线性规划专题

1．简单的线性规划问题应注意取点是否取得到例1：已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】不等式组对应的可行域如图所示：过()2,0时，z 取最小值为6，故选C ．2．目标函数为二次式例2：若变量x ，y 满足120x x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪++≥⎩，则22z x y =+的最大值为（ ）A B ．7C ．9D ．10【答案】D【解析】目标函数22z x y =+可视为点到原点距离的平方， 所以只需求出可行域里距离原点最远的点即可，作出可行域，线性规划专题观察可得最远的点为()1,3B -，所以2max 10z OB ==．3．目标函数为分式例3：设变量x ，y 满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则11y s x +=+的取值范围是（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,2D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】所求11y s x +=+可视为点(),x y 与定点()1,1--连线的斜率． 从而在可行域中寻找斜率的取值范围即可， 可得在()1,0处的斜率最小，即()()min 011112k --==--， 在()0,1处的斜率最大，为()()max 11201k --==--，结合图像可得11y s x +=+的范围为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选D ．4．面积问题例4：若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线4y kx =+分成面积相等的两部分，则k 的值为（ ）A ．73B ．37C ．173-D ．317-【答案】C【解析】在坐标系中作出可行域，如图所示为一个三角形，动直线4y kx =+为绕定点()0,4的一条动直线， 设直线交AC 于M ，若将三角形分为面积相等的两部分，则ABM BCM S S =△△， 观察可得两个三角形高相等，所以AM MC =，即M 为AC 中点，联立直线方程可求得40,3A ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,1C ，则17,26M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入直线方程可解得173k =-．一、单选题1．若实数x ，y 满足0010x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =-的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】B【解析】由图可知，可行域为封闭的三角区域，由z x y =-在y 轴上的截距越小，目标函数值越大， 所以最优解为()1,0，所以z 的最大值为1，故选B ．2．已知实数x ，y 满足线性约束条件3023004x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩，则其表示的平面区域的面积为（ ）对点增分集训A ．94B ．274C ．9D ．272【答案】B【解析】满足约束条件3023004x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩，如图所示：可知14x ≤≤范围扩大，实际只有03x ≤≤，其平面区域表示阴影部分一个三角形，其面积为132733224S ⎛⎫=+⨯= ⎪⎝⎭．故选B ．3．已知实数x ，y 满足122022x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，若z x a y =-只在点()43,处取得最大值，则a 的取值范围是（ ） A ．()1-∞-, B ．()2-+∞, C ．()1-∞,D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,【答案】C【解析】由不等式组122022x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩作可行域如图，联立221x y x y -=-⎧⎨-=⎩，解得()43C ,,当0a =时，目标函数化为z x =， 由图可知，可行解()43,使z x ay =-取得最大值，符合题意； 当0a >时，由z x ay =-，得1zy x a a=-，此直线斜率大于0，当在y 轴上截距最大时z 最大，可行解()43,为使目标函数z x ay =-的最优解，1a <符合题意； 当0a <时，由z x ay =-，得1zy x a a=-，此直线斜率为负值， 要使可行解()43,为使目标函数z x ay =-取得最大值的唯一的最优解， 则10a<，即0a <． 综上，实数a 的取值范围是()1-∞,．故选C ． 4．已知实数x ，y 满足约束条件222020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则5x z y -=的取值范围为（ ）A ．2433⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,B ．4233⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,C ．3324⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ,,D ．3342⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ,,【答案】C【解析】画出不等式表示的可行域，如图阴影三角形所示， 由题意得()22A ,，()24B -,．由5x z y -=得105y z x -=-， 所以1z可看作点()x y ,和()50P ,连线的斜率，记为k ， 由图形可得PA PB k k k ≤≤，又202253PA k -==--，404253PB k --==-，所以2433k -≤≤， 因此32z ≤-或34z ≥，所以5x z y -=的取值范围为3324⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ,,．故选C ．5．若实数x ，y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22z x y =+的最大值是（ ）AB ．4C ．9D ．10【答案】D【解析】由实数x ，y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩作出可行域，如图：∵()03A -,，()02C ,，∴OA OC >， 联立2239x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得()31B -,， 22x y +的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值()2223110OB =+-=．故选D ．6．已知点()12A ,，若动点()P x y ,的坐标满足02x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则AP 的最小值为（ ）AB ．1CD【答案】C【解析】作出可行域如图：观察图象可知，AP 最小距离为点A 到直线20x y +-=的距离，即max AP =C ． 7．x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ） A ．12或1- B ．2或12C ．2或1D ．2或1-【答案】D【解析】由题意作出约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，平面区域，将z y ax =-化为y ax z =+，z 相当于直线y ax z =+的纵截距， 由题意可得，y ax z =+与22y x =+或与2y x =-平行， 故2a =或1-；故选D ．8．若x ，y 满足不等式组40240 4x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则215y x ≤+成立的概率为（ ） A ．1556B ．1116 C ．58D ．38【答案】A【解析】作出不等式组40240 4x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域，如图所示：因为()011y y x x -=+--表示点(),P x y 与定点()1,0-连线的斜率， 所以215y x ≤+成立的点(),P x y 只能在图中ADE △的内部（含边界）， 所以由几何概型得：215y x ≤+成立的概率为ADE ABC S S △△，由104x y x +-=⎧⎨=⎩，得()40A ,，由2104x y x -+=⎧⎨=⎩，得()44B ,， 由40240x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，得4833C ⎛⎫ ⎪⎝⎭,，由()21510y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+-=⎩，解得181077D ⎛⎫ ⎪⎝⎭,， 由()2154y x x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，解得()42E ,，所以141644233ABC S =-⨯=△，1181042277ADE S =⨯-⨯=△， 所以215y x ≤+成立的概率为10157563ADEABC S S ==△△，故选A ． 9．若x ，y 满足不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则32z x y =-+的最小值为（ ）A ．7B ．6C ．265D ．4【答案】C【解析】画出可行城如图所示，目标函数可化为1322zy x =--+，共图象是对称轴为3x =的两条射线，。