一元二次不等式及其解法第二课时课件-数学必修五第三章不等式3.2人教A版

这是一个关于x的一元二次不等式，只要求得满足上述 不等式的解集，就得到了问题的答案。 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式，称为一元二次不等式
知识点一：解一元二次不等式
我们先来考察一元二次 不等式与其对应的 二次函数及一元二次方 程的关系。
例如：x 2 5 x 0对应的二次函数是: y x 2 5 x, 对应的一元二次方程是: x 2 5 x 0, 由x 2 5 x x( x 5) 0, 得：x1 0, x2 5
又如：一元二次不等式 x 2 2 x 1 0,因为 (2) 2 4 1 0, 对应的二次函数的图像 如图所示，由图知：
x轴下方没有图像，所以 一元二次不等式 x 2 2 x 1 0无解， x 2 2 x 1 0的解是除了与x轴交点 的所有实数
解 : (1) 8 0,由二次函数图像 (如图)得： 函数值等于0时，无解； 函数值大于0时，x R; 函数值小于0时，无解.
解 : (2) 100 0,由二次函数图像 (如图)得： 4 函数值等于0时，x 2, x ； 3 4 函数值大于0时，x 2或x ; 3 4 函数值小于0时， 2 x . 3
解： (2)注意到9 x 2 6 x 1 (3x 1) 2 0 1 所以原不等式的解集为 {x | x }. 3
解： (3)不等式可化为 2 x 2 x 1 0, ＝9， 1 方程2 x 2 x 1 0有两个实数根， x1 , x2 1, 2 由二次函数y 2 x 2 x 1的图像得不等式的解集 为 1 {x | x 或x 1}. 2
b b 2 4ac x 2a
x1 x2
b 2a
无实数根
ax2 bx c 0 (a 0)的解集 ax2 bx c 0 (a 0)的解集
{x | x x1或x x2 } {x | x
b } 2a
R
{x | x1 x x2 }
那么一次乘车在多长时间内能够保证 选择A类的车费小于或等于选择B类所需车费？
假设一次乘车 x千米，则A类收取的费用为 1.5 x(元)
x(35 x) （元） B类收取的费用为 20
x(35 x) 1.5 x, 20
如果能够保证选择 A类比选择B类所需费用少，则
整理得，x 2 5x 0
课堂练习
1、求下列不等式的解集 ： (1)3x 2 5 x 2 0; (2)9 x 2 6 x 1 0; (3) 2 x 2 x 1 0; (4) x 2 4 x 4 0.
解： (1) 49 0, 1 方程3x 2 5 x 2 0有两个实数根， x1 2, x2 , 3 由二次函数y 3x 2 5 x 2的图像得不等式的解集 为： 1 {x 2或x }. 3
3 1 例题3、求不等式 x x 0的解集。 4 6
2
解：不等式可化为 12x 2 9 x 2 0 因为 177 0, 方程12x 2 9 x 2 0有两个实数根， 3 177 3 177 即，x1 , x2 , 8 8 然后根据二次函数 y 12x 2 9 x 2的图像, 由图像得不等式的解集 为 3 177 3 177 {x | x 或x } 8 8
第四章 不等式
3.2 第一课时 一元二次不等式及其解法
教学目标
[1]会根据实际问题列出一元二次不等式 [2]会求解一元二次不等式
[3]理解和掌握好一元二次不等式与一元二次方 程及二次函数的关系 [4]会利用二次函数图像来分析和理解一元二次 不等式及对应的一元二次方程的解
大家想一想
问题：某小城市有两类载客三轮车，A类每千米 路程收费1.5元（不足1千米按1千米计算）；B类 的收费原则是：第一千米（含恰好1千米，下同）ห้องสมุดไป่ตู้内收费1.7元，第2千米内收费1.6元，以后每千 米路程减少0.1元（若乘客一次乘坐路程超过17 千米，按17千米来计算）。 在这个城市内的载客三轮车载客一般不超过17千 米，所以不妨假设一次乘车路程总小于17千米，
再如：一元二次不等式 x 2 2 x 3 0,因为 22 4 1 3 8 0, 对应的二次函数的图像 如图所示，由图知：
由图知：图像全在x轴上方， 所以不等式<0的解集为空集， >0的解集为R。
Δ b 2 4ac
Δ 0
Δ 0
Δ 0
y ax2 bx c (a 0)的图像 ax2 bx c 0 (a 0)的根
故，一元二次不等式: x2 5x 0的解集是{x| 0 x 5}.
所以，当一次乘车路程在5千米路程内（含恰好5千米）时， 选择A类的车费小于或等式选择B类的车费；超过5千米路 程，选择B类的车费少。
知识点二 一元二次不等式及其对应二 次函数、一元二次方程的关系
我们可以由函数的零点与相应一元二次方程根的 关系，先求出一元二次方程的根，再根据函数图 像与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集。
例如：一元二次不等式 x 2 5 x 6 0,已知a 0, 又知 (5) 2 4 (6) 49 0, 所以对应的二次 函数y x 2 5 x 6开口向上，与x轴有两个交点， 如图所示：
x轴上方图像所对应的是 y0 x轴下方图像所对应的是 y0 所以不等式的解为 x轴上方图 像所对应的x轴
解 : (3) 0,由二次函数图像 (如图)得： 1 函数值等于0时，x ； 4 函数值大于0时，无解; 1 函数值小于0时，x . 4
解 : (4) 0,由二次函数图像 (如图)得： 函数值等于0时，x 4, x 1； 函数值大于0时， 4 x 1; 函数值小于0时，x 4或x 1.
课堂小结
1、一元二次不等式的定 义 2、一元二次不等式的解 法 1）将原不等式化成一般 形式ax2 bx c 0(a 0) 2）求 b 2 4ac 3）分三种情况讨论 若 0, 方程ax2 bx c 0没有实数根， 原不等式解集为 R； 若 0, 求方程ax2 bx c 0的两个不等实数根， 原不等式解集为 {x | x x小或x x大 }; 若 0, 方程ax2 bx c 0有两个相等的实数根， b 原不等式的解集为 {x | x }. 2a
例题讲解
例题1、求不等式9 x 2 6 x 1 0的解集。
解：注意到9 x 2 6 x 1 (3x 1) 2 0 1 所以，原不等式的解集 为{x | x }. 3
例题2、求不等式 6x 2 4x 1 0的解集。
解：不等式可化为 6x2 4x 1 0 因为 8, 方程6 x 2 4 x 1 0无实数根，而y 6 x 2 4 x 1 的图像开口向上，所以 原不等式的解集为 。
解： (4)不等式可化为x 2 4 x 4 0,
即( x 2) 2 0, 注意到( x 2) 2 0, 所以原不等式的解集为 .
2、分别求出下列二次函 数的值大于0，小于0， 还有等于0时自变量x的取值范围。 (1) y 2 x 2 4 x 3; (2) y 3x 2 2 x 8; (3) y 8 x 1 16x 2 ; (4) y ( x 4)( x 1).


解法小结
1）将原不等式化成一般形式ax2 bx c 0(a 0) 2）求Δ b 2 4ac 3）分三种情况讨论： 若Δ 0, 方程ax2 bx c 0没有实数根， 原不等式解集为R； 若Δ 0, 求方程ax2 bx c 0的两个不等实数根， 原不等式解集为{x| x x小或x x 大 }; 若Δ 0, 方程ax2 bx c 0有两个相等的实数根， 原不等式的解集为{x| x b }. 2a
例题4、求不等式x 2 30x 200 0的解集。
解：因为 100 0, 所以方程x 2 30x 200 0有两个实数根， 即x1 10, x2 20, 由二次函数y x 2 30x 200 的图像得 不等式的解集为 {x | 50 x 60}.
我们知道， 由二次函数的零点与相 应的一元二次方程根的 关系， x1 0, x2 5是二次函数y x 2 5 x的两个零点。
二次函数y x 2 5x的图像：
当x 0, 或x 5时， 函数图像位于 x轴上方，此时 y 0,即x 2 5x 0;
当0 x 5时， 函数图像位于 x轴下方，此时 y 0,即x 2 5x 0;
上述方法可以推广到求 一般的一元二次不等式 ax2 bx c 0或ax2 bx c 0(a 0)的解集。
请同学们思考，讨论
我们知道， 对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0), 设 b 2 4ac, 则 它的解按照Δ 0, Δ 0, Δ 0可分为三种情况， 相应的， 二次函数y ax2 bx c(a 0)的图像与x轴的位 置关系 也分为三种情况， 因此， 我们可分三种情况来讨 论对应的一元二次不等 式的解集。