第四讲因式分解(一)
第四章因式分解第一节因式分解
第四章因式分解第一节因式分解【学习目标】(1) 了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系(2) 通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养观察能力和语言概括能 力. (3) 通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，了解事物间的因果联系 【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合. 【学习重难点】重点：1.理解因式分解的意义.2.识别分解因式与整式乘法的关系. 难点：通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系 . 【学习过程】模块一 预习反馈 一•学习准备1. ________________________________________ 因式分解是：把 的形式。
2•请同学们阅读教材，预习过程中请注意：⑴不懂的地方要用红笔标记符号； ⑵完成你力所能及的随堂练习和习题;二•教材精读： 1、 整式乘法公式类：(a b)(a _b)= ____________ (a - b)2 = ______________ (a_b)2 ______ (1) 单单：3<4ab= _____________ (2) 单多：a(3a-5b)= ________________ (3) 多多：(x-3y)(2x y) = ___________________ (4) 混合乘：a(a 1)(a -1) = _______________ 2、 把一个多项式化成 ___________ 的形式，这种变形叫做把这个多项式 _______ 如：⑴ a 2 -b 2=(a b)(a -b) ⑵ a 2 2ab b 2 = (a b)2⑶ a 2 -2ab b 2=(a-b)2 ⑷ 3a 2 -5ab =a(3a - 5b) (5) a 3 -a =a(a 1)(a -1)定义解析：(1)等式左边必须是 ________________(2) 分解因式的结果必须是以 —的形式表示；(3) 分解因式必须分解到每个因式都有不能分解为止。
专题4.1 因式分解-提公因式(知识解读)(解析版)
专题4.1 因式分解-提公因式（知识解读）【学习目标】1. 使学生了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法之间的联系．2. 了解公因式和提公因式的方法，会用提公因式法分解因式．3. 理解因式分解的最后结果是每个因式都不能分解．4. 在探索提供公式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透划归的思想方法．【知识点梳理】考点1：因式分解1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．2.掌握其定义应注意以下几点：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；（2）因式分解必须是恒等变形；（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．考点2：公因式像多项式pa + pb + pc ，它的各项都有一个公共的因式p ，我们把这个公共因式p叫做这个多项式各项的公因式注意：公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；考点3：提公因式提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．注意：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．【典例分析】【考点1 因式分解定义】【典例1】（2022春•洪江市期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）A．x（a﹣b）＝ax﹣bx B．2x2﹣2x+1＝2x（x﹣1）+1C．x2﹣9＝（x﹣3）（x+3）D．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1【答案】C【解答】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故不符合题意；B．右边是整式和的形式不是最简整式的乘积形式，不属于因式分解，故不符合题意；C．右边是最简整式的乘积形式，故符合题意；D．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故不符合题意；故选：C．【变式1-1】（2022春•泗阳县期末）下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（ ）A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1B．ab+ac+1＝a（b+c）+1C．6ab＝2a•3b D．a2﹣8a+16＝（a﹣4）2【答案】D【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；B、没有把多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、等号左边不是一个多项式，故本选项不符合题意；D、符合因式分解的定义，故本选项符合题意．故选：D．【变式1-2】（2022春•秦都区期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）A．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）B．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1C．6x2y＝2x•3y2D．（y﹣1）（y﹣2）＝y2﹣3y【答案】A【解答】解：A．把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项符合题意；B．没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项不符合题意；C．等号左侧不是多项式，不是因式分解，故此选项不符合题意；D．没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项不符合题意；故选：A．【变式1-3】（2022春•姜堰区期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1B．x2﹣4y2＝（x﹣4y）（x+4y）C．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1D．x2+4x+4＝（x+2）2【答案】D【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意B、左边不等于右边的多项式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；C、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；D、符合因式分解的定义，故本选项符合题意．故选：D．【考点2 公因式】【典例2】（2022秋•大荔县期末）24ab与4ab2的公因式是（ ）A．4B．4a C．4ab D．4ab2【答案】C【解答】解：24ab与4ab2的公因式是4ab．故选：C．【变式2-1】（2022春•清城区校级期中）多项式12ab2c+8a3b的公因式是（ ）A．4a2B．4abc C．2a2D．4ab【答案】D【解答】解：12ab2c+8a3b＝4ab（3bc+2a2），4ab是公因式，故选：D．【变式2-2】（2022春•蒲城县期末）多项式6xy+3x2y﹣4x2yz3各项的公因式是（ ）A．xy B．2xz C．3xy D．3yz【答案】A【解答】解：6xy+3x2y﹣4x2yz3＝xy（6+3x﹣4xz3），故多项式6xy+3x2y﹣4x2yz3各项的公因式是xy．故选：A．【变式2-3】（2022春•滦南县期末）在m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x）中，公因式是（ ）A．m B．m（a﹣x）C．m（a﹣x）（b﹣x）D．（a﹣x）（b﹣x）【答案】C【解答】解：m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x），＝m（a﹣x）（x﹣b）+mn（a﹣x）（x﹣b），＝m（a﹣x）（x﹣b）（1+n）＝﹣m（a﹣x）（b﹣x）（1+n），故选：C．【典例3】（2022春•桂平市期中）多项式x2﹣4y2与x2+4xy+4y2的公因式是（ ）A．x﹣4y B．x+4y C．x﹣2y D．x+2y【答案】D【解答】解：∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），x2+4xy+4y2＝（x+2y）2，∴多项式x2﹣4y2与x2+4xy+4y2的公因式是x+2y．故选：D．【变式3-1】（2022秋•乳山市期中）多项式x2y+2xy与x2y﹣4y的公因式是（ ）A．y B．x+2C．x﹣2D．y（x+2）【答案】D【解答】解：x2y+2xy＝xy（x+2），x2y﹣4y＝y（x+2）（x﹣2），∴多项式x2y+2xy与x2y﹣4y的公因式是y（x+2）．故选：D．【变式3-2】（2022秋•海兴县期末）多项式ax2﹣4a与多项式2x2﹣8x+8的公因式是（ ）A．x﹣2B．x+2C．x2﹣2D．x﹣4【答案】A【解答】．解：ax2﹣4a＝a（x2﹣4）＝a（x+2）（x﹣2）2x2﹣8x+8＝2（x2﹣4x+4）＝2（x﹣2）2，∴公因式是（x﹣2）．故选：A【考点3 提公因式】【典例4】（2022春•乐安县期中）分解因式：（1）a（x﹣2y）﹣b（2y﹣x）；（2）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2．【解答】解：（1）a（x﹣2y）﹣b（2y﹣x）＝a（x﹣2y）+b（x﹣2y）＝（x﹣2y）（a+b）；（2）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2．＝x（x+y）[x﹣y﹣（x+y）]＝x（x+y）（x﹣y﹣x﹣y）＝﹣2xy（x+y）．【变式4-1】（2022秋•白云区期末）分解因式：（1）2y+3xy；（2）2（a+2）+3b（a+2）．【解答】解：（1）原式＝y（2+3x）；（2）原式＝（a+2）（2+3b）．【变式4-2】（2022春•源城区校级期中）分解因式：x（m+n）﹣y（n+m）+（m+n）．【解答】解：x（m+n）﹣y（n+m）+（m+n）＝x（m+n）﹣y（m+n）+（m+n）＝（m+n）（x﹣y+1）．【变式4-3】（2022秋•东城区校级月考）分解因式：y（2a﹣b）+x（b﹣2a）．【解答】解：原式＝y（2a﹣b）﹣x（2a﹣b）＝（2a﹣b）（y﹣x）．【变式4-4】（2022春•桂平市期中）将下列多项式因式分解：（1）2x2﹣6x；（2）﹣6a2+12a﹣6；（3）4x2﹣（y2﹣4y+4）．【解答】解：（1）2x2﹣6x＝2x（x﹣3）；（2）﹣6a2+12a﹣6＝﹣6（a2﹣2a+1）＝﹣6（a﹣1）2；（3）4x2﹣（y2﹣4y+4）＝4x2﹣（y﹣2）2＝（2x+y﹣2）（2x﹣y+2）．【典例5】（2022春•济阳区期末）边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为（ ）A．15B．30C．60D．120【答案】B【解答】解：由题意得：2（a+b）＝10，ab＝6，∴a+b＝5，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝6×5＝30，故选：B．【变式5】（2022•播州区二模）如图，矩形的周长为10，面积为6，则m2n+mn2的值是 ．【答案】30【解答】解：根据题意得：2（m+n）＝10，mn＝6，整理得：m+n＝5，mn＝6，则原式＝mn（m+n）＝6×5＝30．故答案为：30．。
第4讲 一元二次方程的解法-因式分解法
第4讲 一元二次方程的解法(四)----因式分解法知识要点梳理:1.分解因式的方法有：提公因式法、利用平方差公式分解因式、利用完全平方公式分解因式、十字相乘法、分组分解法等2.因式分解法解一元二次方程的原理：000==⇔=b a ab 或预习引入：将下列各式分解因式（1）y y 22-（2）942-x （3）2222+-x x（4）862+-x x（5）y y x x 2422--+经典例题例1：用因式分解法解下列方程：(1) t (2t －1)＝3(2t －1)；(2) y 2＋7y ＋6＝0(3)(2x －1)(x －1)＝1．（4）0)34()43(22=---x x例2：用适当方法解下列方程： (1)3(1－x )2＝27； (2)x 2－6x －19＝0；(3)3x 2＝4x ＋1； (4)y 2－15＝2y ；(5)5x (x －3)－(x －3)(x ＋1)＝0； (6)4(3x ＋1)2＝25(x －2)2．例3．解关于x 的方程：(1)x 2－4ax ＋3a 2＝1－2a ； (2)x 2＋5x ＋k 2＝2kx ＋5k ＋6；(3)x 2－2mx －8m 2＝0； (4)x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＝0．经典练习：一．选择题(1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )A ．x 1＝－16，x 2＝8B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－8(2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )A ．．x ＝21B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝－1(3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( )A ．x 1＝53，x 2＝3 B ．x ＝53C ．x 1＝－53，x 2＝－3 D ．x 1＝53，x 2＝－3(4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对(5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝5(6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．－4D ．4(7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( )A ．5B ．5或11C ．6D ．11 *(8)方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3二．填空题(1)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．(2)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．(4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．(5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．三．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋12x ＝0； (2)4x 2－1＝0； (3)x 2＝7x ；(4)x 2－4x －21＝0； (5)(x －1)(x ＋3)＝12； (6)3x 2＋2x －1＝0；(7)10x2－x－3＝0；(8)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．4．用适当方法解下列方程：(1)x2－4x＋3＝0； (2)(x－2)2＝256； (3)x2－3x＋1＝0；(4)x2－2x－3＝0； (5)(2t＋3)2＝3(2t＋3)；(6)(3－y)2＋y2＝9； (7)(1＋2)x2－(1－2)x＝0；(8)5x2－(52＋1)x＋10＝0； (9)2x2－8x＝7(10)(x＋5)2－2(x＋5)－8＝0．拓展练习1．已知x 2＋3xy －4y 2＝0(y ≠0)，试求y x yx +-的值．2．已知(x 2＋y 2)(x 2－1＋y 2)－12＝0．求x 2＋y 2的值．3．为解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1＝y ，则y 2＝(x 2－1)2，原方程化为y 2－5y ＋4＝0，解此方程，得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2－1＝1，x 2＝2，∴x ＝±2．当y ＝4时，x 2－1＝4，x 2＝5，∴x ＝±5．∴原方程的解为x 1＝－2，x 2＝2，x 3＝－5，x 4＝5．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．(1)运用上述方法解方程：x 4－3x 2－4＝0．(2)既然可以将x 2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗巩固作业：1．分别用三种方法来解以下方程（1）x2-2x-8=0 (2)3x2-24x=0用因式分解法：用配方法：用公式法：用因式分解法：用配方法：用公式法：2．已知x2＋3x＋5的值为9，试求3x2＋9x－2的值．3.当x取何值时，能满足下列要求？（1）3x2－6的值等于21；（2）3x2－6的值与x－2的值相等.4.一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h(单位：米)与所用的时间t(单位：秒)的关系式h＝－5(t－2)(t＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．。
因式分解(一)四中
北京四中撰稿: 张红编审：赵云洁因式分解――提公因式法（一）、内容提要多项式因式分解是代数式中的重要内容，它与第一章整式和后一章分式联系极为密切。
因式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的，它为今后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础。
因式分解的概念是把一个多项式化成n个整式的积的形式，它是整式乘法运算的逆过程，而提公因式法是因式分解的最基本的也是最常见的方法。
它的理论依据就是乘法的分配律。
运用这个方法，首先要对欲分解的多项式进行考察，提出字母系数的公因数以及公有字母或公共因式中的最高公因式。
[知识要点]1．了解因式分解的意义和要求2．理解公因式的概念3．掌握提公因式的概念，并且能够运用提公因式法分解因式（二）、例题分析例1．下列从左到右的变形，属于因式分解的有（）1.(x+1)(x-2)=x2-x-22.ax-ay-a=a(x-y)-a3.6x2y3=2x2·3y34.x2-4=(x+2)(x-2)5.9a3-6a2+3a=3a(3a2-2a)A、0个B、1个C、2个D、3个分析：从左到右，式1是整式乘法；式2右端不是积的形式；式3中左右两边的均是单项式，原来就是乘积形式，我们说的因式分解，指的是将多项式分解成n个整式的乘积形式；式5的右边括号内漏掉了“1”这项；只有式4是正确的。
解：B例2．把-3a2b3+6a3b2c+3a2b分解因式分析：如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的。
此题各项系数的最大公约数是3，相同字母的最低次项是a2b.解：-3a2b3+6a3b2c+3a2b=-(3a2b3-6a3b2c-3a2b)=-3a2b(b2-2abc-1)评注：当公因式和原多项式中某项相同时提公因式后，该项应为1或-1，而不是零。
1作为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，为防止错误，可利用因式分解是乘法运算的逆过程的原理来检查。
北师大版八年级下册第四章第一节因式分解课件(共19张PPT)
练习
下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( D )
A．a2＋1＝a(a＋ 1 )
a
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1 C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1 D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
知识回顾
1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式
a(m+n)= am+an .
因式分解 整式乘法
即：多项式 噲垐因整垐式式垐分乘解法垎垐 整式乘积．
(x＋1)(x－1)
随堂练习
1、下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？
(1) (a＋3)(a－3)＝a2－9 ；
整式乘法
(2) m2－4＝(m＋2)(m－2)；
因式分解
(3) a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1；
x2+2x+1
(x+1)2
新 知 学 习 观察我们所得到的三个式子，它们有什么共同特征？
a3－a=a(a2-1)=a(a-1)(a+1) ma+mb+mc=m(a+b+c) x2+2x+1=(x+1)2
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.
要求：１.是一种恒等变形 2.变形对象：是 多项式 ; 3.变形过程：由 和 变成 积 的形式 4.变形的结果：是几个 整式 的积 5.分解结果中的每个因式不能再分
整式乘法
根据左面的算式填空:
3x2-3x=( 3x )( x-1 )
ma+mb+mc=( m)( a+b+c ) m2-16 =( m+4 )( m-4 ) y2-6y+9 =( y-3 )2
4因式分解
【思路点拨】确定公式中的a,b,应用完全平方公式因式分解.
【自主解答】因为a2-2a+1=a2-2·a·1+12,所以直接应用完全平方公 式即可:a2-2a+1=(a-1)2. 答案:(a-1)2
命题角度4:先提公因式再应用公式法 【例5】(1)(2015·杭州中考)因式分解:m3n-4mn= (2)(2015·威海中考)因式分解:-2x2y+12xy-18y= . .
.
7.(2014·常州中考)因式分解:x3-9xy2=
【解析】x3-9xy2=x(x2-9y2)=x(x-3y)(x+3y).
.
答案:x(x-3y)(x+3y)
8.(2015·东营中考)因式分解:4+12(x-y)+9(x-y)2= 【解析】4+12(x-y)+9(x-y)2
.
=22+2×2×3(x-y)+[3(x-y)]2
数.
(2)取各项相同的字母(或多项式因式)作为公因式的字母(或多项式), 相同字母(或多项式)取最低次幂.
热点考向二:运用公式法因式分解
【考情分析】
运用公式法因式分解的层级为应用,在各地中考试题中均有体现,是因
式分解的一个重要考向,一般与提公因式法结合一起考查,以选择题或 填空题形式呈现.
命题角度1:考查公式的结构特征
D.x2-2x+1=(x-1)2,故此选项正确.
【特别提醒】公式特征
1.平方差公式:是一个二项式,且两项的符号相反,并且都能写出一个
数或式子的平方的形式.
2.完全平方公式:是一个三项式,首尾两项分别是两个数或式子的平方, 且项的符号相同,中间一项是首尾两项底数的积的2倍,符号正负都可.
七年级(上)数学培优班--第4讲 因式分解--(配方、拆添项、双十字、主元)---学生版
第四讲因式分解（拆添项、配方、双十字、主元）拆添项一、拆项与添项：拆项：把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和，叫做拆项，如22232a a a =-； 添项：在代数式中填上两个相反项，叫做添项，如221221a a a a +=+-+. 拆项和添项都是代数式的恒等变形.在对所给多项式直接分组难以进行因式分解时，常常可以通过拆项或添项的变形，创造出提取公因式或运用乘法公式进行因式分解的条件，使原式的某些项之间能够建立起联系，便于采用分组法进行因式分解.这种通过拆项或添项来进行因式分解的方法，形式多样，技巧性较灵活，因此具有一定的难度，需要同学们通过多做练习来掌握.【铺垫1】 ★★☆☆☆分解因式：387x x -+【例题1】 ★★★☆☆分解因式：（1）32x x +-（2）414x x --（3）42201820172018x x x +++配方法二、配方法：（1）定义：在代数式中，利用添项的方法，将原多项式配上某些需要的缺项，使添项后的多项式的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．（2）方法：配方主要是配中项2ab ，或配一个平方项2b （或2a ）．如何配方依赖于对题目特点的观察和分析．应用配方法进行因式分解时，常将多项式配成平方差公式22A B -的形式，使多项式可分解为()()A B A B -+的形式．【铺垫2】 ★☆☆☆☆分解因式：421x x ++【例题2】 ★★☆☆☆分解因式：（1）444x y + （2）4259x x ++ （3）422423a a b b -+【例题3】 ★★★☆☆4322321x x x x ++++【悬赏题】 ★★★★☆分解因式：51x x ++【悬赏题】 ★★★★☆分解因式：()444x y x y +++双十字相乘双十字相乘法：⑴适用范围：双十字相乘法适用于对形如FEyDxCyBxyAx+++++22的二次多项式进行因式分解.⑵条件：①21aaA=，21ccC=，21ffF=②Bcaca=+1221，Efcfc=+1221，Dfafa=+1221即：1a x1c y1f2a x2c y2f则=+++++FEyDxCyBxyAx22111222()()++++a x c y f a x c y f⑶步骤：①用十字相乘法分解二次三项式()()221122Ax Bxy Cy a x c y a x c y++=++，用十字交叉线表示（共两列）；②用十字相乘法分解二次三项式()()21122Cy Ey F c y f c y f++=++，继续用十字交叉线表示，即把常数项F分解成两个因式填在第三列上.③用十字相乘法分解二次三项式2Ax Dx F++，检验是否等于()()1122a x f a x f++，若相等，则双十字相乘法分解因式成功.(4) 特殊情况：形如432Ax Bx Cx Dx E++++一元四次五项式．即：21a x1c x1e22a x2c x2e其中，12A a a=，1221B a c a c=+，1221D c e c e=+，12E e e=，特别的，121221C c c a e a e=++．【铺垫3】★☆☆☆☆分解因式：22232543x xy y yz zx z+++++.模块三【例题4】 ★★☆☆☆双十字相乘法分解因式： （1）226136x xy y x y ---+-（2）2221076142712x xy y xz yz z ---+-【例题5】 ★★☆☆☆双十字相乘法分解因式： （1）2256x y x y -++- （2）225624x xy y y -++-【例题6】 ★★★☆☆双十字相乘法分解因式： （1）4322656x x x x ++++ （2）432273108x x x x +++-注：关于x 的四次五项式的因式分解方法很多，个人理解，一般以系数的特征来区分用法， 如43222533x x x x ++++，一二项系数相同，四五项系数也相同，而第三项系数等于前后系数之和的，直接选用拆中项分组分解，得()()4322222333x x x x x +++++；如4325251x x x x ++++，一三五可配方，选用分组分解，得()()4232155x x x x ++++；如4323266x x x x -++-，系数相加为0，选用试根法，根为1，具体在后面讲次会讲解； 再比如还有待定系数法解决一般的四次五项式，不过所有方法中，相对而言双十字相乘法会更加便捷的解决一般的四次五项式，建议在这着重练习.主元十字主元十字法实际上属于分组分解法中的一类，方法是以某个字母为主（看作主元），把这个多项式看成关于主元的二次三项式，再用十字相乘法进行因式分解.【铺垫4】 ★★☆☆☆分解因式：32221a b a b ab a ++++.【例题7】 ★★★☆☆用主元法分解因式：（1）222a bc ac acd abd cd d ++--- （2）2222222x y y z z x x z y x z y xyz -+-++-模块四【例题8】 ★★★☆☆分解因式：()()()2211221y y x x y y +++++..【悬赏题】 ★★★★☆分解因式：()()()()()2222221ab x y a b xy a b x y ---+-++【练习1】 分解因式：（1）332x x -+ （2）3212x x +- （3）3231x x -+【练习2】 分解因式：（1）32212x x x ---（2）32201820182017x x x +++ （3）42676x x x ---【练习3】 分解因式：（1）4414x y +（2）422416x x y y -+ （3）42204x x -+【练习4】 分解因式：224443x x y y --+-【练习5】 分解因式：4422222221x y x y x y +---+【练习6】 分解因式：43241x x x x +-++【练习7】 分解因式：（1）222332x xy y x y +++++ （2）22215196x xy y x y +-+-- （3）2220918183314x xy y x y +--+- （4）22xy y x y ++--【练习8】 分解因式：（1）432391112x x x x ++++ （2）432922x x x x --++11 【练习9】 ★★★☆☆分解因式：（1）432223816x x x x +--+ （2）4212312224x x x -+-【练习10】 分解因式：（1）322232b ab a b ac c ++++ （2）222324x y xy x xy y +++-- （3）23322222a x ax ax x ax +++--。
因式分解(共4课时) ppt课件
这些计算过程中都逆用了平方差公式
即：a2 b2 a ba b
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a2 b2 a ba b
此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为：
两个数的平方差等于这两个 数的和与这两个数的差的积。
尝试练习(对下列各式因式分解)：
① a2 – 9 = ______(_a_+_3_)_(a_–_3_)_____ ② 49 – n2 = _____(_7_+_n_)_(7_–_n_)_____ ③ 5s2 – 20t2 = ___5_(_s_+_2_t)_(_s–_2_t_)___ ④ 100x2 – 9y2 =_(1_0_x_+__3_y)_(_1_0_x_–_3_y_)
还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？
平方差公式： a ba b a2 b2
完全平方公式：aaa
bbb222
aaa222
2ab 22aabb
bbb222
计 算
x 2x 2 __x_2___4__
： 5 a2 _a_2__1_0_a__2_5_
悦崃中学 王军
第1 课时
第2 3 课时
Байду номын сангаасPPT课件
第4 课时
1
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2
教学目标
1.理解因式分解与整式乘法的区别 2.懂得寻找公因式，正确运用提公因式法进
行因式分解。 3.培养学生善于类比归纳的能力。
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复习回顾
口答：
xx 1 __x_2___x__ x 1x 1 ___x_2 __1__ 2x3x 7 _6_x_2__1_4_x_
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第四讲 因式分解(一)
一、分组分解
例1：分解因式
1.322392727xaxxaa 2.221194nnyxx
练习：
1.已知ABC的三边满足4222240abcacb，试判定ABC的形状.
2.已知正整数a、b、c满足27aabacbc，求ac的值
3.已知正数a、b、c满足ababbcbcaccaa，求
(1)(1)(1)abc
的值
例2：分解因式：
1.22536xxyxyy 2.2231092xxyyxy
2
练习：分解因式
1.2225326xxyyxy 2.226136xxyyxy
二、换方法分解因式
例3：分解因式
1.(1)(2)(3)(4)24xxxx 2.2(1)(2)(3)(6)xxxxx
练习：分解因式
1.2(1)(3)(5)12xxx 2.2(61)(21)(31)(1)xxxxx
3.42424(41)(31)10xxxxx
例4：分解因式
432
653856xxxx
2
例5：分解因式
222222
2xyyzzxxzyxzyxy
练习：分解因式
1.22223345abcabacbc
2.222222444222abacbcabc
例6：分解因式
2
()(2)(1)xyzxyxyxy
练习：分解因式
1.21(1)(3)2()(1)2xyxyxyxyxy
2.444()xyxy