点和难点：可数集合；点集；可测集；可测函数；Lebesgue积分。
难点：可测函数；Lebesgue积分。
二、与各课程的联系是学习概率论与数理统计、泛函分析等后继课程的基础三、教学时数及分配总学时 18 4=72 其中讲授 57学时习题等 15 等学时四、讲授内容与要求（分章节）第一章集合(13学时)1、学目的和要求：让学生理解上限集和下限集、对等与基数、可数集合的性质、不可数集合的性质等。
2、教学内容：1 ) 集合的概念、集合的运算、上限集和下限集、收敛集列。
（2学时）2) 对等的概念、性质、Bernstein定理。
（3学时）3 ) 可数集合的定义、性质、基数的含义、常见的一些可数集。
（3学时）4) 不可数集合的定义、连续基数、不可数集的性质和常见的一些不可数集（2学时）5）半序集和曹恩引理、习题课（3学时）第二章点集(11学时)1、教学目的和要求：让学生理解度量空间、聚点、内点、界点、开集、闭集、完备集的定义，掌握常见的度量空间，理解聚点、内点、界点、开集、闭集、完备集性质，以及直线上的开集、闭集、完备集的构造。
2、教学内容：1）度量空间、常见的度量空间的例子和邻域的定义和性质、有界点集等。
实变函数课件
实变函数在物理学中的应用
描述电磁场
通过实变函数，可以精确地描述电磁场的 分布和变化，为电磁学的研究提供数学工
具。
解决偏微分方程
实变函数可用于解决物理学中的偏微分方 程，如波动方程、热传导方程等，从而揭 示物理现象的数学规律。
量子力学
在量子力学中，实变函数被用于描述粒子 的波函数，揭示微观粒子的运动规律。
微观经济学
实变函数可用于描述消费者的 效用函数和生产者的成本函数 ，揭示微观经济行为的数学规
律。
宏观经济学
通过实变函数，可以建立宏观 经济模型，分析经济增长、通 货膨胀等宏观经济现象的数学
机制。
金融数学
实变函数在金融数学中有广泛 应用，如期权定价、投资组合 优化等，为金融市场的分析和
决策提供支持。
谢谢
积分的不等式与估计
介绍积分不等式和估计的基本方法，如Holder不等式、 Minkowski不等式、Chebyshev不等式等，并举例说明其应用。
05 实变函数的微分学
CHAPTER
导数与微分的概念
导数定义
详细阐述实变函数导数的定义及其几 何意义，包括左导数、右导数和导函
数等概念。
可导性判定
介绍判断函数在某点是否可导的方法 ，包括利用定义、导函数连续性等。
与连续性的区别
一致连续性是函数在整个区间上的性质，而连续性是函数在一点或一些点上的性质。一致连续的函数在整个区间上具 有“均匀”的连续性，即函数值的变化不会太快或太慢。
性质
一致连续的函数具有有界性、可积性等性质。
04 可测函数与积分
CHAPTER
可测函数的概念与性质
可测函数的定义
详细解释可测函数的定义，包括在给定集合上 的函数及其相关性质。
实变函数课程教学大纲
实变函数课程教学大纲一、课程说明：1、课程性质：本课程是数学系基础课，为数学系本科学生所必修，也是微积分的进一步深化，这部分内容为学生进一步学习其它数学分支如泛函分析，函数论，微分方程，概率论和科学研究提供必不可少的基础知识。
它是一学期课程，学时数的安排为：一学期68=174课时，其中习题课17课时。
2、本课程的教学目的与要求：通过实变函数这一学科的学习，应使学生较好的掌握测度与积分这个基本的数学工具，特别是极限与积分顺序的交换。
并且在一定程度上掌握集的分析方法。
通过这门学科的教学，要加强对学生的抽象思维能力，逻辑推理能力的培养。
在某些与中学教材相关的教学内容中，要引导学生在学习新知识的同时要加深对相关的中学教材的内容及背景的理解，使他们在今后的教学实践能用较高的观点处理中学教材。
为培养成人师范学生较强的教学能力打下坚实的基础。
3、先行或后继课程：实变函数是第五学期开设的专业必修课。
是在数学分析的基础上发展而成，同时本课程又用到了高等代数和解几何中的一些基本知识。
它的后继课程课有概率统计、泛函分析、点集拓扑等。
4、教学时数分配表：章节目录第一节．集合与子集合第二节．集合的运算第三节．映射与基数第一章第四节．Rn中点与点之间的距离某点集的极限点集合n与点集第五节．R中基本点集：闭集、开集、Borel集、Cantor集第六节．某连续变换与可测集习题课第二章第一节．点集的Lebegue外测度课时分配11421341(选学)415110Lebegue第二节．可测集与测度441112测度第三节．可测集与Borel 集的关系第四节．正测度与矩体的关系第五节．不可测集第六节．某连续变换与可测集习题课第一节．可测函数的定义及其性质484462462416第三章第二节．可测函数列的收敛可测函数第三节．可测函数与连续函数的关系习题课第一节．非负可测函数的积分第二节.一般可测函数的积分第四章Lebegue第三节．可积函数与连续函的性质第四节.Lebegue积分与Riemann积分的性质第五节.重积分与累次积分的关系习题课总课时数积分685、使用教材：普通高等教育“九五”教育部重点教材北京大学出版社，周民强编著《实变函数论》。
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数学科学学院
通选课领域
是否属于艺术与美育
否
平台课性质
平台课类型
授课语言
中文
教材
实变函数论,周民强,北京大学出版社,2008年5月,第2版,978-7-301-04579-4；
实变函数论,徐森林,中国科技大学出版社,2002年2月,
参考书
第1版,7-312-01348-1；
教学大纲
以Lebesgue测度与Lebesgue积分理论为核心内容，为学生提供近代分析的基础知识和基本训练，提高分析论证能力。
5) 重积分与累次积分，Fubini定理
5. 微分与积分的关系（6课时）
1) 单调函数几乎处处可，微积分基本定理。
6. Lp 空间（8课时）
1) Lp 空间，H?lder不等式，Minkowski不等式
2) Lp空间中的收敛与完备性，可分性，平均连续性
1. 集合与欧氏空间的点集（9课时）
1) 集合，集合列的（上、下）极限集
2) 集合的基数，可数集，连续基数
3) 欧氏空间 ，Borel集，Cantor集
2. Lebesgue测度（8课时）
1) Lebesgue外测度
2) 可测集及其性质
3) 可测集与Borel集的关系
4) 不可测集介绍
3. 可测函数与可测函数列的收敛（8课时）
3) L2 空间的内积，正交系与广义Fourier级数，Bessel不等式与Paseval等式
课堂教学
考试加平时成绩（作业20％，期中考试30％，期末考试50％）
教学评估
章志飞：
1) 可测函数及其运算
2) 几乎处处收敛与依测度收敛，Егоров定理
3) Лузин定理
4. Lebesgue积分（12课时）
1) 非负可测函数的积分，Levi引理，Fatou引理
2) 一般可测函数的积分，积分的绝对连续性，Lebesgue控制收敛定理
3) 积分平均连续性。
4) Lebesgue积分与Riemann积分的关系，Riemann 可积函数的充分必要条件
实变函数课程详细信息
课程号
00132370
学分
3
英文名称
Functions of Real Variables
先修课程
数学分析
中文简介
《实变函数》是面向数学学院各专业方向的一门重要选修课，以Lebesgue测度与Lebesgue积分理论为核心内容，为学生提供近代分析的基础知识和基本训练。
英文简介
"Functions of Real Variables" is a basic course for all undergruaduate students in School of Mathematical Sciences, which concentaes the Lebesgue thoery of measure and integral, and provides the knowledge and training of modern analysis for students.