实变函数课程教学大纲
实变函数大纲
课程号：20101340课程名称：实变函数总学时：68学分：4课程教学目的以Lebesgue测度与Lebesgue积分理论为核心内容，为学生提供近代分析的基础知识和基本训练，提高分析论证能力。
第一章第一章集合一、基本内容：集合以及集合列的上、下极限，集合的势，p进制表示法，n维空间中的点集，Bolzano —Weirstrass定理。
二、基本要求σ域的概念1、1、了解集合的基本运算及集合列的上、下限集、-2、2、了解势的定义与Bernstein定理、Zermelo选择公理3、3、可数集与连续势以及p进制表示4、4、了解聚点、内点、边界点以及Bolzano－Weirstrass定理5、5、了解开集、闭集以及Borel有限覆盖定理三、三、建议课时安排（15学时）σ域的概念 3学时1、集合的基本运算及集合列的上、下限集、-2、势的定义与Bernstein定理Zermelo选择公理3学时3、可数集与连续势以及p进制表示 3学时4、聚点、内点、边界点以及Bolzano－Weirstrass定理 3学时5、开集、闭集以及Borel有限覆盖定理3学时第二章测度论一、基本内容：外测度与可测集的定义及性质，开集的可测性，Lebesgue可测集的结构二、基本要求1、掌握外测度的定义及性质2、掌握可测集的定义及性质3、了解开集的可测性和L－可测集的结构三、建议课时安排（12学时）1、外测度的定义及性质4学时2、可测集的定义及性质4学时3、开集的可测性和L－可测集的结构4学时第三章可测函数一、一、基本内容：可测函数的定义及性质，可测函数的逼近理论二、二、基本要求：1、了解可测函数的定义及性质2、Egoroff定理、Lusin定理4、了解几乎处处收敛和依测度收敛三、三、建议课时安排：（11学时）1、可测函数及其运算3学时2、Egoroff定理、Lusin定理4学时3、几乎处处收敛与依测度收敛4学时第四章Lebesgue积分一、基本内容：可测函数的积分，Lebesgue积分的极限定理，Lebesgue积分与Riemann积分之间的关系，重积分与累次积分，Fubini定理，微分与积分的关系二、基本要求：1、1、了解非负可测函数的积分，Levi引理和Fatou引理2、2、掌握一般可测函数的积分，积分的绝对连续性以及Lebesgue积分极限定理3、3、了解积分的连续性4、4、弄清Lebesgue积分与Riemann积分的关系，以及Riemann可积的充要条件5、5、弄清重积分与累次积分之间的关系以及Fubini定理6、6、了解微分与积分的关系三、建议课时安排：（20学时）1、非负可测函数的积分，Levi引理和Fatou引理4学时2、一般可测函数的积分，积分的绝对连续性以及Lebesgue控制收敛定理4学时3、积分的连续性2学时4、4、Lebesgue积分与Riemann积分的关系，以及Riemann可积的充要条件3学时5、5、重积分与累次积分之间的关系以及Fubini定理3学时6、6、微分与积分的关系4学时第五章pL空间简介一、一、基本内容：pL空间定义，Holder不等式，Minkowski不等式，p L空间中的收敛与完备性、可分性，2L空间中的内积，正交系，广义Fourier级数，Bessel不等式与Parseval不等式二、二、基本要求：1、1、了解pL空间定义，Holder不等式，Minkowski不等式2、2、了解pL空间中的收敛与完备性、可分性3、3、了解2L空间中的内积，正交系4、了解广义Fourier级数，Bessel不等式与Parseval不等式三、三、建议课时安排（10学时）1、1、pL空间定义，Holder不等式，Minkowski不等式3学时2、2、pL空间中的收敛与完备性、可分性2学时3、3、2L空间中的内积，正交系2学时4、4、广义Fourier级数，Bessel不等式与Parseval不等式3学时教材及主要参考书1、1、周民强，实变函数论，北京大学出版社，2001年2、2、周性伟，实变函数，科学出版社，1998年3、3、江泽坚、吴智泉编著，实变函数论北京人民出版社1978。
实变函数课程教学大纲
《实变函数》课程教学大纲课程编号：0112207课程性质：主要专业课（必修课）适用专业：数学与应用数学专业（师范类本科）开设学期：第四学期一、课程教学目的与任务1、本课程是上饶师范学院数学计算机系数学与应用数学专业的一门必修课程,它的任务是使学生掌握近代抽象分析的基本思想，掌握点集、测度、可测函数、Lebesgue积分等知识，加深对数学分析及中学数学有关内容的理解，是进一步学习数学与应用数学专业的其它高年级课程的基础，也是钻研现代数学理论打下初步基础。
2、本课程的基本要求：通过本课程的讲授与作业应使学生对点集、测度、可测函数、Lebesgue积分等思想和方法有较深刻的认识,基本上掌握实变函数中的论证方法，能比较熟练地应用测度论的观点来分析和解决问题。
3、本课程的重点和难点：可数集合；点集；可测集；可测函数；Lebesgue积分。
难点：可测函数；Lebesgue积分。
二、与各课程的联系是学习概率论与数理统计、泛函分析等后继课程的基础三、教学时数及分配总学时 18 4=72 其中讲授 57学时习题等 15 等学时四、讲授内容与要求（分章节）第一章集合(13学时)1、学目的和要求：让学生理解上限集和下限集、对等与基数、可数集合的性质、不可数集合的性质等。
2、教学内容：1 ) 集合的概念、集合的运算、上限集和下限集、收敛集列。
（2学时）2) 对等的概念、性质、Bernstein定理。
（3学时）3 ) 可数集合的定义、性质、基数的含义、常见的一些可数集。
（3学时）4) 不可数集合的定义、连续基数、不可数集的性质和常见的一些不可数集（2学时）5）半序集和曹恩引理、习题课（3学时）第二章点集(11学时)1、教学目的和要求：让学生理解度量空间、聚点、内点、界点、开集、闭集、完备集的定义，掌握常见的度量空间，理解聚点、内点、界点、开集、闭集、完备集性质，以及直线上的开集、闭集、完备集的构造。
2、教学内容：1）度量空间、常见的度量空间的例子和邻域的定义和性质、有界点集等。
《实变函数》教学大纲
《实变函数》教学大纲一、课程名称：《实变函数论》二、课程性质：数学与应用数学专业必修课，信息与计算科学专业选修课先修课程：数学分析、高等代数、复变函数论、常微分方程等课程三、课程的地位及教学目的《实变函数》是在数学分析的基础上发展起来的一门学科，是数学专业的一门重要的专业基础课。
其内容主要是以n维欧氏空间上的实值函数为对象，介绍勒贝格测度和勒贝格积分理论。
《实变函数》这一课程无论在思想方法上，还是在理论上都把数学分析往前推进了一步，在经典数学与现代数学之间起着承前启后的作用。
教学目的是通过对该课程的学习，使学生掌握《实变函数》的基本理论和基本方法，特别是勒贝格测度理论和勒贝格积分理论，进一步充实、拓宽和加深已经学过的数学基础知识和分析功底，提高对数学概念和数学方法的认识水平，同时也提高学生分析抽象问题和解决应用问题的能力，为今后从事《分析学》领域的研究工作打下坚实的基础。
四、教学原则与教学方法按照数学学科的特点和规律，《实变函数》这一课程应采取精讲、讨论与自学相结合的手段。
考虑到《实变函数》这一课程具有高度的抽象性，在教学过程中应主要采用精讲的方式，个别内容可以进行讨论或留给学生自学。
采取教师讲授、师生互动讨论式和问题式的教学方法，充分调动学生的学习积极性，达到教学目的。
五、总学时68课时（含复习考试）六、课程教学内容要点及建议学时分配第一章集合（10学时）一、教学目的与要求通过对这一章内容的学习，让学生理解和掌握（1）集合的运算，重点是无穷集合的运算及集合的极限运算；（2）掌握基数概念，理解并较熟练应用伯恩斯坦定理；（3）掌握可数集和不可数集的基本知识。
二、教学原则与教学方法综合运用线性代数，数学分析的相关知识，将集合的运算推广到无穷多个集合上；引入集合间的对等概念进而给出基数概念，进而讨论与此有关的一系列相关问题，如集合列的收敛性、可数集、不可数集的性质的讨论等。
教学方法以讲解和讨论为主。
1.1 集合的概念1.2* 集合的运算（2课时）1.3* 对等与基数（4课时）1.4* 可数集与不可数集（4课时）1.5 半序集与Zorn引理（简单介绍）作业要求：完成13~15道基础性练习题，1~2提高性练习题。
实变函数教学大纲
《实变函数》教学大纲一、教学目的和要求实变函数是高等师范院校数学专业的一门必修课程。
是重要的专业基础课，对于进一步学习近代数学理论、加深对数学分析及其它有关课程的理解有着至关重要的作用。
它的任务是使学生掌握近代抽象分析的基本思想，为进一步钻研现代数学理论打下初步基础。
二、课程的教学内容该课程主要讲授经典的Lebesgue积分理论，尽量用比较简捷的方法在R n上得出主要结果。
使用Caratheodory外测度定义可测性。
详细介绍与Lebesgue 积分理论相关的有关概念：集合的势；直线上的开集、闭集和完全集的构造；测度与可测集；可测函数与依测度收敛等。
简单介绍Peano曲线；测度平移不变性；不可测集；Stieltjes积分等。
第一章集合与映射 10学时1.重点介绍映射、象与原象、一族集合的交、并、余集的象与原象、集合及其运算、集合的基数、可列集。
2.简单介绍不可列集、半序集、选择公理、Zorn引理等。
第二章点集 10学时1.系统介绍n维欧氏空间；点集的内点、外点、聚点、界点、孤立点以及点集的内部、导集、闭包等概念和相互间的关系。
2.重点介绍用邻域作为工具的这一最基本方法，以及直线上非空开集的构造定理。
3.重要例子——Cantor集及其性质。
4.简单了解Peano曲线。
第三章测度 14学时1.系统介绍建立Lebesgue测度的过程以及外测度的概念。
2.重点介绍Caratheodory条件，可测集的性质及Gδ和Fσ型集，Borel集。
3.简单介绍测度的平移不变性，不可测集。
第四章可测函数 12学时1.系统介绍可测函数的概念及可测函数的性质。
2.重点介绍依测度收敛及和它与几乎处处收敛、一致收敛之间的关系。
第五章 Lebesgue积分 18学时1.系统介绍Lebesgue积分的概念及其性质。
2.重点介绍积分的极限定理，黎曼积分与勒贝格积分的关系。
第六章微分与积分 8学时1.系统介绍有界变差函数和绝对连续函数的概念，有界变差函数的可微性与可积性。
实变函数课程教学大纲
实变函数课程教学大纲一、课程说明：1、课程性质：本课程是数学系基础课，为数学系本科学生所必修，也是微积分的进一步深化，这部分内容为学生进一步学习其它数学分支如泛函分析，函数论，微分方程，概率论和科学研究提供必不可少的基础知识。
它是一学期课程，学时数的安排为：一学期68=174课时，其中习题课17课时。
2、本课程的教学目的与要求：通过实变函数这一学科的学习，应使学生较好的掌握测度与积分这个基本的数学工具，特别是极限与积分顺序的交换。
并且在一定程度上掌握集的分析方法。
通过这门学科的教学，要加强对学生的抽象思维能力，逻辑推理能力的培养。
在某些与中学教材相关的教学内容中，要引导学生在学习新知识的同时要加深对相关的中学教材的内容及背景的理解，使他们在今后的教学实践能用较高的观点处理中学教材。
为培养成人师范学生较强的教学能力打下坚实的基础。
3、先行或后继课程：实变函数是第五学期开设的专业必修课。
是在数学分析的基础上发展而成，同时本课程又用到了高等代数和解几何中的一些基本知识。
它的后继课程课有概率统计、泛函分析、点集拓扑等。
4、教学时数分配表：章节目录第一节．集合与子集合第二节．集合的运算第三节．映射与基数第一章第四节．Rn中点与点之间的距离某点集的极限点集合n与点集第五节．R中基本点集：闭集、开集、Borel集、Cantor集第六节．某连续变换与可测集习题课第二章第一节．点集的Lebegue外测度课时分配11421341(选学)415110Lebegue第二节．可测集与测度441112测度第三节．可测集与Borel 集的关系第四节．正测度与矩体的关系第五节．不可测集第六节．某连续变换与可测集习题课第一节．可测函数的定义及其性质484462462416第三章第二节．可测函数列的收敛可测函数第三节．可测函数与连续函数的关系习题课第一节．非负可测函数的积分第二节.一般可测函数的积分第四章Lebegue第三节．可积函数与连续函的性质第四节.Lebegue积分与Riemann积分的性质第五节.重积分与累次积分的关系习题课总课时数积分685、使用教材：普通高等教育“九五”教育部重点教材北京大学出版社，周民强编著《实变函数论》。
实变函数
《实变函数》课程教学大纲课程编号:02021课程名称：实变函数英文名称： Functions of Real Variable课程类型: 必修课（专业基础平台课）总学时： 72 讲课学时： 62 习题课学时： 10学分： 4适用对象: 数学与应用数学专业、信息与计算科学专业本科三年级先修课程：数学分析、高等代数、解析几何、复变函数、常微分方程一、课程简介实变函数论是19世纪末、20世纪初，主要由法国数学家勒贝格(Lebesgue)创立的。
它是普通微积分的继续，其目的是想克服牛顿和莱布尼兹所建立的微积分学存在的缺点，使得微分和积分的运算更加对称、更加完美。
通过数学分析课程系统学习与严格的训练，使学生较为全面地掌握近代微积分学—勒贝格微积分理论；加强与数学分析中的微积分理论的联系与对比，理解勒贝格积分理论的优越性及其对近代数学理论的影响；并能运用集合的基数、测度论等知识指导中学有关内容的教学。
四、教学内容第一章集合(讲课 8 , 习题课1)§1．集合及其运算§2．映射，对等和集合的基数（势）§3．可数集合§4．不可数集合第二章点集(讲课 8 , 习题课1)§1．n维欧氏空间中的基本概念§2．内点、聚点、界点§3．开集、闭集、完备集§4．直线上开集、闭集及完备集的构造第三章测度论(讲课 10 , 习题课2)§1．外测度§2．可测集§3．可测集与Borel集§4．不可测集第四章可测函数(讲课 10 , 习题课2)§⒈可测函数及其性质§2．叶果洛夫定理§3．可测函数的构造§4．依测度收敛第五章积分理论(讲课 16 , 习题课2)§1．黎曼(Riemann)积分§2．勒贝格（Lebesgue）积分的定义§3．勒贝格积分的性质§4．一般可积函数§5．积分的极限定理§6．勒贝格积分的几何意义和Fubini定理第六章微分与不定积分(讲课 10 , 习题课2)§1．维它利（Vitali）定理§2．单调函数的可微性§3．有界变差函数§4．不定积分§4．不定积分§5．斯蒂尔切斯（Stieltjes）积分§6．勒贝格－斯蒂尔切斯测度与积分十、推荐教材教材：《实变函数与泛函分析基础》（第二版），程其襄等编著，高等教育出版社，3年。
《实变函数》教学大纲.doc
《实变函数》课程教学大纲一、课程性质与目标（一） 课程性质实变函数是高等师范院校数学专业的一门专业必修课程，是重要的专业基础 课，这部分内容为学生进一步学习其它数学分支如泛函分析和科学研究提供必不可 少的基础知识。
而且对加深对数学分析及其它有关课程的理解有着至关重要的作 用。
它的任务是使学生掌握近代抽象分析的基本思想，为进一步钻研现代数学理论 打下初步基础。
（二） 课程目标通过实变函数这一学科的学习，应使学生较好的掌握测度与积分这个基本的数 学工具，特别是极限与积分顺序的交换。
并且在一定程度上掌握集的分析方法。
通过这门学科的教学，要加强对学生的抽象思维能力，逻辑推理能力的培养。
在某些与中学教材相关的教学内容中，要引导学生在学习新知识的同时要加深对相 关的中学教材的内容及背景的理解，使他们在今后的教学实践能用较高的观点处理 中学教材。
为培养成人师范学生较强的教学能力打下坚实的基础。
采用课堂讲授，倡导和实施启发式和交互式教学法，组织课程教学。
二、课程内容与教学（一）课程内容1、 课程内容选编的基本原则（1） 、把握理论、技能相结合的基本原则。
（2） 、注意教学内容与其他相关课程的联系和渗透。
2、 课程基本内容（二）课程教学1、 注重数学思想与数学素养的培养，阐述所讲内容在整个理论体系中的作用 和地位。
2、 加强建立数学模型的思想和训练，提高学生的数学素养和创新能力。
3、 在传授基础理论和基本技能的同时，加强学生分析实际问题和解决实际问 题的能力。
4、 注重课堂讲授、习题课、习题批改等环节。
三、课程实施与评价（一）学时、学分 本课程总学时为54学时。
学生修本课程部分内容，成绩合格，可获3学分。
本大纲的完成需54学时。
由于课时的限制，主要以讲授第一章、第二章和第 三章为主；在教学过程中，根据实际情况，计划可能要作一些调整。
集点测可积\|7 \|7 \—/ \—/ \)/ 1 2 3 4 5（二）教学基本条件1、教师教师应具有良好的师德和较高的专业素质与教学水平，一般应具备讲师以上职称或本专业硕士以上学位。
实变函数教学大纲
实变函数教学大纲一、引言实变函数是高等数学中的重要概念之一，它与实数的性质密切相关。
本教学大纲旨在介绍实变函数的基本知识和概念，帮助学生建立对实变函数的正确理解和应用能力。
二、教学目标1. 理解实变函数的定义，并能正确应用；2. 掌握实变函数的基本性质，包括有界性、连续性、可导性等；3. 能够分析实变函数的图像和性态，包括单调性、极值点、拐点等；4. 能够解决与实变函数相关的典型问题，包括求导、求极限等；5. 培养学生的创新思维和问题解决能力。
三、教学内容1. 实数与实变函数1.1 实数的定义与性质1.2 实变函数的定义与表示方式1.3 实变函数的定义域与值域2. 实变函数的基本性质2.1 实变函数的有界性2.2 实变函数的连续性2.3 实变函数的可导性2.4 实变函数的单调性与极值点2.5 实变函数的拐点与凹凸性3. 实变函数的图像与性态3.1 绘制实变函数的图像3.2 分析实变函数的性态，包括单调性、极值点、拐点等4. 实变函数的应用4.1 求实变函数的导数4.2 求实变函数的极限4.3 实变函数在数学建模中的应用案例四、教学方法1. 理论讲授：通过讲解理论知识，梳理实变函数的定义和基本性质；2. 示例分析：选择典型的实例，通过分析解决问题的步骤和方法，增加学生的实际应用能力；3. 互动探讨：通过问题导向的方式引导学生思考和讨论，激发学生的主动性和创造性思维；4. 实践训练：提供丰富的练习题和实际应用题，让学生进行实践演练，巩固知识和技能。
五、教材及参考书目1. 主教材：实变函数教程，作者：XXX，出版社：XXX2. 参考书目：实变函数导论，作者：XXX，出版社：XXX实变函数与泛函分析，作者：XXX，出版社：XXX六、教学评估与考核1. 平时成绩：包括出勤率、课堂表现和参与度等；2. 作业成绩：包括课后习题和实践应用题等；3. 期中考试：考察对基础知识和理论的掌握程度；4. 期末考试：考察对实变函数知识的综合应用和理解能力。
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理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。
掌握集之间的交、差、余运算。
掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。
理解集列的收敛、单调集列的概念。
掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。
理解伯恩斯坦定理，能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。
理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质，理解不存在最大基数的定理的意义。
第二章点集
1．主要内容
度量空间、n维欧氏空间。
聚点、内点、界点。
开集、闭集、完备集。
直线上的开集、闭集及完备集的构造。
2．基本要求
理解n维欧氏空间中极限概念主要依赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在极限理论中的作用。
理解聚点，孤立点、内点、外点、界点的意义，掌握有关性质。
理解开集、闭集、完备集的意义，掌握其性质。
理解直线上开集、闭集、完备集的构造。
理解康托集的构造、特性。
第三章测度论
1．主要内容
外测度及其性质。
Lebesgne可测集及其性质。
可测集类。
2．基本要求
理解测度的意义。
理解外测度的意义，掌握其有关性质。
理解可测集的定义，掌握可测集的性质。
了解并掌握不可测集的存在性这一结论。
第四章可测函数
1．主要内容
可测函数及其性质。
叶果洛夫定理。
可测函数的构造。
依测度收敛。
2．基本要求
掌握可测函数的定义及等价定义。
掌握可测函数的有关性质。
理解简单函数的定义，掌握可测函数与简单函数的关系。
掌握可测函数列的收敛点集和发散点集的表示方法。
掌握叶果洛夫定理，鲁津定理。
理解依测度收敛的意义，掌握依测度收敛与a·e收敛的联系与区别。