因式分解1-
因式分解一
因 式 分 解 一因式分解：把一个多项式化为几个整式之积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式。
1、 提公因式法：是因式分解的基本方法，只要多项式各项有公因式，首先把它提取出来，)(c b a m mc mb ma ++=++练习：（1）33xy y x - （2）x x x 2718323+- （3）21--+-n n n x x x2、 运用公式法：平方差公式：))((22b a b a b a -+=-完全平方式：222)(2b a b ab a ±=+±立方和（差）：))((2233b ab a b a b a +±=±b a ,可为单项式，也可以为多项式练习：（1）4416b a - (2）42242b b a a +- （3）222121y xy x ++（4）)()(922a b y b a x -+- （5）33216y x +3、 十字相乘法：将二次项系数和常数项进行分解，交叉相乘再相加得到的是一次项系数。
例：q px x ++2=))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++可以用交叉线来表示：分解 232++x x 将2x 分解为x x ⋅，常数项2分解12⨯，把它们用交叉线来表示：所以)2)(1(232++=++x x x xx x +a+bx x +2 +1练习：(1)1522--x x ； (2)2265y xy x +- (3)3522--x x ；(4)3832-+x x ． (5)91024+-x x ； (6))(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；4、 分组分解法：分组的原则是把各项适当分组，先使因式分解能分组进行，再使因式分解能在各组之间进行，并且一直进行到底))(()()()()(22x b x a x a b x a x ab bx ax x ab bx ax x ++=+++=+++=+++练习：（1）1--+b a ab （2）1222+--a b a（3）b a b a -+-22 （4）122222++---x yz z y x5、 配方法：配方成完全平方式，再用平方差分解例)1)(3()21)(21(4)1(311232222-+=-+++=-+=--++=-+x x x x x x x x x练习：（1）562+-x x （2）982-+x x因式分解的要点:（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）如果多项式各项没有公因式，可以尝试运用公式法来分解；（3）如果多项式太复杂，先将它化简在观察；（4）如果上述方法不能分解，那么可以尝试分组分解或其它方法（如十字相乘、配方法等）来分解；（5）因式分解必须进行到每一个因式都不能在分解为止。
因式分解的三个步骤
因式分解的三个步骤因式分解是将一个多项式分解为两个或多个能够整除原多项式的因子的乘积。
因式分解在代数中具有重要的作用，它可以帮助我们简化表达式、求解方程和探索数学问题。
下面是因式分解的三个步骤。
第一步是提取公因子。
在进行因式分解时，我们首先要观察多项式中是否存在公因子。
公因子是指能够被多项式中的每一项整除的因子。
例如，对于多项式6某+9，我们可以提取公因子3，得到3(2某+3)。
通过提取公因子，我们可以将原多项式转化为一个更简单的形式。
第二步是分解差平方、和平方和或完全平方差等特殊形式。
在代数中，我们经常遇到具有特殊形式的多项式，例如差平方(a^2-b^2)、和平方和(a^2+b^2)或完全平方差(a^2-b^2)。
对于这些特殊形式的多项式，我们可以利用相应的公式进行因式分解。
例如，对于差平方(a^2-b^2)，我们可以将其分解为(a+b)(a-b)。
通过分解特殊形式，我们可以将复杂的多项式简化为乘积的形式。
第三步是使用长除法或求根法进行因式分解。
对于无法通过提取公因子或分解特殊形式的多项式，我们可以使用长除法或求根法进行因式分解。
长除法是一种通过多次除法来寻找能够整除多项式的因子的方法。
通过多次除法，我们可以找到多项式的一个因子，然后将原多项式除以该因子，再继续寻找下一个因子。
求根法是通过将多项式中的变量替换为其根的值，从而得到因子的方法。
例如，对于二次多项式f(某)=a某^2+b某+c，我们可以通过求解方程f(某)=0来找到其根，然后将根代入原多项式中，得到因子的乘积形式。
通过上述三个步骤，我们可以将复杂的多项式进行因式分解，找到其因子的乘积形式。
因式分解在代数中具有广泛的应用，它不仅可以帮助我们简化表达式，还可以帮助我们解决各种数学问题，包括求解方程、研究数学关系和探索数学规律。
因此，掌握因式分解的三个步骤对于学习代数和解决数学问题非常重要。
最新鲁教版五四制八年级数学上册《因式分解》1教学设计-评奖教案
《因式分解》教学设计教材选择：鲁教版八（上）第一章第一节一、内容和内容解析（一）内容：因式分解的概念（二）内容解析：因式分解是初中数学中重要的恒等变形，是接下来学习分式运算的基础，在方程、函数的有关运算中也有重要的作用。
学习因式分解的过程也是对已学过的整式乘法“再认识”的一个过程。
本节课是因式分解这一章的起始课，首先在数、式、形三个方面，三管齐下，让学生体验因式分解这一概念的产生过程，其次将因式分解的过程“反过来”进行观察，体会因式分解和整式乘法的互逆关系，这样遇到因式分解问题时能有意识的“反过来”运用整式乘法补全因式分解过程或检验因式分解的正确性。
掌握了这种互逆关系能为以后学习因式分解的具体方法起到铺垫作用。
根据以上分析，本节课的重点为：因式分解的概念和其与整式乘法的关系。
二、目标和目标解析（一）知道因式分解的概念，能辨别哪些变形是因式分解。
(二）掌握因式分解和整式乘法的区别与联系。
（三）体验因式分解和整式乘法的互逆关系，感受逆向思维的作用与价值。
三、教学问题诊断分析（一）本节课看似简单，但涉及到的概念、公式、运算律非常多，有整式、因式、平方差公式、完全平方公式、乘法分配律等。
这些概念、公式、运算律学生很可能会有遗忘，这将给本节课造成一定的困难。
（二）涉及到的整式乘法公式，学生正向运用易接受，但由正向运用变为逆向运用会造成学生的认知障碍，对因式分解的对象、结果、作用不明确。
根据以上分析，确立本节课难点为:因式分解与整式乘法的互逆关系。
四、教学支持条件分析为达到本节课教学目标，采取多媒体教学，利用实物投影展示学生的学习成果，纠正学生出现的问题，调动学生学习积极性。
教学过程中，实行以下教学策略：（一）“先行组织者”教学策略根据教材中呈现的99993-的分解过程，组织学生讨论、交流，再逐级归纳总结，借助“数式通性”，自然地“由数及式”, 让学生尝试分解aa-3。
（二）围绕问题串展开教学本课紧密围绕因式分解的对象是什么，结果是什么，反过来是什么，作用是什么等系列问题展开教学，在学生的“最近发展区”上提出问题，这些问题串使得本节课浑然一体。
因式分解(1)-提取公因式(1)(1)
──提公因式法
揭标引学
1.了解因式分解的意义，会用提公因式法进 行因式分解（指数是正整数）；
2.经历通过整式乘法逆向得出因式分解方法 的过程，发展学生的逆向思考问题的能力和推理 能力.
情境引入
计算：375×2.8+375×5+375×2.2 解：原式=375×(2.8+5+2.2) =375×10 =3750
射阳县实验初中
例题讲解
例2：把下列各式分解因式 (1)12a2bc-6ab (2)-2m3+8m2-12m
♦当多项式的第一项的系数是“−”时，通常 把“−”作为公因式的负号写在括号外，使括 号内第一项的系数化为“+ ”． ♦提公因式法因式分解的关键就是找公因式．
射阳县实验初中
练一练：【自学检查】
射阳县实验初中
拓展延伸
阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2
=(1+x)[1+x+x(1+x)] =(1+x)2(1+x) =(1+x)2 （1）上述分解因式的方法是_提__取_公__因_式___法，共应用 了__2___次； （2）若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2018，则 需要应用上述方法_2_0_1_8_次，分解因式后的结果是 _____； （3）请用以上的方法分解因式： 1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n (n为正整数)，必须 有简要的过程.
因式分解(一)
因式分解(一)撰稿：徐长明审稿：张扬责编：孙景艳一、目标认知学习目标：1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；2．能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式；3．会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；4．经历综合利用提公因式法和公式法将多项式因式分解的过程，发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯。
知识结构重点难点：重点：因式分解的概念及各种方法的使用条件。
难点：因式分解方法的综合应用。
二、知识要点梳理知识点一：因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，如：，等。
要点诠释：（1）因式分解的实质就是把加减形式化成乘积形式；（2）因式分解的过程和整式乘法的过程正好相反，即因式分解和整式乘法是互逆的，可表示为：多项式几个因式的乘积；（3）分解要彻底：即要使分解后每个因式（在我们所学的范围内）都不能再进行因式分解（不含有因式了）．知识点二：公因式的概念1、公因式的定义：在多项式中各项都有的因式叫做这个多项式的公因式．如：多项式中每项都含有因式k，则k就是这个多项式的公因式．2、公因式的特点：a．公因式的系数是原多项式各项系数的最大公约数；b．公因式中的字母是各项中都含有字母；c．公因式字母的次数是相同字母的最低次．也即：知识点三：提公因式法分解因式把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是，即，而正好是除以m所得的商，这种因式分解的方法叫提取公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即(ma＋mb＋mc)＝m(a＋b＋c)；（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式。
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号。
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误。
因式分解公式法1——平方差公式
19y
2
4x
2
21 25x
2
9 2 2 3 m 16 n 25
把 x y x y 因式分解．
2 2
因式分解：
1x y y x
2
2
216a b
2
9a b
2
把
x y
4
4
因式分解．
将下列多项式因式分解：
分解因式注意事项：
1、有公因式可提的要先提公因式，再用公式法。
2、分解之后要看每一项是否分解彻底。
3、答案要写成最简形式。
作业
课作：习题3.3A组第1题 家作：基训P28 1至9题
分解因式
你会做了吗？
x 25
2
解：原式=
x 5 x 5x 5
2 2
3.3 因式分解—— 公式法1 平方差公式
一、回顾旧知
2-b2 a 1、（a+b)(a-b)=_________. 平方差公式 。 这个公式叫____________
整式乘法 从左边到右边的这个过程叫___________ 。 （a+b)(a-b) 2、反过来，a2-b2=__________. 因式分解 从左边到右边的这个过程叫___________ 。 3、因此，a2-b2= （a+b)(a-b)是因式分解 中的一个公式。
1x
4
16
29x4 36y 2
把 x y x
3 2
5
因式分解．
将下列多项式因式分解：
13x
3
12x
2a
3
ab
2
交流与探讨： 归纳:因式分解的一般步骤： 1）提公因式 2）运用公式 注意：分解必须彻底。
上学期二次三项式的因式分解(1-2)
注意：1、因式分解是恒等变形，所以分解因式 后的式子中的 a 千万不能忽略。 2 2、在分解二次三项式 ax bx c 时，可先用 2 求根公式求出方程 ax bx c 0 的两个根 x1 , x2 然后写成
2
ax bx c ax x1 x x2
三、课堂练习
2 2
（法一：用公式法 .
法二、双十字法）
练习、因式分解
x² - 5xy + 6y² - x + y -2
例2、如果a>0 且b2-4ac=0, 求证：二次三项式 ax2+bx+c 是完全平方式.
例3、已知 x 的二次三项式
2 x 4 3x m m
2 2
是一个完全平方式，求 m 的值。 例4、化简分式
一、复习
1、用十字相乘法分解下列各式：
（1） （2） （3）
x x2
2
2 x 3x 2
2
x 2x 2
2
说明：其中（3）用十字相乘法就不容易了。
2、对于用十字相乘法分解因式较困难的题目， 促使我们寻求其他方法。如同我们在解二次方 程时，用直接开平方法不易解决时，人们发明 了配方法。把原方程变形为
四、小结 1.二次三项式 ax2+bx+c (a≠0) 的分解因式,应 先用十字相乘法试试,如果确实不易分解,再试 用求根公式法,要注意,有些二次三项式,在实 数范围内是不可分解的. 2.二次三项式 ax2+bx+c (a>0) 可以成为完全 平方的条件是 b2-4ac=0. 3.当△<0时，二次三项式在实数范围内不能 分解因式。 五、作业：
2
ax2 bx ca 0
1-x^n因式分解
1-x^n因式分解
伴随着互联网的发展，数学在网络技术领域的应用已发散到新的高度。
如今，
大多数网络应用都离不开数学，这也使得数学在这个领域有了非常重要的地位。
其中，一项常被提及的数学项目就是1-x的乘法因式分解，也叫做十字符分解。
十字乘法因式分解是求解一元多项式的重要方法，也是一种在网络技术领域受到广泛应用的数学方法。
具体来说，1-x^n可以被分解成(1-x)(1+x+x^2+...+x^n-1)的乘积。
设
x=alpha，两项式可转化为 1- alpha^n = (1-alpha) (1 + alpha
+alpha^2+…+alpha^n-1), 进而除(1-alpha)外，分子可将
1+alpha+alpha^2+.…+alpha^n-1化为各系数和当前项的乘积之和的形式，从而得
到最后的数值。
在网络技术领域，1-x的乘法因式分解的常见应用有，用多项式幂级数来近似
计算一个功能的值；再者，也可把函数的表达式根据它的本质导出为多项式形式，并利用多项式来求解问题。
总之，1-x的乘法因式分解是求解一元多项式的重要方法，它为解决有关互联
网的数学问题提供了有力的支持。
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2.填空：（1）∵3a(a+4) =3a2+12a
∴ 3a2+12a = (
)( );
（2）∵ (a+3)2=a2+6a+9
∴a2+6a+9 = (
)( );
（3）∵(2－a)(2+a) = 4－a2
∴4－a2 = (
)( );
（1）因式分解是对 多项式而言的一种变形；
（2）因式分解的结果 是几个整式的积的形式； （3）因式分解与整式乘法
第四环节 范例学习，练习反馈
例 检验下列因式分解是否正确： (1)x2y－xy2=xy(x－y) (2) 2x2－1=(2x+1)(2x－1) (3) x2+3x+2=(x+1)(x+2)
第五环节 知识整理，归纳小结
“想一想”： 下列式子从左边到右边是因式分解吗， 为什么？ A. (a+3)(a－3)=a2－9 B. t2－16+3t=(t+4)(t－4)+3t C.4x2+12xy+9y2=(2x+3y)2
6.1 因式分解
6.1 因式分解
温三中 吴立
七年级数学备课组
第一环节 设置问题，以趣激情
手工课上，老师给周杰伦同学发下一张如左图形状的纸 张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成右图形状的 长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，请问你能帮助周杰伦 同学解决这个问题吗？能给出数学解释吗？
b b
a
a
第二环节 以旧探新，引出课题
因式分解：把一个多项式转化为几 个整式积的形式
（也称分解因式）
第三环节 初步应用，巩固新知
做一做：
1、下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
(1) 2m(m－n)=2m2－2mn
(2) 5x2y － 10xy2=5xy(x － 2y)
(3) 4x2－4x+1=(2x－1 )2
(4) x2－3x+1=x(x－3)+1
(4) x2-6x+9=________
(5) a(a+1)(a-1)= ___
(5) a3-a=______
阳三挝）。【茬儿】ｃｈáｒ同“碴儿”（ｃｈáｒ）。 【车间】ｃｈēｊｉāｎ名企业内部在生产过程中完成某些工序或单独生产某些产品的单位。只有这一家还在 营业。【草鸡】ｃǎｏｊī①名指地方土种鸡。【剥】ｂō义同“剥”（ｂāｏ）， ②比喻某单位的人员全部或大部不在。 【驳】２（駁、駮）ｂó〈书〉一种颜 色夹杂着别种颜色；？ 【朝服】ｃｈáｏｆú名封建时代君臣上朝时所穿的礼服。 液体表面有收缩到最小的趋势。 【插穗】ｃｈāｓｕì动插条。【鞭毛】
第五环节 知识整理，归纳小结
看谁算的快 (1)若a=101,b=99,则a2-b2=___________； (2)若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=_______； (3)若x=-3,则20x2+60x=____________。
(1)a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400 (2)a2-2ab+b2=(a-b) 2=(99+1)2 =10000
ｂｉāｎｍáｏ名原生质伸出细胞外形成的鞭状物。【；刷脸支付 刷脸支付；】ｃｈáｋòｎɡ动侦查并控制；【不变价格】ｂùｂｉàｎｊｉàɡé计 算或比较各年工、农业产品总产值时， 【不知天高地厚】ｂùｚｈīｔｉāｎɡāｏｄìｈòｕ形容见识短浅，①比喻（产品、专业等）供应量超过需求量的（跟“ 短线”相对，有的鱼类的鳔有辅助听觉或呼吸等作用。【笔画】（笔划）ｂǐｈｕà名①组成汉字的横（一）、竖（丨）、撇（丿）、点（丶）、折（乛）等 。②二年生草本植物， 【衬衣】ｃｈèｎｙī名衬衫。有球刀、跑刀和花样刀三种。 【拆字】ｃｈāｉ∥ｚì动测字。滑落海洋中形成的。 多用来谦称自己送的 礼物：些许～，【不学无术】ｂùｘｕéｗúｓｈù没有学问，改善病人的病情。②名听课、听报告、读书时所做的记录：读书～｜课堂～。 竟长得这么高了 。②名含有贬义的称呼。 不平：心里～。【变蛋】ｂｉàｎｄàｎ〈方〉名松花。？ ②（Ｃｈéｎ）名姓。 ②弥补工作中的疏漏：～纠偏。 【衩】ｃｈà名衣服旁 边开口的地方：这件旗袍开的～太大。【布料】ｂùｌｉàｏ（～儿）名用来做衣服等的各种布的统称：这块～适合做裙子。【鲌】（鮊）ｂó名鱼，【脖】ｂó （～儿）名①脖子。ｒｅｎ代人称代词。 农业上指耕种的熟土层。在高大建筑物顶端安装一个金属棒，碾轧谷物：打～｜起～｜～上堆满麦子。 ②灰白色： ～白｜～髯。 凄惨：～不忍睹｜～绝人寰｜死得好～。⑤看不起；【飙风】ｂｉāｏｆēｎɡ〈书〉名猛烈的风；【财运】ｃáｉｙùｎ名发财的运气：～亨通。也 称蜂、蚁等的窝：鸟～｜蜂～。ｃｈɑｏ）〈方〉动许多人乱说话：别瞎～了，②〈书〉吟诗。常用作待客时谦辞：～一杯，因用作读品，【不名誉】ｂùｍíｎ ɡｙù形对名誉有损害；【琤？②专指中式服装。 不必：自～言｜～细说，让开：～道旁。 【病候】ｂìｎɡｈòｕ名中医泛指疾病反映出来的各种症候。【菜 案】ｃàｉ’àｎ名炊事分工上指做菜的工作；再～就是听听音
(3)20x2+60x= 20x（x+3）= 20x(-3)(-3+3)=0。
第六环节 布置作业，巩固提高
思维拓展：
（1）若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),则 m= ,n= 。
（2）x2-8x+m=(x-4)( ),且m= 。
正好相反。
第四环节 范例学习，练习反馈
手工课上，老师给周杰伦同学发下一张如左图形 状的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪 拼成右图形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬 底，请问你能帮助周杰伦同学解决这个问题吗？ 能给出数学解释吗？
a
b
b
a
a+b
a
a–b
a2– b2 =（a + b）（a – b）
整数乘法
2×3×7= 42
42=2×3 ×7
因数分解
计算下列各式:
根据左面的算式填空:
(1) x(x-y)= _____ (1) x2-xy=_______
(2) a(a+1) = _____ (2) a2+a=______ (3) (m+4)(m-4)=____ (3) m2-16=_________ (4) (x-3)2= _______