第四讲因式分解(一)
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第四讲 因式分解(一)
一、分组分解
例1：分解因式
1.322392727xaxxaa 2.221194nnyxx
练习：
1.已知ABC的三边满足4222240abcacb，试判定ABC的形状.
2.已知正整数a、b、c满足27aabacbc，求ac的值
3.已知正数a、b、c满足ababbcbcaccaa，求
(1)(1)(1)abc
的值
例2：分解因式：
1.22536xxyxyy 2.2231092xxyyxy
2
练习：分解因式
1.2225326xxyyxy 2.226136xxyyxy
二、换方法分解因式
例3：分解因式
1.(1)(2)(3)(4)24xxxx 2.2(1)(2)(3)(6)xxxxx
练习：分解因式
1.2(1)(3)(5)12xxx 2.2(61)(21)(31)(1)xxxxx
3.42424(41)(31)10xxxxx
例4：分解因式
432
653856xxxx
2
例5：分解因式
222222
2xyyzzxxzyxzyxy
练习：分解因式
1.22223345abcabacbc
2.222222444222abacbcabc
例6：分解因式
2
()(2)(1)xyzxyxyxy
练习：分解因式
1.21(1)(3)2()(1)2xyxyxyxyxy
2.444()xyxy
第四章因式分解第一节因式分解
第四章因式分解第一节因式分解【学习目标】(1) 了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系(2) 通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养观察能力和语言概括能 力. (3) 通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，了解事物间的因果联系 【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合. 【学习重难点】重点：1.理解因式分解的意义.2.识别分解因式与整式乘法的关系. 难点：通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系 . 【学习过程】模块一 预习反馈 一•学习准备1. ________________________________________ 因式分解是：把 的形式。
2•请同学们阅读教材，预习过程中请注意：⑴不懂的地方要用红笔标记符号； ⑵完成你力所能及的随堂练习和习题;二•教材精读： 1、 整式乘法公式类：(a b)(a _b)= ____________ (a - b)2 = ______________ (a_b)2 ______ (1) 单单：3<4ab= _____________ (2) 单多：a(3a-5b)= ________________ (3) 多多：(x-3y)(2x y) = ___________________ (4) 混合乘：a(a 1)(a -1) = _______________ 2、 把一个多项式化成 ___________ 的形式，这种变形叫做把这个多项式 _______ 如：⑴ a 2 -b 2=(a b)(a -b) ⑵ a 2 2ab b 2 = (a b)2⑶ a 2 -2ab b 2=(a-b)2 ⑷ 3a 2 -5ab =a(3a - 5b) (5) a 3 -a =a(a 1)(a -1)定义解析：(1)等式左边必须是 ________________(2) 分解因式的结果必须是以 —的形式表示；(3) 分解因式必须分解到每个因式都有不能分解为止。
专题4.1 因式分解-提公因式(知识解读)(解析版)
专题4.1 因式分解-提公因式（知识解读）【学习目标】1. 使学生了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法之间的联系．2. 了解公因式和提公因式的方法，会用提公因式法分解因式．3. 理解因式分解的最后结果是每个因式都不能分解．4. 在探索提供公式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透划归的思想方法．【知识点梳理】考点1：因式分解1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．2.掌握其定义应注意以下几点：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；（2）因式分解必须是恒等变形；（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．考点2：公因式像多项式pa + pb + pc ，它的各项都有一个公共的因式p ，我们把这个公共因式p叫做这个多项式各项的公因式注意：公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；考点3：提公因式提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．注意：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．【典例分析】【考点1 因式分解定义】【典例1】（2022春•洪江市期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）A．x（a﹣b）＝ax﹣bx B．2x2﹣2x+1＝2x（x﹣1）+1C．x2﹣9＝（x﹣3）（x+3）D．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1【答案】C【解答】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故不符合题意；B．右边是整式和的形式不是最简整式的乘积形式，不属于因式分解，故不符合题意；C．右边是最简整式的乘积形式，故符合题意；D．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故不符合题意；故选：C．【变式1-1】（2022春•泗阳县期末）下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（ ）A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1B．ab+ac+1＝a（b+c）+1C．6ab＝2a•3b D．a2﹣8a+16＝（a﹣4）2【答案】D【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；B、没有把多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、等号左边不是一个多项式，故本选项不符合题意；D、符合因式分解的定义，故本选项符合题意．故选：D．【变式1-2】（2022春•秦都区期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）A．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）B．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1C．6x2y＝2x•3y2D．（y﹣1）（y﹣2）＝y2﹣3y【答案】A【解答】解：A．把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项符合题意；B．没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项不符合题意；C．等号左侧不是多项式，不是因式分解，故此选项不符合题意；D．没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项不符合题意；故选：A．【变式1-3】（2022春•姜堰区期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1B．x2﹣4y2＝（x﹣4y）（x+4y）C．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1D．x2+4x+4＝（x+2）2【答案】D【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意B、左边不等于右边的多项式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；C、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；D、符合因式分解的定义，故本选项符合题意．故选：D．【考点2 公因式】【典例2】（2022秋•大荔县期末）24ab与4ab2的公因式是（ ）A．4B．4a C．4ab D．4ab2【答案】C【解答】解：24ab与4ab2的公因式是4ab．故选：C．【变式2-1】（2022春•清城区校级期中）多项式12ab2c+8a3b的公因式是（ ）A．4a2B．4abc C．2a2D．4ab【答案】D【解答】解：12ab2c+8a3b＝4ab（3bc+2a2），4ab是公因式，故选：D．【变式2-2】（2022春•蒲城县期末）多项式6xy+3x2y﹣4x2yz3各项的公因式是（ ）A．xy B．2xz C．3xy D．3yz【答案】A【解答】解：6xy+3x2y﹣4x2yz3＝xy（6+3x﹣4xz3），故多项式6xy+3x2y﹣4x2yz3各项的公因式是xy．故选：A．【变式2-3】（2022春•滦南县期末）在m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x）中，公因式是（ ）A．m B．m（a﹣x）C．m（a﹣x）（b﹣x）D．（a﹣x）（b﹣x）【答案】C【解答】解：m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x），＝m（a﹣x）（x﹣b）+mn（a﹣x）（x﹣b），＝m（a﹣x）（x﹣b）（1+n）＝﹣m（a﹣x）（b﹣x）（1+n），故选：C．【典例3】（2022春•桂平市期中）多项式x2﹣4y2与x2+4xy+4y2的公因式是（ ）A．x﹣4y B．x+4y C．x﹣2y D．x+2y【答案】D【解答】解：∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），x2+4xy+4y2＝（x+2y）2，∴多项式x2﹣4y2与x2+4xy+4y2的公因式是x+2y．故选：D．【变式3-1】（2022秋•乳山市期中）多项式x2y+2xy与x2y﹣4y的公因式是（ ）A．y B．x+2C．x﹣2D．y（x+2）【答案】D【解答】解：x2y+2xy＝xy（x+2），x2y﹣4y＝y（x+2）（x﹣2），∴多项式x2y+2xy与x2y﹣4y的公因式是y（x+2）．故选：D．【变式3-2】（2022秋•海兴县期末）多项式ax2﹣4a与多项式2x2﹣8x+8的公因式是（ ）A．x﹣2B．x+2C．x2﹣2D．x﹣4【答案】A【解答】．解：ax2﹣4a＝a（x2﹣4）＝a（x+2）（x﹣2）2x2﹣8x+8＝2（x2﹣4x+4）＝2（x﹣2）2，∴公因式是（x﹣2）．故选：A【考点3 提公因式】【典例4】（2022春•乐安县期中）分解因式：（1）a（x﹣2y）﹣b（2y﹣x）；（2）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2．【解答】解：（1）a（x﹣2y）﹣b（2y﹣x）＝a（x﹣2y）+b（x﹣2y）＝（x﹣2y）（a+b）；（2）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2．＝x（x+y）[x﹣y﹣（x+y）]＝x（x+y）（x﹣y﹣x﹣y）＝﹣2xy（x+y）．【变式4-1】（2022秋•白云区期末）分解因式：（1）2y+3xy；（2）2（a+2）+3b（a+2）．【解答】解：（1）原式＝y（2+3x）；（2）原式＝（a+2）（2+3b）．【变式4-2】（2022春•源城区校级期中）分解因式：x（m+n）﹣y（n+m）+（m+n）．【解答】解：x（m+n）﹣y（n+m）+（m+n）＝x（m+n）﹣y（m+n）+（m+n）＝（m+n）（x﹣y+1）．【变式4-3】（2022秋•东城区校级月考）分解因式：y（2a﹣b）+x（b﹣2a）．【解答】解：原式＝y（2a﹣b）﹣x（2a﹣b）＝（2a﹣b）（y﹣x）．【变式4-4】（2022春•桂平市期中）将下列多项式因式分解：（1）2x2﹣6x；（2）﹣6a2+12a﹣6；（3）4x2﹣（y2﹣4y+4）．【解答】解：（1）2x2﹣6x＝2x（x﹣3）；（2）﹣6a2+12a﹣6＝﹣6（a2﹣2a+1）＝﹣6（a﹣1）2；（3）4x2﹣（y2﹣4y+4）＝4x2﹣（y﹣2）2＝（2x+y﹣2）（2x﹣y+2）．【典例5】（2022春•济阳区期末）边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为（ ）A．15B．30C．60D．120【答案】B【解答】解：由题意得：2（a+b）＝10，ab＝6，∴a+b＝5，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝6×5＝30，故选：B．【变式5】（2022•播州区二模）如图，矩形的周长为10，面积为6，则m2n+mn2的值是 ．【答案】30【解答】解：根据题意得：2（m+n）＝10，mn＝6，整理得：m+n＝5，mn＝6，则原式＝mn（m+n）＝6×5＝30．故答案为：30．。
第4讲 一元二次方程的解法-因式分解法
第4讲 一元二次方程的解法(四)----因式分解法知识要点梳理:1.分解因式的方法有：提公因式法、利用平方差公式分解因式、利用完全平方公式分解因式、十字相乘法、分组分解法等2.因式分解法解一元二次方程的原理：000==⇔=b a ab 或预习引入：将下列各式分解因式（1）y y 22-（2）942-x （3）2222+-x x（4）862+-x x（5）y y x x 2422--+经典例题例1：用因式分解法解下列方程：(1) t (2t －1)＝3(2t －1)；(2) y 2＋7y ＋6＝0(3)(2x －1)(x －1)＝1．（4）0)34()43(22=---x x例2：用适当方法解下列方程： (1)3(1－x )2＝27； (2)x 2－6x －19＝0；(3)3x 2＝4x ＋1； (4)y 2－15＝2y ；(5)5x (x －3)－(x －3)(x ＋1)＝0； (6)4(3x ＋1)2＝25(x －2)2．例3．解关于x 的方程：(1)x 2－4ax ＋3a 2＝1－2a ； (2)x 2＋5x ＋k 2＝2kx ＋5k ＋6；(3)x 2－2mx －8m 2＝0； (4)x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＝0．经典练习：一．选择题(1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )A ．x 1＝－16，x 2＝8B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－8(2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )A ．．x ＝21B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝－1(3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( )A ．x 1＝53，x 2＝3 B ．x ＝53C ．x 1＝－53，x 2＝－3 D ．x 1＝53，x 2＝－3(4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对(5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝5(6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．－4D ．4(7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( )A ．5B ．5或11C ．6D ．11 *(8)方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3二．填空题(1)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．(2)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．(4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．(5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．三．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋12x ＝0； (2)4x 2－1＝0； (3)x 2＝7x ；(4)x 2－4x －21＝0； (5)(x －1)(x ＋3)＝12； (6)3x 2＋2x －1＝0；(7)10x2－x－3＝0；(8)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．4．用适当方法解下列方程：(1)x2－4x＋3＝0； (2)(x－2)2＝256； (3)x2－3x＋1＝0；(4)x2－2x－3＝0； (5)(2t＋3)2＝3(2t＋3)；(6)(3－y)2＋y2＝9； (7)(1＋2)x2－(1－2)x＝0；(8)5x2－(52＋1)x＋10＝0； (9)2x2－8x＝7(10)(x＋5)2－2(x＋5)－8＝0．拓展练习1．已知x 2＋3xy －4y 2＝0(y ≠0)，试求y x yx +-的值．2．已知(x 2＋y 2)(x 2－1＋y 2)－12＝0．求x 2＋y 2的值．3．为解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1＝y ，则y 2＝(x 2－1)2，原方程化为y 2－5y ＋4＝0，解此方程，得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2－1＝1，x 2＝2，∴x ＝±2．当y ＝4时，x 2－1＝4，x 2＝5，∴x ＝±5．∴原方程的解为x 1＝－2，x 2＝2，x 3＝－5，x 4＝5．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．(1)运用上述方法解方程：x 4－3x 2－4＝0．(2)既然可以将x 2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗巩固作业：1．分别用三种方法来解以下方程（1）x2-2x-8=0 (2)3x2-24x=0用因式分解法：用配方法：用公式法：用因式分解法：用配方法：用公式法：2．已知x2＋3x＋5的值为9，试求3x2＋9x－2的值．3.当x取何值时，能满足下列要求？（1）3x2－6的值等于21；（2）3x2－6的值与x－2的值相等.4.一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h(单位：米)与所用的时间t(单位：秒)的关系式h＝－5(t－2)(t＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．。
因式分解(一)四中
北京四中撰稿: 张红编审：赵云洁因式分解――提公因式法（一）、内容提要多项式因式分解是代数式中的重要内容，它与第一章整式和后一章分式联系极为密切。
因式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的，它为今后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础。
因式分解的概念是把一个多项式化成n个整式的积的形式，它是整式乘法运算的逆过程，而提公因式法是因式分解的最基本的也是最常见的方法。
它的理论依据就是乘法的分配律。
运用这个方法，首先要对欲分解的多项式进行考察，提出字母系数的公因数以及公有字母或公共因式中的最高公因式。
[知识要点]1．了解因式分解的意义和要求2．理解公因式的概念3．掌握提公因式的概念，并且能够运用提公因式法分解因式（二）、例题分析例1．下列从左到右的变形，属于因式分解的有（）1.(x+1)(x-2)=x2-x-22.ax-ay-a=a(x-y)-a3.6x2y3=2x2·3y34.x2-4=(x+2)(x-2)5.9a3-6a2+3a=3a(3a2-2a)A、0个B、1个C、2个D、3个分析：从左到右，式1是整式乘法；式2右端不是积的形式；式3中左右两边的均是单项式，原来就是乘积形式，我们说的因式分解，指的是将多项式分解成n个整式的乘积形式；式5的右边括号内漏掉了“1”这项；只有式4是正确的。
解：B例2．把-3a2b3+6a3b2c+3a2b分解因式分析：如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的。
此题各项系数的最大公约数是3，相同字母的最低次项是a2b.解：-3a2b3+6a3b2c+3a2b=-(3a2b3-6a3b2c-3a2b)=-3a2b(b2-2abc-1)评注：当公因式和原多项式中某项相同时提公因式后，该项应为1或-1，而不是零。
1作为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，为防止错误，可利用因式分解是乘法运算的逆过程的原理来检查。
北师大版八年级下册第四章第一节因式分解课件(共19张PPT)
练习
下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( D )
A．a2＋1＝a(a＋ 1 )
a
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1 C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1 D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
知识回顾
1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式
a(m+n)= am+an .
因式分解 整式乘法
即：多项式 噲垐因整垐式式垐分乘解法垎垐 整式乘积．
(x＋1)(x－1)
随堂练习
1、下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？
(1) (a＋3)(a－3)＝a2－9 ；
整式乘法
(2) m2－4＝(m＋2)(m－2)；
因式分解
(3) a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1；
x2+2x+1
(x+1)2
新 知 学 习 观察我们所得到的三个式子，它们有什么共同特征？
a3－a=a(a2-1)=a(a-1)(a+1) ma+mb+mc=m(a+b+c) x2+2x+1=(x+1)2
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.
要求：１.是一种恒等变形 2.变形对象：是 多项式 ; 3.变形过程：由 和 变成 积 的形式 4.变形的结果：是几个 整式 的积 5.分解结果中的每个因式不能再分
整式乘法
根据左面的算式填空:
3x2-3x=( 3x )( x-1 )
ma+mb+mc=( m)( a+b+c ) m2-16 =( m+4 )( m-4 ) y2-6y+9 =( y-3 )2
4因式分解
【思路点拨】确定公式中的a,b,应用完全平方公式因式分解.
【自主解答】因为a2-2a+1=a2-2·a·1+12,所以直接应用完全平方公 式即可:a2-2a+1=(a-1)2. 答案:(a-1)2
命题角度4:先提公因式再应用公式法 【例5】(1)(2015·杭州中考)因式分解:m3n-4mn= (2)(2015·威海中考)因式分解:-2x2y+12xy-18y= . .
.
7.(2014·常州中考)因式分解:x3-9xy2=
【解析】x3-9xy2=x(x2-9y2)=x(x-3y)(x+3y).
.
答案:x(x-3y)(x+3y)
8.(2015·东营中考)因式分解:4+12(x-y)+9(x-y)2= 【解析】4+12(x-y)+9(x-y)2
.
=22+2×2×3(x-y)+[3(x-y)]2
数.
(2)取各项相同的字母(或多项式因式)作为公因式的字母(或多项式), 相同字母(或多项式)取最低次幂.
热点考向二:运用公式法因式分解
【考情分析】
运用公式法因式分解的层级为应用,在各地中考试题中均有体现,是因
式分解的一个重要考向,一般与提公因式法结合一起考查,以选择题或 填空题形式呈现.
命题角度1:考查公式的结构特征
D.x2-2x+1=(x-1)2,故此选项正确.
【特别提醒】公式特征
1.平方差公式:是一个二项式,且两项的符号相反,并且都能写出一个
数或式子的平方的形式.
2.完全平方公式:是一个三项式,首尾两项分别是两个数或式子的平方, 且项的符号相同,中间一项是首尾两项底数的积的2倍,符号正负都可.
七年级(上)数学培优班--第4讲 因式分解--(配方、拆添项、双十字、主元)---学生版
第四讲因式分解（拆添项、配方、双十字、主元）拆添项一、拆项与添项：拆项：把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和，叫做拆项，如22232a a a =-； 添项：在代数式中填上两个相反项，叫做添项，如221221a a a a +=+-+. 拆项和添项都是代数式的恒等变形.在对所给多项式直接分组难以进行因式分解时，常常可以通过拆项或添项的变形，创造出提取公因式或运用乘法公式进行因式分解的条件，使原式的某些项之间能够建立起联系，便于采用分组法进行因式分解.这种通过拆项或添项来进行因式分解的方法，形式多样，技巧性较灵活，因此具有一定的难度，需要同学们通过多做练习来掌握.【铺垫1】 ★★☆☆☆分解因式：387x x -+【例题1】 ★★★☆☆分解因式：（1）32x x +-（2）414x x --（3）42201820172018x x x +++配方法二、配方法：（1）定义：在代数式中，利用添项的方法，将原多项式配上某些需要的缺项，使添项后的多项式的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．（2）方法：配方主要是配中项2ab ，或配一个平方项2b （或2a ）．如何配方依赖于对题目特点的观察和分析．应用配方法进行因式分解时，常将多项式配成平方差公式22A B -的形式，使多项式可分解为()()A B A B -+的形式．【铺垫2】 ★☆☆☆☆分解因式：421x x ++【例题2】 ★★☆☆☆分解因式：（1）444x y + （2）4259x x ++ （3）422423a a b b -+【例题3】 ★★★☆☆4322321x x x x ++++【悬赏题】 ★★★★☆分解因式：51x x ++【悬赏题】 ★★★★☆分解因式：()444x y x y +++双十字相乘双十字相乘法：⑴适用范围：双十字相乘法适用于对形如FEyDxCyBxyAx+++++22的二次多项式进行因式分解.⑵条件：①21aaA=，21ccC=，21ffF=②Bcaca=+1221，Efcfc=+1221，Dfafa=+1221即：1a x1c y1f2a x2c y2f则=+++++FEyDxCyBxyAx22111222()()++++a x c y f a x c y f⑶步骤：①用十字相乘法分解二次三项式()()221122Ax Bxy Cy a x c y a x c y++=++，用十字交叉线表示（共两列）；②用十字相乘法分解二次三项式()()21122Cy Ey F c y f c y f++=++，继续用十字交叉线表示，即把常数项F分解成两个因式填在第三列上.③用十字相乘法分解二次三项式2Ax Dx F++，检验是否等于()()1122a x f a x f++，若相等，则双十字相乘法分解因式成功.(4) 特殊情况：形如432Ax Bx Cx Dx E++++一元四次五项式．即：21a x1c x1e22a x2c x2e其中，12A a a=，1221B a c a c=+，1221D c e c e=+，12E e e=，特别的，121221C c c a e a e=++．【铺垫3】★☆☆☆☆分解因式：22232543x xy y yz zx z+++++.模块三【例题4】 ★★☆☆☆双十字相乘法分解因式： （1）226136x xy y x y ---+-（2）2221076142712x xy y xz yz z ---+-【例题5】 ★★☆☆☆双十字相乘法分解因式： （1）2256x y x y -++- （2）225624x xy y y -++-【例题6】 ★★★☆☆双十字相乘法分解因式： （1）4322656x x x x ++++ （2）432273108x x x x +++-注：关于x 的四次五项式的因式分解方法很多，个人理解，一般以系数的特征来区分用法， 如43222533x x x x ++++，一二项系数相同，四五项系数也相同，而第三项系数等于前后系数之和的，直接选用拆中项分组分解，得()()4322222333x x x x x +++++；如4325251x x x x ++++，一三五可配方，选用分组分解，得()()4232155x x x x ++++；如4323266x x x x -++-，系数相加为0，选用试根法，根为1，具体在后面讲次会讲解； 再比如还有待定系数法解决一般的四次五项式，不过所有方法中，相对而言双十字相乘法会更加便捷的解决一般的四次五项式，建议在这着重练习.主元十字主元十字法实际上属于分组分解法中的一类，方法是以某个字母为主（看作主元），把这个多项式看成关于主元的二次三项式，再用十字相乘法进行因式分解.【铺垫4】 ★★☆☆☆分解因式：32221a b a b ab a ++++.【例题7】 ★★★☆☆用主元法分解因式：（1）222a bc ac acd abd cd d ++--- （2）2222222x y y z z x x z y x z y xyz -+-++-模块四【例题8】 ★★★☆☆分解因式：()()()2211221y y x x y y +++++..【悬赏题】 ★★★★☆分解因式：()()()()()2222221ab x y a b xy a b x y ---+-++【练习1】 分解因式：（1）332x x -+ （2）3212x x +- （3）3231x x -+【练习2】 分解因式：（1）32212x x x ---（2）32201820182017x x x +++ （3）42676x x x ---【练习3】 分解因式：（1）4414x y +（2）422416x x y y -+ （3）42204x x -+【练习4】 分解因式：224443x x y y --+-【练习5】 分解因式：4422222221x y x y x y +---+【练习6】 分解因式：43241x x x x +-++【练习7】 分解因式：（1）222332x xy y x y +++++ （2）22215196x xy y x y +-+-- （3）2220918183314x xy y x y +--+- （4）22xy y x y ++--【练习8】 分解因式：（1）432391112x x x x ++++ （2）432922x x x x --++11 【练习9】 ★★★☆☆分解因式：（1）432223816x x x x +--+ （2）4212312224x x x -+-【练习10】 分解因式：（1）322232b ab a b ac c ++++ （2）222324x y xy x xy y +++-- （3）23322222a x ax ax x ax +++--。
因式分解(共4课时) ppt课件
这些计算过程中都逆用了平方差公式
即：a2 b2 a ba b
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a2 b2 a ba b
此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为：
两个数的平方差等于这两个 数的和与这两个数的差的积。
尝试练习(对下列各式因式分解)：
① a2 – 9 = ______(_a_+_3_)_(a_–_3_)_____ ② 49 – n2 = _____(_7_+_n_)_(7_–_n_)_____ ③ 5s2 – 20t2 = ___5_(_s_+_2_t)_(_s–_2_t_)___ ④ 100x2 – 9y2 =_(1_0_x_+__3_y)_(_1_0_x_–_3_y_)
还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？
平方差公式： a ba b a2 b2
完全平方公式：aaa
bbb222
aaa222
2ab 22aabb
bbb222
计 算
x 2x 2 __x_2___4__
： 5 a2 _a_2__1_0_a__2_5_
悦崃中学 王军
第1 课时
第2 3 课时
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第4 课时
1
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2
教学目标
1.理解因式分解与整式乘法的区别 2.懂得寻找公因式，正确运用提公因式法进
行因式分解。 3.培养学生善于类比归纳的能力。
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复习回顾
口答：
xx 1 __x_2___x__ x 1x 1 ___x_2 __1__ 2x3x 7 _6_x_2__1_4_x_
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思路点拨：因式分解法解一元二次方程的步骤是： (1)化方程为一般形式； (2)将方程左边因式分解； (3)至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程； (4)两个一元一次方程的解就是原方程的解． 但要具体情况具体分析．
解：(1)方程可变形为 y(y＋7)＝0， ∴y＋7＝0 或 y＝0.∴y1＝－7，y2＝0. (2)∵方程可变形为 t(2t－1)－3(2t－1)＝0， ∴(2t－1)(t－3)＝0. ∴2t－1＝0 或 t－3＝0.∴t1＝12，t2＝3.
∴(3x＋2)(15x＋10－3x)＝0.
∴3x＋2＝0 或 12x＋10＝0.∴x1＝－23，x2＝－56.
《因式分解》上课实用课件（PPT优秀 课件）
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4．我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方 法、配方法、公式法和因式分解法．请从以下一元二次方程中 任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．
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2．用因式分解法解下列方程： (1)(x－4)(x＋1)＝0； (2)(5x－1)(x＋1)＝(6x＋1)(x＋1)． 解：(1)(x－4)(x＋1)＝0，即 x－4＝0 或 x＋1＝0. ∴x1＝4，x2＝－1. (2)(5x－1)(x＋1)＝(6x＋1)(x＋1)， ∴(5x－1)(x＋1)－(6x＋1)(x＋1)＝0， (x＋1)(5x－1－6x－1)＝0. ∴(x＋1)(－x－2)＝0. 即 x＋1＝0 或－x－2＝0.∴x1＝－1，x2＝－2.
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【跟踪训练】
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出错。
常见错误及纠正方法
分解不彻底
有些学生在因式分解时，不能完全将多项式转化为整式的 积的形式。应指导学生检查每一步的分解是否正确，并确 保所有项都已正确分解。
误用公式
学生在使用公式法进行因式分解时，可能会误用公式。应 确保学生理解并记住正确的公式，并能够正确应用。
在几何图形中，通过因式分解可以计算图形的面积和周长，特别 是在处理一些不规则图形时。
分割与拼接图形
通过因式分解的方法，可以将一个几何图形分割成若干个简单图形， 或者将若干个简单图形拼接成一个复杂的图形。
解决几何问题
因式分解在解决一些几何问题中也有应用，如证明勾股定理、解决 几何图形的面积和体积等问题。
在解方程中的应用
分解因式解方程
对于一些一元二次方程，可以通过因式分解的方 法来求解，简化计算过程。
判断根的性质
通过因式分解，可以判断一元二次方程根的性质， 如根的和与积、根的判别式等。
解决代数问题
因式分解在解代数方程中有着广泛的应用，如求 解一元一次方程、分式方程等。
在几何图形中的应用
面积与周长的计算
THANK YOU
感谢各位观看
题目2： 把下列多项式分解因 式：3x^2 - 6xy + 3y^2。
题目3： 把下列多项式分解因 式：4a^2 - 8ab + 4b^2。
进阶练习题
提升技巧难度
题目2： 把下列多项式分解因式：(2a + b)^2 - (a b)^2。
题目1： 把下列多项式分解因式：(x + 2y)^2 - (x y)^2。
重要性
总结词
因式分解在数学中具有重要意义，是解决许多数学问题的关 键步骤。