奇异摄动对流扩散问题的区域分解算法

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奇异值分解法

奇异值分解法奇异值分解是一种基于数学的计算技术，有助于研究者在处理非结构化数据时，对数据中的模式和特征进行识别和分析。

主要的应用以及计算机视觉领域，如图像压缩，图像识别，网络指纹识别，特征识别，图像融合，图像检索，脸部识别，图像分类等。

它可以有效地提取结构信息，从而改善数值分析误差和结果准确度。

奇异值分解算法最早由犹太数学家图良克提出，用于解决高维数据的维度问题。

它的核心是利用奇异向量的分解，将原始数据矩阵分解为有限个相对低维的部分，然后在每个部分内求出最佳的拟合系数，最后将拟合系数合并，即可得出整个原始矩阵。

奇异值分解法的主要步骤是：首先，计算原始数据矩阵的奇异值和奇异向量，然后，根据固有值确定奇异值和奇异向量，确定压缩程度，综合利用奇异值分解和奇异向量，进行特征提取和矩阵重建，从而将复杂的原始矩阵压缩成有限的低维数据，增加模型的处理速度，提高预测准确度。

除了图像处理外，奇异值分解在信号处理，数据挖掘，社交网络分析，自然语言处理，机器学习等领域也都有广泛应用。

它可以用来识别微弱的特征，筛选出重要变量，减少数据维度，提高预测准确度，快速处理大型数据集，提高模型效率。

奇异值分解是一种高效的数据分析技术，可以提取原始数据中的有用信息，增强模型的精确性。

它的应用非常广泛，可以改善各种计算机视觉任务的性能，为商业，科学和技术发展带来重大的突破和改进。

然而，奇异值分解也有一些缺点。

例如，它要求原矩阵具有有限的解，但是很多实际数据集中存在大量的噪声，它可能会对奇异值分解造成影响，导致分析结果不准确。

另外，它也有较高的计算复杂度，不能有效地处理大型数据集。

总而言之，奇异值分解是一种有效的数学分析方法，它可以有效地提取原始数据中的有用信息，为计算机视觉和大数据分析研究提供有益的参考。

然而，由于它的计算复杂度较高，要求原矩阵具有有限解，它也存在一定的局限性，需要采取灵活的处理方法以获取更准确有效的分析结果。

对流扩散方程的数值方法

对流扩散方程的数值方法流扩散方程是描述物质在流动中同时进行的扩散过程的方程。

在很多科学和工程领域，如物理、化学、生物学等，流扩散方程都具有重要的应用。

为了解决流扩散方程，在数值计算中可以采用不同的数值方法。

本文将介绍几种常用的数值方法，包括有限差分法、有限元法和谱方法等。

有限差分法是一种常用且简单的数值方法，可用于解决流扩散方程。

它将空间和时间离散化，并采用中心差分近似来计算偏导数。

通过将方程离散化为代数方程组，可以使用迭代方法（如雅可比方法、高斯-赛德尔方法等）求解。

有限差分法的主要优点是简单易行，且可以方便地处理复杂的边界条件。

然而，它在处理不规则边界和复杂的时间变化时可能会出现精度问题。

有限元法是一种更加灵活和通用的数值方法，可用于解决流扩散方程。

它将连续的空间和时间域划分为离散的小单元，并利用有限元近似来计算解。

有限元法的优点是适用于各种不规则边界和复杂的几何结构，且能够提供更高的精度。

它通常使用高阶基函数来提高数值解的精确度，但计算复杂度较高，并且需要额外的后处理步骤来获得所需的物理量。

谱方法是一种基于傅里叶级数和函数的展开来计算数值解的方法，也适用于解决流扩散方程。

它使用特殊类的基函数（如傅里叶基函数或Chebyshev基函数）来表示解，并利用傅里叶级数的收敛性和高精度的性质来求解偏微分方程。

谱方法的优点是能够提供非常高的精度，并且适用于各种边界条件和几何结构。

但是，谱方法通常对于非线性问题的数值求解比较困难，且需要合适的扩展性来处理大规模问题。

对于流扩散方程的数值方法，除了上述几种常见的方法外，还有其他一些方法如交替方向隐式方法（ADI方法）和双曲正切方法（双曲正切线性增量法）等。

这些方法在特定情况下可能更适用于一些问题，但在一般情况下，有限差分法、有限元法和谱方法是流扩散方程数值计算的主要选择。

在选择数值方法时，需要综合考虑问题的特点和要求。

有限差分法适用于简单的几何结构和边界条件，有限元法适用于复杂的几何结构和边界条件，谱方法适用于需要高精度和快速收敛的问题。

奇异摄动对流扩散方程的层适应数值解法

奇异摄动对流扩散方程的层适应数值解法奇异摄动对流扩散方程是描述许多物理现象的重要方程之一。

然而，由于其数学性质的特殊性，传统的数值方法在求解该方程时常常遇到困难。

为了克服这些困难，研究人员提出了一种新的层适应数值解法。

层适应数值解法是一种基于网格适应性的求解方法。

该方法将物理领域划分为多个层次，每个层次都有不同的网格密度。

在奇异摄动对流扩散方程中，层适应数值解法将特别关注奇异层附近的网格划分。

首先，层适应数值解法通过分析方程中的奇异项，确定奇异层的位置。

然后，在奇异层附近增加更加密集的网格，以确保对奇异项的准确描述。

同时，在其他区域可以使用较粗的网格，以提高计算效率。

接下来，层适应数值解法使用差分格式对方程进行离散化。

在奇异层附近，采用较高的阶差分格式，以保证对奇异项的精确捕捉。

而在其他区域，可以使用较低阶的差分格式，以提高计算效率。

在进行数值计算时，层适应数值解法采用了自适应网格技术。

它根据数值解的误差情况，动态调整网格的密度。

在奇异层附近，如果数值解的误差较大，就会增加更多的网格。

而在其他区域，如果误差较小，就会减少网格的数量。

通过这种方式，层适应数值解法能够在保证精度的同时，提高计算效率。

最后，通过数值实验的结果可以发现，奇异摄动对流扩散方程的层适应数值解法具有较高的精度和计算效率。

它能够有效地求解具有奇异项的方程，并且能够适应不同的物理问题。

因此，层适应数值解法在实际应用中具有很大的潜力。

总之，奇异摄动对流扩散方程的层适应数值解法是一种基于网格适应性的求解方法。

它通过调整网格密度和差分格式，能够准确地描述奇异项，并且具有较高的计算效率。

层适应数值解法在求解奇异摄动对流扩散方程中具有重要的应用价值，也为其他奇异方程的求解提供了新的思路。

一类奇异摄动对流扩散方程组的自适应网格方法的收敛性分析，

应用数学MATHEMATICA APPLICATA2021,34(1):184-193一类奇异摄动对流扩散方程组的自适应网格方法的收敛性分析包小兵1,方虹淋2,刘利斌3(1.池州学院大数据与人工智能学院,安徽池州247000;2.重庆工程学院通识学院,重庆400900;3.南宁师范大学数学与统计学院,广西南宁530023)摘要：基于经典的迎风有限差分方法,本文讨论一类奇异摄动对流扩散方程组的自适应网格算法.首先,利用Taylor级数展开,给出离散格式的局部截断误差估计.然后,利用等分布原理和极大值原理,证明基于弧长控制函数的自适应网格算法是一阶收敛的.最后的数值实验验证了本文的理论结果.关键词：奇异摄动;局部截断误差;迎风有限差分格式;自适应算法中图分类号：O241.8AMS(2000)主题分类：65L10;65L12;65N30文献标识码：A文章编号：1001-9847(2021)01-0184-101.引言本文考虑如下弱耦合的奇异摄动对流扩散方程组：L1u(x)≡−εu′′1(x)−a11(x)u′1(x)+b11(x)u1(x)+b12(x)u2(x)=f1(x),L2u(x)≡−εu′′2(x)−a22(x)u′2(x)+b21(x)u1(x)+b22(x)u2(x)=f2(x),u i(0)=0,u i(1)=0,i=1,2,x∈Ω=(0,1),(1.1)其中0<ε≪1是摄动参数,u(x)=(u1(x),u2(x))T,函数a ii(x),b ij(x)和f j(x),i,j=1,2,为足够光滑的函数.假设存在常数α,α∗,η,使得α∗≥a ii(x)≥α>0,i=1,2,(1.2)minx∈[0,1]{b11(x)+b12(x),b12(x)+b22(x)}>η>0.(1.3)基于假设条件(1.2)-(1.3),问题(1.1)存在唯一解,且当ε→0时,在x=0点存在宽度为O(ε|lnε|)的边界层.[1]众所周知,奇异摄动问题来源于工程和应用数学的许多分支,例如流体力学、热传导、半导体和化学反应等.[2]一般而言,这类问题所对应的微分方程的高阶导数项包含小的摄动参数,从而导致很难求出其精确解,尤其是非线性的问题.因此,研究这类问题的有效的数值方法显得非常重要.一直以来,单个奇异摄动对流扩散方程的数值方法备受许多学者的关注.[3]近年来，奇异摄动对流扩散方程组的层适应网格方法逐渐引起了学者们的兴趣.CEN在文[1]中∗收稿日期：2020-02-28基金项目:国家自然科学基金(11761015),广西自然科学基金(2020GXNSFAA159010);广西自然科学基金重点项目(2017GXNSFDA198014,2018GXNSFDA050014);池州学院自然科学重点项目基金(CZ2018ZR06);池州学院校级教学团队(2018XJXTD03)作者简介:包小兵,男,汉族,安徽人,讲师,研究方向:微分方程数值解.通讯作者:刘利斌.第1期包小兵等：一类奇异摄动对流扩散方程组的自适应网格方法的收敛性分析185考虑了问题(1.1)的Shishkin 网格方法,并证明了数值方法是几乎一阶一致收敛的.Roos 和Reibiger [4]考虑了具有单个摄动参数ε的奇异摄动对流扩散方程组,证明线性有限元方法在Shishkin 网格上是几乎二阶收敛的.作者在文[5]中讨论了奇异摄动对流扩散方程组(1.1)的有限差分格式,并在Shishkin 网格上证明了数值方法是几乎一阶收敛的.针对奇异摄动对流扩散方程组,LINß[6]在任意网格上构造了一个迎风有限差分格式,并分别在Shishkin 网格和Bakhvalov 网格上证明了数值方法的收敛阶是O (N −1ln N )和O (N −1),其中N 表示网格区间的个数.O’Riordan 和Stynes [7]讨论了一类强耦合的奇异摄动对流扩散方程组有限差分方法,并在Shishkin 网格上给出了数值方法的收敛性.Kumar 等[8]讨论了一类奇异摄动对流扩散方程组的Shishkin 网格方法,并给出了相应的收敛性分析.在奇异摄动问题的层适应网格方法受到广泛关注的同时,奇异摄动对流扩散方程的自适应网格算法越来越受到许多学者的青睐[9−14].而关于奇异摄动对流扩散方程组的自适应网格算法,可参见德国学者Linß在2009年发表的文[15].接着,LIU 和CHEN 在文[16-17]中分别讨论了一类弱耦合和强耦合的奇异摄动对流扩散方程组的自适应网格算法,利用多项式插值技术,给出了离散格式的最大范数的后验误差估计,并以此构造了一个类似于弧长的网格控制函数及相应的网格生成算法.MAO 和LIU [18]针对一般的强耦合的奇异摄动对流扩散方程组,构造了迎风有限差分格式的后验误差估计和相应的网格生成算法.值得一提的是文[15–18]所提出的奇异摄动对流扩散方程组的自适应网格算法都是基于后验误差估计和网格等分布原理.如文[10]所述,这种算法属于全离散的自适应网格算法.在文[10,13,19-20]中,基于精确的弧长控制函数和网格等分布原理,作者研究了单个奇异摄动对流扩散方程的半离散的自适应网格算法,并给出了算法的先验误差估计和收敛性分析.因此,本文将在此基础上,系统分析奇异摄动对流扩散方程组(1.1)的自适应网格算法的收敛性.首先,基于标准的迎风差分格式,给出相应的局部截断误差.然后,利用包含方程精确解的网格控制函数、网格等分布原理和精确解的稳定性估计,证明了半离散格式的自适应网格算法是一阶收敛的.最后的数值试验进一步验证了本文的理论结果.注1.1本文中的C 表示与摄动参数ε以及网格参数N 无关的正常数,且在不同地方取值不同.对于单个函数v (x ),x ∈¯Ω=[0,1],定义最大范数∥v (x )∥=max ¯Ω|v (x )|.对于向量函数v (x )=(v 1(x ),v 2(x ))T,定义∥v (x )∥=max {∥v 1(x )∥,∥v 2(x )∥},∥v (x i )∥=max {|v 1(x i )|,|v 2(x i )|},i =0,1···,N .另外，为了方便,对于任意函数g (x ),记g i =g (x i ).2.预备知识在这部分,为了证明问题(1.1)的数值解的误差估计,我们首先列出极大值原理和问题(1.1)的解的稳定性.引理2.1(极大值原理)[1]假设v (x )是一个光滑的函数,如果对于任意的x ∈Ω,满足不等式v (0)≥0,v (1)≥0以及L 1v ≥0,L 2v ≥0,则有v (x )≥0成立.基于引理2.1中的极大值原理,可进一步得到问题(1.1)的解满足如下稳定性结果:引理2.2(稳定性)[1]基于假设条件(1.2)-(1.3),方程组(1.1)的精确解u (x )存在如下稳定性估计:∥u (x )∥≤C max {∥u (0)∥,∥u (1)∥,max x ∈¯Ω|L 1u |,max x ∈¯Ω|L 2u |},x ∈¯Ω.(2.1)进一步,由文[1]的引理3和引理4,可得如下引理:引理2.3方程组(1.1)的精确解u (x )的k (k =1,2)阶导数满足如下估计: u (k )1(x )≤C (1+ε−k exp (−αx ε)),x ∈(0,1)(2.2) u (k )2(x ) ≤C (1+ε−kexp (−αx ε)),x ∈(0,1),(2.3)186应用数学20213.离散问题和非均匀网格为了构造问题(1.1)的离散格式,将区间[0,1]分成N 个小区间,即可构造如下的非均匀网格:¯ΩN ={x j |0=x 0<x 1<···<x N =1},其中网格步长h j =x j −x j −1,则在任意非均匀网格¯ΩN 下,问题(1.1)的迎风有限差分格式为:L N 1U j :=−εDD −U 1,j −a 11,j D +U 1,j +b 11,j U 1,j +b 12,j U 2,j =f 1,j ,L N 2U j :=−εDD −U 2,j −a 22,j D +U 2,j +b 21,j U 1,j +b 22,j U 2,j =f 2,j ,U 1,0=U 1,N=U 2,0=U 2,N=0,1≤j ≤N,(3.1)其中U j =(U 1,j ,U 2,j )T 为u (x j )=(u 1(x j ),u 2(x j ))T 的近似值,且差分算子定义如下:D −U j =U j −U j −1h j ,D +U j =U j +1−U j h j ,D U j =U j +1−U j,DD −U j =1 (U j +1−U j h j +1−U j −U j −1h j ), =h j +h j +12.对任意的非均匀网格ΩN ,如果存在非负函数M (·,x ),使得∫x jx j −1M (·,x )d x =∫x j +1x jM (·,x )d x,j =1,...,N −1,(3.2)则称此非均匀网格ΩN 是等分布的,且M (·,x )称为控制函数.进一步,(3.2)可写为:∫x j x j −1M (·,x )d x =1N ∫1M (·,x )d x,j =1,...,N −1.一般情况下,对于单个奇异摄动微分方程,最常用的控制函数为弧长函数M (u (x ),x )=√1+(u ′(x ))2[9−14],其中u (x )是单奇异摄动问题的精确解.最近,LIU 和CHEN [16]以及MAO 和LIU [18]构造了奇异摄动对流扩散方程组的自适应网格算法,他们构造了如下的控制函数:˜M (u (x ),x )=√1+max x ∈[0,1]{[u ′1(x )]2,[u ′2(x )]2}.(3.3)本文也将选取˜M(u (x ),x )作为控制函数来构造自适应网格,即由(3.2)可得,∫x j x j −1˜M (u (x ),x )d x =1N ∫10˜M (u (x ),x )d x,j =1,...,N −1.(3.4)对于任意的ξ∈(0,1),构造映射x =x (ξ)∈(0,1),则有:∫x (ξ)˜M(u (x ),x )d x =ξ∫10˜M (u (x ),x )d x =ξL,(3.5)其中L =∫10˜M(u (x ),x )d x .进一步地,由控制函数(3.3)可得到:d xd ξ=L √1+max x ∈[0,1]{[u ′1(x )]2,[u ′2(x )]2}.(3.6)令ξj =jN,对(3.6)式两端同时在0到ξj 上积分,可得到:x j =∫ξj0L√1+max x ∈[0,1]{[u ′1(x )]2,[u ′2(x )]2}d ξ,j =0,...,N.(3.7)因此,网格步长为:h j =x j −x j −1=∫ξjξj −1L√1+max x ∈[0,1]{[u ′1(x )]2,[u ′2(x )]2}d ξ,j =1,...,N.(3.8)第1期包小兵等：一类奇异摄动对流扩散方程组的自适应网格方法的收敛性分析187引理3.1对于满足等分布原理(3.4)的任意一个网格ΩN ={x j }N j =0,有h j ≤CN −1,j =1,2,...,N,(3.9)∫x jx j −1|u ′i (x )|d x ≤CN−1,i =1,2.(3.10)证对于任意的x ∈(0,1),由引理2.3可以得到弧长L =∫10˜M (u (x ),x )d x =∫10√1+max x ∈[0,1]{[u ′1(x )]2,[u ′2(x )]2}d x≤∫10(1+max x ∈[0,1]{|u ′1(x )|,|u ′2(x )|})d x ≤C ∫10(1+ε−1exp (−αx ε))d x≤C +1−exp (−αε)α≤C.(3.11)此外,对于满足式(3.4)的网格{x j }N j =0,有h j =x j −x j −1≤∫x j x j −1√1+max x ∈[0,1]{[u ′1(x )]2,[u ′2(x )]2}d x=1N∫1√1+max x ∈[0,1]{[u ′1(x )]2,[u ′2(x )]2}d x =L N≤CN −1,(3.12)即可得到(3.9)式.进一步,由(3.6),(3.11)和(3.12)可得∫x j x j −1|u ′1(x )|d x =L ∫x jx j −1|u ′1(x )|√1+max x ∈[0,1]{[˜u ′1(x )]2,[˜u ′2(x )]2}d ξ≤Lh j ≤CN −1.(3.13)类似地,还可得到:∫x jx j −1|u ′2(x )|d x ≤CN−1,即完成(3.10)的证明.4.收敛性分析显然,离散格式(3.1)在点x j 的局部截断误差分别为:τ1,j =L N 1U j −(L 1u )(x j ),(4.1)τ2,j =L N 2U j −(L 2u )(x j ),(4.2)其中u 和U j 分别表示方程组(1.1)和离散格式(3.1)的解.为了给出截断误差的具体表达式,我们首先给出下列引理:引理4.1[18]对于任意的函数ψ(x )∈ϱ3(¯Ω),有: (D +−d d x )ψ(x j ) ≤1x j +1−x j ∫x j +1x j(x j +1−s )ψ′′(s )d s,(4.3)(D +D −−d 2d x 2)ψ(x j ) ≤1x j +1−x j −11h j +1∫x j +1x j(x j +1−s )2ψ′′′(s )d s −1x j +1−x j −11h j ∫x j x j −1(s −x j +1)2ψ′′′(s )d s.(4.4)引理4.2设差分格式(3.1)在点x i 的局部截断误差为τi,j ,则有:|τi,j |≤CN −1+C Nε1+λexp(−λαx jε),i =1,2,(4.5)188应用数学2021其中C 为与参数ε无关的正常数,0<λ<1.证首先,当i =1时,由泰勒展开可得|τ1,j |= −εh j +1+h j [1h j +1∫x j +1x j (s −x j )2u ′′′1(s )d s −1h j ∫x j x j −1(s −x j −1)2u ′′′1(s )d s]+a 11,j h j +1∫x j +1x j (s −x j +1)u ′′1(s )d s ≤ε∫x j +1x j −1|u ′′′1(s )|d s +C ∫x j +1x j −1|u ′′1(s )|d s.(4.6)对(1.1)的第一个方程求导,并由(4.6)式和引理3.1可得|τ1,j |≤C ∫x j +1x j −1|u ′1(s )|d s +C ∫x j +1x j −1|u ′2(s )|d s +C ∫x j +1x j −1|u ′′1(s )|d s ≤CN −1+C∫x j +1x j −1|u ′′1(s )|d s.(4.7)进一步,由(3.7)和(3.11),可得|τ1,j |≤CN−1+CL∫ξj +1ξj −1|u ′′1(x )|√1+max x ∈[0,1]{[u ′1(x )]2,[u ′2(x )]2}d ξ≤CN −1+CL∫ξj +1ξj −11+ε−2exp(−αx ε)√1+max x ∈[0,1]{[u ′1(x )]2,[u ′2(x )]2}d ξ=CN−1+CL∫ξj +1ξj −11√1+max x ∈[0,1]{[u ′1(x )]2,[u ′2(x )]2}d ξ+Cε∫ξj +1ξj −1Cε−1exp(−αxε)√1+max x ∈[0,1]{[u ′1(x )]2,[u ′2(x )]2}d ξ≤CN −1+Cε∫ξj +1ξj −1Cε−1exp(−αxε)√1+max x ∈[0,1]{[u ′1(x )]2,[u ′2(x )]2}d ξ.(4.8)再由引理2.3可得max x ∈[0,1]{ u ′1(x ) , u ′2(x ) }≤C (1+ε−1exp (−αx ε)).则显然有,max x ∈[0,1]{|u ′1(x )|,|u ′2(x )|}=O (ε−1).与文[10]的引理5.1类似,存在常数C 1和C 2,使得:C 1εexp (−αx ε)≤max x ∈[0,1]{u ′1(x ),u ′2(x )}≤C 2εexp (−αx ε).进一步由(4.8)可得|τ1,j |≤CN −1+C ε∫ξj +1ξj −1Cεexp (−αx ε)√1+(C 1ε)2exp(−2αx ε)d ξ≤CN −1+C εN C 1εexp (−αx j ε)√1+(C 1ε)2exp (−2αx j ε)≤CN −1+K j exp (−λαεx j ),(4.9)第1期包小兵等：一类奇异摄动对流扩散方程组的自适应网格方法的收敛性分析189其中0<λ<1是与ε,N 无关的,并且K j =CNε1+λ(C 1ε)1−λexp (−(1−λ)αx jε)√1+(C 1ε)2exp (−2αx j ε).记y =C 1εexp(−αx/ε),并定义函数g (y )=y 1−λ√1+y 2,y ∈[0,+∞),(4.10)显然,g (y )是区间[0,y ∗]上的增函数,其中y ∗=√(1−λ)/λ.由0<λ<1,易知g (y ∗)≤C ,进一步有K j =C Nε1+λg (y j )≤C Nε1+λg (y ∗)≤C Nε1+λ.(4.11)结合式(4.9)有|τ1,j |≤CN −1+C Nε1+λexp (−λαx j ε).类似地,当i =2时,可以得到:|τ2,j |≤CN −1+C Nε1+λexp (−λαx jε).下面为了讨论数值解的误差估计,首先给出网格函数的性质.引理4.3定义网格函数S j =(S 1,j ,S 2,j )T 满足S 1,j =j ∏k =1(1+λαh k ε)−1,S 2,j =j ∏k =1(1+λαh kε)−1,1≤j ≤N,S 1,0=S 2,0=1.则对于j =1,2,...,N −1,存在一个常数C ,使得L Ni S j ≥λα22(ε+λαh j +1)S 1,j ,i =1,2.(4.12)证该引理的证明类似于文[19]引理4.4的证明.当i =1时,定义S 1,j −S 1,j −1h j =−λαεS 1,j ,1≤j ≤N.(4.13)结合式(3.1)和(4.13)可得到L N 1S j =−1 (S j +1−S j h j +1−S j −S j −1h j )−a 11,j S 1,j +1−S j h j +1+b 11,j S 1,j +b 12,j S 2,j =λα(S 1,j +1−S 1,j )+λαεa 11,j S 1,j +1+b 11,j S 1,j +b 12,j S 2,j =−λα λαh j +1εS 1,j +1+λαεa 11,j S 1,j +1+b 11,j S 1,j +b 12,j S 2,j=λαε(a 11,j −λαh j +1 )S 1,j +1+b 11,j S 1,j +b 12,j S 2,j ≥λαε(a 11,j −λαh j +1)S 1,j +1.(4.14)由于h j +1/ j ≤2,则有L N 1S j ≥λαε(α−2λα)S 1,j +1≥λα22εS 1,j +1=λα22(ε+λαh j +1)S 1,j .当i =2时，同理可证得L N2S j ≥λαε(α−2λα)S 1,j +1≥λα22εS 2,j +1=λα22(ε+λαh j +1)S 2,j .下面的引理给出了网格函数S j 的上下界.190应用数学2021引理4.4[19]网格函数满足exp (−λαx j ε)<S i,j <C exp (−λαx jε),i =1,2,j =1,...,N −1.(4.15)定理4.1令u (x )是方程(1.1)的解,U j (x )是离散格式(3.1)的解,则max 1≤i ≤2max 0≤j ≤N|u i (x j )−U i,j |≤CN −1.证令e j =(e 1,j ,e 2,j )T =|u (x j )−U j |为数值解U j 在x =x j (j =0,1,···,N )点的绝对误差,则由截断误差τi,j 与e i,j 的关系可得L N i e j =τi,j ,i =1,2,j =1,2,...,N −1.(4.16)进一步,由引理4.2-4.4,有L N i e j=|τi,j |≤CN −1+C Nε1+λexp (−λαx j ε)≤CN −1+C Nε1+λS i,j≤CN −1+C Nε1+λ2(ε+λαh j +1)λα2L Ni S j ≤CN −1+C N (λελ)(1+αλh j +1ε)L N i S j .(4.17)由于e 0=e N =0,再由引理3.1和比较原理(见文[10]的引理5.3)可得∥e j ∥≤CN −1+C N (λελ)(1+αλεN)∥S j ∥,1≤j ≤N −1.由引理4.3中S j 的定义,有∥e j ∥<CN −1+C N (λελ).设摄动参数取值为ε=10−a ,其中a 是一个正数,选择λ=1/m 0,这里m 0=max {4,a },则1λελ≤10m 0.故可以得到∥e j ∥≤CN −1,即可完成该定理的证明.5.数值实验与结果分析考虑到(3.3)中的网格控制函数包含方程(1.1)的精确解,在实际计算过程中,我们常常构造近似的网格控制函数来代替(3.3).在这一小节,为了验证本文关于自适应网格算法的理论结果,我们将采用文[16,17]中的网格迭代算法来生成相应的自适应网格(在这里,网格终止条件C 0=1.3),并考虑如下奇异摄动对流扩散方程组−εu ′′1(x )−u ′1(x )+3u 1(x )−u 2(x )=2,−εu ′′2(x )−u ′2(x )−u 1(x )+3u 2(x )=3,x ∈(0,1),u 1(0)=u 2(0)=0,u 1(1)=u 2(1)=0.(5.1)由于该问题的精确解没有给出,我们采用如下公式来计算数值解的绝对误差E Nε=max 1≤j ≤2max 0≤i ≤NU Nj,i −U 2N j,i ,E N =max εE N ε,(5.2)其中U N j,i 和U 2N j,i 表示离散格式(3.1)分别在网格¯ΩN 和¯Ω2N 下计算得到的数值解.在这里,令¯ΩN 表示利用自适应网格算法生成的网格,¯Ω2N 表示对网格¯ΩN 中的任意一个区间进行二等分得到的加密网格.于是,相应的收敛阶的计算公式可定义为r Nε=log 2(E N εE 2N ε),r N =log 2(E N E 2N).(5.3)当ε=10−2k ,k =0,1,···,5,N =2j ,j =6,7,···,12时,表1中列出了自适应网格算法计算得到的数值结果,其中每一个ε所对应的第三行表示网格生成算法的迭代次数.显然,对于每一个ε,随着N 的逐渐增大,本文自适应网格算法的收敛阶逐步达到一阶.对于足够小的ε,网格第1期包小兵等：一类奇异摄动对流扩散方程组的自适应网格方法的收敛性分析191生成算法的迭代次数也不大,且不随N的增大而增加.当ε=10−5,N=2j,j=6,7,···,12时,表2分别列出了迎风有限差分格式(3.1)在均匀网格、Shishkin网格和自适应网格上的误差和收敛阶,其中Shishkin网格的构造见文[1].从表2的数值结果可以看出,本文的自适应网格方法的收敛阶明显比均匀网格和Shishkin网格的收敛阶要高一些,进一步验证了理论结果.另外,为了进一步的让读者了解自适应网格生成算法的迭代过程,当ε=10−7,N=64时,从下往上看,图1画出了每迭代一次,网格的移动过程.同时,图2给出了问题(5.1)的数值解的变化曲线图.显然,由图1-2可以看出,问题(5.1)的解在x=0点存在边界层.表1本文自适应网格方法计算得到的数值结果εN=64N=128N=256N=512N=1024N=2048N=409610−0E Nε 1.01e-03 5.09e-04 2.56e-04 1.28e-04 6.40e-05 3.20e-05 1.60e-05 r Nε 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00K2222222 10−2E Nε 3.15e-02 1.81e-028.41e-03 4.71e-03 2.52e-03 1.31e-03 6.67e-04 r Nε 1.150.760.830.900.950.97K3322222 10−4E Nε 4.08e-02 2.47e-02 1.36e-027.63e-03 4.40e-03 2.31e-03 1.23e-03 r Nε0.720.870.830.800.920.91K5866454 10−6E Nε 3.79e-02 2.27e-02 1.35e-027.66e-03 4.23e-03 2.45e-03 1.28e-03 r Nε0.740.750.820.860.790.93K111198596 10−8E Nε 4.14e-02 2.16e-02 1.30e-027.57e-03 4.41e-03 2.32e-03 1.28e-03 r Nε0.940.730.780.780.920.85K814121111109 10−10E Nε 3.73e-02 2.35e-02 1.40e-027.56e-03 4.43e-03 2.37e-03 1.29e-03 r Nε0.670.740.890.770.900.88K816151461312E N 4.14e-02 2.47e-02 1.40e-027.66e-03 4.43e-03 2.45e-03 1.29e-03r N0.750.820.870.790.850.93表2不同网格下的数值结果比较(ε=10−5)N均匀网格Shishkin网格自适应网格64E Nε 4.07e-037.97e-03 4.27e-02r Nε0.490.730.94128E Nε 2.90e-03 4.80e-03 2.23e-02r Nε-0.350.630.74256E Nε 3.71e-03 3.10e-03 1.34e-02r Nε-0.770.690.73512E Nε 6.33e-03 1.93e-038.09e-03r Nε-0.910.64 1.071024E Nε 1.19e-02 1.24e-03 3.86e-03r Nε-0.910.450.692048E Nε 2.24e-029.10e-04 2.38e-03r Nε-0.860.130.894096E Nε 4.05e-028.30e-04 1.29e-03r Nε---192应用数学2021图1网格迭代过程(ε=10−7,N=64)图2数值解的曲线图(ε=10−7,N=64)6.结论本文主要从先验误差估计的角度,分析了一类奇异摄动对流扩散方程组的自适应网格算法的收敛性.首先,利用迎风有限差分格式,在任意的非均匀网格上对方程组进行了离散,并给出了相应的局部截断误差.然后,使用精确解的稳定性估计、网格等分布原理和极大值原理等技术,证明了本文提出的自适应网格算法是一阶一致收敛的.值得一提的是本文的分析方法可以进一步推广到其他奇异摄动微分方程组的自适应网格算法的收敛性分析.参考文献：[1]CEN Z.Parameter-uniformﬁnite diﬀerence scheme for a system of coupled singularly perturbedconvection-diﬀusion equations[J]put.Math.,2005,82(2):177-192.[2]CHANG K W,CHANG,HOWES F A.Nonlinear Singularly Perturbation Phenomena:Theory andApplication[M].New York:Springer,1984.[3]ROOS H G,STYNES M,TOCISKA L.Numerical Methods for Singularly Perturbed DiﬀerentialEquations[M].New York:Springer,1996.[4]ROOS H G,REIBIGER C.Numerical analysis of a system of singularly perturbed convection-diﬀusionequations related to pptimal control[J].Numer.Math.Theory.Me.Appl.,2011,4(4):562-575. 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关于摄动分支问题的奇异摄动法(精)

:
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按这种作法
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习
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一般说来
.
这些常数可差一个比例因子
.
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程昌钧
月 1 5 日收到 )
1 9 83 年 8
摘
要
.
本文较全面地阐述了用奇异摄动法计算摄动分支问题 (1 6 ) 在,
致渐近展式的一般数学原理和方法
,
= 0
,
.
孟二0
,
己= 0 附近的解的一
.
并推广了牛顿多边形原理
.
最后
的点
.
若展式 (2
,
.
7)
中的系数
内与、 , 斗 O
,
则在第一卦中画
,
其坐标为 (尹尹 k 勺
,
,
。
这样
我们在第一卦中便画出了若干个具有整数坐标

改进的奇异值分解法估计图像点扩散函数

1 引言
在图像成像过程中 , 成像系统性能造成的图
像边缘模糊和成像条件等因素带来的噪声叠加 , 往往使得图像质量退化。为了去除或减轻这些在成像过程中发生的图像质量退化 , 除提高成像系统性能和改善成像条件外 [ 122 ] ,还可以利用图像复
收稿日期 :2005211231 ; 修订日期 :2006201224. 基金项目 : 国家自然科学基金资助 ( No . 30570488)
将点扩散函数第一阶奇异向量的幅度和相位估计结果耦合后进行反傅里叶变换可以得到相应的时域估计结果选定奇异向量的边界后再进行重组得到点扩散函数的估改进的点扩散函数估计方法上述估计算法中整个图像矩阵进行奇异值分解后根据经验选取固定的阶数进行重组他数值较小的奇异值被认为对应于图像的噪声因而将这些奇异值置为零
Abstract : To imp rove t he performance of image restoratio n algorit hms , a mo dified Singular Value De2 co mpo sitio n ( SVD) met hod was p ropo sed to estimate t he Point Sp read Functio n ( PSF ) of an imaging system. U sing t he discrete image degradatio n mo del , a block2based SVD filter scheme was applied for t he image denoising wit h an auto matically determined singular value rank. After t he spect ra of PSF singular vecto rs were estimated under an expo nential model for t he averaged spect ra of un2degraded image singular vecto rs , t he IFF T was used to get t he time2do main estimatio n of t he PSF. The experi2 mental result s show t hat t his p ropo sed met ho d can be applied to estimate t he PSF of t he imaging sys2 tem under a wide SN R range and it s performance is bet ter t han t he original met hod. It may be used as an effective met ho d for t he image p rep rocessing in image restoratio n p ro blems. Key words : image restoratio n ; Point Sp read Functio n ( PSF ) ; block2based Singular Value Deco mpo si2 tio n ( SVD) ;image degradatio n ; expo nential model of averaged spect ra

两类具有内部层的奇异摄动反应扩散方程的研究

两类具有内部层的奇异摄动反应扩散方程的研究本文主要讨论了空间对照结构理论在两类奇摄动反应扩散方程问题中的应用.近年来,随着空间对照结构理论的逐步发展,在利用渐近理论讨论奇摄动问题时,右端不连续等情况逐渐成为研究热点.本文第一章主要讲述了奇摄动理论的背景,主要定理和定义,并讲述了本文所做的工作和创新之处.本文第二章研究了一类右端不连续的奇摄动反应扩散问题,通过边界层函数法和定性分析的方法,构造并讨论了该问题的形式渐近解,并通过空间对照结构理论以及缝接法构造了一阶光滑的渐近解,证明了解的存在性,并给出了余项估计.本文第三章主要讨论了一类非线性奇摄动反应扩散方程,通过边界层函数法和局部坐标化方法,构造了该问题在定义域内的形式渐近解,利用微分不等式方法证明了解的存在性并给出了余项估计.此外,还讨论了该问题内部层的转移位置会随着时间变化的情况,同时转变的还有问题的类型,即从一个含有内部层的问题转变成一个只含有边界层的问题.。

奇异值分解算法

奇异值分解算法
奇异值分解算法是一种重要的矩阵分解算法，也是线性代数的一个基础理论。

它是将一个矩阵分解成三个部分的乘积，即A = UΣV^T，其中U 和V是两个正交矩阵，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。

这种分解的好处在于能够对矩阵进行降维处理，从而减少计算量和存储空间。

奇异值分解算法在数据挖掘、图像处理、信号处理等领域有广泛应用。

例如，在图像处理中，可以利用奇异值分解算法对图像进行压缩和去噪处理；在推荐系统中，可以利用奇异值分解算法对用户评分矩阵进行分解，从而实现个性化推荐。

虽然奇异值分解算法在处理大规模矩阵时存在计算复杂度高的问题，但是近年来出现了一些基于分布式计算和并行计算的奇异值分解算法，使得这种算法在实际应用中更加可行和实用。

- 1 -。

奇异值分解的数值计算方法探析(五)

奇异值分解（Singular Value Decomposition，缩写为SVD）是一种重要的数值计算方法，广泛应用于数据降维、矩阵逆、特征分解等领域。

本文将对奇异值分解的数值计算方法进行探析，包括其数学原理、计算步骤以及在实际应用中的一些注意事项。

一、奇异值分解的数学原理奇异值分解是将一个任意形状的矩阵分解为三个矩阵的乘积，即A = UΣV^T，其中A是一个m×n的矩阵，U是一个m×m的正交矩阵，Σ是一个m×n的对角矩阵，V^T是一个n×n的正交矩阵。

在奇异值分解中，U和V分别是AAT和ATA的特征向量矩阵，Σ的非零元素是AAT或ATA的特征值的平方根。

通过奇异值分解，我们可以得到矩阵A的奇异值（Singular Values）、左奇异向量（Left Singular Vectors）和右奇异向量（Right Singular Vectors）。

二、奇异值分解的计算步骤1. 首先，我们需要对原始矩阵A进行奇异值分解。

将AAT或ATA进行特征值分解得到特征值和特征向量，然后从特征值和特征向量中构造出奇异值分解的三个矩阵U、Σ和V^T。

2. 接下来，我们需要对奇异值进行排序，通常按照降序排列。

3. 最后，我们可以选择保留前k个奇异值，将其对应的列向量构成Uk、Σk 和Vk^T，从而实现对原始矩阵的近似表示。

三、奇异值分解的数值计算方法在实际计算中，奇异值分解通常通过各种数值计算方法来实现。

常见的数值计算方法包括基于Jacobi迭代的方法、基于幂法的方法、基于分解法的方法等。

这些方法各有优缺点，需要根据具体情况选择合适的方法。

四、奇异值分解在实际应用中的注意事项在实际应用中，奇异值分解有一些需要注意的事项。

首先，由于奇异值分解会涉及到矩阵的特征值分解，因此对于大规模矩阵，计算量可能会非常大，需要考虑计算效率的问题。

其次，奇异值分解对数据的缩放和中心化非常敏感，因此在进行奇异值分解之前，需要对数据进行预处理。

数值分析在奇异摄动问题中的应用

数值分析在奇异摄动问题中的应用数值分析在奇异摄动问题中的应用奇异摄动问题是指在数学、物理和工程等领域中遇到的具有奇异摄动项的微分方程或积分方程问题。

这类问题的解析解往往难以求得，因此需要借助数值方法来近似求解。

在这篇文章中，我们将介绍数值分析方法在奇异摄动问题中的应用。

一、奇异摄动问题的定义奇异摄动问题常常出现在具有尖锐边界或界面、小参数项或非光滑性质的物理现象中。

这些问题的方程中通常包含一个大的支配项和一个小的摄动项，而摄动项则会引起方程解的快速变化或尖锐结构。

奇异摄动问题的数值求解是相对困难的，因为传统的数值方法在这种情况下往往收敛缓慢甚至不收敛。

因此，需要采用特殊的数值技巧来应对这些问题。

二、常用的数值分析方法在奇异摄动问题的数值求解中，一些常用的数值分析方法包括：扩展网格方法、特殊差分格式和特殊边界条件方法等。

1. 扩展网格方法扩展网格方法是一种常用的数值方法，它通过在奇异区域增加网格密度来捕捉快速变化的解。

这种方法的核心思想是将整个计算区域划分为两个区域：一个是均匀网格区域，用于计算主要部分的解；另一个是扩展网格区域，用于计算奇异部分的解。

这样一来，我们就可以对不同区域采用不同的数值方法，从而提高求解的精度和效率。

2. 特殊差分格式特殊差分格式是另一种常用的数值方法，它通过引入特殊的差分格式来处理奇异摄动问题。

这种差分格式通常基于奇异摄动项的特殊性质，通过调整差分步长或权重来提高数值解的精度。

例如，可以采用高阶差分格式来减小截断误差，或者采用特殊的差分格式来处理快速变化的解。

3. 特殊边界条件方法在奇异摄动问题的数值求解中，选择合适的边界条件也是非常关键的。

一些特殊的边界条件方法可以帮助我们更好地处理奇异摄动项。

例如，可以使用非局部边界条件来考虑奇异区域的影响，或者使用特殊的数值技巧来处理边界处的尖锐结构。

三、数值分析在奇异摄动问题中的应用数值分析在奇异摄动问题中的应用非常广泛，涉及到许多领域，如流体力学、电磁学、热传导和化学反应等。

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右端函数Ｐ，）初值ｕ（Ｙｔ，。，）是给定的适当光滑且满足一定相容条件的函数，ｂ（）≥ ２＞０而。Ｐ３，ｂ（：尸）≥ ２：＞０ｃＰ）≥ ｃ＞０ｂ（及ｂ（３，（．。Ｐ）ｏ：Ｐ）分别为及Ｙ方向的对流系数。对流扩散问题是水环境的数学模型及地下水资源的研究工作中经常遇到的模型，因此研究对流扩散问题数值解法具有重
要的实际意义。ＢＧＡＶＩ２０年对一维非定常奇异摄动对流扩散问题提出了迭代区域分解差分ＯＬＥ于０１
算法… ，于２０并０４年与ＤＯＡＶ在Ｓｉｋｎ网格迎风差分格式的基础上，提出了二维定常问题的ＵＢｈｓｉｈ区域分解算法】。但对于多维非定常情形尚未有这方面的文献，于此类问题在实际工程问题中的广鉴泛应用，本文结合特殊网格的混合差分格式对二维非定常对流扩散问题提出了一种新的区域分解差分算法。
０，， … Ⅳ
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基金项目：南科技大学基金项目（３９０９河１４０２）
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作者简介：传丽（９ｌ一）王１８，女，北襄樊人，教湖助
１非区域分解算法
采用文献［］４中给予特殊网格的混合差分算法。
时间变量离散
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空间变 ห้องสมุดไป่ตู้离散：在上引入矩形网格剖分
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Ｖ０．ＮＯ３１２９．
Ｊｎｕ．
２００８
文章编号：６２— ８１２０）３— ００— ４１７６７（０８００４０
奇异摄动对流扩散问题的区域分解算法
王传丽，政伟，从海殷武
（南科技大学理学院，河河南洛阳４１０）７０３
：Ｎ／＋１ … ，２， Ⅳ
Ｈ：２１一）Ｎ，＝２，Ｈ：２１一），＝２，Ｎ（／ｈｏ／Ⅳ ，ｙ（／ｈｏ／
用混合差分格式将方程（）散。定义网函数ＵＰ，）（ｔ ∈ １离（ｔ，Ｐ，）
摘要：奇异摄动对流扩散问题的区域分解算法推广到二维非定常的情形，将Ｓｉｋｎ混合有限差分格式将并ｈｈｉｓ与区域分解方法结合，到了此类方程更高精度的并行算法。得关键词：域分解算法；流扩散问题；ｈｓｋｎ网格；异摄动区对Ｓｉｉｈ奇中图分类号：１５２０７．文献标识码：Ａ
收稿日期：０７一Ｉ一０２０ｌｌ
维普资讯
第３期
王传丽等：异摄动对流扩散问题的区域分解算法奇
・４１・
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）假定 Ⅳ ，均是偶数， Ⅳ ＝ｍａ｛，，，。 Ⅳ，记ｘ Ⅳ ｝在，方向的两个小区域里各分配／），２＋
维普资讯
第２９卷第３期２００８年６月
河南科技大学学报：自然科学版
ＪｕｎｌｏｎｎＵｎｖｒｉｆＳｉｎｅａｄＴｃｎｌｇＮａｕａＳｉｎｅｏｒａｆＨｅａｉｅｓｔｏｃｅｃｎｅｈｏｏｙ：ｔｒｌｃｅｃｙ
Ｕ
刖旨
考虑二维非稳定对流扩散问题
一
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８ Ⅱ＋ △
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，ｔ∈ （Ｔ，（０＝ｕ（， ∈ ０，）ｕＰ，）０Ｐ）Ｐ
其中矩形区域＝［，］×［，］ △ ＝０１０１，
１和Ｎ／＋１个网格节点：＝｛１ｉ０：０＝１，２ｈ０≤ ≤Ｎ；，Ⅳ ；
＝＋— ｝竹＝ｆ，ｌ
｛１０≤ＪＮ；。＝０Ｙ＝１＝Ｙ。Ｉ其中 ≤ ，），，；一。＋