1因式分解简单
因式分解之四大基本解法
因式分解之四大基本解法知识锦囊经典例题【必会考点1】提取公因式1．因式分解：2281012x y xy --【解答】解：原式222(456)x y xy =--2(43)(2)xy xy =+-．2．因式分解：324824m m m -+-．【解答】解：32248244(26)m m m m m m -+-=--+．3．因式分解：325()10()x y y x -+-．【解答】解：325()10()x y y x -+-325()10()x y x y =-+-25()[()2]x y x y =--+25()(2)x y x y =--+．4．因式分解：3()3()a x y b y x ---．【解答】解：3()3()a x y b y x ---3()3()a x y b x y =-+-3()()x y a b =-+．【必会考点2】公式法1．因式分解：（1）22169x y - （2）22222()4x y x y +-． 【解答】解：（1）原式22(4)(3)(43)(43)x y x y x y =-=+-；（2）原式222222(2)(2)()()x y xy x y xy x y x y =+++-=+-．2．分解因式：22(23)m m -+．【解答】解：原式(23)(23)m m m m =++--(33)(3)m m =+--3(1)(3)m m =-++．3．因式分解：2()6()9x y y x -+-+【解答】解：2()6()9x y y x -+-+2()6()9x y x y =---+2(3)x y =--．【必会考点3】提取公因式与公式法综合1．因式分解：（1）2x xy -； （2）329189x x x -+； 【解答】解：（1）22(1)(1)(1)x xy x y x y y -=-=+-；（2）322291899(21)9(1)x x x x x x x x -+=-+=-；2．因式分解：（1）244am am a -+； （2）22()()a x y b y x -+-． 【解答】解：（1）22242(44)(2)am am a a m m a m -+=-+=-；（2）2222()()()()()()()a x y b y x x y a b x y a b a b -+-=--=-+-．【必会考点3】分组分解法1．因式分解：2m my mx yx -+- 【解答】解：（3）2m my mx yx -+-2()()m my mx yx =-+-()()m m y x m y =-+-()()m y m x =-+.2．因式分解：2221b bc c -+-【解答】解：2221b bc c -+-2()1b c =--(1)(1)b c b c =-+--．【必会考点4】十字相乘法1．因式分解：（1）256x x +- （2）2234a ab b -- 【解答】解：（1）256(1)(6)x x x x +-=-+（2）2234a ab b --(4)()a b a b =-+．2．分解因式：2231x x -+【解答】解：2231(1)(21)x x x x -+=--.巩固练习1．因式分解：（1）2()3()m a b n b a ---； （2）2282()x x y --．2．分解因式：（1）()()x x a y a x -+- （2）321025x y x y xy -+3．因式分解：53242357a b c a b c a bc +-4．分解因式：222(4)16m m +-．5．分解因式（1）222(1)4a a +- （2）229()25()a b a b +--．6．因式分解：22436x xy x y -+-7．因式分解：22144a ab b -+-8．分解因式（1）2249x y - （2）2221x y y -+-9．分解因式：22221x y x y -+-．10．分解因式①226x x -- ②332x x -+11．分解因式：2228x xy y --．12．十字相乘法因式分解：（1）256x x ++ （2）256x x --（3）2231x x -+ （4）2656x x +-．13．因式分解：（1）23a b b -； （2）1n m mn -+-；（3）2221x x y -+-； （4）2()()()x y x y x y -++-14．把下列各式分解因式：（1）225x -； （2）2816a a -+；（3）2()9()x x y x y +-+； （4）3222a a b ab -+-．15．因式分解：（1）236x xy x -+； （2）3241628m m m -+-；（3）2318()12()a b b a ---．巩固练习解析1．因式分解：（1）2()3()m a b n b a ---； （2）2282()x x y --．【解答】解：（1）2()3()m a b n b a --- 2()3()m a b n a b =-+- ()(23)a b m n =-+；（2）2282()x x y --222[4()]x x y =-- 2(3)()x y x y =-+．2．（1）分解因式()()x x a y a x -+- （2）分解因式321025x y x y xy -+ 【解答】（1）解：()()x x a y a x -+- (x =x a -)(y -x a -) (=x a -)(x y -)；（2）解：321025x y x y xy -+ (xy =21025)x x -+ (xy =25)x -．3．因式分解：53242357a b c a b c a bc +- 【解答】解：原式322(57)a bc a b c ab =+-； 4．分解因式：222(4)16m m +-． 【解答】解：222(4)16m m +-22(44)(44)m m m m =+++- 22(2)(2)m m =+-．5．分解因式 （1）222(1)4a a +- （2）229()25()a b a b +--． 【解答】解：（1）222(1)4a a +-22(12)(12)a a a a =+++- 2(1)a =+2(1)a -； （2）229()25()a b a b +--[3()5()][3()5()]a b a b a b a b +=+--+- .4(4)(4)a b b a =--．6．因式分解：22436x xy x y -+- 【解答】解：原式2(2)3(2)x x y x y =-+- (2)(23)x y x =-+．7．22144a ab b -+-【解答】解：22144a ab b -+-221(44)a ab b =--+ 21(2)a b =--(12)(12)a b a b =+--+．8．分解因式 （1）2249x y - （2）2221x y y -+-【解答】解：（1）原式(23)(23)x y x y =-+； （2）原式22(21)x y y =--+22(1)x y =--(1)(1)x y x y =+--+．9．分解因式：22221x y x y -+-．【解答】解：原式222222(1)1(1)(1)(1)(1)(1)x y y y x y y x =-+-=-+=+-+． 10．分解因式 ①226x x -- ②332x x -+【解答】解：①226(23)(2)x x x x --=+-； ②332x x -+ 342x x x =-++ (2)(2)(2)x x x x =+-++2(2)(21)x x x =+-+ 2(2)(1)x x =+-．11．分解因式：2228x xy y --． 【解答】解：2228x xy y -- (4)(2)x y x y =-+．12．十字相乘法因式分解： （1）256x x ++ （2）256x x -- （3）2231x x -+ （4）2656x x +-．【解答】解：（1）原式(2)(3)x x =++； （2）原式(6)(1)x x =-+； （3）原式(21)(1)x x =--； （4）原式(23)(32)x x =+-． 13．因式分解： （1）23a b b -； （2）1n m mn -+-； （3）2221x x y -+-；（4）2()()()x y x y x y -++-【解答】解：（1）原式22()()()b a b b a b a b =-=-+；（2）原式(1)()(1)(1)(1)(1)n m mn n m n m n =-+-=-+-=+-；（3）原式2222(21)(1)(1)(1)x x y x y x y x y =-+-=--=---+；（4）原式()()2()x y x y x y x x y =--++=-．14．把下列各式分解因式：（1）225x -；（2）2816a a -+；（3）2()9()x x y x y +-+；（4）3222a a b ab -+-．【解答】解：（1）原式(5)(5)x x =+-；（2）原式2(4)a =-；（3）原式2()(9)x y x =+-()(3)(3)x y x x =++-；（4）原式22(2)a a ab b =--+2()a a b =--．15．因式分解：（1）236x xy x -+；（2）3241628m m m -+-；（3）2318()12()a b b a ---．【解答】解：（1）236(361)x xy x x x y -+=-+；（2）322416284(47)m m m m m m -+-=--+；（3）23218()12()6()(322)a b b a a b a b ---=-+-．。
专训1 因式分解的六种常见方法
专训1 因式分解的六种常见方法名师点金：因式分解的常用方法有：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)提公因式法与公式法的综合运用．在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提公因式法，然后考虑公式法．对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等．提公因式法公因式是单项式的因式分解1．若多项式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2分解因式，其中一个因式是－4x2y2，则另一个因式是( )A．3y＋4x－1 B．3y－4x－1 C．3y－4x＋1 D．3y－4x2．【2015·广州】分解因式：2－6＝．3．把下列各式分解因式：(1)2x2－；(2)－4m4n＋16m3n－28m2n.公因式是多项式的因式分解4．把下列各式分解因式：(1)a(b－c)＋c－b；(2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2.公式法直接用公式法5．把下列各式分解因式：(1)－16＋x4y4；(2)(x2＋y2)2－4x2y2；(3)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.先提公因式再用公式法6．把下列各式分解因式：(1)(x－1)＋b2(1－x)；(2)－3x7＋24x5－48x3.先局部再整体法7．分解因式：(x＋3)(x＋4)＋(x2－9)．先展开再分解法8．把下列各式分解因式：(1)x(x＋4)＋4；(2)4x(y－x)－y2.分组分解法9．观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学的因式分解：甲：x2－＋4x－4y＝(x2－)＋(4x－4y) (分成两组)＝x(x－y)＋4(x－y) (分别提公因式)＝(x－y)(x＋4). (再提公因式)乙：a2－b2－c2＋2＝a2－(b2＋c2－2) (分成两组)＝a2－(b－c)2(运用完全平方公式)＝(a＋b－c)(a－b＋c). (再用平方差公式)请你在他们的解法的启发下，把下列各式分解因式：(1)m2－＋－；(2)x2－2＋y2－9.拆、添项法10．分解因式：x4＋.11．先阅读下面的材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法，其实分解因式的方法还有拆项法等．拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2＋2x－3＝x2＋2x＋1－4＝(x＋1)2－22＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1)．请你仿照以上方法，分解因式：(1)x2－6x－7；(2)a2＋4－5b2.整体法“提”整体12．分解因式：a(x＋y－z)－b(z－x－y)－c(x－z＋y)．“当”整体13．分解因式：(x＋y)2－4(x＋y－1)．“拆”整体14．分解因式：(c2＋d2)＋(a2＋b2)．“凑”整体15．分解因式：x2－y2－4x＋6y－5.换元法16．分解因式：(1)(a2＋2a－2)(a2＋2a＋4)＋9；(2)(b2－b＋1)(b2－b＋3)＋1.答案1．B 2.2m(x－3y)3．解：(1)2x2－＝x(2x－y)．(2)－4m4n＋16m3n－28m2n＝－4m2n(m2－4m＋7)．点拨：如果一个多项式第一项含有“－”号，一般要将“－”号一并提出，但要注意括号里面的各项要改变符号．4．解：(1)原式＝a(b－c)－(b－c)＝(b－c)(a－1)．(2)原式＝15b(2a－b)2＋25(2a－b)2＝5(2a－b)2(3b＋5)．点拨：将多项式中的某些项变形时，要注意符号的变化．5．解：(1)原式＝x4y4－16＝(x2y2＋4)(x2y2－4)＝(x2y2＋4)(＋2)(－2)．(2)原式＝(x2＋y2＋2)(x2＋y2－2)＝(x＋y)2(x－y)2.(3)原式＝(x2＋6x＋9)2＝[(x＋3)2]2＝(x＋3)4.点拨：因式分解必须分解到不能再分解为止，如第(2)题不能分解到(x2＋y2＋2)(x2＋y2－2)就结束了．6．解：(1)原式＝(x－1)－b2(x－1)＝(x－1)(1－b2)＝(x－1)(1＋b)(1－b)．(2)原式＝－3x3(x4－8x2＋16)＝－3x3(x2－4)2＝－3x3(x＋2)2(x－2)2.7．解：原式＝(x＋3)(x＋4)＋(x＋3)·(x－3)＝(x＋3)[(x＋4)＋(x－3)]＝(x＋3)(2x＋1)．点拨：解此题时，表面上看不能分解因式，但通过局部分解后，发现有公因式可以提取，从而将原多项式因式分解．8．解：(1)原式＝x2＋4x＋4＝(x＋2)2.(2)原式＝4－4x2－y2＝－(4x2－4＋y2)＝－(2x－y)2.点拨：通过观察发现此题不能直接分解因式，但运用整式乘法法则展开后，便可以运用公式法分解．9．解：(1)m2－＋－＝(m2－)＋(－)＝m(m－n)＋x(m－n)＝(m－n)(m＋x)．(2)x2－2＋y2－9＝(x2－2＋y2)－9＝(x－y)2－9＝(x－y＋3)(x－y－3)．10．解：原式＝x4＋x2＋－x2＝－x2＝(x2－x＋)．点拨：此题直接分解因式很困难，考虑到添加辅助项使其符合公式特征，因此将原式添上x2与－x 2两项后，便可通过分组使其符合平方差公式的结构特征，从而将原多项式进行因式分解．11．解：(1)x2－6x－7＝x2－6x＋9－16＝(x－3)2－42＝(x－3＋4)(x－3－4)＝(x＋1)(x－7)．(2)a2＋4－5b2＝a2＋4＋4b2－9b2＝(a＋2b)2－(3b)2＝(a＋2b＋3b)(a＋2b－3b)＝(a＋5b)(a－b)．12．解：原式＝a(x＋y－z)＋b(x＋y－z)－c(x＋y－z)＝(x＋y－z)(a＋b－c)．13．解：原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4＝(x＋y－2)2.点拨：本题把x＋y这一整体“当”作完全平方公式中的字母a.14．解：原式＝2＋2＋2＋2＝(2＋2)＋(2＋2)＝(＋)＋(＋)＝(＋)(＋)．点拨：本题“拆”开原式中的两个整体，重新分组，可谓“柳暗花明”，出现转机．15．解：原式＝(x2－4x＋4)－(y2－6y＋9)＝(x－2)2－(y－3)2＝(x＋y－5)(x－y＋1)．点拨：这里巧妙地把－5拆成4－9.“凑”成(x2－4x＋4)和(y2－6y＋9)两个整体，从而运用公式法分解因式．16．解：(1)设a2＋2a＝m，则原式＝(m－2)(m＋4)＋9＝m2＋4m－2m－8＋9＝m2＋2m＋1＝(m＋1)2＝(a2＋2a＋1)2＝(a＋1)4.(2)设b2－b＝n，则原式＝(n＋1)(n＋3)＋1＝n2＋3n＋n＋3＋1＝n2＋4n＋4＝(n＋2)2＝(b2－b＋2)2.。
因式分解(一)
因式分解(一)撰稿：徐长明审稿：张扬责编：孙景艳一、目标认知学习目标：1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；2．能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式；3．会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；4．经历综合利用提公因式法和公式法将多项式因式分解的过程，发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯。
知识结构重点难点：重点：因式分解的概念及各种方法的使用条件。
难点：因式分解方法的综合应用。
二、知识要点梳理知识点一：因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，如：，等。
要点诠释：（1）因式分解的实质就是把加减形式化成乘积形式；（2）因式分解的过程和整式乘法的过程正好相反，即因式分解和整式乘法是互逆的，可表示为：多项式几个因式的乘积；（3）分解要彻底：即要使分解后每个因式（在我们所学的范围内）都不能再进行因式分解（不含有因式了）．知识点二：公因式的概念1、公因式的定义：在多项式中各项都有的因式叫做这个多项式的公因式．如：多项式中每项都含有因式k，则k就是这个多项式的公因式．2、公因式的特点：a．公因式的系数是原多项式各项系数的最大公约数；b．公因式中的字母是各项中都含有字母；c．公因式字母的次数是相同字母的最低次．也即：知识点三：提公因式法分解因式把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是，即，而正好是除以m所得的商，这种因式分解的方法叫提取公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即(ma＋mb＋mc)＝m(a＋b＋c)；（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式。
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号。
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误。
因式分解全部公式(一)
因式分解全部公式(一)因式分解全部公式一、一元二次方程的因式分解公式1. 公式一元二次方程的因式分解公式如下：ax^2 + bx + c = 02. 解释说明在解一元二次方程时，有时可以通过因式分解的方法来得到解的形式。
根据一元二次方程的因式分解公式，我们可以将方程化简为两个一次因式相乘的形式。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以使用因式分解的方法来求解。
通过观察可以发现，方程可简化为(x + 2)(x + 3) = 0。
由此可得出方程的解为x = -2或x = -3。
二、三角函数的因式分解公式1. 公式三角函数的因式分解公式如下：sin^2(x) + cos^2(x) = 12. 解释说明三角函数的因式分解公式是一个重要的恒等式。
根据该公式，三角函数的平方和等于1。
举例来说，对于一个正弦函数sin(x)，我们可以将其平方和sin^2(x)和余弦函数的平方和cos^2(x)相加，得到结果为1。
这表明在三角函数中，正弦和余弦函数是互补的，且两者的平方和始终为1。
三、多项式的因式分解公式1. 公式多项式的因式分解公式可以写为：a^n - b^n = (a - b)(a^(n-1) + a^(n-2)b + ... + b^(n -1))2. 解释说明多项式的因式分解公式可以帮助我们将一个多项式分解成更简单的乘积形式。
举例来说，对于多项式x^2 - 4，根据因式分解公式，我们可以将其分解为(x - 2)(x + 2)。
通过这种方法，我们可以将复杂的多项式简化为多个一次因式的乘积。
四、总结这篇文章介绍了因式分解的一些常用公式，并通过例子解释了它们的应用。
通过因式分解，我们可以将复杂的表达式转化为更简单的形式，从而更方便地进行计算和分析。
掌握这些公式对于数学和物理等领域的学习和应用都具有重要意义。
因式分解的方法口诀技巧
因式分解的方法口诀技巧因式分解的方法口诀“首先提取公因式，两项平方差公式，三项完全平方式，四项分组要合适。
首项负号要提负，某项整提莫漏1，结果必须连乘式，分解一定要彻底。
”方法1、一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
2、分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分解方式一般分为“1+3”式和“2+2”式。
三次方怎么因式分解设方程为(x+a)__(x+b)__(x+c)=0展开为X3+(a+b+c)X2+(ab+ac+bc)X+abc=0和原方程系数比较 X3 X2 X和常数项系数分别相等求出a b c即可1、如果多项式的首项为负，应先提取负号;这里的“负”，指“负号”。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。
2、如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式;要注意：多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1;提公因式要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
3、如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;4、如果用上述方法不能分解，再尝试用分组、拆项、补项法来分解。
口诀：先提首项负号，再看有无公因式，后看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适。
因式分解和分解因式的区别两者是没有区别的。
把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解,即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式,这种式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫作把这个多项式分解因式。
因式分解与分解因式是没有区别的，一样的概念。
把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用，是解决许多数学问题的有力工具。
(完整版)因式分解公式大全
公式及方法大全待定系数法(因式分解)待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．常用的因式分解公式：例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．求根法(因式分解)我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．双十字相乘法(因式分解)分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y 当作常数，于是上式可变形为 2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．笔算开平方对于一个数的开方，可以不用计算机，也不用查表，直接笔算出来，下面通过一个例子来说明如何笔算开平方，对于其它数只需模仿即可例求316.4841的平方根.第一步,先将被开方的数，从小数点位置向左右每隔两位用逗号，分段，如把数316.4841分段成3,16.48,41.第二步，找出第一段数字的初商，使初商的平方不超过第一段数字，而初商加1的平方则大于第一段数字，本例中第一段数字为3，初商为1，因为12=1<3，而(1+1)2=4>3.第三步，用第一段数字减去初商的平方，并移下第二段数字，组成第一余数，在本例中第一余数为216.第四步，找出试商，使(20×初商+试商)×试商不超过第一余数，而【20×初商+(试商+1)】×(试商+1)则大于第一余数.第五步，把第一余数减去(20×初商+试商)×试商，并移下第三段数字，组成第二余数，本例中试商为7，第二余数为2748.依此法继续做下去，直到移完所有的段数，若最后余数为零，则开方运算告结束.若余数永远不为零，则只能取某一精度的近似值.第六步，定小数点位置，平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐.本例的算式如下：根式的概念【方根与根式】数a的n次方根是指求一个数，它的n次方恰好等于a.a的n次方根记为(n为大于1的自然数).作为代数式，称为根式.n称为根指数，a称为根底数.在实数范围内，负数不能开偶次方，一个正数开偶次方有两个方根，其绝对值相同，符号相反.【算术根】正数的正方根称为算术根.零的算术根规定为零.【基本性质】由方根的定义，有根式运算【乘积的方根】乘积的方根等于各因子同次方根的乘积；反过来，同次方根的乘积等于乘积的同次方根，即≥0,b≥0)【分式的方根】分式的方根等于分子、分母同次方根相除，即≥0,b>0)【根式的乘方】≥0)【根式化简】≥0)≥0,d≥0)≥0,d≥0)【同类根式及其加减运算】根指数和根底数都相同的根式称为同类根式，只有同类根式才可用加减运算加以合并.进位制的基与数字任一正数可表为通常意义下的有限小数或无限小数，各数字的值与数字所在的位置有关，任何位置的数字当小数点向右移一位时其值扩大10倍，当小数点向左移一位时其值缩小10倍.例如一般地，任一正数a可表为这就是10进数，记作a(10)，数10称为进位制的基，式中ai在{0,1,2,L,9}中取值，称为10进数的数字，显然没有理由说进位制的基不可以取其他的数.现在取q为任意大于1的正整数当作进位制的基，于是就得到q进数表示(1)式中数字ai在{0,1,2,...,q-1}中取值，a n a n-1...a1a0称为q 进数a(q)的整数部分，记作[a(q)];a-1a-2 ...称为a(q)的分数部分，记作{a(q)}.常用进位制，除10进制外，还有2进制、8进制、16进制等，其数字如下2进制 0, 18进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 716进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9各种进位制的相互转换1 q→10转换适用通常的10进数四则运算规则，根据公式(1)，可以把q进数a(q)转换为10进数表示.例如2 10→q转换转换时必须分为整数部分和分数部分进行. 对于整数部分其步骤是：(1) 用q去除[a(10)]，得到商和余数.(2) 记下余数作为q进数的最后一个数字.(3) 用商替换[a(10)]的位置重复(1)和(2)两步，直到商等于零为止.对于分数部分其步骤是：(1)用q去乘{a(10)}.(2)记下乘积的整数部分作为q进数的分数部分第一个数字.(3)用乘积的分数部分替换{a(10)}的位置，重复(1)和(2)两步，直到乘积变为整数为止，或直到所需要的位数为止.例如：103.118(10)=147.074324 (8)整数部分的草式分数部分的草式3 p→q转换通常情况下其步骤是：a(p)→a(10)→a(q).如果p,q是同一数s 的不同次幂，其步骤是：a(p)→a(s)→a(q).例如，8进数127.653(8)转换为16进数时，由于8=23，16=24，所以s=2，其步骤是：首先把8进数的每个数字根据8-2转换表转换为2进数(三位一组)127.653(8)=001 010 111.110 101 011(2)然后把2进数的所有数字从小数点起(左和右)每四位一组分组，从16-2转换表中逐个记下对应的16进数的数字，即正多边形各量换算公式n为边数R为外接圆半径 a为边长爎为内切圆半径为圆心角 S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表各量正三角形n为边数R为外接圆半径a为边长爎为内切圆半径为圆心角 S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表各正三角正方形正五边形正六边正n边量形形形图形Sa RR ar或许你还对作图感兴趣：正多边形作图所谓初等几何作图问题，是指使用无刻度的直尺和圆规来作图.若使用尺规有限次能作出几何图形，则称为作图可能，或者说欧几里得作图法是可能的，否则称为作图不可能.很多平面图形可以用直尺和圆规作出，例如上面列举的正五边形、正六边形、正八边形、正十边形等.而另一些就不能作出，例如正七边形、正九边形、正十一边形等，这些多边形只能用近似作图法.如何判断哪些作图可能，哪些作图不可能呢？直到百余年前，用代数的方法彻底地解决了这个问题，即给出一个关于尺规作图可能性的准则：作图可能的充分必要条件是，这个作图问题中必需求出的未知量能够由若干已知量经过有限次有理运算及开平方运算而算出.几千年来许多数学家耗费了不少的精力，企图解决所谓“几何三大问题”：立方倍积问题，即作一个立方体，使它的体积二倍于一已知立方体的体积.三等分角问题，即三等分一已知角.化圆为方问题，即作一正方形，使它的面积等于一已知圆的面积.后来已严格证明了这三个问题不能用尺规作图.代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．1．利用因式分解方法求值因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x 后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．解已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1．说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．例2 已知a，b，c为实数，且满足下式：a2+b2+c2=1，①求a+b+c的值．解将②式因式分解变形如下即所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0．若bc+ac+ab=0，则(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1，所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0，1，-1．说明本题也可以用如下方法对②式变形：即前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式．2．利用乘法公式求值例3 已知x+y=m，x3+y3=n，m≠0，求x2+y2的值．解因为x+y=m，所以m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy，所以求x2+6xy+y2的值．分析将x，y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x，y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算出x+y 与xy的值，由此得到以下解法．解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy=(x+y)2+4xy3．设参数法与换元法求值如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法．分析本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．x＝(a-b)k，y＝(b-c)k，z＝(c-a)k．所以x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．u+v+w=1，①由②有把①两边平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1，所以u2+v2+w2=1，即两边平方有所以4．利用非负数的性质求值若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．例8 若x2-4x+|3x-y|=-4，求y x的值．分析与解x，y的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解．因为x2-4x+|3x-y|=-4，所以x2-4x＋4＋|3x-y|=0，即 (x-2)2+|3x-y|=0．所以 y x=62=36．例9 未知数x，y满足(x2＋y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0，其中m，n表示非零已知数，求x，y的值．分析与解两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式．将已知等式变形为m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0，(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0，即(mx-y)2+(my-n)2=0．5．利用分式、根式的性质求值分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明．例10 已知xyzt=1，求下面代数式的值：分析直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．解根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．同理分析计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，计算反而复杂．因为这样一来，原式的对称性就被破坏了．这里所言的对称性是分利用这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算．同样(但请注意算术根！)将①，②代入原式有练习六2．已知x+y=a，x2+y2=b2，求x4+y4的值．3．已知a-b+c=3，a2+b2+c2=29，a3+b3+c3=45，求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．5．设a+b+c=3m，求(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值．8．已知13x2-6xy+y2-4x+1=0，求(x+y)13·x10的值．。
初中因式分解10个公式
初中因式分解10个公式，让你轻松应对代数题目初中数学中，因式分解是一个重要的概念。
它不仅在代数运算中经常出现，还可以用于求解方程、化简算式等。
下面我们介绍十个常见的因式分解公式，让你轻松应对代数题目。
1.两个数的乘积公式：(a+b)×(a-b)=a²-b²这个公式的理解非常简单，可以用图形来表示。
如下图所示，一个正方形的面积是a²，它的两个对角线的平方和是2b²。
根据勾股定理可知，这两个对角线的平方和等于正方形的对角线的平方，即2b²=c²。
因此，正方形的面积可以表示为a²-b²。
2.三个数的乘积公式：(a+b+c)×(a+b-c)×(a-b+c)×(-a+b+c)=(a²+b²+c²)×2这个公式看起来比较复杂，但只需要按照一定顺序展开即可。
具体展开方式可以参考下面这个图：3.平方差公式：a²-b²=(a+b)×(a-b)这个公式也很容易理解，相当于在两个数的和与差之间建立了一条桥梁。
如果知道其中一个，就可以算出另外一个。
4.完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²这个公式的理解也可以用图形表示。
如下图所示，一个正方形的面积是(a+b)²，它可以拆分成两个小正方形和两个矩形。
其中两个小正方形的面积分别为a²和b²，两个矩形的面积相等，都是2ab，因此(a+b)²=a²+2ab+b²。
5.完全立方公式：a³+b³=(a+b)×(a²-ab+b²)这个公式不仅可以用于因式分解，还可以用于求解一些立方数。
例如，如果想求解8的立方根，可以将8表示成2³，然后使用这个公式计算。
1因式分解PPT课件(北师大版)
9
99
解析:利用因式分解可以简化计算.原式= 6+2)= 7 ×9=7.故填7.
79×(13-
9
所以993-99能被100整除.
学习新知
因式分解的概念
视察下面的拼图过程,写出相应的关系式.
解答:(1)ma+mb+mc=m(a+b+c). (2)x2+2x+1=(x+1)2.
像这样,把一个多项式化成 几个整式的积的情势,这种变
形叫做因式分解.因式分解也 可称为分解因式.
(教材做一做)计算下列各式:
为止.
思考:因式分解与整式乘法有什么关系?举例说明.
课堂小结
1.把一个多项式化成几个整式的积的情势,这种变 形叫做因式分解,因式分解也可称为分解因式.
2.因式分解与整式乘法是互逆过程.
3.因式分解要注意以下几点: (1)分解的对象必须是多项式; (2)分解的结果一定是几个整式的乘积的情势; (3)要分解到不能分解为止.
(1)3x(x-1)=
;
(2)m(a+b-1)=
;
(3)(m+4)(m-4)=
;
(4)(y-3)2=
.பைடு நூலகம்
根据上面的算式进行因式分解: (1)3x2-3x=( )( ); (2)ma+mb-m=( )( ); (3)m2-16=( )( ); (4)y2-6y+9=( )( ).
[知识拓展] 对于因式 分解应注意以下几点:(1) 分解的对象必须是多项 式;(2)分解的结果一定是 几个整式的乘积的情 势;(3)要分解到不能分解
八年级数学·下 新课标[北师]
第四章 因式分解
学习新知
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一、选择题（每小题3分，共15分）
1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为( )
A. bx ax b a x -=-)(
B. 222)1)(1(1y x x y x ++-=+-
C. )1)(1(12-+=-x x x
D. c b a x c bx ax ++=++)( 2．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A. 2
2
)(b a -+ B. mn m 2052- C. 2
2y x -- D. 92
+-x
3．如果2592
++kx x 是一个完全平方式，那么k 的值是（ ）
A. ±30
B. 30
C. 15
D. ±5 4．下列各式从左到右的变形错误的是( )
A.22)()(y x x y -=-
B.)(b a b a +-=--
C.33)()(a b b a --=-
D.)(n m n m +-=+- 5．下列各式中，与
相等的是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（每小题4分，共20分）
6．3
223129y x y x +中各项的公因式是_______ ___.
7．m bm am =+( )；-=--1x ( )；-=+-a c b a （ ）。
8．因式分解：__________________________2733
=-x x 。
9．利用因式分解计算：=-2
2
199201 .
10．若()()2
310x x x a x b --=++，则__________=+b a ，__________=ab 。
三、分解因式（每小题6分，共24分）
11.（1）x x 422
- （2）222y y x -
（3）3632
+-a a （4）()()x y y y x x -+-
四、解答题（共41分）
12．先化简，后求值，其中21
==-xy y x ，（12分） （1）32232xy y x y x +- （2）22y x +
13．利用分解因式方法计算：31414.04.314.514.332⨯+⨯+⨯ （7分）
14．在三个整式xy x 22
+，xy y 22
+，2
x 中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，
使所得整式可以因式分解，并进行因式分解。
（7分）
15．已知c b a 、、是△ABC 的三边的长，且满足0)(22222=+-++c a b c b a ，
试判断此三角形的形状。
（7分）
16．对于任意整数，()2
2
11n n -+能被11整除吗？为什么？（8分）
参考答案
一、选择题（每小题3分，共15分） 1、C 2、D 3、A 4、D 5、B
二、填空题（每小题4分，共20分）
6、2
23y x ； 7、b a + ，1+x ，c b - 8、)3)(3(3-+x x x ；9、800 ；10、-3，-10 三、解答题（每小题6分，共24分） 11、（1）解：原式)2(2-=x x
（2）解：原式)1)(1()1(2
22-+=-=x x y x y （3）解：原式2
2)1(3)12(3-=+-=a a a
（4）解：原式2
)())(()()(y x y x y x y x y y x x -=--=--- 四、解答题（共41分）
12、（6分）（1）解：原式2
22)()2(y x xy y xy x xy -=+-= ∵ 2,1==-xy y x ∴ 原式2122
=⨯=
（6分）（2）解：原式xy y x xy xy y x 2)(22222+-=+-+= ∵ 2,1==-xy y x ∴ 原式52212
=⨯+= 13、（7分）
解：原式31410014.3)145432(14.314.31414.35414.332=⨯=++⨯=⨯+⨯+⨯= 14、（7分）解：选取：2
x 与xy y 22+进行相加可得整式：222y xy x ++ ∴ 原式2)(y x += 15、（7
分）解：∵ 0)(22222=+-++c a b c b a ∴
0222222=--+++bc ab c b b a
∴ 0222
222=+-++-c bc b b ab a 即：0)()(22=-+-c b b a ∵ 2)(b a -≥0 ，2)(c b -≥0 ∴ 0,0=-=-c b b a ∴ c b a == ∴ △ABC 是等边三角形
16、（8分）解：())112(11)11)(11(112
2
+=-+++=-+n n n n n n n
∴()2
2
11n n -+能被11整除。