第9讲 因式分解(一)

第九讲 因式分解（一）知识模块一、因式分解的概念 知识梳理：因式分解m 因式分解整式乘积+1=x (1+1x)不是因式分解例1．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）A ．3ab (a +b )=3a 2b +3ab 2B ．2x 2+4x =2x 2(1+2x) C ．a 2−4b 2=(a +2b )(a −2b ) D ．3x 2−6xy +3x =3x (x −2y )+3x例2．（1）一个多项式分解因式的结果是(b 3+2)(2−b 3)，那么这个多项式是（ ）A ．b 6−4B ．4−b 6C ．b 6+4D ．−b 6−4（2）若多项式x 2+ax +b 可因式分解为(x +1)(x −2)，求a +b 的值为 。

知识模块二、提公因式法例3．(1)因式分解：8x3y2+12xy3z=4xy2( )+4xy2( )=4xy2( + ).（2）因式分解：−14abc−7ab+49ab2c= 。

例4．（1）因式分解：2a(b+c)−3(b+c)=( )• (b+c)− ( )• (b+c)=( − )• (b+c)（2）因式分解：3x(a−b)−6y(b−a)= ；（3）因式分解：m(x+y)+n(x+y)−x−y= ；（4）因式分解：x(a−b)2n+y(b−a)2n+1= ；知识模块三、公式法知识梳理公式法：逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法。

（1）平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)；（2）完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2−2ab+b2=(a−b)2；（3）完全立方公式：a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3；a3−3a2b+3ab2−b3=(a−b)3；（4）立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)；（5）立方差公式：a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)。

例5．（1）因式分解：4a2−9=( )2−( )2=( + ) ( − )（2）因式分解：−a2+4ab−4b2=−( )=−[( )2−2( )•( )+( )2]=−( )2；（3）因式分解：−x3−2x2−x= ；（4）因式分解：9a2(x−y)+4b2(y−x)= ；（5）因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2= ；例6．（1）分解因式：8x3+27y3+36x2y+54xy2；（2）分解因式：a6+b6；（3）分解因式：9x5−72x2y3。

知识模块四、分组分解法知识梳理一、分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法二、步骤一般地，分组分解大致分为三步：1．将原式的项适当分组；2．对每一组进行处理(“提”或“代”)；3．将经过处理的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解。

在进行分组分解时，不仅要看到第二步，而且要看到第三步。

三、四项多项式常见的分组方法1．两两分组：一般配合的基本方法是——提公因式法和平方差公式法；2．一三分组：一般配合的基本方法是——完全平方公式法和平方差公式法。

例7．（1）分解因式：ab−ac+bc−b2；（2）分解因式：x2−1+y2+2xy；（3）分解因式：a3+a3b−a2b2−ab2。

例8．（1）分解因式：x3+y3+2x2+4xy+2y2；（2）分解因式：4a2−b2+c2−9d2+4ac+6bd；（3）分解因式：x3+x2+x−y3−y2−y。

随堂测试1．下列从左到右的变形中，哪些是分解因式?哪些不是?（1）24x2y=4x•6xy；（2）(x+5)(x−5)=x2−25；（3）x2+2x−3=(x+3)(x−1)；（4）9x2−6x+1=3x(3x−2)+1；（5）x2+1=x(x+1x )。

2．（1）因式分解：a3−10a2+25a；（2）因式分解：4x2−64。

3．（1）因式分解：4b2c2−(b2+c2)2；（2）因式分解：16m4−72m2+81。

4．分解因式：xy−x−y+1。

5．分解因式：ac2+bd2−ad2−bc2.参考答案例题精选：例1．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A．3ab(a+b)=3a2b+3ab2B．2x2+4x=2x2(1+2 x )C．a2−4b2=(a+2b)(a−2b) D．3x2−6xy+3x=3x(x−2y)+3x答案：C；例2．（1）一个多项式分解因式的结果是(b3+2)(2−b3)，那么这个多项式是（）A．b6−4 B．4−b6C．b6+4 D．−b6−4（2）若多项式x2+ax+b可因式分解为(x+1)(x−2)，求a+b的值为。

解：（1）选B；(b3+2)(2−b3)= (2+b3)(2−b3)=22−(b3)2=4−b6.（2）x2+ax+b=(x+1)(x−2)=x2−x−2，所以a=−1，b=−2，a+=−3.例3．(1)因式分解：8x3y2+12xy3z=4xy2( )+4xy2( )=4xy2( + ).（2）因式分解：−14abc−7ab+49ab2c= 。

解：（1）8x3y2+12xy3z=4xy2(2x2)+4xy2(3yz)=4xy2(2x2+3yz).（2）−14abc−7ab+49ab2c=−7ab(2c+1−7bc)例4．（1）因式分解：2a(b+c)−3(b+c)=( )• (b+c)− ( )• (b+c)=( − )• (b+c)（2）因式分解：3x(a−b)−6y(b−a)= ；（3）因式分解：m(x+y)+n(x+y)−x−y= ；（4）因式分解：x(a−b)2n+y(b−a)2n+1= ；解：（1）因式分解：2a(b+c)−3(b+c)=(2a)• (b+c)− (3)• (b+c)=(2a−3)(b+c)（2）3x(a−b)−6y(b−a)=3(a−b)(x+2y)；（3）m(x+y)+n(x+y)−x−y=(x+y)(m+n−1)；（4）x(a−b)2n+y(b−a)2n+1=(a−b)2n(x−a+b)。

例5．（1）因式分解：4a2−9=( )2−( )2=( + ) ( − )（2）因式分解：−a2+4ab−4b2=−( )=−[( )2−2( )•( )+( )2]=−( )2；（3）因式分解：−x3−2x2−x= ；（4）因式分解：9a2(x−y)+4b2(y−x)= ；（5）因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2= ；解：（1）因式分解：4a2−9=(2a)2−(3)2=(2a+3) (2a−3)（2）因式分解：−a2+4ab−4b2=−(a2−4ab+4b2)=−[(a)2−2(a)•(2b)+(2b)2]=−(a−2b)2；（3）−x3−2x2−x=−x(x2+2x+1)=−x(x+1)2；（4）9a2(x−y)+4b2(y−x)=(x−y)(9a2−4b2)=(x−y)(3a+2b)(3a−2b)；（5）(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1] [(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)。

例6．（1）分解因式：8x3+27y3+36x2y+54xy2；（2）分解因式：a6+b6；（3）分解因式：9x5−72x2y3。

解：（1）8x3+27y3+36x2y+54xy2=(2x+3y)3；（2）a6+b6=(a3+b3)(a3−b3)=(a+b)(a2−ab+b2)(a−b)(a2+ab+b2)；（3）9x5−72x2y3=9x2(x3−8y3)=9x2(x−2y)(x2+2xy+4y2)。

例7．（1）分解因式：ab−ac+bc−b2；（2）分解因式：x2−1+y2+2xy；（3）分解因式：a3+a3b−a2b2−ab2。

解：（1）ab−ac+bc−b2=a(b−c)+b(c−b)=(b−c)(a−b)；（2）x2−1+y2+2xy=(x2+2xy+y2)−1=(x+y)2−1=(x+y+1)(x+y−1)；（3）a3+a3b−a2b2−ab2=a(a2+ab2−ab2−b2)=a[(a+b)(a−b)+ab(b−a)]=a(a−b)(a+b−ab)。

例8．（1）分解因式：x3+y3+2x2+4xy+2y2；（2）分解因式：4a2−b2+c2−9d2+4ac+6bd；（3）分解因式：x3+x2+x−y3−y2−y。

解：（1）x3+y3+2x2+4xy+2y2=(x+y)(x2−xy+y2)+2(x+y)2=(x+y)(x2−xy+y2+2x+2y)；（2）4a2−b2+c2−9d2+4ac+6bd=(4a2+4ac+c2)−(b2−6bd+9d2)=(2a+c)2−(b−3d)2=(2a+c+b−3d)(2a+c−b+3d)；（3）x3+x2+x−y3−y2−y=(x−y)(x2+xy+y2)+(x+y)(x−y)+(x−y)=(x−y)(x2+xy+y2+x+y+1)。

随堂测试1．下列从左到右的变形中，哪些是分解因式?哪些不是?（1）24x2y=4x•6xy；（2）(x+5)(x−5)=x2−25；（3）x2+2x−3=(x+3)(x−1)；（4）9x2−6x+1=3x(3x−2)+1；（5）x2+1=x(x+1x )。

解：其中只有（3）是因式分解，其余四个都不是因式分解。

2．（1）因式分解：a3−10a2+25a；（2）因式分解：4x2−64。

解：（1）a3−10a2+25a=a(a2−10a+25)=a(a−5)2；（2）4x2−64=4(x+4)(x−4)。

3．（1）因式分解：4b2c2−(b2+c2)2；（2）因式分解：16m4−72m2+81。

解：（1）4b2c2−(b2+c2)2=(2bc+b2+c2)(2bc−b2−c2)=−(b+c)2(b−c)2；（2）16m4−72m2+81=(4m2−9)2=(2m+3)2(2m−3)2。

4．分解因式：xy−x−y+1。

解：xy−x−y+1=x(y−1)−(y−1)=(y−1)(x−1)。

5．分解因式：ac2+bd2−ad2−bc2.解：ac2+bd2−ad2−bc2=a(c2−d2)−b(c2−d2)=(c2−d2)(a−b)=(c+d)(c−d)(a−b)。