北京市朝阳区2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试卷(扫描版)
【数学】2015年北京市朝阳区高三(上)期末数学试卷(理科)和解析
2014-2015学年北京市朝阳区高三上学期数学期末试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设i为虚数单位，则复数z=在复平面内对应的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．若AB中点M到抛物线准线的距离为6，则线段AB的长为（）A．6 B．9 C．12 D．无法确定3．（5分）设函数f（x）=sin（2x﹣）的图象为C，下面结论中正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期是2πB．函数f（x）在区间（﹣，）上是增函数C．图象C可由函数g（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到D．图象C关于点（，0）对称4．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是（）A．4+2B．8 C．4+2D．45．（5分）α，β表示不重合的两个平面，m，l表示不重合的两条直线．若α∩β=m，l⊄α，l⊄β，则“l∥m”是“l∥α且l∥β”的（）A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）在△ABC中，B=，则sinA•sinC的最大值是（）A．B．C．D．7．（5分）点O在△ABC的内部，且满足+2+4=0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比是（）A．B．3 C．D．28．（5分）设连续正整数的集合I={1，2，3，…，238}，若T是I的子集且满足条件：当x∈T时，7x∉T，则集合T中元素的个数最多是（）A．204 B．207 C．208 D．209二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P （1，2），则sin（π﹣α）的值是．10．（5分）双曲线C：x2﹣y2=λ（λ＞0）的离心率是；渐近线方程是11．（5分）设不等式组表示平面区域为D，在区域D内随机取一点P，则点P落在圆x2+y2=1内的概率为．12．（5分）有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声，…，12点响12声（12时制），且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是12点的报时，则此人至少需等待秒才能确定时间．13．（5分）在锐角AOB的边OA上有异于顶点O的6个点，边OB上有异于顶点O的4个点，加上点O，以这11个点为顶点共可以组成个三角形（用数字作答）．14．（5分）已知函数f（x）=（x∈R）．下列命题：①函数f（x）既有最大值又有最小值；②函数f（x）的图象是轴对称图形；③函数f（x）在区间[﹣π，π]上共有7个零点；④函数f（x）在区间（0，1）上单调递增．其中真命题是．（填写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20～80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]绘制频率分布直方图，如图所示．若规定年龄分布在[20，40）岁的人为“青年人”，[40，60）为“中年人”，[60，80]为“老年人”．（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20﹣80年龄段的人口分布的概率．从该城市20﹣80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD中是正方形，侧面PAB⊥底面ABCD中，PA=AB，点E是PB的中点，点F在边BC上移动．（Ⅰ）若F为BC中点，求证：EF∥平面PAC；（Ⅱ）求证：AE⊥PF；（Ⅲ）若PB=AB，二面角E﹣AF﹣B的余弦值等于，试判断点F在边BC 上的位置，并说明理由．17．（13分）若有穷数列a1，a2，a3，…，a m（m是正整数）满足条件：a i=a m﹣i+1（i=1，2，3，…，m），则称其为“对称数列”．例如，1，2，3，2，1和1，2，3，3，2，1都是“对称数列”．（Ⅰ）若{b n}是25项的“对称数列”，且b13，b14，b15，…，b25是首项为1，公比为2的等比数列．求{b n}的所有项和S；（Ⅱ）若{c n}是50项的“对称数列”，且c26，c27，c28，…，c50是首项为1，公差为2的等差数列．求{c n}的前n项和S n，1≤n≤50，n∈N*．18．（13分）设函数f（x）=，a∈R．（Ⅰ）当a=时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）为f（x）的导函数，当x∈[，2e]时，函数f（x）的图象总在g（x）的图象的上方，求a的取值范围．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（1，），离心率为．过椭圆右顶点A的两条斜率乘积为﹣的直线分别交椭圆C于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线MN是否过定点D？若过定点D，求出点D的坐标；若不过，请说明理由．20．（13分）已知函数f（x）=（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3），x1，x2，x3∈R，且x1＜x2＜x3．（Ⅰ）当x1=0，x2=1，x3=2时，若方程f（x）=mx恰存在两个相等的实数根，求实数m的值；（Ⅱ）求证：方程f′（x）=0有两个不相等的实数根；（Ⅲ）若方程f'（x）=0的两个实数根是α，β（α＜β），试比较与α，β的大小并说明理由．2014-2015学年北京市朝阳区高三上学期数学期末试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设i为虚数单位，则复数z=在复平面内对应的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z==，∴复数z=在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣1），所在的象限是第四象限，故选：D．2．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．若AB中点M到抛物线准线的距离为6，则线段AB的长为（）A．6 B．9 C．12 D．无法确定【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标（1，0），p=2．设A（x1，y1）B（x2，y2）抛物y2=4x的准线x=﹣1，线段AB中点到抛物线的准线的距离为6，即有（x1+x2）=5，∴x1+x2=10，∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=10+2=12，故选：C．3．（5分）设函数f（x）=sin（2x﹣）的图象为C，下面结论中正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期是2πB．函数f（x）在区间（﹣，）上是增函数C．图象C可由函数g（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到D．图象C关于点（，0）对称【解答】解：根据函数f（x）=sin（2x﹣）的周期为=π，可得A错误；在区间（﹣，）上，2x﹣∈（﹣，），故f（x）没有单调性，故B错误；把函数g（x）=sin2x的图象向右平移个单位，可得y=sin（2x﹣）的图象，故C错误；令x=，可得f（x）=sin（2x﹣）=0，图象C关于点（，0）对称，故D 正确，故选：D．4．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是（）A．4+2B．8 C．4+2D．4【解答】解：根据几何体的三视图，画出它的直观图，如图所示；由三视图知，PO⊥平面ABC，OC⊥平面PAB，且OP=OC=2，OB=OA=1；∴PA=PB==，AC=BC==，PC==2；∴S=S△CAB=2，△PABS△PAC=S△PBC=；∴三棱锥的全面积为S=S△PAB+S△CAB+S△PAC+S△PBC=4+2．故选：A．5．（5分）α，β表示不重合的两个平面，m，l表示不重合的两条直线．若α∩β=m，l⊄α，l⊄β，则“l∥m”是“l∥α且l∥β”的（）A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：充分性：∵α∩β=m，∴m⊂α，m⊂β，∵l∥m，l⊄α，l⊄β，∴l∥α，l∥β，必要性：过l作平面γ交β于直线n，∵l∥β，∴l∥n，若n与m重合，则l∥m，若n与m不重合，则n⊄α，∵l∥α，∴n∥α，∵n⊂β，α∩β=m，∴n∥m，故l∥m，故“l∥m”是“l∥α且l∥β”的充要条件，故选：C．6．（5分）在△ABC中，B=，则sinA•sinC的最大值是（）A．B．C．D．【解答】解：sinAsinC=sinAsin（π﹣A﹣B）=sinAsin（﹣A）=sinA（cosA+sinA）=sin2A﹣cos2A+=sin（2A﹣）+∵0∴﹣＜2A﹣＜∴2A﹣=时，sinAsinC取得最大值．故选：D．7．（5分）点O在△ABC的内部，且满足+2+4=0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比是（）A．B．3 C．D．2【解答】解：如图所示，作OD=4OC，以OA，OD为邻边作平行四边形OAED，连接AD，OE，交于点M，OE交AC于点N．∵满足+2+4=，∴+4=，∴，∴==，∴，∴，∴△ABC的面积与△AOC的面积之比是7：2．故选：A．8．（5分）设连续正整数的集合I={1，2，3，…，238}，若T是I的子集且满足条件：当x∈T时，7x∉T，则集合T中元素的个数最多是（）A．204 B．207 C．208 D．209【解答】解：集合T中不能有满足7倍关系的两个数，因此我们将I中的数分成三类：第一类：1，7，49；2，14，98；3，21，147；4，28，196；共4组；每组最多只能有两个数在集合T中，即集合T中至少需要排除4个元素：7，14，21，28；第二类，5，35；6，42；…；34，238；共26组；每组最多只能有一个数在集合T中，即集合T中至少需要排除26个元素；第三类是剩余的数，它们不是7的倍数，且它们的7倍不在集合中，所以这组数都可以在集合中，故集合T中元素的个数最多是238﹣4﹣26=208；故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（1，2），则sin（π﹣α）的值是．【解答】解：由题意可得x=1，y=2，r=，∴sinα==，∴sin（π﹣α）=sinα=．故答案为：．10．（5分）双曲线C：x2﹣y2=λ（λ＞0）的离心率是；渐近线方程是y=±x．【解答】解：双曲线C：x2﹣y2=λ（λ＞0）即为﹣=1，则有a=，b=，c=，则有e==，渐近线方程为y=±x．故答案为：，y=±x．11．（5分）设不等式组表示平面区域为D，在区域D内随机取一点P，则点P落在圆x2+y2=1内的概率为．【解答】解：画出区域D和圆，如图示：区域D的面积是4，区域D在圆中的部分面积是，∴点P落在圆内的概率是=，故答案为：．12．（5分）有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声，…，12点响12声（12时制），且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是12点的报时，则此人至少需等待11秒才能确定时间．【解答】解：大钟报时时最多可响12声，12点的报时，大钟会响12声，所以某人从听到第一声响开始计时，需要至少等待11秒才能听到第12声响，确定这时是12点．13．（5分）在锐角AOB的边OA上有异于顶点O的6个点，边OB上有异于顶点O的4个点，加上点O，以这11个点为顶点共可以组成120个三角形（用数字作答）．【解答】解：第一类：三角形顶点不包括O点，在OA上取两点，在OB上取一点，或者在OA上取一点，在OB上取两点，此时构成三角形的个数为+=96，第二类：三角形顶点，包括O点，在OA上取一点，在OB上取一点，此时构成三角形的个数为=24，根据分类计数原理，以这11个点为顶点共可以组成96+24=120个三角形故答案为：120．14．（5分）已知函数f（x）=（x∈R）．下列命题：①函数f（x）既有最大值又有最小值；②函数f（x）的图象是轴对称图形；③函数f（x）在区间[﹣π，π]上共有7个零点；④函数f（x）在区间（0，1）上单调递增．其中真命题是①②③．（填写出所有真命题的序号）【解答】解：考虑①：函数f（x）=≤=，当且仅当x=时取等号，故函数由最大值；取x=﹣，有f（﹣）=＜＜，当x＞10时，f（x）＞＞﹣＞f（），当x＜﹣9时，f（x）＞＞﹣＞f（），而f（x）在[﹣9，10]上存在最小值，设此最小值为m，则m≤f（﹣），所以，m亦为f（x）在定义域上的最小值．故①正确；考虑②：因为f（1﹣x）=f（x），所以x=为f（x）的对称轴，故②正确；考虑③：因为f（x）=0，即sinπx=0，故x=k，k为整数，∴区间[﹣π，π]上有﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3共7个零点，故③正确；考虑④：f（0）=f（1）=0，所以f（x）不可能单调递增；故④错误；综上①②③正确，故答案为：①②③三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20～80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]绘制频率分布直方图，如图所示．若规定年龄分布在[20，40）岁的人为“青年人”，[40，60）为“中年人”，[60，80]为“老年人”．（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20﹣80年龄段的人口分布的概率．从该城市20﹣80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图估算所调查的600人的平均年龄为：25×0.1+35×0.2+45×0.3+55×0.2+65×0.1+75×0.1=48（岁）．（Ⅱ）由频率分布直方图知“老年人”所点频率为，∴从该城市20～80年龄段市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为，依题意，X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴X的分布列为：EX==．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD中是正方形，侧面PAB⊥底面ABCD中，PA=AB，点E是PB的中点，点F在边BC上移动．（Ⅰ）若F为BC中点，求证：EF∥平面PAC；（Ⅱ）求证：AE⊥PF；（Ⅲ）若PB=AB，二面角E﹣AF﹣B的余弦值等于，试判断点F在边BC 上的位置，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）在△PBC中，∵点E是PB中点，点F是BC中点，∴EF∥PC，又∵EF⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，∴EF∥平面PAC；（Ⅱ）∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥AB，又∵侧面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩底面ABCD=AB，且BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面PAB，∵AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE，∵PA=AB，点E是PB的中点，∴AE⊥PB，又∵PB∩BC=B，∴AE⊥平面PBC，∵PF⊂平面PBC，∴AE⊥PF；（Ⅲ）结论：点F为边BC上靠近B点的三等分点；理由如下：∵PA=AB，PB=AB，∴PA⊥AB，由（II）知，BC⊥平面PAB，又∵BC∥AD，∴AD⊥平面PAB，即AD⊥PA，AD⊥AB，∴AD，AB，AP两两垂直，分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图：不妨设AB=2，BF=m，则A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（m，2，0），于是=（0，1，1），=（m，2，0），设平面AEF的一个法向量为=（p，q，r），由，得，取p=2，则q=﹣m，r=m，得=（2，﹣m，m），由于AP⊥AB，AP⊥AD，AB∩AD=A，所以AP⊥平面ABCD，即平面ABF的一个法向量为=（0，0，2），根据题意，==，解得m=，∵BC=AB=2，∴BF=BC，即点F为边BC上靠近B点的三等分点．17．（13分）若有穷数列a1，a2，a3，…，a m（m是正整数）满足条件：a i=a m﹣i+1（i=1，2，3，…，m），则称其为“对称数列”．例如，1，2，3，2，1和1，2，3，3，2，1都是“对称数列”．（Ⅰ）若{b n}是25项的“对称数列”，且b13，b14，b15，…，b25是首项为1，公比为2的等比数列．求{b n}的所有项和S；（Ⅱ）若{c n}是50项的“对称数列”，且c26，c27，c28，…，c50是首项为1，公差为2的等差数列．求{c n}的前n项和S n，1≤n≤50，n∈N*．【解答】解：（Ⅰ）依题意，b13=1，b14=2，…b25=．则，，…b12=b14=2．+1=214﹣3；（Ⅱ）依题意，c50=c26+24×2=49，∵{c n}是50项的“对称数列”，∴c1=c50=49，c2=c49=47，…，c25=c26=1．∴当1≤n≤25时，；当26≤n≤50时，=n2﹣50n+1250．∴．18．（13分）设函数f（x）=，a∈R．（Ⅰ）当a=时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）为f（x）的导函数，当x∈[，2e]时，函数f（x）的图象总在g（x）的图象的上方，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=时，f′（x）=，由f′（x）＞0可得3x2﹣10x+3＞0，解得，x或x＞3，由f′（x）＜0可得3x2﹣10x+3＜0，解得，3，函数的单增调区间（），（3，+∞），单调减区间为（）；（Ⅱ）设g（x）为f（x）的导函数，g（x）=，又因为函数f（x）的图象总在g（x）的图象的上方，所以，f（x）＞g（x），则，在x∈[，2e]时，恒成立．又因为，所以a（x2+1）﹣2x＜x2+1，所以（a﹣1）（x2+1）＜2x，∵x2+1＞0，∴，设h（x）=，则a﹣1＜h（x）min，x∈[，2e]即可．又h′（x）=，由h′（x）=＞0，注意到x∈[，2e]，解得，由h′（x）=＜0，注意到x∈[，2e]，解得：1＜x≤2e．所以函数h（x）在上是增函数，在（1，2e]上是减函数．所以h（x）的最小值为：h（），或h（2e）．∵h（）=，h（2e）=，作差可证得，∴a﹣1，所以a的取值范围：．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（1，），离心率为．过椭圆右顶点A的两条斜率乘积为﹣的直线分别交椭圆C于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线MN是否过定点D？若过定点D，求出点D的坐标；若不过，请说明理由．【解答】解：（I）由已知，∴a=2，b=1，∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）直线MN过定点D（0，0）．证明如下：由题意，A（2，0），直线AM和直线AN的斜率存在且不为0，设AM的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程得（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0∴2x M=，∴x M=，∴y M=k（x M﹣2）=，∴M（，），∵椭圆右顶点A的两条斜率乘积为﹣的直线分别交椭圆C于M，N两点，∴设直线AN的方程为y=﹣（x﹣2），同理可得N（，），x M≠x N，即k时，k MN=，∴直线MN的方程为y﹣=（x﹣），即y=x，∴直线MN过定点D（0，0）．x M=x N，即k=时，直线MN过定点D（0，0）．综上所述，直线MN过定点D（0，0）．20．（13分）已知函数f（x）=（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3），x1，x2，x3∈R，且x1＜x2＜x3．（Ⅰ）当x1=0，x2=1，x3=2时，若方程f（x）=mx恰存在两个相等的实数根，求实数m的值；（Ⅱ）求证：方程f′（x）=0有两个不相等的实数根；（Ⅲ）若方程f'（x）=0的两个实数根是α，β（α＜β），试比较与α，β的大小并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）当x1=0，x2=1，x3=2时，方程f（x）=mx可化为x（x﹣1）（x﹣2）=mx，即x（x2﹣3x+2﹣m）=0方程f（x）=mx恰存在两个相等的实数根，包括两种情况：①若x=0是方程x2﹣3x+2﹣m=0的根，则m=2时，方程x（x2﹣3x+2﹣m）=0可化为x2（x﹣3）=0，则方程有两相等实根，一个为0，一个为3；②若方程x2﹣3x+2﹣m=0有两相等的实根，则△=9﹣4（2﹣m）=0，解得m=，此时方程x（x2﹣3x+2﹣m）=0有两个相等的实根，一个，一个为0∴当m=或m=2时，方程f（x）=mx恰存在两个相等的实数根；（Ⅱ）由f（x）=（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）可得f（x）=x3﹣（x1+x2+x3）x2+（x1x2+x1x3+x2x3）x﹣x1x2x3，∴f′（x）=3x2﹣2（x1+x2+x3）x+（x1x2+x1x3+x2x3）=0，∵△=4（x1+x2+x3）2﹣12（x1x2+x1x3+x2x3）=2[（x1﹣x2）2+（x2﹣x3）2+（x3﹣x1）2]，∵x1＜x2＜x3．∴△＞0，∴方程f′（x）=0有两个不相等的实数根；（Ⅲ）α＜＜β，下面证明：由f′（x）=3x2﹣2（x1+x2+x3）x+（x1x2+x1x3+x2x3）=0可得f′（）=﹣（x 1+x2+x3）（x1+x2）+x1x2+x1x3+x2x3﹣x1x2=﹣＜0即f′（）=3（﹣α）（﹣β）＜0，由α＜β可得α＜＜β，第21页（共21页）。
北京市朝阳区2014-2015学年高二上学期二卷综合练习题及答案
北京市朝阳区2014~2015学年度第一学期高二年级二卷化学试题2014．12 （总分：100分考试时间：90分钟）考生须知1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．本试卷共8页，分为两个部分。
第一部分为选择题，25个小题（共50分）；第二部分为非选择题，分为必答题和选答题两道大题（共50分）。
3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
4．考试结束后，考生应将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Al 27S 32 Cl 35.5 K 39Fe 56 Cu 64第二部分非选择题（共50分）一、必答题（共30分）1．（3分）“地康法”制氯气的反应为：4HCl+ O2CuCl22Cl2+ 2H2O 。
该反应中，氧化剂是_________（填化学式），被氧化的物质是_________（填化学式）；若消耗了1mol O2，则转移电子的物质的量为mol。
2．（3分）在3种有机物①乙烯、②乙酸、③葡萄糖中，能与碳酸钙反应生成二氧化碳的是（填序号，下同）；可作为植物生长调节剂的是；可与新制的氢氧化铜反应产生砖红色沉淀的是。
3．（4分）现有下列4种物质：①Na2O2、②SiO2、③NaHCO3、④浓H2SO4。
其中，属于光导纤维主要成分的是（填序号，下同）；与水反应产生的气体能使带火星木条复燃的是；是厨房中常用的小苏打主要成分的是；能使蔗糖、纸等变黑的是。
4．（4分）实验室可用下图装置（加热及夹持装置略）制取SO2并验证其性质。
△（1）甲中发生反应的化学方程式是 。
（2）乙中通入SO 2后，溶液紫色逐渐变浅，证明SO 2具有 性。
（3）丙装置中用NaOH 溶液吸收SO 2，说明SO 2是 （填“酸性”或“碱性”）氧化物。
（4）为了防治环境污染并对尾气进行综合利用，某硫酸厂用氨水吸收尾气中的SO 2，再向吸收液中加入浓硫酸，以回收高浓度的SO 2并得到副产品化肥(NH 4)2SO 4。
北京市朝阳区高二数学上学期期末试卷 理(含解析)
北京市朝阳区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）椭圆+=1的离心率是（）A．B．C．D．2．（5分）已知两条不同的直线a，b和平面α，那么下列命题中的真命题是（）A．若a⊥b，b⊥α，则a∥αB．若a∥α，b∥α，则a∥bC．若a⊥α，b⊥α，则a∥b D．若a∥b，b∥α，则a∥α3．（5分）直线截圆x2+y2=4所得劣弧所对圆心角为（）A．B．C．D．4．（5分）已知a，b是两条不同的直线，且b⊂平面α，则“a⊥b”是“a⊥α”的（）A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知抛物线x2=4y上的一点M到此抛物线的焦点的距离为3，则点M的纵坐标是（）A．0 B．C．26．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A．2 B．4 C．8 D．127．（5分）已知双曲线M的焦点与椭圆+=1的焦点相同．如果直线y=﹣x是M的一条渐近线，那么M的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=18．（5分）给出如下四个命题：①已知p，q都是命题，若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；②命题“若a＞b，则3a＞3b﹣1”的否命题为“若a≤b，则3a≤3b﹣1”；③命题“对任意x∈R，x2+1≥0”的否定是“存在x0∈R，x02+1＜0”；④“a≥0”是“∃x∈R，使得ax2+x+1≥0”的充分必要条件．其中正确命题的序号是（）A．①③B．②③C．②③④D．②④9．（5分）已知点A的坐标为（1，0），点P（x，y）（x≠1）为圆（x﹣2）2+y2=1上的任意一点，设直线AP的倾斜角为θ，若|AP|=d，则函数d=f（θ）的大致图象是（）A．B．C．D．10．（5分）已知E，F分别为正方体ABCD﹣A1B1C1D的棱AB，AA1上的点，且AE=AB，AF=AA1，M，N分别为线段D1E和线段C1F上的点，则与平面ABCD平行的直线MN有（）A．1条B．3条C．6条D．无数条二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，答案写在答题卡上.11．（5分）在空间直角坐标系中，点（4，﹣1，2）与原点的距离是．12．（5分）以椭圆的右焦点为焦点，且顶点在原点的抛物线标准方程为．13．（5分）已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆C交于M，N两点，则△F2MN的周长为．14．（5分）如图，某三棱柱的正视图中的实线部分是边长为4的正方形，俯视图是等边三角形，则该三棱柱的侧视图的面积为．15．（5分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，抛物线C上的两点A，B满足=2．若点T（﹣，0），则的值为．16．（5分）已知等边△ABC的边长为2，沿△ABC的高AD将△BAD折起到△B′AD，使得B′C=，则此时四面体B′﹣ADC的体积为，该四面体外接球的表面积为．三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，侧棱DD1⊥平面ABCD，且AD=AA1=1，AB=2．（Ⅰ）求证：平面BCD1⊥平面DCC1D1；（Ⅱ）求异面直线CD1与A1D所成角的余弦值．18．（10分）在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=，点E 在棱PD上，且PE：ED=2：1．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角P﹣AE﹣C的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点F，使得BF∥平面AEC？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．19．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，3），设圆C的半径为，且圆心C 在直线l：y=2x﹣4上．（Ⅰ）若圆心C又在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求此切线的方程；（Ⅱ）若圆C上存在点M，使得|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．20．（10分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其短轴的一个端点到它的左焦点距离为2，直线l：y=kx与椭圆C交于M，N两点，P为椭圆C上异于M，N的点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线PM，PN的斜率都存在，判断PM，PN的斜率之积是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；（Ⅲ）求△PMN面积的最大值．北京市朝阳区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）椭圆+=1的离心率是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆+=1，可得a2=25，b2=16，利用c2=a2﹣b2可得c，再利用离心率计算公式即可得出．解答：解：由椭圆+=1，可得a2=25，b2=16，∴a=5，c2=a2﹣b2=9，解得c=3．∴椭圆的离心率e==．故选：A．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）已知两条不同的直线a，b和平面α，那么下列命题中的真命题是（）A．若a⊥b，b⊥α，则a∥αB．若a∥α，b∥α，则a∥bC．若a⊥α，b⊥α，则a∥b D．若a∥b，b∥α，则a∥α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用线面垂直的性质以及线面平行即垂直的判定定理解答．解答：解：对于A，若a⊥b，b⊥α，那么a∥α或者a⊂α，故A错误；对于B，若a∥α，b∥α，则a，b可能平行、相交或者异面；故B错误；对于C，如果a⊥α，b⊥α，则a∥b，正确；对于D，若a∥b，b∥α，则a∥α或者a⊂α，故D错误；故选C．点评：本题考查了线面垂直、线面平行的性质、直线平行的性质，熟练运用定理是关键．3．（5分）直线截圆x2+y2=4所得劣弧所对圆心角为（）A．B．C．D．考点：直线与圆的位置关系．分析：先解劣弧所对圆心角的一半，就是利用弦心距和半径之比求之．解答：解：圆到直线的距离为：=1，又因为半径是2，设劣弧所对圆心角的一半为α，cosα=0.5，∴α=60°，劣弧所对圆心角为120°．故选 D．点评：直线与圆的关系中，弦心距、半径、弦长的关系，是2015届高考考点，本题是基础题．4．（5分）已知a，b是两条不同的直线，且b⊂平面α，则“a⊥b”是“a⊥α”的（）A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可．解答：解：若a⊥b，则a不一定垂直于α，不是充分条件，若a⊥α，则a⊥b，是必要条件，故选：B．点评：本题考查了充分必要条件，考查了直线和平面的判定定理，是一道基础题．5．（5分）已知抛物线x2=4y上的一点M到此抛物线的焦点的距离为3，则点M的纵坐标是（）A．0 B．C．2考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得抛物线x2=4y的焦点为（0，1），准线方程为y=﹣1，设M（m，n），则由抛物线的定义可得，可得n+1=3，即可求得点M的纵坐标．解答：解：抛物线x2=4y的焦点为（0，1），准线方程为y=﹣1，设M（m，n），则由抛物线的定义可得，M到此抛物线的焦点的距离即为M到准线的距离，即有n+1=3，解得n=2．故选C．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，以及准线方程的运用，属于基础题．6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A．2 B．4 C．8 D．12考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三视图判断几何体由两部分组成，左边部分是四棱锥，且四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为2；右边部分是三棱锥，且三棱锥的高为2，底面是直角边长为2的等腰直角三角形，把数据代入棱锥的体积公式计算．解答：解：由三视图知几何体的左边部分是四棱锥，且四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为2；几何体的右边部分是三棱锥，且三棱锥的高为2，底面是直角边长为2的等腰直角三角形，其直观图如图：∴几何体的体积V=×22×2+××2×2×2=4．故选：B点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量是解答本题的关键．7．（5分）已知双曲线M的焦点与椭圆+=1的焦点相同．如果直线y=﹣x是M的一条渐近线，那么M的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可设双曲线的标准方程为，由直线y=﹣x是M 的一条渐近线，可得=．由椭圆+=1的焦点为（±3，0），可得c=3，再利用c2=a2+b2，解出即可．解答：解：由题意可设双曲线的标准方程为，∵直线y=﹣x是M的一条渐近线，∴=．椭圆+=1的焦点为（±3，0），∴c=3，联立，解得a2=3，b2=6．∴M的方程为：．故选：C．点评：本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）给出如下四个命题：①已知p，q都是命题，若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；②命题“若a＞b，则3a＞3b﹣1”的否命题为“若a≤b，则3a≤3b﹣1”；③命题“对任意x∈R，x2+1≥0”的否定是“存在x0∈R，x02+1＜0”；④“a≥0”是“∃x∈R，使得ax2+x+1≥0”的充分必要条件．其中正确命题的序号是（）A．①③B．②③C．②③④D．②④考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①根据复合命题之间的关系进行判断；②根据否命题的定义进行判断”；③根据全称命题的否定是特称命题进行判断；④根据充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：①已知p，q都是命题，若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故①错误；②命题“若a＞b，则3a＞3b﹣1”的否命题为“若a≤b，则3a≤3b﹣1”；故②正确，③命题“对任意x∈R，x2+1≥0”的否定是“存在x0∈R，x02+1＜0”；故③正确，④若a＜0，则判别式△=1﹣4a＜0，此时ax2+x+1≥0有解，即“a≥0”是“∃x∈R，使得ax2+x+1≥0”的充分必要条件错误，故④错误，故正确的命题为②③，故选：B点评：本题主要考查命题的真假判断，根据复合命题，四种命题之间的关系以及含有量词的命题的否定，充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．9．（5分）已知点A的坐标为（1，0），点P（x，y）（x≠1）为圆（x﹣2）2+y2=1上的任意一点，设直线AP的倾斜角为θ，若|AP|=d，则函数d=f（θ）的大致图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．分析：分两种情况考虑，当直线OP过第一象限与当直线OP过第四象限，画出函数图象，即可得到结果．解答：解：当直线OP过第一象限时，如图：由于AB为直径，故θ=，得到d=f（θ）=2cosθ（0≤θ＜），当直线OP过第四象限时，同理可得到d=f（π﹣θ）=2cos（π﹣θ）=﹣2cosθ（＜θ≤π），函数d=f（θ）的大致图象：故选：D．点评：此题考查了圆的标准方程，利用了数形结合的思想，弄清题意是解本题的关键．10．（5分）已知E，F分别为正方体ABCD﹣A1B1C1D的棱AB，AA1上的点，且AE=AB，AF=AA1，M，N分别为线段D1E和线段C1F上的点，则与平面ABCD平行的直线MN有（）A．1条B．3条C．6条D．无数条考点：直线与平面平行的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：取BH=BB1，连接FH，在D1E上任取一点M，过M在面D1HE中，作MG平行于HO，其中O满足线段OE=D1E，再过G作GN∥FH，交C1F于N，连接MN，根据线面平行的判定定理，得到GM∥平面ABCD，NG∥平面ABCD，再根据面面平行的判断定理得到平面MNG∥平面ABCD，由面面平行的性质得到则MN∥平面ABCD，由于M是任意的，故MN有无数条．解答：解：取BH=BB1，连接FH，则FH∥C1D连接HE，在D1E上任取一点M，过M在面D1HE中，作M G∥HO，交D1H于G，其中O为线段OE=D1E再过G作GN∥FH，交C1F于N，连接MN，由于GM∥HO，HO∥KB，KB⊂平面ABCD，GM⊄平面ABCD，所以GM∥平面ABCD，同理由NG∥FH，可推得NG∥平面ABCD，由面面平行的判定定理得，平面MNG∥平面ABCD，则MN∥平面ABCD．由于M为D1E上任一点，故这样的直线MN有无数条．故选D．点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，主要是直线与平面平行的判断和面面平行的判定与性质，考查空间想象能力和简单推理能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，答案写在答题卡上.11．（5分）在空间直角坐标系中，点（4，﹣1，2）与原点的距离是．考点：空间两点间的距离公式．专题：空间位置关系与距离．分析：根据空间两点间的距离公式进行求解即可．解答：解：根据两点间的距离公式得点（4，﹣1，2）与原点的距离是==，故答案为：点评：本题主要考查空间两点间的距离公式的计算，比较基础．12．（5分）以椭圆的右焦点为焦点，且顶点在原点的抛物线标准方程为y2=4x．考点：抛物线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：依题意，可求得椭圆+y2=1的右焦点，利用抛物线的简单性质即可求得答案．解答：解：∵椭圆+y2=1的右焦点F（，0），∴以F（，0）为焦点，顶点在原点的抛物线标准方程为y2=4x．故答案为：y2=4x．点评：本题考查抛物线的标准方程，考查椭圆与抛物线的简单性质，属于中档题．13．（5分）已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆C交于M，N两点，则△F2MN的周长为8．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的定义可知|F1M|+|F2M|和|F1N|+|F2N|的值，进而把四段距离相加即可求得答案．解答：解：利用椭圆的定义可知，|F1M|+|F2M|=2a=4，|F1N|+|F2N|=2a=4，∴△MNF2的周长为|F1M|+|F2M|+F1N|+|F2N|=4+4=8．故答案为：8．点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．解题的关键是利用椭圆的定义．14．（5分）如图，某三棱柱的正视图中的实线部分是边长为4的正方形，俯视图是等边三角形，则该三棱柱的侧视图的面积为8．考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：由正视图与俯视图可知：该三棱柱是直三棱柱、高与底边边长都为4．即可得出．解答：解：由正视图与俯视图可知：该三棱柱是直三棱柱、高与底边边长都为4．∴该三棱柱的侧视图的面积=8．故答案为：8．点评：本题考查了正三棱柱的三视图及其侧面积，属于基础题．15．（5分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，抛物线C上的两点A，B满足=2．若点T（﹣，0），则的值为2．考点：抛物线的简单性质．专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（，m），B（，n），y2=2x的焦点为F（，0），求得向量AF，FB的坐标，运用向量共线的坐标表示，解方程可得m，n，进而得到A，B的坐标，再由两点的距离公式计算即可得到．解答：解：设A（，m），B（，n），y2=2x的焦点为F（，0），=（﹣，﹣m），=（﹣，n），由=2，则有m=﹣2n，m2+2n2=3，解得m=﹣，n=，或m=，n=﹣，即有A（1，﹣），B（，）或A（1，），B（，﹣）．|TA|==，|TB|==．则的值为2．故答案为：2．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，同时考查向量共线的坐标表示和两点的距离公式的运用，属于中档题．16．（5分）已知等边△ABC的边长为2，沿△ABC的高AD将△BAD折起到△B′AD，使得B′C=，则此时四面体B′﹣ADC的体积为，该四面体外接球的表面积为π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离；球．分析：由题意可得，三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，可得AD⊥底面BCD，由三棱锥的体积公式计算即可得到；它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的体积即可．解答：解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，由BD=CD=1，B′C=，则底面是等腰直角三角形，则AD⊥底面BCD，AD=，即有四面体B′﹣ADC的体积为××1×1=；它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱ABC﹣A1B1C1的中，底面边长为1，1，，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O，外接球的半径为r，球心到底面的距离为，底面中心到底面三角形的顶点的距离为，∴球的半径为r==．四面体ABCD外接球体积为：r3=×（）3=π．故答案为：，π．点评：本题考查线面垂直的判定定理和三棱锥的体积公式和球的体积公式的运用，同时考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，侧棱DD1⊥平面ABCD，且AD=AA1=1，AB=2．（Ⅰ）求证：平面BCD1⊥平面DCC1D1；（Ⅱ）求异面直线CD1与A1D所成角的余弦值．考点：异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由线面垂直得DD1⊥BC，由矩形性质得DC⊥BC．由此能证明BC⊥平面DCC1D1，从而得到平面BCD1⊥平面DCC1D1．（Ⅱ）取DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，由=，利用向量法能求出异面直线CD1与A1D所成角的余弦值．解答：（本题满分10分）（Ⅰ）证明：在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥BC．…（2分）∵底面ABCD是矩形，所以DC⊥BC．又DD1∩DC=D，∴BC⊥平面DCC1D1．又BC⊂面BCD1，∴平面BCD1⊥平面DCC1D1．…（5分）（Ⅱ）解：取DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示，∵AD=AA1=1，AB=2，则D（0，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1），…（7分）∵=（0，﹣2，1），=（1，0，1），∴===．…（9分）∴异面直线CD1与A1D所成角的余弦值是．…（10分）点评：本题考查面面垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意空间思维能力的培养．18．（10分）在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=，点E 在棱PD上，且PE：ED=2：1．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角P﹣AE﹣C的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点F，使得BF∥平面AEC？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角P﹣AE﹣C的余弦值；（Ⅲ）利用向量法，结合线面平行的判定定理进行求解即可．解答：证明：（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形，所以AB=AD=AC=PA=1．在△PAB中，PA=AB=1，PB=，所以PB2=PA2+AB2，即PA⊥AB．同理可证PA⊥AD，且AB∩AD=A，所以PA⊥平面ABCD．…（3分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知PA⊥平面ABCD，取CD中点G，连接AG．由已知条件易知AB⊥AG，如图以A为原点建立空间直角坐标系．…（4分）因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAD，所以平面ABCD⊥平面PAD．平面ABCD∩平面PAD=AD，取AD中点H，连接HC，则HC⊥AD．所以HC⊥平面PAD．所以是平面PAD的法向量，也是平面PAE的法向量．A（0，0，0），D（﹣，，0），H（，，0），C（，，0），E（，，），P（0，0，1），B（1，0，0），=（，，0），=（，，0），=（，，），…（5分）设平面AEC的法向量为=（x，y，z），所以，则，令x=，则=（，﹣1，2），…（6分）所以cos＜，＞===．由图可知，二面角P﹣AE﹣C的平面角为钝角，所以其余弦值为﹣．…（7分）（ III）存在，点F是棱PC的中点．设=λ=λ（，，﹣1），…（8分）则==（﹣1，0，1）+λ（，，﹣1）=（﹣1+λ，λ，1﹣λ），由（ II）知平面AEC的法向量为=（，﹣1，2）．由已题知BF∥平面AEC，等价于，即（﹣1+λ，λ，1﹣λ）•（，﹣1，2）=（﹣1+）λ+2（1﹣λ）=0．解得．…（9分），所以点F是棱PC的中点．…（10分）点评：本题主要考查线面平行和垂直的判定，以及二面角的求解，建立空间坐标系，利用向量法是解决二面角的常用方法．考查学生的运算和推理能力．19．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，3），设圆C的半径为，且圆心C在直线l：y=2x﹣4上．（Ⅰ）若圆心C又在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求此切线的方程；（Ⅱ）若圆C上存在点M，使得|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）联立两直线方程求得圆心C的坐标，则圆的方程可得，设出切线方程，利用点到直线的距离求得k，则直线的方程可得．（Ⅱ）设出圆心C的坐标，表示出圆的方程，进而根据|MA|=2|MO|，设出M，利用等式关系整理求得M的轨迹方程，进而判断出点M应该既在圆C上又在圆D上，且圆C和圆D有交点．进而确定不等式关系求得a的范围．解答：M解：（Ⅰ）由得圆心C为（3，2），因为圆C的半径为1，所以圆C的方程为：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1．显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y=kx+3，即kx﹣y+3=0．所以=1，解得k=0或﹣．则所求圆C的切线方程为：y=3或3x+4y﹣12=0．（Ⅱ）因为圆C的圆心在直线y=2x﹣4上，所以设圆心C为（a，2a﹣4），则圆C的方程为：（x﹣a）2+[y﹣（2a﹣4）]2=1．又|MA|=2|MO|，设m为（x，y），则=2．整理得：x2+（y+1）2=4，设该方程对应的圆为D，所以点M应该既在圆C上又在圆D上，且圆C和圆D有交点．则|2﹣1|≤≤|2+1|．由5a2﹣12a+8≥0，得a∈R．由5a2﹣12a≤0得0≤a≤．所以圆心C的横坐标的取值范围为[0，]．点评：本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了学生的分析推理和基本的运算能力．20．（10分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其短轴的一个端点到它的左焦点距离为2，直线l：y=kx与椭圆C交于M，N两点，P为椭圆C上异于M，N的点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线PM，PN的斜率都存在，判断PM，PN的斜率之积是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；（Ⅲ）求△PMN面积的最大值．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由已知，=，且a=2，所以c=1，b=，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线PM，PN的斜率都存在，利用点差法，即可得出PM，PN的斜率之积是定值；（Ⅲ）求出点P到直线l：y=kx的距离最大值，|MN|，即可求△PMN面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）由已知，=，且a=2，所以c=1，b=．所以椭圆C的方程为．…（3分）（Ⅱ）设P（x0，y0），M（x1，y1），n（﹣x1，﹣y1），则M，P的坐标代入椭圆方程，两式作差得=﹣．所以，当PM，PN的斜率都存在时，PM，PN的斜率之积是定值﹣．…（6分）（Ⅲ）过点P作与平行且与椭圆的相切的直线，设切线方程为y=kx+t，代入椭圆方程，得（3k2+4）x2+8ktx+4t2﹣12=0．令△=0，得|t|=．…（8分）这时，直线y=kx+t与直线l：y=kx的距离就是点P到直线l：y=kx的距离最大值．所以，点P到直线l：y=kx的距离最大值d=．又由y=kx与椭圆方程，解得|x1|=．所以|MN|=2|x1|=．所以，△PMN面积的最大值为=2…（10分）点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
北京市朝阳区2014~2015学年第一学期期末高三数学(文)试题及答案
北京市朝阳区2014~2015学年第一学期期末学业评价试题高三数学试卷（文史类）（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 设i 为虚数单位，则复数1i z =-的模z =A. 1B.2C. 2D. 222. 已知全集U =R ，若集合{}20A x x x =-<，则U A =ðA. {0x x ≤，或}1x ≥B. {0x x <，或}1x > C. }{01x x << D.{}1x x ≥ 3.一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A.1B.2C.3D.4正视图 侧视图 俯视图4.执行如右图所示的程序框图,则输出的i 的值是A.3B.4C.5D.65.若,a b 是两个非零的平面向量，则 “a =b ”是“()()=0⋅a +b a b -”的A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 如图，塔AB 底部为点B ，若,C D 两点相距为100m 并且与点B 在同一水平线上，现从,C D 两点测得塔顶A 的仰角分别为45o 和30o ，则塔AB 的高约为（精确到0.1m ，3 1.73≈，2 1.41≈）A. 36.5B. 115.6C. 120.5D. 136.5DBAC7.已知定义在R 上的函数(1)1,()221,xx x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若直线y a =与函数()f x 的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是A. ()0,2B.[)0,2C.(]0,2D. []1,2 8. 如图，在正方体中1111ABCD A BC D -，M 为BC 的中点，点N 在四边形11CDDC 及其内部运动．若11MN AC ⊥，则N 点的轨迹为A. 线段B. 圆的一部分C. 椭圆的一部分D.双曲线的一部分第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上．9. 双曲线22:14x C y -=的离心率是 ；渐近线方程是 ． 10.为了解某厂职工家庭人均月收入情况,调查了该厂80户居民月收入,列出频率分布表 如下:按家庭人均月收入分组(百元)第一组[)10,16第二组[)16,22第三组[)22,28第四组[)28,34 第五组[)34,40 第六组[]40,46频率0.10.20.15a0.10.1则这80户居民中, 家庭人均月收入在[)2800,3400元之间的有 户（用数字作答）；假设家庭人均月收入在第一组和第二组的为中低收入家庭,现从该厂全体职工家庭中随机抽取一个家庭,估计该家庭为中低收入家庭的概率是 .ABCD A 1B 1C 1D 1 M N .11. 已知圆C 的圆心位于第二象限且在直线21y x =+上，若圆C 与两个坐标轴都相切，则圆C 的标准方程是 ______.12. 某单位有职工共60人，为了开展社团活动，对全体职工进行问卷调查，其中喜欢体育运动的共28人，喜欢文艺活动的共26人，还有12人对体育运动和文艺活动都不喜欢， 则喜欢体育运动但不喜欢文艺活动的人共有 人.13. 在平面直角坐标系中，若关于,x y 的不等式组0,,(1)y y x y k x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤-⎩表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是______.14. 设2212()cos (1)sin cos 3sin f x a x a x x x =+-+（22120a a +≠），若无论x 为何值，函数()f x 的图象总是一条直线，则12a a +的值是______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）某幼儿园有教师30人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下：本科 研究生 合计 35岁以下 5 2 7 35～50岁（含35岁和50岁） 1732050岁以上2 1 3（Ⅰ）从该幼儿园教师中随机抽取一人，求具有研究生学历的概率；（Ⅱ）从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，求有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率. 16. （本小题满分13分）已知平面向量a =(sin ,cos )x x ，b =(sin ,cos )x x -，c =(cos ,sin )x x --，x ∈R ， 函数()()f x =⋅-a b c .（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若222f α⎛⎫=⎪⎝⎭，求sin α的值.17. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ．点E 是线段BD 的中点，点F 是线段PD 上的动点． （Ⅰ）若F 是PD 的中点，求证：EF //平面PBC ； （Ⅱ）求证： CE BF ⊥；（Ⅲ）若2AB =，3PD =，当三棱锥P BCF -的体积等于43时，试判断点F 在边PD 上的位置，并说明理由.18.（本小题满分13分）已知公比为q 的等比数列{}n a ()n *∈N 中，22a =，前三项的和为7.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若01q <<，设数列{}n b 满足12...n n b a a a =⋅⋅⋅，n *∈N ,求使01n b <<的n 的最小值.19. （本小题满分13分）已知函数()e ln x f x a x =-，a ∈R . （I ）若1x =是()f x 的极值点，求a 的值： （Ⅱ）当e a =时，求证：()e f x ≥.DAPCEFB20. （本小题满分14分）已知离心率为32的椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>与直线2x=相交于,P Q两点（点P在x轴上方），且2PQ=．点,A B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点，且APQ BPQ∠=∠．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求四边形APBQ面积的取值范围．S>15?北京市朝阳区2014~2015学年第一学期期末学业评价试题高三数学试卷（文史类）参考答案一、选择题：（满分40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D B C D B A 二、填空题：（满分30分）题号9 10 11 12 13 14答案52；12y x=±28;0.322111)()339x+y+-=（22 0k< 4（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（满分80分）15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）设：“从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历”为事件A，由题可知幼儿园总共有教师30人，其中“具有研究生学历”的共6人.则61 ()==305 P A.答：从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历的概率为15. ………4分（Ⅱ）设幼儿园中35岁以下具有研究生学历的教师为A1，A2，35～50岁(含35岁和50岁)具有研究生学历的教师为B1，B2，B3，50岁以上具有研究生学历的教师为C，从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，所有可能结果有15个，它们是：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C），（B2，B3），（B2，C），（B3，C），记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生”为事件D，则D中的结果共有12个，它们是：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B 2），（A1，B3），（A1，C），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C），（B1，C ），（B 2，C ），（B 3，C ），故所求概率为124()==155P D ． 答：从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率为45. ………………13分 16.（本小题满分13分）（Ⅰ）因为a =(sin ,cos )x x ，b =(sin ,cos )x x -，c =(cos ,sin )x x --， 所以()()sin cos ,sin cos x x x x -=+-b c ，()()f x =⋅-a b c =sin (sin cos )cos (sin cos )x x x x x x ++-.则()f x =22sin 2sin cos cos x x x x +-=sin 2cos 2x x -2sin(2)4x π=-.则当222242k x k ππ3ππ+≤-≤π+时，即88k x k 3π7ππ+≤≤π+时，函数()f x 为减函数，k ∈Z .所以函数()f x 的单调递减区间是,88k k 3π7π⎡⎤π+π+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . ………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()2sin(2)4f x x π=-，又222f α⎛⎫=⎪⎝⎭， 则22sin()42απ-=，1sin()42απ-=.因为 22sin ()cos ()144ααππ-+-=，所以3cos()42απ-=±. sin sin ()44ααππ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦ππππsin()cos cos()sin 4444αα=-+-.所以当3cos()42απ-=时，sin α=12326222224+⨯+⨯=；当3cos()42απ-=-时，sin α=123226()22224-⨯+-⨯=.………………13分 17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在PDB ∆中，因为点E 是BD 中点，点F 是PD 中点， 所以EF //PB ．又因为EF ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ， 所以EF //平面PBC ．…………4分 （Ⅱ）证明：因为PD ⊥平面ABCD ， 且CE ⊂平面ABCD ， 所以PD CE ⊥．又因为底面ABCD 是正方形，且点E 是BD 的中点， 所以CE BD ⊥． 因为BDPD D =，所以CE ⊥平面PBD ，而BF ⊂平面PBD ，所以CE BF ⊥． …………9分 （Ⅲ）点F 为边PD 上靠近D 点的三等分点． 说明如下：由（Ⅱ）可知， CE ⊥平面PBF ．又因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥. 设PF x =． 由2AB =得22BD =，2CE =， 所以11122223263P BCF C BPF V V PF BD CE x x --==⨯⨯⋅⋅=⨯⨯=． 由已知2433x =， 所以2x =． 因为3PD =，所以点F 为边PD 上靠近D 点的三等分点．…………14分18. （本小题满分13分） （Ⅰ）由已知得，212327a a a a =⎧⎨++=⎩，解得2q =，11a =或12q =，14a =．则数列{}n a 的通项公式为12n n a -=或31()2n n a -=，n *∈N ……………5分（Ⅱ）因为01q <<，所以31()2n n a -=，n *∈N .(5)210...(3)21211...()()22n n n n n b a a a ---+++-=⋅⋅⋅==，n *∈N . DAPCEFB由01n b <<，即(5)210()12n n -<<，即(5)02n n ->，即 即5n >.则使01n b <<的最小的n 的值为6． …………………13分19. （本小题满分13分）（I ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞. 因为()e xaf x x'=-, 又1x =是()f x 的极值点,所以(1)e 0f a '=-=，解得e a =. 经检验，1x =是()f x 的极值点，所以a 的值为e . ………5分 （Ⅱ）证明： 方法1：当e a =时，()e eln x f x x =-.所以e e e()e x xx f x x x-'=-=. 若01x <<，则1<e e x <，所以e e x x <，所以e e<0x x -. 所以函数()f x 在(0,1)单调递减.若1x >，则e >e x ，所以e >e x x ，所以e e>0x x -. 所以函数()f x 在(1,)+∞单调递增. 所以当1x =时，min ()(1)e f x f ==.(0x →时， e eln x x -→+∞;x →+∞时， e eln x x -→+∞.) 所以()e f x ≥. ………13分 方法2：当e a =时，()e eln x f x x =-，所以e e e()e x xx f x x x-'=-=.设()e e x g x x =-，则()e (1)x g x x '=+，所以()g x 在(0,)+∞单调递增.又(1)0g =，所以当(0,1)x ∈时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在(0,1)单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x >，即()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞单调递增.（接下来表述同解法1相应内容）所以()e f x ≥. ………13分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得32e =，则12b a =，设椭圆方程为22221(0)4x y b b b +=> 由题意可知点(2,1)P 在椭圆上，所以224114b b+=．解得22b =． 故椭圆C 的标准方程为22182x y +=． ………4分 （Ⅱ）由题意可知，直线PA ，直线PB 的斜率都存在且不等于0．因为APQ BPQ ∠=∠，所以PA PB k k =-．设直线PA 的斜率为k ，则直线:1(2)PA y k x -=-（0k ≠）．由2248(12),x y y kx k ⎧+=⎨=+-⎩得222(14)8(12)161640k x k k x k k ++-+--=……(1).依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式0∆>成立.即()222264(12)4(14)161640k k k k k ∆=--+-->, 化简得216(21)0k +>，解得12k ≠-. 因为2是方程（1）的一个解，所以2216164214A k k x k --⋅=+． 所以2288214A k k x k --=+． 当方程（1）根的判别式0∆=时，12k =-，此时直线PA 与椭圆相切.由题意，可知直线PB 的方程为1(2)y k x -=--．同理，易得22228()8()288214()14B k k k k x k k ----+-==+-+． 由于点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，APQ BPQ ∠=∠， 且能存在四边形APBQ ，则直线PA 的斜率k 需满足12k >. 设四边形APBQ 面积为S ，则112222APQ BPQ A B S S S PQ x PQ x ∆∆=+=⋅-+⋅- 2222188288221414B A k k k k PQ x x k k --+-=⋅-=-++ 21614k k=+ 由于12k >，故 216161144kS k k k ==++.当12k >时，144k k +>，即110144k k<<+，即04S <<. (此处另解：设t k =，讨论函数1()4f t t t =+在1,2t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时的取值范围. 222141()4t f t t t-'=-=，则当12t >时，()0f t '>，()f t 单调递增. 则当12t >时，()(4,)f t ∈+∞，即S ∈()0,4.) 所以四边形APBQ 面积S 的取值范围是()0,4. ………14分。
北京市朝阳区2014~2015学年高二第一学期期末考试(含答案)
北京市朝阳区2014~2015学年度高二年级第一学期期末统一考试生物学科试卷2015、1（考试时间90分钟满分100分）一、选择题（每小题只有一个正确答案。
1—30题每题1分，31—40题每题2分，共50分）1.原核细胞和真核细胞最主要的区别是A．有无成形的细胞核B．细胞膜的化学组成和结构C．细胞体积的大小D．细胞器的种类及其结构2.一般情况下活细胞中含量最多的有机化合物是A．糖原B．淀粉C．蛋白质D．水3.下列物质中一定含有磷和氮元素的是A．丙酮酸B．核苷酸C．氨基酸D．脂肪酸4.下列有关线粒体和叶绿体的叙述错误．．的是A．都能产生ATP B．都具有双层膜结构C．都含有多种酶D．都存在于所有真核细胞中5.下列关于细胞结构和功能的叙述，错误．．的是A．性激素主要是由内质网上的核糖体合成B．囊泡可以由内质网向高尔基体转运C．膜蛋白的形成与核糖体、内质网、高尔基体有关D．内质网既参与物质合成，也参与物质运输6.关于酶的叙述，错误．．的是A．酶只有在细胞内才具有催化作用B．淀粉酶不能催化麦芽糖分解成葡萄糖C．酶是活细胞产生的具有催化作用的有机物D．酶的催化效率很高7.下图为ATP和ADP相互转化的示意图，对这一过程的叙述不正确．．．的是A．存在着能量的释放和储存B．保证了生命活动顺利进行C．持续不断地在生物活细胞中进行D．合成ATP的能量都来自细胞呼吸8.纸层析法可分离光合色素，下列分离装置示意图中正确的是9. 下图为某种植物在夏季晴天的一昼夜内CO 2吸收量的变化情况，正确的判断是B ．ce 段下降主要是由于气孔关闭造成的C ．ce 段与fg 段光合速率下降的原因相同D ．该植物进行光合作用的时间区段是bg10. 荣获2001年诺贝尔生理学奖的三位科学家研究发现了调节所有真核有机体细胞周期的关键因子。
其中美国的利兰·哈特韦尔发现了对各个细胞周期的最初阶段起调控作用的 “START ”基因，请在下图中指出“START ”基因起作用的时期是A ．abB ．fgC ．deD ．gh11. 下列几类细胞分裂中，观察不．到纺锤丝的是 A.细菌细胞和蛙的红细胞 B.骨细胞和肾细胞C.根尖分生区细胞D.精原细胞12. 右图为动物细胞分裂中某时期示意图，下列相关叙述正确的是A.甲在分裂前期倍增并移向细胞两极B.乙和丙在组成成分上差异很大C.该时期细胞中染色体数是体细胞染色体数的两倍D.该时期仍有少量大分子物质出入核孔13. 同一动物个体的神经细胞与肌细胞在功能上是不同的，造成这种差异的主要原因是A ．二者所处的细胞周期不同B ．二者合成的特定蛋白质不同C ．二者所含有的基因组不同D ．二者核DNA 的复制方式不同14. 下列关于细胞分化与细胞分裂的叙述,不正确．．．的是 A.生物体的生长发育是细胞分裂和细胞分化的结果B.细胞分化发生在生物体的整个生命进程中C.细胞癌变是细胞的异常分化D.细胞分化过程中细胞中的遗传物质逐渐减少15. 两只白羊交配，其子代既有白羊也有黑羊，这种现象在遗传学上称为A ．显性性状B ．隐性性状C ．性状分离D ．相对性状16.大豆的白花和紫花为一对相对性状。
北京市西城区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科)(Word版含解析)
北京市西城区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）双曲线﹣y2=1的实轴长为（）A．4B．2C．D．12．（4分）抛物线x2=4y的准线方程是（）A．x=1 B．x=﹣1 C．y=1 D．y=﹣13．（4分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α4．（4分）命题“∀a，b∈R，如果a=b，则a2=ab”的否命题为（）A．∀a，b∈R，如果a2=ab，则a=b B．∀a，b∈R，如果a2=ab，则a≠bC．∀a，b∈R，如果a2≠ab，则a≠b D．∀a，b∈R，如果a≠b，则a2≠ab5．（4分）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（4分）已知直线l1：ax+y+2=0和直线l2：x+ay+2=0平行，则实数a的值为（）A．1B．﹣1 C．﹣1和1 D．7．（4分）“a=﹣3”是“圆x2+y2=1与圆（x+a）2+y2=4相切”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（4分）如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处．已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反光镜的顶点（即截得抛物线的顶点）距离为（）A．10cm B．7.2cm C．3.6cm D．2.4cm9．（4分）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（）A．B D与CF成60°角B．B D与EF成60°角C．A B与CD成60°角D．A B与EF成60°角10．（4分）如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分别为棱AB、A1D1的中点，M、N分别为面BCC1B1和DCC1D1上的点，一质点从点P射向点M，遇正方体的面反射（反射服从光的反射原理），反射到点N，再经平面反射，恰好反射至点Q，则三条线段PM、MN、NQ的长度之和为（）A．B．C．2D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.11．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2x＜0”的否定是．12．（5分）空间向量=（﹣1，1，﹣2），=（1，﹣2，﹣1），=（x，y，﹣2），且∥．则•=．13．（5分）如图是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为．14．（5分）已知F为双曲线C：﹣y2=1的一个焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为．15．（5分）由直线y=x上一点向圆（x﹣4）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为．16．（5分）已知点M（3，0）和点N（﹣3，0），直线PM，PN的斜率乘积为常数a（a≠0），设点P的轨迹为C，给出以下几个命题：①存在非零常数a，使C上所有点到两点（﹣4，0），（4，0）距离之和为定值；②存在非零常数a，使C上所有点到两点（0，﹣4），（0，4）距离之和为定值；③不存在非零常数a，使C上所有点到两点（﹣4，0），（4，0）距离差的绝对值为定值；④不存在非零常数a，使C上所有点到两点（0，﹣4），（0，4）距离差的绝对值为定值；其中正确的命题是．（填出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（13分）如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，∠AEB=90°，F为CE上的点．（Ⅰ）求证：AD∥平面BCE；（Ⅱ）求证：AE⊥BF．18．（13分）已知三个点A（0，0），B（4，0），C（3，1），圆M为△ABC的外接圆．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设直线y=kx﹣1与圆M交于P，Q两点，且|PQ|=，求k的值．19．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，PA=AD=2，AB=BC=1，Q为PD中点．（Ⅰ）求证：PD⊥BQ；（Ⅱ）求直线BQ与平面PCD所成角的正弦值．20．（14分）已知椭圆W：+y2=1，直线l过点（0，﹣2）与椭圆W交于两点A，B，O 为坐标原点．（Ⅰ）设C为AB的中点，当直线l的斜率为时，求线段OC的长；（Ⅱ）当△OAB面积等于1时，求直线l的斜率．21．（13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，AB=2BC=4，四边形CDEF是等腰梯形，EF∥DC，EF=2，且平面ABCD⊥平面CDEF，AF⊥CF．（Ⅰ）过BD与AF平行的平面与CF交于点G．求证：G为CF的中点；（Ⅱ）求二面角B﹣AF﹣D的余弦值．22．（13分）如图，曲线E是由抛物线弧E1：y2=4x（0≤x≤）与椭圆弧E2：+=1（≤x≤a）所围成的封闭曲线，且E1与E2有相同的焦点．（Ⅰ）求椭圆弧E2的方程；（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线与曲线E交于A，B两点，|FA|=r1，|FB|=r2，且∠AFx=α（0≤α≤π），试用cosα表示r1；并求的取值范围．北京市西城区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）双曲线﹣y2=1的实轴长为（）A．4B．2C．D．1考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的a=2，即可得到双曲线的实轴长2a．解答：解：双曲线﹣y2=1的a=2，则双曲线的实轴长为2a=4，故选A．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查实轴的概念，考查运算能力，属于基础题．2．（4分）抛物线x2=4y的准线方程是（）A．x=1 B．x=﹣1 C．y=1 D．y=﹣1考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=4，再直接代入即可求出其准线方程．解答：解：因为抛物线的标准方程为：x2=4y，焦点在y轴上；所以：2p=4，即p=2，所以：=1，∴准线方程y=﹣1，故选D．点评：本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．3．（4分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析解答．解答：解：对于选项A，若m∥α，n∥α，则m与n可能相交、平行或者异面；故A错误；对于B，若m⊥α，m⊥n，则n与α可能平行或者n在α内；故B错误；对于C，若m⊥α，n⊂α，根据线面垂直的性质可得m⊥n；故C正确；对于D，若m∥α，m⊥n，则n⊥α或者n⊂α；故D错误；故选C．点评：本题考查了线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理的运用；熟练掌握定理是关键．4．（4分）命题“∀a，b∈R，如果a=b，则a2=ab”的否命题为（）A．∀a，b∈R，如果a2=ab，则a=b B．∀a，b∈R，如果a2=ab，则a≠bC．∀a，b∈R，如果a2≠ab，则a≠b D．∀a，b∈R，如果a≠b，则a2≠ab考点：四种命题．分析：根据命题若p，则q的否命题是若￢p，则￢q，写出它的否命题即可．解答：解；“∀a，b∈R，如果a=b，则a2=ab”的否命题是∀a，b∈R，如果a≠b，则a2≠ab．故选：D．点评：本题考查了命题与它的否命题之间的关系，解题时应熟悉四种命题之间的关系，是基础题．5．（4分）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意，a=2b，再用平方关系算得c=b，最后利用椭圆离心率公式可求出椭圆的离心率．解答：解：∵椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴2a=2×2b，得a=2b，又∵a2=b2+c2，∴4b2=b2+c2，可得c=b，因此椭圆的离心率为e==．故选：C．点评：本题给出椭圆长轴与短轴的倍数关系，求椭圆的离心率，考查了椭圆的基本概念和简单性质的知识，属于基础题．6．（4分）已知直线l1：ax+y+2=0和直线l2：x+ay+2=0平行，则实数a的值为（）A．1B．﹣1 C．﹣1和1 D．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由两直线平行，得到两直线系数间的关系，求解不等式组可得a的值．解答：解：∵直线l1：ax+y+2=0和直线l2：x+ay+2=0平行，则，解得：a=﹣1．故选：B．点评：本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，关键是对条件的记忆与运用，是基础题．7．（4分）“a=﹣3”是“圆x2+y2=1与圆（x+a）2+y2=4相切”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据圆与圆的位置关系从而进行判断．解答：解：a=﹣3时，圆x2+y2=1的圆心是（0，0），半径是1，圆（x﹣3）2+y2=4的圆心是（3，0），半径是2，两个圆的圆心距是3，相切，是充分条件，若圆x2+y2=1与圆（x+a）2+y2=4相切，可能内切，可能外切，推不出a=﹣3，不是必要条件，故选：A．点评：本题考查了圆与圆的位置关系，考查了充分必要条件，是一道基础题．8．（4分）如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处．已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反光镜的顶点（即截得抛物线的顶点）距离为（）A．10cm B．7.2cm C．3.6cm D．2.4cm考点：抛物线的应用．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先设出抛物线的标准方程y2=2px（p＞0），点（10，12）代入抛物线方程求得p，进而求得，即灯泡与反光镜的顶点的距离．解答：解：设抛物线方程为y2=2px（p＞0），点（10，12）在抛物线y2=2px上，∴144=2p×10．∴=3.6．因此，灯泡与反光镜的顶点的距离为3.6cm．故选：C．点评：本题主要考查了抛物线的应用和抛物线的标准方程．考查了对抛物线基础知识的掌握．9．（4分）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（）A．B D与CF成60°角B．B D与EF成60°角C．A B与CD成60°角D．A B与EF成60°角考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由正方体的平面展开图，还原成正方体，利用正方体的结构特征，得到BD与CF 成0°角，BD与EF成90°角，AB与CD成60°角，AB与EF成90°角．解答：解：由正方体的平面展开图，还原成如图所示的正方体，∵BD∥CF，∴BD与CF成0°角，故A错误；∵BD∥平面A1EDF，EF⊂平面A1EDF，∴BD与EF成90°角，故B错误；∵AE∥CD，∴∠BAE是AB与CD所成角，∵△ABE是等边三角形，∴∠BAE=60°，∴AB与CD成60°角，故C正确；∵AB∥A1D，又A1D⊥EF，∴AB与EF成90°角，故D错误．故选：C．点评：本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力，解题时要注意向量法的合理运用．10．（4分）如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分别为棱AB、A1D1的中点，M、N分别为面BCC1B1和DCC1D1上的点，一质点从点P射向点M，遇正方体的面反射（反射服从光的反射原理），反射到点N，再经平面反射，恰好反射至点Q，则三条线段PM、MN、NQ的长度之和为（）A．B．C．2D．3考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：作点P关于平面BCC1B1的对称点P1，再作Q关于平面DCC1D1的对称点Q1，连接P1Q1，根据勾股定理即可求得长度之和．解答：解：作点P关于平面BCC1B1的对称点P1，再作Q关于平面DCC1D1的对称点Q1，连接P1Q1，这就是光线所经过的等效路径，其长度就是PM，MN，NQ三条线段的长度之和，根据勾股定理：|P1Q1|2=（A1Q1）2+（AA1）2+（A1P）2=32+22+32=22，可得|P1Q1|=，故选：A．点评：本题考查了正方体的几何性质，光的反射原理，对称性问题，化折线为直线求解线段的长度，题目很新颖，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.11．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2x＜0”的否定是∀x∈R，使x2﹣2x≥0．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．解答：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈R，x2﹣2x＜0”的否定是：∀x∈R，使x2﹣2x≥0．故答案为：∀x∈R，使x2﹣2x≥0．点评：本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．12．（5分）空间向量=（﹣1，1，﹣2），=（1，﹣2，﹣1），=（x，y，﹣2），且∥．则•=﹣2．考点：共线向量与共面向量；空间向量的数量积运算．专题：空间向量及应用．分析：由∥，利用向量共线定理可得：存在实数k使得，再利用数量积运算即可得出．解答：解：∵∥，∴存在实数k使得，∴，解得x=2，y=﹣4．∴=（2，﹣4，﹣2），∴•=﹣2﹣4+4=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查了向量共线定理、数量积运算，属于基础题．13．（5分）如图是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三视图判断几何体的底面是底边、高均为2的平行四边形，四棱锥的高为2，把数据代入棱锥的体积公式计算．解答：解：由三视图知几何体的底面是底边、高均为2的平行四边形，四棱锥的高为2．∴几何体的体积V=×22×2=．故答案为：．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量是解答本题的关键．14．（5分）已知F为双曲线C：﹣y2=1的一个焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为1．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的a，b，c，可设F（2，0），设双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到．解答：解：双曲线C：﹣y2=1的a=，b=1，c==2，则可设F（2，0），设双曲线的一条渐近线方程为y=x，则F到渐近线的距离为d==1，故答案为：1．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．15．（5分）由直线y=x上一点向圆（x﹣4）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为．考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：要使切线长最小，必须直线y=x上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心（4，0）到直线的距离m，求出m，由勾股定理可求切线长的最小值．解答：解：要使切线长最小，必须直线y=x上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心（4，0）到直线的距离m，由点到直线的距离公式得m==2，由勾股定理求得切线长的最小值为=．故答案为：．点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、勾股定理的应用．16．（5分）已知点M（3，0）和点N（﹣3，0），直线PM，PN的斜率乘积为常数a（a≠0），设点P的轨迹为C，给出以下几个命题：①存在非零常数a，使C上所有点到两点（﹣4，0），（4，0）距离之和为定值；②存在非零常数a，使C上所有点到两点（0，﹣4），（0，4）距离之和为定值；③不存在非零常数a，使C上所有点到两点（﹣4，0），（4，0）距离差的绝对值为定值；④不存在非零常数a，使C上所有点到两点（0，﹣4），（0，4）距离差的绝对值为定值；其中正确的命题是②④．（填出所有正确命题的序号）考点：轨迹方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据斜率公式得出=a，得y2=a（x2﹣9），再分类讨论，即可得出结论．解答：解：设P（x，y）由=a，得y2=a（x2﹣9），若a=﹣1，则方程为x2+y2=9，轨迹为圆（除A B点）；若﹣1＜a＜0，方程为=1，轨迹为椭圆（除A B点）﹣9a＜9，c==4，∴a=，不符合；a＜﹣1，﹣9a＞9，c==4，∴a=﹣，符合，∴存在非零常数a，使C上所有点到两点（0，﹣4），（0，4）距离之和为定值；若a＞0，方程为，轨迹为双曲线（除A B点）．c==4，a=，∴存在非零常数a，使C上所有点到两点（﹣4，0），（4，0）距离差的绝对值为定值．④是正确的，不存在，如果曲线是双曲线时，焦点一定在x轴上．故答案为：②④点评：本题考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（13分）如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，∠AEB=90°，F为CE上的点．（Ⅰ）求证：AD∥平面BCE；（Ⅱ）求证：AE⊥BF．考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）直接根据已知条件，将利用线线平行转化为线面平行．（Ⅱ）利用线面垂直转化成线线垂直，进一步利用线面垂直的判定得到线面垂直，最后证得线线垂直．解答：（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC又因为BC⊂平面BCEAD⊄平面BCE所以AD∥平面BCE（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面ABEAD∥BCBC⊥平面ABEAE⊥BC因为∠AEB=90°所以：AE⊥BE所以：AE⊥平面BCEBF⊂平面BCE所以：AE⊥BF点评：本题考查的知识要点：线面平行的判定，线面垂直的判定，及线面垂直与线线垂直之间的转化．属于基础题型．18．（13分）已知三个点A（0，0），B（4，0），C（3，1），圆M为△ABC的外接圆．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设直线y=kx﹣1与圆M交于P，Q两点，且|PQ|=，求k的值．考点：圆的一般方程．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）设出圆的一般式方程，代入三个点的坐标联立方程组求得D，E，F的值，则圆的方程可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）得圆M的圆心为（2，﹣1），半径为，结合弦长求得圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式列式求得k的值．解答：解：（Ⅰ）设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．∵点A（0，0），B（4，0），C（3，1）在圆M上，则，解得：D=﹣4，E=2，F=0．∴△ABC外接圆的方程为x2+y2﹣4x+2y=0；（Ⅱ）由（Ⅰ）圆M的圆心为（2，﹣1），半径为．又，∴圆M的圆心到直线y=kx﹣1的距离为．∴，解得：k2=15，k=．点评：本题考查了圆的一般式方程，考查了直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．19．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，PA=AD=2，AB=BC=1，Q为PD中点．（Ⅰ）求证：PD⊥BQ；（Ⅱ）求直线BQ与平面PCD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）建立以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴的空间直角坐标系，证明•=0，即可证明PD⊥BQ；（Ⅱ）求出平面PCD的法向量，利用向量的夹角公式求直线BQ与平面PCD所成角的正弦值．解答：（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，又AD⊥AB，如图，建立以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴的空间直角坐标系．…（2分）由已知，PA=AD=2，AB=BC=1，AD∥BC．所以A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）…（4分）又Q为PD中点，所以Q（0，1，1）．所以=（0，2，﹣2），=（﹣1，1，1），所以•=0，…（6分）所以PD⊥BQ．…（7分）（Ⅱ）解：设平面PCD的法向量为=（a，b，c），则∵=（0，2，﹣2），=（﹣1，1，0），∴，…（9分）令c=1，得a=b=1，∴=（1，1，1）．…（11分）∵=（﹣1，1，1），∴直线BQ与平面PCD所成角的正弦值为=．…（14分）点评：本题考查直线与直线垂直的证明，考查直线BQ与平面PCD所成角的正弦值的求法，正确运用向量法是解题的关键．20．（14分）已知椭圆W：+y2=1，直线l过点（0，﹣2）与椭圆W交于两点A，B，O 为坐标原点．（Ⅰ）设C为AB的中点，当直线l的斜率为时，求线段OC的长；（Ⅱ）当△OAB面积等于1时，求直线l的斜率．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）当直线l的斜率为时，直线l的方程为y=x﹣2，代入椭圆方程，求出C的坐标，即可求线段OC的长；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，代入椭圆方程，利用△OAB面积等于1时，求直线l的斜率．解答：解：（Ⅰ）当直线l的斜率为时，直线l的方程为y=x﹣2．…（1分）代入椭圆方程得5x2﹣12x+6=0，…（2分）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0）．则，…（3分）所以点C的坐标，，…（4分）所以．…（5分）（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，由得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，…（6分）所以△=（16k）2﹣48（1+4k2）=16（4k2﹣3）…（7分），．…（8分）==．…（10分）原点O到直线l的距离．…（11分）所以△OAB面积为．因为△OAB面积等于1，所以，…（12分）解得，…（13分）带入判别式检验，符合题意，所以．…（14分）点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，AB=2BC=4，四边形CDEF是等腰梯形，EF∥DC，EF=2，且平面ABCD⊥平面CDEF，AF⊥CF．（Ⅰ）过BD与AF平行的平面与CF交于点G．求证：G为CF的中点；（Ⅱ）求二面角B﹣AF﹣D的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的性质．专题：空间角．分析：（Ⅰ）连接AC交BD于点H，连接GH．利用线面平行的性质定理及三角形中位线定理可得结论；（Ⅱ）以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz所求值即为平面ABF的法向量与平面ADF 的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．解答：（Ⅰ）证明：连接AC交BD于点H，ABCD为矩形，则H为AC中点，连接GH．∵AF∥平面BDG，平面ACF∩平面BDG=GH，∴AF∥HG．∴G为CF的中点．（Ⅱ）解：在平面CDEF上作FO⊥CD，垂足为O，∵平面CDEF为等腰梯形，AB=4，EF=2，∴OC=1，∵平面ABCD⊥平面DCFE，∴FO⊥平面ABCD，在平面ABCD中，作OM⊥CD交AB于M，所以FO⊥OM，如图，以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz．则A（2，﹣3，0），B（2，1，0），C（0，1，0），D（0，﹣3，0）．设F（0，0，h）（h＞0）．∵AF⊥CF，∴•=0，即（﹣2，3，h）•（0，﹣1，h）=0，所以0﹣3+h2=0，解得h=．设平面ABF的法向量为=（a，b，c），而=（﹣2，3，），=（0，4，0），由，得，令c=2，解得a=，b=0．所以=（，0，2）．由于=（﹣2，0，0），=（0，﹣1，），所以•=0，CF⊥AD，又CF⊥AF，所以CF⊥平面ADF，所以为平面ADF的法向量，cos＜，＞==．由图知，二面角B﹣AF﹣D的平面角为钝角，所以二面角B﹣AF﹣D的余弦值为﹣．点评：本题考查用空间向量求二面角，注意解题方法的积累，属于中档题．22．（13分）如图，曲线E是由抛物线弧E1：y2=4x（0≤x≤）与椭圆弧E2：+=1（≤x≤a）所围成的封闭曲线，且E1与E2有相同的焦点．（Ⅰ）求椭圆弧E2的方程；（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线与曲线E交于A，B两点，|FA|=r1，|FB|=r2，且∠AFx=α（0≤α≤π），试用cosα表示r1；并求的取值范围．考点：圆锥曲线的综合；抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）确定（，）为椭圆上一点，利用椭圆的定义求出a，即可求椭圆弧E2的方程；（Ⅱ）曲线E由两部分曲线E1和E2组成，所以按A在抛物线弧E1或椭圆弧E2上加以分类，由曲线E的对称性，不妨设A在x轴上方（或x轴上），利用三角函数的性质，即可求的取值范围．解答：解：（Ⅰ）抛物线弧E1：y2=4x（0≤x≤）的焦点为（1，0），且x=时，y2=，所以（，）为椭圆上一点，又椭圆的焦点为（﹣1，0），（1，0），…（2分）所以2a==4．…（3分）所以a=2，b=，…（4分）所以椭圆E2的方程为（≤x≤2）．…（5分）（Ⅱ）曲线E由两部分曲线E1和E2组成，所以按A在抛物线弧E1或椭圆弧E2上加以分类，由曲线E的对称性，不妨设A在x轴上方（或x轴上）．当时，，此时，；当时，A在椭圆弧E2上，由题设知A（1+r1cosα，r1sinα），将A点坐标代入得，，整理得，解得或（舍去）．…（6分）当时，A在抛物线弧E1上，由抛物线定义可得r1=2+r1cosα，所以，…（7分）综上，当时，；当时，或．相应地，同理可得≤cosα≤1，r2=；当﹣1≤cosα≤时，根据图形的对称性，r2=．…（9分）所以，当时，A在抛物线弧E1上，B在椭圆弧E2上，=•=（1+）∈；…（10分）当≤cosα≤1时A在椭圆弧E2上，B在抛物线弧E1上，=•=∈；…（11分）当﹣＜cosα＜时A、B在椭圆弧E2上，=•=﹣1+∈（，）；…（12分）综上，的取值范围是．…（13分）点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、两点间距离公式及椭圆方程的求解，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，本题综合性强，难度大，对能力要求高．。
北京市朝阳区高二上期末数学试题(理)(含答案)
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12．已知������(8,0),������(0,6),������(0,0) ,则������������������������的外接圆的方程是
.
【答案】(������ ‒ 4) + (������ ‒ 3) = 25 【解析】本题主要考查圆的标准方程与圆的性质.由圆的性质可知，线段 OA 与线段 OB 的垂直平分线的交 2 2 点即为圆心，所以圆心坐标为(3,4),则半径 r=5,所以，所求圆的标准方程为(������ ‒ 4) + (������ ‒ 3) = 25
A. 2 【答案】B 【解析】本题主要考查圆的性质、平面向量的平行四边形法则、菱形的性质、点到直线的距离公式.以 B.2 C. 6 D.2 2
������������1、������������2为邻边作菱形，由������1������2与������������1 + ������������2分别表示菱形两条对角线所表示的向量，因为 |������1������2| ≥ |������������1 + ������������2|,所以������������1、������������2的夹角为直角或钝角，所以圆心到直线 l 的距离小于等于 2，由 |������| 点到直线的距离公式可得 ≤ 2,所以 ‒ 2 ≤ ������ ≤ 2，则实数������的最大值是 2 2
向量中与������1������相等的向量是
A. ‒ ������ + ������ + ������
1 2
1 2
B. ������ + ������ + ����� ������ ‒ ������ + ������ 2 2
北京市朝阳区2015届高三上学期期末考试数学理试题
北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类） 2015．1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设i 为虚数单位，则复数1iiz +=在复平面内对应的点所在的象限是 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点．若AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则线段AB 的长为A ．6B ．9C ．12D ．无法确定 3．设函数()sin(2)3f x x π=-的图象为C ，下面结论中正确的是 A ．函数()f x 的最小正周期是2π B ．图象C 关于点(,0)6π对称C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移3π个单位得到D ．函数()f x 在区间(,)2ππ-12上是增函数 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是 A ． 426+ B ．8 C ． 423+ D ．435．αβ，表示不重合的两个平面，m ，l 表示不重合的两条直线．若m αβ= ，l α⊄，l β⊄，则“l ∥m ”是“l ∥α且l ∥β”的A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．在ABC ∆中，π4B =，则sin sin A C ⋅的最大值是 A ．124+ B ．34 C ．22D ．224+7．点O 在ABC ∆的内部，且满足24OA OB OC ++=0，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积之比是A ．72 B ． 3 C ．52D ．2 8.设连续正整数的集合{}1,2,3,...,238I =，若T 是I 的子集且满足条件：当x T ∈时，7x T ∉，则集合T 中元素的个数最多是（ ）A.204B. 207C. 208D.209第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则sin(π)α-的值是 ．10．双曲线22:C x y λ-=（0λ>）的离心率是 ；渐近线方程是 ．11．设不等式组240,0,0x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一点P ，则点P 落在圆221x y +=内的概率为 ．12．有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声，……，12点响12声（12时制），且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是12点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间；如果此次是11点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间．13．在锐角AOB 的边OA 上有异于顶点O 的6个点，边OB 上有异于顶点O 的4个点，加上点O ，以这11个点为顶点共可以组成 个三角形（用数字作答）． 14．已知函数1sin π()()ππx xxf x x -=∈+R ．下列命题：①函数()f x 既有最大值又有最小值； ②函数()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x 在区间[π,π]-上共有7个零点； ④函数()f x 在区间(0,1)上单调递增．其中真命题是 ．（填写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”.（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄； （Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．1 6．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA AB =，点E 是PB 的中点，点F 在边BC 上移动．O频率组距20 30 40 5060 8070 0.01 0.03 0.02 年龄（Ⅰ）若F 为BC 中点，求证：EF //平面PAC ； （Ⅱ）求证：AE PF ⊥； （Ⅲ）若2PB AB =，二面角E AF B --的余弦值等于1111，试判断点F 在边BC 上的位置，并说明理由.17．（本小题满分13分）若有穷数列1a ，2a ，3,,m a a （m 是正整数）满足条件：1(1,2,3,,)i m i a a i m -+== ，则称其为“对称数列”．例如，1,2,3,2,1和1,2,3,3,2,1都是“对称数列”．（Ⅰ）若}{n b 是25项的“对称数列”，且,13b ,14b 15,b ，25b 是首项为1，公比为2的等比数列．求}{n b 的所有项和S ；（Ⅱ）若}{n c 是50项的“对称数列”，且,26c ,27c 28,c ，50c 是首项为1，公差为2的等差数列．求}{n c 的前n 项和n S ，150,n n *≤≤∈N .18．（本小题满分13分）设函数2e (),1axf x a x =∈+R ． DPCBFAE（Ⅰ）当35a =时,求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）设()g x 为()f x 的导函数，当1[,2e]ex ∈时，函数()f x 的图象总在()g x 的图象的上方，求a的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点3(1,)2，离心率为32．过椭圆右顶点A 的两条斜率乘积为14-的直线分别交椭圆C 于,M N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线MN 是否过定点D ？若过定点D ，求出点D 的坐标；若不过，请说明理由．20．（本小题满分13分）已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，1x ，2x ，3x ∈R ,且123x x x <<．（Ⅰ）当10x =，21x =，32x =时，若方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根，求实数m 的值； （Ⅱ）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根； （Ⅲ）若方程()0f x '=的两个实数根是,αβ()αβ<，试比较122x x +与,αβ的大小并说明理由．北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学答案（理工类） 2015．1一、选择题（满分40分） 二、填空题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCBACDAC（满分30分） 题号 9101112 13 14 答案2552;y x =±π1611;11120①②③（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题（满分80分） 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意估算，所调查的600人的平均年龄为：250.1350.2450.3550.2650.1750.148⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（岁）….…..4分（Ⅱ）由频率分布直方图可知，“老年人”所占的频率为15. 所以从该城市20~80年龄段市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为15. 依题意，X 的可能取值为0,1,2,3.00331464(0)()()55125P X C ===1231448(1)()()55125P X C ===2231412(2)()()55125P X C ===3303141(3)()()55125P X C ===所以，随机变量X 的分布列如下表：X 0 1 2 3P64125 48125 12125 1125因此，随机变量X 的数学期望64481213()01231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………..13分 16. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在PBC ∆中，因为点E 是PB 中点，点F 是BC 中点，所以EF //PC ．又因为EF ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC ， 所以EF //平面PAC ．……………..4分 （Ⅱ）证明：因为底面ABCD 是正方形，所以BC AB ⊥．又因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，平面PAB 平面ABCD =AB ， 且BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面PAB ．由于AE ⊂平面PAB ，所以BC AE ⊥．由已知PA AB =，点E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥． 又因为=PB BC B ，所以AE ⊥平面PBC .因为PF ⊂平面PBC ，所以AE PF ⊥．……………..9分 （Ⅲ）点F 为边BC 上靠近B 点的三等分点．因为PA AB =，2PB AB =，所以PA AB ⊥．由（Ⅱ）可知，BC ⊥平面PAB .又BC //AD ,所以AD ⊥平面PAB ，即AD PA ⊥，AD AB ⊥ . 所以AD ，AB ，AP 两两垂直．分别以AD ，AB ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴 建立空间直角坐标系（如图）. 不妨设2AB =，BF m =，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,0,2)P ， (0,1,1)E ，(,2,0)F m .于是(0,1,1)AE =，(,2,0)AF m = .设平面AEF 的一个法向量为(,,)p q r =n ，由0,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 得0, 20.q r mp q +=⎧⎨+=⎩ 取2p =，则q m =-，r m =， 得 (2,,)m m =-n ．由于AP AB ⊥，AP AD ⊥,AB AD A = ,所以AP ⊥平面ABCD .即平面ABF 的一个法向量为(0,0,2)AP =．根据题意，221111||||422AP m AP m ⋅==⋅+⨯ n n ，解得23m =． 由于2BC AB ==，所以13BF BC =. 即点F 为边BC 上靠近B 点的三等分点．……………..14分 17.（本小题满分13分）D CBFAEPxyz（Ⅰ）依题意，131,b =142b =，…，1212251322b b =⋅=. 则121252b b ==，112242b b ==，…，12142b b ==.则()12121212121()22 (121112)S b b b ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=++++=⨯+-1423=- ……………..6分 （Ⅱ）依题意，502624249c c =+⨯=，因为}{n c 是50项的“对称数列”，所以15049,c c ==24947,c c ==…， 2526 1.c c ==所以当125n ≤≤时，250n S n n =-+； 当2650n ≤≤时，251(25)(25)(26)22n S S n n n =+-+⨯--⨯， n S =1250502+-n n .综上，22501255012502650,.n n nn n S n n n n **⎧-+≤≤∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩N N ，， ……………..13分18. （本小题满分13分）（Ⅰ）解：当35a =时，32522e (3103)()5(1)x x xf x x -+'=+．由()0f x '>得231030x x -+>，解得13x <或3x >； 由()0f x '<得231030x x -+<，解得133x <<． 所以函数)(x f 的单调增区间为1(,)3-∞,(3,)+∞，单调减区间为1(,3)3． ……………..5分（Ⅱ）因为222e (2)()()(1)ax ax x a g x f x x -+'==+， 又因为函数()f x 的图象总在()g x 的图象的上方，所以()()f x g x >，即2222e e (2)1(1)ax ax ax x a x x -+>++在1[,2e]e x ∈恒成立．又因为2e 01axx >+，所以22(1)2(1)a x x x +-<+，所以2(1)(1)2a x x -+<． 又210x +>，所以2211xa x -<+． 设22()1x h x x =+，则min1()a h x -<1([,2e])ex ∈即可． 又2222(1)()(1)x h x x -'=+．由2222(1)()0(1)x h x x -'=>+，注意到1[,2e]e x ∈，解得11e x ≤<； 由2222(1)()0(1)x h x x -'=<+，注意到1[,2e]e x ∈，解得12e x <≤． 所以()h x 在区间1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递增，在区间(]1,2e 单调递减． 所以()h x 的最小值为1()eh 或(2e)h ．因为212e ()ee 1h =+，24e (2e)4e 1h =+，作差可知224e 2e4e 1e 1<++，所以24e14e 1a -<+．所以a 的取值范围是224e 4e+1(,)4e 1+-∞+． ……………..13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得22321314c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得2241a b ⎧=⎨=⎩．所以椭圆的标准方程为2214x y +=． ……………..4分 （Ⅱ）直线MN 过定点(0,0)D .说明如下：由（Ⅰ）可知椭圆右顶点(2,0)A ．由题意可知，直线AM 和直线AN 的斜率存在且不为0．设直线AM 的方程为(2)y k x =-．由2244(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得2222(14)161640k x k x k +-+-=． 42225616(14)(41)160k k k ∆=-+-=>成立，所以22164214M k x k -⋅=+．所以228214M k x k -=+． 所以222824(2)(2)1414M M k k y k x k k k --=-=-=++．于是，点222824(,)1414k k M k k--++． 因为直线AM 和直线AN 的斜率乘积为14-，故可设直线AN 的方程为1(2)4y x k =--． 同理，易得222218()228411414()4N k k x k k---==++-． 所以点222284(,)1414k kN k k -++． 所以，当M N x x ≠时，即12k ≠±时，2214MN k k k=-. 直线MN 的方程为22224228()141414k k k y x k k k--=-+-+． 整理得2214ky x k=-． 显然直线MN 过定点(0,0)D ．（点,M N 关于原点对称）当M N x x =,即12k =±时，直线MN 显然过定点(0,0)D ． 综上所述，直线MN 过定点(0,0)D ． ……………..14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）当10x =，21x =，32x =时，()(1)(2)f x x x x =--.当(1)(2)x x x mx --=时，即()2320x x x m -+-=.依题意，若方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根，包括两种情况： （1）若0x =是一元二次方程2320x x m -+-=的一个实数根，则2m =时，方程()2320x x x m -+-=可化为2(3)0x x -=，恰存在两个相等的实数根0(另一根为3）.（2）若一元二次方程2320x x m -+-=有两个相等的实数根，则方程2320x x m -+-=的根的判别式94(2)0m ∆=--=，解得14m =-.此时方程()f x mx =恰存在 两个相等的实数根32(另一根为0). 所以当14m =-或2m =时，方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根. ………4分（Ⅱ）证明：由123()()()()f x x x x x x x =---，可得，()()32123121323123()f x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，所以()2123121323()320f x x x x x x x x x x x x '=-+++++=.此一元二次方程的判别式21231213234)12()x x x x x x x x x ∆=++-++（，则()()()2221223312x x x x x x ⎡⎤∆=-+-+-⎣⎦. 由123x x x <<可得，0∆>恒成立.所以方程()0f x '=有两个不等的实数根.………8分 （Ⅲ）122x x αβ+<<.说明如下： 由()2123121323()320f x x x x x x x x x x x x '=-+++++=，得12()2x x f +'=()()212123123()+4x x x x x x x +-+++121323x x x x x x ++． ()()22121212=044x x x x x x +--=-<. 即12()2x x f +'=12123()()022x x x x αβ++--<, 由αβ<，得122x x αβ+<<． ………13分。