北京市朝阳区2019-2020学年度第二学期期末质量检测高二数学试题
北京市朝阳区2019-2020学年高二第一学期期末数学试题及答案
北京市朝阳区2019-2020学年度第一学期期末质量检测高二年级数学试卷 2020.1(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分第一部分 （选择题 共50分）一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 不等式(2)0x x -<的解集是（A ）{}02x x << （B ）{}0x x >（C ）{}2x x < （D ）{}02<<或x x x2. 已知1x ≥，则当4x x +取得最小值时，x 的值为 （A ）1（B ）2（C ）3（D ）43. 已知双曲线2221(0)16x y a a -=>的一个焦点为(5,0)，则a 的值为（A ）9（B ）6（C ）5（D ）34. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，则椭圆C 的方程为 （A ）22184x y += （B ）221164x y += （C ）221816x y += （D ）221168x y +=5. 若向量,,a b c 不共面，则下列选项中三个向量不共面的是（A ）,,-+b c b b c （B ）,,a b c a b c +++ （C ）,,a b a b c +- （D ）,,a b a b a -+6.已知,m l 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列各组条件中能推出⊥m l 的所有序号是①,,αβαβ⊥⊥⊥m l ②,,αβαβ⊥∥∥m l③,,αβαβ⊂⊥∥m l ④,,αβαβ⊂⊥∥m l （A ）①②③（B ）①②（C ）②③④ （D ）③④7. 已知0>mn ，21+=m n ，则12+m n的最小值是 （A ）4（B ）6（C ）8（D ）168. 已知数列{}n a 和{}n b 满足=n n b a ，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n b 为等比数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件9. 经过双曲线2222:1(0,0)-=>>x y M a b a b的左焦点作倾斜角为60°的直线l ，若l 与双曲线M 的左支有两个不同的交点，则M 的离心率的取值范围是（A ）(2,)+∞（B ）(1,2) （C ）(1,（D ）)+∞10. 已知球O 的直径为3，,,,A B C D 是球O 上四个不同的点，且满足0⋅=AB AC ，0⋅=AC AD ，0⋅=AD AB ，分别用123,,S S S 表示,,ABC ACD ABD 的面积，则123++S S S 的最大值是（A ）14（B ）92（C ）9 （D ）18第二部分（非选择题 共100分）二.填空题:本大题共6小题,每空5分,共30分，答案写在答题卡上.11. 双曲线2214-=x y 的渐近线方程是________.12. 抛物线22=y x 的焦点坐标是________；准线方程是_________.13. 已知公比不为1的等比数列{}n a 满足12=a ，234+=a a ，则4=a _________. 14. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为________，面积最大的侧面的面积为________.15. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，其中一道题目的背景是这样的：把100片面包分给5个人，使每个人分得的面包数成等差数列，且使较大的三个数之和的17是较小的两个数之和，若将这5个数从小到大排列成递增的等差数列，则该数列的公差为_________.16. 不等式222()-≤-x y cx y x 对满足0>>x y 的任意实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值是________.俯视图三.解答题:本大题共4小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 17. （本小题满分16分）已知数列{}n a 是递增的等差数列，23=a ，且125,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2=+n n n b a ，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）若12+=n n n c a a ，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足2425>n T 的n 的最小值.18. （本小题满分18分）如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD .已知==PA PD AB ，090∠=APD .（Ⅰ）证明：∥AD平面PBC ； （Ⅱ）证明：⊥AB PD ；（Ⅲ）求二面角--A PB C 的余弦值.PDCBA19. （本小题满分18分）已知抛物线22(0)=>y px p 经过点(1,2). （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过抛物线C 的焦点F 的直线l 交C 于,A B 两点，设O 为原点（ⅰ）当直线l 的斜率为1时，求∆AOB 的面积； （ⅱ）当3=FA FB 时，求直线l 的方程.20. （本小题满分18分）已知椭圆2222:10)+=>>（x y C a b a b ，直线20++=x y 经过椭圆C 的左焦点A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线:=+l y kx m （0≠k ）交椭圆C 于,M N 两点（,M N 不同于点A ）.过原点O 的一条直线与直线l 交于点P ，与直线,AM AN 分别交于点,D E .（ⅰ）当k MN 的最大值；（ⅱ）若=OD OE ，求证：点P 在一条定直线上.北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期期末质量检测高二年级数学试卷 参考答案 2020．1三、解答题：（本题满分70分） 17．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d （0d >），由条件可得121113,(4)(),0,a d a a d a d d +=⎧⎪+=+⎨⎪>⎩解得11,2.a d =⎧⎨=⎩所以12(1)21n a n n =+-=-，*n ∈N ．…………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2212n n n n b a n =+=-+，则12323121135(21)2222(121)222122 2.n nnn n S b b b b n n n n ++=++++=++++-++++++--=+-=+-所以数列{}n b 的前n 项和2122n n S n +=+-． (11)分（Ⅲ）因为122(21)(21)n n n c a a n n +==-+11,2121n n =--+ 所以1111121335212121n nT n n n =-+-++-=-++. 由2242125n n >+得12n >，又因为*n ∈N ， 所以满足2425n T >的n 的最小值为13. ……………………………………16分 18．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）因为四边形ABCD 为矩形，所以AD BC ∥． 又因为BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以AD ∥平面PBC ． ……………………………………………………4分（Ⅱ）根据题意，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，因为AB平面ABCD ，且AB AD ⊥，所以AB ⊥平面PAD ． 又因为PD ⊂平面PAD ，所以AB PD ⊥． ……………………………………………………9分（Ⅲ）取AD 的中点为O ，取BC 的中点为E ，连接,OP OE ，则OE AD ⊥，又因为PA PD =，所以PO AD ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以,,OA OE OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图． 不妨设2AB =，因为PA PD AB ==，90APD ∠=︒，所以2PA PD ==，2AD =，1OP =．所以(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(0,0,1)P ，(1,0,0)D -．所以(1,2,1)PB =-，(2,0,0)BC =-，(1,0,1)=--PD ．由（Ⅱ）可知，AB PD ⊥．因为90APD ∠=︒，所以⊥PA PD ．O xyz PA BC D E所以⊥PD 平面PAB ．所以PD 为平面PAB 的一个法向量． 设平面PBC 的一个法向量为(),,x y z =n ，则0,0,PB BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩n n即0,20.x z x ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩取1y =，得平面PBC的一个法向量为=n ．则cos ,3PD PD PD ⋅〈〉===-⋅n n n，由图可知，二面角--A PBC 为钝角， 所以二面角--A PB C 的余弦值是-…………………………………18分 19．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）由抛物线22y px =过点(1,2)，得24p =．于是2p =，所以该抛物线的方程为24y x =，准线方程为1x =-．……………………………………………………………4分 （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ．焦点F 的坐标为(10)，．（i ）由题可知，直线l 的方程为1y x =-．联立24,1,y x y x ⎧=⎨=-⎩得2440y y --=．由韦达定理可得12124,4.y y y y +=⎧⎨=-⎩因为||1OF =，1212||||||y y y y+=-，所以()121212111||||||||||||||2221||2OB OF O A A FBS S S OF y OF y OF y y y y =+=⋅+⋅=+=-===△△△所以AOB △的面积为 (10)分（ii ）易知直线l 的斜率存在且不为0，焦点坐标为(10)，， 设直线():1l y k x =-．联立()24,1,y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得2222(24)0k x k x k -++=．由韦达定理可得1221242,1.x x kx x ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩①② 由题意，||3||FA FB =，因为,A B 分别到准线的距离等于,A B 到焦点F 的距离， 所以1213(1)x x +=+，即1232x x =+．③ 联立②③，解得1213,3x x ==，代入①得23k =，所以k = 所以直线l的方程为)1y x =-． …………………………………18分20．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）设0(,0)A x ，因为点A 在直线20x y ++=上，所以020x +=，得02x =-，所以(2,0)A -． 所以2a =．又因为离心率c e a ==，所以c =1b =． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ……………………………………5分 （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ．（i）因为k =22,1,4y m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y可得22)14x m ++=，即229440x m ++-=，由2161440m ∆=-+>得29m <．由韦达定理，2121244,.99m x x x x -+=-= 由弦长公式得||MN ===由于216144144m -+≤，所以||MN =≤=当且仅当0m =时，||MN. ……………………………11分 （ii ）若||||OD OE =，则O 为DE 的中点，所以0D E x x +=. 设直线0:DE y k x =，直线11:(2)2y AM y x x =++， 两个方程联立可得：101(2)2y x k x x +=+． 解得10112(2)D y x k x y =+-，同理20222.(2)E y x k x y =+- 所以12011022220,(2)(2)D E y y x x k x y k x y +=+=+-+-即0121202112(2)(2)0.k y x y y k y x y y +-++-=所以210102012122()20.y m y mk y k y k y y y y k k --⋅+⋅++-= 化简得：00120122(1)(2)()0.k mky y k y y k k-+-+=① 由22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得: 2222()44y m k y k -+=，即2222(14)240k y my m k +-+-=，11 / 11 由222244(14)(4)0m k m k ∆=-+->，得2214m k <+． 所以2212122224,.1414m m k y y y y k k -+==++ 代入①得到：2200022422(1)(2)0.1414k mk m k m k k k k k--+-=++ 所以2200()(4)(2)0,k k m k mk m k ----=即0(2)(22)0.m k k k k m ---=若2m k =，则直线l 过点A ，与已知不符合.又0k ≠，所以0220k k m --=.又由0:DE y k x =，联立:l y kx m =+，消去y 得：02P m x k k==-， 所以，点P 在定直线2x =上. ………………………………………………18分。
北京市西城区2019—2020学年度第二学期期末试卷高二数学答案
北京市西城区2019—2020学年度第二学期期末试卷高二数学参考答案及评分标准 2020.7一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
（1）D （2）B （3）C （4）A （5） C（6）C（7）B（8）D（9）B（10）B二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（11）（12）40（13）45（14）1（15）3()1f x x =+（答案不唯一） （16） ②④注：第16小题只选对一个正确命题得2分，错选不得分.三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（17）（本小题满分13分）解：(Ⅰ) 因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-. ………………3分令()0f x '=，解得11x =-，21x =.随着x 的变化，()f x '，()f x 变化情况如下表：x(,1)-∞- 1- (1,1)- 1 (1,)+∞()f x ' +-+()f x极大值 极小值………………8分所以，函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,+)∞，单调递减区间为(1,1)-.………………9分(Ⅱ) 因为函数()f x 在区间[1,1]-上单调递减，在区间[1,3]上单调递增，又(1)2f -=，(1)2f =-，(3)18f =， ………………11分 所以，函数()f x 在区间[1,3]-上的最大值为18，最小值为2-. ………………13分（18）（本小题满分13分）解：(Ⅰ)设A =“连续射击3次，中29环”.则 223()0.25(0.2)P A C =⋅⋅ ………………4分0.03=所以该射手命中29环的概率为0.03. ………………5分(Ⅱ)设B =“连续射击3次，命中不少于28环”,依题意，命中30环的概率为3(0.2)0.008=； ………………7分 命中28环的概率为2222330.15(0.2)(0.25)0.2C C ⋅⋅+⋅⋅ ………………11分0.0180.03750.0555=+=； ………………12分由（1）知，命中29环的概率为0.03；所以 ()0.0080.05550.030.0935P B =++=, ………………13分 所以该射手连续射击3次，命中不少于28环的概率为0.0935.（19）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时，()ln f x x x =-，所以11()1x f x x x-'=-=. ………………3分 所以(1)0f '=，又因为(1)1f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y =. …………5分 （Ⅱ）由已知，()1a x af x x x-'=-=，(0,)x ∈+∞.① 当0a <时，()0f x '>，函数()f x 在定义域内是增函数，不存在极值. ………………7分 ② 当0a >时，令()0f x '=，解得x a =. 随着x 的变化，()f x '，()f x 变化情况如下表：x(0,)aa (,)a +∞()f x ' -0 +()f x极小值………………9分所以，函数()f x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增，…………10分 所以，函数()f x 的极小值点为x a =，极小值为()ln f a a a a =-， …………12分 函数()f x 不存在极大值. ………………13分综上，当0a <时，函数()f x 没有极值；当0a >时，()f x 有极小值ln a a a -，极小值点为x a =，无极大值. （20）（本小题满分14分）解：(Ⅰ)设A =“从样本中随机选1人，该学生选择了化学”，则 17121074501(),1001002P A ++++===所以，从样本中随机选1人，该学生选择了化学的概率为12. ………………4分(Ⅱ) 第8、9、10组共有11人，其中选择政治的有6人.所以X 的所有可能取值为0,1,2. ………………5分252112(0)11C P X C ===， ………………6分11562116(1)11C C P X C ===， ………………7分262113(2)11C P X C ===. ………………8分………………9分故X 的期望26312()0+1211111111E X =⨯⨯+⨯=. ………………11分 (Ⅲ) 选择地理的总人数为： 20141210975279+++++++=.所以P （“同时选择生物”）14+12+9+237==7979； P （“同时选择化学”）12+10+729==7979； P （“同时选择政治”）20222==7979+；P （“同时选择物理”）109524==7979++；P （“同时选择历史”）=20147546==7979+++. ………………13分因为4679最大，所以一个学生选择了地理，同时选择历史的可能性最大. …………14分 （21）（本小题满分13分）解：(Ⅰ)当0a =时，()e 1x f x x =--，所以()e 1x f x '=-. ………………1分解()0f x '>，得0x >；解()0f x '<，得0x <.所以()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增， ………………3分 所以()f x 的最小值为(0)0f =，所以()0f x ≥. ………………5分(Ⅱ) 因为2()e 12xa f x x x =---，所以()e 1x f x ax '=--.设()e 1x g x ax =--，则曲线()y f x =的切线斜率不存在最小值等价于()g x 不存在最小值. ……………7分()e x g x a '=-.① 当0a ≤时，()0g x '>恒成立，所以()g x 在区间(,)-∞+∞上单调递增，不存在最小值，所以0a ≤符合题意. ………………9分 ② 当0a >时,解()0g x '>，得ln x a >；解()0g x '<，得ln x a <.所以()g x 在区间(,ln )a -∞上单调递减，在区间(ln ,)a +∞上单调递增，……………10分 所以()g x 在ln x a =处取得最小值，所以0a >不符合题意. ………………12分 综上, a 的取值范围为{0}a a ≤. ………………13分（22）（本小题满分14分）解：(Ⅰ)函数()f x 定义域为{|0}x x >，11()ax f x a x x+'=+=. ① 当0a ≥时,()0f x '>恒成立，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. ……………2分 ② 当0a <时,解()0f x '>，得10x a <<-；解()0f x '<，得1x a>-.所以()f x 的单调递增区间为1(0,a -，单调递减区间为1(,)a-+∞. ………………4分综上，当0a ≥时，()f x 单调递增区间为(0,)+∞；当0a <时，()f x 的单调递增区间为1(0,a -，单调递减区间为1(,)a-+∞.(Ⅱ)证法1：由已知1()e ln x g x x ax a -=--+，0x >.因为(1)1g =，所以只需证明()g x 存在最小值，但1x =不是最小值点，即min ()(1)1g x g <=. ……6分因为e ()ln e x g x x ax a =--+，所以11()e x g x a x-'=--.因为函数1e x y -=，1y x=-在区间(0,)+∞上是增函数，所以()g x '在区间(0,)+∞上是增函数， ………………8分因为1a >，所以(1)0g a '=-<，11(1ln(1))1101ln(1)1ln(1)g a a a a a '++=+--=->++++.所以方程()0g x '=在区间(0,)+∞上存在唯一解， ………………10分 不妨设为0x ，则01x >，随着x 的变化，()g x '，()g x 变化情况如下表：x0(0,)x 0x 0(,)x +∞()g x ' -+()g x极小值所以()g x 有最小值，最小值为0()(1)1g x g <=. ………………13分 所以函数1()e ()x g x f x -=-存在最小值，且最小值小于1. ………………14分 证法2: 由已知1e ()eln ln exx g x x ax a x ax a -=--+=--+，0x >.所以11()e x g x a x-'=--， 因为1e x y -=，1y x=-在区间(0,)+∞上是增函数， 所以()g x '在(0,)+∞上是增函数， ………………6分因为1a >，所以(1)0g a '=-<，1(1ln(1))101ln(1)g a a a a '++=+-->++.所以方程()0g x '=存在唯一解， ………………8分 不妨设为0x ，则01x >，随着x 的变化，()g x '，()g x 变化情况如下表：x0(0,)x 0x 0(,)x +∞()g x ' -+()g x极小值 所以01min000()()e ln x g x g x x ax a -==--+，且0101e x a x --=. ………………10分所以0011min 0001()2e ln e 1x x g x x x x --=--+-，01x >. 设111()2e ln e 1x x h x x x x--=--+-， 11122111()=e e (1)(e )x x x h x x x x x x---'--+=-+， 当1x >时，()0h x '<，所以()h x 在区间(1,)+∞上单调递减. ………………12分 所以当1x >时，()(1)1h x h <=，即()g x 的最小值小于1， ………………13分 所以函数()g x 存在最小值，且最小值小于1. ………………14分。
北京市东城区2019-2020学年高二下学期期末统一检测数学答案
北京市东城区2019-2020学年高二下学期期末统一检测数学试题参考答案1．A 【思路点拨】令1x =即可求得63x⎛- ⎝展开式中各项系数之和.【解析】解：令1x =，得63x⎛⎝展开式中各项系数之和为()66312-=. 故选：A .【名师指导】本题考查二项式定理展开式各项系数之和，解题的关键在于赋值法，是基础题. 2．B 【思路点拨】由已知结合导数的定义即可直接求解. 【解析】解：因为函数()y f x =在0x x =处的导数为1， 则()()()()()0000000111limlim 2222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆.故选：B .【名师指导】本题考查导数的概念，涉及极限的性质，属于基础题． 3．B 【思路点拨】由表格中的数据求得样本点的中心的坐标，则答案可求. 【解析】由表格中的数据可得：124534x +++==，7691084y +++==.则样本点的中心的坐标为()3,8. 即回归直线必过定点()3,8. 故选：B.【名师指导】本题主要考查了回归直线的性质，必过样本中心点，属于基础题.4．D 【思路点拨】根据题意，分2步进行分析：①将4名学生站成一排，②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，由分步计数原理计算可得答案. 【解析】解：根据题意，分2步进行： ①将4名学生站成一排，有44A 种排法；②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，有35A 种情况； 则有4345A A 种排法；故选：D .【名师指导】本题考查排列的应用，解题方法是插空法，属于基础题． 5．D 【思路点拨】利用离散型随机变量的期望与方差公式，转化求解即可. 【解析】解：随机变量X 服从二项分布，即(),XB n p ，且()2E X =，() 1.6D X =，可得2np =，()1 1.6np p -=，解得0.2p =，10n =， 故选：D.【名师指导】此题考查离散型随机变量的期望与方差公式的应用，考查二项分布的性质，属于基础题 6．A【解析】试题分析：由正态曲线和均值、标准差的意义，得1212,μμσσ<>；故选A ． 考点：正态曲线．7．C 【思路点拨】本题首先可以求出当2X =时的概率，然后求出当3X =时的概率，最后两者相加，即可得出结果.【解析】当2X =时，()12533815256C C P X C ===； 当3X =时，()33381356C P X C ===，则()()()151222356567P X P X P X ≥==+==+=， 故选：C.【名师指导】本题考查超几何分布的概率计算公式，能否将2X ≥分为2X =、3X =两种情况是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题.8．B 【思路点拨】将9个数分为2组，一组为奇数：1､3､5､7､9，一组为偶数：2､4､6､8，然后分2种情况讨论：①取出的3个数全部为奇数，②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，再由加法原理计算可得答案.【解析】解：根据题意，将9个数分为2组， 一组为奇数：1､3､5､7､9，一组为偶数：2､4､6､8， 若取出的3个数和为奇数，分2种情况讨论：①取出的3个数全部为奇数，有3510C =种情况，②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，有1254C C 30=种情况，则和为奇数的情况有103040+=种. 故选：B .【名师指导】本题考查组合问题，分类加法计数原理，是基础题.9．A 【思路点拨】由函数()()1y x f x '=-的图象，可得1x >时，()0f x '<；21x -<<时，()0f x '<；2x <-时，()0f x '>.由此可得函数()f x 的单调性，则答案可求. 【解析】解：函数()()1y x f x '=-的图象如图所示，∴1x >时，()0f x '<；21x -<<时，()0f x '<；2x <-时，()0f x '>. ∴函数()f x 在(),2-∞-上单调递增，在()2,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递减. ∴()f x 有极大值()2f -.故选：A .【名师指导】本题考查根据导函数的相关图象求函数的单调区间，考查数形结合思想，是中档题.10．C 【思路点拨】根据体积公式用r 表示出l ，得出费用关于r 的函数，利用导数求出函数的极小值点即可.【解析】解：由题意知2323142282333V r l r r l r πππππ=+⨯=+=， 故33322222282282282333333V r r r l r r r r r πππππ---===-=， 由0l >可知r <.∴ 建造费用()3222221282562344611723r y rl r r r r r r rπππππππ-=+⨯+⨯⨯=⨯+=+，(0r <<，则()3221445614r y r r rπππ-'=-=.当(r ∈时，0y '<，r ∈时，0y '>.当r =.故选：C .【名师指导】本题考查数学建模能力，利用导数求解最值问题，考查运算能力，是中档题.11．58-【思路点拨】本题首先可以写出二项式522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项，然后令x 的幂的指数等于3，求出r 的值，即可求得3x 的系数.【解析】二项式522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项()555215521222rr r r r r rr x x T C C x ---+⎛⎫⎛⎫⋅⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫==⋅-⋅⋅ ⎪⎝⎭，令523-=r ，解得1r =，则()154133212258T C x x ⎛⎫=⋅-⋅⋅ ⎪⎝=-⎭，3x 的系数为58-，故答案为：58-.【名师指导】本题考查多项式中某一项的系数的求法，考查二项展开式的通项的应用，二项式()na b +的展开式的通项1rn rr r n T C ab -+=⋅⋅，考查计算能力，是简单题.12．①③【思路点拨】根据题意，由导数的计算公式依次分析3个结论，综合即可得答案. 【解析】解：根据题意，依次分析3个结论： ①若y =y '=，①正确；②若x y e -=，则x y e -'=-，②错误； ③若cos y x =，则sin y x '=-，③正确； 即正确的为①③ 故答案为：①③．【名师指导】本题考查导数的运算，掌握基本初等函数的导数公式是解题关键． 13．12【思路点拨】根据题中条件，先确定第一次抽到白球后，袋中还有3个红球，3个白球，进而可求出结果.【解析】解：第一次抽到白球后，袋中还有3个红球，3个白球， 故第二次抽到红球的概率为12. 故答案为：12. 【名师指导】本题主要考查求古典概型的概率，属于基础题型.14．42【思路点拨】分两种情况，甲排在第一位和甲排在第二位进行求解即可 【解析】解：由题意知，甲的位置影响乙的排列，∴①甲排在第一位共有4424A =种， ②甲排在第二位共有133318A A =种，∴故编排方案共有241842+=种. 故答案为：42.【名师指导】此题考查排列问题，属于基础题15．ln21-【思路点拨】根据()()f m g n t ==得到m ，n 的关系，利用消元法转化为关于t 的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论. 【解析】解：不妨设()()f m g n t ==， ∴31ln 22m net -=+=，(0t >) ∴3ln m t -=，即3ln m t =+，122t n e-=⋅，故1223ln t n m e t --=⋅--(0t >)， 令()1223ln t h t et -=⋅--(0t >)，()1212t h t et-'=⋅-，()1221''20t h t e t -=⋅+>所以()h t '在()0,∞+上是增函数，且102h ⎛⎫'=⎪⎝⎭， 当12t >时，()0h t '>， 当102t <<时，()0h t '<，即当12t =时，()h t 取得极小值同时也是最小值， 此时1123ln ln 2122h ⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即n m -的最小值为ln21-， 故答案为：ln21-.【名师指导】本题考查利用导数求函数的最小值，考查化归转化思想与运算能力，是中档题. 16．（1）8250x y +-=；（2）()f x 的单调递增区间为()3,+∞，()f x 的单调递减区间为()0,3.【思路点拨】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解. 【解析】函数()f x 的定义域为()0,∞+，()2123ln 2f x x x x =--，()312f ∴=- 求导()32f x x x'=--，()14f '=-.由点斜式得切线方程为：34(1)2y x +=--，即8250x y +-=.所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为8250x y +-=.（2）由（1）知，()()()2133232x x x x f x x x x x+---'=--==()0x >， 令()0f x '=，得11x =-，23x =.当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间为()3,+∞，()f x 的单调递减区间为()0,3.【名师指导】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数求解函数的单调区间，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于中档题. 17．【思路点拨】（1）根据题意补全列联表即可； （2）由表中数据计算2K ，参照附表得出结论. 【解析】解：（1）根据题意补全列联表，如下；（2）由表中数据，计算()()()()()()22210010304020 4.762 3.84130705050n ad bc K a b c d a c b d ⨯⨯-⨯=≈>-=++++⨯⨯⨯，参照附表知，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为“爱好冰上运动与性别有关”. 【名师指导】本题考查列联表，独立性检验，考查运算能力，是基础题.18．【思路点拨】（1）先计算出200种垃圾中能辨识的垃圾种数，即可求出概率； （2）由题可知X 的可能取值为0，1，2，3，且X 服从二项分布，计算出概率，即可列出分布列，求出数学期望.【解析】（1）由题意可知，样本中垃圾种类一共200种，能辨识的垃圾种数是：700.9600.6300.9400.6150⨯+⨯+⨯+⨯=. 所求概率为1500.75200=. （2）X 的可能取值为0，1，2，3， 依题意可知，()~3,0.6X B ,033(0)(10.6)0.064P X C ==-=，123(1)0.6(10.6)0.288P X C ==-=，223(2)0.6(10.6)0.432P X C ==-=，333(3)0.60.216P X C ===，所以X 的分布列为()30.6 1.8E X =⨯=.【名师指导】本题考查二项分布的分布列即数学期望的求法，属于基础题.19．【思路点拨】（1）先对函数求导，然后结合导数可分析函数的单调性，进而可求函数的极值；（2）“函数2xy x e ax ⋅=-，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程x a xe =有两个非零实根”.构造函数，对其求导，然后结合导数及函数的性质可求. 【解析】解：由题意可知函数()f x 的定义域为R . （1）因为()2xf x x e =⋅.所以()()22xf x exx '=+，由()0f x '=，得12x =-，20x =， 当2x <-时，()0f x '>，函数单调递增， 当20x -<<时，()0f x '<，函数单调递减， 当0x >时，()0f x '>，函数单调递增，因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为()242f e-=； 当0x =时，()f x 有极小值，并且极小值为()00f =. （2）因为()2xy f x ax x e ax =-=⋅-，所以0x =为一个零点.所以“函数2xy x e ax ⋅=-，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程x a xe =有两个非零实根”.令()xh x xe =，则()()1xh x x e '=+，所以，当1x <-时，()0h x '<，()h x 在(),1-∞-上单调递减；当1x >-时，()0h x '>，()h x 在()1,-+∞上单调递增； 当1x =-时，()h x 有最小值()11h e-=-，0x <时，()0h x <，0x >时，()0h x >. 若方程x a xe =有两个非零实根，则()11h a e-=-<，即1a e >-.若0a ≥，方程x a xe =只有一个非零实根， 所以0a <. 综上，10a e-<<. 【名师指导】本题考查函数极值的求解，利用导数研究函数零点的个数，考查化归转化思想和数学运算能力，是中档题.20．【思路点拨】（1）当3n =时，{}3,4,5n S =.由此能写出n S 的所有奇子集.（2）首先证明n S 的奇子集与偶子集个数相等，对于n i S ∀∈，1i >，含i 的n S 的子集共有12n -个，从而对于每个数i ，在奇子集的和与偶子集的和中，i 所占的个数是一样的.由此能证明n S 的所有奇子集的容量的和与所有偶子集的容量的和相等. （3）每个元素在奇子集中都出现22n -次，由此能求出奇子集的容量和. 【解析】解：（1）解：当3n =时，{}3,4,5n S =n S 的所有奇子集为{}3，{}5，{}3,4，{}4,5.（2）证明：首先证明n S 的奇子集与偶子集个数相等. ∵3n ≥，∴一定存在奇数n k S ∈， 设奇数n k S ∈，对于n S 的每个奇子集A ， 当k A ∈时，取{}B x x A x k =∈≠且. 当k A ∉时，取{}B A k =，则B 为n S 的偶子集.反之，亦然.所以，n S 的奇子集与偶子集是一一对应的. 所以，n S 的奇子集与偶子集个数相等.对于n i S ∀∈，1i >，含i 的n S 的子集共有12n -个， 其中必有一半是奇子集，一半是偶子集，从而对于每个数i ，在奇子集的和与偶子集的和中，i 所占的个数是一样的. 所以n S 的所有奇子集的容量的和与所有偶子集的容量的和相等. （3）解：由于每个元素在奇子集中都出现22n -次， 故奇子集的容量和为()()231212312n n n n n n n --++++-⨯=-⨯.【名师指导】本题考查集合新定义，理解新定义是解题基础，解题关键是通过集合中的任一奇数，把奇子集与偶子集建立一一对应的关系，从而完成解题．考查了学生分析解决问题的能力，创新意识，逻辑推理能力．。
北京市朝阳区2019-2020学年高二数学上学期期末考试质量检测试题(含解析)
a3
a1q
a1q2
2q
2q2
4
，解得：
q 2
a4 a1q3 16 故答案为： 16
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的 计算，属于基础题.
14.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为_________；面积最大的侧面的面积
为_________.
【答案】 (1). 16 (2). 10
A. ①②③
B. ①②
C. ②③④
D. ③④
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】 m ， m// 或 m ，又 l m l ，①正确；
m ， // m ，又 l // m l ，②正确；
l ， // l ，又 m m l ，③正确；
北京市朝阳区 2019-2020 学年度第一学期期末质量检测 高二数学试卷
第一部分（选择题共 50 分）
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中,选出符
合题目要求的一项.
1.不等式 x(x 2) 0 的解集是( )
x 0 x 2
A.
x x 2
数最值.
3.已知双曲线
x2 a2
y2 16
1(a
0) 的一个焦点为 (5 ,
0)
，则 a
的值为(
)
A. 9
B. 6
C. 5
【答案】D
【解析】
【分析】
D. 3
根据双曲线中 a2 b2 c2 可构造方程求得结果.
【详解】双曲线焦点为 5, 0
故选： D
a2 16 25 ，解得： a 3
北京市朝阳区2019-2020学年高二下学期期末质量检测数学试题
北京市朝阳区2019-2020学年 高二下学期期末质量检测试题（考试时间120分钟 满分150分） 第一部分（选择题共50分）一、选择题共10题，每题5分，共50分，在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）若随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E(X)是 （A ）14（B ）21（C ）1 （D ）32（2）某物体作直线运动，位移y （单位：m ）与时间t （（单位：s ）满足关系式221y t =+,那么该物体在t=3s 时的瞬时速度是（A ）2m/s （B ）4m/s （C ）7m/s （D ）12m/s(3)曲线()ln f x x =在点(1，0)处的切线方程为(A)x-y-1=0 (B)x-y+1=0 ( C )10( D )10x y x y +-=++=（4）61()x x+的二项展开式中的带数项为（A ）1 （B ）6 （C ）15 （D ）20（5）从3名男生和4名女生中各选2人组成一队参加数学建模比赛，则不同的选法种数是（A ）12 （B ） 18 （C ）35 （D ）36（6）某射手每次射击击中目标的概率都是45，则这名射手在3次射击中恰有2次击中目标的概率为12163248()()()()125125125125A B C D （7）曲线()xf x e =上任意一点P 处的切线斜率的取值范围是(A) (, (B) () (C) ( (D) [)-∞+∞-∞+∞（8）一般地，一个程序模块由许多子模块组成，一个程序模块从开始到结束的路线称为该程序模块的执行路径．如图是一个计算机程序模块，则该程序模块的不同的执行路径的条数是（A ）6 （B ）14 （C ）49 （D ）84(9)函数2()(2)xf x x x e =-的图象大致是(10)已知函数()ln ,()1f x x g x ax ==+,若存在01x e≥使得00()()f x g x =-，则实数a 的取值范围是222211(A) [2,] (B) [,2]11(C) [,] (D) [,2]2e e e e e e e e ---第二部分（非选择题共100分）二、填空题共6题，每题5分，共30分．（11）已知函数()sin f x x =的导函数为()f x '，则()2f π'= ________(12)若随机变量1~(3,)4X B .则X 的数学期望E(X)是________（13）从某校高一年级所有学生中随机选取100名学生，将他们参加知识竞赛的成绩的数据绘制成频率分布直方图，如图所示．从成绩在[70,80),[80,90]两组内的学生中，用分层抽样的方法选取了6人参加一项活动，若从这6人中随机选取两人担任正副队长，则这两人来自同一组的概率为________（14）在5(21)x +的二项展开式中，二项式系数之和为________;所有项的系数之和为________（15）某商场举行促销活动，凡购买一定价值的商品便可以获得两次抽奖机会第一次抽奖中奖的概率是0.5，第二次抽奖中奖的概率是0.3，两次抽奖是否中奖互不影响，那么两次抽奖中至少有一次中奖的概率是________（16）设定义在R 上的连续函数f （x ）的导函数为()f x '，已知函数()y x f x '=⋅的图象（如图）与x 轴的交点分别为（-2,0） ， （0,0） ，（2,0），给出下列四个命题：①函数f(x)的单调递增区间是(2,0),(2,)-+∞; ②函数f(x)的单调递增区间是(,2),(2,)-∞-+∞; ③x=-2是函数f （x ）的极小值点； ④x=2是函数f （x ）的极小值点. 其中，正确命题的序号是________注：本题给出的命题中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分．三、解答题共4题，共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）（本小题18分）新生婴儿性别比是指在某段时间内新生儿中男婴人数与女婴人数的比值的100倍.下表是通过抽样调查得到的某地区2014年到2018年的年新生婴儿性别比.（Ⅰ）根据样本数据，估计从该地区2015年的新生儿中随机选取1人为女婴的概率(精确到0.01)；（Ⅱ）从2014年到2018年这五年中，随机选取两年，用X表示该地区的新生婴儿性别比高于107的年数，求x的分布列和数学期望：（Ⅲ）根据样本数据，你认为能否否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断？并说明理由．（18）（本小题18分已知函数322()2,f x x ax a x a a R =-++∈（Ⅰ）若a=0，求证：当[1,)x ∈+∞时，()f x x ≥恒成立； （Ⅱ）当a=1时，求f （x ）在区间[0，2]上的最大值和最小值；（Ⅲ）若函数f （x ）存在极大值和极小值，且极大值和极小值的差不超过4，求a 的取值范围.(19)(本小题18分)已知函数1()ln ,f x a x a R x=+∈ (Ⅰ)当a ＝1时，求曲线f (x )在点(1，f (1) )处的切线方程； (Ⅱ)求函数f (x )的极值；(Ⅲ)若y ＝f (x )在x ＝1时取得极值，设1()()g x f x x=-，当120x x <<时，试比较21()()2g x g x -与2121x x x x -+的大小，并说明理由．(20) (本小题16分)已知集合12{,,,}n S a a a =中的元素都是正整数，对任意,i j a a S ∈，定义11(,)||i j i jd a a a a =-．若存在正整数k ，使得对任意,()i j i j a a S a a ∈≠，都有d 21(,)i j d a a k ≥，则称集合S 具有性质F k ．记d （S ）是集合{(,)|,}i j i j d a a a a S ∈中的最大值．（Ⅰ）判断集合{1,2,3,4}A =和集合{6,8,12,16}B =是否具有性质F 4，直接写出结论；（Ⅱ）若集合S 具有性质F k ，求证： （i ）21()n d S k-≥； （ii ）n ≤2k —1．参考答案一、选择题：（本题满分50分）二、填空题：（本题满分30分） 三、解答题：（本题满分70分） 17．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）设“从该地区2015年的新生儿中随机选取1人为女婴”为事件A ， ………2分则100()100108.0P A =+ ……………………………………4分1000.48208=≈． ……………………………………6分 （Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2． ……………………………………7分23253(0)10C P X C ===，1132256(1)10C C P X C ===，22251(2)10C P X C ===， ……………………………………10分所以X 的分布列为……………………………………12分所以X 的数学期望3614()0121010105E X =⨯+⨯+⨯=． …………………14分 （Ⅲ）答案一：可以否定．从样本数据看这五年的男婴在新生儿中的比例都高于0.5，由样本估计总体，所以可以否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断． 答案二：不能否定．尽管从样本数据看这五年的男婴在新生儿中的比例都高于0.5，但由于抽样调查本身存在一定的随机性，且从数据上看，男女婴在新生儿中的比例都近似于0.5，所以不能否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断． 答案三：无法判断．由于样本容量未知，如果样本容量较小，那么通过样本数据不能否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断，如果样本容量足够大，那么根据样本数据，可以否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断．…………………… 18分（注：1．其余答案，酌情给分．2．如果学生直接从生物学的角度，或者生活常识等角度说明，应适当扣分，没有体现用样本估计总体．）18．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）证明：当0a =时，3()f x x =． …………………………………1分设3()g x x x =-，则2()31g x x '=-． …………………………………3分因为[1,)x ∈+∞，所以()0g x '>．所以()g x 在[1,)+∞上单调递增，所以()(1)0g x g ≥=． …………………5分 所以当[1,)x ∈+∞时，()f x x ≥恒成立． …………………………………6分 （Ⅱ）当1a =时，32()21f x x x x =-++．所以2()341(31)(1)f x x x x x '=-+=--． ………………………………7分 令()(31)(1)0f x x x '=--=得13x =或1x =． …………………………8分 当x 在[0,2]上变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：…………………………10分所以，当[0,2]x ∈时，函数()f x 的最大值为(2)3f =，……………………11分 函数()f x 的最小值为(0)(1)1f f ==． …………………………………12分（Ⅲ）因为322()2f x x ax a x a =-++，所以22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--． 令()(3)()0f x x a x a '=--=得3ax =或x a =．……………………………13分 依题意，函数()f x 存在极大值和极小值，所以0a ≠． （ⅰ）当0a >时，aa >．当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以函数()f x 的极大值为34()327a a f a =+，极小值为()f a a =． 依题意有34()()4327a a f f a a a -=+-≤，所以3a ≤． 所以(0,3]a ∈． …………………………………15分 （ⅱ）当0a <时，aa <．当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以函数()f x 的极大值为()f a a =，极小值为34()327a a f a =+．依题意有34()()()4327a a f a f a a -=-+≤，所以3a ≥-． 所以[3,0)a ∈-． …………………………………17分 综上所述，[3,0)(0,3]a ∈-． …………………………………18分19．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）当1a =时，()1()ln 0f x x x x=+>，(1)1f =，……………………………2分 22111()x f x x x x-'=-=，(1)0f '=， ……………………………4分 所以曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为1y =．…………………………6分 （Ⅱ）由1()ln f x a x x =+()0x >，得2211()a ax f x x x x -'=-=()0x >．………8分 ① 若0a >，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．…10分 所以，当1x a=时，()f x 有极小值1ln f a a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 无极大值； ………11分② 若0a =，当(0,)x ∈+∞时，21()0f x x '=-<恒成立， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以()f x 无极值． ………12分 ③ 若0a <，当(0,)x ∈+∞时，21()0ax f x x-'=<恒成立， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以()f x 无极值． ………13分 综上，当0a >时，()f x 有极小值1ln f a a a a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()f x 无极大值； 当0a ≤时，()f x 无极值． …………………………………………14分（Ⅲ）由21()a f x x x'=-，(1)0f '=，所以1a =． 由1()()ln g x f x x x=-=，所以21()()2g x g x --2121x x x x -+2212121221111ln ln 1ln 221x x x x x x x x x x x x ---=-=-++ ．又120x x <<，所以211x x >． 构造函数11()ln 21x x x x ϕ-=-+， ………………………………16分 则222211(1)12(1)()2(1)2(1)2(1)x x x x x x x x x x ϕ+---'=-=-=+++． 当1x >时，22(1)()02(1)x x x x ϕ-'=>+恒成立，所以()x ϕ在(1,)+∞上单调递增，所以当1x >时，()(1)0x ϕϕ>=，即11ln 21x x x ->+， …………………17分 所以22121111ln 21x xx x x x ->+成立，所以212121ln ln 2x x x x x x -->+，即212121()()2g x g x x x x x -->+．…………………18分20．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）集合{1,2,3,4}A =具有性质4F ， ……………………………………2分集合{6,8,12,16}B =不具有性质4F ． ……………………………………4分（Ⅱ）证明：不妨设12n a a a <<<． ……………………………………5分 （i ）由120n a a a <<<<得12111na a a >>>． 对任意1i j n ≤≤≤，有11(,)(,)i j j i i jd a a d a a a a ==-，………………………6分 因为1111111111()()()0n i j i j na a a a a a a a ---=-+-≥，所以11111n i ja a a a -≥-． 所以对任意1i j n ≤≤≤，都有1(,)(,)n i j d a a d a a ≥，所以111()nd S a a =-． ………………………8分又因为11223111111111n n na a a a a a a a --=-+-++- 1223121(,)(,)(,)n n n d a a d a a d a a k --=+++≥， 所以21()n d S k -≥． ……………………………………………10分 （ii ）由（i ）可知，对任意1,2,,1i n =-，都有21112(,)(,)(,)(,)i i i n n n i i n i d a a d a a d a a d a a k -+++-=+++≥， 所以211i n n i a a k --≥，所以21i n ia k->． ……………12分 因为对任意1,2,,1i n =-，i a i ≥，所以11i a i ≤，所以21n i i k->，即2()i n i k -<，1,2,,1i n =-． ……………14分若2n k ≥，则当i k =时，2()()(2)i n i k n k k k k k -=-≥-=，矛盾．所以2n k <． 又因为n 是正整数，所以21n k ≤-． …………………………16分。
2019-2020学年北京市朝阳区高二(下)期末数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年北京市朝阳区高二（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共50.0分） 1.交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险的基准保费为a 元，在下一年续保时，实行费率浮动机制，保费与车辆发生道路交通事故出险的情况相联系，最终保费=基准保费×(1+与道路交通事故相联系的浮动比率)，具体情况如表： 交强险浮动因素和浮动费率比率表 类别 浮动因素浮动比率 A 1 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10% A 2 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮20% A 3 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30%A 4 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%A 5 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮10% A 6 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30%为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如表： 类型 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 数量 20 10 10 38 20 2若以这100辆该品牌的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，则随机抽取一辆该品牌车在第四年续保时的费用的期望为( )A. a 元B. 0.958a 元C. 0.957a 元D. 0.956a 元2. 已知点P 在曲线y =上，为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则的取值范围是( )A. [0,)B.C.D.3. 曲线y =sinxsinx+cosx 在点M(π4,0)处的切线斜率为( )A. 12B. −12C. −√22 D. √224. 已知(2x −3)4=a 0+a 1(x −2)+a 2(x −2)2+a 3(x −2)3+a 4(x −2)4，则a 2=( )A. 24B. 56C. 80D. 2165. 将大小形状相同的3个黄球和5个黑球放入如图所示的2×5的十宫格中，每格至多放一个，要求相邻方格的小球不同色(有公共边的两个方格为相邻)，如果同色球不加以区分，则所有不同的放法种数为( )A. 40B. 36C. 24D. 206. 一个袋中有3个黑球，2个白球，第一次摸出球，然后再放进去，再摸第二次，则两次摸球都是白球的概率为( )A. 25B. 45C. 225D. 4257. 曲线上切点为的切线方程是( )A.B. C.D.或8. 如图，一只蚂蚁在A 处觅食(蚂蚁只能走黑色实线)，B 处有一块巧克力，蚂蚁找到巧克力的最短路径爬法有( )A. 210种B. 72种C. 35种D. 12种9. 函数f(x)=x −2x 的大致图象是( )A.B.C.D.10. 已知函数f(x)=x 3(e x −e −x )，若f(a −1)≥f(−a)，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,12]B. [12,+∞)C. [0,12]D. [12,1]二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）)=______ ．11. (文)设f(x)=sinx−2cosx+1的导函数为f′(x)，则f′(3π4，则E(X)=______．12. 随机变量X～B(3,p)，P(X≤2)=262713. 某调查机构就某单位一千多名职工的月收入进行调查，现从中随机抽出100名，已知抽到的职工的月收入都在[1500,4500)元之间，根据调查结果得出职工的月收入情况残缺的频率分布直方图如图所示，则该单位职工的月收入的平均数大约是______ 元．14. 已知甲盒内有外形和质地相同的1个红球和2个黑球，乙盒内有外形和质地相同的2个红球和2个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取1个球．则取出的2个球中恰有1个红球的概率等于______ ．15. 下列有关命题中，正确命题的序号是______．①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”；②命题“∃x∈R，x2+x−1<0”的否定是“∀x∈R，x2+x−1>0”；③命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是假命题．④若“p或q为真命题，则p，q至少有一个为真命题．”三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）)6展开式中，各二项式系数的最大值是(1)，常数项是(2)．16. (x−√x四、解答题（本大题共4小题，共70.0分）17. 某学校举行了一次安全教育知识竞赛，竞赛的原始成绩采用百分制，已知高三学生的原始成绩均分布在[50,100]内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表．原始成绩85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级优秀良好及格不及格为了解该校高三年级学生安全教育学习情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图如图所示，其中等级为不及格的有5人，优秀的有3人．(1)求n和频率分布直方图中的x的值；(2)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高三学生中任选3人，求至少有1人成绩是及格以上等级的概率；(3)在选取的样本中，从原始成绩在80分以上的学生中随机抽取3名学生进行学习经验介绍，记ξ表示抽取的3名学生中优秀等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望．18. 已知函数f(x)=x3−ax2−3x，g(x)=−6x(a∈R)．(1)若x=3是f(x)的极值点，求f(x)在x∈[1,a]上的最小值和最大值；(2)若ℎ(x)=f(x)−g(x)在x∈(0,+∞)时是增函数，求实数a的取值范围．19. 已知函数f(x)=axe x−(a−1)(x+1)2(其中a∈R，e为自然对数的底数，e=2.718128…)．(1)当a=−1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)仅有一个极值点，求a的取值范围．20. 2020年是充满挑战的一年，但同时也是充满机遇、蓄势待发的一年．突如其来的疫情给世界带来了巨大的冲击与改变，也在客观上使得人们更加重视科技的力量和潜能．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．假设该企业第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金t(t≤2500)万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n万元．(1)判断{a n−2t}是否为等比数列？并说明理由；(2)若企业每年年底上缴资金t=1500，第m(m∈N∗)年年底企业的剩余资金超过21000万元，求m的最小值．(lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算，属于中档题．设一辆该品牌车在第四年续保时的费用为X，求出X的分布列，计算X的数学期望得出答案．解：设一辆该品牌车在第四年续保时的费用为X，由题意可知：X的可能取值为0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a，由统计数据可知：P(X=0.9a)=0.2，P(X=0.8a)=0.1，P(X=0.7a)=0.1，P(X=a)=0.38，P(X=1.1a)=0.2，P(X=1.3a)=0.02，∴X的分布列为：X0.9a0.8a0.7a a 1.1a1.3aP0.20.10.10.380.20.02∴E(X)=0.9a×0.2+0.8a×0.1+0.7a×0.1+a×0.38+1.1a×0.2+1.3a×0.02=0.956a，故选：D．2.答案：D解析：解析：试题分析：因为，y=，所以，，即，由，所以，的取值范围是，故选D。
北京市朝阳区2019-2020年高二(上)期末试题
北京市朝阳区2019-2020学年度第一学期期末质量检测高二年级数学试卷 2020.1(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分第一部分 （选择题 共50分）一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 不等式(2)0x x -<的解集是（A ）{}02x x << （B ）{}0x x >（C ）{}2x x < （D ）{}02<<或x x x2. 已知1x ≥，则当4x x +取得最小值时，x 的值为 （A ）1（B ）2（C ）3（D ）43. 已知双曲线2221(0)16x y a a -=>的一个焦点为(5,0)，则a 的值为（A ）9（B ）6（C ）5（D ）34. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，则椭圆C 的方程为（A ）22184x y +=（B ）221164x y +=（C ）221816x y +=（D ）221168x y +=5. 若向量,,a b c 不共面，则下列选项中三个向量不共面的是（A ）,,-+b c b b c （B ）,,a b c a b c +++ （C ）,,a b a b c +- （D ）,,a b a b a -+6.已知,m l 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列各组条件中能推出⊥m l的所有序号是①,,αβαβ⊥⊥⊥m l ②,,αβαβ⊥∥∥m l③,,αβαβ⊂⊥∥m l ④,,αβαβ⊂⊥∥m l （A ）①②③（B ）①②（C ）②③④ （D ）③④7. 已知0>mn ，21+=m n ，则12+m n的最小值是 （A ）4（B ）6（C ）8（D ）168. 已知数列{}n a 和{}n b 满足=n n b a ，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n b 为等比数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件9. 经过双曲线2222:1(0,0)-=>>x y M a b a b的左焦点作倾斜角为60°的直线l ，若l 与双曲线M 的左支有两个不同的交点，则M 的离心率的取值范围是（A ）(2,)+∞（B ）(1,2) （C ）(1,（D ）)+∞10. 已知球O 的直径为3，,,,A B C D 是球O 上四个不同的点，且满足0⋅=AB AC ，0⋅=AC AD ，0⋅=AD AB ，分别用123,,S S S 表示,,ABC ACD ABD 的面积，则123++S S S 的最大值是（A ）14（B ）92（C ）9 （D ）18第二部分（非选择题 共100分）二.填空题:本大题共6小题,每空5分,共30分，答案写在答题卡上.11. 双曲线2214-=x y 的渐近线方程是________.12. 抛物线22=y x 的焦点坐标是________；准线方程是_________.13. 已知公比不为1的等比数列{}n a 满足12=a ，234+=a a ，则4=a _________. 14. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为________，面积最大的侧面的面积为________.15. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，其中一道题目的背景是这样的：把100片面包分给5个人，使每个人分得的面包数成等差数列，且使较大的三个数之和的17是较小的两个数之和，若将这5个数从小到大排列成递增的等差数列，则该数列的公差为_________.16. 不等式222()-≤-x y cx y x 对满足0>>x y 的任意实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值是________.俯视图三.解答题:本大题共4小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 17. （本小题满分16分）已知数列{}n a 是递增的等差数列，23=a ，且125,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2=+n n n b a ，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）若12+=n n n c a a ，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足2425>n T 的n 的最小值.18. （本小题满分18分）如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD .已知==PA PD AB ，090∠=APD .（Ⅰ）证明：∥AD平面PBC ； （Ⅱ）证明：⊥AB PD ；（Ⅲ）求二面角--A PB C 的余弦值.PDCBA19. （本小题满分18分）已知抛物线22(0)=>y px p 经过点(1,2). （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过抛物线C 的焦点F 的直线l 交C 于,A B 两点，设O 为原点（ⅰ）当直线l 的斜率为1时，求∆AOB 的面积； （ⅱ）当3=FA FB 时，求直线l 的方程.20. （本小题满分18分）已知椭圆2222:10)+=>>（x y C a b a b ，直线20++=x y 经过椭圆C 的左焦点A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线:=+l y kx m （0≠k ）交椭圆C 于,M N 两点（,M N 不同于点A ）.过原点O的一条直线与直线l 交于点P ，与直线,AM AN 分别交于点,D E .（ⅰ）当k MN 的最大值；（ⅱ）若=OD OE ，求证：点P 在一条定直线上.。
北京市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
北京市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，点M ，N 分别是线段1A E 与线段1DD 上的动点，当点M ，N 之间的距离最小时，异面直线AM 与1CD 所成角的余弦值为（ ） A．14B．21CD 1841【答案】A 【解析】 【分析】以A 为坐标原点，以AB ，AD ，1AA 为x ，y ，z 轴正向建系，设12AA =，(0,2,)N a ，(2,1,0)E ,1(0,0,2)A ,1(2,1,2)A E =-,设11A M t A E =，得(2,,22)M t t t -，求出2MN 取最小值时t 值，然后求1,AM CD 的夹角的余弦值． 【详解】以A 为坐标原点，以AB ，AD ，1AA 为x ，y ，z 轴正向建系，设12AA =，(0,2,)N a ，(2,1,0)E ,1(0,0,2)A ,1(2,1,2)A E =-,设11A M t A E =，由11AM AA A E =+得(2,,22)M t t t -，则2222222164(2)(22)5(22)55MN t t t a t t a ⎛⎫=+-+--=-++-- ⎪⎝⎭，当25220t t a ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩即25t =，65a =时，2MN 取最小值165.此时1(2,0,2)CD =-，4262,,(2,1,3)5555AM ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，令(2,1,3)n =．得1111cos ,cos ,14n CD AM CD n CD n CD ⋅<>=<>===故选：A.【点睛】本题考查求异面直线所成的角，解题关键求得MN 的取最小值时M 的位置．解题方法是建立空间直角坐标系，用空间向量法表示距离、求角．2．已知函数()()2xf x x a e =-，且()'13f e =，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为（ ）A ．10x y -+=B ．10x y --=C ．310x y -+=D ．310x y ++=【答案】B 【解析】 【分析】先对已知函数f(x)求导，由()'13f e =可得a 的值，由此确定函数和其导函数的解析式，进而可得x=0处的切线方程。