因式分解1

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因式分解一

因式分解一因式分解：把一个多项式化为几个整式之积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式。

1、提公因式法：是因式分解的基本方法，只要多项式各项有公因式，首先把它提取出来，)(c b a m mc mb ma ++=++练习：（1）33xy y x - （2）x x x 2718323+- （3）21--+-n n n x x x2、运用公式法：平方差公式：))((22b a b a b a -+=-完全平方式：222)(2b a b ab a ±=+±立方和（差）：))((2233b ab a b a b a +±=±b a ,可为单项式，也可以为多项式练习：（1）4416b a - (2）42242b b a a +- （3）222121y xy x ++（4）)()(922a b y b a x -+- （5）33216y x +3、十字相乘法：将二次项系数和常数项进行分解，交叉相乘再相加得到的是一次项系数。

例：q px x ++2=))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++可以用交叉线来表示：分解 232++x x 将2x 分解为x x ⋅，常数项2分解12⨯，把它们用交叉线来表示：所以)2)(1(232++=++x x x xx x +a+bx x +2 +1练习：(1)1522--x x ； (2)2265y xy x +- (3)3522--x x ；(4)3832-+x x ． (5)91024+-x x ； (6))(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；4、分组分解法：分组的原则是把各项适当分组，先使因式分解能分组进行，再使因式分解能在各组之间进行，并且一直进行到底))(()()()()(22x b x a x a b x a x ab bx ax x ab bx ax x ++=+++=+++=+++练习：（1）1--+b a ab （2）1222+--a b a（3）b a b a -+-22 （4）122222++---x yz z y x5、配方法：配方成完全平方式，再用平方差分解例)1)(3()21)(21(4)1(311232222-+=-+++=-+=--++=-+x x x x x x x x x练习：（1）562+-x x （2）982-+x x因式分解的要点:（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）如果多项式各项没有公因式，可以尝试运用公式法来分解；（3）如果多项式太复杂，先将它化简在观察；（4）如果上述方法不能分解，那么可以尝试分组分解或其它方法（如十字相乘、配方法等）来分解；（5）因式分解必须进行到每一个因式都不能在分解为止。

第二章 2.1.3 因式分解 (1)新

3ab(a + b) − a − b
7c(x − y) − x + y
3
提取公因式法：提取公因式法：找准公因式，一次要提尽；找准公因式，一次要提尽；全家都搬走，留 1 把门守；全家都搬走，把门守；提负要变号，变形看奇偶。提负要变号，变形看奇偶。
例2
请把下列各式因式分解
(1)16a 2 − 1
2
(2) 3a + 6a = 3a (a + 2) (3) x 2 − 4 + 3x = ( x + 2)( x − 2) + 3 x (4) x 2 − 4 + 3x = ( x + 4)( x − 1) (5) x − 4 = ( x + 2)( x − 2)
2
(6) x − 4 = ( x + 2)( x − 2) 1 1 2 2 (7 ) x + 2 + 2 = ( x + ) x x
合作学习
把下列各式因式分解
(1)a 4 − 81
(2)4 x y − 9 xy
3 2 3
(3)3ax + 6axy + 3ay
2
注意: 注意:
（1）因式分解要彻底，直到不能分解为止。因式分解要彻底，直到不能分解为止。彻底（2）通常先考虑提取公因式法，然后再考虑公式法。通常先考虑提取公因式法，然后再考虑公式法。提取公因式法
2ab
(3a − 2a2b2 −1 )
提取公因式法：提取公因式法：找准公因式，一次要提尽；找准公因式，一次要提尽；全家都搬走，把门守。全家都搬走，留 1 把门守。
例1
将下列各式分解因式：将下列各式分解因式：

初中数学因式分解(一)

1．定义：把一个多项式化成几个既约整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式．2．因式分解结果的要求：因式分解结果的标准形式常见典型错误或者不规范形式符合定义，结果一定是乘积的形式 ()()()x x x +1+2+3+7既约整式，不能含有中括号 []()()x x +12+3-1 最后的因式的不能再次分解 ()()x x 2-1-1单项式因式写在多项式因式的前面()()x x x -1+1 相同的因式写成幂的形式 ()()()x x x x -1+1-1 每个因式第一项系数一般不为负数 ()()x x x -+1+1 每个因式第一项系数一般不为分数x x x 12⎛⎫⎛⎫-+1+1 ⎪⎪33⎝⎭⎝⎭因式中不能含有分式 x x x 21⎛⎫+ ⎪⎝⎭因式中不能含有无理数()()()x x x +1+2-23．因式分解基本解法：“一提二代三分解”是因式分解的三种常见基本解法，“提”指的是提取公因式法，“代”指的是公式法（完全平方公式，平方差公式，立方差和立方和公式，三项完全平方公式），“分解”指的是分组分解的方法．①提取公因式法几个整式都含有的因式称为它们的公因式．例如：()ma mb mc m a b c 2+4+6=2+2+3把每项的公因式，包括数和字母全部提出，当然有的时候把一个式子看成一个整体． ②公式法因为因式分解和整式的乘法是互逆的，所以说常见的乘法公式要特别熟悉．平方差公式()()a b a b a b 22+-=- 完全平方公式：()a b a ab b 222+=+2+()a b a ab b 222-=-2+立方差公式：()()a b a ab b a b 2233-++=- 立方和公式：()()a b a ab b a b 2233+-+=+三项完全平方公式：()a b c a b c ab ac bc 2222++=+++2+2+2 完全立方公式：()a b a a b ab b 33223+=+3+3+()a b a a b ab b 33223-=-3+3-大立方公式：()()a b c abc a b c a b c ab ac bc 333222++-3=++++---（1）下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A ．()ab a b a b ab 223+=3+3B ．x x x x 222⎛⎫2+4=21+ ⎪⎝⎭C ．()()a b a b a b 22-4=+2-2D ．()x xy x x x y 23-6+3=3-2（2）如果下列式子是因式分解的结果，请判断下列式子形式是否正确，如果错误，请说明理由．①()x y x y 224-3+7；②()m m 23-4；③()()a b a b -4+2-2；④()[()]y x 22+1-1-3；⑤x x x 1⎛⎫+ ⎪⎝⎭；⑥()x x x 1⎛⎫+1-2 ⎪2⎝⎭；⑦()()y x x 2-+3-+3；⑧()()()()x y x y x y x y 2244++++．（1）C ；（2）③正确，①②④⑤⑥⑦⑧错误．【教师备课提示】这道题主要讲解因式分解的概念：（1）因式分解是一种恒等变形．（2）因式分解的结果必须是乘积的形式，每一个因式必须是整式，且不可再分解．（1）多项式x y x y x y 3222236-3+12的公因式是___________．（2）多项式()()()x y z a b x y z a b x y z a b 23433232545-24-+20-+8-公因式是_________．（3）观察下列各式：①a b 2+和a b +；②()m a b 5-和a b -+；③()a b 3+和a b --；④x y 22-和x y 22+，其中有公因式的是___________．（1）x y 223；（2）()x y z a b 223-4-；（3）②③．【教师备课提示】这道题主要讲解怎么找公因式，数和式子单独来看，数找公因数，式子找公因式．模块二提取公因式法模块一因式分解的概念因式分解：（1）a x abx y acx 232212+6-15（2）()()()()a b x y b c a b x y b c 223322++-6++（3）()()()x y x y x y 322+-2++2+ （4）abx acx ax 43-3+-（5）()()()()x y x y y x x y 2-33-2+2-32+3（6）a b a b ab 3223273-6+4这6道小题反映了提取公因式法的6大原则：（1）一次提净：应当先检查数字系数，然后再一个个字母逐个检查，将各项的公因式提出来，使留下的式子没有公因式可以提取．原式()ax ax by c 2=34+2-5（2）视“多”为一：把多项式（如x y +，b c +等）分别整个看成是一个字母．原式2322()()(33)a b x y b c x y ab ab c =+++--（3）切勿漏“1”：当多项式的某一项恰好是所提取公因式时，剩下的式子里应当留下“1”，千万不要忽略掉．原式2(2)[(2)(2)1]x y x y x y =++-++22(2)(4421)x y x xy y x y =+++--+ （4）提负数：原式32(31)ax bx cx =--+（5）提相反数：原式(32)[(23)(23)]x y x y x y =---+6(32y x y =--）（6）化“分”为整：在提出一个分数因数（它的分母是各项系数的公分母）后，我们总可以使各项系数都化为整数（这个过程实质上就是通分）．并且，还可以假定第一项系数是正整数，否则可用前面说过的方法，把1-作为公因数提出，使第一项系数称为正整数．原式32231(122427)4a b a b ab =-+223(489)4ab a b ab =-+．因式分解（随堂练习）：（1）x y xyz xy 25-10+5（2）()()()a x a b a x x a -+--- （3）()()()x x a x x -2+1++1++1（4）()()()()x m x m y m m x m y -----（5）n n b b 3-12-131+26（n 是正整数）（6）()()()p x p x p x 32226-1-8-1-21-（1）=()xy x z 5-2+1原式；（2）=()()()a x a b x a x a -----原式()()x a a b =---1；（3）()()x x a =+1-2++1原式()()x x a =-+12--1；（4）()()m x m y 2=---原式；（5）()n n b b 2-11=9+16原式；（6）()[()]p x x p 2=2-13-1-4-1原式()()p x x p 2=2-13-4-4．【教师备课提示】例3和例4主要考查提取公因式因式分解．因式分解：（1）()x 2-1-9 （2）()()m n m n 229--4+（3）()()a b a b 22-4-+16+ （4）()()a b a b 222222-3-5+5-3 （5）x xy y 229-24+16 （6）a a 28-4-4 （7）()c a b a b 222222---4（1）()()x x +2-4；（2）[()()][()()]m n m n m n m n =3-+2+3--2+原式()()m n m n m n m n =3-3+2+23-3-2-2 ()()m n m n =5--5；（3）原式()()a b a b 43++3=；（4）()()a b a b a b a b 22222222=5-3+3-55-3-3+5原式()()a b a b 2222=8-82+2 ()()()a b a b a b 22=16+-+；（5）()x y 2=3-4原式；（6）()a a 2=-4-2+1原式()a 2=-4-1；（7）原式()()()()c a b c a b c a b c a b +--+++--=．因式分解（随堂练习）：（1）()a b 216-3+2 （2）x y x y 62575-12（3）a b c 444-81+16 （4）()()a b a b 2222223---3（5）()()x y z x y z 22+-6++9 （6）()x y x y 22222+-4（7）m m 4216-72+81模块三公式法（1）()()a b a b =4+3+24-3-2原式；（2）()x y x y 244=325-4原式()()x y x y x y 22222=35+25-2；（3）()()c a b c a b 222222=4-94+9原式()()()c ab c ab c a b 222=2+32-34+9；（4）()()a b a b a b a b 22222222=3-+-33--+3原式()()a b a b 2222=4-42+2()()()a b a b a b 22=8+-+；（5）原式()x y z 2+-3=；（6）原式()()x y x y 22=+-；（7）()()m m 2222=4-2⋅4⋅9+9原式()m 22=4-9()()m m 22=2-32+3．【教师备课提示】例5和例6主要考查平方差公式和完全平方公式因式分解．因式分解：（1）x 38+27 （2）y 3-+64（3）x x y 5239-72 （4）a b 66+ （5）a b 66-（1）()()x x x 2=2+34-6+9原式；（2）()()y y y 2=4-+4+16原式；（3）()x x y 233=9-8原式()()x x y x xy y 222=9-2+2+4；（4）()()a b 2323=+原式()()a b a a b b 224224=+-+；（5）()()a b 3232=-原式()()a b a b 3333=+-()()()()a b a b a ab b a ab b 2222=+--+++另解：()()a b 2323=-原式()()a b a a b b 224224=-++()()()a b a b a a b b a b 422422=+-+2+- ()()()()a b a b a ab b a ab b 2222=+--+++；【教师备课提示】这道题主要考查立方差和立方和公式．因式分解：（1）a b c bc ca ab 2224+9+9-18-12+12（2）x x y xy y 32238-36+54-27（1）()a b c 2=2+3-3原式；（2）()x y 3=2-3原式．【教师备课提示】这道题主要考查三项完全平方和完全立方公式．下列因式分解正确的是（）A ．()()()a b a b a b a b 2222-4+4=-4-4=-4+2-2B ．()m m m m 323-12=3-4C ．()x y x y x y x y 422224-12+7=4-3+7D ．()()m m m 24-9=2+32-3D ．因式分解：（1）abc a b a b 2336-14+12 （2）a a a 324-6+15-12 （3）()x a x a x 22224+--（4）()()p q p 22-1-4-1（5）()()()(a b m p a b m p 5-22+3-2-72+3）（6）()()()x y x y x y 232++6+-4+（1）()ab a c ab 22=26+3-7原式；（2）()a a a 22-34+2-5=原式；（3）()()a x x 22=+4-1原式；（4）原式()()p p q =2-1-2-1；（5）=()()m p a b 2+33+5原式；（6）()[()()]x y x y x y 2=2+1+3+-2+原式()()x y x y x y xy 22=2+1+3+3-2-2-4．模块二提取公因式法模块一因式分解的概念已知b c a +-=-2，求()()a a b c b c a b c b c a 22221⎛⎫--+-++2+2-2 ⎪33333⎝⎭的值．()()a b c a b c 2=----3原式()a b c 22=--3．∵b c a +-=-2，∴a b c --=2，则原式8=3．因式分解：（1）()y z x 224-2-（2）(m x y mn 2232--3）（3）x y 88-（4）x x 516-（5）()()x x x x 22225+2-3--2-3 （6）()()x x x x 2222+4+8+4+16（7）n n n a a a +2-2+8+16（1）=()()y z x y z x 2+2-2-2+原式；（2）原式=()()m x y n x y n 32-+2--；（3）=()()x y x y 4444-+原式()()()x y x y x y 222244=-++()()()()x y x y x y x y 2244=+-++；（4）()()()x x x x x 422=16-1=4-14+1原式()()()x x x x 2=2-12+14+1；（5）()()x x x 22=6-64+4原式()()()x x x x =24+1-1⋅⋅+1()()x x x 2=24-1+1；（6）()x x 22=+4+4原式()x 4=+2；（7）()n a a a -242=+8+16原式()n a a -222=+4．因式分解：（1）a b c 3338-1（2）a b b 33932-4（3）x y y 631564+（1）()()abc a b c abc 222=2-14+2+1原式；（2）=原式()b a b 33648-()()b a b a ab b 32224=42-4+2+；（3）()y x y 3612=64+原式()()y x y x x y y 3244248=4+16-4+．模块三公式法。

因式分解(一)

因式分解(一)撰稿：徐长明审稿：张扬责编：孙景艳一、目标认知学习目标：1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；2．能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式；3．会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；4．经历综合利用提公因式法和公式法将多项式因式分解的过程，发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯。

知识结构重点难点：重点：因式分解的概念及各种方法的使用条件。

难点：因式分解方法的综合应用。

二、知识要点梳理知识点一：因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，如：，等。

要点诠释：（1）因式分解的实质就是把加减形式化成乘积形式；（2）因式分解的过程和整式乘法的过程正好相反，即因式分解和整式乘法是互逆的，可表示为：多项式几个因式的乘积；（3）分解要彻底：即要使分解后每个因式（在我们所学的范围内）都不能再进行因式分解（不含有因式了）．知识点二：公因式的概念1、公因式的定义：在多项式中各项都有的因式叫做这个多项式的公因式．如：多项式中每项都含有因式k，则k就是这个多项式的公因式．2、公因式的特点：a．公因式的系数是原多项式各项系数的最大公约数；b．公因式中的字母是各项中都含有字母；c．公因式字母的次数是相同字母的最低次．也即：知识点三：提公因式法分解因式把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是，即，而正好是除以m所得的商，这种因式分解的方法叫提取公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即(ma＋mb＋mc)＝m(a＋b＋c)；（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式。

（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号。

（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误。

奥数讲座因式分解(1)答案

初一奥数讲座因式分解（1）答案例1．分解因式（提公因式法）（1）4a2 + 6ab + 2a解：原式= 2a(2a + 3b + 1)（2）2a m + 1 + 4a m– 2a m– 1解：原式= 2a m– 1(a2 + 2a– 1)（3）(m–n) – (n–m)2解：原式= (m–n)2 – (m–n)2= (m–n)[1 – (m–n)]= (m–n)(1 –m + n)（4）2a2b(b + c)(x + y)2 – 6a3b2(b + c)2(x + y)解：原式= 2a2b(b + c)(x + y)[(x + y) – 3ab(b + c)]= 2a2b(b + c)(x + y)(x + y– 3ab2– 3abc)例2．分解因式（运用公式法）（1）x2– 81解：原式= x2– 92= (x + 9)(x– 9)（2）4(x + y)2 – 9(x–y)2解：原式= [2(x + y) + 3(x–y)][2(x + y) – 3(x–y)]= (5x–y)(–x + 5y)= – (5x–y)(x– 5y)（3）x2 + 8xy + 16y2解：原式= x2 + 2·x·4y + (4y)2= (x + 4y)2（4）(x2– 2x)2 + 2(x2– 2x) + 1解：原式= (x2– 2x)2 + 2(x2– 2x)·1 + 12= (x2– 2x + 1)2= [(x– 1)2]2= (x– 1)4例3．分解因式（运用公式法）（1）125a3b6 + 8解：原式= (5ab2)3 + 23= (5ab2 + 2)[(5ab2)2– 2×5ab2 + 22]= (5ab2 + 2)(25a2b4– 10ab2 + 4)（2）512x9– 1解：原式= (8x3)3– 13= (8x3– 1)[(8x3)2 + 8x3 + 1]= (2x– 1)(4x2 + 2x + 1)(64x6 + 8x3 + 1)（3）1 – 12x2y2 + 48x4y4– 64x6y6解：原式= 1 – 3×4x2y2 + 3×(4x2y2)2– (4x2y2)3= (1 – 4x2y2)3= (1 + 2xy)3(1 – 2xy)3（4）x3 + 3xy + y3– 1解：原式= x3 + y3 + (– 1)3– 3·x·y(– 1)= (x + y– 1)(x2 + y2 + 1 –xy + y + x)（5）x2 + 9y2 + 4z2– 6xy + 4xz– 12yz解：原式= x2 + (– 3y)2 + (– 2z)2 + 2·x·(– 3y) + 2·x·2z + 2·(– 3y)·(2z) = (x– 3y + 2z)2例4．分解因式（1）12x2–xy +12y2解：原式= 12(x2– 2xy + y2)= 12(x–y)2（2）100 – 25x2解：原式= 25(4 –x2)= 25(2 + x)(2 –x) （3）x4– 2x2y2 + y4解：原式= (x2)2– 2x2y2 + (y2)2= (x2–y2)2= (x + y)2(x–y)2（4）2a6–12a3 +132解：原式= 2(a6–14a3 +164)= 2[(a3)2– 2×18·a3 + (18)2]= 2(a3–18 )2= 2(a–12)2(a2 +12a +14)例5．分解因式（1）– 2x5n– 1y n + 4x3n– 1y n + 2– 2x n– 1y n + 4解：原式= – 2x n– 1y n(x4n– 2x2n y2 + y4)= – 2x n– 1y n[(x2n)2– 2x2n y2 + (y2)2]= – 2x n– 1y n(x2n–y2)2= – 2x n– 1y n(x n + y)(x n–y)（2）(a2 + ab + b2)2 – 4ab(a2 + b2)解：原式= [(a2 + b2) + ab]2– 4ab(a2 + b2)= (a2 + b2)2 + 2ab(a2 + b2) + a2b2– 4ab(a2 + b2)= (a2 + b2)2– 2ab(a2 + b2) + a2b2= (a2b2–ab)2（3）(x2–x) – 4(x– 2)(x + 1) – 4解：原式= (x2–x)2– 4(x2–x– 2) – 4= (x2–x)2– 4(x2–x) + 8 – 4= (x2–x)2– 4(x2–x) + 4= (x2–x– 2)2= (x– 2)2(x + 1)2（4）a7–a5b2 + a2b5–b7解：原式= (a7–a5b2) + (a2b5–b7)= a5(a2–b2) + b5(a2–b2)= (a2–b2)(a5 + b5)= (a + b)(a–b)(a + b)(a4–a3b + a2b2–ab3 + b4)= (a + b)2(a–b)(a4–a3b + a2b2–ab3 + b4)例6．分解因式（1）a3 + b3 + c3– 3abc解：原式= (a + b)3– 3ab(a + b) + c3– 3abc= [(a + b)3 + c3] – 3ab(a + b + c)= (a + b + c)[(a + b)2– (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c)= (a + b + c)(a2 + b2 + c2–ab–bc–ca)（2）(x + y)3 + (z–x)3 – (y + z)3解：原式= [(x + y) + (z–x)][(x + y)2– (x + y)(z–x) + (z–x)2] – (y + z)3 = (y + z)[(x + y)2– (x + y)(z–x) + (z–x)2–(y + z)2]= (y + z)(3x2 + 3xy– 3yz– 3xz)= 3(y + z)[x(x + y) –z(x + y)]= 3(y + z)(x + y)(x–z)（3）x15 + x14 + x13 + …+ x2 + x + 1解：因为x16– 1 = (x15 + x14 + x13 + …+ x2 + x + 1)∴原式= ()()15142111x x x x xx-+++++-=1611xx--=()()()()()842111111x x x x xx++++--= (x8 + 1)(x4 + 1)(x2 + 1)(x + 1)例7．分解因式（分组分解法）（1）a2–b2– 2a– 2b解：原式= (a + b)(a–b) – 2(a + b)= (a + b)(a–b– 2) （2）25a4–x2– 2x– 1解：原式= (5a2)2– (x2 + 2x + 1)= (5a2)2– (x + 1)2= (5a2 + x + 1)(5a2–x– 1)（3）4a2–b2– 2a +1 4解：原式= 4a2– 2a +14–b2= (2a–12)2–b2= (2a–12+ b)( 2a–12–b)（4）(1 –a2)(1 –b2) – 4ab解：原式= 1 –a2–b2 + a2b2– 4ab= a2b2– 2ab + 1 –a2– 2ab–b2= (ab– 1)2– (a + b)2= (ab– 1 + a + b)(ab– 1 –a–b)（5）a4 + a2b2 + b4解：原式= a4 + 2a2b2 + b4–a2b2= (a2 + b2)2–a2b2= (a2 + b2 + ab)( a2 + b2–ab)练习1．证明：817– 279– 913能被45整除证明：∵817– 279– 913 = 328– 327– 326 = 326(32– 3 – 1) = 326×5 = 324×32×5 = 324×45 ∴817– 279– 913能被45整除2．求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数证明：设这四个连续自然数分别为n，n + 1，n + 2，n + 3n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1= n(n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1= (n2 + 3n)(n2 + 3n + 1) + 1= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1= (n2 + 3n + 1)2∴n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1一定是一个完全平方数。

多项式的因式分解(1)

（2）12ab2c－6ab ；（3） -2m3－8m2－12m
； (4)原式=(x＋y )(3a－2b)
（4）3a（x＋y）－2b（x＋y）.
学以致用： 1.把下列各式分解因式：
（1）8x4y3z2－6x5y2; (1)2x4y2(4yz2－3x) （2）-2m3+6m2－18m; (2) -2m(m2－3m+9) （3）3a(x－y)－2b(y－x); (3) (3a+2b)(x－y) （4）5m(a+b)－a－b; (4) (a+b)(5m－1)
初中数学七年级(下册)
9.5 多项式的因式分解（1）
9.5 多项式的因式分解（1）
教学目标：
1.了解因式分解的意义，能用提公因式法进行分解因式。
2.体会单项式乘多项式与提取公因式之间的联系，发展逆向思维的能力。
看谁算得巧：
1.求999+9992的值。
999（1+999）=999×1000=999000
4x+4y=4(x+y)
公因式
另一个因式
4
x+y
x
m－n
a－b
m－n
4a
3x+2y
6a2b
2ax+3by
mx－nx=x(m－n)
m(a－b)－n(a－b)=(a－b)(m－n) 12ax+8ay=4a(3x+2y)
12a3bx+18a2b2y=6a2b(2ax+3by)
如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的
，叫做这个多项式的公因式。
练一练：

第一章因式分解

因式分解（1）目标：1、理解因式分解的概念和意义2、认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。

一、看谁算得快：1、若a=101,b=99,则a 2-b 2=___________；2、若a=99,b=-1,则a 2-2ab+b 2=____________；3、若x=-3,则20x 2+60x=____________。

观察以上结果，请每题答得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法。

a 2-b 2=(a+b)(a-b) ， a 2-2ab+b 2 = (a-b)2 ， 20x 2+60x=20x(x+3)，找出它们的特点。

(等式的左边是一个什么式子，右边又是什么形式？) 因式分解：也叫分解因式。

(a+b)(a-b)= a 2-b 2 , (a-b)2= a 2-2ab+b 2， 20x(x+3)= 20x 2+60x,它们是什么运算？与因式分解有何关系？它们有何联系与区别？二、、因式分解与整式乘法的关系：因式分解结合：a 2-b 2=========（a+b ）（a-b ）整式乘法说明：从左到右是因式分解其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。

三、轻松练习1、下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什(1)x 2-3x+1=x(x-3)+1 ；(2)(m ＋n)(a ＋b)＋(m ＋n)(x ＋y)＝(m ＋n)(a ＋b ＋x ＋y)；(3)2m(m-n)=2m 2-2mn ； (4)4x 2-4x+1=(2x-1)2； (5)3a 2+6a=3a （a+2）； (6)x 2-4+3x=（x-2）（x+2）+3x ； (7)k 2+21k +2=（k+k1）2；2、解方程：（1）012=-x （2）x 2–5x = 03、4、6、14的最大公因数是。

4、分解因式（1）42-x （2） 5x x +2当堂达标一、下列各式从左到右的变形是分解因式的是（）。

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以旧探新，引出课题
2×3×7=42
42=2×3×7
因数分解
计算下列各式: (1) x(x-y)= _____ (2) a(a+1) = _____ (3) (m+4)(m-4)=____ (4) (x-3)2= _______ (5) a(a+1)(a-1)= ___
根据左面的算式填空:
(1) x2-xy=_______
(1)a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400 (2)a2-2ab+b2=(a-b) 2=(99+1)2 =10000 (3)20x2+60x= 20x（x+3）= 20x(-3)(-3+3)=0。
第六环节
思维拓展：
布置作业，巩固提高
（1）若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),则
手工课上，老师给周杰伦同学发下一张如左图形状的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成右图形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，请问你能帮助周杰伦同学解决这个问题吗？能给出数学解释吗？
a a b b
a+b
a–b
a
a2– b2 =（a + b）（a – b）
第四环节
范例学习，练习反馈
例检验下列因式分解是否正确： (1)x2y－xy2=xy(x－y) (2) 2x2－1=(2x+1)(2x－1) (3) x2+3x+2=(x+1)(x+2)
m= ,n= 。 ),且m= 。
（2）x2之家
bth31dwb
来探究。于是宝音生活便是饮药、发呆、睡觉、再饮药……到底是个，不用像作丫头时提心吊胆、天天苦战，偶尔生个病还怕误了主子的事，恨不能披着病衣就跳起来，轻伤不下火线，风光固然风光，到底是个奴才，苦是真苦，竟不如作个 ……说不定以后还能成个贵妇人，儿孙满堂的享福呢！不知是否因为日有所思，梦里见个少年，容颜如玉，发束销金立翅扎巾，身着团花绿锦袍，腰系钑花兽面金带，益显出那秀挺的肩背、那杨柳般的腰身来，简直在诱惑人伸手环抱上去，手里拿着笔，在批一大堆簿子。宝音在梦里欢喜，倒像是哪里见过的故人，久别重逢，对着他直笑。那少年抬起头来，看着她也笑，问：“你精神好多了。”宝音心下果然觉得自己好多了，笑道：“可不是么？”他问宝音：“你恨不恨？” 宝音冷笑答道：“死过一场，一点名目都没有，如何能不恨！”少年怔怔又问：“然则你已经从丫头变成了呀？”是，作了，纵只是个受冷落的表，有的地方，怕比丫头还方便来事些呢！到底血缘身份摆在这里，韩玉笙不会利用，是她蠢，宝音可不能这样！少年叹道：“竟不知救你对不对……你也自己小心些，再糊涂下去，我真不管你了。”边说边合起簿子，将合未合的时候，纸面立起来，宝音恍惚看簿上全是血，正迟疑不定。他指指自己，笑道：“如今我可不是这副装束了，你别老梦见我这样。”宝音正“哦”了一声，想着他如今是什么装束呢？似是想得起来的，他不由分说一碗药汤迎面倾来，宝音骇一跳，醒来，梦里情景全忘了，恨意仍在，想着，要报这枉死的仇，终得先查出内情真相。要查真相，还须老太太那里下手。要接近老太太，府中几位主子、少主子都要笼络起来，便连手底下的丫头，皆须调教得堪使用了才好。药香中，她默默筹划，定了粗略几个步子，也不能急，且走着看。第一步，把屋中的丫头先整顿起来。宝音认起真来，是何等手腕？更何况里里外外的丫头，自买了进来，本是她和嘉颜亲自教养，集中训练过一段时间后，按其表现分上中下等，分至各处。这里的丫头，她都知道，因人施教，也未费神下重锤，只是重宣规矩，一个个便已整肃很多，院子里总算有点过日子的样子了。乐韵资质本也不差，但天性投机、又惫懒，一时仍未老实当差，看宝音声气与往常不同，也晓得厉害，不来捋虎须，只管躲着，宝音一时揪不着她岔子，且搁着，徐徐再敲打她来。第九章故纵倾颜成一怒（1）不数日，重阳节已经到了，苏府中却还未听说宝音的死讯，照理说瞒是瞒不住的，总要给个说法。或者只是未传到韩玉笙的院子来？宝音怕明着打听引人疑心，定了一计，曲而图之，便叫乐韵来。乐韵本想溜去菊花会上顽儿的，听得叫，老大不适意，慢慢儿
6.1 因式分解
6.1 因式分解
温三中吴立
七年级数学备课组
第一环节
设置问题，以趣激情
手工课上，老师给周杰伦同学发下一张如左图形状的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成右图形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，请问你能帮助周杰伦同学解决这个问题吗？能给出数学解释吗？
b
b
a
a
第二环节
整数乘法
第五环节
知识整理，归纳小结
“想一想”：下列式子从左边到右边是因式分解吗，为什么？ A. (a+3)(a－3)=a2－9 B. t2－16+3t=(t+4)(t－4)+3t C.4x2+12xy+9y2=(2x+3y)2
第五环节看谁算的快
知识整理，归纳小结
(1)若a=101,b=99,则a2-b2=___________； (2)若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=_______； (3)若x=-3,则20x2+60x=____________。
(4) x2－3x+1=x(x－3)+1 2.填空：（1）∵3a(a+4) =3a2+12a
∴ 3a2+12a = (
∴a2+6a+9 = ( ∴4－a2 = (
)(
);
（2）∵ (a+3)2=a2+6a+9 )( ); （3）∵(2－a)(2+a) = 4－a2 )( );
第四环节
范例学习，练习反馈
(2) a2+a=______ (3) m2-16=_________ (4) x2-6x+9=________ (5) a3-a=______
因式分解：把一个多项式转化为几个整式积的形式（也称分解因式）
第三环节
做一做：
初步应用，巩固新知
1、下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1) 2m(m－n)=2m2－2mn (2) 5x2y － 10xy2=5xy(x － 2y) (3) 4x2－4x+1=(2x－1 )2 （1）因式分解是对多项式而言的一种变形；（2）因式分解的结果是几个整式的积的形式；（3）因式分解与整式乘法正好相反。