自适应Simpson积分算法MATLAB及C实现代码.docx
【精选】MATLAB编辑辛普生法计算定积分的程序 doc资料
MATLAB编辑辛普生法计算定积分的程序辛普生法计算积分程序：function s=Simpson()%辛普生法求积分clear;clc;options={'积分下限a','积分上限b' ,'插入点相关的值M'};topic='seting';lines=1;def={'-5','5','1000'};h=inputdlg(options,topic,lines,def);a=eval(h{1});%积分下限b=eval(h{2});%积分上限M=eval(h{3});%子区间个数的一半%********************************************f='func';%用f来调用被积函数funch=(b-a)/(2*M);s1=0;s2=0;for k=1:Mx=a+h*(2*k-1);s1=s1+feval(f,x);endfor k=1:(M-1)x=a+h*2*k;s2=s2+feval(f,x);ends=h*(feval(f,a)+feval(f,b)+4*s1+2*s2)/3;%s是辛普生规则的总计end%定义被积函数funcfunction y=func(x)y=cos(x)./sqrt(1+x.^2);end运行情况：按“run”运行时，弹出窗口将图框中的相关数据更改为：点击图框中的“OK”，在“command window”中输出结果为：ans =第10章MATLAB外部程序接口应用10.1 MATLAB数据接口MA TLAB语言和其他程序设计语言一样,程序运行中的所有变量都保存在称为工作区的内存中,这些变量可以在程序中直接引用。
但是工作区的大小是有限的,如果处理的数据较大,就需要和磁盘文件中的数据进行交换。
有时要从外部设备中输入数据,有时要把程序处理过的数据输出到外部设备中。
(完整版)复化积分法(复化梯形求积,复化Simpson公式,变步长求积法)MATLAB编程实验报告
syms t;
y=sin(t)/t;
a=0;b=1;
R0=0.5*10^(-3);
TN(a,b,y,R0);
结论如下：
三、结论：
复化梯形求积：
复化Simpson公式
变步长求积法
h=(b-a)/n;
f=0;
for k=1:n
x(k)=a+h*(k-1);
w(k)=x(k)+h/2;
z(k)=subs(y,t,w(k));
f=f+z(k);
end
T(i)=T(i-1)/2+h/2*f
if ((T(i)-T(i-1))/3)<=R0
break;
end
end
tl=T(i)
clc,clear;
q=1;
end
p=subs(y,t,b);
T(1)=(b-a)/2*(q+p);
i=2;
n=i-1;
h=(b-a)/n;
z1=a+h/2;
z2=subs(y,t,z1);
T(2)=T(1)/2+h/2*z2;
while ((T(i)-T(i-1))/3)>R0
i=i+1
n=i-1;
n=2^(n-1)
x(k)=a+(k-1)*h
z(k)=subs(y,t,x(k));
end
for i=2:n
f=f+z(i);
end
q=subs(y,t,a);
if y=='sin(t)/t'&&a==0
q=1;
end
simpson计算定积分
simpson计算定积分在数学中，定积分是一种重要的概念，用于计算曲线下面的面积或者曲线与坐标轴之间的有限区域的面积。
而Simpson法则是一种常用的数值积分方法，可以用于近似计算定积分的值。
本文将介绍Simpson法则的原理和应用，并通过实例演示其计算过程。
一、Simpson法则的原理Simpson法则是基于多项式插值的思想，通过将曲线分割成若干小区间，在每个小区间内使用二次多项式对曲线进行逼近，从而计算定积分的近似值。
其基本原理可以概括为以下几个步骤：1. 将曲线分割成若干个小区间，每个小区间的宽度相同；2. 在每个小区间内选择三个节点，分别为起始点、中点和终点；3. 使用二次多项式对每个小区间的曲线进行逼近；4. 计算每个小区间内的面积，并将其累加得到总面积，即为定积分的近似值。
二、Simpson法则的应用Simpson法则可以用于计算各种类型的定积分，包括多项式函数、三角函数以及指数函数等。
下面以简单的例子来说明其应用过程。
例1：计算定积分∫(0,1) x^2 dx我们将区间[0,1]等分成n个小区间，每个小区间的宽度为h=(1-0)/n。
然后在每个小区间内选择三个节点，分别为起始点xi、中点xi+1/2和终点xi+1。
根据Simpson法则的原理，我们可以得到每个小区间内的面积为：Si = (h/6) * (f(xi) + 4f(xi+1/2) + f(xi+1))将所有小区间的面积累加起来，即可得到定积分的近似值：∫(0,1) x^2 dx ≈ h/6 * (f(x0) + 4f(x1/2) + 2f(x1/2) + ... + 4f(xn-1/2) + f(xn))三、实例演示为了更好地理解Simpson法则的应用过程，我们以计算定积分∫(0,1) x^2 dx为例进行演示。
我们将区间[0,1]等分成n个小区间，假设n=4，则每个小区间的宽度为h=(1-0)/4=0.25。
然后，我们根据Simpson法则的原理，在每个小区间内选择三个节点，分别计算出对应的函数值。
自适应Simpson积分算法(MATLAB及C++实现代码)
自适应Simpson积分算法（MATLAB及C++实现代码）(计算数学课用)在CSDN论坛中找到了却要金币，无奈之下自己写了一份。
对于类似问题，改一下积分函数和区间即可。
针对问题：数学上已经证明了成立，所以可以通过数值积分来求的近似值。
试利用自适应Simpson算法计算积分近似值。
C++版：(直接复制粘贴在VC++6.0即可运行)/*用自适应Simpson积分方法计算积分值*/#include<iostream>#include<cmath>int n=0;//设置全局变量n,用来记录最高迭代次数，避免递归一直进行下去。
double pi=3.141592653589793238462643;//设置近似精确值，用以比较double e1=0.00001;//设置误差容限为10^-5double f(double);//要积分的函数double Simpson(double,double,double,double);//迭代函数using namespace std;//主函数int main(){double a=0,b=1,t,h,S;//积分区间h=(b-a)/2;S=h/3*(f(a)+f(b)+4*f((a+b)/2));//第一次Simpson公式积分值t=Simpson(a,b,e1,S);cout<<"积分值为："<<t<<endl;cout<<"最大迭代次数为："<<n<<endl;cout<<"设置误差容限为"<<e1<<"\n误差为:"<<pi-t<<endl;return0;}//子函数1（积分函数）double f(double x){return4/(1+x*x);}//子函数2（迭代函数）double Simpson(double A,double B,double e,double S){double h,S1,S2;h=(B-A)/2;n++;//统计迭代次数if(n>500){cout<<"方法有误，跳出递归"<<endl;return0;}S1=h/6*(f(A)+f(A+h)+4*f(A+h/2));//在[A,(A+B)/2]区间上计算Simpson积分值S2=h/6*(f(A+h)+f(B)+4*f(A+3/2*h));//在[(A+B)/2，B]区间上计算Simpson积分值if(fabs(S-S1-S2)<15*e)return S1+S2;//如果满足误差容限要求，就以S1+S2作为此时对应区间上的函数的近似值elsereturn Simpson(A,(A+B)/2,e/2,S1)+Simpson((A+B)/2,B,e/2,S2);//递归调用}MATLAB版：（两个函数文件加一个脚本文件）1.编写积分函数文件：function y=f(x)y=4./(1+x.^2);end2.编写Simpson迭代函数文件function y=Simpson(A,B,e,S)h=(B-A)/2;S1=h/6*(f(A)+f(A+h/2)+4*f(A+h/2));S2=h/6*(f(A+h)+4*af(A+3/2*h)+f(B));if abs(S-S1-S2)<10*e y=S1+S2;else y=Simpson(A,(A+B)/2,e/2,S1)+Simpson((A+B)/2,B,e/2,S2);endend3.编写脚本调用文件ticclear;a=0;b=1;%积分区间e=0.0000001;%误差容限h=(b-a)/2;S=h/3*(f(a)+f(b)+4*f(1/2*(a+b)));%第一次Simpson积分值t=Simpson(a,b,e,S)%最终自适应方法积分值abs(pi-t)%实际误差e%设置的误差容限toc%返回所用时间亲测可用。
高斯-勒让德数值积分Matlab代码
高斯-勒让德数值积分Matlab代码[code]function [ql,Ak,xk]=guasslegendre(fun,a,b,n,tol)% 高斯-勒让德数值积分%% 参数说明% fun：积分表达式，可以是函数句柄、inline函数、匿名函数、字符串表达式，但是必须可以接受矢量输入% a,b：积分上下限，注意积分区间太大会降低精度，此时建议使用复化求积公式，默认[-1 1] % n：积分阶数，可以任意正整数，但是不建议设置过大，大不一定能得到更好的精度，默认7% tol：积分精度，默认1e-6% ql：积分结果% Ak：求积系数% xk：求积节点，满足ql=sum(Ak.*fun(xk))%% 举例说明% fun=@(x)exp(x).*cos(x); % 必须可以接受矢量输入% quadl(fun,0,pi) % 调用MATLAB内部积分函数检验% [ql,Ak,xk]=guasslegendre(fun,0,pi)%% 高斯积分说明% 1.高斯积分是精度最高的插值型数值积分，具有2n+1阶精度，并且高斯积分总是稳定。
一般插值型数值积分精度为至少n阶，且具有高阶不稳定性% 2.高斯求积节点就是对应n阶正交多项式的根，构建首项系数为1的正交多项式参见/thread-4798-1-1.html% 3.高斯求积系数，可以由Lagrange多项式插值系数进行积分得到% 4.由高斯求积节点为根构成的多项式，与任何不超过n阶的多项式正交%% 勒让德正交多项式说明% 1.区间[-1,1]上关于权rho(x)=1的正交多项式系，满足% |- 2/(2j+1) (i=j)% ∫(Pi(x)*Pj(x),-1,1)= |% |- 0 (i≠j)% 2.勒让德正交多项式的通式为：P0=1, Pn=1/(2^n*n!) * diff((x^2-1)^n,n) (n=1,2,...)% 3.关于高斯-勒让德的数值积分的求积系数和节点，由于表达式不便于书写，感兴趣的网友可以参考相关书籍%% by dynamic of Matlab技术论坛% see also % contact me matlabsky@% 2010-01-15 23:05:33%% 输入参数有效性检验if nargin==1a=-1;b=1;n=7;tol=1e-8;elseif nargin==3n=7;tol=1e-8;elseif nargin==4tol=1e-8;elseif nargin==2|nargin>5error('The Number of Input Arguments Is Wrong!');end% 计算求积节点syms xp=sym2poly(diff((x^2-1)^(n+1),n+1))/(2^n*factorial(n));tk=roots(p); % 求积节点% 计算求积系数Ak=zeros(n+1,1);for i=1:n+1xkt=tk;xkt(i)=[];pn=poly(xkt);fp=@(x)polyval(pn,x)/polyval(pn,tk(i));Ak(i)=quadl(fp,-1,1,tol); % 求积系数end% 积分变量代换，将[a,b]变换到[-1,1]xk=(b-a)/2*tk+(b+a)/2;% 检验积分函数fun有效性fun=fcnchk(fun,'vectorize');% 计算变量代换之后积分函数的值fx=fun(xk)*(b-a)/2;% 计算积分值ql=sum(Ak.*fx);[/code]Matlab只能直接计算内外积分限都是已知实数的二重积分比如INT_(a)^(b)INT_{c}^{d}f(x,y)dxdy，其中a,b,c,d都是已知实数，则可以用Matlab指令:dblquad(f(x,y),c,d,a,d);但如果内积分限是外积分的积分变量函数时，Matlab不能直接运算。
使用辛普森公式的自适应积分matlab
辛普森公式（Simpson's rule）是一种用于数值积分的方法。
然而，MATLAB内建函数`integral`可以用来进行自适应辛普森积分。
以下是一个简单的例子：
```matlab
% 定义函数
f = @(x) x.^2; % 这是我们要积分的函数，例如f(x) = x^2
% 定义积分的上下限
a = 0; % 下限
b = 1; % 上限
% 使用integral函数进行自适应辛普森积分
result = integral(f, a, b);
```
上述代码将计算函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的数值积分。
integral`函数会自动选择合适的步长来进行辛普森积分，以尽可能提高精度。
如果需要更精细的控制，你可以使用`quad`函数，它允许你指定步长数量。
例如，以下代码将使用1000个步骤进行积分：
```matlab
result = quad(f, a, b, 1000);
```
请注意，步长数量必须为偶数，因为辛普森积分需要对称的区间划分。
自适应辛普森法积分算法推导
自适应辛普森法积分算法推导介绍在数值计算中，积分是一个重要的概念，用于计算曲线下的面积、求解微分方程等问题。
辛普森法是一种常用的数值积分方法，它通过将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上采用插值的方法来近似计算积分值。
自适应辛普森法是辛普森法的一种改进算法，它通过动态调整小区间的划分，使得在积分计算过程中达到更高的精度和效率。
辛普森法的原理辛普森法的原理是基于插值多项式的思想。
首先，将积分区间[a, b]均匀划分为n 个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n。
然后，对于每个小区间，采用二次多项式来近似曲线上的点。
假设在第i个小区间上，有三个点(xi-1, f(xi-1))、(xi, f(xi))和(xi+1,f(xi+1))，其中xi = a + i*h，f(x)是要进行积分的函数。
则可以使用二次多项式来近似曲线上的点，即通过插值得到一个二次多项式p(x)，满足p(xi-1) =f(xi-1)，p(xi) = f(xi)和p(xi+1) = f(xi+1)。
二次多项式p(x)的表达式为： p(x) = f(xi-1)((x-xi)(x-xi+1))/((xi-1-xi)(xi-1-xi+1)) + f(xi)((x-xi-1)(x-xi+1))/((xi-xi-1)(xi-xi+1)) +f(xi+1)((x-xi-1)(x-xi))/((xi+1-xi-1)*(xi+1-xi))然后，对于每个小区间，计算二次多项式p(x)在区间上的积分值，即∫[xi-1,xi+1] p(x) dx。
将所有小区间的积分值相加，即可得到整个积分区间[a, b]上的近似积分值。
辛普森法的步骤辛普森法的步骤如下： 1. 将积分区间[a, b]均匀划分为n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n。
2. 对于每个小区间，计算二次多项式p(x)在区间上的积分值，即∫[xi-1, xi+1] p(x) dx。
python辛普森积分
python辛普森积分（实用版）目录1.辛普森积分的定义与原理2.Python 中实现辛普森积分的方法3.辛普森积分的实际应用案例4.总结与展望正文1.辛普森积分的定义与原理辛普森积分（Simpson"s rule）是一种数值积分方法，用于计算定积分。
其基本原理是：将积分区间划分为若干子区间，然后在每个子区间的中点进行取样，最后根据各点取样值及其权重计算出积分结果。
辛普森积分的权重函数是基于二次差分公式，可以提高积分精度。
2.Python 中实现辛普森积分的方法Python 中可以使用 SciPy 库实现辛普森积分。
SciPy 提供了`scipy.integrate.simpson`函数，用于计算辛普森积分。
下面是一个简单的例子：```pythonimport numpy as npfrom scipy.integrate import simpson# 定义被积函数def f(x):return x**3# 定义积分区间a, b = 0, 1# 使用辛普森积分计算积分结果result = simpson(f, a, b)print("辛普森积分结果：", result)```3.辛普森积分的实际应用案例辛普森积分在实际应用中具有较高的数值稳定性和精度，尤其在处理高阶函数的积分问题时表现优越。
例如，在计算物理、化学、金融等领域的问题时，辛普森积分可以提供较为精确的解。
4.总结与展望辛普森积分是一种高效的数值积分方法，Python 提供了方便的实现手段。
通过掌握辛普森积分的原理和方法，我们可以在实际问题中更加精确地求解定积分问题。
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自适应Simpson积分算法（MATLAB及C++实现代码）
(计算数学课用)
在CSDN论坛中找到了却要金币，无奈之下自己写了一份。
对于类似问题，改一下积分函数和区间即可。
针对问题：数学上已经证明了
∫
4
1+x2
dx=π
1
成立，所以可以通过数值积分来求π的近似值。
试利用自适应Simpson算法计算积分近似值。
C++版：(直接复制粘贴在VC++6.0即可运行)
/*用自适应Simpson积分方法计算积分值*/
#include<iostream>
#include<cmath>
int n=0; //设置全局变量n,用来记录最高迭代次数，避免递归一直进行下去。
double pi=3.141592653589793238462643 ; //设置近似精确值，用以比较
double e1=0.00001 ; //设置误差容限为10^-5
double f(double); //要积分的函数
double Simpson (double,double,double,double); // 迭代函数
using namespace std;
//主函数
int main()
{
double a=0,b=1,t,h,S;//积分区间
h=(b-a)/2;
S=h/3*(f(a)+f(b)+4*f((a+b)/2)); //第一次Simpson公式积分值
t=Simpson(a,b,e1,S);
cout<<"积分值为："<<t<<endl;
cout<<"最大迭代次数为："<<n<<endl;
cout<<"设置误差容限为"<<e1<<"\n误差为:"<<pi-t<<endl;
return 0;
}
//子函数1（积分函数）
double f(double x)
{return 4/(1+x*x);}
//子函数2（迭代函数）
double Simpson (double A,double B,double e,double S)
{double h,S1,S2;
h=(B-A)/2;
n++; //统计迭代次数
if(n>500) {cout<<"方法有误，跳出递归"<<endl; return 0;}
S1=h/6*(f(A)+f(A+h)+4*f(A+h/2)); // 在[A,(A+B)/2] 区间上计算Simpson积分值S2=h/6*(f(A+h)+f(B)+4*f(A+3/2*h)); // 在[(A+B)/2，B] 区间上计算Simpson积分值if(fabs(S-S1-S2)<15*e)
return S1+S2; //如果满足误差容限要求，就以S1+S2作为此时对应区间上的函数的近似值
else
return Simpson(A,(A+B)/2,e/2,S1)+Simpson((A+B)/2,B,e/2,S2); //递归调用
}
MATLAB版：（两个函数文件加一个脚本文件）
1.编写积分函数文件：
function y =f(x)
y=4./(1+x.^2);
end
2.编写Simpson 迭代函数文件
function y = Simpson( A,B,e,S )
h=(B-A)/2;
S1=h/6*(f(A)+f(A+h/2)+4*f(A+h/2));
S2=h/6*(f(A+h)+4*af(A+3/2*h)+f(B));
if abs(S-S1-S2)<10*e y= S1+S2;
else y=Simpson(A,(A+B)/2,e/2,S1)+Simpson((A+B)/2,B,e/2,S2);
end
end
3.编写脚本调用文件
tic
clear;
a=0; b=1; %积分区间
e=0.0000001; %误差容限
h=(b-a)/2;
S=h/3*(f(a)+f(b)+4*f(1/2*(a+b))); %第一次Simpson积分值
t=Simpson(a,b,e,S) %最终自适应方法积分值
abs(pi-t) %实际误差
e %设置的误差容限
toc %返回所用时间
亲测可用。
这两个代码本质上是一样的。
我先用C++语言写好，然后又换用成MATLAB语言。
MATLAB好像可以把误差容限调到10^-7以下，而C++ 则只能到10^-5左右。
原因不甚了解，猜测可能是由于C++计算时字节长度不够，导致精度不够，要递归调用很多次才能达到所需精度。