北京市朝阳区高二上期末数学试题(理)(含答案)

2020-2021年北京市朝阳区高二数学上学期期末试题及答案

2020-2021年北京市朝阳区高二数学上学期期末试题及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 圆的圆心C 的坐标为（） 22:210C x x y ++-=A. （1，0） B. （－1，0） C. （2，0） D. （－2，0）【答案】B2. 已知直线l 的方向向量为，平面α的法向量为，若，，则an (1,0,1)a =-- (1,0,1)n = 直线l 与平面α（） A. 垂直 B. 平行C. 相交但不垂直D. 位置关系无法确定【答案】A3. 双曲线的焦点到渐近线的距离为（）22126x y -=C.D. 【答案】B4. 如图，已知直线l 与圆相交于A ，B 两点，若平面向量，满足22:4O x y +=OA OB，则和的夹角为（）2OA OB ⋅=-OA OBA. 45°B. 90°C. 120°D. 150°【答案】C5. 光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置.表达光圈的大小我们可以用光圈的F 值表示，光圈的F 值系列如下：F 1，F 1.4，F 2，F 2.8，F 4，F 5.6，F 8，…，F 64.光圈的F 值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F 8调整到F 5.6，进光量是原来的2倍.若光圈从F 4调整到F 1.4，则单位时间内的进光量为原来的（） A. 2倍 B. 4倍C. 8倍D. 16倍【答案】C6. 过抛物线上的一点作其准线的垂线，垂足为，抛物线的焦点24y x =()()003,0A y y >B 为，直线在轴下方交抛物线于点，则（） F BF x E FE =A. 1 C. 3D. 4【答案】D7. 下列有四个说法：①若直线与抛物线相切，则直线与抛物线有且只有一个公共点： ②函数在定义域上单调递减； 1()f x x=③某质点沿直线运动，位移（单位：m ）与时间t （单位：s ）满足关系式则y 256y t =+1t s =时的瞬时速度是10 m/s ； ④设x ＞0，，，则在（0，＋∞）上函数的图象比的图象()ln f x x =1()1g x x=-()f x ()g x 要“陡峭”.其中正确的序号是（） A. ①③ B. ②③C. ①④D. ③④【答案】A8. 如图，将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面，则异面直线AK 和LM 所成角的大小为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】D9. 已知椭圆：，椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆C ()222210x y a b a b +=>>1F 2F P C上的任意一点，且满足，则椭圆离心率的取值范围是（） 120PF PF ⋅>A. B. C. D. 10,2⎛⎤⎥⎝⎦⎛⎝12⎛⎝⎤⎥⎦【答案】B10. 如图，在三棱锥O -ABC 中，三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ，OB ，OC 的长分别为a ，b ，c . M 为△ABC 内部及其边界上的任意一点，点M 到平面OBC ，平面OAC ，平面OAB 的距离分别为a 0，b 0，c 0，则（） 000a b c a b c++=A.B.C. 1D. 21412【答案】C二、填空题：本大题共6小题每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.11. 只知两条直线，平行，则m 的值为______. 1:210l x y ++=2:20()l x my m R +=∈【答案】4解：两条直线，平行，则，得1:210l x y ++=2:20()l x my m R +=∈122m ⨯=⨯，4m =12. 等差数列满足，，则_________. {}n a 1212a a +=344a a +=56a a +=【答案】4-解：等差数列满足，，设公差为，则{}n a 1212a a +=344a a +=d ，()134248a a d a a ++-==-则， 563444a a a a d +=++=-13. 已知函数（a ∈R ），且，则a 的值为_________. ()sin f x x ax =+12f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭【答案】1解：对函数求导得，()cos f x x a '=+则，得. cos 122f a ππ⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭1a =14. 如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°.CD ＝CC 1＝1.则A 1C 与平面C 1BD _______（填“垂直”或“不垂直”）；A 1C 的长为_______.【答案】 ①. 垂直 ②解：设，，，由题意可得，CB a = CD b = 1CC c =1CA a b c =++ 则()()()2211CA BD CA CD CB a b c b a b a c b c a ⋅=⋅-=++⋅-=-+⋅-⋅ ，，同理可证， cos 60cos 600c b c a =⋅-⋅=1CA BD ∴⊥11CA BC ⊥，故平面．1BD BC B ⋂= 1CA ⊥1C BD ∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°.CD ＝CC 1＝1，,11CD CB CC ∴===222221111()2()1112()6222CA a b c a b c a b b c a c ∴=++=+++⋅+⋅+⋅=+++++=,1CA →∴=即A 1C .故答案为：垂直；15. 2020年11月24日我国在中国文昌航天发射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程“嫦娥五号”探测器，开启我国首次地外天体采样返回之旅.2004年，中国正式开展月球探测工程，并命名为“嫦娥工程”.2007年10月24日“嫦娥一号”成功发射升空，探月卫星运行到地月转移轨道之前在以地心为椭圆焦点的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个轨道飞行（如图所F 示），三个椭圆轨道的长半轴长、半焦距和离心率分别为，探月卫星沿三(),,1,2,3i i i a c e i =个椭圆轨道的飞行周期（环绕轨道一周的时间）分别为16小时，24小时和48小时，已知对于同一个中心天体的卫星，它们运动周期的平方与长半轴长的三次方之比是定值.现有以下命题：①；②；③；④.则以上112233a c a c a c -=-=-21a <31a =123e e e <<命题为真命题的是___________.（写出所有真命题的序号）【答案】①③④解：由题意知：三个椭圆轨道的近地点相同且都以地心为焦点， F ∴，故①正确，112233a c a c a c -=-=-，即，则且，故②错误，③3331232565762304a aa ==3331234936a a a ==211a >=31a =正确，∵若地球半径为，则， R 112233a c a c a c R -=-=-≈∴，，，故， 11c a R =-22c a R =-33c a R =-123123,11,1R R Re a a e e a =-=-=-由上知：，所以，故④正确. 321a a a >>123e e e <<故答案为：①③④16. 把正奇数列按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，则在第n （n ∈N *）组里有________个数；第9组中的所有数之和为________.【答案】 ①. ②. 2465 21n -解：第1组有1个数，第2组有3个数，第3组有5个数， ……第n 组有个数.()12121n n +-=-前8组的数字个数分别为1,3……15，共64项，第9组中的数字个数有2×9-1=17个，设把正奇数列的前n 项和为，则第9组中的所有数之和：n S .()()81648181164641=81126412=246522S S ⎛⎫⎛⎫⨯-⨯--⨯+⨯-⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：；2465. 21n -三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证朋过程. 17. 已知函数()ln .f x x x =（1）求曲线在点（e ，）的切线方程； ()y f x =()f e （2）求函数的单调区间.()f x 【答案】（1）；（2）在单调递减，在单调递增． 2y x e =-1(0,e1(,)e+∞解：（1）由得， ()ln f x x x =()()ln 10f x x x '=+>所以切线斜率为 ()ln 12f e e '=+=切点坐标为，(,)e e 所以切线方程为，即； 2()y e x e -=-2y x e =-（2）， ()()ln 10f x x x '=+>令，得． ()0f x '=1=x e当时，；∴1(0,∈x e()0f x '<当时，，1(,)∈+∞x e()0f x '>∴在单调递减，在单调递增． ()ln f x x x =1(0,)e1(,)e+∞18. 已知圆，若直线与圆C 相交于A ，B 两点，且222:(0)C x y r r +=>1:20l x y -+=.AB =（I ）求圆C 的方程.（II ）请从条件①条件②这两个条件中选择一个作为点P 的坐标，求过点P 与圆C 相切的直线l 2的方程.①（2，－3）；②（1）.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】（I ）；（II ）选①：或；选②：224x y +=512260x y ++=2x =.40x +-=解：（I ）设圆心到直线的距离为，则，即，1l d 222||2AB r d ⎛⎫-= ⎪⎝⎭222d r =-又， d ==24r ∴=故圆C 的方程为；224x y +=（II ）选①：当直线斜率不存在时，的方程为，恰好与圆相切，满足题意； 2l 2l 2x =当直线斜率存在时，设的方程为，即， 2l 2l 3(2)y k x +=-230kx y k ---=则圆心到直线，解得， 2l 2=512k =-此时直线的方程为，即， 2l 53(2)12y x +=--512260x y ++=综上，直线的方程为或； 2l 512260x y++=2x =选②，可得在圆上，即为切点，=所以直线的方程为，即. 2l 1)y x =-40x +-=19. 已知是各项均为正数的等比数列，.{}n a *31260,16,a a a n N -==∈（I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）若数列{b n }的通项b n 满足，求{b n }的前n 项和S n 的最小值及取得最小值时92n b n a +=n 的值.【答案】（I ）；（II ）当时，取得最小值为 4nn a =4n =n S 16-解：（I ）设等比数列的公比为，且，{}n a q 0q >则，解得，23111216016a a a q a a a q ⎧-=-=⎨==⎩144a q =⎧⎨=⎩4n n a ∴=（II ），，92n b n a +=()22log 9log 4929n n n b a n ∴=-=-=-，()()2272984162n n n S n n n -+-∴==-=--则当时，取得最小值为. 4n =n S 16-20. 在如图所示的多面体中，且，，且//AD BC 2AD BC =AD CD ⊥//EG AD ，且，平面ABCD ，，M ，N 分EG AD =//CD FG 2CD FG =DG ⊥2DA DC DG ===别为棱的中点.,FC EG（I ）求点F 到直线EC 的距离；（II ）求平面BED 与平面EDC 夹角的余弦值；（III ）在棱GF 上是否存在一点Q ，使得平面MNQ //平而EDC ？若存在.指出点Q 的位置，若不存在，说明理由.【答案】（I ；（II ；（III ）不存在，证明见解析；解：（I ）由平面ABCD 知，，，又， DG ⊥DG DC ⊥DG DA ⊥AD CD ⊥则建立以D 点为原点的空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，，(0,0,0)D (2,0,0)A (0,2,0)C (0,0,2)G (2,0,2)E (0,1,2)F (1,2,0)B则，3(0,,1)2M (1,0,2)N ，，(2,2,2)CE →=-(2,1,0)EF →=-所以点F 到直线EC==（II ）由（I ）知，，， (1,2,0)DB →=(2,0,2)DE →=(0,2,0)DC →=设平面BED 的法向量为，(,,)m x y z →=则，令，则 20220m DB x y m DE x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1y =(2,1,2)m →=-设平面EDC 的法向量为，n (x,y,z)→=则，令，则 22020n DE x z n DC y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 1x =(1,0,1)n →=-故cos ,m nm n m n→→→→→→⋅<>===由图知，二面角B EDC --（III ）设GF 上存在一点Q ，设，(0,,2)Q λ[0,1]λ∈则，3(0,,1)2MQ λ→=-3(1,,1)2MN →=-设平面MNQ 的法向量为(,,)p x y z →=则，令，则 3023()02p MN x y z p MQ y z λ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩1y =3(,1,)2p λλ→=-若平面平面，则，//MNQ EDC //n p →→故不存在，即不存在点Q 使得平面平面 λ//MNQ EDC21. 在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是动点，且xOy DE ())P 直线与的斜率之积等于. DP EP 13-（1）求动点的轨迹的方程；P C （2）设是曲线的左焦点，过点的直线与曲线相交于，两点，过，分别F C F l C A B A B 作直线的垂线与轴相交于，两点.若的斜率.l x M N MN =l 【答案】（1）；（2）. (2213x y x +=≠1k =±解：（1）设，则， (),P xy (13EP DP k k x =-≠所以可得动点P 的轨迹C 的方程为 (2213x y x +=≠（2）可得，设直线l 的方程为，()F (y k x =+()()1122,,,A x yB x y 联立可得 (2213y k x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩()222231630k x xk +++-=所以 2121226331k x x x x k -+==+因为过A ，B 分别作直线l 的垂线与x 轴相交于M ，N 两点所以 1AM BN k k k==-所以直线的方程为，令可得，同理可得AM ()111y y x x k -=--0y =11M x x ky =+22N x x ky =+所以()()21122121MN x ky x ky k x x =+--=+-=所以(21k +==解得，所以21k =1k =±。

北京市2022年高二上期末数学试卷(理科)含答案解析

高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知双曲线=1的一条渐近线方程为y=，则双曲线的焦距为（）A． B．2C．2 D．102．（5分）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y=3sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2+bx+1=0有实数解的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）如表是某单位1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x1234用水量y45a7由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归方程是，则a等于（）A．6 B．6.05 C．6.2 D．5.955．（5分）下列四个命题：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”②“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的必要不充分条件③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题④对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，使得x2+x+1≥0．其中，错误的命题个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣2，则a的值为（）A．4 B．8 C．D．7．（5分）某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5，已知抽到10位中年人，则样本的容量为（）A．40 B．100 C．80 D．508．（5分）下列程序框图中，输出的A的值是（）A．B．C．D．9．（5分）若双曲线C1以椭圆C2：+=1的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=110．（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（）A．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”B．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”C．“至少1名男生”与“全是男生”D．“至少1名男生”与“全是女生”11．（5分）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（）A．32 B．40 C．48 D．5612．（5分）设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c，过F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知，|F2Q|＞|F2A|，点P是双曲线C右支上的动点，且|PF1|+|PQ|＞|恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B． C．D．二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）.13．（5分）已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k=．14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的过焦点的弦为AB，且|AB|=9，x A+x B=6，则p=．15．（5分）某校开展“爱我漳州、爱我华安”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91．复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清．若记分员计算无误，则数字x应该是．16．（5分）设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为．三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17．（10分）已知集合Z={（x，y）|x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]}．（1）若x，y∈Z，求x+y≥0的概率；（2）若x，y∈R，求x+y≥0的概率．18．（12分）命题p：；命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．19．（12分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，90）之间的频数，并估计该班的平均分数；（2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．20．（12分）已知O为坐标原点，M是椭圆=1上的点，设动点P满足．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=x+m（m≠0）与曲线C相交于A，B两个不同点，求△OAB 面积的最大值．21．（12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．22．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）过点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的上顶点作直线l交抛物线x2=2y于A、B两点，O为原点．①求证：OA⊥OB；②设OA、OB分别与椭圆相交于C、D两点，过原点O作直线CD的垂线OH，垂足为H，证明：|OH|为定值．高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知双曲线=1的一条渐近线方程为y=，则双曲线的焦距为（）A． B．2C．2 D．10【解答】解：曲线=1的一条渐近线方程为y=，可得：=，解得m=4，则b=2，a=3，∴c=．双曲线的焦距为2．故选：B．2．（5分）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y=3sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，大圆的直径为y=3sin x的周期，且T==12，面积为S=π•=36π，一个小圆的面积为S′=π•12=π，在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：P===．故选：B．3．（5分）将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2+bx+1=0有实数解的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，基本事件总数n=6×6=36，∵方程ax2+bx+1=0有实数解，∴△=b2﹣4a≥0，∴方程ax2+bx+1=0有实数解包含的基本事件（a，b）有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共19个，∴方程ax2+bx+1=0有实数解的概率p=．故选：C．4．（5分）如表是某单位1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x1234用水量y45a7由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归方程是，则a等于（）A．6 B．6.05 C．6.2 D．5.95【解答】解：∵=（1+2+3+4）=2.5，=（4+5+a+7）=4+∴4+=2.5+3.05，解得：a=6.2，故选：C．5．（5分）下列四个命题：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”②“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的必要不充分条件③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题④对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，使得x2+x+1≥0．其中，错误的命题个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确，②由x2﹣3x+2＞0得x＞2或x＜1，即“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，故②错误，③若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故③错误，④对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，使得x2+x+1≥0．正确，故错误的个数为2个，故选：B6．（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣2，则a的值为（）A．4 B．8 C．D．【解答】解：由抛物线y=ax2，得，由其准线方程为y=﹣2，可知抛物线开口向上，则a＞0．∴2p=，则．∴，得a=．故选：C．7．（5分）某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5，已知抽到10位中年人，则样本的容量为（）A．40 B．100 C．80 D．50【解答】解：某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5，已知抽到10位中年人，则10则，解得样本的容量n=100．故答案为：100．8．（5分）下列程序框图中，输出的A的值是（）A．B．C．D．【解答】解：由程序框图可得：A i第一次循环后2第二次循环后3第三次循环后4…观察规律可知A的值为，可得：第九次循环后10不满足条件i＜10，跳出循环．则输出的A为．故选：A．9．（5分）若双曲线C1以椭圆C2：+=1的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：根据题意，椭圆C2：+=1的焦点坐标为（0，±3），长轴的端点坐标为（0，±5），若双曲线C1以椭圆C2的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的焦点为（0，±5），顶点为（0，±3），则双曲线中c=5，a=3，则b2=c2﹣a2=16，则双曲线的方程为：﹣=1，故选：B．10．（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（）A．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”B．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”C．“至少1名男生”与“全是男生”D．“至少1名男生”与“全是女生”【解答】解：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，在A中，“至少1名男生”与“至少有1名是女生”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；在B中，“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”是互斥不对立事件，故B错误；在C中，“至少1名男生”与“全是男生”能同时发生，不是互斥事件，故C错误；在D中，“至少1名男生”与“全是女生”是对立事件，故D正确．故选：D．11．（5分）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（）A．32 B．40 C．48 D．56【解答】解：设第一小组的频率为a，由频率分布直方图，得：a+2a+3a+0.0375×5+0.0125×5=1，a=0.125．∵第1小组的频数为6，∴报考飞行员的学生人数为：=48．故选：C．12．（5分）设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c，过F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知，|F2Q|＞|F2A|，点P是双曲线C右支上的动点，且|PF1|+|PQ|＞|恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B． C．D．【解答】解：令x=c代入双曲线的方程可得y=±b=±，由|F2Q|＞|F2A|，可得＞，即为3a2＞2b2=2（c2﹣a2），即有e=＜①又|PF1|+|PQ|＞|F1F2|恒成立，由双曲线的定义，可得2a+|PF2|+|PQ|＞3c恒成立，由F2，P，Q共线时，|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|=，可得3c＜2a+，即有e=＜②由e＞1，结合①②可得，e的范围是（1，）．故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）.13．（5分）已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k=．【解答】解：∵向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），∴=（4﹣k，﹣7，0），=（﹣2k，﹣2，0）．又A、B、C三点共线，∴存在实数λ使得，∴，解得．故答案为：﹣．14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的过焦点的弦为AB，且|AB|=9，x A+x B=6，则p=3．【解答】解：如图，∵AB过焦点F，且|AB|=9，x A+x B=6，∴|AB|=x A+x B+p=6+p=9，即p=3．故答案为：3．15．（5分）某校开展“爱我漳州、爱我华安”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91．复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清．若记分员计算无误，则数字x应该是1．【解答】解：由题意知去掉一个最高分94和一个最低分88后，余下的7个数字的平均数是91，即×（89+89+92+93+90+x+92+91）=91，∴636+x=91×7=637，解得x=1．故答案为：1．16．（5分）设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为+=1．【解答】解：由圆的方程可知，圆心C（﹣1，0），半径等于5，设点M的坐标为（x，y ），∵AQ的垂直平分线交CQ于M，∴|MA|=|MQ|．又|MQ|+|MC|=半径5，∴|MC|+|MA|=5＞|AC|．依据椭圆的定义可得，点M的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆，且2a=5，c=1，∴b=，故椭圆方程为+=1，即+=1．故答案为：三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17．（10分）已知集合Z={（x，y）|x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]}．（1）若x，y∈Z，求x+y≥0的概率；（2）若x，y∈R，求x+y≥0的概率．【解答】解：（1）设“x+y≥0，x，y∈Z”为事件A，x，y∈Z，x∈[0，2]，即x=0，1，2；y∈[﹣1，1]，即y=﹣1，0，1．则基本事件有：（0，﹣1），（0，0），（0，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），（2，1）共9个．其中满足“x+y≥0”的基本事件有8个，∴P（A）=．故x，y∈Z，x+y≥0的概率为．（2）设“x+y≥0，x，y∈R”为事件B，∵x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]，则基本事件为如图四边形ABCD区域，事件B包括的区域为其中的阴影部分．基本事件如图四边形ABCD区域S=4，事件B包括的区域如阴影部分S′=S﹣=∴P（B）==．18．（12分）命题p：；命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：命题p：∀x∈R，x2+mx+1≥0为真，∴△=m2﹣4≤0⇒﹣2≤m≤2…（2分）命题q为真，即方程是焦点在y轴上的椭圆，∴0＜m＜2…（4分）又∵“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，∴p是真命题且q是假命题，或p是假命题且q是真命题…（6分）∴或…（10分），∴m的取值范围是[﹣2，0]∪{2}…（12分）19．（12分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，90）之间的频数，并估计该班的平均分数；（2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．【解答】解：（1）由茎叶图知，分数在[50，60）之间的频数为2，频率为0.008×10=0.08，全班人数为；所以分数在[80，90）之间的频数为25﹣2﹣7﹣10﹣2=4，分数在[50，60）之间的总分为56+58=114；分数在[60，70）之间的总分为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456；分数在[70，80）之间的总分数为70×10+1+2+3+3+4+5+6+7+8+9=747；分数在[80，90）之间的总分约为85×4=340；分数在[90，100]之间的总分数为95+98=193；所以，该班的平均分数为；（2）将[80，90）之间的4个分数编号为1，2，3，4，[90，100]之间的2个分数编号为5，6，在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个，其中，至少有一个在[90，100]之间的基本事件有9个，∴至少有一份分数在[90，100]之间的概率是．20．（12分）已知O为坐标原点，M是椭圆=1上的点，设动点P满足．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=x+m（m≠0）与曲线C相交于A，B两个不同点，求△OAB 面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设点P（x，y），M（x1，y1），由．，得x=2x1，y=2y1，因为点M在椭圆圆=1上，所以，故，即动点P的轨迹C的方程为．（Ⅱ）由曲线C与直线l联立得，消y得3x2+4mx+2m2﹣8=0，因为直线l与曲线C交于A，B两点，所以△=16m2﹣4×3×（2m2﹣8）＞0，又m≠0，所以0＜m2＜12．设设A（x3，y3），B（x4，y4），则，，因为点O到直线A：x﹣y+m=0的距离d=，|AB|===，所以S×=，×=2，当且仅当m2=12﹣m2，即m2=6时取等号，所以△OAB面积的最大值为221．（12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．【解答】证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…（4分）解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）22．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）过点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的上顶点作直线l交抛物线x2=2y于A、B两点，O为原点．①求证：OA⊥OB；②设OA、OB分别与椭圆相交于C、D两点，过原点O作直线CD的垂线OH，垂足为H，证明：|OH|为定值．【解答】解：（Ⅰ）∵e=，∴，则，又∵在椭圆上，∴，解得a=2，，∴椭圆的方程为；（Ⅱ）①证明：设A（x1，y1）、B（x2，y2），依题意，直线l一定有斜率k，l的方程为y=kx+2，联立方程，消去y得：x2﹣2kx﹣4=0，∴x1x2=﹣4，则，∴=x1x2+y1y2=﹣4+4=0，∴OA⊥OB；②证明：设C（x3，y3）、D（x4，y4），直线CD的方程为y=mx+n，∵OA⊥OB，∴OC⊥OD，则x3x4+y3y4=0．联立，消去y得：（3m2+4）x2+6mnx+3n2﹣12=0，∴，，∴．由，得7n2=12（1+m2），即|n|=，∵OH⊥CD，∴．∴|OH|为定值．。

北京市朝阳区2019-2020学年高二第一学期期末数学试题及答案

北京市朝阳区2019-2020学年度第一学期期末质量检测高二年级数学试卷 2020.1(考试时间120分钟满分150分)本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分第一部分（选择题共50分）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 不等式(2)0x x -<的解集是（A ）{}02x x << （B ）{}0x x >（C ）{}2x x < （D ）{}02<<或x x x2. 已知1x ≥，则当4x x +取得最小值时，x 的值为（A ）1（B ）2（C ）3（D ）43. 已知双曲线2221(0)16x y a a -=>的一个焦点为(5,0)，则a 的值为（A ）9（B ）6（C ）5（D ）34. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，则椭圆C 的方程为（A ）22184x y += （B ）221164x y += （C ）221816x y += （D ）221168x y +=5. 若向量,,a b c 不共面，则下列选项中三个向量不共面的是（A ）,,-+b c b b c （B ）,,a b c a b c +++ （C ）,,a b a b c +- （D ）,,a b a b a -+6.已知,m l 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列各组条件中能推出⊥m l 的所有序号是①,,αβαβ⊥⊥⊥m l ②,,αβαβ⊥∥∥m l③,,αβαβ⊂⊥∥m l ④,,αβαβ⊂⊥∥m l （A ）①②③（B ）①②（C ）②③④ （D ）③④7. 已知0>mn ，21+=m n ，则12+m n的最小值是（A ）4（B ）6（C ）8（D ）168. 已知数列{}n a 和{}n b 满足=n n b a ，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n b 为等比数列”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件9. 经过双曲线2222:1(0,0)-=>>x y M a b a b的左焦点作倾斜角为60°的直线l ，若l 与双曲线M 的左支有两个不同的交点，则M 的离心率的取值范围是（A ）(2,)+∞（B ）(1,2) （C ）(1,（D ）)+∞10. 已知球O 的直径为3，,,,A B C D 是球O 上四个不同的点，且满足0⋅=AB AC ，0⋅=AC AD ，0⋅=AD AB ，分别用123,,S S S 表示,,ABC ACD ABD 的面积，则123++S S S 的最大值是（A ）14（B ）92（C ）9 （D ）18第二部分（非选择题共100分）二.填空题:本大题共6小题,每空5分,共30分，答案写在答题卡上.11. 双曲线2214-=x y 的渐近线方程是________.12. 抛物线22=y x 的焦点坐标是________；准线方程是_________.13. 已知公比不为1的等比数列{}n a 满足12=a ，234+=a a ，则4=a _________. 14. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为________，面积最大的侧面的面积为________.15. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，其中一道题目的背景是这样的：把100片面包分给5个人，使每个人分得的面包数成等差数列，且使较大的三个数之和的17是较小的两个数之和，若将这5个数从小到大排列成递增的等差数列，则该数列的公差为_________.16. 不等式222()-≤-x y cx y x 对满足0>>x y 的任意实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值是________.俯视图三.解答题:本大题共4小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 17. （本小题满分16分）已知数列{}n a 是递增的等差数列，23=a ，且125,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2=+n n n b a ，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）若12+=n n n c a a ，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足2425>n T 的n 的最小值.18. （本小题满分18分）如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD .已知==PA PD AB ，090∠=APD .（Ⅰ）证明：∥AD平面PBC ；（Ⅱ）证明：⊥AB PD ；（Ⅲ）求二面角--A PB C 的余弦值.PDCBA19. （本小题满分18分）已知抛物线22(0)=>y px p 经过点(1,2). （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过抛物线C 的焦点F 的直线l 交C 于,A B 两点，设O 为原点（ⅰ）当直线l 的斜率为1时，求∆AOB 的面积；（ⅱ）当3=FA FB 时，求直线l 的方程.20. （本小题满分18分）已知椭圆2222:10)+=>>（x y C a b a b ，直线20++=x y 经过椭圆C 的左焦点A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线:=+l y kx m （0≠k ）交椭圆C 于,M N 两点（,M N 不同于点A ）.过原点O 的一条直线与直线l 交于点P ，与直线,AM AN 分别交于点,D E .（ⅰ）当k MN 的最大值；（ⅱ）若=OD OE ，求证：点P 在一条定直线上.北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期期末质量检测高二年级数学试卷参考答案 2020．1三、解答题：（本题满分70分） 17．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d （0d >），由条件可得121113,(4)(),0,a d a a d a d d +=⎧⎪+=+⎨⎪>⎩解得11,2.a d =⎧⎨=⎩所以12(1)21n a n n =+-=-，*n ∈N ．…………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2212n n n n b a n =+=-+，则12323121135(21)2222(121)222122 2.n nnn n S b b b b n n n n ++=++++=++++-++++++--=+-=+-所以数列{}n b 的前n 项和2122n n S n +=+-． (11)分（Ⅲ）因为122(21)(21)n n n c a a n n +==-+11,2121n n =--+ 所以1111121335212121n nT n n n =-+-++-=-++. 由2242125n n >+得12n >，又因为*n ∈N ，所以满足2425n T >的n 的最小值为13. ……………………………………16分 18．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）因为四边形ABCD 为矩形，所以AD BC ∥．又因为BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以AD ∥平面PBC ． ……………………………………………………4分（Ⅱ）根据题意，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，因为AB平面ABCD ，且AB AD ⊥，所以AB ⊥平面PAD ．又因为PD ⊂平面PAD ，所以AB PD ⊥． ……………………………………………………9分（Ⅲ）取AD 的中点为O ，取BC 的中点为E ，连接,OP OE ，则OE AD ⊥，又因为PA PD =，所以PO AD ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以,,OA OE OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图．不妨设2AB =，因为PA PD AB ==，90APD ∠=︒，所以2PA PD ==，2AD =，1OP =．所以(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(0,0,1)P ，(1,0,0)D -．所以(1,2,1)PB =-，(2,0,0)BC =-，(1,0,1)=--PD ．由（Ⅱ）可知，AB PD ⊥．因为90APD ∠=︒，所以⊥PA PD ．O xyz PA BC D E所以⊥PD 平面PAB ．所以PD 为平面PAB 的一个法向量．设平面PBC 的一个法向量为(),,x y z =n ，则0,0,PB BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩n n即0,20.x z x ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩取1y =，得平面PBC的一个法向量为=n ．则cos ,3PD PD PD ⋅〈〉===-⋅n n n，由图可知，二面角--A PBC 为钝角，所以二面角--A PB C 的余弦值是-…………………………………18分 19．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）由抛物线22y px =过点(1,2)，得24p =．于是2p =，所以该抛物线的方程为24y x =，准线方程为1x =-．……………………………………………………………4分（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ．焦点F 的坐标为(10)，．（i ）由题可知，直线l 的方程为1y x =-．联立24,1,y x y x ⎧=⎨=-⎩得2440y y --=．由韦达定理可得12124,4.y y y y +=⎧⎨=-⎩因为||1OF =，1212||||||y y y y+=-，所以()121212111||||||||||||||2221||2OB OF O A A FBS S S OF y OF y OF y y y y =+=⋅+⋅=+=-===△△△所以AOB △的面积为 (10)分（ii ）易知直线l 的斜率存在且不为0，焦点坐标为(10)，，设直线():1l y k x =-．联立()24,1,y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得2222(24)0k x k x k -++=．由韦达定理可得1221242,1.x x kx x ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩①② 由题意，||3||FA FB =，因为,A B 分别到准线的距离等于,A B 到焦点F 的距离，所以1213(1)x x +=+，即1232x x =+．③ 联立②③，解得1213,3x x ==，代入①得23k =，所以k = 所以直线l的方程为)1y x =-． …………………………………18分20．（本小题满分18分）解：（Ⅰ）设0(,0)A x ，因为点A 在直线20x y ++=上，所以020x +=，得02x =-，所以(2,0)A -．所以2a =．又因为离心率c e a ==，所以c =1b =．所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ……………………………………5分（Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ．（i）因为k =22,1,4y m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y可得22)14x m ++=，即229440x m ++-=，由2161440m ∆=-+>得29m <．由韦达定理，2121244,.99m x x x x -+=-= 由弦长公式得||MN ===由于216144144m -+≤，所以||MN =≤=当且仅当0m =时，||MN. ……………………………11分（ii ）若||||OD OE =，则O 为DE 的中点，所以0D E x x +=. 设直线0:DE y k x =，直线11:(2)2y AM y x x =++，两个方程联立可得：101(2)2y x k x x +=+．解得10112(2)D y x k x y =+-，同理20222.(2)E y x k x y =+- 所以12011022220,(2)(2)D E y y x x k x y k x y +=+=+-+-即0121202112(2)(2)0.k y x y y k y x y y +-++-=所以210102012122()20.y m y mk y k y k y y y y k k --⋅+⋅++-= 化简得：00120122(1)(2)()0.k mky y k y y k k-+-+=① 由22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得: 2222()44y m k y k -+=，即2222(14)240k y my m k +-+-=，11 / 11 由222244(14)(4)0m k m k ∆=-+->，得2214m k <+．所以2212122224,.1414m m k y y y y k k -+==++ 代入①得到：2200022422(1)(2)0.1414k mk m k m k k k k k--+-=++ 所以2200()(4)(2)0,k k m k mk m k ----=即0(2)(22)0.m k k k k m ---=若2m k =，则直线l 过点A ，与已知不符合.又0k ≠，所以0220k k m --=.又由0:DE y k x =，联立:l y kx m =+，消去y 得：02P m x k k==-，所以，点P 在定直线2x =上. ………………………………………………18分。

北京朝阳实验小学2022年高二数学理上学期期末试题含解析

北京朝阳实验小学2022年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等比数列的前项和，若，则（）A.11B.21C.－11D.－21参考答案：B2. （x+﹣2）5展开式中常数项为（）A．252 B．﹣252 C．160 D．﹣160参考答案：B【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】把所给的三项式变为二项式，利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中常数项．【解答】解：（x+﹣2）5的展开式的通项公式为T r+1=??（﹣2）r，0≤r≤5，对于，它的通项为?x5﹣r﹣2k，令5﹣r﹣2k=0，求得r+2k=5，0≤k≤5﹣r，故当r=1，k=2；或r=3，k=1，或r=5，k=0；可得展开式的常数项，故展开式中常数项为?（﹣2）?+?（﹣8）?+（﹣2）5=﹣60﹣160﹣32=﹣252，故答案为：B．3. 下列命题中：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有（）A、1B、2C、3 D、4参考答案：B略4. 已知p：-x2+8x+20≥0，q：x2－2x＋1－m2≤0（m＞0）．若“?p”是“?q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．参考答案：解：p：，q：…………………4分∵“非p”是“非q”的充分不必要条件∴q是p的充分不必要条件…………………6分…………………10分∴实数m的取值范围为。

…………………12分略5. 已知数列为等比数列，若，则等于参考答案：C6. 已知集合，，则A∩B=（）A. {1}B. {2}C. {1,2}D. {1,2,3}参考答案：C【分析】根据交集的定义直接求解即可【详解】，直接求解得【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题7. 设，则A． B． C． D．参考答案：C8. 已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，圆M与线段MF 相交于点A，且被直线截得的弦长为，若，则p= （）A. 3B. 2C.D. 1参考答案：B【分析】根据所给条件画出示意图，用表示出、的长度，根据比值关系即可求得p的值。

北京市朝阳区高二数学上学期期末试卷理(含解析)

北京市朝阳区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）椭圆+=1的离心率是（）A．B．C．D．2．（5分）已知两条不同的直线a，b和平面α，那么下列命题中的真命题是（）A．若a⊥b，b⊥α，则a∥αB．若a∥α，b∥α，则a∥bC．若a⊥α，b⊥α，则a∥b D．若a∥b，b∥α，则a∥α3．（5分）直线截圆x2+y2=4所得劣弧所对圆心角为（）A．B．C．D．4．（5分）已知a，b是两条不同的直线，且b⊂平面α，则“a⊥b”是“a⊥α”的（）A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知抛物线x2=4y上的一点M到此抛物线的焦点的距离为3，则点M的纵坐标是（）A．0 B．C．26．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A．2 B．4 C．8 D．127．（5分）已知双曲线M的焦点与椭圆+=1的焦点相同．如果直线y=﹣x是M的一条渐近线，那么M的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=18．（5分）给出如下四个命题：①已知p，q都是命题，若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；②命题“若a＞b，则3a＞3b﹣1”的否命题为“若a≤b，则3a≤3b﹣1”；③命题“对任意x∈R，x2+1≥0”的否定是“存在x0∈R，x02+1＜0”；④“a≥0”是“∃x∈R，使得ax2+x+1≥0”的充分必要条件．其中正确命题的序号是（）A．①③B．②③C．②③④D．②④9．（5分）已知点A的坐标为（1，0），点P（x，y）（x≠1）为圆（x﹣2）2+y2=1上的任意一点，设直线AP的倾斜角为θ，若|AP|=d，则函数d=f（θ）的大致图象是（）A．B．C．D．10．（5分）已知E，F分别为正方体ABCD﹣A1B1C1D的棱AB，AA1上的点，且AE=AB，AF=AA1，M，N分别为线段D1E和线段C1F上的点，则与平面ABCD平行的直线MN有（）A．1条B．3条C．6条D．无数条二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，答案写在答题卡上.11．（5分）在空间直角坐标系中，点（4，﹣1，2）与原点的距离是．12．（5分）以椭圆的右焦点为焦点，且顶点在原点的抛物线标准方程为．13．（5分）已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆C交于M，N两点，则△F2MN的周长为．14．（5分）如图，某三棱柱的正视图中的实线部分是边长为4的正方形，俯视图是等边三角形，则该三棱柱的侧视图的面积为．15．（5分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，抛物线C上的两点A，B满足=2．若点T（﹣，0），则的值为．16．（5分）已知等边△ABC的边长为2，沿△ABC的高AD将△BAD折起到△B′AD，使得B′C=，则此时四面体B′﹣ADC的体积为，该四面体外接球的表面积为．三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，侧棱DD1⊥平面ABCD，且AD=AA1=1，AB=2．（Ⅰ）求证：平面BCD1⊥平面DCC1D1；（Ⅱ）求异面直线CD1与A1D所成角的余弦值．18．（10分）在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=，点E 在棱PD上，且PE：ED=2：1．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角P﹣AE﹣C的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点F，使得BF∥平面AEC？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．19．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，3），设圆C的半径为，且圆心C 在直线l：y=2x﹣4上．（Ⅰ）若圆心C又在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求此切线的方程；（Ⅱ）若圆C上存在点M，使得|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．20．（10分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其短轴的一个端点到它的左焦点距离为2，直线l：y=kx与椭圆C交于M，N两点，P为椭圆C上异于M，N的点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线PM，PN的斜率都存在，判断PM，PN的斜率之积是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；（Ⅲ）求△PMN面积的最大值．北京市朝阳区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）椭圆+=1的离心率是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆+=1，可得a2=25，b2=16，利用c2=a2﹣b2可得c，再利用离心率计算公式即可得出．解答：解：由椭圆+=1，可得a2=25，b2=16，∴a=5，c2=a2﹣b2=9，解得c=3．∴椭圆的离心率e==．故选：A．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）已知两条不同的直线a，b和平面α，那么下列命题中的真命题是（）A．若a⊥b，b⊥α，则a∥αB．若a∥α，b∥α，则a∥bC．若a⊥α，b⊥α，则a∥b D．若a∥b，b∥α，则a∥α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用线面垂直的性质以及线面平行即垂直的判定定理解答．解答：解：对于A，若a⊥b，b⊥α，那么a∥α或者a⊂α，故A错误；对于B，若a∥α，b∥α，则a，b可能平行、相交或者异面；故B错误；对于C，如果a⊥α，b⊥α，则a∥b，正确；对于D，若a∥b，b∥α，则a∥α或者a⊂α，故D错误；故选C．点评：本题考查了线面垂直、线面平行的性质、直线平行的性质，熟练运用定理是关键．3．（5分）直线截圆x2+y2=4所得劣弧所对圆心角为（）A．B．C．D．考点：直线与圆的位置关系．分析：先解劣弧所对圆心角的一半，就是利用弦心距和半径之比求之．解答：解：圆到直线的距离为：=1，又因为半径是2，设劣弧所对圆心角的一半为α，cosα=0.5，∴α=60°，劣弧所对圆心角为120°．故选 D．点评：直线与圆的关系中，弦心距、半径、弦长的关系，是2015届高考考点，本题是基础题．4．（5分）已知a，b是两条不同的直线，且b⊂平面α，则“a⊥b”是“a⊥α”的（）A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可．解答：解：若a⊥b，则a不一定垂直于α，不是充分条件，若a⊥α，则a⊥b，是必要条件，故选：B．点评：本题考查了充分必要条件，考查了直线和平面的判定定理，是一道基础题．5．（5分）已知抛物线x2=4y上的一点M到此抛物线的焦点的距离为3，则点M的纵坐标是（）A．0 B．C．2考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得抛物线x2=4y的焦点为（0，1），准线方程为y=﹣1，设M（m，n），则由抛物线的定义可得，可得n+1=3，即可求得点M的纵坐标．解答：解：抛物线x2=4y的焦点为（0，1），准线方程为y=﹣1，设M（m，n），则由抛物线的定义可得，M到此抛物线的焦点的距离即为M到准线的距离，即有n+1=3，解得n=2．故选C．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，以及准线方程的运用，属于基础题．6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A．2 B．4 C．8 D．12考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三视图判断几何体由两部分组成，左边部分是四棱锥，且四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为2；右边部分是三棱锥，且三棱锥的高为2，底面是直角边长为2的等腰直角三角形，把数据代入棱锥的体积公式计算．解答：解：由三视图知几何体的左边部分是四棱锥，且四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为2；几何体的右边部分是三棱锥，且三棱锥的高为2，底面是直角边长为2的等腰直角三角形，其直观图如图：∴几何体的体积V=×22×2+××2×2×2=4．故选：B点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量是解答本题的关键．7．（5分）已知双曲线M的焦点与椭圆+=1的焦点相同．如果直线y=﹣x是M的一条渐近线，那么M的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可设双曲线的标准方程为，由直线y=﹣x是M 的一条渐近线，可得=．由椭圆+=1的焦点为（±3，0），可得c=3，再利用c2=a2+b2，解出即可．解答：解：由题意可设双曲线的标准方程为，∵直线y=﹣x是M的一条渐近线，∴=．椭圆+=1的焦点为（±3，0），∴c=3，联立，解得a2=3，b2=6．∴M的方程为：．故选：C．点评：本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）给出如下四个命题：①已知p，q都是命题，若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；②命题“若a＞b，则3a＞3b﹣1”的否命题为“若a≤b，则3a≤3b﹣1”；③命题“对任意x∈R，x2+1≥0”的否定是“存在x0∈R，x02+1＜0”；④“a≥0”是“∃x∈R，使得ax2+x+1≥0”的充分必要条件．其中正确命题的序号是（）A．①③B．②③C．②③④D．②④考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①根据复合命题之间的关系进行判断；②根据否命题的定义进行判断”；③根据全称命题的否定是特称命题进行判断；④根据充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：①已知p，q都是命题，若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故①错误；②命题“若a＞b，则3a＞3b﹣1”的否命题为“若a≤b，则3a≤3b﹣1”；故②正确，③命题“对任意x∈R，x2+1≥0”的否定是“存在x0∈R，x02+1＜0”；故③正确，④若a＜0，则判别式△=1﹣4a＜0，此时ax2+x+1≥0有解，即“a≥0”是“∃x∈R，使得ax2+x+1≥0”的充分必要条件错误，故④错误，故正确的命题为②③，故选：B点评：本题主要考查命题的真假判断，根据复合命题，四种命题之间的关系以及含有量词的命题的否定，充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．9．（5分）已知点A的坐标为（1，0），点P（x，y）（x≠1）为圆（x﹣2）2+y2=1上的任意一点，设直线AP的倾斜角为θ，若|AP|=d，则函数d=f（θ）的大致图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．分析：分两种情况考虑，当直线OP过第一象限与当直线OP过第四象限，画出函数图象，即可得到结果．解答：解：当直线OP过第一象限时，如图：由于AB为直径，故θ=，得到d=f（θ）=2cosθ（0≤θ＜），当直线OP过第四象限时，同理可得到d=f（π﹣θ）=2cos（π﹣θ）=﹣2cosθ（＜θ≤π），函数d=f（θ）的大致图象：故选：D．点评：此题考查了圆的标准方程，利用了数形结合的思想，弄清题意是解本题的关键．10．（5分）已知E，F分别为正方体ABCD﹣A1B1C1D的棱AB，AA1上的点，且AE=AB，AF=AA1，M，N分别为线段D1E和线段C1F上的点，则与平面ABCD平行的直线MN有（）A．1条B．3条C．6条D．无数条考点：直线与平面平行的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：取BH=BB1，连接FH，在D1E上任取一点M，过M在面D1HE中，作MG平行于HO，其中O满足线段OE=D1E，再过G作GN∥FH，交C1F于N，连接MN，根据线面平行的判定定理，得到GM∥平面ABCD，NG∥平面ABCD，再根据面面平行的判断定理得到平面MNG∥平面ABCD，由面面平行的性质得到则MN∥平面ABCD，由于M是任意的，故MN有无数条．解答：解：取BH=BB1，连接FH，则FH∥C1D连接HE，在D1E上任取一点M，过M在面D1HE中，作M G∥HO，交D1H于G，其中O为线段OE=D1E再过G作GN∥FH，交C1F于N，连接MN，由于GM∥HO，HO∥KB，KB⊂平面ABCD，GM⊄平面ABCD，所以GM∥平面ABCD，同理由NG∥FH，可推得NG∥平面ABCD，由面面平行的判定定理得，平面MNG∥平面ABCD，则MN∥平面ABCD．由于M为D1E上任一点，故这样的直线MN有无数条．故选D．点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，主要是直线与平面平行的判断和面面平行的判定与性质，考查空间想象能力和简单推理能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，答案写在答题卡上.11．（5分）在空间直角坐标系中，点（4，﹣1，2）与原点的距离是．考点：空间两点间的距离公式．专题：空间位置关系与距离．分析：根据空间两点间的距离公式进行求解即可．解答：解：根据两点间的距离公式得点（4，﹣1，2）与原点的距离是==，故答案为：点评：本题主要考查空间两点间的距离公式的计算，比较基础．12．（5分）以椭圆的右焦点为焦点，且顶点在原点的抛物线标准方程为y2=4x．考点：抛物线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：依题意，可求得椭圆+y2=1的右焦点，利用抛物线的简单性质即可求得答案．解答：解：∵椭圆+y2=1的右焦点F（，0），∴以F（，0）为焦点，顶点在原点的抛物线标准方程为y2=4x．故答案为：y2=4x．点评：本题考查抛物线的标准方程，考查椭圆与抛物线的简单性质，属于中档题．13．（5分）已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆C交于M，N两点，则△F2MN的周长为8．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的定义可知|F1M|+|F2M|和|F1N|+|F2N|的值，进而把四段距离相加即可求得答案．解答：解：利用椭圆的定义可知，|F1M|+|F2M|=2a=4，|F1N|+|F2N|=2a=4，∴△MNF2的周长为|F1M|+|F2M|+F1N|+|F2N|=4+4=8．故答案为：8．点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．解题的关键是利用椭圆的定义．14．（5分）如图，某三棱柱的正视图中的实线部分是边长为4的正方形，俯视图是等边三角形，则该三棱柱的侧视图的面积为8．考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：由正视图与俯视图可知：该三棱柱是直三棱柱、高与底边边长都为4．即可得出．解答：解：由正视图与俯视图可知：该三棱柱是直三棱柱、高与底边边长都为4．∴该三棱柱的侧视图的面积=8．故答案为：8．点评：本题考查了正三棱柱的三视图及其侧面积，属于基础题．15．（5分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，抛物线C上的两点A，B满足=2．若点T（﹣，0），则的值为2．考点：抛物线的简单性质．专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（，m），B（，n），y2=2x的焦点为F（，0），求得向量AF，FB的坐标，运用向量共线的坐标表示，解方程可得m，n，进而得到A，B的坐标，再由两点的距离公式计算即可得到．解答：解：设A（，m），B（，n），y2=2x的焦点为F（，0），=（﹣，﹣m），=（﹣，n），由=2，则有m=﹣2n，m2+2n2=3，解得m=﹣，n=，或m=，n=﹣，即有A（1，﹣），B（，）或A（1，），B（，﹣）．|TA|==，|TB|==．则的值为2．故答案为：2．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，同时考查向量共线的坐标表示和两点的距离公式的运用，属于中档题．16．（5分）已知等边△ABC的边长为2，沿△ABC的高AD将△BAD折起到△B′AD，使得B′C=，则此时四面体B′﹣ADC的体积为，该四面体外接球的表面积为π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离；球．分析：由题意可得，三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，可得AD⊥底面BCD，由三棱锥的体积公式计算即可得到；它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的体积即可．解答：解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，由BD=CD=1，B′C=，则底面是等腰直角三角形，则AD⊥底面BCD，AD=，即有四面体B′﹣ADC的体积为××1×1=；它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱ABC﹣A1B1C1的中，底面边长为1，1，，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O，外接球的半径为r，球心到底面的距离为，底面中心到底面三角形的顶点的距离为，∴球的半径为r==．四面体ABCD外接球体积为：r3=×（）3=π．故答案为：，π．点评：本题考查线面垂直的判定定理和三棱锥的体积公式和球的体积公式的运用，同时考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，侧棱DD1⊥平面ABCD，且AD=AA1=1，AB=2．（Ⅰ）求证：平面BCD1⊥平面DCC1D1；（Ⅱ）求异面直线CD1与A1D所成角的余弦值．考点：异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由线面垂直得DD1⊥BC，由矩形性质得DC⊥BC．由此能证明BC⊥平面DCC1D1，从而得到平面BCD1⊥平面DCC1D1．（Ⅱ）取DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，由=，利用向量法能求出异面直线CD1与A1D所成角的余弦值．解答：（本题满分10分）（Ⅰ）证明：在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥BC．…（2分）∵底面ABCD是矩形，所以DC⊥BC．又DD1∩DC=D，∴BC⊥平面DCC1D1．又BC⊂面BCD1，∴平面BCD1⊥平面DCC1D1．…（5分）（Ⅱ）解：取DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示，∵AD=AA1=1，AB=2，则D（0，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1），…（7分）∵=（0，﹣2，1），=（1，0，1），∴===．…（9分）∴异面直线CD1与A1D所成角的余弦值是．…（10分）点评：本题考查面面垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意空间思维能力的培养．18．（10分）在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=，点E 在棱PD上，且PE：ED=2：1．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角P﹣AE﹣C的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点F，使得BF∥平面AEC？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角P﹣AE﹣C的余弦值；（Ⅲ）利用向量法，结合线面平行的判定定理进行求解即可．解答：证明：（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形，所以AB=AD=AC=PA=1．在△PAB中，PA=AB=1，PB=，所以PB2=PA2+AB2，即PA⊥AB．同理可证PA⊥AD，且AB∩AD=A，所以PA⊥平面ABCD．…（3分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知PA⊥平面ABCD，取CD中点G，连接AG．由已知条件易知AB⊥AG，如图以A为原点建立空间直角坐标系．…（4分）因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAD，所以平面ABCD⊥平面PAD．平面ABCD∩平面PAD=AD，取AD中点H，连接HC，则HC⊥AD．所以HC⊥平面PAD．所以是平面PAD的法向量，也是平面PAE的法向量．A（0，0，0），D（﹣，，0），H（，，0），C（，，0），E（，，），P（0，0，1），B（1，0，0），=（，，0），=（，，0），=（，，），…（5分）设平面AEC的法向量为=（x，y，z），所以，则，令x=，则=（，﹣1，2），…（6分）所以cos＜，＞===．由图可知，二面角P﹣AE﹣C的平面角为钝角，所以其余弦值为﹣．…（7分）（ III）存在，点F是棱PC的中点．设=λ=λ（，，﹣1），…（8分）则==（﹣1，0，1）+λ（，，﹣1）=（﹣1+λ，λ，1﹣λ），由（ II）知平面AEC的法向量为=（，﹣1，2）．由已题知BF∥平面AEC，等价于，即（﹣1+λ，λ，1﹣λ）•（，﹣1，2）=（﹣1+）λ+2（1﹣λ）=0．解得．…（9分），所以点F是棱PC的中点．…（10分）点评：本题主要考查线面平行和垂直的判定，以及二面角的求解，建立空间坐标系，利用向量法是解决二面角的常用方法．考查学生的运算和推理能力．19．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，3），设圆C的半径为，且圆心C在直线l：y=2x﹣4上．（Ⅰ）若圆心C又在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求此切线的方程；（Ⅱ）若圆C上存在点M，使得|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）联立两直线方程求得圆心C的坐标，则圆的方程可得，设出切线方程，利用点到直线的距离求得k，则直线的方程可得．（Ⅱ）设出圆心C的坐标，表示出圆的方程，进而根据|MA|=2|MO|，设出M，利用等式关系整理求得M的轨迹方程，进而判断出点M应该既在圆C上又在圆D上，且圆C和圆D有交点．进而确定不等式关系求得a的范围．解答：M解：（Ⅰ）由得圆心C为（3，2），因为圆C的半径为1，所以圆C的方程为：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1．显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y=kx+3，即kx﹣y+3=0．所以=1，解得k=0或﹣．则所求圆C的切线方程为：y=3或3x+4y﹣12=0．（Ⅱ）因为圆C的圆心在直线y=2x﹣4上，所以设圆心C为（a，2a﹣4），则圆C的方程为：（x﹣a）2+[y﹣（2a﹣4）]2=1．又|MA|=2|MO|，设m为（x，y），则=2．整理得：x2+（y+1）2=4，设该方程对应的圆为D，所以点M应该既在圆C上又在圆D上，且圆C和圆D有交点．则|2﹣1|≤≤|2+1|．由5a2﹣12a+8≥0，得a∈R．由5a2﹣12a≤0得0≤a≤．所以圆心C的横坐标的取值范围为[0，]．点评：本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了学生的分析推理和基本的运算能力．20．（10分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其短轴的一个端点到它的左焦点距离为2，直线l：y=kx与椭圆C交于M，N两点，P为椭圆C上异于M，N的点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线PM，PN的斜率都存在，判断PM，PN的斜率之积是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；（Ⅲ）求△PMN面积的最大值．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由已知，=，且a=2，所以c=1，b=，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线PM，PN的斜率都存在，利用点差法，即可得出PM，PN的斜率之积是定值；（Ⅲ）求出点P到直线l：y=kx的距离最大值，|MN|，即可求△PMN面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）由已知，=，且a=2，所以c=1，b=．所以椭圆C的方程为．…（3分）（Ⅱ）设P（x0，y0），M（x1，y1），n（﹣x1，﹣y1），则M，P的坐标代入椭圆方程，两式作差得=﹣．所以，当PM，PN的斜率都存在时，PM，PN的斜率之积是定值﹣．…（6分）（Ⅲ）过点P作与平行且与椭圆的相切的直线，设切线方程为y=kx+t，代入椭圆方程，得（3k2+4）x2+8ktx+4t2﹣12=0．令△=0，得|t|=．…（8分）这时，直线y=kx+t与直线l：y=kx的距离就是点P到直线l：y=kx的距离最大值．所以，点P到直线l：y=kx的距离最大值d=．又由y=kx与椭圆方程，解得|x1|=．所以|MN|=2|x1|=．所以，△PMN面积的最大值为=2…（10分）点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

北京市朝阳区2017-2018学年高二上学期期末考试数学理试题(有答案)

北京市朝阳区2017~2018学年度第一学期期末质量检测高二年级数学理科试卷 2018.1（考试时间100分钟满分 120分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 命题“x ∀∈R ，sin 0x x +>”的否定是A. x ∀∈R ，sin 0x x +≤B. 0x ∃∈R ，00sin 0x x +≤C. 0x ∃∈R ，00sin 0x x +>D. x ∀∈R ，sin 0x x +≥2.设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题为假命题．．．的是 A. 若//αβ，m α⊥，//n β，则m n ⊥ B. 若αβ⊥，αγ⊥，则//βγ C. 若//αβ，m α⊂，则//m β D. 若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥ 3．“3a =”是“直线40x y -+=与圆()()2238x a y -+-=相切”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 如图，在三棱锥P ABC -中，D ，E ，F 分别是侧棱PA ，PB ，PC 的中点. 给出下列三个结论：①//BC 平面DEF ；②平面//DEF 平面ABC ；③三棱锥P DEF -与三棱锥P ABC -的体积比为1:4．其中正确的个数是A. 0B. 1C. 2D. 35.已知圆1O ：224240x y x y +-++=，圆2O ：22(1)4x y -+=，则两圆的位置关系为 A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切6. 已知如图为某三棱锥的三视图，则该三棱锥的表面积为A. 1B.C. 3D. 37. 设F 是抛物线C ：28y x =的焦点，P 是抛物线C 上一点，点M 在抛物线C 的准线上，若4FM FP =，则直线FP 的方程为A. 2)y x =±-B.(2)y x =±-C. 2)y x =-D.(2)y x =- 8. 已知点(1,0)P -，过点(1,0)Q 作直线2()20ax a b y b +++=(a ，b 不同时为0)的垂线，垂足为H ，则PH 的最小值为A.B. 1C. 1D. 二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分，答案写在答题卡上.9. 在空间直角坐标系O xyz -中，点(1,2,3)P 关于平面xOz 对称的点的坐标为． 10. 若直线3450x y -+=与圆222(0)x y r r +=>相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且120AOB ︒∠=，则r 的值为．11. 设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的—个焦点为F ，虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为_______.12. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1， E ，F ，K 分别为棱11A D ，1CC 和BC 的中点，则三棱锥1K EFB -的体积为．13. 已知平面内圆心为M 的圆的方程为22(3)16x y -+=，点P 一点，若线段PA 的垂直平分线交直线PM 于点Q ，则点Q 的轨迹可能是．（请将下列符合条件的序号都填入横线上）①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点.14．设平面内到点(1,0)和直线1x =-的距离相等的点的轨迹为曲线C ，则曲线C 的方程为；若直线l 与曲线C 相交于不同两点P ，Q ，与圆()()22230x y r r -+=>相切于点T ，且T 为线段PQ 的中点．在r 的变化过程中，满足条件的直线l 有n 条，则n 的所有可能值为．三、解答题：本大题共4小题，共50分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．1A15. （本小题满分11分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ．（Ⅰ）求证：CP BD ⊥；（Ⅱ）若E ，T 分别为线段PA ，BC 的中点，求证：//BE 平面PDT ．16. （本小题满分11分）在平面直角坐标系xOy 中，设动点P 到两定点(2,0)M -，(1,0)N 的距离的比值为2的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）若直线l 过点M ，且点N 到直线l 的距离为1，求直线l 的方程，并判断直线l 与曲线C 的位置关系．17. （本小题满分14分）如图1，在M B C △中，24BM BC ==，BM BC ⊥，A ，D 分别为BM ，MC 的中点．将MAD △沿AD 折起到PAD △的位置，使90PAB ∠= ，如图2，连结PB ，PC ．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若E 为PC 中点，求直线DE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段PC 上是否存在一点G ，使二面角G AD P --PGPC的值；若不存在，请说明理由．18. （本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ．过定点(0,2)P 的直线l 交椭圆C 于不同的两点A ，B （点B 在点A ，P 之间）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若PB PA λ=，求实数λ的取值范围；（Ⅲ）若射线BO 交椭圆C 于点M （O 为原点），求ABM △面积的最大值．北京市朝阳区2017~2018学年度第一学期期末质量检测高二年级数学学科（理科）参考答案 2018.1一、选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分，答案写在答题卡上.三、解答题：本大题共4小题，共50分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）（本小题满分11分）（Ⅰ）证明：连结AC ，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥．因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA BD ⊥．又因为AC PA A = ，所以BD ⊥平面PAC ．故CP BD ⊥． ………………… 5分（Ⅱ）证明：取PD 中点F ,连结EF ，TF ．又因为E 为线段PA 中点，所以//EF AD ，1=2EF AD ．因为四边形ABCD 为菱形，T 为线段BC 的中点，所以//BT AD ，1=2BT AD ．所以//EF BT，=EF BT ．故四边形BEFT 为平行四边形，所以//BE FT ．又因为BE ⊄平面PDT ，FT ⊂平面PDT ，所以//BE 平面PDT ． ………………… 11分（16）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）设(,)P x y 为所求曲线C 上任意一点，DTPB由题意得，2PM PN=．又(2,0)M -，(1,0)N ，22(2)4x y -+=．故曲线C 的方程为22(2)4x y -+=． ………………… 5分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时,不符合题意．设直线l 的方程为(2)y k x =+, 因为点N 到直线l 的距离为1,1=,解得k =所以直线l的方程为2)y x =+,即20x ±+=．因为圆心C 到直线l 的距离为423<(半径), 所以直线l 与曲线C 相交． ………………… 11分（17）（本小题满分14分）（Ⅰ）证法一：因为A ，D 分别为MB ，MC 中点，所以AD //BC ．因为BM BC ⊥，所以BM AD ⊥．所以PA AD ⊥．因为90PAB ∠=︒，所以PA AB ⊥．又因为AB AD =A ，所以PA ⊥平面ABCD ．又因为PA ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ．证法二：因为A ，D 分别为MB ，MC 中点，所以AD //BC ．因为BM BC ⊥，所以BM AD ⊥．所以PA AD ⊥，AB AD ⊥．所以PAB ∠为二面角P AD B --的平面角．因为90PAB ∠=︒，所以二面角P AD B --为直二面角，即平面PAD ⊥平面ABCD ． ………………… 4分（Ⅱ）解：因为PA AB ⊥，PA AD ⊥，90PAB ∠=︒，所以AP ，AB ，AD 两两互相垂直．以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，依题意有(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,1,0)D ，(0,0,2)P ，(1,1,1)E ．则(2,2,2)PC =- ，(1,0,1)DE = ，(2,1,0)BD =- ，(2,0,2)BP =-，(2,2,0)AC = ，(2,0,0)AB =．设平面PBD 的一个法向量111(,,)x y z =n ，DCBP (M )A E则有0,0,BD BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即111120,220,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩令12y =得11x =，11z =．所以=(1,2,1)n ．设直线DE 与平面PBD 所成角为θ，则sin cos ,DE θ=<>==n 故直线DE 与平面PBD． ………………… 9分（Ⅲ）解：假设线段PC 上存在一点G ，使二面角G AD P --设000(,,)G x y z ，(01)PGPCλλ=≤≤，则(01)PG PC λλ= ≤≤，即000(,,2)(2,2,2)PG x y z PC λλλλ=-==-．所以(2,2,22)G λλλ-，(0,1,0)AD = ，(2,2,22)AG λλλ=-.易得平面PAD 的一个法向量为1(1,0,0)=n ．设平面ADG 的一个法向量2222(,,)x y z =n ，则有220,0,AD AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即22220,22(22)0y x y z λλλ=⎧⎨++-=⎩．令2z λ=，则2(1,0,)λλ=-n ．若二面角G AD P --则有121212cos ,⋅<>==n n n n n n=，解得，112λ=-，214λ=．又因为01λ≤≤，所以14λ=．故线段PC 上存在一点G ，使二面角G AD P --14PG PC =． ……… 14分（18）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为(0)c c >，由题意，1c =，又因c e a ==a = 由222b ac =-，解得21b =．故椭圆C 的方程为2212x y +=． ………………… 4分（Ⅱ）当直线l 斜率不存在时，其方程为0x =，此时，(0,1)B ，(0,1)A -，(0,1)PB =-，(0,3)PA =- ，由PB PA λ= ，得13λ=．当直线l 斜率存在时，设其为k ，则直线l 方程为2(0)y kx k =+≠．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,2)PA x y =- ，22(,2)PB x y =-．由PB PA λ= ，可得2121,2(2),x x y y λλ=⎧⎨-=-⎩则21212()12x x x x λλ++=- ．（1）由221,22,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(2)2x kx ++=，即22(12)860k x kx +++=．判别式226424(12)0k k ∆=-+>，解得232k >．且122812k x x k -+=+，122612x x k =+，将其代入（1）得， 222132322213(12)3(2)k k k λλ+=-=-++，由21203k << ， 11023λλ<+<，解得133λ<<．又因B 在A ，P 之间，所以113λ<<．综上可得，λ的取值范围是1[,1)3． ………………… 9分（Ⅲ）由椭圆的对称性可知，||||BO OM =，2ABM AOB S S ∆∆=．设点O 到直线l 的距离为d ，由（Ⅱ）可知232k >，且1||2AOB S AB d ∆=⨯121||2x x =-12||x x =-当且仅当22162323k k -=-23()2k >，即272k =时取“=”，即max max ()2()ABM AOB S S ∆∆==，故ABM ∆． ……… 14分。

北京市2022年高二上期末数学试卷(理科)含答案解析

高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知双曲线=1的一条渐近线方程为y=，则双曲线的焦距为（）A． B．2C．2 D．102．（5分）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y=3sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2+bx+1=0有实数解的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）如表是某单位1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x1234用水量y45a7由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归方程是，则a等于（）A．6 B．6.05 C．6.2 D．5.955．（5分）下列四个命题：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”②“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的必要不充分条件③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题④对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，使得x2+x+1≥0．其中，错误的命题个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣2，则a的值为（）A．4 B．8 C．D．7．（5分）某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5，已知抽到10位中年人，则样本的容量为（）A．40 B．100 C．80 D．508．（5分）下列程序框图中，输出的A的值是（）A．B．C．D．9．（5分）若双曲线C1以椭圆C2：+=1的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=110．（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（）A．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”B．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”C．“至少1名男生”与“全是男生”D．“至少1名男生”与“全是女生”11．（5分）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（）A．32 B．40 C．48 D．5612．（5分）设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c，过F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知，|F2Q|＞|F2A|，点P是双曲线C右支上的动点，且|PF1|+|PQ|＞|恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B． C．D．二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）.13．（5分）已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k=．14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的过焦点的弦为AB，且|AB|=9，x A+x B=6，则p=．15．（5分）某校开展“爱我漳州、爱我华安”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91．复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清．若记分员计算无误，则数字x应该是．16．（5分）设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为．三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17．（10分）已知集合Z={（x，y）|x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]}．（1）若x，y∈Z，求x+y≥0的概率；（2）若x，y∈R，求x+y≥0的概率．18．（12分）命题p：；命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．19．（12分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，90）之间的频数，并估计该班的平均分数；（2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．20．（12分）已知O为坐标原点，M是椭圆=1上的点，设动点P满足．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=x+m（m≠0）与曲线C相交于A，B两个不同点，求△OAB 面积的最大值．21．（12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．22．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）过点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的上顶点作直线l交抛物线x2=2y于A、B两点，O为原点．①求证：OA⊥OB；②设OA、OB分别与椭圆相交于C、D两点，过原点O作直线CD的垂线OH，垂足为H，证明：|OH|为定值．高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知双曲线=1的一条渐近线方程为y=，则双曲线的焦距为（）A． B．2C．2 D．10【解答】解：曲线=1的一条渐近线方程为y=，可得：=，解得m=4，则b=2，a=3，∴c=．双曲线的焦距为2．故选：B．2．（5分）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y=3sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，大圆的直径为y=3sin x的周期，且T==12，面积为S=π•=36π，一个小圆的面积为S′=π•12=π，在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：P===．故选：B．3．（5分）将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2+bx+1=0有实数解的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，基本事件总数n=6×6=36，∵方程ax2+bx+1=0有实数解，∴△=b2﹣4a≥0，∴方程ax2+bx+1=0有实数解包含的基本事件（a，b）有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共19个，∴方程ax2+bx+1=0有实数解的概率p=．故选：C．4．（5分）如表是某单位1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x1234用水量y45a7由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归方程是，则a等于（）A．6 B．6.05 C．6.2 D．5.95【解答】解：∵=（1+2+3+4）=2.5，=（4+5+a+7）=4+∴4+=2.5+3.05，解得：a=6.2，故选：C．5．（5分）下列四个命题：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”②“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的必要不充分条件③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题④对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，使得x2+x+1≥0．其中，错误的命题个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确，②由x2﹣3x+2＞0得x＞2或x＜1，即“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，故②错误，③若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故③错误，④对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，使得x2+x+1≥0．正确，故错误的个数为2个，故选：B6．（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣2，则a的值为（）A．4 B．8 C．D．【解答】解：由抛物线y=ax2，得，由其准线方程为y=﹣2，可知抛物线开口向上，则a＞0．∴2p=，则．∴，得a=．故选：C．7．（5分）某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5，已知抽到10位中年人，则样本的容量为（）A．40 B．100 C．80 D．50【解答】解：某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5，已知抽到10位中年人，则10则，解得样本的容量n=100．故答案为：100．8．（5分）下列程序框图中，输出的A的值是（）A．B．C．D．【解答】解：由程序框图可得：A i第一次循环后2第二次循环后3第三次循环后4…观察规律可知A的值为，可得：第九次循环后10不满足条件i＜10，跳出循环．则输出的A为．故选：A．9．（5分）若双曲线C1以椭圆C2：+=1的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：根据题意，椭圆C2：+=1的焦点坐标为（0，±3），长轴的端点坐标为（0，±5），若双曲线C1以椭圆C2的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的焦点为（0，±5），顶点为（0，±3），则双曲线中c=5，a=3，则b2=c2﹣a2=16，则双曲线的方程为：﹣=1，故选：B．10．（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（）A．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”B．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”C．“至少1名男生”与“全是男生”D．“至少1名男生”与“全是女生”【解答】解：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，在A中，“至少1名男生”与“至少有1名是女生”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；在B中，“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”是互斥不对立事件，故B错误；在C中，“至少1名男生”与“全是男生”能同时发生，不是互斥事件，故C错误；在D中，“至少1名男生”与“全是女生”是对立事件，故D正确．故选：D．11．（5分）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（）A．32 B．40 C．48 D．56【解答】解：设第一小组的频率为a，由频率分布直方图，得：a+2a+3a+0.0375×5+0.0125×5=1，a=0.125．∵第1小组的频数为6，∴报考飞行员的学生人数为：=48．故选：C．12．（5分）设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c，过F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知，|F2Q|＞|F2A|，点P是双曲线C右支上的动点，且|PF1|+|PQ|＞|恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B． C．D．【解答】解：令x=c代入双曲线的方程可得y=±b=±，由|F2Q|＞|F2A|，可得＞，即为3a2＞2b2=2（c2﹣a2），即有e=＜①又|PF1|+|PQ|＞|F1F2|恒成立，由双曲线的定义，可得2a+|PF2|+|PQ|＞3c恒成立，由F2，P，Q共线时，|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|=，可得3c＜2a+，即有e=＜②由e＞1，结合①②可得，e的范围是（1，）．故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）.13．（5分）已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k=．【解答】解：∵向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），∴=（4﹣k，﹣7，0），=（﹣2k，﹣2，0）．又A、B、C三点共线，∴存在实数λ使得，∴，解得．故答案为：﹣．14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的过焦点的弦为AB，且|AB|=9，x A+x B=6，则p=3．【解答】解：如图，∵AB过焦点F，且|AB|=9，x A+x B=6，∴|AB|=x A+x B+p=6+p=9，即p=3．故答案为：3．15．（5分）某校开展“爱我漳州、爱我华安”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91．复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清．若记分员计算无误，则数字x应该是1．【解答】解：由题意知去掉一个最高分94和一个最低分88后，余下的7个数字的平均数是91，即×（89+89+92+93+90+x+92+91）=91，∴636+x=91×7=637，解得x=1．故答案为：1．16．（5分）设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为+=1．【解答】解：由圆的方程可知，圆心C（﹣1，0），半径等于5，设点M的坐标为（x，y ），∵AQ的垂直平分线交CQ于M，∴|MA|=|MQ|．又|MQ|+|MC|=半径5，∴|MC|+|MA|=5＞|AC|．依据椭圆的定义可得，点M的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆，且2a=5，c=1，∴b=，故椭圆方程为+=1，即+=1．故答案为：三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17．（10分）已知集合Z={（x，y）|x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]}．（1）若x，y∈Z，求x+y≥0的概率；（2）若x，y∈R，求x+y≥0的概率．【解答】解：（1）设“x+y≥0，x，y∈Z”为事件A，x，y∈Z，x∈[0，2]，即x=0，1，2；y∈[﹣1，1]，即y=﹣1，0，1．则基本事件有：（0，﹣1），（0，0），（0，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），（2，1）共9个．其中满足“x+y≥0”的基本事件有8个，∴P（A）=．故x，y∈Z，x+y≥0的概率为．（2）设“x+y≥0，x，y∈R”为事件B，∵x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]，则基本事件为如图四边形ABCD区域，事件B包括的区域为其中的阴影部分．基本事件如图四边形ABCD区域S=4，事件B包括的区域如阴影部分S′=S﹣=∴P（B）==．18．（12分）命题p：；命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：命题p：∀x∈R，x2+mx+1≥0为真，∴△=m2﹣4≤0⇒﹣2≤m≤2…（2分）命题q为真，即方程是焦点在y轴上的椭圆，∴0＜m＜2…（4分）又∵“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，∴p是真命题且q是假命题，或p是假命题且q是真命题…（6分）∴或…（10分），∴m的取值范围是[﹣2，0]∪{2}…（12分）19．（12分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，90）之间的频数，并估计该班的平均分数；（2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．【解答】解：（1）由茎叶图知，分数在[50，60）之间的频数为2，频率为0.008×10=0.08，全班人数为；所以分数在[80，90）之间的频数为25﹣2﹣7﹣10﹣2=4，分数在[50，60）之间的总分为56+58=114；分数在[60，70）之间的总分为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456；分数在[70，80）之间的总分数为70×10+1+2+3+3+4+5+6+7+8+9=747；分数在[80，90）之间的总分约为85×4=340；分数在[90，100]之间的总分数为95+98=193；所以，该班的平均分数为；（2）将[80，90）之间的4个分数编号为1，2，3，4，[90，100]之间的2个分数编号为5，6，在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个，其中，至少有一个在[90，100]之间的基本事件有9个，∴至少有一份分数在[90，100]之间的概率是．20．（12分）已知O为坐标原点，M是椭圆=1上的点，设动点P满足．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=x+m（m≠0）与曲线C相交于A，B两个不同点，求△OAB 面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设点P（x，y），M（x1，y1），由．，得x=2x1，y=2y1，因为点M在椭圆圆=1上，所以，故，即动点P的轨迹C的方程为．（Ⅱ）由曲线C与直线l联立得，消y得3x2+4mx+2m2﹣8=0，因为直线l与曲线C交于A，B两点，所以△=16m2﹣4×3×（2m2﹣8）＞0，又m≠0，所以0＜m2＜12．设设A（x3，y3），B（x4，y4），则，，因为点O到直线A：x﹣y+m=0的距离d=，|AB|===，所以S×=，×=2，当且仅当m2=12﹣m2，即m2=6时取等号，所以△OAB面积的最大值为221．（12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．【解答】证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…（4分）解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）22．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）过点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的上顶点作直线l交抛物线x2=2y于A、B两点，O为原点．①求证：OA⊥OB；②设OA、OB分别与椭圆相交于C、D两点，过原点O作直线CD的垂线OH，垂足为H，证明：|OH|为定值．【解答】解：（Ⅰ）∵e=，∴，则，又∵在椭圆上，∴，解得a=2，，∴椭圆的方程为；（Ⅱ）①证明：设A（x1，y1）、B（x2，y2），依题意，直线l一定有斜率k，l的方程为y=kx+2，联立方程，消去y得：x2﹣2kx﹣4=0，∴x1x2=﹣4，则，∴=x1x2+y1y2=﹣4+4=0，∴OA⊥OB；②证明：设C（x3，y3）、D（x4，y4），直线CD的方程为y=mx+n，∵OA⊥OB，∴OC⊥OD，则x3x4+y3y4=0．联立，消去y得：（3m2+4）x2+6mnx+3n2﹣12=0，∴，，∴．由，得7n2=12（1+m2），即|n|=，∵OH⊥CD，∴．∴|OH|为定值．。

北京市朝阳区2019-2020学年高二数学上学期期末考试质量检测试题(含解析)

a3
a1q
a1q2
2q
2q2
4
，解得：
q 2
a4 a1q3 16 故答案为： 16
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，属于基础题.
14.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为_________；面积最大的侧面的面积
为_________.
【答案】 (1). 16 (2). 10
A. ①②③
B. ①②
C. ②③④
D. ③④
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】 m ， m// 或 m ，又 l m l ，①正确；
m ， // m ，又 l // m l ，②正确；
l ， // l ，又 m m l ，③正确；
北京市朝阳区 2019-2020 学年度第一学期期末质量检测高二数学试卷
第一部分（选择题共 50 分）
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中,选出符
合题目要求的一项.
1.不等式 x(x 2) 0 的解集是( )
x 0 x 2
A.
x x 2
数最值.
3.已知双曲线
x2 a2
y2 16
1(a
0) 的一个焦点为 (5 ,
0)
，则 a
的值为(
)
A. 9
B. 6
C. 5
【答案】D
【解析】
【分析】
D. 3
根据双曲线中 a2 b2 c2 可构造方程求得结果.
【详解】双曲线焦点为 5, 0
故选： D
a2 16 25 ，解得： a 3

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