高中数学 1.2应用举例-①测量距离学案新人教版必修5
四川省岳池县第一中学高中数学 12 应用举例①测量距离学案 新人教A版必修5
§1.2应用举例—①测量距离学习目标正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题能够运用教学重点实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解教学难点根据题意建立数学模型，画出示意图学习过程一、课前准备ABCCabcA为，则∠ . ＝＝60°，2＋，复习1：在△＝中，∠22?23sin B?sin C ABCA＝，判断三角形的形状中，sin复习2：在△.cos B?cos C二、新课导学※典型例题ABA的同侧，在所在的河岸边选定1. 如图，设两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在、例CACmBACACBABm). 精确到0.1、两点的距离(一点. ，测出的距离是55，，==求???51?75ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？ 1：提问?提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？1分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题ACAB的对角，题目条件告诉了边为已知边，AC再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出的对角，AB. 应用正弦定理算出边1：基线新知叫基线. 在测量上，根据测量需要适当确定的ABAB两点间距离的方法点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量. 例2. 如图，、、两分析：这是例1的变式题，研究的是两个的点之间的距离测量问题.CD两点.、首先需要构造三角形，所以需要确定ACBC，和根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AB的距离. 再利用余弦定理可以计算出CDBCAACDCDBBDA=60°=30°，. =45变式：若在河岸选取相距40米的、°，两点，测得=60°，????ABCakmACB在观察站°，灯塔练：两灯塔、与海洋观察站的距离都等于，灯塔在观察站的北偏东30 2BAC、60°，则之间的距离为多少？南偏东三、总结提升※学习小结1. 解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三（2 角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解. （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．基线的选取：2. 测量过程中，要根据需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度学习评价. ）※自我评价你完成本节导学案的情况为（一般 D. 较差很好 B. 较好 C. A.※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：P的等腰直角三角板的斜边紧靠球面，1. 水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的大小，用锐角?45ACPAcm，则球的半径等于（如果测得并使三角板与地面垂直， =5）一条直角边为切点，. 紧靠地面， A．5cmB．cm525(2?1)cm C．P 3CA6cmD．A千米内的地区为危险区，城3020台风中心从千米的速度向东北方向移动，离台风中心地以每小时2.BAB.40千米处，）市城市处于危险区内的时间为（在的正东 1小时．A．0.5小时 B D．2小时C．1.5小时2222中，已知，3. 在)?bBa()sin(?bB)sin(A?)?(aA?ABC?.则的形状（）ABC? A. B.直角三角形等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形C.等腰直角三角形o的值是，4.在中，已知，，则．120C?A?6ABC?4a?sin b o CAB后，船到达处看到一个灯塔，行驶４在北偏东15km5. 一船以每小时的速度向东航行，船在h60o，这时船与灯塔的距离为 km．处，看到这个灯塔在北偏东15课后作业kmCDACBBCD∠°，＝的75、两点，并测得∠隔河可以看到两个目标，1. 但不能到达，在岸边选取相距3ADCADBABCDAB间的距离、. °，∠、＝30°，∠＝45°，、、在同一个平面，求两目标＝45ACABA相距与海里，海里，相距且在北偏东方向；某船在海面2. 测得灯塔处测得灯塔与631015?30DBCD相这时灯塔与. 方向偏西向正北方向航行到. 方向且在北偏西船由处，测得灯塔在南?60?75A距多少海里？4。
高中数学备课精选 1.2《应用举例》学案 新人教B版必修5
高中数学备课精选 1.2《应用举例》学案 新人教B 版必修5【学习目标】1、 加深对正、余弦定理的理解，提高熟练程度2、 掌握正、余弦定理在实际中的应用——（1）测量高度（2）测量距离【自主探究】 阅读课本12页到13页，完成下列问题：1.测量问题 问题一 ：如何测量一个底部不能到达的建筑物的高度？说说你的想法和步骤。
问题二：怎样测量两个不能到达的地方之间的距离？说说你的想法和步骤。
2.航海问题 问题四：如何恰当将实际问题转化到三角形并加以解决？【典例探究】例1：如图，某人要测量顶部不能到达的电视塔AB 的高度，他在C 点测得塔顶A 的仰角是 45o ，在D 点测得塔顶A 的仰角是30o ，并测得水平面上的角120,40o BCD CD m ∠==， 求电视塔AB 的高度。
变式练习 如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角60o α=，在塔底C 处测得A 处的俯角45oβ=。
已知铁塔BC 部分的高为30m ，求出山高CD 。
例2、为了测量河对岸两个建筑物C 、D 之间的距离，在河岸边取点A 、B ， 45,75,30,45,3o o o o BAC DAC ABD DBC AB ∠=∠=∠=∠==千米，A 、B 、C 、D 在同一个平面内，试求C 、D 之间的距离。
B ABCD CA D例3：已知海岛A 四周8海里内有暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见A 岛在北偏东75o ，航行202海里后，见此岛在北偏东30o ，如货轮不改变航向继续前进，问有无触礁的危险？(提示：2 1.41,6 2.45≈≈)【课堂检测】 1、如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。
测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是100m ，45,75o oBAC ACB ∠=∠=，求A 、B 两点间 的距离2、海上有,A B 两个小岛相距10n mile ，从A 岛望C B 岛和岛所成的视角为60，从B 岛望C A 岛和岛所成的视角为75，试求C B 岛和岛间的距离。
新人教A版必修5高中数学第一章1.2应用举例(一)导学案
§1.2 应用举例(一)课时目标1．了解数学建模的思想；2．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题．1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．2．方位角：指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A 点的方位角为α.3．计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一．一、选择题 1．若点P 在点Q 的北偏西45°10′方向上，则点Q 在点P 的( ) A ．南偏西45°10′ B ．南偏西44°50′ C ．南偏东45°10′ D ．南偏东44°50′ 答案 C2．已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km 答案 B解析 ∠ACB ＝120°，AC ＝BC ＝a ， ∴由余弦定理得AB ＝3a .3．海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( )A ．10 3 n mile B.1063n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile 答案 D解析 在△ABC 中，∠C ＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理得：BC sin A ＝ABsin B∴BC sin 60°＝10sin 45° 解得BC ＝5 6.4．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为()A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m答案 A解析 由题意知∠ABC ＝30°，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB，∴AB ＝AC ·sin∠ACBsin ∠ABC ＝50×2212＝50 2 (m)．5．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(6＋2) 海里/小时B ．20(6－2) 海里/小时C ．20(6＋3) 海里/小时D ．20(6－3) 海里/小时 答案 B解析 由题意，∠SMN ＝45°，∠SNM ＝105°，∠NSM ＝30°. 由正弦定理得MN sin 30°＝MSsin 105°.∴MN ＝MS sin 30°sin 105°＝106＋24＝10(6－2)．则v 货＝20(6－2) 海里/小时．6．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )A.1507 分钟B.157小时 C ．21.5 分钟 D ．2.15 分钟 答案 A解析 设行驶x 小时后甲到点C ，乙到点D ，两船相距y km ， 则∠DBC ＝180°－60°＝120°.∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120° ＝28x 2－20x ＋100＝28(x 2－57x )＋100＝28⎝⎛⎭⎪⎫x －5142－257＋100∴当x ＝514(小时)＝1507(分钟)时，y 2有最小值．∴y 最小．二、填空题7．如图，A 、B 两点间的距离为________．答案 32－ 28．如图，A 、N 两点之间的距离为________．答案 40 39．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度为______．答案 60 m解析 在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°， ∴∠ACB ＝75°.∠ACB ＝∠ABC .∴AC ＝AB ＝120 m. 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 即为河的宽度．由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD，∴120sin 90°＝CD sin 30°， ∴CD ＝60(m)∴河的宽度为60 m.10．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.答案 36解析如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°， ∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1 km. 由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin ∠ACB∴BC ＝1sin 60°·sin 15°＝6－223 (km)．设C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝BC ·sin 75°＝6－223·6＋24＝36 (km)．三、解答题11．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°方向上，求：(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处的距离．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，∠B ＝45°，由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB ＝126×2232＝24(n mile)．(2)在△ADC 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 30°， 解得CD ＝83≈14(n mile)．即A 处与D 处的距离为24 n mile ， 灯塔C 与D 处的距离约为14 n mile.12．如图，为测量河对岸A 、B 两点的距离，在河的这边测出CD的长为32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A 、B 两点间的距离．解 在△BDC 中，∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得BC sin 30°＝CDsin 45°，则BC ＝CD sin 30°sin 45°＝64(km)．在△ACD 中，∠CAD ＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD 为正三角形．∴AC ＝CD ＝32(km)．在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 45° ＝34＋616－2×32×64×22＝38， ∴AB ＝64(km)．答 河对岸A 、B 两点间距离为64km.能力提升13．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的持续时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时 答案 B解析 设t 小时时，B 市恰好处于危险区，则由余弦定理得： (20t )2＋402－2×20t ×40·cos 45°＝302. 化简得：4t 2－82t ＋7＝0，∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝1.14．如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？解 如图所示，连结A 1B 2，由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2，又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形， ∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200.∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船速度的大小为 10220×60＝302(海里/小时)． 答 乙船每小时航行302海里．1．解三角形应用问题的基本思路是：实际问题――→画图数学问题――→解三角形数学问题的解――→检验实际问题的解．2．测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度．。
高中数学1.2应用举例第一课时测量距离问题(新人教A版必修5)
1. 2应用举例第一课时：测量距离问题一、教学目标：1、能力要求：①综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题； ②体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；③能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力2、过程与方法：通过解决“测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离”和“测量两个不可到达的点之间的距离”的问题，初步掌握实际问题转化为解三角形问题的方法，进一步提高应用正、余弦定理解三角形的能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学重点、难点：重点：综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题。
难点：掌握求解实际问题的一般步骤。
三、复习旧知：1、正弦定理： ；2、余弦定理： ； ；；3、余弦定理推论： ； ；；4、面积公式：=∆ABC S 。
四、例题讲解：例1、如图，设A,B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ， 60=∠BAC ，75=∠ACB 。
求B A ,两点间的距离（精确到0.1m ）解：由正弦定理可得 ABCAC ACB AB ∠=∠sin sin ()()()m ABCACB ABC ACB AC AB 1.7521355224265545sin 75sin 557560180sin 75sin 55sin sin 55sin sin ≈+=+⨯==--=∠∠=∠∠=∴例2、右图，A,B 两点都在河的对岸（不可到达），请你设计一种测量A 、B 两点间距离的方法。
分析：由例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C 到对岸两点的距离，再测出BCA ∠的大小，借助余弦定理可以计算出A 、B 两点间的距离。
解：在河岸边选定两点C 、D,测得a CD =，并且在C 、D 两点分别测得α=∠BCA ，β=∠ACD ，γ=∠CDB ,δ=∠BDA 。
高中数学第一章解三角形1.2应用举例(一)距离问题学案(无答案)新人教A版必修5
高中数学第一章解三角形1.2应用举例（一）距离问题学案（无答案）新人教A 版必修5一、学习任务：利用解决实际中有关距离、高度、角度的测量问题。
1、巩固正弦定理、余弦定理等知识。
2、利用正弦、余弦定理等知识求解实际中有关距离问题。
二、预习任务：（查资料完成并记住）1、 方位角：2、 方向角：3、 仰角与俯角：4、 坡比和坡角：三、回顾正、余弦定理公式及变式：1、正弦定理公式：2余弦定理公式：四、自主探究(一)、测量距离问题问题1、（1）测量从一个可到达的点A 到一个不可到达的点B 之间的距离问题。
如图所示：(11页图)这实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，应怎样计算？例如：课本例1.中AC=8cm ，∠BAC=30︒，∠ACB=45︒求A 、B 两点的距离？（2）若A 、B 不能直达之间用一座山隔着，A 、B 、C 都可到达（如图）我们需要测得哪些量就可求出AB 的长？若AD 、BE 的长已知了，如何求出DE=? (这实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题)。
例1.中变式：AC=8cm ，∠BAC=30︒，∠ACB=45︒AD=DE=1 cm ，求D 、,E 两点的距离？问题2、测量两个不可到达的点A 、B 之间的距离问题。
如图所示：(12页上图)首先把不可到达的两点A 、B 之间的距离转化为应用正、余弦定理求三角形边长问题，然后把未知的BC 和AC 的距离问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题。
例2、（课本11页例2、）变式训练1、在一次反恐作战准备中，为了弄清基地组织两个训练营地A 和B 之间的距离，盟军在两个相距为a 23的观测点C 和D 处，测得∠ADB=30︒,∠BDC=30︒,∠DCA=60︒，∠ACB=45︒，求基地组织的这两个训练营地之间的距离。
变式训练2、隔河看两目标A,B,但不能到达，在岸边选取相距3km 的C 、D 两点，并测得∠ACB=75︒，∠BCD=45︒,∠ADC=30︒,∠ADB=45︒,(A 、B 、C 、D 在同一平面内)，求两目标A ，B 之间的距离？五、巩固训练1、 已知A 、B 两地相距10km ，B 、C 两地相距20km ，且∠ABC=120︒，则A 、C 两地相距_______。
人教版必修五1.1.2应用举例——测量两点间的距离课件
变式训练2 在一次反恐作战战前准备中，为了弄清 基地组织两个训练营地A和B之间的距离，盟军在两个相距 为a的观测点C和D处，测得∠ADB＝30°，∠BDC＝30°， ∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示．求基地组织的 这两个训练营地A、B之间的距离．
[分析] 可将AB放在△ABC中来求，为此应先求 出AC和BC，再用余弦定理求AB.
＝
42离为8( 3－1)米．
配餐作业
1. 郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示,城建部门欲在该地上建 造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为 △ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝ ∠D.求AB的长度．
4 8 2 4 28 ∴AB＝ 6a.
4 即两个训练营地之间的距离为 6a.
4
方法小结
1.测量从一个可到达的点A到一个不可到达的点B之间的距离问 题．这实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定 理就可解决．
2、测量两个不可到达的点A，B之间的距离问题．第一用正弦定理把未知的 BC和AC的距离问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间距离的 问题．然后应用_余弦定理_把不可到达的两点A，B之间的距离转化为求三 角形ABC(或三角形ADC)的边长问题。
目标检测
1.
.
2. 为了测量水田两侧A，B两点间的距离(如图所 示)，某观测者在A的同侧选定一点C，测得AC＝8 m， ∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，求A，B两点间的距离．
[解] 根据正弦定理得
sin∠ABACB＝sin∠ACABC，
∴AB＝ACsisni∠n∠ABACCB＝sin1808°s－in4350°°－45°
例 2 如图，隔河看两目标 A 与 B，但不 能到达，在岸边先选取相距 3千米的 C,D 两 点，同时，测得∠ACB ＝75°，∠BCD＝45°， ∠ADC＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C，D 在同一平面内)， 求两目标 A，B 之间的距离．
2019年高中数学人教版必修5导学案：1.2应用举例(学生版)
第一章 1.2应用举例（1）学习目标：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离高度的实际问题。
探究问题（一）距离问题1、实际应用问题中有关的名称、术语1.仰角、俯角、视角。
（1）当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫仰角。
（2）当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫俯角。
（3）由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。
（一般这两条视线过被观察物的两端点）2.方向角、方位角。
（1）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫方向角。
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的角叫方位角。
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
坡角α: 斜面与地平面所成的角度，tanα=垂直距离/水平距离在测量问题中，对于可到达的点之间的距离，一般直接度量，对于不可到达的两点间的距离，常在特定情境下通过解三角形进行计算，我们将对这类问题作些实例分析. 例1. 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，J∠BAC=510，∠ACB=750求A、B 两点的距离(精确到0.1m). 探究1： ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？说明：解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确画出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解. 探究2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。
测量距离问题的解题思路：测量距离问题一般分为三种类型：①两点间不可达又不可视；②两点间可视但不可达；③两点都不可达．解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．构造数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中．例2. 如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。
高中数学 (1.2.1 解决有关测量距离的问题)示范教案 新人教A版必修5
1.2 应用举例1.2.1 解决有关测量距离的问题从容说课解斜三角形知识在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识．对于解斜三角形的实际问题，我们要在理解一些术语（如坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等）的基础上，正确地将实际问题中的长度、角度看成三角形相应的边和角，创造可解的条件，综合运用三角函数知识以及正弦定理和余弦定理来解决．学习这部分知识有助于增强学生的数学应用意识和解决实际问题的能力．本节的例1、例2是两个有关测量距离的问题.例1是测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，例2是测量两个不可到达的点之间距离的问题.对于例1可以引导学生分析这个问题实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，从而可以用正弦定理去解决．对于例2首先把求不可到达的两点A、B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题，然后把求未知的BC和AC的问题转化为例1中测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．教学重点分析测量问题的实际情景，从而找到测量距离的方法.教学难点实际问题向数学问题转化思路的确定，即根据题意建立数学模型，画出示意图．教具准备三角板、直尺、量角器等三维目标一、知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语，如:坡度、俯角、方向角、方位角等二、过程与方法1.首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫．其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题．对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，引导学生从多角度发现问题并进行适当的指点和矫正．2.通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力三、情感态度与价值观1.激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值；2.通过解斜三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用.同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力．教学过程导入新课师前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施．如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性．于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的．今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离． 推进新课解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解 ［例题剖析］【例1】如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55 m ，∠BAC =51°，∠ACB =75°．求A 、B 两点的距离.(精确到师（启发提问）1：△ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较恰当？ 师（启发提问）2：运用该定理解题还需要哪些边和角呢？请学生回答．生 从题中可以知道角A 和角C ，所以角B 就可以知道，又因为AC 可以量出来，所以应该用正弦定理．生 这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC 的对角，应用正弦定理算出AB 边．解：根据正弦定理，得ABCAC ACB AB ∠=∠sin sin ，︒︒=︒-︒-︒︒=∠∠=∠∠=54sin 75sin 55)7551180sin(75sin 55sin sin 55sin sin ABC ACB ABC ACB AC AB答:A 、B 两点间的距离为65.7米[知识拓展变题：两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于A km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东30°，灯塔B 在观察站C 南偏东60°，则A 、B 之间的距离为多少？老师指导学生画图，建立数学模型．解略：a 2【例2】如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方法[教师精讲这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题．首先需要构造三角形，所以需要确定C 、D 两点．根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边即可求出另两边的方法，分别求出AC 和BC ，再利用余弦定理可以计算出A 、B 的距离．解：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得CD =A ，并且在C 、D 两点分别测得∠BCA =α，∠ACD =β，∠CDB =γ，∠BDA =δ，在△ADC 和△BDC 中，应用正弦定理得)sin()sin()](180sin[)sin(δγβδγδγβδγ+++=++-︒+=a a AC ， )sin(sin )](180sin[sin γβαγγβαγ++=++-︒=a a BC 计算出AC 和BC 后，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出A 、B 两点间的距离αcos 222BC AC BC AC AB ⨯-+=.[活动与探究还有没有其他的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析．[知识拓展若在河岸边选取相距40米的C 、D 两点，测得∠BCA =60°，∠ACD =30°，∠CDB =45°，∠BDA =60°，略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB[教师精讲师 可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式．〔学生阅读课本14页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子〕师 解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力 下面，我们再看几个例题来说明解斜三角形在实际中的一些应用【例3】如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB 绕C 点旋转时，通过连杆AB 的传递，活塞做直线往复运动，当曲柄在CB 0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A 在A 0处，设连杆AB 长为340 mm ，曲柄CB 长为85 mm ，曲柄自CB 0按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A 移动的距离A 0A ）.（精确到1 mm ）师 用实物模型或多媒体动画演示，让学生观察到B 与B 0重合时，A 与A 0重合，故A 0C =AB ＋CB＝425 mm ，且A 0A =A 0C -AC ．师 通过观察你能建立一个数学模型吗？生 问题可归结为：已知△ABC 中， BC ＝85 mm ，AB ＝34 mm ，∠C ＝80°，求AC ． 师 如何求AC 呢？生 由已知AB 、∠C 、BC ，可先由正弦定理求出∠A ，再由三角形内角和为180°求出∠B ，最后由正弦定理求出AC ．解：（如图）在△ABC 中，由正弦定理可得34080sin 85sin sin ︒⨯==AB C BC A因为BC ＜AB ，所以A 为锐角∴A =14°15′，∴ B ＝180°-（A ＋C ）＝又由正弦定理，9848.05485sin 340sin sin '︒⨯==C B AB AC∴A 0A =A 0C –AC =(AB +BC )-AC =(340+85)-答：活塞移动的距离为81 mm ．师 请同学们设AC =x ，用余弦定理解之，课后完成[知识拓展]变题：我舰在敌岛A 南偏西50°相距12海里的B 处，发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/时的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？师 你能根据方位角画出图吗？生（引导启发学生作图）师 根据题意及画出的方位图请大家建立数学模型．生 例题归结为已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边及其余角解：如图，在△ABC 中，由余弦定理得BC 2=AC 2+AB 2-2·AB ·AC ·co s∠BAC=202+122-2×12×20×(-21)=784， BC =28， ∴我舰的追击速度为14海里/时又在△ABC 中，由正弦定理得1435282320sin sin ,sin sin =⨯===BC A AC B A BC B AC 即∴1435arcsin =∠ABC答：我舰航行的方向为北偏东50°-arc sin1435 [方法引导师 你能归纳和总结解斜三角形应用题的一般方法与步骤吗？生①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型． ③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解． ④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．生 即解斜三角形的基本思路：师 解斜三角形应用题常见的会有哪几种情况？生 实际问题经抽象概括后，已知与未知量全部集中在一个三角形中，一次可用正弦定理或余弦定理解之．生 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形中，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解．生 实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理．某人在M 汽车站的北偏西20°的方向上的A 处，观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶．公路的走向是M 站的北偏东40°．开始时，汽车到A 的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A 的距离缩短了10千米．问汽车还需行驶多远，才能到达M 汽车站？ 解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B 处．在△ABC 中，AC =31，BC =20，AB=21，由余弦定理得31232cos 222=∙-+=BC AC AB BC AC C ，则22231432cos 1sin =-=C C ，31312sin =C ，所以sin∠M AC =sin （120°-C ）=sin120°co s C -co s120°sin C =62335在△M AC 中，由正弦定理得35623352331sin sin =⨯=∠∠=AMC MAC AC MC ，从而有M B = M C -BC答：汽车还需要行驶15千米才能到达M 汽车站．课堂小结通过本节学习，要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时，掌握由实际问题向数学问题的转化，并提高解三角形问题及实际应用题的能力 布置作业课本第14页练习 1、板书设计解决有关测量距离的问题1.提出问题2.分析问题 演示反馈3.解决问题 总结提炼。
人教版高中数学必修五 学案 1.2 应用举例(第3课时)
1.2应用举例(第3课时)学习目标1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.2.本节课是在学习了相关内容后的第三节课,在对解法有了基本了解的基础上,通过综合训练强化相应的能力.3.提升提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力,并在学习过程中发扬探索精神. 合作学习一、设计问题,创设情境提问:前面我们学习了如何测量距离和高度,这些实际上都可转化为已知三角形的一些边和角求其余边的问题.然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题,在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向,保持一定的航速和航向呢?今天我们接着探讨这方面的测量问题.二、信息交流,揭示规律在实际的生活中,人们又会遇到新的问题,仍然需要用我们学过的解三角形的知识来解决,大家身边有什么例子吗?三、运用规律,解决问题【例1】如图,一艘海轮从A出发,沿北偏东75°的方向航行67.5n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32°的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1°,距离精确到0.01n mile)问题1:要想解决这个问题,首先应该搞懂“北偏东75°的方向”这指的是什么?【例2】某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船,正沿南偏东75°的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以14海里/时的速度沿着直线方向追去,问巡逻艇应该沿什么方向去追?需要多长时间才追赶上该走私船?问题2:你能否根据题意画出方位图?问题3:以上是用正弦定理、余弦定理来解决的,我们能不能都用余弦定理来解决呢?四、变式训练,深化提高【例3】如图,海中小岛A周围38海里内有暗礁,船正向南航行,在B处测得小岛A在船的南偏东30°,航行30海里到C处,在C处测得小岛A在船的南偏东45°,如果此船不改变航向,继续向南航行,有无触礁的危险?练习:如图,有两条相交成60°角的直线XX',YY',交点是O,甲、乙分别在OX,OY上,起初甲在离O点3千米的A点,乙在离O点1千米的B点,后来两人同时以每小时4千米的速度,甲沿XX'方向,乙沿Y'Y方向步行.(1)起初,两人的距离是多少?(2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离;(3)什么时候两人的距离最短?五、限时训练1.在某电场中,一个粒子的受力情况如图所示,则粒子的运动方向为()A.南偏西B.北偏西C.北偏东D.南偏东2.如图,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,则cosθ=.3.一辆汽车从A点出发,沿一条笔直的海岸公路以100km/h向东匀速行驶,汽车开动时,在点A的南偏东方向距点A 500km的B处的海上有一快艇,此时,快艇所在B处距海岸300km.现快艇上有一快递要送给汽车的司机,求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角,并求出快艇的最小速度.六、反思小结,观点提炼解三角形应用题的一般步骤:参考答案三、运用规律,解决问题【例1】解:在△ABC中,∠ABC=180°-75°+32°=137°,根据余弦定理,AC=≈113.15(n mile),根据正弦定理,,sin∠CAB=≈0.3255,所以∠CAB≈19.0°,75°-∠CAB=56.0°.答:此船应该沿北偏东56.0°的方向航行,需要航行113.15n mile.问题1:这是方位角,这实际上就是解三角形,由方位角的概念可知,首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角∠ABC,即可用余弦定理算出AC边,再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角∠CAB,就可以知道AC的方向和路程.【例2】解:如图,设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船,则CB=10x,AB=14x,AC=9,∠ACB=75°+45°=120°,则由余弦定理,可得(14x)2=92+(10x)2-2×9×10xcos120°,化简得32x2-30x-27=0,即x=或x=-(舍去).所以BC=10x=15,AB=14x=21.又因为sin∠BAC=,所以∠BAC=38°13',或∠BAC=141°47'(钝角不合题意,舍去).所以38°13'+45°=83°13'.答:巡逻艇应沿北偏东83°13'的方向追赶,经过1.5小时追赶上该走私船.问题2:在解三角形中有很多问题都要画出平面示意图,图画的好坏有时也会影响到解题,这是建立数学模型的一个重要方面.问题3:同例2中解得BC=15,AB=21,在△ABC中,由余弦定理,得cos∠CAB=≈0.7857,所以∠CAB≈38°13',38°13'+45°=83°13'.所以巡逻艇应沿北偏东83°13'的方向追赶,经过1.5小时追赶上该走私船.四、变式训练,深化提高【例3】解:在△ABC中,BC=30,B=30°,∠ACB=180°-45°=135°,则A=15°.由正弦定理知,即.所以AC==60cos15°=15+15.所以A到BC所在直线的距离为AC·sin45°=(15+15)×=15(+1)≈40.98>38(海里).答:不改变航向,继续向南航行,无触礁的危险.练习:解:(1)因为甲、乙两人起初的位置是A,B,则AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos60°=32+12-2×3×1×=7,所以起初,两人的距离是千米.(2)设甲、乙两人t小时后的位置分别是P,Q,则AP=4t,BQ=4t,当0≤t≤时,PQ2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60°=48t2-24t+7;当t>时,PQ2=(4t-3)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120°=48t2-24t+7,所以,PQ=48t2-24t+7.(3)PQ2=48t2-24t+7=48+4,所以当t=时,即在第15分钟末,PQ最短.答:在第15分钟末,两人的距离最短.五、限时训练1.D2.解析:如图所示,在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理,知BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800,即得BC=20(海里).由正弦定理,,所以sin∠ACB=sin∠BAC=.由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角,cos∠ACB=.由θ=∠ACB+30°,则cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=.3.分析:设快艇在B处以v km/h的速度出发,在△ABC中,由正弦定理求解.解:如图,设快艇在B处以v km/h的速度出发,沿BC方向航行t小时与汽车相遇(在C点).在△ABC中,AB=500km,BQ=300km,AC=100t,BC=vt. 则sin∠BAC=.在△ABC中,由正弦定理得,即,则v=≥60,当且仅当∠ABC=90°时等号成立.故快艇最小速度为60km/h且行驶方向与AB成直角.六、反思小结,观点提炼①根据题意作出示意图;②明确所涉及的三角形,搞清已知和未知;③选用合适的定理进行求解;④给出答案.。
人教新课标版数学高二-人教B版必修5学案 1.2 应用举例(一)
1．2应用举例(一)1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题.2.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题.3.培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神．“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？通过本节的学习，我们将揭开这个奥秘．1．仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图．2．方位角和方向角从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫方位角，方位角的范围是．从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角叫方向角，如北偏东30°，南偏东45°. 3．坡角与坡度坡面与水平面所成的二面角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度．要点一测量底部不能到达的建筑物的高度例1如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求出山高CD.解在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠CAD ＝β ，∠BAC ＝α－β.根据正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC ，即AC sin (90°－α)＝BCsin (α－β)，∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos αsin (α－β).在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β＝h cos αsin βsin (α－β).答 山的高度为h cos αsin βsin (α－β).规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．跟踪演练1 某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m 后到达D 处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为________ m(精确到1 m ，sin 35°≈0.574)． 答案 812解析 过点D 作DE ∥AC 交BC 于E ，因为∠DAC ＝20°， 所以∠ADE ＝160°，于是∠ADB ＝360°－160°－65°＝135°. 又∠BAD ＝35°－20°＝15°，所以∠ABD ＝30°.在△ABD 中，由正弦定理，AB ＝AD sin ∠ADB sin ∠ABD ＝1 0002(m)．在Rt △ABC 中，BC ＝AB sin 35°≈812(m)． 要点二 测量仰角求高度问题例2 如图所示，A 、B 是水平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 点是点C 到水平面的垂足，求山高CD .解 由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD＝AD.在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由ABsin 15°＝ADsin 45°，得AD＝AB·sin 45°sin 15°＝800×226－24＝800(3＋1) (m)．即山的高度为800(3＋1) m.规律方法在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解．跟踪演练2如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.解在△BCD中，∠BCD＝α，∠BDC＝β，∴∠CBD＝180°－(α＋β)，∴BCsin β＝ssin[180°－(α＋β)]，即BCsin β＝ssin(α＋β).∴BC＝sin βsin(α＋β)·s.在△ABC中，由于∠ABC＝90°，∴ABBC＝tan θ，∴AB＝BC·tan θ＝sin β·tan θsin(α＋β)·s.要点三测量两个不能到达点之间的距离问题例3如图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A 、B 两点间的距离．解 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得BC sin 30°＝CDsin 45°，则BC ＝CD sin 30°sin 45°＝ 64( km)．在△ACD 中，∠CAD ＝180°－60°－60°＝60°， ∴△ACD 为正三角形． ∴AC ＝CD ＝32(km)． 在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋616－2×32×64×22＝38，∴AB ＝64(km)． 所以河对岸A 、B 两点间距离为64km. 规律方法 测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，运用正弦定理解决．跟踪演练3 要测量河对岸两地A 、B 之间的距离，在岸边选取相距1003米的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A 、B 、C 、D 在同一平面内)，求A 、B 两地的距离．解 如图在△ACD 中，∠CAD ＝180°－(120°＋30°)＝30°，∴AC ＝CD ＝1003(米)．在△BCD 中，∠CBD ＝180°－(45°＋75°) ＝60°，由正弦定理得BC ＝1003sin 75°sin 60°＝200sin 75°(米)．在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(1003)2＋(200sin 75°)2－2×1003×200sin 75°cos 75° ＝1002×(3＋4×1－cos 150°2－2×3×sin 150°)＝1002×5∴AB ＝1005(米)．答 河对岸A 、B 两点间的距离为1003米．1．如图，在河岸AC 上测量河的宽度BC ，测量下列四组数据，较适宜的是 ( )A ．a ，c ，αB ．b ，c ，αC ．c ，a ，βD ．b ，α，γ 答案 D解析 由α、γ可求出β，由α、β、b ，可利用正弦定理求出BC .故选D.2．如图，某人向东方向走了x 千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好13千米，那么x 的值是________．答案 4解析 由余弦定理：x 2＋9－3x ＝13， 整理得：x 2－3x －4＝0，解得x ＝4.3．甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________m ，________m. 答案 2034033解析 甲楼的高为20tan60°＝20×3＝203(m)； 乙楼的高为：203－20tan30°＝203－20×33＝4033(m)． 4．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A 、B 两点的距离为________m.答案 502解析 由题意知∠ABC ＝30°，由正弦定理，得AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB ，∴AB ＝AC ·sin ∠ACBsin ∠ABC＝50×2212＝502(m)．5．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m. 答案 30解析 设两条船所在位置分别为A 、B 两点，炮台底部所在位置为C 点，在△ABC 中，由题意可知AC ＝30tan 30°＝303(m)，BC ＝30tan 45°＝30(m)，C ＝30°，AB 2＝(303)2＋302－2×303×30×cos 30°＝900， ∴AB ＝30(m)．1．运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离” 要综合运用正弦定理和余弦定理. 无论测量“底部不能到达的建筑物的高度”，还是测量“两个不可到达点间的距离”都需要在两个点上分别测量，并且都需要测量出两点的距离．2．正、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤： (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．一、基础达标1．海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( )A ．10 3 n mile B.1063 n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile答案 D解析 由题意知，在△ABC 中，AB ＝10(n mile)，A ＝60°，B ＝75°，则C ＝180°－A －B ＝45°. 由正弦定理，得BC ＝AB sin A sin C ＝10sin 60°sin 45°＝5 6 (n mile)．2．甲骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是 ( ) A ．6 km B ．3 3 km C ．3 2 km D ．3 km 答案 C解析 由题意知，AB ＝24×14＝6(km)，∠BAS ＝30°，∠ASB ＝75°－30°＝45°.由正弦定理，得BS ＝AB sin ∠BAS sin ∠ASB＝6sin 30°sin 45°＝32(km)．3．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是( ) A ．10 m B ．10 2 m C ．10 3 m D ．10 6 m 答案 D解析 在△BCD 中，CD ＝10(m)，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，由正弦定理，得BC sin 45°＝CDsin 30°， BC ＝CD sin 45°sin 30°＝102(m)．在Rt △ABC 中，tan 60°＝ABBC，AB ＝BC tan 60°＝106(m)． 4．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 3 m 以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( ) A ．200 m B ．300 m C ．400 m D ．100 3 m 答案 B解析 方法一 如图，△BED ，△BDC 为等腰三角形，BD ＝ED ＝600(m)，BC ＝DC ＝2003(m)．在△BCD 中，由余弦定理可得cos2θ＝6002＋(2003)2－(2003)22×600×2003＝32，∴2θ＝30°，4θ＝60°. 在Rt △ABC 中， AB ＝BC ·sin4θ＝2003×32＝300(m)，故选B. 方法二 由于△BCD 是等腰三角形，12BD ＝DC cos2θ，即300＝2003cos2θ.cos2θ＝32，2θ＝30°，4θ＝60°. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin4θ ＝2003×32＝300(m)， 故选B.5．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度为______m.答案 60解析 在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°， ∴∠ACB ＝75°.∠ACB ＝∠ABC . ∴AC ＝AB ＝120 (m)．如图，作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 即为河的宽度．由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD ，∴120sin 90°＝CD sin 30°， ∴CD ＝60(m)． ∴河的宽度为60 m.6．如图，AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法．解 选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上．由在G 、H 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD ＝a ，测角仪器的高是h . 那么，在ACD 中，根据正弦定理可得AC ＝a sin βsin (α－β)，AB ＝AE ＋h ＝AC sin α＋h ＝a sin αsin βsin (α－β)＋h .二、能力提升7．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m 到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( ) A ．15 mB ．5 mC．10 m D．12 m答案C解析如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝ 3 h.在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CD cos∠OCD，即(3h)2＝h2＋102－2h×10×cos 120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．8．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔在这次测量中的高度是()A．100 2 m B．400 mC．200 3 m D．500 m答案D解析由题意画出示意图，设高AB＝h m，在Rt△ABC中，由已知得BC＝h m，在Rt△ABD中，由已知得BD＝3h，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD得，3h2＝h2＋5002＋h·500，解之得h＝500 (m)．故选D.9．如图所示，在高出地面30 m 的小山顶上建造一座电视塔CD ，今在距离B 点60 m 的地面上取一点A ，若测得∠CAD ＝45°，求此电视塔的高度．解 设CD ＝x m ，∠BAC ＝α，则△ABC 中，tan α＝3060＝12.又∠DAB ＝45°＋α， tan ∠DAB ＝BD AB ＝x ＋3060＝tan(45°＋α)． 又tan(45°＋α)＝tan 45°＋tan α1－tan 45°tan α＝3. ∴x ＋3060＝3，解得x ＝150 m. 答 所以电视塔的高度为150 m.10．如图，某人在塔的正东方沿着南偏西60°的方向前进40 m 以后，望见塔在东北方向．若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔的高度．解 在△BCD 中，CD ＝40 m ，∠BCD ＝90°－60°＝30°，∠DBC ＝45°＋90°＝135°.由正弦定理，得CD sin ∠DBC ＝BD sin ∠BCD， ∴BD ＝CD ·sin ∠BCD sin ∠DBC＝40sin 30°sin 135°＝202(m)． 在Rt △ABE 中，tan ∠AEB ＝AB BE，AB 为定值，故要使∠AEB 最大，需要BE 最小， 即BE ⊥CD ，这时∠AEB ＝30°.在△BCD 中，∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°，∴BE ＝BD ·sin ∠BDE＝202sin 15°＝10(3－1)(m)．在Rt △ABE 中，AB ＝BE tan ∠AEB＝10(3－1)·tan 30°＝103(3－3)(m)． 答 塔的高度为103(3－3) m. 11.如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度由B 向C 航行，航行的方位角是140°.A 处有一灯塔，其方位角是110°，在C 处观察灯塔A的方位角是35°，由B 到C 需航行半个小时，求C 到灯塔A 的距离．解 在△ABC 中，BC ＝40×12＝20(km)， ∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋35°＝75°，∴∠BAC ＝75°.由正弦定理，得AC sin 30°＝BC sin 75°， ∴AC ＝BC sin 30°sin 75°＝10sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30° ＝406＋2＝10(6－2)(km)． 答 C 到灯塔A 的距离为10(6－2)km.三、探究与创新12．如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离(计算结果精确到0.01 km ，2≈1.414，6≈2.449).解 在△ADC 中，∠DAC ＝30°.∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，∴CD ＝AC ＝0.1(km)．又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，∴BD ＝BA .在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC，即AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620(km)． 因此，BD ＝32＋620≈0.33(km)， 故B ，D 的距离约为0.33 km.。
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§1.2应用举例—①测量距离
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题
复习1：在△ABC中，∠C＝60°，a＋b＝2，c＝A为 .
复习2：在△ABC中，sin A＝sin sin
cos cos
B C
B C
+
+
，判断三角形的形状.
二、新课导学
※典型例题
例1. 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=51︒，∠ACB=75︒. 求A、B两点的距离(精确到0.1m).
提问1：∆ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题
题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，
再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，
应用正弦定理算出AB边.
新知1：基线
在测量上，根据测量需要适当确定的叫基线.
例2. 如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.
分析：这是例1的变式题，研究的是两个的点之间的距离测量问题.
首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点.
根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，
再利用余弦定理可以计算出AB的距离.
变式：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得∠BCA=60°，∠ACD=30°，∠CDB=45°，∠BDA =60°.
练：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯
塔B 在观察站C 南偏东60°，则A 、B 之间的距离为多少？
三、总结提升
※ 学习小结
1. 解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建
立一个解斜三角形的数学模型；
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.
2．基线的选取：
测量过程中，要根据需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.
※ 当堂检测
1. 水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的
大小，用锐角45︒的等腰直角三角板的斜边紧靠球
面，P 为切点，一条直角边AC 紧靠地面，并使三
角板与地面垂直，如果测得PA =5cm ，则球的半径
等于（ ）.
A ．5cm
B
． C
．1)cm
D ．6cm
2. 台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区
为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为 （ ）.
A ．0.5小时
B ．1小时
C ．1.5小时
D ．2小时
3. 在ABC ∆中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，
则ABC ∆的形状 （ ）.
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
4.在ABC ∆中，已知4a =，6b =，120C =，则sin A 的值是 ．
5. 一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60，行驶４h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为 km ．
6、海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成45°的视角，求B 、C 间的距离。
7、两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a 千米，灯塔A 在观察站C 的北偏东30度，灯塔B 在观察站的南偏东60°，求灯塔A 与B 的距离。
8、一船以24km/h 的速度向正北方向航行，在点A 处望见灯塔S 在船的北偏东30°方向上，15min 后到点B 处望见灯塔S 在船的北偏东60°方向上，求船在点B 时与灯塔S 的距离。
9、我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知CD=6000m ，∠ACD=45°,∠ADC=75°, 目标出现于地面点B 处时，测得∠BCD=30°∠BDC=15°(如图）求：炮兵阵地到目标的距离.
10、某海上缉私小分队驾驶缉私艇以h km /40的速度从A 处出发沿北偏东︒60的方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B 处，发现在北偏西︒45的方向上有一艘船C ，船C 位于A 处北偏东︒30的方向上，求缉私艇B 与船C 的距离
A B
C D 45° 30° 75° 15°
11、隔的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，A、B、C、D在同一个平面，求两目标A、B间的距离.
12、某船在海面A处测得灯塔C与A相距且在北偏东30︒方向；测得灯塔B与A
相距海里，且在北偏西75︒方向. 船由A向正北方向航行到D处，测得灯塔B在南偏西60︒方向. 这时灯塔C与D相距多少海里？
13、A，B是海面上位于东西方向相聚5(3海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，
B点北偏西60°且与B点相距C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D点需要多长时间？。