高中数学选择性必修二 北京市朝阳区高二上学期期末考试数学试题(含答案)
故答案为：①③④
16.把正奇数列按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，则在第n（n∈N*）组里有________个数；第9组中的所有数之和为________.
【答案】①. ②.2465
【解析】
②函数 在 和 分别单调递减，故②错误；
③因为 ，则当 时， ，故 时的瞬时速度是10 m/s，故③正确；
④ ， ，由 解得 ，由 解得 ，
所以当 时， 的图象更“陡峭”，当 时， 的图象更“陡峭”，故④错误.
故选：A.
8.如图，将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面，则异面直线AK和LM所成角的大小为（）
点 在抛物线上，
所以 ，
则 ，又 ，
所以直线 方程为 ，
联立抛物线方程 得到 ，
解得 或 ，
因为点 在 轴下方，所以 ,
由焦半径公式得： ，
故选：D.
7.下列有四个说法：
①若直线与抛物线相切，则直线与抛物线有且只有一个公共点：
②函数 在定义域上单调递减；
③某质点沿直线运动，位移 （单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式 则 时的瞬时速度是10 m/s；
（II）选①：当直线 斜率不存在时， 的方程为 ，恰好与圆相切，满足题意；
当直线 斜率存在时，设 的方程为 ，即 ，
则圆心到直线 的距离为 ，解得 ，
此时直线 的方程为 ，即 ，
综上，直线 的方程为 或 ；
选②，可得 在圆上，即 为切点，
则切点与圆心连线斜率为 ，则切线斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
故选：B.
10.如图，在三棱锥O-ABC中，三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA，OB，OC的长分别为a，b，c.M为△ABC内部及其边界上的任意一点，点M到平面OBC，平面OAC，平面OAB的距离分别为a0，b0，c0，则 （）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得 ， ， 分别是面 ， ， 对应的高，然后利用三棱锥的体积公式可得 ，对于任意点 ，连结 ， ， ， ，将四面体 分别为四个部分， ，因为点 在平面 内，故 ，利用体积相等，列出等式关系，化简变形即可得到答案．
④设x＞0， ， ，则在（0，＋∞）上函数 的图象比 的图象要“陡峭”.
其中正确的序号是（）
A.①③B.②③C.①④D.③④
【答案】A
【解析】
【分析】①根据抛物线相切的特点可判断；②根据 的单调性可判断；③求出在 时的导数可判断；④比较导数的大小即可判断.
【详解】①若直线与抛物线相切，则直线与抛物线有且只有一个公共点，故①正确；
【答案】（I） ；（II） ；（III）不存在，证明见解析；
【解析】
【分析】（I）由题知， ， ，又 ，建立以D点为原点的空间直角坐标系，求得向量 ， ，则点F到直线EC的距离为 ；
19.已知 是各项均为正数的等比数列， .
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）若数列{bn}的通项bn满足 ，求{bn}的前n项和Sn的最小值及取得最小值时n的值.
【答案】（I） ；（II）当 时， 取得最小值为
【解析】
【分析】（I）设出公比，由已知列出方程求出首项和公比即可；
（II）求得 ，得出 ，利用二次函数性质可求.
的一个焦点为 ，一条渐近线为 ，则焦点到渐近线的距离为 ，
故选：B.
4.如图，已知直线l与圆 相交于A，B两点，若平面向量 ， 满足 ，则 和 的夹角为（）
A. 45°B. 90°C. 120°D. 150°
【答案】C
【解析】
【分析】由数量积的定义即可求出夹角.
【详解】由题可得圆半径为2，即 ，
则 ，
故答案为：垂直；
15.2020年11月24日我国在中国文昌航天发射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程“嫦娥五号”探测器，开启我国首次地外天体采样返回之旅.2004年，中国正式开展月球探测工程，并命名为“嫦娥工程”.2007年10月24日“嫦娥一号”成功发射升空，探月卫星运行到地月转移轨道之前在以地心 为椭圆焦点的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个轨道飞行（如图所示），三个椭圆轨道的长半轴长、半焦距和离心率分别为 ，探月卫星沿三个椭圆轨道的飞行周期（环绕轨道一周的时间）分别为16小时，24小时和48小时，已知对于同一个中心天体的卫星，它们运动周期的平方与长半轴长的三次方之比是定值.现有以下命题：① ；② ；③ ；④ .则以上命题为真命题的是___________.（写出所有真命题的序号）
【详解】在四面体 中，由于 ， ， 两两垂直，
故 ， ， 分别是面 ， ， 对应的高，
即 ，
又 ， ， ，
故 ，
对于任意点 ，连结 ， ， ， ，如图，
将四面体 分别为四个部分，
，
因为本题中点 在 平面上，
故 ， ， ， 四点共面，所以 ，
所以
，
又因为 ，则有 ，
将等式两边同时除以 ，可得 ．
故选：
故选：C.
6.过抛物线 上的一点 作其准线的垂线，垂足为 ，抛物线的焦点为 ，直线 在 轴下方交抛物线于点 ，则 （ ）
A. 1B. C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意求得点 ，接着写出直线方程得到直线 方程为 ，联立直线方程与抛物线方程得到 ，最后根据焦半径公式求解即可.
【详解】由题意做出示意图如下：因为抛物线 ，
A. 2倍B. 4倍C. 8倍D. 16倍
【答案】C
【解析】
【分析】由题可得单位时间内的进光量形成公比为 的等比数列，即可求得.
【详解】由题可得单位时间内的进光量形成公比为 的等比数列 ，
则F4对应单位时间内的进光量为 ，F1.4对应单位时间内的进光量为 ，
从F4调整到F1.4，则单位时间内的进光量为原来的 倍.
所以 和 的夹角为 .
故选：C.
5.光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置.表达光圈的大小我们可以用光圈的F值表示，光圈的F值系列如下：F1，F1.4，F2，F2.8，F4，F5.6，F8，…，F64.光圈的F值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F8调整到F5.6，进光量是原来的2倍.若光圈从F4调整到F1.4，则单位时间内的进光量为原来的（）
设把正奇数列 前n项和为 ，则第9组中的所有数之和：
.
故答案为： ；2465.
【点睛】归纳推理的一般步骤：（1）通过观察个别情况发现某些相同的性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性结论．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证朋过程.
17.已知函数
（1）求曲线 在点（e， ）的切线方程；
【答案】①③④
【解析】
【分析】由题设及运行轨道知： 且三个椭圆轨道的近地点相同且都以地心为焦点，若地球半径为 有 ，结合椭圆离心率公式，即可判断各项的正误.
【详解】由题意知：三个椭圆轨道的近地点相同且都以地心 为焦点，
∴ ，故①正确，
，即 ，则 且 ，故②错误，③正确，
∵若地球半径为 ，则 ，
∴ ， ， ，故 ，
（2）求函数 的单调区间.
【答案】（1） ；（2）在 单调递减，在 单调递增．
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程；
（2）利用导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的单调区间即可．
【详解】解：（1）由 得 ，
所以切线斜率为
切点坐标为 ，
所以切线方程为 ，即 ；
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得出 可判断.
【详解】 ， ，即 ， ，
故直线l与平面α垂直.
故选：A.
3.双曲线 的焦点到渐近线的距离为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据标准方程写出焦点坐标与渐近线方程，代入点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由双曲线的对称性可知，求出一个焦点到一条渐近线的距离即可，则
【解析】
【分析】设公差为 ，利用公式 代入即可求解.
【详解】解：等差数列 满足 ， ，设公差为 ，则 ，
则 ，
故答案为： .
13.已知函数 （a∈R），且 ，则a的值为_________.
【答案】1
【解析】
【分析】求导后代入数值即可求得参数.
【详解】解：对函数求导得 ，
则 ，得 .
故答案为：1.
14.如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1 底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.CD＝CC1＝1.则A1C与平面C1BD_______（填“垂直”或“不垂直”）；A1C的长为_______.
【分析】直接根据题意，归纳找规律，即可得到第n组内数的个数；分析出前8组的数字个数和第9组中的数字个数，利用等差数列的求和公式直接求和即可.
【详解】第1组有1个数…
第n组有 个数.
前8组的数字个数分别为1,3……15，共64项，第9组中的数字个数有2×9-1=17个，
【详解】（I）设等比数列 的公比为 ，且 ，
则 ，解得 ，
（II） ， ，
，
则当 时， 取得最小值为 .
20.在如图所示 多面体中， 且 ， ， 且 ， 且 ， 平面ABCD， ，M，N分别为棱 的中点.
（I）求点F到直线EC的距离；
（II）求平面BED与平面EDC夹角的余弦值；
（III）在棱GF上是否存在一点Q，使得平面MNQ//平而EDC？若存在.指出点Q的位置，若不存在，说明理由.
在 中， ， ，
故
北京高二高中数学期末考试带答案解析
北京高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.圆的半径为( )A．B．C．D．2.双曲线的实轴长为 ( )A．B．C．D．3.若，，且，则 ( )A．B．C．D．4.命题“,”的否定为 ( )A．，B．，C．，D．，5.“”是“方程表示圆”的 ( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6.关于直线以及平面,下列命题中正确的是 ( )A．若，，则B．若，，则C．若，且，则D．若，，则7.已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，，则 ( ) A．B．C．D．8.某几何体的三视图如图所示，则它的体积等于（）A．B．C．D．9.已知平面内两个定点，过动点作直线的垂线，垂足为.若，则动点的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线10.已知正方体，点，，分别是线段，和上的动点，观察直线与，与．给出下列结论：①对于任意给定的点，存在点，使得；②对于任意给定的点，存在点，使得；③对于任意给定的点，存在点，使得；④对于任意给定的点，存在点，使得．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题1.已知抛物线的准线为，则其标准方程为_______.2.命题“若，则”的否命题是：__________________.3.双曲线的离心率为_______；渐近线方程为_______.4.一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为_______.5.如图，长方体中，是边长为的正方形，与平面所成的角为，则棱的长为_______；二面角的大小为_______.6.已知为椭圆上一点，为椭圆长轴上一点，为坐标原点.给出下列结论：①存在点，使得为等边三角形；②不存在点，使得为等边三角形；③存在点，使得；④不存在点，使得.其中，所有正确结论的序号是__________.三、解答题1.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，、分别是、中点.（1）求证：平面；（2）求证：.2.已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.（1）求圆的方程；（2）设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程.3.如图，在直三棱柱中，，，是中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.4.如图所示，四边形为直角梯形，，，为等边三角形，且平面平面，，为中点．（1）求证：；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；（3）在内是否存在一点，使平面，如果存在，求的长；如果不存在，说明理由．5.已知抛物线，点，过的直线交抛物线于两点.（1）若线段中点的横坐标等于，求直线的斜率；（2）设点关于轴的对称点为，求证：直线过定点.6.已知为椭圆上的三个点，为坐标原点.（1）若所在的直线方程为，求的长；（2）设为线段上一点，且，当中点恰为点时，判断的面积是否为常数，并说明理由.北京高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.圆的半径为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由圆，通过配方可得.所以圆的半径为.故选B.本小题关键知识点是通过二次方的配方，把圆的一般方程化为圆的标准方程，从而得到圆心的坐标和圆的半径，属于基础题型.【考点】1.圆的一般方程.2.圆的标准方程.3.配方公式.2.双曲线的实轴长为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由双曲线对应的标准方程的.所以.又因为双曲线的长轴为，故选C.本小题关键是考查双曲线的标准方程，以及双曲线实轴长为，这也是易错点，值得注意.【考点】1.双曲线的标准方程.2.实轴的概念.3.若，，且，则 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由于空间向量，坐标形式的平行关系要符合.所以向量，，且.则由向量的平行条件可得，，即，所以解得.故选A.【考点】1.空间向量的平行关系.2.解方程组的能力.4.命题“,”的否定为 ( )A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】由于含全称量词的否定，要把全称量词改为特称量词，所以命题“,”的否定把全称改为特称，结论的“”为“>”即，.故选D.本小题关键是考查全称命题与特称命题的否定的互相转化.【考点】全称命题改为特称命题.5.“”是“方程表示圆”的 ( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为若则当时方程不能表示一个圆.所以充分性不成立；当方程表示圆时，即.即有成立.所以必要性成立.综上“”是“方程表示圆”的必要不从分条件.故选B.【考点】1.圆的方程.2.充分必要条件.6.关于直线以及平面,下列命题中正确的是 ( )A．若，，则B．若，，则C．若，且，则D．若，，则【答案】D【解析】若，则直线与三种位置关系都有，所以A选项不正确；若，则直线与平面M可能是平行，也可能是相交，所以B选项不正确；若，则直线可能与平面M平行或相交，所以C选项不正确.D选项是面面垂直的判定定理.综上故选D.【考点】1.线面平行与垂直的判定.2.面面垂直的判定.7.已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，，则 ( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】由椭圆可知.又由椭圆的定义可知，.所以.即，即.所以.故选C.【考点】1.椭圆的定义.2.椭圆的标准方程.8.某几何体的三视图如图所示，则它的体积等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意可得该三视图是一个倒着放的三棱柱.三棱柱的底面是一个直角边为2的等腰直角三角形，高为2.所以由棱柱的体积公式，可得.故选C.本小题的关键是通过三视图画出相应的直观图.【考点】1.三视图的知识.2.棱柱的体积的计算.9.已知平面内两个定点，过动点作直线的垂线，垂足为.若，则动点的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线【答案】D【解析】设点M(x,y)，N(x，0).则，,所以.由可得.即.所以动点的轨迹是双曲线.故选D.【考点】1.向量的数量积.2.圆锥曲线与方程的关系.3.用方程解决问题的思想.10.已知正方体，点，，分别是线段，和上的动点，观察直线与，与．给出下列结论：①对于任意给定的点，存在点，使得；②对于任意给定的点，存在点，使得；③对于任意给定的点，存在点，使得；④对于任意给定的点，存在点，使得．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】因为对任意的E点，则直线CE所形成的轨迹都在平面上，所以要使得，即要存在平面，显然是不成立的，所以①不正确；因为对于任意点，由形成的轨迹在平面上，所以要存在只需要即可，这显然可以成立，所以②正确.同理③只要G点移到点即可成立，所以③正确.与①类似④不成立.故选B.【考点】1.线面垂直的判定.2.线线垂直的判定.3.线动成面的思维.二、填空题1.已知抛物线的准线为，则其标准方程为_______.【答案】【解析】因为抛物线的准线为，所以可以设抛物线的标准方程为.所以由抛物线准线方程可得.所以抛物线的标准方程为.本小题的关键就是根据抛物线准线的定义求得的值，即可求得抛物线方程.【考点】1.抛物线的定义.2.抛物线的准线方程公式.2.命题“若，则”的否命题是：__________________.【答案】若，则【解析】命题的否命题是将命题的题设与结论都否定，所以若，则的否命题是“若，则”.故填若，则.本题的关键是命题的四种形式间的关系，这些题型都要要分清命题的题设与结论，才能正确解题.【考点】1.命题的否命题的表示形式.2.大于的否定是小于等于.3.双曲线的离心率为_______；渐近线方程为_______.【答案】2;【解析】由于双曲线，所以，所以所以离心率.故填2.由于双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线的方程为.故填.【考点】1.双曲线的性质.2.双曲线中三个基本量的关系.4.一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为_______.【答案】【解析】由于正方体的八个顶点都在球的表面上，所以正方体的体对角线就是球的直径，由于正方体的棱长为，所以体对角线，与正方体的棱长的关系为.所以，及球的直径.由球的表面积公式.可得.又因为正方体的表面积为6.所以球的表面积与这个正方体的表面积之比为.故填.【考点】1.球内接正方体中的等量关系.2.球的表面积公式.3.空间的想象能力.5.如图，长方体中，是边长为的正方形，与平面所成的角为，则棱的长为_______；二面角的大小为_______.【答案】;【解析】因为是边长为的正方形，所以对角线.又因为与平面所成的角为即.所以.由于.又因为平面平面.所以二面角的平面角为【考点】1.直线与平面所成的角.2.平面与平面所成的角.3.空间想象力6.已知为椭圆上一点，为椭圆长轴上一点，为坐标原点.给出下列结论：①存在点，使得为等边三角形；②不存在点，使得为等边三角形；③存在点，使得；④不存在点，使得.其中，所有正确结论的序号是__________.【答案】①④【解析】若过存在点，使得为等边三角形，由椭圆的对称性设点在第一象限.代入椭圆方程可得.解得.所以.所以存在点.所以①正确；若存在点，使得，同样设，代入椭圆方程可得，解得.所以.所以不存在点.所以④正确.故填①④.【考点】1.直线与椭圆的位置关系.2.利用方程的思想解决问题.三、解答题1.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，、分别是、中点.（1）求证：平面；（2）求证：.【答案】（1）参考解析；（2）参考解析【解析】（1）要证直线与平面平行，根据直线与平面平行的判定定理，需要在平面内找一条直线与已知直线平行，由于本小题中点较多，所以想到作出四边形AMNQ.通过判定平行四边形，然后再用平行四边形的性质得到所需要的两直线平行，这种方法也是在证明直线与平面平行时的常用的方法.（2）直线与直线垂直的证明根据判断定理，一般需要转化为证明直线与平面的垂直.这题是根据第一步的结论证明AB与平面PAD垂直，从而可得结论.试题解析：证明：（1）取中点，连结.因为是中点，所以.又是中点，,所以，四边形是平行四边形.所以.因为平面，平面，所以平面. 7分（2）因为平面,所以.又是矩形，所以.所以平面,所以.又,所以.【考点】1.直线与平面平行的判断定理.2.直线与直线垂直的判断方法.2.已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.（1）求圆的方程；（2）设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】（1）本题求圆的方程，已知圆上两点即圆心的纵坐标，所以需要求出圆的半径和圆心的横坐标两个值即可确定圆的方程，通过列解方程即可求出相应的量，该题的半径的长刚好就是圆心的横坐标的值，这个条件要用上. （2）该小题是直线与圆的位置关系问题，特别要先判断直线的斜率不存在的时候的情况，通过画图可知符合条件，其次是斜率存在时，通过重点三角形（弦心距，半弦长，半径）的关系可以求出弦心距的长，从而再用圆心到直线的距离公式求出直线的斜率，又过已知点即可写出直线方程.试题解析：（1）设圆的圆心坐标为，依题意，有，即，解得，所以圆的方程为.（2）依题意，圆的圆心到直线的距离为，所以直线符合题意.另，设直线方程为，即，则，解得，所以直线的方程为，即.综上，直线的方程为或.【考点】1.直线与圆的关系.2.圆的标准方程.3.分类归纳思想.4.运算能力的锻炼.3.如图，在直三棱柱中，，，是中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）参考解析；（2）【解析】（1）直线与平面垂直的证明，对于理科生来说主要是以建立空间直角坐标系为主要方法，所以根据题意建立坐标系后，写出相应的点的坐标.根据向量证明向量与平面内的两个相交向量的数量积为零即可.（2）证明直线与平面所成的角的正弦值，主要是通过求出平面的法向量与该直线的夹角的余弦值，再通过两角的互余关系转化为正弦值.试题解析：（1）证明:因为是直三棱柱，所以，又，即.如图所示，建立空间直角坐标系.,,,，所以，，.又因为，，所以，，平面.（2）解：由（1）知，是平面的法向量，，则.设直线与平面所成的角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.【考点】1.线面垂直.2.线面所成的角.3.空间直角坐标系的解决线面问题.4.如图所示，四边形为直角梯形，，，为等边三角形，且平面平面，，为中点．（1）求证：；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；（3）在内是否存在一点，使平面，如果存在，求的长；如果不存在，说明理由．【答案】（1）参考解析；（2）；（3），【解析】（1）根据题意，由于三角形ABE是等边三角形，所以以线段AB的中点为坐标原点建立空间直角坐标系.写出相应点的坐标，表示出向量AB与向量DE，并求出两个向量的数量积为零，所以两个向量垂直，及对应的两条直线垂直.（2）平面与平面垂直关键是求出两个平面的法向量，再根据法向量的夹角的余弦值的绝对值等于锐二面角的余弦值.（3）用待定系数的方法，假设存在该点Q，要满足平面，只需要向量PQ，与平面内任一两条直线所对应的向量的数量积为零即可，从而求出点Q的坐标即线段PQ的长.试题解析：（1）证明：取中点，连结，因为△是正三角形，所以.因为四边形是直角梯形，，，所以四边形是平行四边形，，又，所以.所以平面，所以.（2）解：因为平面平面，，所以平面，所以.如图所示，以为原点建立空间直角坐标系.则，，，，.所以,，设平面的法向量为，则，令，则,.所以.同理求得平面的法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则.所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.（3）解：设，因为，所以，,.依题意即解得，.符合点在三角形内的条件.所以，存在点，使平面，此时.【考点】1.空间坐标系的建立.2.平面与平面所成的角.3.直线与平面垂直.4.代数运算能力.5.向量的数量积.6.相应的公式.5.已知抛物线，点，过的直线交抛物线于两点.（1）若线段中点的横坐标等于，求直线的斜率；（2）设点关于轴的对称点为，求证：直线过定点.【答案】（1）;（2）【解析】（1）因为点M在抛物线外面，所以过M与抛物线相交的直线斜率存在，用点斜式假设直线方程并联立抛物线方程，消去y，即可得一个关于x的一元二次方程，由韦达定理及已知中点的横坐标，即可求出斜率的值. （2）由点A,B的横坐标满足（1）式中的一元二次方程，由韦达定理可得根与系数的等式，再写出直线的方程，利用点差法将点A,B的坐标带入抛物线方程.即可求出直线过定点，要做点是否存在的判定.试题解析：（1）设过点的直线方程为，由得因为，且，所以，.设，，则，.因为线段中点的横坐标等于，所以，解得，符合题意.（2）依题意，直线，又，，所以因为，且同号，所以，所以，所以，直线恒过定点.【考点】1.直线与抛物线的位置关系.2.解方程的能力.3.恒过定点的问题.4.直线方程的表示.6.已知为椭圆上的三个点，为坐标原点.（1）若所在的直线方程为，求的长；（2）设为线段上一点，且，当中点恰为点时，判断的面积是否为常数，并说明理由.【答案】（1）;（2）定值为【解析】（1）因为求所在的直线方程为与椭圆方程相交所得的弦长.一般是通过联立两方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，可以解得两个交点的坐标的横坐标，确定点的坐标，从而根据两点的距离公式求出弦长.（2）直线与圆的位置关系，首先考虑直线的斜率是否存在，做好分类的工作.若当斜率存在时，通过联立方程，应用韦达定理知识，求出弦长，利用点到直线的距离公式求出三角形的高的长.从而写出三角形的面积（含斜率的等式）.再根据的关系求出点P的坐标，带到椭圆方程中，即可求出含斜率的一个等式，从而可得结论.试题解析：（1）由得，解得或，所以两点的坐标为和所以.（2）①若是椭圆的右顶点（左顶点一样），则，因为，在线段上，所以，求得，所以的面积等于.②若B不是椭圆的左、右顶点，设，，由得，，所以，的中点的坐标为，所以，代入椭圆方程，化简得.计算.因为点到的距离所以，的面积.综上，面积为常数.【考点】1.直线与椭圆的位置关系.2.弦长公式.3.点到直线的距离公式.4.向量的知识.5.整体的解题思想.6.过定点的问题.。
北京市朝阳区高二数学上学期期末试卷理(含解析)
一、选择题：本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分 . 在每题给出的四个选项中，选出切合题目要求的一项 .1．（ 5 分）椭圆+=1 的离心率是（）A．B．C．D．2．（ 5 分）已知两条不一样的直线A．若 a⊥b，b⊥α，则 a∥αC．若 a⊥α， b⊥α，则 a∥b a， b 和平面α，那么以下命题中的真命题是（）B．若 a∥α， b∥α，则 a∥bD．若 a∥b，b∥α，则 a∥α3．（ 5 分）直线截圆 x2+y 2=4 所得劣弧所对圆心角为（）A．B．C．D．4．（ 5 分）已知 a，b 是两条不一样的直线，且b? 平面α，则“ a⊥b”是“ a⊥α”的（）A．充足且不用要条件B．必需且不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件5．（ 5 分）已知抛物线x2=4y 上的一点 M到此抛物线的焦点的距离为3，则点 M的纵坐标是（）A． 0B．C． 26．（ 5 分）某四棱锥的三视图以下图，则该四棱锥的体积为（）A． 2B． 4C． 8D． 127．（ 5 分）已知双曲线 M的焦点与椭圆+=1 的焦点同样．假如直线 y=﹣x 是 M的一条渐近线，那么M的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=18．（ 5 分）给出以下四个命题：①已知 p，q 都是命题，若p∧q 为假命题，则p， q 均为假命题；a b a b②命题“若 a＞ b，则 3 ＞ 3﹣1”的否命题为“若a≤b，则 3 ≤3﹣1”；③命题“对随意22x∈R， x +1≥0”的否认是“存在x0∈ R， x0 +1＜0”；④“ a≥0”是“ ? x∈ R，使得 ax2+x+1≥0”的充足必需条件．此中正确命题的序号是（）A．①③B．②③C．②③④D．②④9．（ 5 分）已知点 A的坐标为（ 1， 0），点 P（ x，y）（x≠1）为圆（ x﹣ 2）2+y2=1 上的随意一点，设直线 AP 的倾斜角为θ，若 |AP|=d ，则函数 d=f （θ）的大概图象是（）A．B．C．D．10．（ 5 分）已知 E，F 分别为正方体ABCD﹣ A1B1C1D 的棱 AB，AA1上的点，且 AE= AB，AF= AA1，11M， N 分别为线段 D E和线段 C F 上的点，则与平面 ABCD平行的直线 MN有（）A．1条B．3条C．6条D．无数条二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分，答案写在答题卡上 .11．（ 5分）在空间直角坐标系中，点（4，﹣ 1，2）与原点的距离是．12．（ 5分）以椭圆的右焦点为焦点，且极点在原点的抛物线标准方程为．13．（ 5分）已知 F1， F2是椭圆 C：+=1 的两个焦点，过F1的直线与椭圆 C交于 M，N两点，则△F 2MN的周长为．14．（ 5分）如图，某三棱柱的正视图中的实线部分是边长为 4 的正方形，俯视图是等边三角形，则该三棱柱的侧视图的面积为．15．（ 5 分）已知抛物线C： y2=2x 的焦点为F，抛物线 C 上的两点A，B 知足=2．若点T（﹣，0），则的值为．16．（ 5 分）已知等边△ ABC 的边长为 2，沿△ ABC 的高 AD将△ BAD折起到△ B′AD，使得 B′C= ，则此时四周体 B′﹣ ADC的体积为，该四周体外接球的表面积为．三、解答题：本大题共 4 小题，共40 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（ 10 分）在四棱柱 ABCD﹣ A1B1C1D1中，底面 ABCD是矩形，侧棱 DD1⊥平面 ABCD，且AD=AA1=1，AB=2．（Ⅰ）求证：平面BCD1⊥平面 DCC1D1；（Ⅱ）求异面直线CD1与 A1D 所成角的余弦值．18．（ 10 分）在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ ABC=60°， PA=AC=1， PB=PD=，点E 在棱 PD上，且 PE：ED=2： 1．（Ⅰ）求证： PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角P﹣AE﹣ C 的余弦值；（Ⅲ）在棱 PC上能否存在点 F，使得 BF∥平面 AEC？若存在，确立点 F 的地点；若不存在，请说明原因．19．（ 10 分）在平面直角坐标系xOy 中，点 A 的坐标为（ 0，3），设圆 C 的半径为，且圆心C在直线 l ：y=2x ﹣ 4 上．（Ⅰ）若圆心 C 又在直线y=x﹣ 1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求此切线的方程；（Ⅱ）若圆 C 上存在点M，使得 |MA|=2|MO| ，求圆心 C 的横坐标的取值范围．20．（ 10 分）已知椭圆 C：+=1（ a＞ b＞0）的离心率为，其短轴的一个端点到它的左焦点距离为2，直线 l ： y=kx 与椭圆 C交于 M，N 两点， P 为椭圆 C上异于 M， N 的点．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）若直线 PM， PN的斜率都存在，判断 PM，PN的斜率之积能否为定值？假如，求出此定值，若不是，请说明原因；（Ⅲ）求△ PMN面积的最大值．北京市旭日区2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷（理科）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分 . 在每题给出的四个选项中，选出切合题目要求的一项 .1．（5 分）椭圆+=1 的离心率是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．剖析：由椭圆+ =1，可得 a2=25，b2=16，利用 c2=a2﹣b2可得 c，再利用离心率计算公式即可得出．解答：解：由椭圆22+ =1，可得 a =25，b =16，∴a=5， c2=a2﹣b2=9，解得 c=3．∴椭圆的离心率 e= = ．应选： A．评论：本题考察了椭圆的标准方程及其性质，考察了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（ 5 分）已知两条不一样的直线a， b 和平面α，那么以下命题中的真命题是（）A．若 a⊥b，b⊥α，则 a∥αB．若 a∥α， b∥α，则 a∥bC．若 a⊥α， b⊥α，则 a∥b D．若 a∥b，b∥α，则 a∥α考点：空间中直线与平面之间的地点关系．专题：空间地点关系与距离．剖析：利用线面垂直的性质以及线面平行即垂直的判判定理解答．解答：解：关于 A，若 a⊥b，b⊥α，那么a∥α或许 a? α，故 A 错误；关于 B，若 a∥α， b∥α，则a， b 可能平行、订交或许异面；故 B 错误；关于 C，假如 a⊥α， b⊥α，则a∥b，正确；关于 D，若 a∥b，b∥α，则a∥α或许 a? α，故 D 错误；应选 C．评论：本题考察了线面垂直、线面平行的性质、直线平行的性质，娴熟运用定理是重点．3．（ 5 分）直线截圆 x2+y 2=4 所得劣弧所对圆心角为（）A．B．C．D．考点：直线与圆的地点关系．剖析：先解劣弧所对圆心角的一半，就是利用弦心距和半径之比求之．解答：解：圆到直线的距离为：=1，又因为半径是2，设劣弧所对圆心角的一半为α， cosα =0.5 ，∴α =60°，劣弧所对圆心角为120°．应选 D．评论：直线与圆的关系中，弦心距、半径、弦长的关系，是2015 届高考考点，本题是基础题．4．（ 5 分）已知 a，b 是两条不一样的直线，且b? 平面α，则“ a⊥b”是“ a⊥α”的（）A．充足且不用要条件B．必需且不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件考点：必需条件、充足条件与充要条件的判断．专题：简略逻辑．剖析：依据充足必需条件的定义分别判断其充足性和必需性即可．解答：解：若 a⊥b，则 a 不必定垂直于α，不是充足条件，若 a⊥α，则 a⊥b，是必需条件，应选： B．评论：本题考察了充足必需条件，考察了直线和平面的判判定理，是一道基础题．5．（ 5 分）已知抛物线 x2=4y 上的一点 M到此抛物线的焦点的距离为3，则点 M的纵坐标是（）A． 0B．C． 2考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．剖析：求得抛物线 x2=4y 的焦点为（ 0，1），准线方程为y=﹣ 1，设 M（ m， n），则由抛物线的定义可得，可得 n+1=3，即可求得点 M的纵坐标．解答：解：抛物线 x2=4y 的焦点为（ 0，1），准线方程为y=﹣ 1，设 M（ m， n），则由抛物线的定义可得，M到此抛物线的焦点的距离即为M到准线的距离，即有 n+1=3，解得 n=2．应选 C．评论：本题考察抛物线的定义、方程和性质，主要考察定义法的运用，以及准线方程的运用，属于基础题．6．（ 5 分）某四棱锥的三视图以下图，则该四棱锥的体积为（）A． 2B． 4C． 8D． 12考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间地点关系与距离．剖析：依据三视图判断几何体由两部分构成，左侧部分是四棱锥，且四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，高为 2；右侧部分是三棱锥，且三棱锥的高为2，底面是直角边长为 2 的等腰直角三角形，把数据代入棱锥的体积公式计算．解答：解：由三视图知几何体的左侧部分是四棱锥，且四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，高为 2；几何体的右侧部分是三棱锥，且三棱锥的高为2，底面是直角边长为 2 的等腰直角三角形，其直观图如图：2∴几何体的体积V= ×2×2+××2×2×2=4．应选： B评论：本题考察了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量是解答本题的重点．7．（ 5 分）已知双曲线M的焦点与椭圆+ =1 的焦点同样．假如直线y=﹣x 是 M的一条渐近线，那么M的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．剖析：由题意可设双曲线的标准方程为，由直线y=﹣x 是 M 的一条渐近线，可得=．由椭圆+=1 的焦点为（± 3，0），可得 c=3，再利用 c2=a2+b2，解出即可．解答：解：由题意可设双曲线的标准方程为，∵直线 y=﹣x 是 M的一条渐近线，∴=．椭圆+=1 的焦点为（± 3， 0），∴c=3，联立，解得 a2=3， b2=6．∴M的方程为：．应选： C．考察了推理能力评论：本题考察了圆锥曲线的标准方程及其性质等基础知识与基本技术，与计算能力，属于中档题．8．（ 5 分）给出以下四个命题：①已知 p，q 都是命题，若p∧q 为假命题，则p， q 均为假命题；a b a b②命题“若a＞ b，则 3 ＞ 3 ﹣1”的否命题为“若a≤b，则 3 ≤3﹣1”；22③命题“对随意 x∈R， x +1≥0”的否认是“存在x0∈ R， x0+1＜0”；④“ a≥0”是“ ? x∈ R，使得 ax2+x+1≥0”的充足必需条件．此中正确命题的序号是（）A．①③B．②③C．②③④D．②④考点：命题的真假判断与应用．专题：简略逻辑．剖析：①依据复合命题之间的关系进行判断；②依据否命题的定义进行判断”；③依据全称命题的否认是特称命题进行判断；④依据充足条件和必需条件的定义进行判断．解答：解：①已知 p， q 都是命题，若p∧ q 为假命题，则p， q 起码有一个为假命题，故①错误；a ba≤b，则ab②命题“若 a＞ b，则 3 ＞ 3﹣1”的否命题为“若 3 ≤3﹣1”；故②正确，2x ∈ R， x2③命题“对随意 x∈R， x +1≥0”的否认是“存在+1＜0”；故③正确，00④若 a＜ 0，则鉴别式△ =1﹣ 4a＜ 0，此时 ax2+x+1≥0有解，即“ a≥0”是“ ? x∈ R，使得ax2 +x+1≥0”的充足必需条件错误，故④错误，故正确的命题为②③，应选： B评论：本题主要考察命题的真假判断，依据复合命题，四种命题之间的关系以及含有量词的命题的否认，充足条件和必需条件的定义是解决本题的重点．9．（ 5 分）已知点 A的坐标为（ 1， 0），点 P（ x，y）（x≠1）为圆（ x﹣ 2）2+y2=1 上的随意一点，设直线 AP 的倾斜角为θ，若 |AP|=d ，则函数 d=f （θ）的大概图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．剖析：分两种状况考虑，当直线 OP过第一象限与当直线 OP过第四象限，画出函数图象，即可获得结果．解答：解：当直线OP过第一象限时，如图：因为AB为直径，故θ=，获得d=f （θ） =2cosθ（ 0≤θ＜），当直线OP过第四象限时，同理可获得d=f（π﹣θ）=2cos（π﹣θ）=﹣2cosθ（＜θ≤π），函数d=f （θ）的大概图象：应选： D．评论：本题考察了圆的标准方程，利用了数形联合的思想，弄清题意是解本题的重点．10．（ 5 分）已知 E，F 分别为正方体ABCD﹣ A1B1C1D 的棱 AB，AA1上的点，且 AE= AB，AF= AA1，M， N 分别为线段A．1条D1E和线段 C1FB．3条上的点，则与平面ABCD平行的直线C．6条MN有（）D．无数条考点：直线与平面平行的性质．专题：空间地点关系与距离．剖析：取BH= BB1，连结FH，在D1E上任取一点M，过M在面D1HE中，作MG平行于HO，此中 O知足线段OE= D1E，再过 G作 GN∥ FH，交 C1F 于 N，连结 MN，依据线面平行的判判定理，获得GM∥平面 ABCD，NG∥平面ABCD，再依据面面平行的判判定理获得平面MNG∥平面ABCD，由面面平行的性质获得则MN∥平面 ABCD，因为 M是随意的，故M N有无数条．解答：解：取BH= BB1，连结FH，则FH∥C1D连结 HE，在 D1E 上任取一点M，过 M在面 D1HE中，作 MG∥HO，交 D1H 于 G，此中 O为线段 OE= D1E再过 G作 GN∥FH，交 C1F 于 N，连结 MN，因为 GM∥HO，HO∥KB， KB? 平面 ABCD，GM?平面 ABCD，因此 GM∥平面 ABCD，同原因 NG∥FH，可推得NG∥平面 ABCD，由面面平行的判判定理得，平面MNG∥平面 ABCD，则 MN∥平面 ABCD．MN有无数条．因为 M为 D1E 上任一点，故这样的直线应选 D．评论：本题考察空间直线与平面的地点关系，主假如直线与平面平行的判断和面面平行的判断与性质，考察空间想象能力和简单推理能力．二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分，答案写在答题卡上 .11．（ 5 分）在空间直角坐标系中，点（4，﹣ 1，2）与原点的距离是．考点：空间两点间的距离公式．专题：空间地点关系与距离．剖析：依据空间两点间的距离公式进行求解即可．解答：解：依据两点间的距离公式得点（4，﹣ 1， 2）与原点的距离是==，故答案为：评论：本题主要考察空间两点间的距离公式的计算，比较基础．12．（ 5 分）以椭圆的右焦点为焦点，且极点在原点的抛物线标准方程为y2=4 x．考点：抛物线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．剖析：依题意，可求得椭圆+y2=1 的右焦点，利用抛物线的简单性质即可求得答案．解答：解：∵椭圆+y2=1 的右焦点 F（， 0），∴以 F（， 0）为焦点，极点在原点的抛物线标准方程为y2=4x．故答案为： y2=4 x．评论：本题考察抛物线的标准方程，考察椭圆与抛物线的简单性质，属于中档题．13．（ 5 分）已知 F ， F 是椭圆 C： +=1 的两个焦点，过 F 的直线与椭圆C交于 M，N 121两点，则△F 2MN的周长为8．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．剖析：利用椭圆的定义可知 |F 1M|+|F 2M|和 |F 1N|+|F 2N|的值，从而把四段距离相加即可求得答案．解答：解：利用椭圆的定义可知，|F 1M|+|F 2M|=2a=4， |F 1N|+|F 2N|=2a=4 ，∴△ MNF2的周长为 |F 1M|+|F 2M|+F1N|+|F 2N|=4+4=8．故答案为： 8．评论：本题主要考察了椭圆的简单性质．解题的重点是利用椭圆的定义．14．（ 5 分）如图，某三棱柱的正视图中的实线部分是边长为 4 的正方形，俯视图是等边三角形，则该三棱柱的侧视图的面积为8．考点：简单空间图形的三视图．专题：空间地点关系与距离．剖析：由正视图与俯视图可知：该三棱柱是直三棱柱、高与底边边长都为4．即可得出．解答：解：由正视图与俯视图可知：该三棱柱是直三棱柱、高与底边边长都为4．∴该三棱柱的侧视图的面积=8 ．故答案为： 8 ．评论：本题考察了正三棱柱的三视图及其侧面积，属于基础题．15．（ 5 分）已知抛物线C： y2=2x 的焦点为 F，抛物线 C 上的两点 A，B 知足=2 ．若点T（﹣， 0），则的值为 2．考点：抛物线的简单性质．专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．剖析：设 A（，m），B（，n），y2=2x的焦点为F（，0），求得向量AF，FB 的坐标，运用向量共线的坐标表示，解方程可得 m，n，从而获得 A，B 的坐标，再由两点的距离公式计算即可获得．解答：解：设 A（，m），B（，n），2y =2x 的焦点为F（，0），=（﹣，﹣m），=（﹣，n），由=2，则有 m=﹣ 2n， m2+2n2=3，解得 m=﹣，n=，或m=，n=﹣，即有 A（ 1，﹣），B（，）或 A（1，）， B（，﹣）．|TA|==， |TB|==．则的值为 2．故答案为： 2．评论：本题考察抛物线的方程和性质，主要考察抛物线的方程的运用，同时考察向量共线的坐标表示和两点的距离公式的运用，属于中档题．16．（ 5 分）已知等边△ ABC 的边长为2，沿△ ABC 的高 AD将△ BAD折起到△ B′AD，使得B′C=，则此时四周体 B′﹣ ADC的体积为，该四周体外接球的表面积为π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间地点关系与距离；球．剖析：由题意可得，三棱锥 B﹣ACD的三条侧棱 BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，可得 AD⊥底面 BCD，由三棱锥的体积公式计算即可获得；它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到极点的距离，就是球的半径，而后求球的体积即可．解答：解：依据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱 BD⊥AD、DC⊥DA，由 BD=CD=1，B′C= ，则底面是等腰直角三角形，则 AD⊥底面 BCD， AD= ，即有四周体B′﹣ ADC的体积为××1×1=；它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到极点的距离，就是球的半径，三棱柱 ABC﹣ A1B1C1的中，底面边长为 1， 1，，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱极点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴三棱柱ABC﹣ A1B1C1的外接球的球心为 O，外接球的半径为r ，球心究竟面的距离为，底面中心究竟面三角形的极点的距离为，∴球的半径为r==．四周体ABCD外接球体积为：r 3=×（） 3=π．故答案为：，π．点：本考面垂直的判判定理和三棱的体公式和球的体公式的运用，同考空想象能力，算能力；三棱柱上下底面中点的中点，到三棱柱点的距离相等，明中心就是外接球的球心，是本解的关，仔察和剖析意，是解好数学目的前提．三、解答：本大共 4 小，共40 分 . 解答写出文字明，明程或演算步．17．（ 10 分）在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面 ABCD是矩形，棱 DD1⊥平面 ABCD，且 AD=AA1=1，AB=2．（Ⅰ）求：平面BCD1⊥平面 DCC1D1；（Ⅱ）求异面直CD1与 A1D 所成角的余弦．考点：异面直及其所成的角；平面与平面垂直的判断．：空地点关系与距离；空角．剖析：（Ⅰ）由面垂直得DD1⊥BC，由矩形性得DC⊥BC．由此能明BC⊥平面 DCC1D1，从而获得平面BCD1⊥平面 DCC1D1．（Ⅱ）取DA， DC， DD1所在的直x， y， z ，成立空直角坐系 D xyz ，由=，利用向量法能求出异面直CD1与 A1D 所成角的余弦．解答：（本分10 分）（Ⅰ）明：在四棱柱ABCD A1B1C1D1中， DD1⊥平面 ABCD，∴DD1⊥BC．⋯（ 2 分）∵底面 ABCD是矩形，因此DC⊥BC．又 DD1∩DC=D，∴ BC⊥平面 DCC1D1．又 BC? 面 BCD1，∴平面 BCD1⊥平面 DCC1D1．⋯（ 5 分）（Ⅱ）解：取 DA， DC， DD1所在的直 x， y， z ，成立空直角坐系 D xyz ，如所示，∵AD=AA1=1，AB=2， D（ 0， 0，0）， C（0， 2， 0）， D1（ 0，0， 1）， A1（1， 0，1），⋯（ 7分）∵=（ 0， 2， 1），=（1， 0， 1），∴===．⋯（9分）∴异面直CD1与 A1D 所成角的余弦是．⋯（10分）点：本考面面垂直的明，考异面直所成角的求法，是中档，解要注意、面、面面的地点关系和性的合理运用，注意空思能力的培育．18．（ 10 分）在底面是菱形的四棱P ABCD中，∠ ABC=60°， PA=AC=1， PB=PD=，点E 在棱 PD上，且 PE：ED=2： 1．（Ⅰ）求： PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角P AE C 的余弦；（Ⅲ）在棱 PC上能否存在点 F，使得 BF∥平面 AEC？若存在，确立点 F 的地点；若不存在，明原因．考点：用空向量求平面的角；直与平面垂直的判断．：空地点关系与距离；空角．剖析：（Ⅰ）依据面垂直的判判定理即可明PA⊥平面 ABCD；（Ⅱ）成立空坐系，利用向量法即可求二面角P AE C 的余弦；（Ⅲ）利用向量法，合面平行的判判定理行求解即可．解答：明：（Ⅰ）因底面 ABCD是菱形，且∠ ABC=60°，因此△ ABC是等三角形，因此 AB=AD=AC=PA=1．在△ PAB 中， PA=AB=1， PB= ，因此 PB2=PA2+AB2，即 PA⊥AB．同理可 PA⊥AD，且 AB∩AD=A，因此 PA⊥平面 ABCD．⋯（3分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知PA⊥平面 ABCD，取 CD中点 G，接 AG．由已知条件易知AB⊥AG，如以 A 原点成立空直角坐系．⋯（ 4 分）因 PA⊥平面 ABCD， PA? 平面 PAD，因此平面ABCD⊥平面 PAD．平面 ABCD∩平面PAD=AD，取 AD中点 H，接 HC， HC⊥AD．因此HC⊥平面 PAD．因此是平面 PAD的法向量，也是平面PAE的法向量．A（ 0， 0，0）， D（，，0），H（，，0），C（，，0），E（，，），P（ 0， 0， 1），B（ 1， 0， 0），=（，，0），=（，，0），=（，，），⋯（5分）平面 AEC的法向量=（ x， y，z），因此，，令 x=，=（，1，2），⋯（6分）因此 cos ＜，＞ === ．由可知，二面角P AE C 的平面角角，因此其他弦．⋯（7 分）（ III）存在，点 F 是棱 PC的中点．=λ =λ（，， 1），⋯（ 8 分）==（ 1， 0， 1）+λ（，， 1） =（ 1+ λ，λ， 1λ），由（ II）知平面 AEC的法向量=（， 1，2）．由已知 BF∥平面 AEC，等价于，即（ 1+ λ，λ， 1λ） ?（， 1，2） =（ 1+）λ+2（1λ） =0．解得．⋯（ 9分），因此点 F 是棱 PC的中点．⋯（ 10 分）评论：本题主要考查线面平行和垂直的判断，以及二面角的求解，成立空间坐标系，利用向量法是解决二面角的常用方法．考察学生的运算和推理能力．19 ．（ 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（ 0， 3），设圆 C 的半径为，且圆心C在直线 l ： y=2x ﹣4 上．（Ⅰ）若圆心 C 又在直线y=x﹣ 1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求此切线的方程；（Ⅱ）若圆 C 上存在点M，使得 |MA|=2|MO| ，求圆心 C 的横坐标的取值范围．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．剖析：（Ⅰ）联立两直线方程求得圆心 C 的坐标，则圆的方程可得，设出切线方程，利用点到直线的距离求得k，则直线的方程可得．（Ⅱ）设出圆心 C的坐标，表示出圆的方程，从而依据|MA|=2|MO| ，设出 M，利用等式关系整理求得 M的轨迹方程，从而判断出点 M应当既在圆 C上又在圆 D上，且圆 C和圆 D有交点．进而确立不等式关系求得 a 的范围．解答：M解：（Ⅰ）由得圆心 C为（ 3， 2），因为圆 C 的半径为 1，因此圆22C 的方程为：（ x﹣ 3） +（y﹣ 2） =1．明显切线的斜率必定存在，设所求圆 C 的切线方程为y=kx+3 ，即 kx ﹣y+3=0．因此=1，解得 k=0 或﹣．则所求圆 C的切线方程为： y=3 或 3x+4y﹣ 12=0．（Ⅱ）因为圆 C 的圆心在直线y=2x﹣ 4 上，因此设圆心 C 为（ a， 2a﹣4），则圆 C 的方程为：（ x﹣ a）2﹣（2+[y2a﹣ 4） ] =1．又|MA|=2|MO| ，设 m为（ x，y），则=2．整理得： x2+（y+1）2=4，设该方程对应的圆为D，因此点 M应当既在圆 C 上又在圆 D 上，且圆 C 和圆 D 有交点．则 |2 ﹣1| ≤≤|2+1| ．由 5a2﹣12a+8≥0，得 a∈ R．由 5a2﹣12a≤0得 0≤a≤．因此圆心 C 的横坐标的取值范围为[0， ]．点：本主要考了直与的方程的用．考了学生的剖析推理和基本的运算能力．20．（ 10 分）已知C：+=1（ a＞ b＞0）的离心率，其短的一个端点到它的左焦点距离2，直 l ： y=kx 与 C交于 M，N 两点， P C上异于 M， N 的点．（Ⅰ）求 C 的方程；（Ⅱ）若直 PM， PN的斜率都存在，判断 PM，PN的斜率之能否定？假如，求出此定，若不是，明原因；（Ⅲ）求△ PMN面的最大．考点：的性．：合；曲的定、性与方程．剖析：（Ⅰ）由已知，= ，且 a=2，因此 c=1， b=，即可求 C 的方程；（Ⅱ）若直PM， PN的斜率都存在，利用点差法，即可得出PM， PN的斜率之是定；（Ⅲ）求出点P 到直 l ： y=kx 的距离最大， |MN| ，即可求△ PMN面的最大．解答：解：（Ⅰ）由已知，= ，且 a=2，因此 c=1， b=．因此C的方程．⋯（3分）（Ⅱ）P（ x0， y0）， M（x1， y1）， n（ x1， y1），M， P 的坐代入方程，两式作差得=．因此，当PM， PN的斜率都存在，PM， PN的斜率之是定．⋯（6分）（Ⅲ）点P 作与平行且与的相切的直，切方程y=kx+t ，代入方程，得（3k2+4） x2+8ktx+4t 212=0．令△ =0，得 |t|=．⋯（8分），直y=kx+t 与直 l ：y=kx 的距离就是点P 到直 l ： y=kx 的距离最大．因此，点P 到直 l ： y=kx 的距离最大d=．又由 y=kx 与方程，解得|x 1|=．因此 |MN|=2|x 1|=．因此，△ PMN面的最大=2⋯（10分）评论：本题考察椭圆方程，考察直线与椭圆的地点关系，考察点差法的运用，考察学生剖析解决问题的能力，属于中档题．。
北京高二高中数学期末考试带答案解析
北京高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设命题：，则为（）A．B．C．D．2.直线在轴上的截距为（）A．B．C．D．3.双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．4.如图，函数在，两点间的平均变化率是()A．1B．C．2D．5.设点关于原点的对称点为，则等于（）A．B．C．D．6.若图中直线，，的斜率分别为，，，则()A．<<B．<<C．<<D．<<7.已知为椭圆上的一点，，分别为椭圆的上、下顶点，若△的面积为6，则满足条件的点的个数为（）A．0B．2C．4D．68.“”是“直线相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9.已知表示空间一条直线，，表示空间两个不重合的平面，有以下三个语句：①；②∥；③.以其中任意两个作为条件，另外一个作为结论，可以得到三个命题，其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．310.若圆关于直线和直线都对称，则的值为（）A．B．C．D．11.若函数在内单调递增，则的取值范围为()A．B．C．D．12.抛物线的准线与双曲线交于两点，点为抛物线的焦点，若△为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题1.曲线在点处的切线的斜率为 .2.若直线与直线互相垂直，则的值为 .3.已知，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，若△的周长为，则的值为 .4.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，则这个几何体的体积为 .5.若直线与圆相交于，两点，且(其中为原点)，则的值为 .6.已知椭圆：（）和椭圆：（）的离心率相同，且.给出如下三个结论：①椭圆和椭圆一定没有公共点；②；③其中所有正确结论的序号是________.三、解答题1.如图，矩形所在的平面与正方形所在的平面相互垂直，是的中点.（1）求证：∥平面；（2）求证：平面⊥平面.2.已知圆的圆心在直线上，且与轴交于两点,.（1）求圆的方程；（2）求过点的圆的切线方程.3.已知函数.（1）当时，的图象在点处的切线平行于直线，求的值；（2）当时，在点处有极值，为坐标原点，若三点共线，求的值.4.已知曲线：.（1）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；（2）设，过点的直线与曲线交于,两点，为坐标原点，若为直角，求直线的斜率.北京高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.设命题：，则为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】命题：为特称命题，它的否定应为：，故选A.【考点】全称命题与特称命题.2.直线在轴上的截距为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直线中令，则即，所以在轴上的截距为，故选C.【考点】截距的概念.3.双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为双曲线的方程为，故，所以该双曲线的渐近线方程为，故选D.【考点】双曲线的性质.4.如图，函数在，两点间的平均变化率是()A．1B．C．2D．【答案】B【解析】依题意可知，，所以函数在，两点间的平均变化率为,故选B.【考点】1.平均变化率的计算问题；2.函数的表示.5.设点关于原点的对称点为，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】关于原点对称的两个点的坐标之间横坐标、纵坐标、坚坐标的数都是相反数，故，所以，故选A.【考点】1.关于原点对称的两个点的坐标；2.空间中两点间的距离公式.6.若图中直线，，的斜率分别为，，，则()A．<<B．<<C．<<D．<<【答案】B【解析】由于的倾斜角都是锐角，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角，可得，而直线的倾斜角为钝角，所以，由此可得结论：，故选答案B.【考点】直线的倾斜角与斜率.7.已知为椭圆上的一点，，分别为椭圆的上、下顶点，若△的面积为6，则满足条件的点的个数为（）A．0B．2C．4D．6【答案】C【解析】依题意可知且，设点，则，所以，而，将代入，可求出四组解，，故选C.【考点】椭圆的标准方程与性质.8.“”是“直线相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即，化简得或，故“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件，选A.【考点】1.直线与圆的位置关系；2.充分条件与必要条件；3.点到直线的距离公式.9.已知表示空间一条直线，，表示空间两个不重合的平面，有以下三个语句：①；②∥；③.以其中任意两个作为条件，另外一个作为结论，可以得到三个命题，其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】命题①：若，则是正确的命题，如图（1）过直线作一个平面，，则由，结合线面平行的性质可知，因为，所以，而，所以由面面垂直的判定可得；命题②：若，则是错误的命题，如图（2），直线可能在平面内；命题③：若，则是错误的命题，如图（3），直线可能在内，如图（4），直线也可能与平行，综上可知，三个命题中只有一个命题是正确的，故选B.【考点】1.线面平行的性质；2.面面垂直的判定；3.命题真假的判断.10.若圆关于直线和直线都对称，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由圆的方程可得圆心的坐标为，又圆关于直线对称，所以直线都经过圆的圆心，所以，解得，所以，故选D.【考点】1.圆的方程；2.直线与圆的位置关系.11.若函数在内单调递增，则的取值范围为()A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，由函数在上单调递增，可知在恒成立，即在恒成立，而在上单调递减，所以，故选A.【考点】1.导数在单调性上的应用；2.不等式的恒成立问题.12.抛物线的准线与双曲线交于两点，点为抛物线的焦点，若△为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先根据抛物线方程求得准线方程，代入双曲线方程求得，根据双曲线的对称性可知为等腰直角三角形，进而可求得或的纵坐标为，进而求得，利用和的关系求得，则双曲线的离心率可得. 解：依题意知抛物线的准线方程为，代入双曲线的方程得，不妨设，设准线与轴的交点为，∵是直角三角形，所以根据双曲线的对称性可知，为等腰直角三角形，所以即，解得，∴，所以离心率为，选D.【考点】双曲线的性质.二、填空题1.曲线在点处的切线的斜率为 .【答案】【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率为1.【考点】导数的几何意义.2.若直线与直线互相垂直，则的值为 .【答案】【解析】由两直线垂直的充要条件是，得，解得.【考点】两直线垂直的条件.3.已知，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，若△的周长为，则的值为 .【答案】【解析】由椭圆的方程，可知即，此时，而的周长等于，所以，所以即.【考点】椭圆的定义及其标准方程.4.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，则这个几何体的体积为 .【答案】【解析】由三视图可知，该几何体是四棱锥，底面为正方形，有一条棱垂直于底面（如下图），根据正视图和侧视图均是腰长为4的等腰直角三角形，知，底面边长为4，几何体的高为4，所以，它的体积为.【考点】1.三视图；2.空间几何体的体积计算.5.若直线与圆相交于，两点，且(其中为原点)，则的值为 .【答案】或【解析】设点为弦的中点，连接，则由圆的知识可知且，而圆的半径为，所以，另一方面原点到直线的距离为，所以，解得.【考点】1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离公式.6.已知椭圆：（）和椭圆：（）的离心率相同，且.给出如下三个结论：①椭圆和椭圆一定没有公共点；②；③其中所有正确结论的序号是________.【答案】①②【解析】设椭圆、的离心率分别为、，则依题意有即，所以，所以即，从而有，所以②正确；假设两椭圆有公共点，则方程组有解，两式相减可得，一方面由与可得，所以，从而，即不存在使得成立，所以假设不成立，故①正确；由与可得即，也就是，故③错误，综上可知，正确结论的序号是①②.【考点】椭圆的标准方程及其性质.三、解答题1.如图，矩形所在的平面与正方形所在的平面相互垂直，是的中点.（1）求证：∥平面；（2）求证：平面⊥平面.【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】（1）要证线面平行，只须在平面内找到一条直线与这条直线平行，对本小题来说，连接交于点，由三角形的中位线定理可证得，问题得证；（2）要证面面垂直，只要在其中一个平面内找到一条直线与另一个平面垂直即可，由四边形为正方形且为对角线的中点，所以有，故可考虑证明平面，故需要在平面内再找一条直线与垂直即可，由平面平面，交线为且，从而平面，可得，从而问题得证.试题解析：（1）连接交于,连接在三角形中，，分别为和的中点所以∥． 2分又平面，平面所以∥平面 4分（2）因为矩形所在的平面与正方形所在的平面相互垂直平面平面=，，所以又，所以 6分又因为，是的中点，所以又，所以 7分由，所以平面⊥平面 8分.【考点】1.线面平行的证明；2.面面垂直的判定与性质.2.已知圆的圆心在直线上，且与轴交于两点,.（1）求圆的方程；（2）求过点的圆的切线方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先联立直线的中垂线方程与直线方程，求出交点的坐标即圆心的坐标，然后再计算出，最后就可写出圆的标准方程；（2）求过点的圆的切线方程问题，先判断点在圆上还是在圆外，若点在圆上，则所求直线的斜率为，由点斜式即可写出切线的方程，若点在圆外，则可设切线方程为（此时注意验证斜率不存在的情形），然后由圆心到切线的距离等于半径，求出即可求出切线的方程.试题解析：（1）因为圆与轴交于两点,,所以圆心在直线上由得即圆心的坐标为 2分半径所以圆的方程为 4分（2）由坐标可知点在圆上，由，可知切线的斜率为 6分故过点的圆的切线方程为 8分.【考点】1.圆的方程；2.直线与圆的位置关系.3.已知函数.（1）当时，的图象在点处的切线平行于直线，求的值；（2）当时，在点处有极值，为坐标原点，若三点共线，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）本小题考查导数在切线上的应用问题，根据所给的切点及切线所平行的直线方程，可得，从中求解关于的方程组即可；（2）将所给的代入得，通过求导，先求出函数的极值，写出极值点，然后根据三点共线，利用，即可计算出的值.试题解析：（1）当时，所以 2分依题意可得,即解得 5分（2）当时，所以 7分令，解得，当变化时，变化情况如下表：00所以当时，；当时，不妨设 8分因为三点共线，所以即，解得故所求值为 9分.【考点】1.导数的几何意义；2.函数的极值与导数；3.三点共线的条件.4.已知曲线：.（1）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；（2）设，过点的直线与曲线交于,两点，为坐标原点，若为直角，求直线的斜率.【答案】（1）；（2）的值为.【解析】（1）曲线是焦点在轴上的椭圆，则求解不等式组即可得到参数的取值范围；（2）设的方程为（注意检验斜率不存在的情况是否符合要求），再设出两点的坐标，当，由即与联立可求解出点的坐标，然后再代入直线方程，即可求出的值.试题解析：（1）若曲线：是焦点在轴上的椭圆，则有解得 3分（2）时，曲线的方程为，为椭圆由题意知，点的直线的斜率存在，所以设的方程为由消去得 5分，当时，解得设两点的坐标分别为因为为直角，所以，即整理得① 7分又,②将①代入②，消去得解得或（舍去）将代入①，得，所以故所求的值为 9分.【考点】1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.两直线垂直的条件.。
2022-2023学年北京市朝阳区高二上学期数学期末试题(解析版)
2022-2023学年北京市朝阳区高二上学期数学期末试题一、单选题1．已知为等差数列，，则（ ） {}n a 54a =46a a +=A ．4 B ．6C ．8D ．10【答案】C【分析】由等差数列性质，，求出式子的值. 4652a a a +=【详解】因为是等差数列，所以. {}n a 4652248a a a +==⨯=故选：C.2．已知点到直线的距离为，则等于（ ） (,2)(0)a a >:30l x y -+=1aA B ．CD211【答案】C【分析】根据点到直线得距离公式即可得出答案.【详解】． 1=解得， 1a =-+1a =-0a > 1a ∴=-故选：C.3．设函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） ()ln f x x x =+()y f x =(1,(1))f A ． B ． C ． D ．10x y --=210x y --=20x y --=220x y --=【答案】B【分析】利用导数的几何意义求在处切线的斜率，进而即可得切线方程. 1x =【详解】因为，所以，所以， ()ln f x x x =+1()1f x x'=+(1)2f '=即在处切线方程的斜率为，()y f x =1x =2又因为，所以切线方程为，整理得， (1)1f =12(1)y x -=-210x y --=故选：B4．已知F 是抛物线的焦点，点在抛物线C 上，则（ ） 2:4C y x =()03,P y ||PF =A ．B ．C ．3D ．41【答案】D【分析】根据抛物线的定义可得：，代入数据即可求解. 2P pPF x =+【详解】因为抛物线方程为，所以， 2:4C y x =12p=又因为点在抛物线C 上，由抛物线的定义可得：()03,P y ， 3142P pPF x =+=+=故选：.D 5．已知直线，直线，则“”是“”的（ ） 1:10l x ay ++=2:(2)310l a x y ++-=1a =12l l ∥A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据直线的平行的判定即可求解. 【详解】等价于， 12l l ∥11231a a =≠+-解得， 2230a a +-=所以， (3)(1)0a a +-=解得或，3a =-1a =当时，，，此时重合， 3a =-1:310l x y -+=2:310l x y -+-=12,l l 故“”是“”的充分必要条件. 1a =12l l ∥故选：C.6．如图，在四面体中，是的中点，设，，，则（ ）OABC G BC OA a = OB b = OC c = =AGA ．B ．C ．D ．1122a b c -- 1122a b c -++12a b c -++12a b c -- 【答案】B【分析】根据三角形法则先求得向量、，进而求得．ABAC AG 【详解】解：， AC OC OA c a =-=-，AB OB OA b a =-=- ．()()111122222AG AC AB a b c a b c ∴=+=-++=-++ 故选：B ．7．已知函数有两个极值点，则（ ） 32()1(R)f x x ax x a =+++∈()1212,x x x x <A ．B ．是的极小值点C ．D ．a <a >1x ()f x 1213x x +=1213x x =-【答案】A【分析】根据函数有两个极值点， 32()1(R)f x x ax x a =+++∈则导数为有两个根,由单调性及根与系数的关系等逐个判断即可.0【详解】因为函数有两个极值点， 32()1(R)f x x ax x a =+++∈()1212,x x x x <所以有两个根, 2()321=0f x x ax '=++()1212,x x x x <所以,,故选项错误; 122+=3ax x 121=3x x CD 因为有两个根,2()321=0f x x ax '=++()1212,x x x x <所以,即得,解得故选项正确; ()2=24310a ∆-⨯⨯>230a ->a <a >A 因为有两个根,2()321=0f x x ax '=++()1212,x x x x <在上单调递增,在上单调递减,所以是的极大值点,故选项错误;()f x ()1,x -∞()12,x x 1x ()f x B 故选: A.8．在平面直角坐标系中，设是双曲线的两个焦点，点在上，且xOy 12,F F 22:12y C x -=M C ，则的面积为（ ）120MF MF ⋅=12F F M △A B ．2 C D ．4【答案】B【分析】利用双曲线的几何性质求解即可.【详解】因为点在上，是双曲线的两个焦点, M C 12,F F 由双曲线的对称性不妨设，12MF MF >则①， 1222MF MF a -==122F F c ===因为，所以，120MF MF ⋅=12MF MF ⊥由勾股定理得②， 222121212MF MF F F +==①②， 11所以， 1212122F F M S MF MF == 故选：B9．如图，平面平面，，A ，B 是直线l 上的两点，C ，D 是平面内的两点，且α⊥βl αβ= β，，，，，若平面内的动点P 满足，则四棱DA l ⊥CB l ⊥4DA =6AB =8CB =αAPD BPC ∠=∠锥的体积的最大值为（ ）P ABCD -A ．24B ．C ．48D ．【答案】C【分析】根据已知可得，则当四棱锥的高最大，即的高最大即可.根据面面垂36ADCB S =h PAB PE 直的性质得出线线垂直关系结合，可得.设，，在APD BPC ∠=∠2BP AP =APB θ∠=AP m =APB △根据余弦定理结合面积公式得出由三边关系得到，即可得到h =26m <<4h ≤，代入体积公式即可求出结果.【详解】在平面内，由，，可得.βDA l ⊥CB l ⊥//DA BC 又，，所以四边形为直角梯形，.4DA =8CB =ADCB ()()114863622ADCB S AD BC AB =⨯+⨯=⨯+⨯=要使四棱锥的体积的最大值，则只要四棱锥的高最大即可.P ABCD -h 因为平面平面，，过点向作垂线交于，根据面面垂直的性质可得，α⊥βl αβ= P l l E PE α⊥，则.PE h =又是的高，且由，可知，，， PE PAB DA l ⊥CB l ⊥DA α⊥CB α⊥又，，所以，.AP α⊂PB β⊂DA AP ⊥BC PB ⊥在中，.在中，.Rt PAD △tan AD APD AP∠=Rt PBC tan BCBPC BP ∠=又，所以，所以，即. APD BPC ∠=∠AD BCAP BP =4182AP AD BP BC ===2BP AP =设，，在中，由余弦定理可得. APB θ∠=AP m =APB △22222536cos 24AP BP AB m AP BP m θ+--==⋅因为，所以sin 0θ>sinθ===则，又，1sin 2PAB S PA PB θ=⋅V 132PAB S AB h h =⋅=V 所以，h =根据三角形三边关系可得，即，66PA PB ABPA PB AB +>=⎧⎨-<=⎩366m m >⎧⎨<⎩所以，. 26m <<2436m <<所以，当时，. 220m =h =4=又四棱锥的体积为，P ABCD -113644833ADCB V S h =⨯⋅≤⨯⨯=所以，四棱锥的体积的最大值为48. P ABCD -故选：C.10．斐波那契数列在很多领域都有广泛应用，它是由如下递推公式给出的：{}()N n F n *∈121F F ==，当时，．若，则（ ）2n >12n n n F F F --=+2222123100m mF F F F F F ++++= m =A ．98 B ．99C ．100D ．101【答案】B【分析】根据题意推出,再利用累加法化简即可求出的值.21111()m m m m m m m m F F F F F F F F +-+-=-=-m【详解】由题意得，，因为,，2121F F F =3,N n n *≥∈12n n n F F F --=-所以，222312321()F F F F F F F F =-=-，233423432()F F F F F F F F =-=-，L ，21111()m m m m m m m m F F F F F F F F +-+-=-=-累加得，222121m m m F F F F F ++++= 因为，所以22221231100m m m m mF F F F F F F F F +++++== 1100m F F +=当,,是递增数列. 2,N n n *≥∈121n n n n F F F F ---=+>{}n F 所以，所以. 1100m +=99m =故选：.B二、填空题11．函数的导函数______. ()x f x xe =()f x '=【答案】(1)x x e +⋅【分析】利用乘积导数运算法则，即可得到结果. 【详解】∵，()x f x xe =∴.()()1x x xf x e xe x e '=+=+故答案为：.(1)x x e +⋅12．已知平面的法向量为，直线l 的方向向量为，且，则实数α(1,2,2)n =-(2,,4)u m =- l α⊥m =_________． 【答案】4-【分析】根据直线与平面垂直可得直线l 的方向向量与平面的法向量平行，利用两向量平行的充α要条件即可求解.【详解】因为平面的法向量为，直线l 的方向向量为，且，所以α(1,2,2)n =-(2,,4)u m =- l α⊥，则存在实数使得，//n u λu n λ=也即，解得：，， (2,,4)(,2,2)m λλλ-=-2λ=-4m =-故答案为：.4-13．过圆的圆心且与直线平行的直线的方程是__． 22:(1)1C x y ++=0x y -=【答案】10x y -+=【分析】设出与直线平行的直线，将圆心代入即可. 0x y -=【详解】由的圆心为， 22:(1)1C x y ++=()1,0-设与直线平行的直线为：0x y -=，0x y a -+=因为过圆心， 0x y a -+=()1,0-所以， 1001a a --+=⇒=故所求直线为：， 10x y -+=故答案为：.10x y -+=14．已知是首项为负数，公比为q 的等比数列，若对任意的正整数n ，恒成立，{}n a 21220n n a a -+>则q 的值可以是____________________．（只需写出一个） 【答案】-3（答案不唯一，即可） 2q <-【分析】根据已知可推出恒成立，进而得到，.()22120n a qq -+>20q +<2q <-【详解】由可得，恒成立， 21220n n a a -+>()222122111220n n n a qa q a q q ---+=+>因为，显然有， 0q ≠()22210n n q q --=>又，所以，. 10a <20q +<2q <-故答案为：-3.15．数学家笛卡儿研究了许多优美的曲线，如笛卡儿叶形线在平面直角坐标系中的方程为D xOy ．当时，给出下列四个结论：3330x y axy +-=1a =①曲线不经过第三象限； D ②曲线关于直线轴对称；D y x =③对任意，曲线与直线一定有公共点； R k ∈D y x k =-+④对任意，曲线与直线一定有公共点． R k ∈D y k =其中所有正确结论的序号是________________． 【答案】①②④【分析】当时，判断是否成；点(y ，x )代入方程，判断与原方程是否相同； ,0x y <3330x y xy +-=联立直线和曲线方程，判断方程组是否有解分别逐一判断选项即可. 【详解】当时, 方程为1a =3330x y xy +-=当时，，故第三象限内的点不可能在曲线上，①正确； ,0x y <3330x y xy +-<将点代入曲线方程得，故曲线关于直线对称，②正确；(),y x 3330x y xy +-=y x =当,联立其中，1k =-3330,1,x y xy x y ⎧+-=⎨+=-⎩()()3322330x y xy x y x y xy xy +-=++--=将代入得，即，则方程组无解， 1x y +=-2()0x y -+=0x y +=故曲线与直线无公共点，③错误;D 1x y +=-联立可得有解,3330,x y xy y k⎧+-=⎨=⎩3330x k xk +-=设, ,()333t x x k xk =+-()(2333t x x k x x '=-=当时, 在单调递增, 单调递减,值域为所以成立,0k >()t x (),,-∞+∞(R ()0t x =当时成立.0k =()00t =当时, ,单调递增,0k <()2330t x x k '=->()t x ,所以成立,()()33233230,30t k k k k t k k k k -=-++>=+-<()()00,,0x k k t x ∃∈-=所以曲线与直线一定有公共点 D y k =故④选项正确. 故答案为：①②④.三、双空题16．设点分别为椭圆的左、右焦点，则椭圆C 的离心率为______________；经过12,F F 22:12x C y +=原点且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，当四边形的面积最大时，12PFQF 12PF PF ⋅=_____________．【答案】； . 0【分析】根据已知求出的值，即可得到离心率；根据对称性可得，，,,a b c 1212022PF QF PF F S S y ==所以为短轴顶点.写出的坐标，即可得到结果. ,P Q 12,,P F F【详解】由已知可得，，所以，则离心率a =1b =1c =c e a ==根据椭圆的对称性可得，点关于原点对称，设，. ,P Q ()00,P x y ()00,Q x y --且， 1212120012222PF QF PF F S S F F y y ==⨯= 当最大时，面积最大，则此时为短轴顶点.0y ,P Q 不妨设.，，所以，， ()0,1P ()11,0F -()21,0F ()11,1PF =-- ()21,1PF =-所以. ()()1211110PF PF ⋅=-⨯+-⨯-=；. 0四、解答题 17．设函数． 321()313f x x x x =--+(1)求的单调区间；()f x (2)当时，求的最大值与最小值．[0,4]x ∈()f x 【答案】(1)单调递增区间是,，单调递减区间是 (],1-∞-[)3,+∞()1,3-(2)最大值,最小值 ()01f =()38f =-【分析】（1）利用导数和函数单调性的关系，求函数的单调区间； （2）利用函数的单调性，列表求函数的最值.【详解】（1），()()()22313f x x x x x '=--=+-当，解得：或，所以函数的单调递增区间是,， ()0f x '≥3x ≥1x ≤-(],1-∞-[)3,+∞当，解得：，所以函数的单调递减区间是， ()0f x '<13x -<<()1,3-所以函数的单调递增区间是,，单调递减区间是； (],1-∞-[)3,+∞()1,3-（2）由（1）可得下表x()0,33()3,4 4()f x '- 0 +()f x1单调递减8-单调递增173-所以函数的最大值是，函数的最小值是()01f =()38f =-18．已知是等差数列，其前n 项和为．{}n a ()15,1,9n S n a a *∈==N (1)求数列的通项公式及；{}n a n S (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求数列的前n 项和．{}n b n T 条件①：；2n an b =条件②：；2nn n b a =+条件③：．11n n n b a a +=⋅注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)，21n a n =-2n S n =(2)若选①：；21223n n T +-=若选②：；1222n n T n +=-+若选③： 21n nT n =+【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式即可求解；（2）根据等比数列求和公式、分组求和方法、乘公比错位相减法即可分别求解. 【详解】（1）设数列{a n }的公差为.d ，151,9a a ==，514918d a a =-=-=，2d =11,a =所以，1(1)221n a n n =+-⨯=-所以. ()122n n a a n S n +==（2）若选①：，2122n a n n b -==； 12113521122(14)22...222 (2)143n n n n n T b b b +---=+++=++++==-若选②：， 221n n b n =+-()()11212121212(12)...(22...2)135...2122122n nn n n n n T b b b n n +⎡⎤+--⎣⎦⎡⎤=+++=++++++++-=+=-+⎣⎦-.若选③：， ()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭ 1211111111111......2133557792121n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1112121n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦ 12221n n ⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦. 21n n =+19．如图，在四棱锥中，平面平面，，，P ABCD -PAB ⊥ABCD //AD BC π2ABC ∠=3PA PB ==，，，，点O 是的中点． 1BC =2AB =3AD =AB(1)求证：；PO CD ⊥(2)求二面角的余弦值；A PO D --(3)在棱上是否存在点M ，使得平面?若存在，求的值；若不存在，说明理由． PC //BM POD CM CP 【答案】(1)证明过程见解析；； (3)存在，. 14CM CP =【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合面面垂直的性质、线面垂直的性质进行证明即可；（2）根据（1）的结论建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；（3）根据线面平行的性质，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】（1）因为，点O 是的中点，PA PB =AB 所以，因为平面平面，平面平面，PO AB ⊥PAB ⊥ABCD PAB ⋂ABCD AB =所以平面，而平面，PO ⊥ABCD CD ⊂ABCD 所以；PO CD ⊥（2）设为的中点，连接，E CD OE 因为，，所以，由（1）可知：平面，而平面//AD BC π2ABC ∠=OE AB ⊥PO ⊥ABCD ,AB OE ⊂，所以，ABCD ,PO OE PO AB ⊥⊥因此建立如图所示的空间直角坐标系，，(0,0,(0,0,0),(1,0,0),(1,3,0),(1,1,0),(1,0,0),P O A D C B --因为平面平面，平面平面，，PAB ⊥ABCD PAB ⋂ABCD AB =OE AB ⊥所以平面，因此平面的法向量为，OE ⊥PAO APO (0,1,0)OE = 设平面的法向量为，，DPO (,,)n x y z =(0,0,(1,3,0)OP OD ==- 于是有，00(3,1,0)300n OP n x y z n OD ⎧⎧⋅==⎪⎪⇒⇒=⎨⎨-++=⎪⋅=⎪⎩⎩二面角A PO D --（3）假设在棱上存在点M ，使得平面，且，可得：PC //BM POD ([0,1])CM CP λλ=∈ ，因此，(1,1,)M λλ--(,1,)BM λλ=-- 由（2）可知平面的法向量为，DPO (3,1,0)n =因为平面，所以， //BM POD 10310[0,1]4BM n BM n λλλ⊥⇒⋅=⇒-+-=⇒=∈ 因此假设成立，. 14CM CP =20．已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆C 上． 2222:1(0)x y C a b a b +=>>P ⎛ ⎝(1)求椭圆C 的方程；(2)过点的直线l 椭圆C 交于两点，且．问：x 轴上是否存在点N (4,0)M ()()1122,,,A x y B x y 120y y ≠使得直线，直线与y 轴围成的三角形始终是底边在y 轴上的等腰三角形？若存在，求点N NA NB 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1) 2214x y +=(2)存在，()1,0N【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解；（2）转化为0后，根据直线与椭圆联立即可求NA NB k k +=解.【详解】（1）因为 ,1224PF PF a +==解得 2.a =所以点 在椭圆 上.P ⎛ ⎝C将 代入 , 得 . ⎛ ⎝22221x y a b +=221314a b +=.1b =从而 .24a =. 22:14x C y +=（2）显然直线 的斜率存在且不为 0 , 设直线的方程为 .l l ()4y k x =-设 .()()1122,,,A x y B x y 假设存在点 ,(),0N t 因为直线 与 轴围成的三角形始终为底边在轴上的等腰三角形，,NA NB y y 0，NA NB k k +=即 , ()()()()()()12121212121212442480NA NB k x k x x x t x x t y y k k k x t x t x t x t x t x t ---++++=+=+=⋅=------即 .()()12122480x x t x x t -+++=由 ()224,14y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去 并整理, 得 .y ()222214326440k x k x k +-+-=由 ,()()()2222324146440k k k ∆=--+->求得 , 21012k <<则 . 2212122232644,1414k k x x x x k k -+==++所以 , ()22226443224801414k k t t k k-⨯-+⨯+=++解得 .1t =于是在 轴上存在定点 , 使得直线 与 轴围成的三角形始终为底边在 轴上x ()1,0N ,NA NB y y 的等腰三角形.21．在无穷数列中，．{}n a 12211,,N n n n a a a a a n *++===-∈(1)求与的值； 41a a 74a a (2)证明：数列中有无穷多项不为0；{}n a (3)证明：数列中的所有项都不为0． {}n a【答案】(1)，411a a =741a a =(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用递推公式求的值即可；47,a a （2）假设数列中有限个项不为0，然后推出与题意矛盾即可求证；{}n a （3）由（2）可得在无穷处能找到一个，利用递推公式可得数列呈周期变化，0n a ≠{}n a ，令即可证明.369123,,,,,0n n n n n k a a a a a +++++⋅⋅⋅≠*(N )k ∈31,2,3n k -=【详解】（1）由可得，12211,,N n n n a a a a a n *++===-∈，，321a a =-4322a a a =-=5433a a a =-=-，，651a a =-7654a a a =-=所以，. 411a a -741a a ==（2）假设数列中有限个项不为0，{}n a 则会存在一个数，当时，，m n m ≥0n a =则，10,0m m a a +==由可得； 11m m m a a a +-=-10m a -=由可得12m m m a a a --=-20m a -=⋅⋅⋅由可得，与题意矛盾，故假设不成立，321a a a =-10a =所以数列中有无穷多项不为0 {}n a （3）由（2）可得在无穷处能找到一个，0n a ≠因为，所以，12n n n a a a --=-12n n a a --≠所以由可得，123n n n a a a ---=-30n a -≠同理可得，69123,,,,0n n n n k a a a a ----⋅⋅⋅≠(30,N)n k k ->∈当即时，因为，且，所以数列所有项都不为0，31n k -=13n k =+N k ∈10a ≠31{}k a +当即时，因为，且，所以数列所有项都不为0，32n k -=23n k =+N k ∈20a ≠32{}k a +当即时，因为，且，所以数列所有项都不为0，33n k -=33n k =+N k ∈30a ≠33{}k a +综上可得数列中的所有项都不为0．{}n a 【点睛】关键点睛：第（3）问一开始用到了第（2）问的结论，关键是利用递推数列能得到数列的周期变化，考查分析问题与解决问题的能力.。
高中数学选择性必修二 高二数学上学期期末测试卷01()(含答案)
2021-2022学年上学期期末卷01高二数学·全解全析【解析由214y x =化为24x y =，抛物线焦点在y 轴正半轴，且2p =， 则准线方程为1y =-. 故选：A .2.【答案】D【解析】当4k =时，直线1l 的斜率不存在，直线2l 的斜率存在，两直线不平行；当4k ≠时，两直线平行的一个必要条件是334kk k-=--，解得3k =或5k =，但必须满足截距不相等，经检验知3k =或5k =时两直线的截距都不相等. 故选：D . 3.【答案】C【解析】联立2010x y x y -=⎧⎨--=⎩得12x y =-⎧⎨=-⎩. 把12x y =-⎧⎨=-⎩代入280x ky ++=得3k =.故选：C4.【答案】B【解析】①当0b =时，a 与c 不一定共线，故①错误；②当a ，b ，c 共面时，它们所在的直线平行于同一平面，或在同一平面内， 故②错误；由空间向量基本定理知③正确；④当a ，b 不共线且c a b λμ=+时，a ，b ，c 共面，故④错误． 故选：B ． 5.【答案】B【解析】在等差数列{}n a 中573a a =，所以7723a d a -=，所以()72+0a d =，即80a =， 又等差数列{}n a 中10a >，公差0d <，所以等差数列{}n a 是单调递减数列，所以1278910...0...a a a a a a >>>>=>>，所以等差数列{}n a 的前n 项和为n S 取得最大值，则n 的值为7或8. 故选:B .6.【答案】D【解析】设该高阶等差数列的第8项为x ， 根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得341295y x y -=⎧⎨-=⎩，则14146x y =⎧⎨=⎩. 故选：D 7.【答案】B【解析】设P 为第一象限的交点，1||PF m =、2||PF n =， 则12m n a +=、22m n a -=，解得12m a a =+、12n a a =-，在12PF F ∆中，由余弦定理得：2221241cos 22m n mn F c F P +-∠==，∴2224m n mn c +-=，∴22212121212()()()()4a a a a a a a a c ++--+-=，∴2221234a a c +=，∴22122234a a c c+=，∴2221314e e +=，设112sin e α=，21e α，则12112sin )6e e πααα+==+，当3πα=时，1211e e +，此时1e =2e，12e e +=故选：B8.【答案】D【解析】在①中，∵1111AC B D ⊥，111A C BB ⊥，1111B D BB B ⋂=， 且111,B D BB ⊂平面11BB D ，∴11A C ⊥平面11BB D ，1BD ⊂平面11BB D ， ∴111AC BD ⊥， 同理，11DC BD ⊥， ∵1111AC DC C ⋂=，且111,A C DC ⊂平面11AC D ， ∴直线1BD ⊥平面11AC D ，正确； 在②中，∵11//A D B C ，1A D ⊂平面11AC D ，1B C ⊄平面11AC D ，∴1//B C 平面11AC D ，∵点P 在线段1B C 上运动，∴P 到平面11AC D 的距离为定值，又11A C D 的面积是定值， ∴三棱锥11P AC D -的体积为定值，正确； 在③中，∵11//A D B C ，∴异面直线AP 与1A D 所成角为直线AP 与直线1B C 的夹角. 易知1AB C 为等边三角形， 当P 为1B C 的中点时，1AP B C ⊥；当P 与点1B 或C 重合时，直线AP 与直线1B C 的夹角为3π.故异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，错误；在④中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则(),1,P a a ，()10,1,1C ，()1,1,0B ，()10,0,1D ， 所以()1,0,1C P a a =-，()11,1,1D B =-.由①正确：可知()11,1,1D B =-是平面11AC D 的一个法向量，∴直线1C P 与平面11AC D所成角的正弦值为：1111C P D B C P D Ba ⋅==⋅， ∴当12a =时，直线1C P 与平面11AC D ，正确. 故选：D9.【答案】CD【解析】对于A ：在平行六面体1111ABCD A B C D -中，有11B B BC BC +=，()11//B B BC A D ∴+，故A 错误；对于B ：111111A A A D A B A D A B BD +-=-=，1AB AD ==，60BAD ︒∠=，21BD =，又2111A B =，∴()22111111A A A D A BA B +-=，故B 错误；对于C ：11A B AD AB AD DB -=-=，()111AC A B AD ⋅-=()11()()()()AB AD AA AB AD AB AD AB AD AA AB AD ++⋅-=+⋅-+⋅-，由题知，1AB AD ==，12AA =，1145BAA DAA ∠=∠=︒，60BAD ∠=︒，所以，()221111AC A B AD AB AD AA ⋅-=-+10AB AA AD ⋅-⋅=，故C 正确； 对于D：AC AB AD =+，111AC AC AA AB AD AA =+=++，21AC =()21AB AD AA ++222111||||222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅112211cos6021cos 45︒︒+⨯⨯⨯+⨯21cos 459︒+⨯=．所以13AC =．故D 正确，故选：CD． 10.【答案】ABC【解析】由圆22:4O x y +=可得圆心()0,0O ，半径2r ，对于A ：因为2PQ OP OQ ===，所以POQ △是边长为2的等边三角形， 若PQ 中点为M ，则OM PQ ⊥，且OM =所以点M 的轨迹是以()0,0O所以点M 的轨迹方程为223x y +=，故选项A 正确；对于B ：设()00,P x y ，BP 中点为(),x y ，则00222x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以00222x x y y =-⎧⎨=⎩，因为()00,P x y 在圆22:4O x y +=上，所以22004x y +=，所以()()222224x y -+=，所以()2211x y -+=即BP 中点轨迹方程为()2211x y -+=，故选项B 正确； 对于C ：设()00,P x y ，CP 的中点(),x y ，则00322x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以00232x x y y =-⎧⎨=⎩，因为()00,P x y 在圆22:4O x y +=上，所以22004x y +=，所以()()222324x y -+=，即22312x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以CP 的中点轨迹方程为22312x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故选项C 正确；对于D ：设AP 的中垂线与OP 的交点为M ，由垂直平分线的性质可得MA MP =，所以21MO MA MO MP OP OA +=+==>=，所以点M 的轨迹是以O ，A 为焦点，长轴长为2的椭圆，故选项D 不正确； 故选：ABC .11.【答案】ACD 【解析】对于选项A ，令2y t x+=，则2y tx =-， 因为点(),P x y 在圆22:(1)(1)2C x y -+-=上，所以直线2y tx =-与圆22:(1)(1)2C x y -+-=有交点，因此圆心到直线的距离d =≤7k ≤-或1k ，故A 正确； 对于选项B ，由10kx y k ---=，得()()110k x y --+=，因此直线10kx y k ---=过定点()1,1P -，因为213312PM k +==-，111312PN k +==---，且313-<<，所以12k ≤-或32k ≥，故B 错误；对于选项C ，圆222(0)x y r r +=>的圆心直线l的距离2d =因为点(),P a b 是圆222(0)x y r r +=>外一点，所以222a b r +>，因此2d r =<，即直线与圆相交，故C 正确；对于选项D ，到点()1,0N 的距离为1点在圆()2211x y -+=上， 由题意可知，圆()2211x y -+=与圆222:(4)(4)(0)M x y r r -+-=>相交， 故圆心距5d MN ==，且11r d r -<<+，解得46r <<，故D 正确. 故选：ACD .12.【答案】BCD【解析】22:21n n C x y a n +=++的圆心为()0,0，半径为r =所以圆心到直线:n l y x =d ==则()()2224421n n n A B r d a =-=+，所以121n n a a +=+，则()1121n n a a ++=+所以()111122n n n a a -+=+=，得21n n a =- ，故A 错，B 正确；前n 项和为()12122212n n n S n n +-=-=---，故C 正确；由()()11111111122111221212121212121ii n nnni i n n i i i i i i i a a +++++===+-⎛⎫==-=-= ⎪------⎝⎭∑∑∑，故D 正确． 故选：BCD13.【答案】1【解析】圆C ：()()22211x k y k -++-=的圆心为()21,k k -因为圆C 与x 轴和y 轴均相切，所以211k k -== 解得1k = 故答案为：114.【答案】14【解析】因为四面体ABCD 的每条棱长都等于1，点G 是棱CD 的中点，所以AG AC CG =+，且12CG =，1AC =，1BC =，所以()AC CG A BC AG BC BC BC C CG ⋅=⋅⋅+=+⋅ 111cos60cos120244AC BC G BC C ⋅=-⋅⋅+⋅==， 故答案为：1. 15.-【解析】如图，取1PF 的中点A ，连接OA ，12OA OF OP ∴=+，212OA F P =， ∴12OFOP F P +=，11()0PF OF OP +=，∴120PF F P =，∴12PF F P ⊥，12||2||PF PF =，不妨设2||PF m =，则1||PF ， 21||||2PF PF a m +==，1)ma ∴==，12||2F F c =，2222242334(3cm m m a∴=+==⨯-，∴2229c a=-=，e ∴=-16.【答案】20202021-【解析】由题意可知，对任意的n *∈N ，0n a >且22n n n S a a =+.当1n =时，则21112a a a =+，解得11a =.当2n ≥时，由22n n n S a a =+可得21112n n n S a a ---=+，上述两式作差得22112n n n n n a a a a a --=-+-，可得()()1110n n n n a a a a --+--=， 所以，11n n a a --=，所以，数列{}n a 是等差数列，且首项和公差均为1，则11n a n n =+-=，()12n n n S +=， 则()()()()211211111112nn n n n n a c n n n n n S +⎛⎫=+ ⎪++=--⎝+=⎭-， 因此，数列{}n c 的前2020项之和为202011111111202011223342020202120212021T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++++=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：20202021-. 17.【解析】（1）因为11n n n S S a +=++，所以11n n n S S a +-=+，即11n n a a +=+， 所以数列{}n a 是首项为1a ，公差为1的等差数列.选①.由4713a a +=，得113613a d a d +++=，即12139a d =-， 所以1213914a =-⨯=，解得12a =.所以()()112111n a a n d n n =+-=+-⨯=+， 即数列{}n a 的通项公式为1n a n =+.选②.由1a ，3a ，7a 成等比数列，得()()211126a d a a d +=+，则2221111446a a d d a a d ++=+，所以12a =.所以()()112111n a a n d n n =+-=+-⨯=+.选③.因为10111091010452S a d a d ⨯=+⨯=+， 所以11045165a +⨯=，所以12a =.所以()()112111n a a n d n n =+-=+-=+.（2）由题可知122n n na n +=，所以2323412222n n n T +=+++⋅⋅⋅+， 所以234112*********n n n n n T ++=+++⋅⋅⋅++，两式相减，得23411111111222222n n n n T ++=++++⋅⋅⋅+-2311111111112222222n n n -++⎛⎫=+⨯++++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭ 111111133212222212nn n n n ++-++=+⨯-=--， 所以332n n n T +=-.18.【解析】（1）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，则,,AB AD AP 两两垂直，以A 为原点，射线,,AB AD AP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：则(0,0,0)A ，()2,0,0B ，()0,0,4P ，()2,4,0C ，()0,4,0D ，连BD，则BD =BP =BD BP ，PBD △是等腰三角形，而M 是PD 上一点，且BM PD ⊥，于是得M 是PD 的中点，即()0,2,2M ， 因此，()2,4,0AC =，()0,2,2AM =，()2,0,0AB =，设平面ACM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则240220n AC x y n AM y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，令1z =，得()2,1,1n =-，所以点B 到平面ACM的距离为46AB n h n⋅===. （2）由(1)知，()2,2,2BM =-，()2,4,4PC =-，则4cos ,||||12BMPC BM PC BM PC ⋅-〈〉===所以异面直线BM 与PC 19.【解析】（1）证明：因为直线()():2129120l k x k y k ++-+-=，所以()()292120k x y x y -+++-=．令2902120x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得36x y =⎧⎨=⎩，所以不论k 取何值，直线l 必过定点()3,6P ．（2）由（1）知：直线l 经过圆C 内一定点()3,6P ，圆心()2,3C ， 设圆心C 到直线l 的距离为d ，则12ABCSAB d=== 因为(0,d∈，所以d =ABC 面积的最大值为4． 20.【解析】（1）证明：连接BO ，AB BC ==O 是AC 的中点，BO AC ∴⊥，且 2BO =， 又 2PA PC PB AC ====，,PO AC PO ∴⊥=222PB PO BO =+，则PO OB ⊥， OB AC O =，OB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，PO ∴⊥平面ABC, （2）解：建立以 O 为坐标原点，,,OB OC OP 分别为,,x y z 轴的空间直角坐标系如图所示，则()0,2,0A -，(0,0,P ，()0,2,0C ，()2,0,0B ，设(2,2,0)BM BC λλλ==-()01λ≤≤，则()()(2,2,0)2,2,022,22,0AM BM BA λλλλ=-=----=-+， 则平面PAC 的法向量为()1,0,0m =， 设平面MPA的法向量(,,),n x y z = 则(0,2,PA =-- 20,n PA y ⋅=--= ()()22220n AM xy λλ⋅=-++=，令1z =，则y =(11x λλ+=-，二面角M PA C --为30︒，∴3cos302m n m n︒⋅==⋅， 即31=+⨯13λ= 或 3λ=( 舍 )，设平面MPA 的法向量(23,n =，(0,2,PC =-， 设PC 与平面PAM 所成的角为θ，则|sin |cos ,|12PC n θ-=<>===+所以PC 与平面P AM21.【解析】（1）由题意，从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{}n a ，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{}n b ，∴{}n a 是以20(1+5%)为首项，1+5%为公比的等比数列；{}n b 是以6 1.57.5+=为首项，1.5为公差的等差数列，∴()2015%nn a =+，6 1.5n b n =+.（2）设今年起n 年内通过填埋方式处理的垃圾总量为n S ， ∴()()11n n n S a b a b =-++-()()1212n n a a a b b b =+++-+++()()220 1.0520 1.0520 1.057.596 1.5n n =⨯+⨯++⨯-++++()()()20 1.051 1.057.56 1.51 1.052n n n +⨯-=-++-2327420 1.0542044n n n =⨯---， 当5n =时，63.5n S ≈.∴今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.22.【解析】（1）12c e a ==，1AF a c =-=，∴2a =，1c =，2223b a c =-=，∴22143x y +=； （2）设()11,C x y ，()22,D x y ，则()11,B x y --，CF ：1x my =-联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ ∴()234690m y my +--=，∴122122934634y y m m y y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩()()()()()()22121211212212121212121121232321212y y x y my y my k x my y y y k y x y my y my my y y x ----+-=====+-+++-1221211229627333434343993434m m m y y m m m m my y m m -⎛⎫---+ ⎪++⎝⎭+===--++++。
北京高二高中数学期末考试带答案解析
北京高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知命题：，，那么下列结论正确的是（）A．，B．，C．，D．，2.“”是“＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.某学校准备调查高三年级学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机对24名同学进行调查；第二种由教务处对年级的240名学生编号，由001到240，请学号最后一位为3的同学参加调查，则这两种抽样方式依次为（）A．分层抽样,简单随机抽样B．简单随机抽样,分层抽样C．分层抽样,系统抽样D．简单随机抽样, 系统抽样4.椭圆的离心率为，则的值为（）A．2B．C．2或D．或45.双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．6.已知在区间上是单调增函数，则的最大值为（）A．1B．2C．3D．07.已知的导函数，若在处取得极大值，则的取值范围是（）A．B．C．D．8.．设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为（）A．3B．C．D．二、填空题1.将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图。
若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于 .2.某程序的框图如图所示，则执行该程序，输出的 .3.在区间上，随机地取一个数，则位于0到1之间的概率是____________.4.已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，若的面积为 .5.已知直线过点，且与抛物线交于、两点，则________．6.观察下列等式：K^S*5U.C#O①；②；③；④；⑤．可以推测，；．三、解答题1.．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为.（Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为，求的概率.2.已知函数；（1）求函数在点处的切线方程；（2）求函数在上的最大值和最小值．3.．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长为,离心率，过右焦点的直线交椭圆于，两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当直线的斜率为1时，求的面积；（Ⅲ）若以为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线的方程.4.已知函数．（1）求的单调区间；（2）若在处取得极值，直线y=m与的图像有三个不同的交点，求m的取值范围。
北京高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知，，则 （ ） (2,1,3)a =- (1,2,1)b =- a b ⋅=A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】D【分析】向量数量积的坐标运算，就可以得到结果.112212a b x y x y z z ⋅=++【详解】因为，，(2,1,3)a =- (1,2,1)b =- (2)(1)12317a b ∴⋅=-⨯-+⨯+⨯=故选：D2．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（ ） 2213x y m +=(10)-，m A ． B ． C ． D ．2456【答案】B【分析】根据题意得到得到答案. 314m =+=【详解】椭圆焦点在轴上，且，故. x 1c =314m =+=故选：B.3．等差数列的前项和为，若则等于 {}n a n n S 242,10,S S ==6S A ．12 B ．18 C ．24 D ．42【答案】C【分析】数列每2项构成的等差数列的公差为6，计算得到答案.【详解】第一个2项和为2，第二个2项和为8，则每2项构成的等差数列的公差为6， 第三个2项和为14，则， 6281424S =++=故选：C.【点睛】本题考查了等差数列和的性质，意在考查学生的计算能力和应用能力.4．在正方体中O 为面的中心，为面的中心.若E 为中点，1111ABCD A B C D -11AA B B 1O 1111D C B A CD 则异面直线与所成角的余弦值为（ ） AE 1OOA B C D 【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的余弦值. AE 1OO 【详解】设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系，2，()()()()12,0,0,0,1,0,2,1,1,1,1,2A E O O， ()()12,1,0,1,0,1AE OO =-=-设异面直线与所成角为，AE 1OO θ则. cos θ=故选：B5．数列中，，对所有的，，都有，则等于（ ）{}n a 11a =2n ≥*n ∈N 2123····n a a a a n ⋯=35a a +A ． B ．2592516C ．D ．61163115【答案】C【分析】分别令，代入递推关系式，即可求出，进而求出结果.2,3,4,5n =35,a a 【详解】当时，；当时，；2n =2122a a =3n =21233a a a =当时，；当时，；4n =212344a a a a =5n =2123455a a a a a =则，； 212331229=243a a a a a a ==21231245524325=4165a a a a a a a a a a ==所以. 356116a a +=故选：C.6．若直线与直线平行，则实数的值为()()222341m m x m m y m +-+-=-2350x y --=m （ ）A ．B ．1C ．1或D ．98-98-1-【答案】A【分析】根据两直线平行得到，解得，再代入检验.()()223232m m m m -=+--m【详解】解：因为直线与直线平行，()()222341m m x m m y m +-+-=-2350x y --=所以，解得或，()()223232m m m m -=+--1m =98m =-当时直线为，显然不成立，故舍去；1m =()()222341m m x m m y m +-+-=-03=当时直线为，符合题意； 98m =-()()222341m m x m m y m +-+-=-1021531164642x y -+=-故选：A7．设实数，满足 ） x y 4x y +=A B ．4C ．D ．8【答案】C【分析】上的点与点的距离，从而利用4x y +=()1,1-点到直线的距离公式即可求得最小距离.，==上的点与点的距离， 4x y +=()1,1-所以最小值为.d 故选：C.8．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所有被3除余2的正整数从小到大排列组成数列，所有被5除余3的正整数从小到大排列组成数列，把与的公共项从小{}n a {}n b {}n a {}n b 到大排列得到数列，则下列说法正确的是（ ） {}n c A ． B ．C ．D ．122a b c +=824b a c -=238b c =629a b c =【答案】C【分析】由等差数列的通项公式依次写出，再依次判断四个选项即可.,,n n n a b c 【详解】根据题意可知，数列是首项为2，公差为3的等差数列，所以{}n a ()23131n a n n =+-=-，数列是首项为3，公差为5的等差数列，所以，数列与的公共{}n b ()35152n b n n =+-=-{}n a {}n b 项从小到大排列得到数列，{}n c故数列是首项为8，公差为15的等差数列，． {}n c ()8151157n c n n =+-=-对于A ，，，，故错误； 12225210a b +=+⨯-=2152723c =⨯-=122a b c +≠对于B ，，，，故错误； 8258232133b a -=⨯--⨯+=4154753c =⨯-=824b a c -≠对于C ，，，，故正确；235232113b =⨯-=81587113c =⨯-=238b c =对于D ，，，，故错误． ()()62361522136a b =⨯-⨯⨯-=91597128c =⨯-=629a b c ≠故选：C ．二、多选题9．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）A ．若 ，则 或a b = a b = a b =- B ．若向量 是向量 的相反向量，则a ba b = C ．在正方体 中，1111ABCD A B C D -11AC AC =D ．若空间向量 ， ， 满足 ， ，则mn p m n = n p = m p = 【答案】BCD【分析】根据向量模长，相等向量，相反向量概念逐项判断真假.【详解】对于选项A ：若，即向量与的模相等，但方向不确定，故A 错误； a b = a b 对于选项B ：相反向量是指大小相等方向相反的两个向量，故B 正确；对于选项C ：在正方体中，与大小相等，方向相同，故，所以1111ABCD A B C D -AC 11A C11AC AC = C 正确；对于选项D ：若 ，，则方向相同大小相等，故，若中有零向量结论m n = n p = m p ，m p = ,m n p ，也正确，所以D 正确. 故选：BCD.10．已知曲线.（ ） 22:1C mx ny +=A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为 y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示0m n >>0m n =>0mn <双曲线，时表示两条直线.0,0m n =>【详解】对于A ，若，则可化为， 0m n >>221mx ny +=22111x y m n +=因为，所以， 0m n >>11m n<即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A 正确；C y 对于B ，若，则可化为， 0m n =>221mx ny +=221x y n+=此时曲线的圆，故B 不正确； C 对于C ，若，则可化为， 0mn <221mx ny +=22111x y m n +=此时曲线表示双曲线， C 由可得，故C 正确； 220mx ny +=y =对于D ，若，则可化为， 0,0m n =>221mx ny +=21y n=表示平行于轴的两条直线，故D 正确； y =C x 故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11．设首项为1的数列的前项和为，若，则下列结论正确的是{}n a n n s 121n n s s n +=+-*N n ∈（）（ ）A ．数列为等比数列{}n s n +B ．数列的通项公式为{}n a 121n n a -=-C ．数列为等比数列{}1n a +D ．数列的前n 项和为 {}2n s 2224n n n +---【答案】AD【分析】由条件找到可判断A 正确，由A 可求得的通项公式，利用分组1(1)2(),n n s n s n +++=+{}n s求和可得D 正确，由的通项公式可求得的通项公式，进而可确定CD 错误. {}n s {}n a 【详解】 121,n n s s n +=+- 1(1)2(),n n s n s n +∴++=+又1120,s +=≠数列是首项公比都为的等比数列，故选项A 正确.∴{}n s n +2又2nn s n +=1222,n n s n +∴=-所以数列的前和为，故选项D 正确.{}2n s n 2222(12)(1)224122n n n n n n +-+-⨯=----又因为，2nn s n +=2n n s n =-当，2n ≥1121,n n n n a s s --=-=-当，，1n =11a =故选项B 错误.11,121,2n n n a n -=⎧∴=⎨-≥⎩ 12,112,2n n n a n -=⎧+=⎨≥⎩32121111a a a a ++∴≠++所以数列不是等比数列.故选项C 错误.{}1n a +综上，故选：A D12的椭圆为“黄金椭圆”，如图，已知椭圆C ：，22221(0)x y a b a b +=>>，分别为左、右顶点，，分别为上、 下顶点，，分别为左、右焦点，为椭圆上1A 2A 1B 2B 1F 2F P 一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）CA ．B ．2112212A F A F F F ⋅=11290F B A ∠=︒C ．轴，且D ．四边形的内切圆过焦点1PF x ⊥21//PO A B 1221A B A B 12,F F【答案】BD【分析】确定正确答案.【详解】由椭圆，2222:1(0)x y C a b a b+=>>可得，，12(,0),(,0)A a A a -12(0,),(0,)B b B b -12(,0),(,0),F c F c -对于A ，，即，化简得，即， 2112212A F F A F F ⋅=22()(2)a c c -=2a c c -=13c e a ==不符合题意，故A 错误；对于B ，，则，即，11290F B A ︒∠=222211112||||||A F B F B A =+2222()()a c a ab +=++化简得，即有，220c ac a +-=210e e +-=解得（，符合题意，故B 正确；e =e =对于C ，轴，且，1PF x ⊥21//PO A B 由，解得， ()22221Pc y a b-+=2Pb y a =±不妨设，由，可得，2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭21PO A B k k=2b b a a c=--解得，又，所以，不符合题意，故C 错误； b c =222a b c =+c e a===对于D ，四边形的内切圆过焦点，，即四边形的内切圆的半径为c ， 1221A B A B 1F 2F 1221A B A B 则，即，ab =222b a c =-42310e e-+=解得即，符合题意，故D 正确； 2e =2e =e =故选：BD【点睛】本题的难点是在各种情况下求椭圆的离心率，主要的思路是求得的关系式，然后转化,a c 为.也即是找到的一个等量关系式（齐次式），通过转为后解方程来求得离心率. ca,a c e三、填空题13．设等差数列的前n 项和为，若，，则________. {}n a n S 23a =-510S =-5a =【答案】【分析】根据，求出，，再计算即可. 23a =-510S =-14a =-1d =5a 【详解】由题知：，解得：，. 113545102a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩14a =-1d =. 5440a =-+=故答案为：0【点睛】本题主要考查等差数列的性质和等差数列的前项和，同时考查了学生的计算能力，属于n 简单题.14．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为1F 2F C 22194x y +=M C 12MF MF ⋅________． 【答案】9【分析】根据椭圆的定义可得，结合基本不等式即可求得的最大值. 126MF MF +=12MF MF ⋅【详解】∵在椭圆上 M C ∴12236MF MF +=⨯=∴根据基本不等式可得，即，当且仅当126MF MF +=≥129MF MF ⋅≤时取等号.123MF MF ==故答案为：9.15．已知双曲线(a ＞0，b 0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________．22221x y a b-=>【答案】 y =【分析】根据离心率求得，即可求得渐近线方程. ba【详解】因为双曲线的离心率为2，则，解得22221xy a b -=2=b a =故双曲线的渐近线方程为. y =故答案为：.y =四、双空题16．点P 是直线上的动点，直线与圆分别相切于A ，B2100x y ++=,PA PB 22230C x y x +--=；两点，则当点 P 的坐标为___________时， 切线段 的长度最短；四边形面积的最小值PA PACB 为___________.【答案】1912,55⎛⎫- ⎝-⎪⎭【分析】，当最短时的长度最短，求出直线的方程与PC PA PA 联立可得解得坐标；P 由四边形，当最短时最小，可得的最小值.2A PACB PAC S S ==PC PACB S PACB S 【详解】由得圆心，半径圆， ()2214x y -+=()10，C 2R =所以当最短时的长度最短，PC PA 由圆心做直线的垂线，垂足为，此时最短， C 2100x y ++=P PC 所以直线的斜率为，方程为， PA 12()112y x =-由解得，即.()2012101y y x x ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩+195125x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪⎪⎩=-1912,55P -⎛⎫- ⎪⎝⎭四边形22A PACB PAC S S AC PA PA ==⨯==所以当最短时最小，由圆心到直线的距离为PC PACB S C 2100x y ++=，所以的最小值为. PACBS ==故答案为：. 1912,55⎛⎫- ⎝-⎪⎭五、解答题17．等比数列中，已知． {}n a 142,16a a ==（1）求数列的通项公式；{}n a （2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和． 35,a a {}n b {}n b n n S 【答案】(1) .2n n a =(2) .2622n S n n =-【详解】试题分析：（1）本题考察的是求等比数列的通项公式，由已知所给的条件建立等量关系可以分别求出首项和公比，代入等比数列的通项公式，即可得到所求答案．（2）由（1）可得等差数列的第3项和第5项，然后根据等差数列的性质可以求出等差数列{}n b 的通项，然后根据等差数列的求和公式，即可得到其前项和．{}n b n 试题解析：（Ⅰ）设的公比为由已知得，解得，所以{}n a q 3162q =2q =（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，则，38a =532a =38b =532b =设的公差为，则有解得 {}n b d 1128{432b d b d +=+=116{12b d =-=从而 1612(1)1228n b n n =-+-=-所以数列的前项和{}n b n 2(161228)6222n n n S n n -+-==-【解析】等差、等比数列的性质18．如图，若是双曲线的两个焦点. 12,F F221916x y -=（1）若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； （2）若P 是双曲线左支上的点，且，试求的面积.12|||3|2F PF P =⋅12F PF △【答案】（1）10或22；（2）.1216F PF S =△【分析】（1）利用双曲线的定义，根据动点到一个焦点的距离求动点到另一个焦点的距离即可； （2）先根据定义得到，两边平方求得，即证21||||6PF PF -=2212||||PF PF +，，再计算直角三角形面积即可.2221212||||||100PF PF F F +==1290F PF ∠=︒【详解】解：（1）是双曲线的两个焦点，则， 12,F F 221916x y -=3,4,5a b c ===点M 到它的一个焦点的距离等于16，设点到另一个焦点的距离为，M m 则由双曲线定义可知，，解得或，|16|26m a -==10m =22m =即点到另一个焦点的距离为或；M 1022（2）P 是双曲线左支上的点，则，21||||26PF PF a -==则，而，221221||2||||||36PF PF PF PF -⋅+=12|||3|2F PF P =⋅所以，2212||||36232100PF PF +=+⨯=即，2221212||||||100PF PF F F +==所以为直角三角形，，12F PF △1290F PF ∠=︒所以. 121211||||321622F PF S PF PF =⋅=⨯=A 19．如图，在四棱锥S ABCD 中，ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，BC ⊥CD ，平面SCD ⊥平面-ABCD ，△SCD 是以CD 为斜边的等腰直角三角形，BC ＝2AD ＝2CD ＝4，E 为BS 上一点，且BE ＝2ES ．(1)证明直线SD ∥平面ACE ；(2)求点E 到平面ACS 的距离．【答案】(1)答案见解析【分析】（1）连接交于点F ，由可得，再结合可得BD AC AD BC ∥2BF BC FD AD==2BE BF ES FD ==，再由线面平行的判定定理可证得结论； EF SD ∥（2）由题意可证得平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用BC ⊥SCD C xyz -ACS 点到平面的距离公式求解．【详解】（1）连接交于点F ，连接， BD AC EF 因为，所以与相似，所以， AD BC ∥AFD △CFB A 2BF BC FD AD ==又，所以， 2BE BF ES FD==EF SD ∥因为平面平面，EF ⊂,ACE SD ⊄ACE 所以直线平面SD A ACE （2）因为平面平面，平面平面平面，，所SCD ⊥ABCD SCD ,ABCD CD BC =⊂ABCD BC CD ⊥以平面，BC ⊥SCD 以C 为坐标原点，所在的方向分别为y 轴､z 轴的正方向，与均垂直的方向作为x 轴,CD CB,CD CB 的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，C xyz -因为， 224,2BC AD CD BE ES ====则， 224(0,0,0),(1,1,0),(0,2,2),,,333C S A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以， 224(0,2,2),(1,1,0),,,333CA CS CE ⎛⎫=== ⎪⎝⎭设平面的一个法向量为，则，即， ACS (,,)m x y z = 00m CA m CS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00y z x y +=⎧⎨+=⎩令，得，于是，1z =1,1x y ==-(1,1,1)m =- 则点E 到平面ACS 的距离为CE m m⋅== 20．已知数列的各项均为正数，其前项和满足． {}n a n n S 212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)求的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前项和．()()1111n n n b a a +=++{}n b n n T 【答案】(1)；21n a n =-(2). 44n n T n =+【分析】（1）根据与之间的关系进行求解即可；n S n a （2）运用裂项相消法进行求解即可, 【详解】（1）在中，令，得， 212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭1n =11211112a a S a +⎛⇒⎫= ⎪⎝⎭==当时，由， ,2n n *∈≥N 22111122n n n n a a S S --++⎛⎫⎛⎫== ⎪⇒ ⎪⎝⎭⎝⎭于是有， ()()221111201122n n n n n n n n n a a a a S a a a S ----++⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭-⎝-⇒+-=⎭因为数列的各项均为正数，{}n a 所以由，()()111120202n n n n n n n n a a a a a a a a ----+--=⇒--=⇒-=所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，{}n a 所以有，显然适合，1(1)221n a n n =+-⋅=-11a =因此；21n a n =-（2）由（1）可知：， 21n a n =-所以， ()()()()1111111122241n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭. 11111114223144n n T n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪++⎝⎭ 21．已知圆过点，且圆心在直线上.C (6,0),(1,5)A B :2780l x y -+=(1)求圆的标准方程；C (2)过点且斜率为的直线与圆有两个不同的交点，若，其中为坐()0,5D k l C ,M N 30OM ON ⋅= O 标原点，求直线的方程.l 【答案】(1)22(3)(2)13x y -+-=(2)5y =【分析】（1）设出圆的标准方程，将两点坐标代入圆的方程，圆心坐标代入直线方程，解出三,A B 个参数，即可求出圆的方程；,,a b r （2）根据条件设出直线的方程，消去得到关于的一元二次方程，将韦达定理的表达式代入l y x ，解出的值，分别判断是否满足，从而得出直线方程.30OM ON ⋅= k 0∆>【详解】（1）设所求圆的方程为，222()()x a y b r -+-=则由题可得：，解得： 222222(6)(0)(1)(5)2780a b r a b r a b ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪-+=⎩{a =3b =2r 2=13故所求圆C 的方程为.22(3)(2)13x y -+-=（2）由题设，可知直线的方程为.l 5y kx =+代入方程，整理得，22(3)(2)13x y -+-=22(1)6(1)50k x k x +--+=设，1122(,),(,)M x y N x y 则，， 1226(1)1k x x k -+=+12251x x k =+12121212(5)(5)OM ON x x y y x x kx kx ⋅=+=+++ 21212230(1)(1)5()25301k k k x x k x x k -=++++=++由题设可得，解得或， 230(1)30=301k k k -++=1k =0k 经检验 不满足=1k 22[6(1)]4(1)50k k ∆=---⋅+⋅> 满足=0k 22[6(1)]4(1)50k k ∆=---⋅+⋅>所以的方程为.l 5y =22．已知正方形的边长为4，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，以EF 为棱将正方形ABCD 折成如图所示的60°的二面角，点M 在线段AB 上．(1)若M 为AB 的中点，且直线MF 与由A ，D ，E 三点所确定平面的交点为O ，试确定点O 的位置，并证明直线平面EMC ；//OD (2)是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为；若存在，求此时二面角60 M EC F --的余弦值，若不存在，说明理由．【答案】(1)点O 在EA 的延长线上，且，证明见解析；2AO =(2)存在，. 14【分析】（1）延长FM 与EA 的延长线交于点O ，判断点O 在平面ADE 内，连接DF 交CE 于N ，结合线面平行的判定推理作答；（2）以AE 的中点H 为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量确定点M 的位置，再计算两个平面夹角余弦作答.【详解】（1）依题意，四边形是矩形，点M 为AB 的中点，如图1，延长FM 与EA 的延长ABFE 线交于点O ，又平面ADE ，即有平面ADE ，因，且， EA ⊂O ∈//AM EF 1122AM AB EF ==因此点A 为线段EO 中点，即AO =2，M 为线段FO 的中点，连接DF 交CE 于N ，连接MN ，矩形CDEF 中，N 是线段DF 中点，于是得，而平面，平面，//MN OD MN ⊂EMC OD ⊄EMC 所以平面.//OD EMC （2）依题意，，，，平面，平面，则EF AE ⊥EF DE ⊥AE DE E = AE ⊂ADE DE ⊂ADE 平面，且为二面角的平面角，即. EF ⊥ADE AED ∠A EF D --60AED ∠=o连接，而，AD 2AE DE ==即有为正三角形，取的中点H ，连接DH ，则，ADE V AE DH AE ⊥由平面，平面，得平面平面，EF ⊥ADE EF ⊂ABFE ADE ⊥ABFE 又平面，平面平面，于是得平面，DH ⊂ADE ADE ABFE AE =DH ⊥ABFE 取BF 中点G ，连接HG ，由矩形得，即有两两垂直，ABFE HG AE ⊥,,HA HG HD 以点H 为原点，射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图2，,,HA HG HD ,,x yz则点，，.()1,0,0E-(D (0,C 假设存在点M 满足条件，因点M 在线段AB 上，设，， ()1,,0M t ()04t ≤≤，，. (ED =(1,EC = ()2,,0EM t = 设平面的一个法向量，则， EMC ()111,,x n y z =111114020n EC x y n EM x ty ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令， 1y=(),8n t =- 因直线DE 与平面EMC 所成的角为60°，则，解得或， ||sin 60|cos ,|||||n DE n DE n DE ⋅=〈〉===1t =3t =即存在点满足直线DE 与平面EMC 所成的角为60°，点为线段AB 的靠近点A 或B 的四等分M M 点.设平面的一个法向量，则， ECF ()222,,m x y z=22222040m ED x m EC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩令，得， 21z =-)1m =-则.)()1,8m n t -⋅=⋅-u r r 3848t t t =--+=-+令平面MEC 与平面ECF 的夹角为，θ则||cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅=〈〉= ==显然或时，. 1t =3t =1cos 4θ=由图可知，二面角为锐角， M EC F --所以二面角的余弦值为. M EC F --14。
北京高二高中数学期末考试带答案解析
北京高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合,,则( ).2.已知，，则下列各式正确的是（）（）3.已知，或，则p是q的( )充分而不必要条件必要而不充分条件充要条件既不充分也不必要条件4.若函数的值域为，则函数的值域为（）5.极坐标方程表示的曲线为（）、直线圆椭圆双曲线6.已知双曲线上任意一点处的切线与坐标轴构成的三角形面积为定值，则这个定值为（）2 4 8 167.直线和圆交于两点，则的中点坐标为（）8.设随机变量服从正态分布，若，则等于( )0.8 0.5 0.2 0.19.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以,和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件.再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.给出下列结论：①P（B）；②P（B|）；③事件B与事件相互独立；④,,是两两互斥的事件；⑤P（B）的值不能确定，因为它与,,中究竟哪一个发生有关；其中正确的有（）②④①③②④⑤②③④⑤10.3位男生和3位女生共6位同学排成一排，若男生甲不站两端，且3位女生中有且仅有两位女生相邻，则不同的排法共有（）种360 288 216 144二、填空题1.“若，则都是0”的否命题为、2.计算的值为3.不等式的解集为4.设，点是函数与图象的一个公共点，两函数的图象在点处有相同的切线，则用表示为5.随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则的值为．6.今有2个红球、3个黄球和4个白球，同色球不加区分，将这9个球排成一排共有种不同的方法7.方程有3个不等实根，则的取值范围为8.某次竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于9.用长90cm，宽48cm的长方形铁皮做一个无盖的长方体容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90º角，再焊接而成，则截去的小正方形边长为时，长方体体积最大10.6本不同的书分给4个人，每人至少一本的概率为11.若、、，且，则的最小值为三、解答题1.一个圆环直径为m，通过金属链条、、、（、、是圆上三等分点）悬挂在处，圆环呈水平状态，并距天花板2m（如图所示），为使金属链条总长最小，的长应为2.解关于的不等式:3.某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响.(Ⅰ)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率(Ⅱ)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率(Ⅲ)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列4.设函数,其中(1)求的单调增区间(2)对任意的正整数,证明:北京高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.设集合,,则( ).【答案】D【解析】略2.已知，，则下列各式正确的是（）（）【答案】B【解析】略3.已知，或，则p是q的( )充分而不必要条件必要而不充分条件充要条件既不充分也不必要条件【答案】A【解析】略4.若函数的值域为，则函数的值域为（）【答案】B【解析】略5.极坐标方程表示的曲线为（）、直线圆椭圆双曲线【答案】B【解析】略6.已知双曲线上任意一点处的切线与坐标轴构成的三角形面积为定值，则这个定值为（）2 4 8 16【答案】B【解析】略7.直线和圆交于两点，则的中点坐标为（）【答案】D【解析】略8.设随机变量服从正态分布，若，则等于( )0.8 0.5 0.2 0.1【答案】D【解析】略9.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以,和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件.再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.给出下列结论：①P（B）；②P（B|）；③事件B与事件相互独立；④,,是两两互斥的事件；⑤P（B）的值不能确定，因为它与,,中究竟哪一个发生有关；其中正确的有（）②④①③②④⑤②③④⑤【答案】A【解析】略10.3位男生和3位女生共6位同学排成一排，若男生甲不站两端，且3位女生中有且仅有两位女生相邻，则不同的排法共有（）种360 288 216 144【答案】B【解析】略二、填空题1.“若，则都是0”的否命题为、【答案】若，则不都是0【解析】略2.计算的值为【答案】-1【解析】略3.不等式的解集为【答案】【解析】略4.设，点是函数与图象的一个公共点，两函数的图象在点处有相同的切线，则用表示为【答案】【解析】略5.随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则的值为．【答案】【解析】略6.今有2个红球、3个黄球和4个白球，同色球不加区分，将这9个球排成一排共有种不同的方法【答案】1260【解析】略7.方程有3个不等实根，则的取值范围为【答案】【解析】略8.某次竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于【答案】0.128【解析】略9.用长90cm，宽48cm的长方形铁皮做一个无盖的长方体容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90º角，再焊接而成，则截去的小正方形边长为时，长方体体积最大【答案】10cm【解析】略10.6本不同的书分给4个人，每人至少一本的概率为【答案】【解析】略11.若、、，且，则的最小值为【答案】【解析】略三、解答题1.一个圆环直径为m，通过金属链条、、、（、、是圆上三等分点）悬挂在处，圆环呈水平状态，并距天花板2m（如图所示），为使金属链条总长最小，的长应为【答案】1.5m【解析】略2.解关于的不等式:【答案】当时，解集为当时，解集为当时，解集为当时，解集为空集当时，解集为【解析】略3.某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响.(Ⅰ)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率(Ⅱ)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率(Ⅲ)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列【答案】(1) (2)(3)01236P【解析】略4.设函数,其中(1)求的单调增区间(2)对任意的正整数,证明:【答案】（1）（1）当时，增区间为当时，增区间为和当时，增区间为（2）略【解析】解：（1）当时，增区间为当时，增区间为和当时，增区间为（2）由（1）得时，在增欲证，只需证只需证令因为在增，又，所以所以当时，故成立。
2022-2023学年北京市朝阳区高二年级上册学期期末练习数学试题【含答案】
2022-2023学年北京市朝阳区高二上学期期末练习数学试题一、单选题1．若向量()1,1,0a =，()1,0,2b =-，则a b +=（ ）A B ．4 C ．5 D 【答案】A【分析】由空间向量坐标的加减运算，和模长公式计算即可. 【详解】由题意，得()0,1,2a b +=，201a b ∴+=+=故选：A.2．已知点1,0A ，直线l ：30x y -+=，则点A 到直线l 的距离为（ ）A ．1B ．2CD ．【答案】D【分析】利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】已知点(1,0)A ，直线:30l x y -+=，则点A 到直线l =故选：D .3．若直线y x m =+是圆2220x y y =++的一条对称轴，则m 的值为（ ） A ．12-B ．1-C ．2D ．1【答案】B【分析】依据题给条件列出关于m 的方程，解之即可求得m 的值 【详解】圆2220x y y =++的圆心坐标为()0,1-， 又直线y x m =+是圆2220x y y =++的一条对称轴， 则圆心()0,1-在直线y x m =+上，则10m -=+，则1m =- 故选：B4．已知椭圆()222104x y b b+=>的离心率为12，则b =（ ）AB C ．2 D ．3【答案】B【分析】由2222a b e a -=即可求解.【详解】椭圆的离心率满足222222224142c a b b e a a ，即可解得30b b .故选：B5．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，若11AA =，2AB AC ==，112B C =，则异面直线1A C 与11B C 所成的角的余弦值为（ ）A ．12B ．36C ．33D ．328【答案】C【分析】因为11B C ∥BC ，所以1A CB ∠或其补角为异面直线1A C 与11B C 所成的角，连接1A B ，根据余弦定理即可求得答案．【详解】如图，连接1A B ，则2211(2)3A B =+2211(2)3AC +2BC =， 因为11B C ∥BC ，所以1A CB ∠或其补角为异面直线1A C 与11B C 所成的角，22211113c 23os 22AC BC A B ACB AC BC ∠+-===⋅⨯⨯则异面直线1A C 与11B C 所成的角的余弦值为33. 故选：C ．6．已知抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 在抛物线上，PQ l ⊥于点Q ．若PQF △是锐角三角形，则点P 的横坐标的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()1,+∞C ．()0,2D ．()2,+∞【答案】D【分析】在x 轴上取点()4,0A ，推导出AFP ∠为锐角，设点(),P x y ，可得出0FA FP ⋅>，可求得x 的范围.【详解】如图所示：在x 轴上取点()4,0A ，由抛物线的定义可得PQ PF =，则PFQ PQF ∠=∠， 由于PQF △为锐角三角形，则FPQ ∠为锐角，由已知可得PQ x ∥轴，所以AFP FPQ ∠=∠，则AFP ∠为锐角， 焦点()2,0F ，设点(),P x y ，则()2,0FA =，()2,FP x y =-， 则2(2)0FA FP x ⋅=->，解得2x >， 因此，点P 的横坐标的取值范围是()2,+∞. 故选：D.7．设直线1l 的方向向量为()1,u a →=，2l 的法向量为()1,2v a →=-，则“2a =”是“12l l ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】因为12l l ⊥，所以2a =或1a =-，再利用充分必要条件的定义判断得解.【详解】解：因为12l l ⊥，所以21()1,20,(2)(1)02a a a a a a -⨯-=-∴--=∴-+=， 所以2a =或1a =-.当2a =时，12l l ⊥成立，所以“2a =”是“12l l ⊥”的充分条件； 当12l l ⊥时，2a =不一定成立，所以“2a =”是“12l l ⊥”的非必要条件. 所以“2a =”是“12l l ⊥”的充分不必要条件. 故选：A8．设A 是圆()22:19C x y ++=上的动点，PA 是圆的切线，且4PA =，则点P 到点()8,0Q 距离的最小值为（ ） A ．15 B ．6 C ．5 D ．4【答案】D【分析】本题首先可根据题意得出5PC =，则点P 的轨迹方程为()22125x y ++=，然后用圆心到点()8,0Q 的距离减去半径即可得出结果.【详解】解：由圆的方程()2219x y ++=，易知圆心()1,0C -，半径为3，因为PA 是圆的切线，且4PA =， 所以222325PC PA =+=，5PC =， 所以，点P 的轨迹方程为()22125x y ++=，点P 到点()8,0Q 54=，故选：D.9．古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆雉，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用面积为64的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD 的四边相切.设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为()222210x y a b a b +=>>，下列选项中满足题意的方程为（ ） A ．2216416x y +=B ．221644x y +=C ．22125616x y +=D ．2216432x y +=【答案】B【分析】由题意可得到对于椭圆有16ab =成立，由此一一验证各选项是否满足，即得答案.【详解】∵用面积为64的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD 的四边相切， ∴464ab = ，即16ab =，对于A ，2216416x y +=,8,4a b == ，不满足16ab =，故A 错误； 对于B ，221644x y +=，8,2a b ==，满足0,16a b ab >>= ，故B 正确；对于C ，22125616x y +=，16,4a b == ，不满足16ab =，故C 错误；对于D ，2216432x y +=，8,a b ==不满足16ab =，故D 错误． 故选：B ．10．在等比数列{}n a 中，19a =-，51a =-记13521n n T a a a a -=⋯（1n =，2，…）.则数列{}n T （ ） A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项【答案】A【分析】根据题意易求得等比数列{}n a 的公比q ，设数列{}n b 为等比数列{}n a 的奇数项13521,,,,n a a a a -⋯（1n =，2，…），则数列{}n b 是以1a 为首项，2q 为公比的等比数列，再分奇偶讨论数列{}n T 的项，即可得出结论.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ， 则45119a q a ==，所以213q =， 设数列{}n b 为等比数列{}n a 的奇数项13521,,,,n a a a a -⋯（1n =，2，…）， 则数列{}n b 是以9-为首项，13为公比的等比数列，则1311933n n n b --⎛⎫⎛⎫=-⨯=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以21323151n n n T b b a a a b b a -⋯==，当4n ≥时，1n b <，当13n ≤≤时，1n b ≥， 当n 为奇数时，0n T <，因为31b =-， 所以327n T T ≥=-，当n 为偶数时，0n T >，因为31b =-，所以227n T T ≤=，综上所述，数列{}n T 有最大项227T =和最小项327T =-. 故选：A.11．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方形11BCC B 内，且不在棱上，则（ ）A ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥B ．在正方形11DCCD 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ⊥C ．在正方形11DCCD 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC D ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC 【答案】B【分析】对于A ，通过作辅助线，利用平行的性质，推出矛盾，可判断A;对于B ，找到特殊点，说明在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ⊥，判断B;利用面面平行的性质推出矛盾，判断C;利用线面垂直的性质定理推出矛盾，判断D.【详解】A 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥，作,PE BC QF CD ⊥⊥ ,垂足分别为,E F ,连接,E F ，则PEFQ 为矩形，且EF 与AC 相交， 故PQ EF ∥,由于PQ AC ∥，则AC EF ∥，这与,AC EF 相交矛盾，故A 错误； B 、假设P 为正方形11BCC B 的中心，Q 为正方形11DCC D 的中心，作,PH BC QG CD ⊥⊥ ,垂足分别为,H G ,连接,H G ，则PHGQ 为矩形， 则PQ HG ∥ ,且,H G 为,BC CD 的中点，连接,GH BD ,则GH BD ∥,因为AC BD ⊥ ，所以GH AC ⊥,即PQ AC ⊥，故B 正确； C 、在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC ，由于平面ABC ⋂平面11DCC D CD =,平面1PQC 平面111DCC D C Q =,故1CD C Q ∥ ,而11C D CD ∥ ,则Q 在11C D 上，这与题意矛盾，C 错误； D 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC ， 1C Q ⊂平面1PQC ,则1AC C Q ⊥,又1CC ⊥平面,ABCD AC 平面ABCD ，故1C C AC ⊥ ,而11111,C C C Q C C C C Q =⊂，平面11DCC D ，故AC ⊥平面11DCC D ， 由于AD ⊥平面11DCC D ,故,C D 重合，与题意不符，故D 错误， 故选∶B12．已知1F ，2F 分别椭圆()222210x y a b a b +=>>的左右焦点，P 为椭圆上一点，满足21π2PF F ∠=，线段1PF 交y 轴于点Q ，若22QF c =，则椭圆的离心率是（ ） A ．12 B ．22C 12+D 21【答案】D【分析】由题意得2PF 垂直于x 轴，2OQ PF ∥，Q 为1PF 的中点，利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，结合椭圆的方程可得22||b PF a=，由勾股定理和离心率公式，计算可得答案．【详解】由题意可得2PF 垂直于x 轴，2OQ PF ∥，因为O 为12F F 的中点，则Q 为1PF 的中点，可得12||2||22PF QF c ==， 由x c =可得22221c y a b +=，则2221c b y b a a=±-=±，即有22||b PF a =，在直角三角形12PF F 中，可得2221212||||||PF PF F F =+，即有422284b c c a=+，可得22b ac =，即2220c ac a +-=，由ce a=可得，2210e e +-=，解得21e =-或21e =--(舍去)， 故选：D.13．一些二次曲面常常用于现代建筑的设计中，常用的二次曲面有球面、椭球面、单叶双曲面和双曲抛物面、比如，中心在原点的椭球面的方程为()22222210,0,0x y z a b c a b c++=>>>，中国国家大剧院就用到了椭球面的形状（如图1），若某建筑准备采用半椭球面设计（如图2），半椭球面方程为()2221022x y z z ++=≥，该建筑设计图纸的比例（长度比）为1：50（单位：m ），则该建筑的占地面积为（ ）A ．2100m πB ．25000m πC ．28000m πD ．210000m π【答案】B【分析】令0z =，得到xOy 平面上的曲线方程为222x y +=，为一个圆，求出面积即可求解. 【详解】解析：求占地面积即求半椭球面的底面积， 所以，到xOy 平面上的曲线方程为222x y +=，为一个圆， 2的圆，因为该建筑设计图纸的比例（长度比）为1：50（单位：m ）50=所以，建筑的占地面积为(25000ππ⨯=平方米.故选：B二、填空题14．已知3,,32a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,,2b y =-，若a 与b 共线，则x y -=_________.【答案】52-＃＃ 2.5-【分析】由向量共线的坐标表示得出x y -的值.【详解】解：因为a 与b 共线，所以a b λ=，即3232x y λλλ=-⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩,解得32x =-，1y =，则52x y -=-.故答案为：52-．15．在公差为d 的等差数列{}n a 中，1053S S =，则1a d等于_________. 【答案】3【分析】根据等差数列求和公式即可求解. 【详解】由1053S S =得111109541035322a d a d a d ⨯⨯⎛⎫+=+⇒= ⎪⎝⎭，所以13a =d ． 故答案为：3．16．设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足.若直线AF 的斜率为PF =__________. 【答案】4【分析】设准线与x 轴焦点为B ,可得B 的坐标为(1,0)-，2BF =, 由直线AF斜率为60AFB ︒∠=，结合抛物线的定义,可得PAF △是等边三角形，即可得答案. 【详解】如图由抛物线方程为24y x =，可得其焦点为(1,0)F ，准线方程为=1x -， 设准线与x 轴焦点为B ,则B 的坐标为(1,0)-， 2BF = 由直线AF 斜率为3-60AFB ︒∠=，可得4cos 60BF AF ︒==，因为AP x ∥轴，所以60PAF AFB ︒∠=∠=,又由抛物线的定义有PA PF =, 所以PAF △是等边三角形，故4PA PF ==， 故答案为：4.17．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线C ：()2222220x y x y x y +=++≠就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C 关于坐标轴和直线y x =±均对称；②曲线C 恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③曲线C 围成的图形的面积是44π+； ④曲线C 上的任意两点间的距离不超过4；⑤若(),P m n 是曲线C 上任意一点，则6m n +-的最小值是2. 其中正确的结论序号是_________. 【答案】①⑤【分析】对绝对值里面的,x y 进行分类讨论，去掉绝对值，从而可作出曲线C . 根据曲线C 2①；曲线C 恰好经过8个整点()()()()()()()()2,0,2,0,0,2,0,2,2,2,2,2,2,2,2,2------即可判断②； 曲线C 所围成的面积为四个半圆的面积与边长为22③； 由图可知，曲线C 上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即可判断④； 因为(,)P m n 到直线60x y +-=的距离为62m n d +-=，所以62m n d +-，转化为圆上的点到直线的距离最小的问题，求解即可判断⑤.【详解】由于222||2||+=+x y x y ，则当0,0x y ≥≥时，曲线C 的方程可化为2222x y x y +=+，化简得2(1)x -+2(1)2y -=，表示圆心为(1,1)，半径为2的半圆；当0,0x y ≥<时，曲线C 的方程可化为2222x y x y +=-，化简得2(1)(x y -+21)2+=，表示圆心为(1,1)-，半径为2的半圆；当0,0x y <≥时，曲线C 的方程可化为2222x y x y +=-+，化简得2(1)x ++2(1)2y -=，表示圆心为(1,1)-，半径为2的半圆；当0,0x y <<时，曲线C 的方程可化为2222x y x y +=--，化简得2(1)x ++2(1)2y +=，表示圆心为(1,1)--，半径为2的半圆．作出曲线22:2||2||C x y x y +=+如图所示：曲线C 是四个半径为2的半圆围成的图形，由图易知曲线C 关于坐标轴和直线y x =±均对称，故①正确；曲线C 恰好经过8个整点()()()()()()()()2,0,2,0,0,2,0,2,2,2,2,2,2,2,2,2------，故②错误； 曲线C 所围成的面积为四个半圆的面积与边长为22从而曲线C 所围成图形的面积为2214π(2)(22)84π2⨯⨯+=+，故③错误；由图可知，曲线C 上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即222242+④错误；因为(,)P m n 到直线60x y +-=的距离为2266211m n m n d +-+-+62m n d +-=，当d 最小时，易知(,)P m n 在曲线C 的第一象限内的图象上，因为曲线C 的第一象限内的图象是圆心为(1,1)，半径为2r =圆心(1,1)到60x y +-=的距离1d ==从而min 1d d r =-=min 62m n +-=，故⑤正确. 故答案为：①⑤．18．已知等比数列{}n a 的公比12q =，且267a a =，则使1212111n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+>++⋅⋅⋅成立的正整数n的最大值为___________. 【答案】8【分析】根据等比数列通项代入等式化简得116a =，再分别求出数列{}n a 和1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和，代入不等式即可求出n 的范围，则得到其最大值. 【详解】解：因为等比数列{}n a 的公比12q =，且267a a =， 所以()61152a q a q =，整理得:4111116a q a ==，解得116a =， 因为{}n a 为等比数列，所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11a 为首项，公比为1q 的等比数列，所以原不等式等价为:()111111111nna q a q q q⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦>--①， 因为12q =，116a = 所以，将其代入①式整理得:9232162n <⨯=，解得9n <， 由n *∈N ，所以正整数n 的最大值为8， 故答案为：819．P 为抛物线22y x =上一动点，当点P 到直线440x y --=的距离最短时，P 点的坐标是___________. 【答案】(1,2)【分析】设200(,2)P x x ，求出P 到直线l 距离，结合绝对值变形后配方可得最小值．【详解】设200(,2)P x x ，则点200(,2)P x x 到直线440x y --=的距离为()2012d x =-+， 当01x =，即当(1,2)P 时，抛物线22y x = 上一点到直线440x y --==. 故答案为：(1,2)．20．设等比数列{}n a 满足1212a a +=，1312a a -=-，记m b 为{}n a 在区间(]()*0,N m m ∈中的项的个数，则数列{}m b 的前50项和50S =___________. 【答案】144【分析】根据已知条件求出等比数列{}n a 的首项和公比，得出12n n a +=，讨论当13m ≤≤时和+1222n n m +≤<时m b 值，代入计算即可得出结果.【详解】由题意得，1212131(1)12(1)12a a a q a a a q +=+=⎧⎨-=-=-⎩，所以解得14a =，2q =， 所以{}n a 是首项为4，公比为2的等比数列，所以12n n a +=，因为m b 为{}n a 在区间(]()*0,N m m ∈中的项的个数所以当13m ≤≤时，0m b =；当+1222n n m +≤<时，m b n =， 所以()5012345678915161731323350()()()()S b b b b b b b b b b b b b b b b =++++++++++++++++++，即23450031222324(5031)144S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=. 故答案为: 144三、双空题21．已知直线l ：0x y m ++=是双曲线C ：22221x y a b-=的一条渐近线，则m =___________；双曲线C 的离心率为___________.【答案】 0【分析】根据双曲线的渐近线过原点，即可求得m 的值，由题意可得,a b 的关系，即可求得离心率. 【详解】由题意可知双曲线C ：22221,0,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =± ，过原点，由于直线l ：0x y m ++=是双曲线C ：22221x y a b-=的一条渐近线，故0,1bm a=-=-，即a b =，故c所以离心率为ce a=. 故答案为：0四、解答题22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n n S S a +=++，__________.请在①471a a +=；②1a ，3a ，4a 成等比数列；③105S =，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求n S 的最小值. 【答案】(1)5n - (2)414【分析】（1）选①由等差数列性质列方程求1a ；选②由等比中项性质列方程求1a ；选③由求和公式列方程求1a . 最后由公式法写出通项公式； （2）由公式法写出n S ，讨论函数最小值即可.【详解】（1）由11n n n S S a +=++得111n n n n n a a S S a ++-=--=，故数列{}n a 为首项为1a ，公差1d =的等差数列，选①，471291a a a d +=+=，解得14a =-； 选②，1a ，3a ，4a 成等比数列，则2143a a a ，即211132a a a ，解得14a =-；选③，()111091052a a S ++==，解得14a =-.综上，故()4115n a n n =-+-⨯=-. （2）由（1）得5n a n =-，2299452222nn n n S ，*n ∈N ，故n S 的最小值为45414S S ==. 23．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，2AB AC ==，14AA =，AB AC ⊥，1BE AB ⊥交1AA 于点E ，D 为1CC 的中点.(1)求证：BE ⊥平面1AB C ；(2)求直线BD 与平面1AB C 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； 15【分析】（1）先证明AC BE ⊥，再根据线面垂直的判定定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，确定平面1AB C 的法向量，根据空间角的向量求法可得答案.【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C 中，1AA ⊥平面ABC ， 因为AC ⊂平面ABC ，所以1AA AC ⊥ ．因为AB AC ⊥ ，1AB AA A ⋂= ，1,AB AA ⊂平面11ABB A , 所以AC ⊥ 平面11ABB A ，因为BE ⊂平面11ABB A ， 所以AC BE ⊥ ．又因为11BE AB AC AB A ⊥=， ，1,AC AB ⊂平面1AB C ，所以BE ⊥平面1AB C .（2）由（1）知知1,,AB AC AA 两两垂直，则以点A 为原点，1,,AB AC AA 的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()1,(),0,0,02,0,40,,2,200),(2,A B D B ， 设()0,0,E a ,1(2,0,4)AB =,(2,0,)BE a =- ， 因为1AB BE ⊥ ，∴440,1a a -+=∴= ， 故(2,0,1)BE =-,由（1）知BE ⊥平面1AB C故平面1AB C 的一个法向量为(2,0,1)BE =- ，(2,2,2)BD =-,设直线BD 与平面1AB C 所成角为π,[0,]2θθ∈，则|15sin |cos ,||||52||3BD BD BD BE BE BE θ⋅=〈〉==⋅⨯24．已知椭圆E 的焦点在x 331,⎛ ⎝⎭.(1)求椭圆E 的方程；(2)直线l ：2y kx =-与椭圆E 相交于,A B 两点，且原点O 在以AB 为直径的圆上，求直线l 斜率k 的值.【答案】(1)2214x y +=(2)2k =±【分析】（1）依题意设出椭圆E 的方程，根据离心率的值以及椭圆经过的点，待定系数法求出椭圆的方程；（2）把直线的方程代入椭圆的方程，使用根与系数的关系，再由原点O 在以AB 为直径的圆上，利用OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=，解方程求出k 的值，并检验判别式是否大于0． 【详解】（1）解：依题意，可设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，c a =a ∴=，又222213b a c c =-=，椭圆经过点，则有221314a b +=，,即得2239144c c +=,解得c =2a =，1b =， ∴椭圆的方程为2214x y +=． （2）解：记A 、B 两点坐标分别为1(A x ,2)x ，B 2(x ,2)y ，由22244y kx x y =-⎧⎨+=⎩消去y ，得22(41)16120k x kx +-+=， 直线与椭圆有两个交点，∴22(16)4(41)120k k ∆=-+⨯>，即234k >， 由韦达定理1221641kx x k +=+，1221241x x k =+， 原点O 在以AB 为直径的圆上， OA OB ∴⊥，即0OA OB ⋅=，又1(OA x =,1)y ，2(OB x =,2)y ，∴12121212(2)(2)OA OB x x y y x x kx kx ⋅=+=+--2212122216(1)2()41(1)24041214kk x x k x x k k k k =+-++=+⋅-⋅+=++． 即得()22(1)122164410k k k k +⨯-⨯++=所以2416k = 2443k ∴=>， 2k ∴=±．25．设有限数列A ：()*12,,,N n a a a n ⋅⋅⋅∈，定义集合{}1i j M a a i j n =+≤<≤为数列A 的伴随集合.(1)已知有限数列P ：-1，0，1，2和数列Q ：1，2，4，8.分别写出P 和Q 的伴随集合；(2)已知有限等比数列A ：()2*4,4,,4N n n ⋅⋅⋅∈，求A 的伴随集合M 中各元素之和S ；(3)已知有限等差数列A ：122022,,,a a a ⋅⋅⋅，判断0，507，11100是否能同时属于A 的伴随集合M ，并说明理由.【答案】(1)数列P 的伴随集合为{}1,0,1,2,3-，数列Q 的伴随集合为{}3,5,6,9,10,12(2)()()14431n n S +--=(3)500,,117100不能同时属于数列A 的伴随集合M ,理由见解析【分析】（1）由数列A 的伴随集合定义可得P ，Q 的伴随集合；（2）先证明(1,1)i j k l a a a a i j n k l n +≠+<<≤≤≤≤，可得求集合M 中各元素之和时， 每个()1i a i n ≤≤均出现n ﹣1次，由等比数列的求和公式，计算可得所求和； （3）假设500,,117100同时属于数列A 的伴随集合M ．设数列A 的公差为d （d ≠0），运 用等差数列的定义和通项公式、性质，推理论证得到矛盾，即可判断．【详解】（1）数列P 的伴随集合为{}1,0,1,2,3-，数列Q 的伴随集合为{}3,5,6,9,10,12． （2）先证明:对任意i k ≠或j l ≠，则(1,1)i j k l a a a a i j n k l n +≠+<<≤≤≤≤． 假设()1,1i j k l a a a a i j n k l n +=+<<≤≤≤≤．当i k =且j l ≠，因为i j l k a a a a +=+，则j l a a =，即22j l =， 所以j l =，与j l ≠矛盾．同理，当i k ≠且j l =时，也不成立．当i k ≠且j l ≠时，不妨设i k <，因为i j l k a a a a +=+，则2222i j k l +=+， 所以1222j i k i l i ---+=+，左边为奇数，右边为偶数，所以1222j i k i l i ---+≠+，综上，对任意i k ≠或j l ≠，则(1,1)i j k l a a a a i j n k l n +≠+<<≤≤≤≤ 所以求集合M 中各元素之和时，每个()1i a i n ≤≤均出现n 1-次， 所以()()21444nS n =-+++ ()()()()()()1414441411141433nn n n n n +---=-=---=（3）假设500,,117100同时属于数列A 的伴随集合M ． 设数列A 的公差为()0d d ≠，则1122330,50,711,100i j i j i j a a a a a a ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩即()()()111122133220,5022,71122,100a i j d a i j d a i j d ⎧⎪++-=⎪⎪++-=⎨⎪⎪++-=⎪⎩①②③②-①得，()()()2211750-=i j i j d ++， ③-①得，()()()3311-=10011i j i j d ++， 两式相除得，()()()()22113311075070=i j i j i j i j +-++-+，因为*112233,,,,,N i j i j i j ∈，所以()()2211-5000i j i j k ++=，()()()3311-77Z,0i j i j k k k ++=∈≠，所以()()2211-5000i j i j ++≥． 又因为11221,,,2022i j i j ≤≤，所以()()()()2211-20222021214040i j i j ++≤+-+=，()()()()2211-12202120224040i j i j ++≥+-+=-，所以()()2211-4040i j i j ++≤，与()()2211-5000i j i j ++≥矛盾， 所以500,,117100不能同时属于数列A 的伴随集合M ．。
北京朝阳年上学期高二数学期末统一考试
北京朝阳年上学期高二数学期末统一考试（考试时间100分钟 得分100分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。
（1）不等式22x-1＜1的解集是 （ ）（A ）（21，1） （B ）（0，21） （C ）（21，∞） （D ）（-∞, 21） (2)“a+b ＞2c ”的一个充分条件是 （ ）（A ）a ＞c,或b ＞c (B)a ＞c ，且b ＜c (C)a ＞c,且 b ＞c (D)a ＞c,且b ＜c (3)arcsin53与arcsin 5π的关系是 （ ） （A ）arcsin 53＜arcsin 5π （B ）arcsin 53＞arcsin 5π （C ）arcsin 53＝arcsin 5π （D ）arcsin 53≥arcsin 5π （4）一条直线上顺次有A 、B 、C 三点，且│AB │=2，│BC │=3，则C 分有向线段AB 的比为 （ ）（A ）- 35 （B ）- 53 （C ）85 （D ）25 （5）下列函数中，最小值是4的是 （ ） （A ）y=x+x4 (B)=222222+++x x （C ）y=sinx+4cscx,x ∈(0，⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0π （D ）y=2(7x +7-x ) （6）圆x 2+y 2=1与曲线xy-y=0的交点个数是 （ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（7）不等式x -1＜x+1的解集是M ，│x+5│＞1的解集为N ，则M 与N 的关系是 （ ）（A ）M ⊂N （B ）N ⊂M （C ）M=N （D ）M ∩N=φ（8）一个等差数列的前4项之和是40，最后4项之和是80，所有项之和为210，则这个数列共有 （ ）（A ）12项 （B ）14项 （C ）16项 （D ）18项（9）已知直线l 1：y=kx+3（k ＜0 ＝被圆x 2+y 2=4截得的弦长为13，则l 1与直线l 2：y=（2+3）x 的夹角的大小是 （ ）（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75°（10）已知数列｛a n ｝满足a 1=1,a n+1=13+n n a a ，则a 30= （ ） （A ）100 （B ）88 （C ）881 （D ）1001 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题后横线上.（11）在数列1，4，7，10，x ，16.中，x 的值是 .（12）已知点A （-1，-2），B （2，4），若直线ax+3y-5=0经过线段AB 的中点，则a=（13）关于x 的不等式（m 2-4m+3）x 2+2（m+1）x+1＞0对任意x ∈R 都成立，则实数m 的范围是 .（14）已知点P （x,y ）是第一象限的点，且点P 在直线3x+2y=6上运动，则使xy 取最大值的点P 的坐标为 .三、解答题：（本大题共6个小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）（15）（本小题满分6分）如图，ΔABC 中，已知A （-1，0），B （1，2），点B 关于y=0的对称点在AC 边上，且BC 边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0.（Ⅰ）求AC 边所在直线的议程;（Ⅱ）求点C 的坐标.（16）（本小题满分6分）已知：a ＞0，b ＞0. 求证：ab b a 22+≥a+b. （17）（本小题满分6分）解关于x 的不等式log 2xx -+11＞log 2(1+x)-log 2k （k 是大于零的常数）. （18）（本小题满分8分）S2.已知数列｛a n｝中，S n表示前n项和，如果a n＞0, a n+2=2n求证数列｛a n｝为等差数列.(19)(本小题满分9分)某公司一年生产某种产品m件,并且分若干批生产(每批生产产品件数相同),已知每生产一批产品需用原料费15000万元,每批生产需直接消耗的管理等费用S与该批生产产品的件数x的立方．．成正比,当生产的一批产品为5件时，S=1000万元.（Ⅰ）求S关于x的函数表达式（Ⅱ）每批生产产品多少件时，一年生产的总费用最低（精确到1件，35.7≈）（本小题满分9分）（重点校学生做，普通校学生选做）已知点B是半圆x2+y2=1（y＞0）上的一个动点，点A的坐标为（2，0），ΔABC是以BC 为斜边的等腰直角三角形，且顶点A、B、C按顺时针方向排列.求点C的轨方程.（普通校学生做，重点校学生不做）已知圆x2+y2=25上的两个定点A（0，5），B（3，4）和一个动点D.求以AB、AD为两邻边的平行四边形ABCD的顶点C的轨迹方程.。