2012年高考真题——理科数学(全国卷)含答案
2012年高考真题——理综(全国卷)Word版 含答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
第I卷1至4页，第II卷5至11页。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第I卷注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3.第I卷共21小题，每小题6分，共126分。
一下数据可供解题时参考：相对原子质量（原子量）：H 1 C一、选择题：本题共13小题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关于膝跳反射的叙述，错误的是A.反射活动由一点的刺激引起B.反射活动中兴奋在突触处双向传递C.反射活动的发生需要反射弧结构完整D.发射活动中需要神经递质参与兴奋的传递2.下列关于叶绿体和线粒体的叙述，正确的是A.线粒体和叶绿体均含有少量的DNAB.叶绿体在光下和黑暗中均能合成ATPC.细胞生命活动所需的ATP均来自线粒体D.线粒体基质和叶绿体基质所含酶的种类相同。
3.一块农田中有豌豆、杂草、田鼠和土壤微生物等生物，其中属于竞争关系的是A.田鼠和杂草B.豌豆和杂草C.豌豆和其根中的根瘤菌D.细菌和其细胞内的噬菌体4.下列关于森林群落垂直结构的叙述，错误的是A.群落中的植物具有垂直分层现象B.群落中的动物具有垂直分层现象C.动物在群落中的垂直分层与植物的分层有关D.乔木层的疏密程度不会影响草木层的水平结构5、下列关于细菌的叙述，正确的是A 不同种类细菌的生长均需要相同碳源B 常用液体培养基分离获得细菌单菌落C 细菌大量培养过程中，芽孢形成于细菌生长的调整期D 培养基中含有高浓度NaCl 有利于金黄色葡萄球菌的筛选6 、下列关于化学键的叙述，正确的一项是A 粒子化合物中一定含有离子键B 单质分子中均不存在化学键C 含有极性键的分子一定是极性分子D 含有共价键的化合物一定是共价化合物7 、能正确表示下列反应的离子方程式是A 硫酸铝溶液中加入过量氨水 3Al ++3OH=Al(OH)3 ↓B 碳酸钠溶液中加入澄清石灰水 Ca(OH) 2 +23CO -=CaCO 3 ↓ + 2OH -C 冷的氢氧化钠溶液中通入氯气 Cl 2 + 2OH -=Cl O - + Cl -+ H 2OD 稀硫酸中加入铁粉 2Fe + 6 H += 23Fe + + 3H 2 ↑8 、合成氨所需的氢气可用煤和水作原料经多步反映值得，其中的一步反应为 CO （g ）+ H 2O(g) −−−→←−−−催化剂CO 2(g) + H 2(g) △H ＜0 反应达到平衡后，为提高CO 的转化率，下列措施中正确的是A 增加压强B 降低温度C 增大CO 的浓度D 更换催化剂9 、反应 A+B →C （△H ＜0）分两步进行 ① A+B →X （△H ＞0） ② X →C （△H ＜0）下列示意图中，能正确表示总反应过程中能量变化的是10 、 元素X 形成的离子与钙离子的核外电子排布相同，且X 的离子半径小于负二级硫的离子半径，X 元素为A AlB PC ArD K11、 ①②③④ 四种金属片两两相连浸入稀硫酸中都可组成原电池 ，①②相连时，外电路电流从②流向① ；①③相连时，③为正极，②④相连时，②有气泡逸出 ；③ ④ 相连时，③ 的质量减少 ，据此判断这四种金属活动性由大到小的顺序是A ①③②④B ①③④②C ③ ④ ②①D ③ ① ②④12.在常压和500℃条件下，等物质的量的A g2 ,F E (OH)3 ,NH 4HCO 3 ,N a HCO 3完全分解，所得气体体积依次是V 1\V 2\V 3\V 4.体积大小顺序正确的是3＞V 2＞V 4＞V 1 B. V 3＞V 4＞V 2＞V 13＞V 2＞V 1＞V 42＞V 3＞V 1＞V 413.橙花醇具有玫瑰及苹果香气，可作为香料，其结构简式如下下列关于橙花醇的叙述，错误的是A ． 既能发生取代反应，也能发生加成反应B ． 在浓硫酸催化下加热脱水，可以生成不止一种四烯烃C ． 1mo1橙花醇在室温下与溴四氯化碳溶液反应，最多消耗240g 溴二，选择题：本题共8题。
2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)14：推理与证明
2012高考真题分类汇编：推理与证明1.【2012高考真题江西理6】观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+= 则1010a b +=A ．28B ．76C ．123D ．199 【答案】C【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。
【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11，数列的前两项相加后面的项，即21++=+n n n a a a ，所以可推出12310=a ，选C.2.【2012高考真题全国卷理12】正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73.动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10 【答案】B【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可.3.【2012高考真题湖北理10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d的一个近似公式d ≈. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159 判断，下列近似公式中最精确的一个是11.d ≈ B．d C．d ≈ D．d ≈ 【答案】D 【解析】346b 69()d ,===3.37532b 16616157611==3==3.14,==3.142857230021d a V A a B D πππππππ⨯==⨯⨯⨯由，得设选项中常数为则；中代入得，中代入得，C 中代入得中代入得，由于D 中值最接近的真实值，故选择D 。
2012年高考真题汇编理科数学解析版集合与简易逻辑
一、集合与常用逻辑用语一、选择题1．（重庆理2）“”是“”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要【答案】A2．（天津理2）设则“且”是“”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件 【答案】A3．（浙江理7）若为实数，则“”是的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A4．（四川理5）函数，在点处有定义是在点处连续的 A ．充分而不必要的条件 B ．必要而不充分的条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要的条件 【答案】B【解析】连续必定有定义，有定义不一定连续。
5．（陕西理1）设是向量，命题“若，则∣∣= ∣∣”的逆命题是A ．若，则∣∣∣∣B ．若，则∣∣∣∣C ．若∣∣∣∣，则D ．若∣∣=∣∣，则= -【答案】D6．（陕西理7）设集合M={y|y=x —x|,x ∈R},N={x||x —,i 为虚数单位，x ∈R},则M ∩N 为 A ．（0,1） B ．（0,1]C ．[0,1）D ．[0,1]【答案】C7．（山东理1）设集合 M ={x|}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =A ．[1,2）B ．[1,2]C ．（ 2,3]D ．[2,3] 【答案】A8．（山东理5）对于函数,“的图象关于y 轴对称”是“=是奇函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要【答案】B9．（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题x <-1x 2-1>0,,x y R ∈2x ≥2y ≥224x y +≥,a b 01m ab ＜＜11a b b a ＜或＞()f x 0x x =()f x 0x x=,a b a b =-a b a b ≠-a ≠b a b =-a ≠b a ≠b a b ≠-a b a b 2cos 2sin 1i 260x x +-<(),y f x x R =∈|()|y f x =y ()f x θ12:||1[0,)3p a b πθ+>⇔∈22:||1(,]3p a b πθπ+>⇔∈13:||1[0,)3p a b πθ->⇔∈4:||1(,]3p a b πθπ->⇔∈其中真命题是 （A ） （B ） （C ） （D ）【答案】A10．（辽宁理2）已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若，则（A ）M （B ）N（C ）I（D ）【答案】A11．（江西理8）已知，，是三个相互平行的平面．平面，之间的距离为，平面，之间的距离为．直线与，，分别相交于，，，那么“=”是“”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C12．（湖南理2）设集合则 “”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】A13．（湖北理9）若实数a,b 满足且，则称a 与b 互补，记，那么是a 与b 互补的A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要的条件【答案】C14．（湖北理2）已知,则=A ．B ．C ．D ．【答案】A15．（广东理2）已知集合∣为实数，且，为实数，且，则的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C16．（福建理1）i 是虚数单位，若集合S=，则A ．B ． C．D ．【答案】B17．（福建理2）若a R ，则a=2是（a-1）（a-2）=0的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 C ．既不充分又不必要条件14,p p 13,p p 23,p p 24,p p N ð=M I∅=N M ∅1a 2a 3a 1a 2a 1d 2a 3a 2d l 1a 2a 3a 1p 2p 3p 12PP 23P P 12d d ={}{}21,2,,M N a ==1a =N M ⊆0,0,a b ≥≥0ab=(,),a b a b ϕ=-(),0a b ϕ={}21|log ,1,|,2U y y x x P y y x x ⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭U C P 1[,)2+∞10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,+∞1(,0][,)2-∞+∞(){,A x y =,x y }221x y +=(){,B x y =,x y}y x =A B ⋂}{1.0.1-i S ∈2i S ∈3i S ∈2S i ∈∈【答案】A 18．（北京理1）已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P ,则a 的取值范围是 A ．(-∞, -1] B ．[1, +∞） C ．[-1，1] D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞） 【答案】C 19．（安徽理7）命题“所有能被2整聊的整数都是偶数”的否定是 （A ）所有不能被2整除的数都是偶数 （B ）所有能被2整除的整数都不是偶数 （C ）存在一个不能被2整除的数都是偶数 （D ）存在一个能被2整除的数都不是偶数 【答案】D 20．（广东理8）设S 是整数集Z 的非空子集，如果有，则称S 关于数的乘法是封闭的．若T,V 是Z 的两个不相交的非空子集，且有有，则下列结论恒成立的是A ．中至少有一个关于乘法是封闭的B ．中至多有一个关于乘法是封闭的C ．中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．中每一个关于乘法都是封闭的 【答案】A 二、填空题 21．（陕西理12）设,一元二次方程有正数根的充要条件是=【答案】3或4 22．（安徽理8）设集合则满足且的集合为 （A ）57 （B ）56（C ）49（D ）8【答案】B23．（上海理2）若全集，集合，则 。
2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)7：立体几何
2012高考真题分类汇编：立体几何一、选择题1.【2012高考真题新课标理7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3，所以几何体的体积为93362131=⨯⨯⨯⨯=V ,选B.2.【2012高考真题浙江理10】已知矩形ABCD ，AB=1，BC=2。
将△沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中。
A.存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直.B.存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直.C.存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.D.对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直 【答案】C【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C 是正确的．3.【2012高考真题新课标理11】已知三棱锥S A B C -的所有顶点都在球O 的求面上，A B C ∆是边长为1的正三角形，S C 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）()A 6()B6()C3()D 2【答案】A【解析】A B C ∆的外接圆的半径3r =，点O 到面ABC的距离3d ==,S C 为球O 的直径⇒点S 到面ABC的距离为23d =此棱锥的体积为11233436ABC V S d ∆=⨯=⨯=另：1236ABC V S R ∆<⨯=排除,,B C D ,选A.4.【2012高考真题四川理6】下列命题正确的是（ ）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【解析】A.两直线可能平行，相交，异面故A 不正确；B.两平面平行或相交；C.正确；D.这两个平面平行或相交.5.【2012高考真题四川理10】如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径C D 作平面α成45 角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的一点P 满足60BOP ∠= ，则A 、P两点间的球面距离为（ ）A 、arccos 4R B 、4RπC 、arccos 3R D 、3Rπ【答案】A【解析】根据题意，易知平面AOB ⊥平面CBD,BOP AOB AOP ∠⋅∠=∠∴cos cos cos422122=⋅=,42arccos =∠∴AOP ，由弧长公式易得，A 、P 两点间的球面距离为a r c c o s 4R .6.【2012高考真题陕西理5】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12C A C C C B ==，则直线1BC 与直线1A B 夹角的余弦值为（ ）A.5B.3C.5D.355.【答案】A.【解析】设a CB =||，则a CC CA 2||||1==，),2,0(),0,2,0(),,0,0(),0,0,2(11a a B a C a B a A ， ),2,0(),,2,2(11a a BC a a a AB -=-=∴，55,cos 111111=>=<∴BC AB ，故选A.7.【2012高考真题湖南理3】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型. 8.【2012高考真题湖北理4】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．8π3B ．3πC ．10π3D ．6π【答案】B【解析】显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为3π.选B.9.【2012高考真题广东理6】某几何体的三视图如图所示，它的体积为A ．12π B.45π C.57π D.81π 【答案】C【解析】该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，根据三视图中的数量关系，可得πππ57533-53312222=⨯⨯+⨯⨯⨯=+=圆柱圆锥V V V ．故选C ．10.【2012高考真题福建理4】一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是A.球B.三棱柱C.正方形D.圆柱【答案】D.【命题立意】本题考查了空间几何体的形状和三视图的概念，以及考生的空间想象能力，难度一般.【解析】球的三视图全是圆；如图正方体截出的三棱锥三视图全是等腰直角三角形；正方体三视图都是正方形.可以排除ABC ，故选Ｄ．11.【2012高考真题重庆理9】设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1和a ，且长为aa 的取值范围是（A ） （B ）(0, （C ） （D ） 【答案】A 【解析】因为22211)22(12=-=-=BE 则BE BF <，222=<=BE BF AB ，选A ，12.【2012高考真题北京理7】某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）A. 28+65B. 30+65C. 56+ 125D. 60+125【答案】B【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。
高考真题理科数学解析分类汇编6平面向量
高考真题理科数学解析分类汇编6 平面向量1.【2012高考重庆理6】设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且c b c a //,⊥，+（A （B （C ） （D ）10 【答案】B【解析】因为c b c a //,⊥，所以有042=-x 且042=+y ，解得2=x ，2-=y ，即)2,1(),1,2(-==，所以)1,3(-=+10=+，选B.2.【2012高考浙江理5】设a ，b 是两个非零向量。
A.若|a+b |=|a |-|b |，则a ⊥bB.若a ⊥b ，则|a +b |=|a |-|b |C.若|a +b |=|a |-|b |，则存在实数λ，使得b =λaD.若存在实数λ，使得b =λa ，则|a +b |=|a |-|b | 【答案】C【解析】利用排除法可得选项C 是正确的，∵|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb ．如选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正方形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ：若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立．3.【2012高考四川理7】设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a ba b =成立的充分条件是（ ）A 、a b =-B 、//a bC 、2a b =D 、//a b 且||||a b =【答案】C【解析】A.=为既不充分也不必要条件；B.可以推得||||a ba b =||||b a =C ．为充分不必要条件；D 同B.[点评]本题考查的是向量相等条件⇔模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意.4.【2012高考辽宁理3】已知两个非零向量a ，b 满足|a +b |=|a -b |，则下面结论正确的是(A) a ∥b (B) a ⊥b (C){0,1,3} (D)a +b =a -b 【答案】B【解析】一、由|a +b |=|a -b |，平方可得a ⋅b =0,所a ⊥b ，故选B二、根据向量加法、减法的几何意义可知|a +b |与|a -b |分别为以向量a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a +b |=|a -b |，所以该平行四边形为矩形，所以a ⊥b ，故选B 【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系，属于容易题。
2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)9：直线与圆
2012高考真题分类汇编：直线与圆1.【2012高考真题重庆理3】任意的实数k ，直线1+=kx y 与圆222=+y x 的位置关系一定是（1） 相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心【答案】C【解析】直线1+=kx y 恒过定点)1,0(，定点到圆心的距离21<=d ，即定点在圆内部，所以直线1+=kx y 与圆相交但直线不过圆心，选C.2.【2012高考真题浙江理3】设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行 的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当1=a 时，直线1l ：02=+y x ，直线2l ：042=++y x ，则1l //2l ；若1l //2l ，则有012)1(=⨯-+a a ，即022=-+a a ，解之得，2-=a 或1=a ，所以不能得到1=a 。
故选A.4.【2012高考真题陕西理4】已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则（ ）A.l 与C 相交B. l 与C 相切C.l 与C 相离D. 以上三个选项均有可能【答案】A.【解析】圆的方程可化为4)2(22=+-y x ，易知圆心为)0,2(半径为2，圆心到点P 的距离为1，所以点P 在圆内.所以直线与圆相交.故选A.5.【2012高考真题天津理8】设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切，则m+n 的取值范围是（A ）]31,31[+- （B ）),31[]31,(+∞+⋃--∞（C ）]222,222[+- （D ）),222[]222,(+∞+⋃--∞【答案】D【解析】圆心为)1,1(，半径为 1.直线与圆相切，所以圆心到直线的距离满足1)1()1(|2)1()1|22=+++-+++n m n m （，即2)2(1n m mn n m +≤=++，设z n m =+，即01412≥--z z ，解得,222-≤z 或,222+≥z6.【2012高考江苏12】（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ▲ ． 【答案】43。
2012年高考真题理科数学解析汇编概率参考答
2012年高考真题理科数学解析汇编：概率参考答案一、选择题 1.【答案】C【解析】设线段AC 的长为x cm,则线段CB 的长为(12x -)cm,那么矩形的面积为(12)x x -cm 2,由(12)32x x -<,解得48x x <>或.又012x <<,所以该矩形面积小于32cm 2的概率为23,故选C【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算,以及分析问题的能力,属于中档题.2.考点分析:本题考察几何概型及平面图形面积求法.解析:令1=OA ,扇形OAB 为对称图形,ACBD 围成面积为1S ,围成OC 为2S ,作对称轴OD ,则过C 点.2S 即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积,82212121212122-=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππS .在扇形OAD 中21S 为扇形面积减去三角形OAC 面积和22S ,()1622811812221-=--=ππS S ,4221-=+πS S ,扇形OAB 面积π41=S ,选A. 3.解析:D.两位数共有90个,其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个,个位数为0的有5个,所以概率为51459=.4.【答案】D【解析】题目中0202x y ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩表示的区域表示正方形区域,而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分,因此2122244224p ππ⨯-⨯-==⨯,故选D 【考点定位】 本小题是一道综合题,它涉及到的知识包括:线性规划,圆的概念和面积公式、概率.5.[解析])(2.0543211x x x x x E ++++=ξ=t ,2221(2.0x x E +=ξ+232x x ++243x x ++254x x ++215x x +)=t ,211)[(2.0t x D -=ξ+22)(t x -+23)(t x -+24)(t x -+25)(t x -]]5)(2)[(2.02543212524232221t t x x x x x x x x x x +++++-++++=;记1221x x x '=+,2232x x x '=+,,5215x x x '=+,同理得 2ξD ]5)(2)[(2.02543212524232221t t x x x x x x x x x x +'+'+'+'+'-'+'+'+'+'=, 只要比较2524232221x x x x x '+'+'+'+'与2524232221x x x x x ++++有大小, 2524232221x x x x x ++++=,所以12ξξD D <,选A.第8[评注] 本题的数据范围够阴的,似乎为了与选项D 匹配,若为此范围面困惑,那就中了阴招!稍加计算,考生会发现1ξE 和2ξE 相等,其中的智者,更会发现第二组数据是第一组数据的两两平均值,故比第一组更“集中”、更“稳定”,根据方差的涵义,立得1ξD >2ξD 而迅即攻下此题.二、填空题6. [解析] 设概率p=n k ,则27232323=⋅⋅=C C C n ,求k ,分三步:①选二人,让他们选择的项目相同,有23C 种;②确定上述二人所选择的相同的项目,有13C 种;③确定另一人所选的项目,有12C 种.所以18121323=⋅⋅=C C C k ,故p=322718=.7.14158.【答案】35. 【考点】等比数列,概率.【解析】∵以1为首项,3-为公比的等比数列的10个数为1,-3,9,-27,···其中有5个负数,1个正数1计6个数小于8,∴从这10个数中随机抽取一个数,它小于8的概率是63=105. 9.【解析】使用寿命超过1000小时的概率为38三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1000,50)N 得:三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为12p =超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率2131(1)4P p =--=那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2138p p p =⨯=三、解答题10.【命题意图】本小题主要考查古典概型及其计算公式,互斥事件、事件的相互独立性、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为13,去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件(0,1,2,3,4)i A i =,则4412()()()33i i ii P A C -=.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为22224128()()()3327P A C ==. (2)设“这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”不事件B ,则34B A A =⋃,由于3A 与4A 互斥,故所以这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19. (3)ξ的所有可能的取值为0,2,4,由于1A 与3A 互斥,0A 与4A 互斥,故 所以ξ的分布列为ξ0 2 4p827 40811781随机变量ξ的数学期望84017148024********E ξ=⨯+⨯+⨯=. 【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点,近年来都通过概率问题来考查,且常考常新,对于此类考题,要注意认真审题,从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型,独立事件、互斥事件等概率模型求解,因此对概率型应用性问题,理解是基础,转化是关键..11.【解析】(1)当16n ≥时,16(105)80y =⨯-=当15n ≤时,55(16)1080y n n n =--=-得:1080(15)()80(16)n n y n N n -≤⎧=∈⎨≥⎩(2)(i)X 可取60,70,80X(ii)购进17枝时,当天的利润为(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯=76.476> 得:应购进17枝12.【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点.(Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6.35395(3)42C P X C ===; 21543920(4)42C C P X C ===; 12543915(5)42C C P X C ===; 34392(6)42C P X C ===. 故,所求X 的分布列为X 3456P54220104221=1554214=214221=(Ⅱ) 所求X 的数学期望E (X )为:E (X )=6413()3i i P X i =⋅==∑.【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)133. 13.【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率,考查运用概率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响,注意应用相互独立事件同时发生的概率公式.解:设,k k A B 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中,则()13k P A =,()12k P B =, ()1,2,3k ∈(1)记“甲获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知,()()()()111211223P C P A P A B A P A B A B A =++ (2)ξ的所有可能为:1,2,3由独立性知:()()()111121213323P P A P A B ξ==+=+⨯= 综上知,ξ有分布列从而,1233999E ξ=⨯+⨯+⨯=(次)14.[解析](1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么1-P(C)=1-101P=5049 ,解得P=514 分(2)由题意,P(ξ=0)=10001101303=）（C P(ξ=1)=1000271011101213=-）（）（C P(ξ=2)=10002431011101223=-）（）（C P(ξ=3)=100072910111013033=-）（）（C 所以,随机变量ξ的概率分布列为:故随机变量X 的数学期望为: E ξ=0102710007293100024321000271100010=⨯+⨯+⨯+⨯. [点评]本小题主要考查相互独立事件,独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算,考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力.15.解析:设Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得Y 的分布列如下:Y 1 2 3 4 5 P(1)A 表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则事件A 对应三种情形:①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.所以()(1)(3)(3)(1)(2)(2)P A P Y P Y P Y P Y P Y P Y ===+==+== (2)解法一 X 所有可能的取值为0,1,20X =对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以(0)(2)0.5P X P Y ==>=1X =对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟. 所以(1)(1)(1)(2)P X P Y P Y P Y ===>+=2X =对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟,所以(2)(1)(1)0.10.10.01P X P Y P Y =====⨯= 所以X 的分布列为X0 1 2 P解法二 X 所有可能的取值为0,1,20X =对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以(0)(2)0.5P X P Y ==>=2X =对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟,所以(2)(1)(1)0.10.10.01P X P Y P Y =====⨯= 所以X 的分布列为X0 1 2 P16.解析:(Ⅰ)367323141)31(43122=⋅⋅⋅+⋅=C P ;(Ⅱ)5,4,3,2,1,0=X91323141)2(,121)31(43)1(.361)31(41)0(1222=⋅===⋅===⋅==C X P X P X P , X 012345P361 12191 319131 EX=0×361+1×121+2×91+3×31+4×91+5×31=12531241=.17.【答案及解析】(I)由频率颁布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而2×2列联表如下: 由2×2列联表中数据代入公式计算,得:因为3.030<3.841,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关.(II)由频率颁布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14,由题意, ,从而X 的分布列为:【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列,期望()E X 和方差()D X ,考查分析解决问题的能力、运算求解能力,难度适中.准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键. 18.. 【解析】解:(1)从6个点中随机地选取3个点共有3620C =种选法,选取的3个点与原点O 在同一个平面上的选法有133412C C =种,因此V=0的概率123(0)205P V === (2)V 的所有可能值为11240,,,,6333,因此V 的分布列为V16132343P120320320120由V 的分布列可得: EV=31113234190562032032032040⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=方向的考查.19.【答案】解:(1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的一个,过任意1个顶点恰有3条棱,∴共有238C 对相交棱.∴232128834(0)=6611C P C ξ⨯===.(2)若两条棱平行,则它们的距离为1,的共有6对,∴212661(6611P C ξ===,416(1)=1(0)(=111111P P P ξξξ=-=-=--. ∴随机变量ξ的分布列是:ξ1()P ξ411 611 111∴其数学期望616()=1=111111E ξ+⨯. 【考点】概率分布、数学期望等基础知识.【解析】(1)求出两条棱相交时相交棱的对数,即可由概率公式求得概率(0)P ξ=.(2)的共有6对,即可求出(P ξ=,从而求出(1)P ξ=(两条棱平行且距离为1和两条棱异面),因此得到随机变量ξ的分布列,求出其数学期望.20.【解析】(1)由已知,得251055,35,y x y ++=+=所以15,20.x y ==该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得 XX 的数学期望为33111()1 1.52 2.53 1.920104510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. (Ⅱ)记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2 钟”,(1,2)i X i =为该顾客前面第i 位顾客的结算时间,则121212()(11)(1 1.5)( 1.51)P A P X X P X X P X X ===+==+==且且且.由于顾客的结算相互独立,且12,X X 的分布列都与X 的分布列相同,所以333333920202010102080=⨯+⨯+⨯=. 故该顾客结算前的等候时间不超过2 钟的概率为980. 【点评】本题考查概率统计的基础知识,考查分布列及数学期望的计算,考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%知251010055%,35,y x y ++=⨯+=从而解得,x y ,计算每一个变量对应的概率,从而求得分布列和期望;第二问,通过设事件,判断事件之间互斥关系,从而求得该顾客结算前的等候时间不超过．．．2 钟的概率. 21.考点分析:本题考察条件概率、离散型条件概率分布列的期望与方差.解析:(Ⅰ)由已知条件和概率的加法公式有:(300)0.3,P X <=(300700)(700)(300)0.70.30.4P X P X P X ≤<=<-<=-=,(700900)(900)(700)0.90.70.2P X P X P X ≤<=<-<=-=. (900)1(900)10.90.1P X P X ≥=-<=-=.所以Y 的分布列为:于是,()00.320.460.2100.13E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=2222()(03)0.3(23)0.4(63)0.2(103)0.19.8D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=. 故工期延误天数Y 的均值为3,方差为9.8. (Ⅱ)由概率的加法公式,(300)1(300)0.7P X P X ≥=-<=，又(300900)(900)(300)0.90.30.6P X P X P X ≤<=<-<=-=. 由条件概率,得(6300)(900300)P Y X P X X ≤≥=<≥(300900)0.66(300)0.77P X P X ≤<===≥.故在降水量X 至少是300mm 的条件下,工期延误不超过6天的概率是67. 22.解析:(Ⅰ)由()0.00630.010.054101x ⨯+++⨯=,解得0.018x =.(Ⅱ)分数在[)80,90、[]90,100的人数分别是500.018109⨯⨯=人、500.006103⨯⨯=ξ的取值为0、1、2.()023921236606611C C P C ξ====,()113921227916622C C P C ξ====,()20392123126622C C P C ξ====,所以ξ的数学期望是691111012112222222E ξ=⨯+⨯+⨯==. 23.【考点定位】本题主要考查古典概型、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查数据处理能力、应用意识、考查必然与或然思想. 解:(1)设“品牌轿车甲首次出现故障在保修期内”为事件A ,则231()5010P A +==. (2)依题意12,X X 的分布列分别如下:1X123ABC D PEF图 ①G 534p125350910(3)由(2)得12()()E X E X >,所以应生产甲品牌的轿车.24.【命题意图】本试题主要是考查了独立事件的概率的求解,以及分布列和期望值的问题.首先要理解发球的具体情况,然后对于事件的情况分析、讨论,并结合独立事件的概率求解结论. 解:记i A 为事件“第i 次发球,甲胜”,i=1,2,3,则123()0.6,()0.6,()0.4P A P A P A ===.(Ⅰ)事件“开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2”为123123123A A A A A A A A A ++,由互斥事件有一个发生的概率加法公式得123123123()P A A A A A A A A A ++0.60.40.60.40.60.60.40.40.4=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.352=.即开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2 (Ⅱ)由题意0,1,2,3ξ=.123(0)()0.60.60.40.144P P A A A ξ===⨯⨯=;123123123(1)()P P A A A A A A A A A ξ==++0.40.60.40.60.40.40.60.60.6=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=0.408;(2)0.352P ξ==;所以0.40820.35230.096 1.4E ξ=+⨯+⨯=【点评】首先从试题的选材上来源于生活,同学们比较熟悉的背景,同时建立在该基础上求解进行分类讨论的思想的运用,以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题.情景比较亲切,容易入手,但是在讨论情况的时候,容易丢情况.25.【考点定位】此题的难度集中在第三问,其他两问难度不大,第三问是对能力的考查,不要求证明,即不要求说明理由,但是要求学生对方差意义的理解非常深刻.(1)由题意可知:4002=6003(2)由题意可知:200+60+403=100010(3)由题意可知:22221(120000)3s a b c =++-,因此有当600a =,0b =,0c =时,有280000s =.26.【解析】(I)2Xn =+表示两次调题均为A 类型试题,概率为12n n m n m n +⨯+++ (Ⅱ)m n =时,每次调用的是A 类型试题的概率为12p =2X1.82.9p110910随机变量X 可取,1,2n n n ++21()(1)P X n p ==-=,1(1)2(1)P X n p p =+=-=,21(2)4P X n p =+==答:(Ⅰ)2X n =+的概率为2m n m n ⨯+++ (Ⅱ)求X 的均值为1n +。
2012年高考真题——理科数学试题及答案(天津卷、山东卷、上海卷、全国新课标卷、大纲版)解析版
2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学 （理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）i 是虚数单位，复数ii+-37= （A ） 2 + i （B ）2 – i （C ）-2 + i （D ）-2 – i【解析】复数i ii i i i i i -=-=+---=+-2101020)3)(3()3)(7(37，选B. 【答案】B（2）设,R ∈ϕ则“0=ϕ”是“))(cos()(R x x x f ∈+=ϕ为偶函数”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分与不必要条件【解析】函数)cos()(ϕ+=x x f 若为偶函数，则有Z k k ∈=,πϕ,所以“0=ϕ”是“)cos()(ϕ+=x x f 为偶函数”的充分不必要条件，选A.【答案】A（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为-25时，输出x 的值为（A ）-1 （B ）1 （C ）3 （D ）9【解析】第一次循环,415125=-=--=x ，第二次循环11214=-=-=x ，第三次循环不满足条件输出3112=+⨯=x ，选C.【答案】C（4）函数22)(3-+=x x f x在区间(0,1)内的零点个数是 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【解析】因为函数22)(3-+=x x f x的导数为032ln 2)('2≥+=x x f x，所以函数22)(3-+=x x f x 单调递增，又0121)0(<-=-=f ，01212)1(>=-+=f ，所以根据根的存在定理可知在区间)1,0(内函数的零点个数为1个，选B. 【答案】B（5）在52)12(xx -的二项展开式中，x 的系数为（A ）10 （B ）-10 （C ）40 （D ）-40【解析】二项展开式的通项为k k k k k k kk x C xx C T )1(2)1()2(310555251-=-=---+，令1310=-k ，解得3,93==k k ，所以x x C T 40)1(232354-=-=，所以x 的系数为40-，选D.【答案】D（6）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是c b a ,,，已知8b=5c ，C=2B ，则cosC=（A ）257 （B ）257- （C ）257± （D ）2524【解析】因为B C 2=,所以B B B C cos sin 2)2sin(sin ==,根据正弦定理有BbC c sin sin =，所以58sin sin ==B C b c ，所以545821sin 2sin cos =⨯==B C B 。
2012年高考真题理科数学解析汇编：概率
2012年高考真题理科数学解析汇编：概率一、选择题1 ．（2012年高考（辽宁理））在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ．现作一矩形,领边长分别等于线段AC,CB 的长,则该矩形面积小于32cm 2的概率为 （ ） A ．16B ．13C ．23 D ．452 ．（2012年高考（湖北理））如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA ,OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 （ ） A ．21π- B ．112π- C ．2πD ．1π3 ．（2012年高考（广东理））(概率)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是（ ）A ．49B ．13C ．29D ．194 ．（2012年高考（北京理））设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ．在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （ ） A ．4πB ．22π- C ．6π D ．44π- 5 ．（2012年高考（上海理））设443211010≤<<<≤x x x x ,5510=x . 随机变量1ξ取值1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的概率均为0.2,随机变量2ξ取值221x x +、232x x +、243x x +、254x x +、215x x +的概率也为0.2.若记1ξD 、2ξD 分别为1ξ、2ξ的方差,则 （ ）A ．1ξD >2ξD .B ．1ξD =2ξD .C ．1ξD <2ξD .D ．1ξD 与2ξD 的大小关系与1x 、2x 、3x 、4x 的取值有关.二、填空题6 ．（2012年高考（上海理））三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是______(结果用最简分数表示). 7 ．（2012年高考（上海春））某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作,则在选出的志愿者中,男、女都有的概率为______(结果用数值表示). 8 ．（2012年高考（江苏））现有10个数,它们能构成一个以1为首项,3-为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是____. 9 ．（2012年高考（新课标理））某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从 正态分布2(1000,50)N ,且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命 超过1000小时的概率为_________三、解答题10．（2012年高考（天津理））现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率:(Ⅱ)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率:(Ⅲ)用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记=||X Y ξ-,求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.11．（2012年高考（新课标理））某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y (单位:元)关于当天需求量n (单位:枝,n N ∈)的函数解析式.(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)若花店一天购进16枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求X 的分布列, 数学期望及方差;(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?元件1元件2元件3请说明理由.12．（2012年高考（浙江理））已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.(Ⅰ)求X的分布列;(Ⅱ)求X的数学期望E(X).13．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13,乙每次投篮投中的概率为12,且各次投篮互不影响.(Ⅰ) 求甲获胜的概率;(Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望14．（2012年高考（四川理））某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950,求p的值;(Ⅱ)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的概率分布列及数学期望Eξ.15．（2012年高考（陕西理））某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:从第一个顾客开始办理业务时计时.(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望.16．（2012年高考（山东理））先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为34,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为23,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.(Ⅰ)求该射手恰好命中一次得的概率;(Ⅱ)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.17．（2012年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.(Ⅰ)根据已知条件完成下面的22列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽 样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的,求X 的分布列,期望()E X 和方差()D X .附:22112212211212(),n n n n n n n n n χ++++-=18．（2012年高考（江西理））如图,从A 1(1,0,0),A 2(2,0,0),B 1(0,2,0),B 2(0,2,0),C 1(0,0,1),C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点O 两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积V=0).(1)求V=0的概率;(2)求V 的分布列及数学期望.19．（2012年高考（江苏））设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,0ξ=;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,1ξ=. (1)求概率(0)P ξ=;(2)求ξ的分布列,并求其数学期望()E ξ.20．（2012年高考（湖南理））某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随(Ⅰ)确定x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望;(Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2 钟的概率. (注:将频率视为概率)21．（2012年高考（湖北理））根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X (单位:mm)对工期的影响如下表:历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9. 求:(Ⅰ)工期延误天数Y 的均值与方差;(Ⅱ)在降水量X 至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率.22．（2012年高考（广东理））(概率统计)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:[)40,50、[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100.(Ⅰ)求图中x 的值;(Ⅱ)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ,求ξ的数学期望.23．（2012年高考（福建理））受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆,统计书数据如下:品牌 甲乙首次出现故障时间x 年01x <≤12x <≤2x >02x <≤2x >轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率,解答下列问题:(I)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率;(II)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ,生产一辆乙品牌轿车的利润为2X ,分别求12,X X 的分布列;(III)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车,若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由.24．（2012年高考（大纲理））(注意:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换,每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立,.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.(1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率; (2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分,求ξ的期望.25．（2012年高考（北京理））近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率;(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ,其中0a >,600a b c ++=.当数据,,a b c 的方差2S 最大时,写出,,a b c 的值(结论不要求证明),并求此时2S 的值. (注:方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++- ,其中x 为12,,n x x x 的平均数)26．（2012年高考（安徽理））某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是A类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道A 类试题和一道B 类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是B 类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束.试题库中现共有n m +道试题,其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题,以X 表示两次调题工作完成后,试题库中A 类试题的数量. (Ⅰ)求2X n =+的概率;(Ⅱ)设m n =,求X 的分布列和均值(数学期望).2012年高考真题理科数学解析汇编：概率参考答案一、选择题 1. 【答案】C【解析】设线段AC 的长为x cm,则线段CB 的长为(12x -)cm,那么矩形的面积为(12)x x -cm 2,由(12)32x x -<,解得48x x <>或.又012x <<,所以该矩形面积小于32cm 2的概率为23,故选C 【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算,以及分析问题的能力,属于中档题.2. 考点分析:本题考察几何概型及平面图形面积求法.解析:令1=OA ,扇形OAB 为对称图形,ACBD 围成面积为1S ,围成OC 为2S ,作对称轴OD ,则过C 点.2S 即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积,82212121212122-=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππS .在扇形OAD 中21S 为扇形面积减去三角形OAC 面积和22S ,()1622811812221-=--=ππS S ,4221-=+πS S ,扇形OAB 面积π41=S ,选A. 3. 解析:D.两位数共有90个,其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个,个位数为0的有5个,所以概率为51459=. 4. 【答案】D【解析】题目中0202x y ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩表示的区域表示正方形区域,而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分,因此2122244224p ππ⨯-⨯-==⨯,故选D 【考点定位】 本小题是一道综合题,它涉及到的知识包括:线性规划,圆的概念和面积公式、概率.5.[解析])(2.0543211x x x x x E ++++=ξ=t ,2221(2.0x x E +=ξ+232x x ++243x x ++254x x ++215x x +)=t ,211)[(2.0t x D -=ξ+22)(t x -+23)(t x -+24)(t x -+25)(t x -]]5)(2)[(2.02543212524232221t t x x x x x x x x x x +++++-++++=;记1221x x x '=+,2232x x x '=+,,5215x x x '=+,同理得 第8题图2ξD ]5)(2)[(2.02543212524232221t t x x x x x x x x x x +'+'+'+'+'-'+'+'+'+'=, 只要比较2524232221x x x x x '+'+'+'+'与2524232221x x x x x ++++有大小, ])()()[(221232221412524232221x x x x x x x x x x x ++++++='+'+'+'+' )]22222()(2[155443322125242322211x x x x x x x x x x x x x x x +++++++++= )]()()()()()(2[21252524242323222221252423222141x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++++++++< 2524232221x x x x x ++++=,所以12ξξD D <,选A. [评注] 本题的数据范围够阴的,似乎为了与选项D 匹配,若为此范围面困惑,那就中了阴招!稍加计算,考生会发现1ξE 和2ξE 相等,其中的智者,更会发现第二组数据是第一组数据的两两平均值,故比第一组更“集中”、更“稳定”,根据方差的涵义,立得1ξD >2ξD 而迅即攻下此题.二、填空题6. [解析] 设概率p=k ,则27232323=⋅⋅=C C C n ,求k ,分三步:①选二人,让他们选择的项目相同,有23C 种;②确定上述二人所选择的相同的项目,有13C 种;③确定另一人所选的项目,有12C 种. 所以18121323=⋅⋅=C C C k ,故p=322718=. 7.14158. 【答案】35. 【考点】等比数列,概率. 【解析】∵以1为首项,3-为公比的等比数列的10个数为1,-3,9,-27,···其中有5个负数,1个正数1计6个数小于8,∴从这10个数中随机抽取一个数,它小于8的概率是63=105. 9. 【解析】使用寿命超过1000小时的概率为38三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1000,50)N 得:三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为12p =超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率2131(1)4P p =--= 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2138p p p =⨯=三、解答题10. 【命题意图】本小题主要考查古典概型及其计算公式,互斥事件、事件的相互独立性、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为13,去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件(0,1,2,3,4)i A i =,则4412()()()33i i ii P A C -=.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为22224128()()()3327P A C ==.(2)设“这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”不事件B ,则34B A A =⋃,由于3A 与4A 互斥,故334434441211()()()()()()3339P B P A P A C C =+=+=所以这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19. (3)ξ的所有可能的取值为0,2,4,由于1A 与3A 互斥,0A 与4A 互斥,故2130484017(0)(),(2)()(),(4)()()278181P P A P P A P A P P A P A ξξξ=====+===+= 所以ξ的分布列为ξ0 2 4p827 40811781随机变量ξ的数学期望8401714802427818181E ξ=⨯+⨯+⨯=. 【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点,近年来都通过概率问题来考查,且常考常新,对于此类考题,要注意认真审题,从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型,独立事件、互斥事件等概率模型求解,因此对概率型应用性问题,理解是基础,转化是关键..11. 【解析】(1)当16n ≥时,16(105)80y =⨯-=当15n ≤时,55(16)1080y n n n =--=-得:1080(15)()80(16)n n y n N n -≤⎧=∈⎨≥⎩(2)(i)X 可取60,70,80(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X ======X222160.160.240.744DX =⨯+⨯+⨯=(ii)购进17枝时,当天的利润为(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯= 76.476> 得:应购进17枝12. 【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点.(Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6.35395(3)42C P X C ===; 21543920(4)42C C P X C ===;12543915(5)42C C P X C ===; 34392(6)42C P X C ===. 故,所求X 的分布列为X 3 4 5 6 P54220104221= 1554214= 214221=(Ⅱ) 所求X 的数学期望E (X )为:E (X )=6413()3i i P X i =⋅==∑.【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)133. 13. 【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率,考查运用概率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响,注意应用相互独立事件同时发生的概率公式.解:设,k k A B 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中,则()13k P A =,()12k P B =, ()1,2,3k ∈(1)记“甲获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知,()()()()111211223P C P A P A B A P A B A B A =++()()()()()()()()()111211223P A P A P B P A P A P B P A P B P A =++2212112113323323⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11113392727=++= (2)ξ的所有可能为:1,2,3由独立性知:()()()111121213323P P A P A B ξ==+=+⨯= ()()()2211211222112122323329P P A B A P A B A B ξ⎛⎫⎛⎫==+=⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2211222113329P P A B A B ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上知,ξ有分布列从而,1233999E ξ=⨯+⨯+⨯=(次)14. [解析](1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么1-P(C)=1-101P=5049 ,解得P=514 分 (2)由题意,P(ξ=0)=10001101303=）（C P(ξ=1)=1000271011101213=-）（）（C P(ξ=2)=10002431011101223=-）（）（C P(ξ=3)=100072910111013033=-）（）（C 所以,随机变量ξ的概率分布列为:故随机变量X 的数学期望为: E ξ=0102710007293100024321000271100010=⨯+⨯+⨯+⨯. [点评]本小题主要考查相互独立事件,独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算,考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力. 15.解析:设Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得Y 的分布列如下:Y 1 2 3 4 5 P0.10.40.30.10.1(1)A 表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则事件A 对应三种情形: ①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.所以()(1)(3)(3)(1)(2)(2)P A P Y P Y P Y P Y P Y P Y ===+==+==0.10.30.30.10.40.40.22=⨯+⨯+⨯=(2)解法一 X 所有可能的取值为0,1,20X =对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以(0)(2)0.5P X P Y ==>=1X =对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟. 所以(1)(1)(1)(2)P X P Y P Y P Y ===>+=0.10.90.40.49=⨯+=2X =对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟,所以(2)(1)(1)0.10.10.01P X P Y P Y =====⨯= 所以X 的分布列为X 0 1 2 P0.50.490.0100.510.4920.010.51EX =⨯+⨯+⨯=解法二 X 所有可能的取值为0,1,20X =对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以(0)(2)0.5P X P Y ==>=2X =对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟,所以(2)(1)(1)0.10.10.01P X P Y P Y =====⨯=(1)1(0)(2)0.49P X P X P X ==-=-==所以X 的分布列为X 0 1 2 P0.50.490.0100.510.4920.010.51EX =⨯+⨯+⨯=16.解析:(Ⅰ)367323141)31(43122=⋅⋅⋅+⋅=C P ;(Ⅱ)5,4,3,2,1,0=X91323141)2(,121)31(43)1(.361)31(41)0(1222=⋅===⋅===⋅==C X P X P X P , 1)2(3)5(,1)2(1)4(,1213)3(2212=⋅===⋅===⋅==X P X P C X PEX=0×36+1×12+2×9+3×3+4×9+5×3=12312=. 17. 【答案及解析】(I)由频率颁布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而2×2列联表如下:由2×2列联表中数据代入公式计算,得:因为3.030<3.841,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关.(II)由频率颁布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14,由题意,,从而X 的分布列为:【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列,期望()E X 和方差()D X ,考查分析解决问题的能力、运算求解能力,难度适中.准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键. 18. . 【解析】解:(1)从6个点中随机地选取3个点共有3620C =种选法,选取的3个点与原点O 在同一个平面上的选法有133412C C =种,因此V=0的概率123(0)205P V === (2)V 的所有可能值为11240,,,,6333,因此V 的分布列为V16132343P35 120320320120由V 的分布列可得: EV=31113234190562032032032040⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 【点评】本题考查组合数,随机变量的概率,离散型随机变量的分布列、期望等. 高考中,概率解答题一般有两大方向的考查.一、以频率分布直方图为载体,考查统计学中常见的数据特征:如平均数,中位数,频数,频率等或古典概型;二、以应用题为载体,考查条件概率,独立事件的概率,随机变量的期望与方差等.来年需要注意第一种方向的考查.19. 【答案】解:(1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的一个,过任意1个顶点恰有3条棱,∴共有238C 对相交棱.∴ 232128834(0)=6611C P C ξ⨯===. (2)若两条棱平行,则它们的距离为1的共有6对, ∴212661(6611P C ξ===,416(1)=1(0)(=111111P P P ξξξ=-=---. ∴随机变量ξ的分布列是:ξ1()Pξ411611111∴其数学期望616()=1=111111Eξ+⨯+【考点】概率分布、数学期望等基础知识.【解析】(1)求出两条棱相交时相交棱的对数,即可由概率公式求得概率(0)Pξ=.(2)的共有6对,即可求出(Pξ=,从而求出(1)Pξ=(两条棱平行且距离为1和两条棱异面),因此得到随机变量ξ的分布列,求出其数学期望.20. 【解析】(1)由已知,得251055,35,y x y++=+=所以15,20.x y==该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得153303251(1),( 1.5),(2),10020100101004p X p X p X=========201101( 2.5),(3).100510010p X p X======XX33111()1 1.52 2.53 1.920104510E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.(Ⅱ)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2 钟”,(1,2)iX i=为该顾客前面第i 位顾客的结算时间,则121212()(11)(1 1.5)( 1.51)P A P X X P X X P X X===+==+==且且且.由于顾客的结算相互独立,且12,X X的分布列都与X的分布列相同,所以121212 ()(1)1)(1)( 1.5)( 1.5)(1)P A P X P X P X P X P X P X ==⨯=+=⨯=+=⨯=(333333920202010102080=⨯+⨯+⨯=.故该顾客结算前的等候时间不超过2 钟的概率为980.【点评】本题考查概率统计的基础知识,考查分布列及数学期望的计算,考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%知251010055%,35,y x y++=⨯+=从而解得,x y,计算每一个变量对应的概率,从而求得分布列和期望;第二问,通过设事件,判断事件之间互斥关系,从而求得该顾客结算前的等候时间不超过．．．2 钟的概率. 21.考点分析:本题考察条件概率、离散型条件概率分布列的期望与方差.解析:(Ⅰ)由已知条件和概率的加法公式有:(300)0.3,P X <=(300700)(700)(300)0.70.30.4P X P X P X ≤<=<-<=-=, (700900)(900)(700)0.90.70.2P X P X P X ≤<=<-<=-=. (900)1(900)10.90.1P X P X ≥=-<=-=.所以Y 的分布列为:于是,()00.320.460.2100.13E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=;2222()(03)0.3(23)0.4(63)0.2(103)0.19.8D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.故工期延误天数Y 的均值为3,方差为9.8.(Ⅱ)由概率的加法公式,(300)1(300)0.7P X P X ≥=-<=，又(300900)(900)(300)0.90.30.6P X P X P X ≤<=<-<=-=.由条件概率,得(6300)(900300)P Y X P X X ≤≥=<≥(300900)0.66(300)0.77P X P X ≤<===≥. 故在降水量X 至少是300mm 的条件下,工期延误不超过6天的概率是67. 22.解析:(Ⅰ)由()0.00630.010.054101x ⨯+++⨯=,解得0.018x =.(Ⅱ)分数在[)80,90、[]90,100的人数分别是500.018109⨯⨯=人、500.006103⨯⨯=人.所以ξ的取值为0、1、2.()023921236606611C C P C ξ====,()113921227916622C C P C ξ====,()20392123126622C C P C ξ====,所以ξ的数学期望是691111012112222222E ξ=⨯+⨯+⨯==. 23. 【考点定位】本题主要考查古典概型、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查数据处理能力、应用意识、考查必然与或然思想. 解:(1)设“品牌轿车甲首次出现故障在保修期内”为事件A ,则231()5010P A +==. (2)依题意12,X X 的分布列分别如下:123ABC D PEF图 ①G 5341Xp125350910(3)由(2)得1139()123 2.86255010E X =⨯+⨯+⨯=219() 1.8 2.9 2.791010E X =⨯+⨯=12()()E X E X >,所以应生产甲品牌的轿车.24. 【命题意图】本试题主要是考查了独立事件的概率的求解,以及分布列和期望值的问题.首先要理解发球的具体情况,然后对于事件的情况分析、讨论,并结合独立事件的概率求解结论. 解:记iA 为事件“第i 次发球,甲胜”,i=1,2,3,则123()0.6,()0.6,()0.4P A P A P A ===.(Ⅰ)事件“开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2”为123123123A A A A A A A A A ++,由互斥事件有一个发生的概率加法公式得123123123()P A A A A A A A A A ++0.60.40.60.40.60.60.40.40.4=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.352=.即开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率为0.352 (Ⅱ)由题意0,1,2,3ξ=.123(0)()0.60.60.40.144P P A A A ξ===⨯⨯=;123123123(1)()P P A A A A A A A A A ξ==++0.40.60.40.60.40.40.60.60.6=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=0.408;(2)0.352P ξ==;123(3)()0.40.40.60.096P P A A A ξ===⨯⨯=所以0.40820.35230.096 1.4E ξ=+⨯+⨯=【点评】首先从试题的选材上来源于生活,同学们比较熟悉的背景,同时建立在该基础上求解进行分类讨论的思想的运用,以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题.情2X1.82.9p110910景比较亲切,容易入手,但是在讨论情况的时候,容易丢情况. 25. 【考点定位】此题的难度集中在第三问,其他两问难度不大,第三问是对能力的考查,不要求证明,即不要求说明理由,但是要求学生对方差意义的理解非常深刻.(1)由题意可知:4002=6003(2)由题意可知:200+60+403=100010(3)由题意可知:22221(120000)3s a b c =++-,因此有当600a =,0b =,0c =时,有280000s =.26. 【解析】(I)2X n =+表示两次调题均为A 类型试题,概率为12n n m n m n +⨯+++ (Ⅱ)m n =时,每次调用的是A 类型试题的概率为12p =随机变量X 可取,1,2n n n ++ 21()(1)P X n p ==-=,1(1)2(1)P X n p p =+=-=,21(2)4P X n p =+==(1)(2)1424EX n n n n =⨯++⨯++⨯=+ 答:(Ⅰ)2X n =+的概率为12n n m n m n +⨯+++ (Ⅱ)求X 的均值为1n +。
二项式定理高考题(含答案)
二项式定理 高考真题一、选择题1.（2012·四川高考理科·Ｔ1）相同7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ D ）（A ）42 （B ）35 （C ）28 （D ）212.（2011·福建卷理科·Ｔ6）(1+2x )5的展开式中，x 2的系数等于（ B ）（A ）80 （B ）40 （C ）20 （D ）103.（2012·天津高考理科·Ｔ5）在5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，x 的系数为 （ D ）(A)10 (B)-10 (C)40 (D)-404.（2011.天津高考理科.T5）在6的二项展开式中，2x 的系数为 （ C ）（A ）154- （B ）154 （C ）38- （D ）385.（2012·重庆高考理科·Ｔ4）821⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中常数项为( B ) (A)1635 (B)835 (C)435(D)1056.（2012·重庆高考文科·Ｔ4）5)31(x -的展开式中3x 的系数为( A )(A)270- (B)90- (C)90 (D)2707. (2013·大纲版全国卷高考理科·T7)()()8411++x y 的展开式中22x y 的系数是 ( D )8.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ D ） （A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）409. (2011·重庆高考理科·T4)n x )31(+(其中n N ∈且6≥n )的展开式中5x 与6x 的系数相等,则=n ( B ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 10．（2011·陕西高考理科·T4）6(42)x x --（x ∈R ）展开式中的常数项是 （C ）（A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20二、填空题11. （2013·天津高考理科·Ｔ10）6x⎛ ⎝的二项展开式中的常数项为 15 . 12.（2011·湖北高考理科·T11） 18x ⎛ ⎝的展开式中含15x 的项的系数为 17 .13.（2011·全国高考理科·Ｔ13）)20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为 0 .14.（2011·四川高考文科·Ｔ13）91)x +（的展开式中3x 的系数是 84 （用数字作答）. 15.(2011·重庆高考文科·T11)6)21(x +的展开式中4x 的系数是 240 .16.（2011·安徽高考理科·Ｔ12）设2121221021)1x a x a x a a x ++++=- （，则1110a a += 0 .17.（2011·广东高考理科·Ｔ10）72()x x x-的展开式中，4x 的系数是___84___ (用数字作答)18.（2011·山东高考理科·Ｔ14）若62x x ⎛- ⎝⎭的展开式的常数项为60，则常数a 的值为 4 .19.（2012·大纲版全国卷高考理科·Ｔ15）若nx x )1(+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为__56_____. 20.（2013·安徽高考理科·Ｔ11）若8⎛+ ⎝x 的展开式中4x 的系数为7，则实数a ____12_____。
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x2 y2 （A） 1
16 12
x2 y2 （B） 1
12 8
x2 y2
x2 y2
（C） 1 （D） 1
84
12 4
（4）已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中 ， AB 2 ， CC1 2 2 ， E 为 CC1 的中点，则直
线 AC1 与平面 BED 的距离为
（A） 2
（B） 3
（C） 2
（D）1
1
（5）已知等差数列 {an } 的前
n
项和为
Sn
，
a5
5
，
S5
15 ，则数列{ } 的前100 an an 1
项和
为
100
（A）
101
99
（B）
101
99
（C）
100
101
（D）
100
（6）ABC 中，AB 边的高为 CD ，若 CB a ，CA b ，a b 0 ，| a | 1，| b | 2 ，则 AD
（Ⅱ）设 f (x) 1 sin x ，求 a 的取值范围。
（21）（本小题满分 12 分）（注意：在．试．卷．上．作．答．无．效．）
已知抛物线 C : y (x 1)2 与圆 M : (x 1)2 ( y 1)2 r2 (r 0) 有一个公共点 A ，且 2
在点 A 处两曲线的切线为同一直线 l . （Ⅰ）求 r ； （Ⅱ）设 m 、 n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线，m 、 n 的交点为 D ，求 D 到 l 的距
离。
（22）（本小题满分 12 分）（注意：在．试．卷．上．作．答．无．效．）
函 数 f (x) x2 2x 3 ， 定 义 数 列 {xn} 如 下 ： x1 2 ， xn1 是 过 两 点 P(4, 5) 、 Qn (xn , f (xn )) 的直线 PQn 与 x 轴交点的横坐标。
三.解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分 10 分）（注．意．：．在．试．卷．上．作．答．无．效．）
ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，已知 cos( A C) cos B 1，a 2c ， 求C 。
填写清楚，并贴好条形码。请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.没小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在．试．题．卷．上．作．答．无．效．。
3.第 I 卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
P （18）（本小题满分 12 分）（注意：在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）
如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， PA 底面
ABCD ， AC 2 2 ，PA 2 ，E 是 PC 上的一点，PE 2EC 。 （Ⅰ）证明： PC 平面 BED ； （Ⅱ）设二面角 A PB C 为 90 ，求 PD 与平面 PBC 所成角的 B
合题目要求的。
一、选择题
1 3i
（1）复数
1 i
（A） 2 i
（B） 2 i
（C）1 2i
（D）1 2i
（2）已知集合 A {1,3, m} ， B {1, m}， A B A ，则 m
（A） 0 或 3
（B） 0 或 3
（C中心在原点，焦距为 4 ，一条准线为 x 4 ，则该椭圆的方程为
x y 1 0 （13）若 x, y 满足约束条件 x y 3 0 ，则 z 3x y 的最小值为__________。 x 3y 3 0
（14）当函数 y sin x 3 cos x(0 x 2 ) 取得最大值时， x ___________。
则 cos F1PF2
1
（A）
4
3
（B）
5
3
（C）
4
1
（9）已知 x ln ， y log5 2 ， z e 2 ，则
（A） x y z
（B） z x y
（C） z y x
4
（D）
5
（D） y z x
（10）已知函数 y x3 3x c 的图像与 x 恰有两个公共点，则 c
发球。
（Ⅰ）求开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为1比 2 的概率； （Ⅱ） 表示开始第 4 次发球时乙的得分，求 的期望。
（20）（本小题满分 12 分）（注意：在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）
设函数 f (x) ax cos x ， x [0, ] 。
（Ⅰ）讨论 f (x) 的单调性；
（Ⅰ）证明： 2 xn xn1 3 ；
（Ⅱ）求数列{xn} 的通项公式。
写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上得准考证号、姓名和科目。 2.第Ⅱ卷共 2 页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，
在试．题．卷．上．作．答．无．效．。 3.第Ⅱ卷共 10 小题，共 90 分。
二。填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。 （注意：在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）
1 1 （A） a b
33
2 2 （B） a b
33
3 3 （C） a b
55
4 4 （D） a b
55
3 （7）已知 为第二象限角， sin cos ，则 cos 2
3
5 （A）
3
5 （B）
9
5
（C）
9
5
（D）
3
（8）已知 F1 、 F2 为双曲线 C : x2 y2 2 的左、右焦点，点 P 在 C 上， | PF1 | 2 | PF2 | ，
7
P 从 E 出发沿直线向 F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点
P 第一次碰到 E 时， P 与正方形的边碰撞的次数为
（A）16
（B）14
（C）12
（D）10
2012 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（必修+选修Ⅱ）
第Ⅱ卷
注意事项： 1.答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填
（A） 2 或 2
（B） 9 或 3
（C） 1或1
（D） 3 或1
（11）将字母 a, a, b, b, c, c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，
则不同的排列方法共有
（A）12 种
（B）18 种
（C） 24 种
（D） 36 种
3 （12）正方形 ABCD 的边长为1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上， AE BF 。动点
E
A
D
大小。
C
（19）（本小题满分 12 分）（注意：在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）
乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10 平前，一方连续发球 2 次后，对方再连 续发球 2 次，依次轮换。每次发球，胜方得1分，负方得 0 分。设在甲、乙的比赛中，每次发 球，发球方得1分的概率为 0.6 ，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先
2012 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（必修+选修Ⅱ）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第 1 至 2 页，第Ⅱ卷 第 3 至第 4 页。考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
注意事项：
全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
考生注意事项：
1.答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号
（15）若 (x 1 )n 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则该展开式中 1 的系数为
x
x2
_________。
（16）三棱柱 ABC A1B1C1 中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1 CAA1 60 ，则异
面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为____________。