2020-2021学年安徽淮南高二上数学月考试卷

2020-2021学年安徽淮南高二上数学月考试卷一、选择题1. 设a ，b ∈R ，若a −|b|>0，则下列不等式正确的是( ) A.b −a >0 B.b +a >0C.a 3+b 3<0D.a 2−b 2<02. 已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合．若角α的终边经过点(a,2a ),(a ≠0)，则sin 2α=( ) A.35 B.−35C.45D.−453. 若直线3x +y −3=0与6x +my +1=0平行，则它们之间的距离为( ) A.√1010 B.7√1020C.3√1020D.3√54. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=9，S 6=36，则a 7+a 8+a 9=( ) A.63 B.45 C.36 D.275. 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →=( ) A.34AB →−14AC →B.14AB →−34AC →C.34AB →+14AC →D.14AB →+34AC →6. 已知圆x 2+y 2=5，过点(1,2)作该圆的切线方程为( ) A.x +2y =5 B.x −2y =5 C.2x +y =5 D.2x −y =57. 执行下面的程序框图，则输出的n =( )A.17B.19C.21D.238. 已知非零向量a →，b →，若|a →|=√2|b →|，且a →⊥(a →−2b →)，则a →与b →的夹角为( ) A.π6B.π4C.π3D.3π49. 谢宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为谢宾斯基三角形）向图中第3个大正三角形中随机撒512粒大小均匀的细小颗粒物，则落在白色区域的细小颗粒物的数量约是( )A.256B.350C.296D.22410. 过点P (2,1)作圆C:x 2+y 2−2x −4y +1=0的最长的弦AC 和最短的弦BD 则四边形ABCD 的面积( ) A.2 B.2√2 C.4 D.4√211. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =1 ，2cos C +c =2b ，则△ABC 的周长的取值范围是( )A.(√3−1,√3]B.(2,4]C.(2,3]D.(2,5]12. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，⋯，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即a n+2=a n+1+a n(n∈N∗)故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为a n=√5[(1+√52)n−(1−√52)n]．设n是不等式log√2[(1+√5)x−(1−√5)x]>2x+11的正整数解，则n的最小值为( )A.11B.10C.9D.8二、填空题已知实数x，y满足{y≤x，x+y≤1，x−2y−1≤0，则z=2x+y的最小值是________.若正数x，y满足x+3y−5xy=0，若3x+4y−m>0恒成立，则实数m的取值范围________.求与圆c：(x+2)2+(y−6)2=1关于直线3x−4y+5=0对称的圆的方程________．在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75∘，BC=4，则AB的取值范围是________.三、解答题△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(a cos B+b cos A)=c．(1)求C；(2)若c=√7，△ABC的面积为3√32，求△ABC的周长．我校新校区为调研学生在食堂A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分，整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]，得到A餐厅分数的频率分布直方图和B餐厅分数的频数分布表：B餐厅分数频数分布表(1)由A餐厅的频率分布直方图，求同学们对食堂的评价的平均得分的估计值．求B餐厅的中位数的估计值．(2)在B餐厅用分层抽样法在[20,30)，[30,40)段中选取8人，再在这8人中选取2人，则这2人来自不同分数段的概率．已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示：(1)求f(x)的解析式；(2)将f(x)的图象向右平移π4个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向下平移1个单位，得到函数g(x)的图象，求函数y=g(x)在x∈[0,7π6]上的最值．已知数列{a n}满足a1=1，a n≠0，(1+a1)(1+a2)(1+a3)⋯(1+a n+1)=a n+1，n∈N∗．(1)证明数列{1}是等差数列；a n+1(2)求数列{a n+1a n+2}的前n项和T n．已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)，且f(x)≤0的解集为[−1,2]．(1)对任意的x∈[2,3]，都有f(x)≤ax−a成立，则a的取值范围；(2)解关于x的不等式mf(x)>2(x−m−1).已知两个定点A(0, 4)，B(0, 1)，动点P满足|PA|=2|PB|．设动点P的轨迹为曲线E，直线：y=kx−4．(1)求曲线E的轨迹方程；(2)若l与曲线E交于不同的C，D两点，且∠COD=120∘（O为坐标原点），求直线l的斜率；(3)若k=1，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM，QN，切点为M，N，探究：直线MN是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.参考答案与试题解析2020-2021学年安徽淮南高二上数学月考试卷一、选择题1.【答案】B【考点】不等式的基本性质不等式比较两数大小【解析】由a,b∈R,若a−|b|>0，可得出a>|b|，由此进行判断，找出正确选项．【解答】解：由题意得a>|b|，即a>±b，对于A，b−a<0，故A错误；对于B，b+a>0，故B正确；对于C，由a>|b|得a3>|b|3≥−b3，即a3+b3>0，故C错误；对于D，由a>|b|得a2>b2，即a2−b2>0，故D错误.故选B.2.【答案】C【考点】二倍角的正弦公式任意角的三角函数同角三角函数间的基本关系【解析】利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，求得sin2α的值．【解答】解：∵角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合．且α的终边经过点(a,2a)(a≠0),∴tanα=2aa=2，则sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=45.故选C．3.【答案】B【考点】两条平行直线间的距离直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】通过平行得出m的数值，再根据两条平行线之间的距离公式求解即可. 【解答】解：由题意得m≠0，∵两条直线平行，则两条直线斜率相等，∴−6m=−3，即m=2，∴两直线分别为6x+2y−6=0和6x+2y+1=0，∴两直线之间的距离为d=√62+22=7√1020.故选B．4.【答案】B【考点】等差数列的性质【解析】观察下标间的关系，知应用等差数列的性质求得．【解答】解：由等差数列性质知S3，S6−S3，S9−S6成等差数列，即9，27，S9−S6成等差数列，∴S9−S6=45，∴a7+a8+a9=45.故选B．5.【答案】A【考点】向量在几何中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，EB→=AB→−AE→=AB→−12AD→=AB→−12×12(AB→+AC→)=34AB→−14AC→.故选A．6.【答案】A【考点】圆的切线方程【解析】由于M(1,2)在圆上,所以过点M的切线与OM垂直，求得直线的斜率，即得方程. 【解答】解：由圆x2+y2=5，得到圆心A的坐标为(0,0)，设M(1,2)，∵12+22=5，∴ M在圆上，则过M作圆的切线与AM所在的直线垂直.∵ AM所在直线的斜率为2，∴ 切线的斜率为−12，则切线方程为y−2=−12(x−1)，即x+2y−5=0.故选A.7.【答案】C【考点】程序框图【解析】逐步执行程序框图，条件不满足时退出循环，输出结果.【解答】解：模拟程序框图运行如下：输入n=1，S=0，S=S+n=1，继续循环；n=n+2=3，S=S+n=4，继续循环；n=n+2=5，S=S+n=9，继续循环；n=n+2=7，S=S+n=16，继续循环；n=n+2=9，S=S+n=25，继续循环；n=n+2=11，S=S+n=36，继续循环；n=n+2=13，S=S+n=49，继续循环；n=n+2=15，S=S+n=64，继续循环；n=n+2=17，S=S+n=81，继续循环；n=n+2=19，S=S+n=100，继续循环；n=n+2=21，S=S+n=121，因为S≤100，所以退出循环，输出n=21.故选C.8.【答案】B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系数量积表示两个向量的夹角平面向量数量积的运算【解析】利用向量垂直与数量积的关系以及|a→|=√2|b→|，即可求出结果．【解答】解：∵a→⊥(a→−2b→),∴a→⋅(a→−2b→)=0,∴a→⋅b→=|a→|22=2|b→|22=|b→|2,∴cos<a→,b→>=a→⋅b→|a→||b→|=|b→|2√2|b→|2=√22，又∵ <a→,b→>∵[0,π]，∵ <a→,b→>=π4.故选B.9.【答案】D【考点】等比关系的确定几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】设第一个三角形的面积为1，通过比例关系可知黑色部分面积为首项是1，公比为34的等比数列，进而求出第四个图中白色区域的面积，再根据几何概型的性质即可求解.【解答】解：设原先三角形面积为1，第一次挖去三角形的面积为14，剩余面积34，接下来每挖一次，对每个小完整三角形来说挖去的面积都是原先完整三角形面积的14，剩余面积为34，故第二次挖去以后剩余面积为(34)2，显然剩余的面积成等比数列，所以第3个图中白色区域的面积为1−(34)2，故落在白色区域的细小微粒物约有512×[1−(34)2]=512×716=224.故选D．10.【答案】 D【考点】直线与圆的位置关系 圆的标准方程【解析】由圆的方程找出圆心坐标和半径r ，连接圆心与P (2,1) ，利用垂径定理的逆定理最长的弦为过(2,1)的直径，最短的弦为与直径垂直的弦，由圆心与 P (2,1)的距离d ，即弦心距及圆的半径r ，勾股定理及垂径定理求出最短的弦长BD =2DP =2√2，再由直径与最短的弦长垂直，利用直径与最短弦长乘积的一半即可求出四边形ABCD 的面积． 【解答】解：已知圆可化为标准方程(x −1)2+(y −2)2=4， 圆心Q (1,2)，半径r =2， ∵ 点P (2,1)是该圆内一点，∴ 经过P 点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦， 由题意得最长的弦AC =2r =4，BD 是最短弦，∴ AC ⊥BD 且AC 平分BD ， ∵ 圆心Q (1,2)，点P (2,1)，∴ QP =√(1−2)2+(2−1)2=√2. 在Rt △QPD 中，根据勾股定理得，DP =√22−(√2)2=√2， ∴ BD =2DP =2√2. ∵ AC ⊥BD ，∴ 四边形ABCD 的面积S =12|AC|×|BD| =12×4×2√2 =4√2.故选D .11.【答案】 C【考点】基本不等式在最值问题中的应用 余弦定理【解析】由余弦定理求得cos C ，代入已知等式可得(b +c )2−1=3bc ，利用基本不等式求得b +c ≤2，故a +b +a ≤3．再由三角形任意两边之和大于第三边求得a +b +c >2，由此求得△ABC 的周长的取值范围． 【解答】解：△ABC 中，由余弦定理可得2cos C =a 2+b 2−c 2ab，∵ a =1，2cos C +c =2b, ∴1+b 2−c 2b+c =2b ，化简可得(b +c )2−1=3bc ， ∵ bc ≤(b+c 2)2，∴ (b +c )2−1≤3×(b+c 2)2，解得b +c ≤2（当且仅当b =c 时，取等号）. 故a +b +c ≤3，再由任意两边之和大于第三边可得b +c >a =1， 故有a +b +c >2.故△ABC 的周长的取值范围是(2,3]. 故选C ． 12.【答案】 D【考点】数列与不等式的综合 数列的函数特性 对数及其运算 【解析】首先对不等式进行化简得出a n >√2)11√5，即a n 2>2115，根据数列的单调性，求出满足不等式成立的n 的最小值即可. 【解答】解：∵ n 是不等式log √2[(1+√5)x −(1−√5)x]>2x +11的正整数解， ∴ log √2[(1+√5)n−(1−√5)n]>2n +11， ∴ log √2[(1+√5)n−(1−√5)n]−2n >11，∴ log √2[(1+√5)n−(1−√5)n]−log √2(√2)2n>11，∴ log √2[(1+√5)n−(1−√5)n]−log √22n >11， ∴ log √2[(1+√5)n−(1−√5)n2n]>11， ∴ log √2[(1+√52)n−(1−√52)n]>11，∴ (1+√52)n−(1−√52)n>(√2)11，∴√5[(1+√52)n −(1−√52)n]>√2)11√5.令a n =√5[(1+√52)n−(1−√52)n]，则数列{a n }即为斐波那契数列， ∴ a n >√2)11√5，即a n2>2115.∵ {a n }为递增数列，∴ {a n 2}也为递增数列.∵ a 7=13，a 8=21，a 72<2115，a 82>2115，∴ 使得a n 2>2115成立的n 的最小值为8.故选D ．二、填空题【答案】 −3【考点】求线性目标函数的最值 【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：画出不等式组所表示的区域如图，将z =2x +y 化为y =−2x +z ，在可行域中平移直线y =−2x +z ， 易知当直线y =−2x +z 经过点A 时，直线在y 轴上的截距最小，即z 最小.联立{y =x,x −2y −1=0,解得A(−1,−1)，∴ z min =2×(−1)+(−1)=−3. 故答案为：−3. 【答案】(−∞，5) 【考点】不等式恒成立问题基本不等式在最值问题中的应用【解析】首先利用基本不等式求出3x +4y 求出最小值，然后可得3x +4y −m >0,等价于m <(3x +4y)min =5，进而求出结果. 【解答】解：∵ x +3y =5xy ，x >0，y >0， ∴ 15y +35x =1，∴ 3x +4y =(3x +4y)(15y +35x ) =135+3x 5y+12y 5x≥135+2√3x5y⋅12y 5x=5，当且仅当3x5y = 12y 5x，即x =2y =1时取等号.则3x +4y −m >0，等价于m <(3x +4y)min =5， 故m <5.故答案为：(−∞，5). 【答案】(x −4)2+(y +2)2=1 【考点】关于点、直线对称的圆的方程 圆的标准方程【解析】先求出已知圆的圆心和半径，求出圆心关于直线的对称点的坐标，可得对称圆的方程． 【解答】解：设圆心c(−2, 6)关于直线3x −4y +5=0的对称点为B(a, b)， 则{3⋅a−22−4⋅b+62+5=0，b−6a+2=−43，解得a =4，b =−2，即圆B 的圆心为B(4, −2)，半径为1， 故圆B 方程为(x −4)2+(y +2)2=1． 故答案为：(x −4)2+(y +2)2=1．【答案】2(√6−√2)<|AB|<2(√6+√2).【考点】解三角形【解析】延长BA，CD交于E点，则在△ADE中，∠DAE=105∘，∠ADE=45∘，∠E=30∘，依题意设DA=12x,AE=√2 2x，DE=√6+√24x，CD=m，再根据0<x<8，AB=√6+√24x+m−√22x=2(√6+√2)−√22x，求得AB的取值范围.【解答】解：如图所示，延长BA，CD交于E点，则在△ADE中，∠DAE=105∘，∠ADE=45∘，∠E=30∘，则由正弦定理可设DA=12x，AE=√22x，DE=√6+√24x，CD=m.由△BCE为等腰三角形，且BC=4得：(√6+√24x+m)sin30∘=4sin75∘，即√6+√24x+m=2(√6+√2).因为0<AD<BC，即0<12x<4，所以0<x<8.因为AB=√6+√24x+m−√22x=2(√6+√2)−√22x，所以AB的取值范围为2(√6−√2)<AB<2(√6+√2).故答案为：2(√6−√2)<|AB|<2(√6+√2).三、解答题【答案】解：(1)已知等式利用正弦定理化简得：2cos C(sin A cos B+sin B cos A)=sin C，整理得：2cos C sin(A+B)=sin C，∵sin C≠0，sin(A+B)=sin C∴cos C=12，又0<C<π，∴C=π3.(2)由余弦定理得7=a2+b2−2ab⋅12，∴(a+b)2−3ab=7，∵S=12ab sin C=√34ab=3√32，∴ab=6，∴(a+b)2−18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+√7．【考点】三角形的面积公式余弦定理正弦定理【解析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sin C不为0求出cos C的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．【解答】解：(1)已知等式利用正弦定理化简得：2cos C(sin A cos B+sin B cos A)=sin C，整理得：2cos C sin(A+B)=sin C，∵sin C≠0，sin(A+B)=sin C∴cos C=12，又0<C<π，∴C=π3.(2)由余弦定理得7=a2+b2−2ab⋅12，∴(a+b)2−3ab=7，∵S=12ab sin C=√34ab=3√32，∴ab=6，∴(a+b)2−18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+√7．【答案】解：(1)由A餐厅的频率分布直方图估计同学们对食堂的评价的平均得分为：5×0.003×10+15×0.005×10+25×0.012×10+(35+45)×0.02×10+55×0.04×10=41.9.由B餐厅分数频数分布表知：分数区间[0,10)的频率为2100=0.02，同理依次求得[10,20)的频率为0.03，[20,30)的频率为0.05，[30,40)的频率为0.15，[40,50)的频率为0.4，设B餐厅的中位数的估计值为m，则0.02+0.03+0.05+0.15+(m−40)×0.4÷10=0.5，解得m=46.25.故B餐厅的中位数的估计值为46.25．(2)在[20,30)分段中抽取的人数为：8×55+15=2，分别记为A，B；在[30,40)分段中抽取的人数为：8×155+15=6，分别记为c，d，e，f，g，ℎ. 列表如下：基本事件总数为56，符合题意的有24种，故这2人来自不同分数段的概率=2456=37.【考点】众数、中位数、平均数频率分布直方图频率分布表古典概型及其概率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由A餐厅的频率分布直方图估计同学们对食堂的评价的平均得分为：5×0.003×10+15×0.005×10+25×0.012×10+(35+45)×0.02×10+55×0.04×10=41.9.由B餐厅分数频数分布表知：分数区间[0,10)的频率为2100=0.02，同理依次求得[10,20)的频率为0.03，[20,30)的频率为0.05，[30,40)的频率为0.15，[40,50)的频率为0.4，设B餐厅的中位数的估计值为m，则0.02+0.03+0.05+0.15+(m−40)×0.4÷10=0.5，解得m=46.25.故B餐厅的中位数的估计值为46.25．(2)在[20,30)分段中抽取的人数为：8×55+15=2，分别记为A，B；在[30,40)分段中抽取的人数为：8×155+15=6，分别记为c，d，e，f，g，ℎ. 列表如下：基本事件总数为56，符合题意的有24种，故这2人来自不同分数段的概率=2456=37.【答案】解：(1)由图象可知：{A+B=1，−A+B=−3，解得：A=2，B=−1．∵T2=7π12−π12，∴T=π，∴ω=2πT=2．∵f(π12)=1，∴sin(2×π12+φ)=1.∵−π3<π6+φ<2π3，∴2×π12+φ=π2，∴φ=π3，∴f(x)=2sin(2x+π3)−1．(2)将f(x)的图象向右平移π4个单位，得f(x)1=2sin[2(x−π4)+π3]−1=2sin(2x−π6)−1，将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得f(x)2=2sin[2(12x)−π6]−1=2sin(x−π6)−1，向下平移1个单位，得g(x)=2sin(x−π6)−1−1=2sin(x−π6)−2.∵x∈[0,7π6]，∴x−π6∈[−π6, π]，∴sin(x−π6)∈[−12, 1]，∴2sin(x−π6)−2∈[−3, 0]，∴g(x)在x∈[0,7π6]上的最大值0，最小值−3．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由图象可知：{A+B=1，−A+B=−3，解得：A=2，B=−1．∵T2=7π12−π12，∴T=π，∴ω=2πT=2．∵f(π12)=1，∴sin(2×π12+φ)=1.∵−π3<π6+φ<2π3，∴2×π12+φ=π2，∴φ=π3，∴f(x)=2sin(2x+π3)−1．(2)将f(x)的图象向右平移π4个单位，得f(x)1=2sin[2(x−π4)+π3]−1=2sin(2x−π6)−1，将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得f(x)2=2sin[2(12x)−π6]−1=2sin(x−π6)−1，向下平移1个单位，得g(x)=2sin(x−π6)−1−1=2sin(x−π6)−2.∵x∈[0,7π6]，∴x−π6∈[−π6, π]，∴sin(x−π6)∈[−12, 1]，∴ 2sin (x −π6)−2∈[−3, 0]， ∴ g(x)在x ∈[0,7π6]上的最大值0，最小值−3．【答案】(1)证明：因为(1+a 1)(1+a 2)(1+a 3)⋯(1+a n+1)=a n+1， 所以(1+a 1)(1+a 2)(1+a 3)⋯(1+a n+2)=a n+2， 又n ∈N ∗，a n ≠0， 所以1+a n+2=a n+2a n+1，所以1a n+2+1=1a n+1，即1a n+2−1a n+1=−1， 所以数列{1an+1}是等差数列．(2)解：因为a 1=1，(1+a 1)(1+a 2)=a 2，所以2(1+a 2)=a 2， 解得a 2=−2， 所以1a 2=−12，综合(1)知，1a n+1=−12+(n −1)×(−1)=−2n−12，所以a n+1=−22n−1，n ∈N ∗， 所以a n+1a n+2=−22n−1⋅−22n+1=2(12n−1−12n+1)，所以T n =2[(1−13)+(13−15)+(15−17)+⋯+(12n−1−12n+1)]， =2(1−12n+1)，=4n2n+1，n ∈N ∗．【考点】 数列的求和 等差关系的确定 等差数列的通项公式 【解析】【解答】(1)证明：因为(1+a 1)(1+a 2)(1+a 3)⋯(1+a n+1)=a n+1，所以(1+a 1)(1+a 2)(1+a 3)⋯(1+a n+2)=a n+2， 又n ∈N ∗，a n ≠0， 所以1+a n+2=an+2a n+1，所以1a n+2+1=1an+1，即1a n+2−1a n+1=−1， 所以数列{1a n+1}是等差数列．(2)解：因为a 1=1，(1+a 1)(1+a 2)=a 2，所以2(1+a 2)=a 2， 解得a 2=−2， 所以1a 2=−12，综合(1)知，1a n+1=−12+(n −1)×(−1)=−2n−12，所以a n+1=−22n−1，n ∈N ∗，所以a n+1a n+2=−22n−1⋅−22n+1=2(12n−1−12n+1)，所以T n =2[(1−13)+(13−15)+(15−17)+⋯+(12n−1−12n+1)]， =2(1−12n+1)，=4n2n+1，n ∈N ∗．【答案】解：(1)∵ f (x )≤0的解集为[−1,2]， ∴ x 2+bx +c =0的根为−1，2， ∴ −b =1，c =−2， 即b =−1，c =−2， ∴ f (x )=x 2−x −2. ∵ f (x )≤ax −a ，∴ x 2−x −2≤ax −a ．∵ x −1>0， ∴x 2−x−2x−1≤a .令t =x −1∈[1,2]， 则x 2−x−2x−1=t +−2t+1≤a .∵ t +−2t是区间[1, 2]上的单调递增函数， 所以t +−2t+1在区间[1, 2]上的最大值为2，即a ≥2．(2)∵ mf(x)>2(x −m −1)，∴ m (x 2−x −2)>2(x −m −1)， 化简得：(mx −2)(x −1)>0， ∴ m <0时，不等式的解集为(2m ,1)； 当m =0时，不等式的解集为(−∞,1)；当0<m <2时，不等式的解集为(−∞,1)∪(2m ,+∞)； 当m =2时，不等式的解集为(−∞,1)∪(1,+∞)； 当m >2是，不等式的解集为(−∞,2m )∪(1,+∞)．【考点】函数恒成立问题一元二次不等式的解法 【解析】左侧图片未给出解析 左侧图片未给出解析【解答】解：(1)∵ f (x )≤0的解集为[−1,2]， ∴ x 2+bx +c =0的根为−1，2， ∴ −b =1，c =−2， 即b =−1，c =−2， ∴ f (x )=x 2−x −2. ∵ f (x )≤ax −a ，∴ x 2−x −2≤ax −a ． ∵ x −1>0， ∴x 2−x−2x−1≤a .令t =x −1∈[1,2]， 则x 2−x−2x−1=t +−2t+1≤a .∵ t +−2t是区间[1, 2]上的单调递增函数，所以t +−2t+1在区间[1, 2]上的最大值为2，即a ≥2．(2)∵ mf(x)>2(x −m −1)，∴ m (x 2−x −2)>2(x −m −1)， 化简得：(mx −2)(x −1)>0， ∴ m <0时，不等式的解集为(2m ,1)； 当m =0时，不等式的解集为(−∞,1)；当0<m <2时，不等式的解集为(−∞,1)∪(2m ,+∞)； 当m =2时，不等式的解集为(−∞,1)∪(1,+∞)； 当m >2是，不等式的解集为(−∞,2m )∪(1,+∞)．【答案】解：(1)设点P 的坐标为(x, y)， 因为|PA|=2|PB|，即√x 2+(y −4)2=2√x 2+(y −1)2， 整理可得 x 2+y 2=4，所以曲线E 的轨迹方程为x 2+y 2=4．(2)依题意，OC =OD =2，且∠COD =120∘， 则点O 到CD 边的距离为1，即点O(0, 0)到直线l:kx −y −4=0的距离2=1，解得 k =±√15，所以直线l 的斜率为±√15．(3)依题意，ON ⊥QN ，OM ⊥QM ， 则M ，N 都在以OQ 为直径的圆F 上，Q 是直线l:y =x −4上的动点，设Q(t, t −4)， 则圆F 的圆心为(t 2,t−42)，且经过坐标原点，即圆的方程为x 2+y 2−tx −(t −4)y =0． 又因为M ，N 在曲线E:x 2+y 2=4上， 由{x 2+y 2=4,x 2+y 2−tx −(t −4)y =0,可得tx +(t −4)y −4=0，即直线MN 的方程为tx +(t −4)y −4=0． 由t ∈R 且t(x +y)−4y −4=0可得{x +y =0,4y +4=0,解得{x =1,y =−1,所以直线MN 是过定点(1, −1)． 【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题轨迹方程点到直线的距离公式直线的斜率【解析】（1）设点P的坐标为(x, y)，根据|PA|＝2|PB|列方程化简可得轨迹方程；（2）OC＝OD＝2，且∠COD＝120∘，则点O到CD边的距离为1，列方程求解即可；（3）依题意，ON⊥QN，OM⊥QM，则M，N都在以OQ为直径的圆F上，Q是直线l:y＝x−4上的动点，设Q(t, t−4)，联立两个圆的方程求解即可．【解答】解：(1)设点P的坐标为(x, y)，因为|PA|=2|PB|，即√x2+(y−4)2=2√x2+(y−1)2，整理可得x2+y2=4，所以曲线E的轨迹方程为x2+y2=4．(2)依题意，OC=OD=2，且∠COD=120∘，则点O到CD边的距离为1，即点O(0, 0)到直线l:kx−y−4=0的距离√k2+1=1，解得k=±√15，所以直线l的斜率为±√15．(3)依题意，ON⊥QN，OM⊥QM，则M，N都在以OQ为直径的圆F上，Q是直线l:y=x−4上的动点，设Q(t, t−4)，则圆F的圆心为(t2,t−42)，且经过坐标原点，即圆的方程为x2+y2−tx−(t−4)y=0．又因为M，N在曲线E:x2+y2=4上，由{x2+y2=4,x2+y2−tx−(t−4)y=0,可得tx+(t−4)y−4=0，即直线MN的方程为tx+(t−4)y−4=0．由t∈R且t(x+y)−4y−4=0可得{x+y=0,4y+4=0,解得{x=1,y=−1,所以直线MN是过定点(1, −1)．。