2020届高考数学一轮复习课时训练：第8章 立体几何 37 Word版含解析

【课时训练】第37节空间点、线、面的位置关系
一、选择题1．(2018绵阳模拟)已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：①若a
⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥
c.其中正确的个数为( )
B．1
A．0
D．3
C．2
【答案】B 【解析】在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错；显然③成立．故选【答案】B.
2．(2018湖北武汉调研)下列四个命题中错误的是( )
A．若直线a，b互相平行，则直线a，b确定一个平面
B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线
C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面
【答案】C
【解析】过两条平行直线，有且只有一个平面，A正确；如果四点中存在三
点共线，则四点共面，B正确；两条直线没有公共点，这两条直线可能平行，也可能异面，C错误；垂直于同一个平面的两条直线平行，这样的两条直线共面，
D正确．3．(2018南昌模拟)已知a，b，c是相异直线，α，β，γ是相异平面，
则下列命题中正确的是( )
A．a与b异面，b与c异面⇒a与c异面
B．a与b相交，b与c相交⇒a与c相交
C．α∥β，β∥γ⇒α∥γ
D．a⊂α，b⊂β，α与β相交⇒a与b相交
【答案】C
【解析】如图1，在正方体中，a，b，c是三条棱所在直线，满足a与b异面，
b与c异面，但a∩c＝A，故A错误；在图2的正方体中，满足a与b相交，b与c相交，但a与c不相交，故B错误；如图3，α∩β＝c，a∥c，则a与b不相交，
故D错误．
4．(2018深圳模拟)已知在四棱锥P－ABCD中，ABCD是矩形，P A⊥
平面ABCD，则在四棱锥P－ABCD的任意两个顶点的连线中，
互相垂直的异面直线共有( )
B．4对
A．3对
D．6对
C．5对
【答案】C 【解析】因为ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，所以P A⊥BC，P A⊥CD，AB
⊥PD，BD⊥P A，AD⊥PB，共5对．5．(2018河南郑州一模)若平面α上存在不同的三点到平面β的距离相等且不
为零，则平面α与平面β的位置关系为( )
B．相交
A．平行
D．平行或相交
C．平行或重合
【答案】D 【解析】当两个平面平行时，平面α上存在无数多个点到平面β的距离相等
且不为零，满足题意；当两个平面相交时，可以从交线的两侧去找三个点到平面
β的距离相等且不为零．故选D. 6．(2018福州质检)在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，
则在空间中与直线A1B1，EF，BC都相交的直线( )
B．有且只有两条
A．不存在
D．有无数条
C．有且只有三条
【答案】D 【解析】在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与
BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1，EF，BC分别有交点P，M，N，如图，故有无数
条直线与直线A1B1，EF，BC都相交．
7．(2018余姚模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，
CD1的中点，则下列说法错误的是( )
B．MN与AC垂直
A．MN与CC1垂直
C．MN与BD平行
D．MN与A1B1平行
【答案】D 【解析】如图，连接C1D，在△C1DB中，MN∥BD，故C正确；
∵CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴CC1⊥BD.∴MN与CC1垂直，故
A正确；
∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN与AC垂直，故B正确．
8．(2018广东肇庆二模)给出下列三个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②垂直于同一平面的两个平面互相平行；
③若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．
其中假命题的个数是( )
B．1
A．0
C ．2
D ．3 【答案】D
【解析】取正方体交于同一顶点的三条棱l 1，l 2，l 3，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，但
l 1⊥l 3，故l 1∥l 3不一定成立，故①是假命题；取正方体交于同一顶点的三个平面α，β，γ，满足α⊥β，α⊥γ，但β⊥γ，故β∥γ不一定成立，故②是假命题；在异面直线l 1上取一点A ，在l 2上取两点B ，C ，则直线AB ，AC 与l 1，l 2都相交，但
AB ，AC 相交，不是异面直线，故③是假命题．
9．(2018福建上杭一中月考)若a
，b 是两条异面直线，则存在唯一确定的平面β，满足( ) A ．a ∥β且b ∥β B ．a ⊂β且b ∥β
C ．a ⊥β且b ⊥β
D ．a ⊂β且b ⊥β 【答案】B
【解析】A 中，β有无数个；由C 可得a ∥b ，与a ，b 是两条异面直线矛盾；
由D 可得a ⊥b ，但a ，b 不一定异面．故选B.
10．(2018长春模拟)已知正四面体ABCD 中
，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( ) A.16
B ．36
C ．13
D ．33
【答案】B
【解析】画出正四面体ABCD 的直观图，如图所示．
设其棱长为2，取AD 的中点F ，连接EF ，设EF 的中点为O ，连接CO ，则
EF ∥BD ，
则∠FEC 就是异面直线CE 与BD 所成的角，△ABC 为等边三角形，则CE ⊥
AB ，易得CE ＝3，同理可得CF ＝3，故CE ＝CF .
因为OE ＝OF ，所以CO ⊥EF .
又EO ＝12EF ＝14BD ＝12
， 所以cos ∠FEC ＝EO CE ＝123＝36
. 11．(2018哈尔滨一模)过三棱柱任意两个顶点的直线共15条
，其中异面直线有( ) A ．18对
B ．24对
C ．30对
D ．36对 【答案】D
【解析】三棱柱的底面三角形的一条边对应的有5条异面直线，这样一个底
面三角形的3条边一共有15对异面直线，上、下两个底面三角形一共有30对，其中有6对重复，故共有24对异面直线；一条侧棱对应的除上、下两个三角形的边外有2条异面直线，3条侧棱一共有6对异面直线；侧面对角线中共有6对
异面直线，加在一起共有36对异面直线．
12．(2018重庆一中期末)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，
F 是线段B 1D 1上的两个动点，且EF ＝
22，则下列结论中错误的是( )
A ．AC ⊥BF
B ．三棱锥A －BEF 的体积为定值
C ．EF ∥平面ABCD
D ．直线A
E 与B
F 所成的角为定值
【答案】D
【解析】选项A 中，如图，连接BD ，∴AC ⊥BD .又AC ⊥BB 1，BD ∩BB 1＝
B ，
∴AC ⊥平面BDD 1B 1.∵BF ⊂平面BDD 1B 1，∴AC ⊥BF .故A 正确；选项B 中，
∵AC ⊥平面BDD 1B 1，∴点A 到平面BEF 的距离不变．∵EF ＝22
，点B 到EF 的距离为1，∴△BEF 的面积不变，∴三棱锥A －BEF 的体积为定值，故B 正确；选项C 中，∵EF ∥BD ，BD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD ，故C 正确；选项D 中，异面直线AE 与BF 所成的角不为定值，由图知，当F 与B 1重合时，令上底面的中心为O ，则此时两异面直线所成的角是∠A 1AO ，当E 与D 1重合时，此时点F 与O 重合，则两异面直线所成的角是∠OBC 1，显然∠A 1AO 与∠OBC 1不相等，故异面直线AE 与BF 所成的角不为定值，故D 错误．故选D.
二、填空题
13．(2018四川南充模拟)如图所示，平面α，β，γ两两相交，a ，b ，c 为三条交线，
且a ∥b ，则a 与b ，c 的位置关系是________．
【答案】a ∥b ∥c
【解析】∵a ∥b ，a ⊂α，b ⊄α，∴b ∥α.
又∵b ⊂β，α∩β＝c ，∴b ∥c .∴a ∥b ∥c .
14．(2019安徽芜湖质检)如图
，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上
，且AB ∥CD ，则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．
【答案】4【解析】取CD的中点H，连接EH，FH(图略)．在正四面体CDEF中，由
于CD⊥EH，CD⊥HF，所以CD⊥平面EFH.所以AB⊥平面EFH，则平面EFH 与正方体的左、右两侧面平行，则EF也与之平行，与其余四个平面相交．。