柔性臂振动系统角速度反馈控制的最优指数衰减率问题[1]

T 2
0
=
e
-
5 ∀ i 4
1 1 ∀ - n+ 4 i+ O n 1 4
2
2
= ( 9)
n-
i∀ 1 + O
1 n2
2
n = 1, 2, …
n
2
= -
e
-
3 ∀ i 4
1 1 i+ O 4 n 2 1 n + 1 i∀ 1 + O 2 4 n ∀ n+
= ( 10)
n = 1, 2, … 其中 ( 4) # 1( ) =
1 引 言
近年来, 人们对柔性、 弹性系统 my tt ( x , t) + E I y x xxx ( x , t) = 0 0 < x < l , t > 0 y ( 0, t ) = y x ( 0, t) = y xxx ( l , t) = y xx ( l , t) = 0 的控制问题产生了兴趣
[ 1- 8]
0
≥ Sup{ Re , 是系统的谱} 。 在什么条件下等号成
立, 是分布参数控制理论研究中最关心的问题之一。 这个问题一直是偏微分方程、 算子半群和分布参数 控制系统的稳定性研究的一个重大问题。 文献[ 1 ( 1) 3] 给出了系统谱的数字仿真结果, 但未能给出系统 的谱和系统的最优指数衰减率的关系。 Conrad 等
0 1 ″ ″
2 辅助系统特征值的分布 和特征函数表示
( 2) 系统( 3) 或 ( 4) 的特征方程为
″ ″
( x) +
2
( x ) = 0, 0 < x < 1 ( 1) = ′ ( 1) = 0
( 0) =
″ ″
′ ( 0) =
( 6)
如果 = 0, 则系统( 6) 可写成 ( x ) = 0, 0 < x < 1 ( 0) = ′ ( 0) = ( 1) = 0 如果 ≠ 0, 则系统( 6) 可写成 ( x) + ( x ) = 0, 0 < x < 1 ( 0) = ′ ( 0) = ( 1) = ′ ( 1) = 0
3 1 1 n
j
是特征行列式
1 2 3 4
1 e e
1 1
1
! ! 3 2 2
1
2 2
1
3 3
e e
! !
e e
4 4
! !
= 0
( 11) ( 5) 的单根。 由引理 1, 我们给出特征问题 ( 8) 的特征函数表 示公式。 引理 2 特征问题( 5) 的特征函数可表示为
n
1
″ ( x ) dx , ∈ V 。 定义微分算子 I
A=
0
, D ( A 0 ) = { ( u, v) , u ∈ - d4 / dx 4 0 H 4( 0, 1) ∩ V , v ∈ V , u ( 1) = 0, v ′ ( 1) = 0} ; 微分 0 I 算子 A 1 = , D( A 1) = { ( u , v ) , u 4 4 - d / dx 0 4 ∈ H ( 0, 1) ∩V , v ∈V , u ( 1) = 0, v ′ ( 1) = - K u″ ( 1) } 。 设 Y ( t ) = ( y ( x , t ) , y t( x , t ) ) T 。 辅助系统( 3) 可 写成一阶发展方程 d Y ( t) = A 0 Y ( t) , t > 0 dt Y ( 0) = Y 0 Y 0 = ( y 1 , y 2) T ∈ V × L 2( 0, 1) 系统( 2) 可写成一阶发展方程 d Y ( t) = A 1 Y ( t) , t > 0 dt Y ( 0) = Y 0 Y 0 = ( y 1 , y 2) ∈ V × L ( 0, 1)
= e 4, )e
2 n 3 n 1 n 1 1 1
4
时, ∃nj 是 #1 ( ) = 0 的单根。 下面给出特征问题 ( 15) 的特征函数的渐近表 示公式。 由引理 3 可得如下结果: 引理 4 特征问题 ( 15) 的特征函数可渐近表示 为 % n ( x , vn ) = 1 1 2i[ ( e (e (e (e
摘 要 讨论柔性臂的端点角速度反馈控制问题。通过对系统特征值和特征函数的渐近表示式的 进一 步研究 , 用 特征扰动的 P ayley - Wiener 稳定性理 论 , 证明 了该系统 的最优指数 衰减率可 由系统的谱 来 确定。 关键词 Euler - Berno ulli 梁 , Riesz 基 , 指数稳定 , 最优指数衰减率 分类号 O 175. 21
第 15 卷 第 2 期
Vo l. 15 N o. 2
控 制 与 决 策
CON T ROL A N D D ECI SI ON
2000 年 3 月
M ar . 2000
柔性臂振动系统角速度反馈控制的 最优指数衰减率问题*
于景元
( 北京信息与控制研究所 100037)
王耀庭 李胜家
( 山西大学数学系 )
142
控 制 与 决 策
2 00 0 年
的上确界。 但是, 对端点的角速度反馈控制系统 y tt ( x , t ) + y x xxx ( x , t ) = 0 0 < x < 1, t > 0 y ( 0, t ) = y x ( 0, t) = y xx x ( 1, t) = 0 K y x x ( 1, t ) = - y xt ( 1, t) y ( x , 0) = y 1 ( x ) y t ( x , 0) = y 2( x ) 0 ≤ x ≤ 1 的最优指数衰减率问题 , Conrad 方法是失效的。 本 文研究角速度反馈控制系统的特点, 引入一 个辅助系统, 对系统的特征值和特征函数做更精细 的研究。 用特征扰动的 Payley - Wiener 稳定性理 论 , 证明了在一定条件下, 角速度反馈控制系统的最 优能量指数衰减率可用系统的谱来确定。 为了研究系统 ( 2) , 引入一个辅助系统 y tt ( x , t ) + y xx xx ( x , t ) = 0 0 < x < 1, t > 0 y ( 0, t ) = y x ( 0, t) = y xxx ( 1, t) = y xt ( 1, t ) = 0 y ( x , 0) = y 1 ( x ) y t ( x , 0) = y 2 ( x ) 为 研究 系统 ( 2) 和 ( 3) , 这 里引 进空 间 V = { ( x ) ; ∈ H 2 ( 0, 1) , ( 0) = ′ ( 0) = 0} , V 的范数 为‖ ‖ = ( x) ∫″
Wang Yaot ing , L i Shengj ia
( Shanxi U niver sity )
Abstract T he pr oblem o f angular velocity feedback co nt ro l caused by a flex ible beam on a v ibr ating sy st em is discussed. T he stability is w ell know n, but the optima l ex po nent ial decay r ate o n the system is new . In or der to deter mine t he decay r ate, an assistant system as a ba sic sy stem is intro duced, and t he sy st em is considered as a pertur batio n o f t he assistant system . By the Pay ley - Wiener st ability theo ry , it is pr ov ed t hat a set o f the eigenvecto rs o f the system for m a R iesz basis of the sta te spa ce. So t he spectr um o f the sy st em is deter mined, a nd the optimal decay rat e can be deter mined by t he spectr um of t he sy st em. Key words Euler - Ber noulli beam , Riesz basis , ex po nent ial st ability , optim al ex ponential decay rat e
[ 4]
。 Chen 等研究了单根和
研究了系统仅在速度反馈控制 y x xx ( 1, t) = k 1y t ( l , t ) 作用下闭环控制系统的特征元结构问题 , 用隐函 数理论和扰动论的方法证明: 当 k 1 很小时 , 闭环系 统的特征元构成状态空间的 Riesz 基 , 从而证明了 该类控制系统的最优指数衰减率等于系统谱的实部
! x
1 K ]
∀ i 4 2 3 3 3
1
3
e
!
3 4
e
4
!
= 0 e
4!
( 17)
( e 2 n 1 + e 1 4 ( n1 + e ( e( 1 + 3 ) ! 其中,
3 1
)e
2
3 n n1
! x
1
+
4 n1
+
)!
)e
! ( x - 1)
( 12) 。
!
+
3
e
3!
Optimal Exponential Decay Rate on the Flexible Beam with Angular Velocity Feedback Control