2018-2019学年最新浙教版九年级数学上册《比例线段3》教学设计-优质课教案

4.1比例线段（3）
教学目标：
1.了解比例中项的概念。

2.会求已知线段的比例中项（了解与数的比例中项的区别）。

3.通过实例了解黄金分割。

4.利用黄金分割进行简单的计算和作图. 教学重点、难点：
教学重点：黄金分割的概念及其简单应用。

教学难点：黄金比的计算涉及数形结合，是本节教学的难点 知识要点：
1.如果三个数a 、b 、c 满足比例式a b ＝b
c
（或a:b ＝b: c ），则b 叫做a ，c 的比例中项。

2. a b ＝b
c
<=>b 2＝ac 。

3.如图4-1-4,如果点P 把线段AB 分成两条线段AP 和PB ，使PB AP ＝AP
AB ,那么称线
段AB 被点P 黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点，线段AP 与AB 的比叫做黄金比. 重要方法：
1.判断b 是a 、c 的比例中项，只要a b ＝b
c
或b 2＝ac 成立。

2.记住线段AB 被点P 黄金分割原理；记住黄金比： 5 －1
2
≈0.618. 3.利用黄金分割原理解释自然界中的生活现象.
4.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形的底与腰的比等于黄金比；顶角为108°的等腰三角形的腰与底的比等于黄金比.（宽与长的比等于黄金比的矩形是黄金矩形） 教学过程：
一、预习反馈
《全程助学》课前预习 二、创设情景，引入新课 感受匀称、协调之美
如：蒙娜丽莎像、芭蕾舞演员的演姿、上海东方明珠塔、五角星等，感受黄金分割图像
之美。

三、合作学习，探索新知 1．线段的比例中项
定义：一般地，如果三个数a 、b 、c 满足比例式 a b ＝b
c （或a:b ＝b: c ），则b 叫做a ，c
的比例中项.
a b ＝b
c <=>b 2＝ac 。

做一做：
P 1211、（1）1是不是112 和23 的比例中项；（2）112 和23 的比例中项是什么？
P 1212、已知线段a ，b ，求a ，b 的比例中项.线段
（1）a ＝3，b ＝27； （2）a ＝ 3 ，b ＝3 3 ； （3）a ＝ 5 －12 ，
b ＝ 5 ＋1
2
2．黄金分割 （1）如图
点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果
BC AC ＝AC
AB
， 那么称线段AB 被点C 黄金分割(golden section),
点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比.
问题：一条线段有几个黄金分割点？一颗五角星中有几个黄金分割点？
（2）求出黄金比的数值，如图4－1－4 设AP
AB
＝x ，则PB ＝AB －AP ＝AB －AB •x. 由
PB AP ＝AP AB ，得AB －AB •x AB •x ＝AB •x AB ，即1－x x ＝x 1
化简，得x 2＋x －1＝0.
解得x 1＝－1＋ 5 2 ，x 2＝－1－ 5
2
（不合题意，舍去）
A
B
P
图4-1-4
222,23,32,a b c ac a b b c
===== 已知算一算，b 成立吗？a,b,b,c
这四个数是否成比例？再写出三个数，使它们满足的条件。

所以AP AB ＝ 5 －12 ≈0.618
（3）黄金分割的深远意义
历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于建筑和雕刻中，如古代希腊的帕特农神庙、埃及金字塔、上海东方明珠塔等，一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618，在自然界中也有很多例
子，美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。

（4）尺规做线段的黄金分割点
例5，已知线段AB ＝a ，用直尺和圆规作出它的黄金分割点。

分析：线段a 的黄金分割所得的较长线段长应是 5 －1
2
a ， ＝
5 2 a －12 a ，由于 5 2 a 是以a 和12
a 为直角边的斜边长 因此本题转化为作两条线段之差. 作法：
1.经过点B 作BD ⊥AB,使BD ＝1
2 AB
2.连接AD,在AD 上截取DE=DB.
3.在AB 上截取AC=AE.
如图，点C 就是线段a 的黄金分割点
思考：1．如果设AB=1,那么BD,AD,AC,BC 分别等于多少? 2．计算
AC AB 与BC
AC
3．点C 是线段AB 的黄金分割点吗? 三、课堂小结
1.比例中项的概念，
2.线段的比例中项与数的比例中项的区别；
3.黄金分割，黄金分割点，黄金比的概念. 四、作业：见作业本 五、课后反思
A
E
B
C D。