对草坪浇灌喷头布置方案的探究

对草坪浇灌喷头布置方案的探究北京八中高一年级（9）班陈政道指导教师李双平摘要草坪是城市中必不可少的一部分，有净化大气、杀菌减噪、防止水土流失、改善小气候、保健等功效。

但是中国面临水资源危机，需要节约用水，因此草坪的灌溉也要遵循节约的原则。

草坪的灌溉需要合理规划，要选择优化的方案，既要节约用水，又不能使成本过高。

于是，对浇水器喷头的选择以及布局就显得十分重要。

目前，主要有两种草坪浇水器的喷头。

一种是微喷头，另一种是摇臂喷头。

这两种草坪节水器的喷头在喷射角度、喷射距离、价格等方面均有差别。

以这两种喷头为基础进行组合，产生了几种为草坪浇灌的方案。

因为正方形草坪较为普遍，而且较容易分析，本文先从正方形草坪入手，对草坪及草坪浇水器的浇灌建立了数学模型，通过建立浇水面积与浇水半径的函数关系，分析了这两种对正方形草坪进行浇灌的方案的节水效果与成本，并对这两种方案的适用条件进行了分析。

同样，本文对三角形草坪的三种由正方形浇水方案稍作改变产生的方案进行了节水效果方面的分析。

之后将这三种方案推广到了边数大于4的正多边形草坪中，并比较了各方案的节水优劣性与适用范围。

关键词：草坪浇灌节约用水优化设计一、模型建立对草坪浇灌的探究，首先以正方形草坪为例。

因为正方形与长方形草坪较为普遍，而长方形和其他形状的草坪又可以划分为正方形草坪再进行处理，而且它处理起来较方便。

目前，较为普遍的浇水器喷头有两种，一种为微喷头，半径较小，喷水范围为圆，另一种为摇臂喷头，半径较大，喷水范围是扇形，圆心角可调。

针对这两种喷头，我设计了两种浇灌正方形草坪的方案：图1 微喷头图2 摇臂喷头方案一（如图3）此方案中，浇水器的喷头是微喷头，浇水器浇水范围为圆，半径可以根据需要增大或减小。

但是由于喷头本身有一定大小且有成本，浇水器的个数不能过大，可以假设只使用5个喷头，中间浇水器的圆心在正方形中心，且与正方形的边相交，四周四个喷头为剩余部分浇水。

为使浇水面积利用率最大，四周四个喷头与中间喷头浇水区域的外沿的交点在正方形的边上。

正方形草坪及喷头的大致位置如下图所示。

图3节水效果与总浇水面积负相关，因此，为比较两种方案的节水效果，需要得出此种方案中浇水面积与某些变量的函数关系式并求出其最小值。

则对于方案一，问题转变为当中间圆的半径为多少时，上图中5个圆的面积总和最小，以及此时的总面积。

方案二（如图4）在此方案中，使用的是摇臂喷头。

摇臂喷头的特点是喷水射半径较大，而且转动喷水射的夹角可以调节。

因此方案二采用如下设计（图4）。

在方案二中，在正方形草坪上相对的两个顶点上使用两个摇臂喷头，两喷头的喷水范围的外沿相交于正方形草坪的边上。

为了探究此方案中如何选取两喷头的喷水半径最能够节约用水，需建立数学模型。

之后，问题转变为下图中两扇形的半径各为多少时，两扇形的总面积最小。

图4二、模型求解方案一求解过程如下图5作OC 垂直于AB ，交AB 于C ，连接AB 。

设OB= r ，OC= a则BC= AB= a –BC=a 易证 BM ==a 则 小圆面积= π 2BM= π 2a 大圆面积= π2r则5个圆的总面积= 大圆面积+ 4⨯小圆面积=234r ππ-设S则5个圆的总面积 = 223()4S a aS ππ+-= 22343S aS a πππ-+因为 在一个确定的正方形草坪中，a 为定值所以 当23S a =时，5个圆的总面积有最小值此时 23a因为 ,r a 均大于>0所以 r =所以 当OB =，BM =时，5个圆的面积总和最小，为253a π即 当中心喷头的喷水半径为6⋅边长，四周喷头的喷水半径为12边长时，总浇水面积最小，最小值为2512π⋅边长方案二求解过程如下图6连接AC ，设圆c2的半径为r ，正方形的边长为a则 扇形c2的面积= 214r π扇形c1的半径=AC=则 扇形c1的面积= 21AC 4π= 22111-422r ar a πππ+ 所以 两扇形面积之和= 22111-222r ar a πππ+ 因为 在一个确定的正方形中，边长a 一定所以 当12r a =时，两扇形面积之和最小即 一个扇形的半径为正方形边长的12，另一个扇形的半径为正方形边238π⋅边长三、分析以上对所建立的模型的数学处理得出的结果是：对于方案一，当中心喷，四周喷水器的半径为正方形边长的12时，总浇水面积最小，即最节约用水。

此时总浇水面积为2512π⋅边长。

对于方案二，当一个摇臂喷头的喷水半径为正方形草坪半径的12，总浇水面积最小，为238π⋅边长。

因此从节水角度看，方案二略微优于方案一。

但是，因为两类喷头的成本不同（见下表），摇臂喷头类的成本明显高于微喷头类的成本。

方案一中使用的是五个微喷头（例如中心喷头为直径较大的1201旋转微喷头，四周喷头为喷射直径较小的离心式可调塑料微喷头，这种选取方式既能够较好地满足对喷头半径的要求，又尽量减少成本），方案二中使用的是两个摇臂喷头（例如两个锌合金B型摇臂草坪喷头），则方案一中喷头成本= 1.001+1.604=7.40⨯⨯（元）方案二中喷头成本= .82=25.60120（元）⨯可见，在这种选取方式中方案一的成本比方案二的成本低。

而在其他选取方式中，方案一的喷头成本总比方案二的低，具体低的数额取决于两种方案具体各使用哪种喷头，。

结论：方案二在节水能力方面有优势，而方案一的成本相对较低。

在做具体决定时，应根据节约用水和降低成本的重要程度来选择。

四、推广一正三角形草坪有了对正方形草坪探讨的基础，可以将对正三角形草坪的浇灌分为三个方案：方案一与正方形草坪方案一类似图7方案二由正方形草坪方案二衍生出。

中心仍为圆（摇臂喷头或微喷头均可，可根据正多边形面积的大小来决定），各个角上为摇臂喷头。

中间圆的半径大于此正三角形的边心距。

（如图8）图8方案三由正方形草坪的方案二衍生出的另一种方案。

中心仍为圆，各个角上为摇臂喷头。

中间圆的半径小于于此正多边形的边心距。

（如图9）图9计算与求解 方案一 （图7）设中心圆半径为r ，正三角形边心距为a 。

设S = 推导过程如同对正方形方案一情况的分析结果为：22=24S aS a ππ-+总浇水面积对于边心距确定的正三角形，当S =，即r =时，总浇水面积有最小值，为252a π方案二 （图8）设中心圆半径为r ，正三角形边心距为a 。

设S = 推导过程与正方形方案二类似 结果为：总浇水面积=223522S aS a ππ+对于边心距确定的正三角形，当S =，即r =时，总浇水面积有最小值，为22a π方案三 （图9）设中心圆半径为r ，正三角形边心距为a 。

角上扇形半径 总浇水面积=2222r a r ππππ⎡⎤++-⋅⎣⎦）（） = 22322r ar a πππ-+所以 当13r a =时，总浇水面积有最小值，为2116a π综合对三种方案进行分析，对边心距相同的正三角形草坪进行浇灌，方案三实际浇水面积最小，节水效果最好。

五、推广二 正多边形对正方形和正三角形草坪的分析得出结论：以上三种方案对正方形和正三角形的优劣性是有差别的。

例如正三角形草坪的方案二和三，在节水能力方面有差别，但应用到正方形草坪中都与正方形方案二有相同的节水能力，因为它们是由正方形方案二通过不同拼合组成的。

因此有必要把对节水效果的探究拓展到正多边形（边数大于四边）。

方案选择与模型建立 方案一 （图10） 与正方形方案一近似图10方案二（图11）与三角形方案二类似。

中心仍为圆（摇臂喷头或微喷头均可，可根据正多边形面积的大小来决定），各个角上为摇臂喷头。

中间圆的半径大于此正多边形的边心距。

（如图11）图11方案三（图12）与三角形方案而类似，中心仍为圆，各个角上为摇臂喷头。

中间圆的半径小于此正多边形的边心距。

（如图12）图12计算与求解 方案一设正多边形边数为n, 边心距为a ，中心圆半径为r。

设S ，tanQ nπ=，(2)sin2n R nπ-⋅= 推导过程与对正方形情况的分析相似结果为：总浇水面积=()22222212(1)nR S nQaSR nR Q a π⎡⎤+-++⎣⎦当221nQR S a nR =+即r a =时 总浇水面积有最小值 为 22222(2)(2)sin sin tan 122(2)sin 12n n n n n n n a n n nπππππ-⋅-⋅⋅+⋅⋅+⋅-⋅⋅+其总浇水面积最小值与此正多边形边数的函数图像如图13所示图13方案二 所设内容同上推导内容与原方案二类似结果为：总浇水面积=()2222[2(1)]22n n S n QSa Q a π-⋅--+⋅+ 当 (2)n QS a n-=即r a =时 总浇水面积有最小值 为22(2)tan n nna nππ-⋅+⋅其总浇水面积最小值与此正多边形边数的函数图像如图14所示图14方案三设正多边形边数为n, 边心距为a ，中心圆半径为r 。

设tan Q nπ=总浇水面积=2222[(2)(tan 1)]22n n r n ar a nππ---+⋅+ 当2n r a n-=时 总浇水面积有最小值 为222(2)(2)tan 2n n n n a nππ-+-⋅其总浇水面积最小值与此正多边形边数的函数图像如图15所示图15三种方案对边心距为1的同种正多边形浇灌所实际浇水面积的最小值关于此正多边形草坪边数的函数：图16分析由图16可知，对于边数在5以上的正多边形草坪，方案二在以上三种方案中最为节省水。

当边数增加时，方案一和方案二的实际浇水面积均趋近于2a 。

可以理解为当边数无穷多时，整个草坪便为圆形草坪，此时实际浇水面积与应浇灌的面积相等。

如图17（三种方案对同种正多边形浇灌所实际浇水面积的最小值与此正多边形草坪的面积之比关于其边数的函数），随着边数增大，浇水利用率也在增大。

图17对于面积较大的草坪，可以使用由基本图形组合的方法。

因为随着正多边形草坪边数增大，浇水利用率也在增大，所以由边数较大的正多边形组合可以有更高的浇水利用率。

例如正六边形的组合在浇水利用率方面好于正方形的组合。

六、对模型的评价通过建立本模型并使用二次函数求最值的方法，正方形草坪的两种方案在节水效果上面得到了计算与分析。

可以得出，对于半径在可浇灌范围内的正方形方案一的节水效果略低于方案二的节水效果。

但是在成本方面方案一有一定优势。

而对于边长不同的正方形，两种方案也各有适用范围。

如果将此次建立数学模型的结果应用到实际中，则能够在对条件的合理分析之后，得出较为合适的一种方案，因此本模型有一定的实际应用价值。

在推广当中，本文先比较了正三角形草坪浇灌的三个方案的节水能力。

而对于正多边形草坪，在三种方案中，方案二对边数大于等于5的正多边形草坪最适合。