【高三二轮复习】错位相减法

的前
n
项和，其中的
an
不能直接知
道是什么数列，要通过已知求解，｛ 1 ｝是等比数列，故在本题中我们要先
2n1
求出
an
，证明它是等差数列
以后，则才可以用错位相减法求出数列
an 2 n 1
Байду номын сангаас
的前
n
项和.
解：（1）设等差数列 an的公差为 d ，从已知条件可知道：
2a1a1 d12d0 10 ，
解:(1)令 n 1 得 a1 a12 因为 a1 0 所以 a1 1
当 n 2 时, 由 2an-1=Sn ，
两式相减得
2an - -1 1=Sn-1 , 2an 2an1 an ,
即
an an1
2.
故数列{an}是由首项为 1,公比为 2 的等比数列，所以数列{an}的
通项公式为 an . 2n1
解：（1）由 S4 4S2, a2n 2an 1,an 为等差数列，可得
a1 1, d 2 所以 an 2n 1
（2）由
Tn
an 1 2n
○1
得
当 n 2 时，
Tn1
an1 1 2n1
○2
○1 -○2 可得
bn
n2 2n1
，
所以当 0 时，
cn
b2n
n 1， 4n1
Rn
0
1 4
2 42
2018.11.12
一、高考考点分析
数列求和是高考的重点内容之一，题 型以解答题为主，主要考察等差、等比数 列的的求和公式、倒序相加法、裂项相消 法、错位相减法等求和；数列求和常与函 数、方程、不等式联系在一起，考查内容 较为全面，在考查基本运算、基本能力的 基础上又注重考查学生分析问题、解决问 题的能力。在此处我们着重讲解一种特定 数列求和的方法——错位相减法。
注意：要采用错位相减法求数列的前n项和， 这个数列必须可以看作一个等差数列与一个等比 数列乘积的形式。
四、高考中数列求和常见题型
1、所求数列中的等差数列是已知的 这第一种类型的题目顾名思义的是所求
的复杂数列中直接给出一个等差数列，我们 只要证明或者求出另一个是等比数列，那么 就可以用错位相减法来求解该题.
例 3. 设等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 S4 4S2 , a2n 2an 1
（1） 求数列an 的通项公式；
（2）
设数列bn的前 n
项和 Tn
，且 Tn
an 1 2n
(
为常数），令 cn
b2n (n N )
.
求数列cn 的前 n 项和 Rn .
分析：本题中要求的是数列 cn b2n (n N ) 的前 n 项和，其中b2n 不能直接 知道是什么数列，在第二问中又知道bn 和 an 有关系，所以在本题的第一问中我 们要先求出 an ，再在第二问中将bn 求出，最后当 cn 满足错位相减法的条件后我 们就可以用错位相减法来求解了.
(2)由(1)知, nan n 2n1 .记数列{nan} 的前 n 项和为 Bn .
于是 Bn 1 2 2 3 22 L n 2n1 , ①
2Bn 1 2 2 22 L n 2n ,
②
Bn n 2n (1 2 22 L 2n1) 1 (n 1) 2n
2、所求数列中的等比数列是已知的
那到底什么是错位相减法呢？
二、问题情境
已知数列｛an｝是首项为a1公差为d的等差 数列，｛bn｝是首项为b1公比为q的等比数列， cn = an•bn，求数列｛cn｝的前n项和Tn。
三、问题探索
通过上述的推导过程，我们运用了一种特殊 的推导方法将本来复杂的运算简单化了，从而得 到了数列的前n 项和，这种求和的方法叫错位相 减法。
这种类型题与第一种类型题相反，就是在 所求的复杂数列中直接写明其中一个是等比 数列，只要求出或者证明另一个是等差数列， 则我们就可以用错位相减法来求解该题，如 果另一个不是等差数列则我们就不能用错位 相减法来求解，下面我们又来看看这类题型 的应用。
分析：在本题中最
终要求的是数列
an 2 n 1
例1、设Sn为数列｛an｝的前n项和，已知：a1≠0， 2an-a1=S1·Sn, n∈N*。
（1）求a1，并求数列｛an｝的通项公式 。 （2）求数列｛nan｝的前n项和。
分析：在本题第二问中要求的是数列｛nan｝ 的前项和，其中的an我们不知道是什么数列，n可 以看作是公差为1的等差数列，所以在本题中要先 求出an，证明是等比数列以后，则可以用错位相减 法求解.
an 2n
，
又 an an1 1 所以
Sn 2
1 a1 ( 2
1 22
1 2n1
)
an 2n
1
1 [1 ( 1 )n1 22
1 1
2n 2n
2
Sn
n 2n1
3、所求数列中的等比数列和等差数列都 未知的
求解这种类型的题的难度就比较大了， 因为在所求的复杂数列中不能直接明显地 看出它其中包含的等差数列和等比数列， 则需要根据题目已知来找出或者证明所求 数列是一个等差数列与一个等比数列的乘 积，这样才能依据错位相减法来计算结果。
...
n 1 ， 4n1
○3
1 4
Rn
1
1 42
2 43
...
n 1， 4n
○3 -○4 得
当 0 时，
Rn
4 9
3n 1 9 4n1
1(n 1)
cn
b2n
n 1 4n1
(
n
2)
即
Rn
5 9
3n 1 9 4n1
b1 T1 1
○4
五、总结
数列求和不仅在高中数学中有着十分重要的作用， 也是学习高等代数的基础，有着承前启后的作用，本 文通过对一般形式下错位相减法的运算再现，使我们 体会错位相减法的内在规律，感受数学解题思想的魅 力，其实我们学习错位相减法，更重要的是总结其中 所渗透的数学思想方法，将数学思想和方法融为一体， 才能在解决数列求和问题上得心应手。其实不仅是在 数列问题上，在整个学习过程中，我们都应该将课本 紧密联系实际情况，明白数学在生活中的实际意义， 学有所用，以达到新课改对学生们的教学期望。
解得
da1
1 1
故数列an的通项公式为 an 2 n
（2）设数列
an 2 n 1
的前
n
项和为
Sn
，
即
Sn
a1
a2 2
a3 22
an 2n1
○1
Sn 2
a1 2
a2 22
an1 2n1
an 2n
○2
○ ○ 1 - 2 有：
Sn 2
a1
a2
a1 2
a3 a2 22
an an1 2n1