中考数学几何证明题汇编
【中考数学必备专题】几何辅助线大揭秘 之角平分线问题(含答案)
【中考数学必备专题】几何辅助线大揭秘之角
平分线问题
一、证明题(共3道，每道40分)
1.已知，如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上.
答案：∵BF是∠CBD的平分线∴FG=FI ∵CF是∠BCE的平分线∴FH=FI ∴FG=FH ∴点F在∠DAE的平分线上
解题思路：过F作FG⊥AD于点G，FH⊥AE于点H，FI⊥BC于点I，如图只要证明FG=FH即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线
2.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，∠B=2∠C.求证：AC=AB+BD.
答案：∵AD是∠BAC的平分线∴∠BAD=∠EAD 在△ABD和△AED中AB=AE ∠BAD=∠EAD AD=AD ∴△ABD≌△AED（SAS）∴BD=ED，∠B=∠AED ∵∠AED=∠B=2∠C ∴∠CDE=∠AED ﹣∠C=∠C ∴DE=CE ∴BD=CE ∵AC=AE+CE ∴AC=AB+BD
解题思路：在AC上截取AE=AB，连接DE，如图只要证明BD=CE即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线
3.已知：如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，AD⊥BE，垂足为点D.求证：∠BAD=∠DAE+∠C.
答案：∵BE平分∠ABC，AD⊥BE ∴△ABF为等腰三角形（三线合一）∴∠BAD=∠BFD ∵∠BFD 为△ACF的外角∴∠BFD=∠DAE+∠C ∴∠BAD=∠DAE+∠C
解题思路：延长AD与BC交于点F，如图只要证明∠BFD=∠BAD即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线。
2023年数学中考试题精选：几何综合证明(一)
1.（2023.营口24题）在平行四边形ABCD中，∠ADB=90°,点E在CD 上，点G在AB上，点F在BD的延长线上，连接EF，DG, ∠FED=∠ADG，ADBD =DG EF=k.（1）如图1，当k=1时，请用等式表示线段AG与线段DF的数量关系________；（2）如图2，当k=√(3)时，写出线段AD，DE和DF之间的数量关系,并说明理由；（3）在（2）的条件下，当点G是AB的中点时，连接BE，求tan∠EBF的值2.（2023.本溪铁岭辽阳25题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点O为AB的中点，点D在直线AB上（不与点A，B重合），连接CD，线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，过点B作直线l⊥BC，过点E作EF⊥l，垂足为点F，直线EF交直线OC于点G.（1）如图1，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF 的数量关系；（2）如图2，当点D在线段AB上时，求证：CG+BD=√2BC；（3）连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为S2，当EF:BC=1:3时，请直接写出S1S2的值.3.(2023.大连25题)综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质。
已知AB=AC，∠A>90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折，同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC=2∠ACB.”小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长.”补足探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：问题1：在等腰△ABC中，AB=AC，∠A>90°，△BDE由△ABE翻折得到.（1）如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC=2∠ACB；（2）如图2，若点E为AC中点，AC=4，CD=3，求BE的长.问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形，可以问题进一步拓展.问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A<90°，AB=AC=BD=4，2∠D=∠ABD.若CD=1，则求BC的长.4.(2023.牡丹江26题)平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，连接DE，将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，连接BF.（1）当点E在线段BC上，∠ABC=45°时，如图1，求证：AE+EC=BF；（2）当点E在线段BC延长线上，∠ABC=45°时，如图2，当点E在线段CB延长线上，∠ABC=135°时，如图3，请猜想并直接写出线段AE，EC,BF的数量关系；（3）在（1）、（2）的条件下，若BE=3，DE=5，则CE=______.5.（2023.贵州省25题）如图1，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA=CB,∠C=90°,过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上.（1）【动手操作】如图2，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E,根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为______度；（2）【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；（3）【拓展延伸】如图3，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD将于点E，探究线段BA，BP，BE之间的数量关系，并说明理由.6.(2023.沈阳24题)如图1.在平行四边形纸片中，AB=10，AD=6，∠DAB=60°，点E为BC边上的一点（点E不与点C重合），连接AE，将平行四边形ABCD纸片沿AE所在直线折叠，点C，D的对应点分别为C`，D`，射线C`E与射线AD将于点F.（1）求证：AF=EF；（2）如图2，当EF⊥AF时，DF的长为______;（3）如图3，当CE=2时，过点F作FM⊥AE，垂足为点M，延长FM 交C`D`于点N，连接AN，EN，求△ANE的面积。
2022年中考数学真题分类汇编：圆类几何证明题(含答案)
2022年中考数学真题汇编圆类几何证明题1.(2022·湖南省郴州市)如图，在△ABC中，AB=AC.以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．2.(1)求证：直线PE是⊙O的切线；3.(2)若⊙O的半径为6，∠P=30°，求CE的长．4.(2022·广西壮族自治区贵港市)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边的中∠BDC．点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠FAC=125.(1)求证：AF是⊙O的切线；6.(2)若BC=6，sinB=4，求⊙O的半径及OD的长．57.(2022·山东省烟台市)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°．8.(1)请用尺规作出⊙O的切线AD(保留作图痕迹，不写作法)；9.(2)在(1)的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．10.(2022·山东省聊城市)如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，∠AOD=∠EOD．11.(1)连接AF，求证：AF是⊙O的切线；12.(2)若FC=10，AC=6，求FD的长．13.(2022·辽宁省营口市)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．14.(1)求证：∠D=∠EBC；15.(2)若CD=2BC，AE=3，求⊙O的半径．16.(2022·湖南省张家界市)如图，四边形ABCD内接于圆O，AB是直径，点C是BD⏜的中点，延长AD交BC的延长线于点E．17.(1)求证：CE=CD；18.(2)若AB=3，BC=√3，求AD的长．19.(2022·辽宁省盘锦市)如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE//AD与BA的延长线交于点E．20.(1)求证：CE与⊙O相切；21.(2)若AD=4，∠D=60°，求线段AB，BC的长．22.(2022·贵州省铜仁市)如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F．23.(1)求证：AB=CB；24.(2)若AB=18，sinA=1，求EF的长．325.(2022·辽宁省铁岭市)如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．26.(1)求证：BF与⊙O相切；27.(2)若AP=OP，cosA=4，AP=4，求BF的长．528.(2022·四川省广安市)如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC=∠BAD．29.(1)求证：CD是⊙O的切线．30.(2)若tan∠BED=2，AC=9，求⊙O的半径．331.32.(2022·内蒙古自治区呼和浩特市)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交线段CA的延长线于点E，连接BE．33.(1)求证：BD=CD；34.(2)若tanC=1，BD=4，求AE．235.(2022·北京市)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．36.(1)求证：∠BOD=2∠A；37.(2)连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F.若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．38.(2022·广西壮族自治区百色市)如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M，作AD⊥MC，垂足为D，已知AC平分∠MAD．39.(1)求证：MC是⊙O的切线；40.(2)若AB=BM=4，求tan∠MAC的值．41.(2022·山东省临沂市)如图，AB是⊙O的切线，B为切点，直线AO交⊙O于C，D两点，连接BC，BD.过圆心O作BC的平行线，分别交AB的延长线、⊙O及BD于点E，F，G．42.(1)求证：∠D=∠E；43.(2)若F是OE的中点，⊙O的半径为3，求阴影部分的面积．44.(2022·辽宁省)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，▱ODEF的顶点O，D在斜边AB上，顶点E，F分别在边BC，AC上，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O恰好经过点D和点E．45.(1)求证：BC与⊙O相切；46.(2)若sin∠BAC=3，CE=6，求OF的长．547.(2022·湖北省恩施土家族苗族自治州)如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．48.(1)求证：∠ADE=∠PAE．49.(2)若∠ADE=30°，求证：AE=PE．50.(3)若PE=4，CD=6，求CE的长．51.(2022·内蒙古自治区赤峰市)如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O外一点，AC=BC，连接OC，DF是AC的垂直平分线，交OC于点F，垂足为点E，连接AD、CD，且∠DCA=∠OCA．52.(1)求证：AD是⊙O的切线；53.(2)若CD=6，OF=4，求cos∠DAC的值．54.(2022·湖北省潜江市)如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE交⊙O于点G，连接BG．55.(1)求证：FB2=FE⋅FG；56.(2)若AB=6，求FB和EG的长．57.(2022·贵州省毕节市)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F．58.(1)求证：BF=BD；59.(2)若CF=1，tan∠EDB=2，求⊙O的直径．60.(2022·贵州省黔东南苗族侗族自治州)(1)请在图1中作出△ABC的外接圆⊙O(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；61.(2)如图2，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是CE⏜的中点，过点B的切线与AC的延长线交于点D．62.①求证：BD⊥AD；63.②若AC=6，tan∠ABC=3，求⊙O的半径．464.65.(2022·山东省威海市)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．66.(1)若AB=AC，求证：∠ADB=∠ADE；67.(2)若BC=3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC．68.(2022·江苏省无锡市)如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点(点A、C除外)，BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．69.(1)求证：△CED∽△BAD；70.(2)当DC=2AD时，求CE的长．71.(2022·陕西省)如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P．72.(1)求证：∠CAB=∠APB；73.(2)若⊙O的半径r=5，AC=8，求线段PD的长．74.(2022·新建生产建设兵团)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC=CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E．75.(1)求证：∠ABC=∠CAD；76.(2)求证：BE⊥CE；77.(3)若AC=4，BC=3，求DB的长．78.(2022·江苏省扬州市)如图，AB为⊙O的弦，OC⊥OA交AB于点P，交过点B的直线于点C，且CB=CP．79.(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；80.(2)若sinA=√5，OA=8，求CB的长．5参考答案1.(1)连接OD，根据AB=AC，OB=OD，得∠ACB=∠ODB，从而OD//AC，由DE⊥AC，即可得PE⊥OD，故PE是⊙O的切线；(2)连接AD，连接OD，由DE⊥AC，∠P=30°，得∠PAE=60°，又AB=AC，可得△ABC 是等边三角形，即可得BC=AB=12，∠C=60°，而AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，BC=6，在Rt△CDE中，即得CE的长是3．可得BD=CD=12本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线，等腰三角形性质及应用，含特殊角的直角三角形三边关系等，解题的关键是判定△ABC是等边三角形．2.(1)作OH⊥FA，垂足为H，连接OE，利用直角三角形斜边上中线的性质得AD=CD，再通过导角得出AC是∠FAB的平分线，再利用角平分线的性质可得OH=OE，从而证明结论；(2)根据BC=6，sinB=4，可得AC=8，AB=10，设⊙O的半径为r，则OC=OE=r，5利用Rt△AOE∽Rt△ABC，可得r的值，再利用勾股定理求出OD的长．本题主要考查了圆的切线的性质和判定，直角三角形的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．3.(1)过点A作AD⊥AO即可；(2)连接OB，OC.证明∠ACB=75°，利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC=120°，求出CH可得结论．本题考查作图−复杂作图，三角形的外接圆，切线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．4.(1)根据SAS证△AOF≌△EOF，得出∠OAF=∠OEF=90°，即可得出结论；(2)根据勾股定理求出AF，证△OEC∽△FAC，设圆O的半径为r，根据线段比例关系列方程求出r，利用勾股定理求出OF，最后根据FD=OF−OD求出即可．本题主要考查切线的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．5.(1)根据切线的性质可得∠DAO=90°，从而可得∠D+∠ABD=90°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC=90°，从而可得∠ACB+∠EBC=90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC，从而利用等角的余角相等即可解答；(2)根据已知可得BD=3BC，然后利用(1)的结论可得△DAB∽△BEC，从而利用相似三角形的性质可得AB=3EC，然后根据AB=AC，进行计算即可解答．本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．6.(1)连接AC，通过证明△ACE≌△ACB，利用全等三角形的性质分析推理；(2)通过证明△EDC∽△EBA，利用相似三角形的性质分析计算．本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，理解相关性质定理，正确添加辅助线是解题关键．7.(1)连接OC，根据圆周角定理得∠AOC=90°，再根据AD//EC，可得∠OCE=90°，从而证明结论；(2)过点A作AF⊥EC交EC于F，由AD是圆O的直径，得∠ABD=90°，又AD=4，∠D=60°，即得AB=√3BD=2√3，根据∠ABC=45°，知△ABF是等腰直角三角形，AF=BF=√2AB=√6，又△AOC是等腰直角三角形，OA=OC=2，得AC=2√2，故CF=2√AC2−AF2=√2，从而BC=BF+CF=√6+√2．本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的直角三角形是解题的关键．8.(1)连接OD，则OD⊥DE，利用BC⊥DE，可得OD//BC，通过证明得出∠A=∠C，结论得证；(2)连接BD，在Rt△ABD中，利用sinA=1求得线段BD的长；在Rt△BDF中，利用3sin∠A=sin∠FDB，解直角三角形可得结论．本题主要考查了圆的切线的性质，垂径定理，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的判定与性质．连接过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．9.(1)连接OB，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC=90°，从而可得∠ABD=90°，AD，然后利用等腰三角形的进而利用直角三角形三角形斜边上的中线可得BF=EF=12性质可得∠FEB=∠FBE，从而可得∠FBE=∠AEP，最后根据垂直定义可得∠EPA=90°，从而可得∠A+∠AEP=90°，再利用等腰三角形的性质可得∠A=∠OBA，从而可得∠OBA+∠FBE=90°，进而可得∠OBF=90°，即可解答；(2)在Rt△AEP中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而利用勾股定理求出PE的长，然后利用同角的余角相等可得∠AEP=∠C，从而可证△APE∽△DPC，进而利用相似三角形的性质可求出DP的长，最后求出DE的长，即可解答．本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，直线与圆的位置关系，熟练掌握解直角三角形，以及切线的判定与性质是解题的关键．10.(1)连接OD，由圆周角定理得出∠ADB=90°，证出OD⊥CD，由切线的判定可得出结论；(2)证明△BDC∽△DAC，由相似三角形的性质得出CDAC =BCCD=BDDA=23，由比例线段求出CD和BC的长，可求出AB的长，则可得出答案．本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．11.(1)连接AD，利用直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°，然后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答；(2)利用(1)的结论可得BD=DC=4，BC=8，然后在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而利用勾股定理求出AC的长，最后证明△CDA∽△CEB，利用相似三角形的性质求出CE的长，进行计算即可解答．本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，以及解直角三角形是解题的关键．12.(1)连接AD，首先利用垂径定理得BC⏜=BD⏜，知∠CAB=∠BAD，再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的一半可得结论；(2)连接OC，首先由点F为AC的中点，可得AD=CD，则∠ADF=∠CDF，再利用圆的性质，可说明∠CDF=∠OCF，∠CAB=∠CDE，从而得出∠OCD+∠DCE=90°，从而证明结论．本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．13.(1)根据垂直定义可得∠D=90°，然后利用等腰三角形和角平分线的性质可证OC//DA，从而利用平行线的性质可得∠OCM=90°，即可解答；(2)先在Rt△OCM中，利用勾股定理求出MC的长，然后证明A字模型相似三角形△MCO ∽△MDA，从而利用相似三角形的性质可求出AD，CD的长，进而在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出tan∠DAC的值，即可解答．本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．14.(1)连接OB，由切线的性质得出∠E+∠BOE=90°，由圆周角定理得出∠D+∠DCB= 90°，证出∠BOE=∠OCB，则可得出结论；(2)求出∠BOG=60°，由三角形面积公式及扇形的面积公式可得出答案．本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积公式，熟练掌握切线的性质是解题的关键．15.(1)连接OE，利用平行四边形的性质和圆的性质可得四边形AOEF是平行四边形，则OE//AC，从而得出∠OEB=90°，从而证明结论；(2)过点F作FH⊥OA于点H，根据sin∠CFE=sin∠CAB=35，可得EF的长，由OA=OE，得▱AOEF是菱形，则AF=AO=EF=10，从而得出FH和AH的长，进而求出OF的长．本题主要考查了圆的切线的判定，平行四边形的判定与性质，三角函数的定义，勾股定理等知识，熟练运用相等角的三角函数值相等是解题的关键．16.(1)连接OA，利用切线的性质定理，圆周角定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和等角的余角相等解答即可；(2)利用(1)的结论，直径所对的圆周角为直角，三角形的外角的性质和等腰三角形的判定定理解答即可；(3)CE=x，则DE=CD+CE=6+x，OA=OE=6+x2，OC=OE−CE=6−x2，OP=OE+PE=14+x2，利用相似三角形的判定与性质得出比例式即可求得结论．本题主要考查了圆的切线的性质，切线长定理，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，连接OA是解决此类问题常添加的辅助线．17.(1)利用等腰三角形的三线合一，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可；(2)利用全等三角形的判定与性质得到CF=CD=6，利用相似三角形的判定与性质求得线段AC，再利用直角三角形的边角关系定理在Rt△AOC中，求得cos∠OCA，则结论可得．本题主要考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，灵活应用等量代换是解题的关键．18.(1)利用相似三角形的判定与性质解答即可；(2)连接OE，利用平行线分线段成比例定理求得FB；利用相交弦定理求EG即可．本题主要考查了正方形的性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，相交弦定理，灵活运用上述定理及性质是解题的关键．19.(1)连接OE，利用圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，同圆的半径相等和等腰三角形的判定定理解答即可；(2)连接BE，利用直径所对的圆周角为直角，直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质解答即可．本题主要考查了圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，连接经过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．20.(1)利用尺规作图分别作出AB、AC的垂直平分线交于点O，以O为圆心、OA为半径作圆即可；(2)①连接OB，根据切线的性质得到OB⊥CD，证明OB//AD，根据平行线的性质证明结论；②连接EC，根据圆周角定理得到∠AEC=∠ABC，根据正切的定义求出EC，根据勾股定理求出AE，得到答案．本题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．21.(1)根据圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质即可求证；(2)连接CO并延长交⊙O于点F，连接BF，根据圆周角定理得出∠FBC=90°，∠F=∠BAC，解直角三角形即可得解．此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．22.(1)由对顶角的性质，圆周角定理得出∠CDE=∠BDA，∠A=∠E，即可证明△CED∽△BAD；(2)过点D作DF⊥EC于点F，由等边三角形的性质得出∠A=60°，AC=AB=6，由DC=2AD，得出AD=2，DC=4，由相似三角形的性质得ECDE =ABAD=62=3，得出EC=3DE，由含30°角的直角三角形的性质得出DE=2EF，设EF=x，则DE=2x，DF=√3x，EC=6x，进而得出FC=5x，利用勾股定理得出一元二次方程(√3x)2+ (5x)2=42，解方程求出x的值，即可求出EC的长度．本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识是解决问题的关键．23.(1)根据平行线的判定和切线的性质解答即可；(2)通过添加辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理和相似三角形的判定和性质解答即可．本题主要考查了切线的性质定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质定理是解题的关键．24.(1)利用等腰三角形的性质可得∠CAD=∠ADC，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ABC=∠ADC，即可解答；(2)利用切线的性质可得∠OCE=90°，利用圆内接四边形对角互补以及平角定义可得∠CAD=∠CBE，再利用(1)的结论可得∠OCB=∠CBE，然后可证OC//BE，最后利用平行线的性质可得∠E=90°，即可解答；(3)根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理求出BA的长，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CAB=∠CDB，进而可证△ACB∽△DEC，然后利用相似三角形的性质可求出DE的长，最后再利用(2)的结论可证△ACB∽△CEB，利用相似三角形的性质可求出BE的长，进行计算即可解答．本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及圆周角定理是解题的关键．25.(1)连接OB，由等腰三角形的性质得出∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，结合对顶角的性质得出∠APO=∠CBP，由垂直的性质得出∠A+∠APO=90°，进而得出∠OBA+∠CBP=90°，即可得出直线BC与⊙O相切；(2)由sinA=√5，设OP=√5x，则AP=5x，由勾股定理得出方程(√5x)2+82=(5x)2，5=4，再利用勾股定理得出BC2+82=解方程求出x的值，进而得出OP=√5×4√55(BC+4)2，即可求出CB的长．本题考查了切线的判定，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的性质，切线的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，一元二次方程的解法是解决问题的关键．。
重庆中考复习重庆中考几何题分类汇编含答案
重庆中考几何题分类汇编含答案类型1线段的倍分：要证线段倍与半;延长缩短去实验例1如图Z3－1;在△ABC中;AB＝AC;CM平分∠ACB交AB于M;在AC的延长线上截取CN ＝BM;连接MN交BC于P;在CB的延长线截取BQ＝CP;连接MQ.1求证：MQ＝NP；2求证：CN＝2CP.针对训练：1．如图Z3－2;在ABCD中;AC⊥BC;点E、点FAC＝AE＝CF;连接CE、AF、EF.1若∠ABC＝35°;求∠EAF的度数；2若CE⊥EF;求证：CE＝2EF.2．已知;在△ABC中;AB＝AC;∠BAC＝90°;E为边AC点;连接BE.1如图①;若∠ABE＝15°;O为BE中点;连接AO;且AO的长；2如图②;F也为AC上一点;且满足AE＝CF;过A作AD⊥连接DF交BE于点G;连接AG.若AG平分∠CAD;求证：AH＝AC.3．在△ACB中;AB＝AC;∠BAC＝90°;点D是AC上一点;连接BD;过点A作AE⊥BD于E;交BC于F.1如图①;若AB＝4;CD＝1;求AE的长；2如图②;点G是AE上一点;连接CG;若BE＝AE＋AG;求证：CG＝AE.4．在等腰直角三角形ABC中;∠BAC＝90°;AB＝AC;D是斜边BC的中点;连接AD.1如图①;E是AC的中点;连接DE;将△CDE沿CD翻折到△CDE′;连接AE′;当AD＝时;求AE′的值．2如图②;在AC上取一点E;使得CE＝AC;连接DE;将△CDE沿CD翻折到△CDE′;连接AE′交BC于点F;求证：DF＝CF.类型2线段的和差：要证线段和与差;截长补短去实验例2如图;在△ABC中;∠BAC＝90°;BA;连接AD;在AD左侧作∠EAD＝451若AC＝3;则CE＝________2如图①;M、N分别为AB和AC且AM＝AN;连接EM、DN;若∠AME＋∠AND＝180°;求证：DE＝DN＋ME；3如图②;过E作EF⊥AE;交ADEC上选取一点H;使得EH＝BE;连接FH;在AC上选取一点G;使得AG＝AB;连接BG、FG;求证：FH＝FG.针对训练：1．如图Z3－7;在ABCD中;AE⊥BC于E;AE＝G;延长GE、DC交于点F;连接AF.1若BE＝2EC;AB＝;求AD的长；2求证：EG＝BG＋FC.2．如图;在正方形ABCD中;点P为AD延长线上一点;连接AC、CP;过点C作CF⊥CP 于点C;交AB于点F;过点B作BM⊥CF于点N;交AC于点M.1若AP＝AC;BC＝4;求S△ACP；2若CP－BM＝2FN;求证：BC＝MC.3．如图;在△ABC中;AB＝BC;以AB为一边向形ABDE;连接DC;EB并延长EB交AC于F;且AE 于G.1若∠EBG＝20°;求∠AFE；2试问线段AE;AF;CF之间的数量关系并证明．类型3倍长中线：三角形中有中线;延长中线等中线例3如图Z3－10①;在Rt△ABC中;∠ABC＝90°;D为斜边AC上两点;且AD＝AB;CE＝CB;连接BD、1求∠EBD的度数；2如图Z3－10②;过点D作FD⊥BD于点D;交BEF;在AB上选取一点H;使得BH＝BC;连接CH;在一点G;使得GD＝CD;连接FH、FG;求证：FH＝FG.针对训练：1．如图;已知在ABCD中;G为BC的中点;点E在AD边上;且∠1＝∠2.1求证：E是AD中点；2若F为CD延长线上一点;连接BF;且满足∠3＝∠2;求证：CD＝BF＋DF.2．如图Z3－12;在菱形ABCD中;点E、F分别是BC、CD上的点;连接AE;AF;DE、EF;∠DAE＝∠BAF.1求证：CE＝CF；2若∠ABC＝120°;点G是线段AF的中点;连接DG;EG.求证：DG⊥GE.3．在Rt△ABC中;∠ACB＝90°;点D与点B在;∠ADC＞∠BAC;且DA＝DC;过点B作BE∥DA交于点E;M为AB的中点;连接MD;ME.1如图①;当∠ADC＝90°时;线段MD与ME________；2如图②;当∠ADC＝60°时;试探究线段MD数量关系;并证明你的结论；3如图③;当∠ADC＝α时;求的值．4．如图①;等边三角形ABC中;CE平分∠ACB;D为BC边上一点;且DE＝CD;连接BE.1若CE＝4;BC＝6;求线段BE的长；2如图②;取BE中点P;连接AP;PD;AD;求证：AP⊥PD且AP＝PD；3如图③;把图Z3－14②中的△CDE绕点C顺时针旋转任意角度;然后连接BE;点P为BE中点;连接AP;PD;AD;问第2问中的结论还成立吗若成立;请证明；若不成立;请说明理由．5．在△ABC中;以AB为斜边;作直角三角形ABD;使点D落在△ABC内;∠ADB＝90°.1如图①;若AB＝AC;∠BAD＝30°;AD＝6;点P、M分别为BC、AB边的中点;连接PM;求线段PM的长；2如图②;若AB＝AC;把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度;得到△ACE;连接ED并延长交BC于点P;求证：BP＝CP；3如图③;若AD＝BD;过点D的直线交AC于点E;交BC于点F;EF⊥AC;且AE＝EC;请直接写出线段BF、FC、AD之间的关系不需要证明．类型4中位线：三角形中两中点;连接则成中位线例42017·河南如图①;在Rt△ABC中;∠A＝90°;AB＝AC;点D;E分别在边AB;AC上;AD＝AE;连接DC;点M;P;N分别为DE;DC;BC的中点．1观察猜想：图①中;线段PM与PN的数量关系是__________;位置关系是__________；2探究证明：把△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图②的位置;连接MN;BD;CE;判断△PMN 的形状;并说明理由；3拓展延伸：把△ADE绕点A＝10;请直接写出△PMN面积的最大值．针对训练：1．如图①;在任意的三角形ABC以AB和AC为一边作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD;AB＝AE;AC＝AD;且∠BAE＋∠CAD＝180°;连接DE;延长CA交DE于F.1求证：∠CAB＝∠AED＋∠ADE；2若∠ACB＝∠BAE＝∠CAD＝90°;如图②;求证：BC＝2AF；3若在△ABC中;如图③所示;作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD;AB与DE交于点F;F为DE的中点;请问2中的结论还成立吗若成立;请给出证明;若不成立;请说明理由．2．如图;在△ABC和△ADE中;AB＝AC;AD＝AE;∠BAC＋∠EAD＝180°;△ABC不动;△ADE绕点A旋转;连接BE、CD;F为BE的中点;连接AF.1如图①;当∠BAE＝90°时;求证：CD＝2AF；2当∠BAE≠90°时;1的结论是否成立请结合图②说明理由．3．如图①;在等腰三角形ABC中;AB＝AC;在底边BC上取一点D;在边AC上取一点E;使AE＝AD;连接DE;在∠ABD的内部作∠ABF＝2∠EDC;交AD于点F.1求证：△ABF是等腰三角形；2如图②;BF的延长交AC于点G.若∠DAC＝∠CBG;延长AC至点M;使GM＝AB;连接BM;点N是BG的中点;连接AN;试判断线段AN、BM之间的数量关系;并证明你的结论．类型5角的和差倍分图中有角平分线;关系现．角平分线平行线;;三线合一试试看．例5．如图;把△EFP放置在菱形ABCD中;顶点E;F;P分别在线段AB;AD;AC上;EP＝FP＝6;EF＝6;∠BAD＝60°;且＞6.1求∠EPF的大小；2若AP＝10;求AE＋AF的值．针对训练：1．已知：如图①;AD平分∠BAC;∠B＋∠C＝180°°;易知：DB＝DC.探究：如图②;AD平分∠BAC;∠ABD＋∠ACD;∠ABD＜90°;求证：DB＝DC.2．在△ACB中;AB＝AC;∠BAC＝90°;点D;连接BD;过点A作AE⊥BD于E;交BC于F.1如图①;若AB＝4;CD＝1;求AE的长；2如图②;点P是AC上一点;连接FP;若AP＝CD;求证：∠ADB＝∠CPF.3．已知;在ABCD中;∠BAD＝45°;AB＝BD;E为BC上一点;连接AE交BD于F;过点D 作DG⊥AE于G;延长DG交BC于H.1如图①;若点E与点C重合;且AF＝;求AD的长；2如图②;连接FH;求证：∠AFB＝∠HFB.4．如图;将正方形纸片ABCD沿EF折叠点E、F分别在边AB、CD上;使点B落在AD边上的点M处;点C落在点N处;MN与CD交于点P;连接EP.当点M在边AD上移动时;连接BM、BP.1求证：BM是∠AMP的平分线；2△PDM的周长是否发生变化证明你的结论．类型6旋转型全等问题：图中若有边相等;可用旋转做例6．△ABC中;∠BAC＝90°;AB＝AC;点D为直线点点D不与B;C重合;以AD为边在AD右侧作正方形ADEF;连接CF.1观察猜想：如图①;当点D在线段BC上时;①BC与CF关系为：________．②BC;CD;CF之间的数量关系为：___________；将结写在横线上2数学思考：如图Z3－25②;当点D在线段CB的延长线上时;结论①;②是否仍然成立若成立;请给予证明；若不成立;请你写出正确结论再给予证明．3拓展延伸：如图Z3－25③;当点D在线段BC的延长线上时;延长BA交CF于点G;连接GE.若已知AB＝2;CD＝BC;请求出GE的长．针对训练：1．在四边形ABCD中;∠B＋∠180°;对角线AC平分∠BAD.1如图①;若∠DAB＝120°;且∠B＝90°;试探究边AD、AB与对角线AC2如图②;若将1中的条件“∠B＝去掉;1中的结论是否成立请说明理由．3如图③;若∠DAB＝90°;探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．2．如图①;在正方形ABCD中;点E为边BC上一点;将△ABE沿AE翻折得△AHE;延长EH交边CD于F;连接AF.1求证：∠EAF＝45°；2延长AB;AD;如图②;射线AE、AF分别交正方形两个外角的平分线于M、N;连接MN;若以BM、DN、MN为三边围成三角形;试猜想三角形的形状;并证明你的结论．3．如图①;在正方形ABCD内有一点P;PA＝;PB＝;PC＝1;求∠BPC的度数．分析问题根据已知条件比较分散的特点;我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起;于是将△BPC绕点B逆时针旋转90°;得到了△BP′A如图Z3－28②;然后连接PP′.1请你通过计算求出图Z3－28②中∠BPC的度数；2如图③;若在正六边形ABCDEF内有一点P;且PA＝2;PB＝4;PC＝2.请求出∠BPC的度数．重庆中考几何题分类汇编答案例1.证明：1∵AB＝AC;∴∠ABC＝∠ACB.∵∠MBQ＋∠ABC＝180°;∠ACB＋∠PCN＝180°;∴∠MBQ＝∠PCN.在△QBM和△PCN中;∴△QBM≌△PCNSAS．∴MQ＝NP.2过M作MG∥AC交BC于G;∵MG∥AC;∴∠MGB＝∠ACB;∠MGC＝∠PCN;∵由1知;∠ABC＝∠ACB;∴∠ABC＝∠MGB;∴MB＝MG;∵MB＝CN;∴MG＝CN.在△MGP和△NCP中;∴△MGP≌△NCPAAS．∴PG＝CP;∴CG＝CP＋PG;即CG＝2CP.∵CM平分∠ACB;∴∠BCM＝∠MCA;∵MG∥AC;∴∠MCA＝∠GMC;∴∠BCM＝∠GMC;∴MG＝CG;∵MG＝CN;∴CN＝CG;∴CN＝2CP.针对训练1.解：1∵AC⊥BC;∴∠ACB＝90°;又∵AC＝CF;∴∠45°;∵∠ABC＝35°;∴∠EAF＝10°；2证明：方法1：取CF的中点M;连接EM、AM;∵CE⊥EF;∴EM＝CM＝FM＝CF;又∵AC＝AE;∴AM为EC的中垂线;∴∠CAM＋°; 又∵∠ECF＋∠ACE＝90°;∴∠CAM＝∠FCE;又∵∠CEF＝∠ACM＝90°;∴△ACM∽△CEF;∴＝;又∵CF＝AC＝2CM;∴＝＝;即CE＝2EF；方法2：延长FE至M;使EF＝EM;连接CM;∵CE⊥EF;∴△CMF为等腰三角形;又∵AC＝AE＝CF;且∠ACE＝∠CFE易证;∴△CMF≌△CEA;∴FM＝CE＝2EF.2.解：1如图①;在AB上取一点M;使得BM＝ME;连在Rt△ABE中;∵OB＝OE;∴BE＝2OA＝2;∵MB＝ME;∴∠MBE＝∠MEB＝15°;∴∠AME＝∠MBE＋∠MEB＝30°;设AE＝x;则ME＝BM＝2x;AM＝x;∵AB2＋AE2＝BE2;∴2x＋x2＋x2＝22;∴x＝负根舍弃;∴AB＝AC＝2＋·;∴BC＝AB＝＋1.2证明：如图②;作CP⊥AC;交AD的延长线于P;GM⊥AC 于M.∵BE⊥AP;∴∠AHB＝90°;∴∠ABH＋∠BAH＝90°;∵∠BAH＋∠PAC＝90°;∴∠ABE＝∠PAC;又∵AB＝AC;∠BAE＝∠ACP＝90°;∴△ABE≌△CAP;∴AE＝CP＝CF;∠AEB＝∠P;在△DCF和△DCP中;∴△DCF≌△DCP;∴∠DFC＝∠P;∴∠GFE＝∠GEF;∴GE＝GF;∵GM⊥EF;∴FM＝ME;∵AE＝CF;∴AF＝CE;∴AM＝CM;在△GAH和△GAM中;∴△AGH≌△AGM;∴AH＝AM＝CM＝AC.3.解：1∵AB＝4;∴AC＝AB＝4.∵CD＝1;∴AD＝AC－CD＝3.∵在Rt△ABD中;∠BAC＝90°;∴BD＝＝5;∵S＝AB·AD＝AE·BD;∴AE＝2.4.△ABD2证明：如图;在线段EB上截取EH＝AE;并连接∵AE⊥BD;EH＝AE;∴AH＝AE.∵BE＝AE＋AG;∴BH＝BE－HE＝AG.∵∠BAD＝∠BEA＝90°;∴∠ABE＋∠BAE＝∠CAG＋∠BAE＝90°;∴∠ABE＝∠CAG.∵BA＝AC;∴△ABH≌△CAG;∴CG＝AH＝AE.4.解：1∵∠BAC＝90°;AB＝AC;D是斜边BC的中点;∴∠ADC＝90°;∠ACD＝45°.在Rt△ADC中;AC＝AD÷sin45°＝2.∵E是AC的中点;∴CE＝AC＝.∵将△CDE沿CD翻折到△CDE′;∴CE′＝CE＝;∠ACE由勾股定理;得AE′＝＝.2证明：如图;过B作AE′的垂线交AD于点G;交AC于点∵∠ABH＋∠BAF＝90°;∠CAF＋∠BAF＝90°;∴∠ABH＝∠CAF.又∵AB＝AC;∠BAH＝∠ACE′＝90°;∴△ABH≌△CAE′.∴AH＝CE′＝CE;∵CE＝AC;∴AH＝HE＝CE.∵D是BC中点;∴DE∥BH;∴G是AD中点．在△ABG和△CAF中：AB＝AC;∠BAD＝∠ACD＝45°;∠ABH＝∠CAF; ∴△ABG≌△CAF.∴AG＝CF.∵AG＝AD;∴CF＝AD＝CD.∴DF＝CF.类型2线段的和差：要证线段和与差;截长补短去实验例2：解：132证明：延长DN到K;使得NK＝ME;连接AK;如图①;因为∠1＋∠3＝180°;∠1＋∠2＝180°;∴∠2＝∠3.在△AME和△ANK中;∴△AME≌△ANK SAS．∴AE＝AK;∠4＝∠5;∴∠4＋∠EAC＝90°;∴∠5＋∠EAC＝90°;即∠EAK＝∵∠EAD＝45°;∴∠KAD＝∠EAK－∠EAD＝90°－45∴∠EAD＝∠KAD.在△EAD和△KAD中;∴△EAD≌△KAD SAS;∴ED＝KD.∵DK＝DN＋KN;∴ED＝DN＋KN;又NK＝ME;∴ED＝DN＋ME.3证明：延长AE到J;使得EJ＝AE;连接JH;JF.如图②;在△ABE和△JHE中;∴△ABE≌△JHESAS;∴JH＝AB;∠1＝∠2;∵AB＝AG;∴JH＝AG;∵AE＝EJ;EF⊥AJ;∴AF＝JF;∴∠JAF＝∠AJF＝45°;即∠2＋∠3＝45°;∵∠BAC＝90°;∴∠1＋∠EAD＋∠4＝90°;∴∠1＋∠4＝90°－∠EAD;＝90°－45°＝45°;∵∠1＝∠2;∴∠3＝∠4;在△JHF和△AGF中;∴△JHF≌△AGFSAS;∴FH＝FG.针对训练：1.解：1∵四边形ABCD是平行四边形;∴AD＝BC.∵BE＝2EC;设CE＝x;BE＝2x;∴BC＝AD＝AE＝3x.又∵EG⊥AB;∴∠AEB＝90°;∴AB2＝AE2＋BE2;即13＝9x2＋4x2;∴x＝1;∴AD＝3x＝3.2证明：如图;过C作CH⊥AB于H;则四边形CHGF为矩形．∴CF＝HG;∠CHB＝90°;GF＝CH.∵AE⊥BC;EG⊥AB;∴∠AEB＝∠CHB＝90°;∠BCH＋∠B＝90°;∠BAE＋∠B＝90°;∴∠BCH＝∠BAE.又∵AE＝BC;∴△AGE≌△CHB;∴GE＝BH;AG＝GF;∴GE＝BH＝BG＋GH＝BG＋CF.2.解：1∵四边形ABCD是正方形;BC＝4;∴AB＝AD＝CD＝BC＝4;∠ADC＝∠ABC＝90°.∵在Rt△ABC中;AC＝＝4;∴AP＝AC＝;∴S＝AP·CD＝7.△ACP2证明：方法一：如图①;在NC上截取NK＝NF;连接BK.∵四边形ABCD是正方形;∴AB＝BC＝DC;∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°.∵∠BCD＝90°;CF⊥CP;∴∠1＋∠DCF＝∠2＋∠DCF＝90°;∴∠1＝∠2;∵在△FBC和△PDC中;∴△FBC≌△PDCASA;∴CF＝CP;∵CP－2FN＝BM;∴CF－FK＝BM;即CK＝BM;∵∠FBC＝90°;BM⊥CF;∴∠1＋∠NBC＝∠4＋∠NBC; ∴∠1＝∠4;∵在△ABM和△BCK中;∴△ABM≌△BCKSAS;∴∠7＝∠6.∵BM⊥CF;NK＝NF;∴BF＝BK;∵BF＝BK;BM⊥CF;∴∠4＝∠∴∠4＋∠7＝∠5＋∠6;∵∠8＝∠4＋∠7;∴∠8＝∠MBC;∴BC＝MC.解：方法二：如图②;延长BM交AD于点G;过A作AE⊥BGE先证△AEB≌△BNCAAS;∴AE＝BN;又证△AEG≌△BNFAAS;∴EG＝NF;再证四边形BCPG为平行四边形;∴BG＝CP;∵CP－BM＝2FN;∴BG－BM＝2EG;∴MG＝2EG;∴点E为MG中点;∵AE⊥MG;EM＝EG;∴AM＝AG;∴∠3＝∠4;∵∠2＝∠3;∠1＝∠4;∴∠1＝∠2;∴BC＝MC.3.解：1∵∠EBG＝20°;CB⊥AE;∴∠BEG＝70o;∠CBF＝∠EBG＝20°;∵四边形ABDE是菱形;∴∠ABE＝∠BEG＝70°;∴∠ABG＝50°;∵AB＝BC;∴∠FCB＝25°;∴∠AFE＝∠CBF＋∠FCB＝45°；2AE;AF;CF之间的数量关系是AF2＋CF2＝2AE2;证明如下：连接DF;∵四边形ABDE是菱形;∴AB＝DB;∠DBE＝∠ABE;∴∠DBF＝∠ABF;∵BF＝BF;∴△DBF≌△ABFSAS;∴DF＝AF;∠BDF＝∠BAF;∵∠BCF＝∠BAF;∴∠BCF＝∠BDF; ∵CB⊥AE;AE∥DB;∴DB⊥CB;∵CB＝AB＝BD;∴△DBC是等腰直角三角形;∴DC＝BD＝AE;∵∠DPB＝∠CPF;∴∠CFP＝∠DBP＝90°;∴DF2＋CF2＝DC2; 即有：AF2＋CF2＝2AE2.类型3倍长中线：三角形中有中线;延长中线等中线例3解：1设∠BEC＝α;∠BDA＝β;则∠C＝180°－2α;∠A＝180°－2β.∵在Rt△ABC中;∠ABC＝90°;∴∠A＋∠C＝90°;即180°－2α＋180°－2β＝90°;∴α＋β＝135°;∴∠EBD＝45°.2证明：法一：如图①;延长BD至点B′;使得DB′＝在△GDB′和△CDB中;∴△GDB′≌△CDB.∴GB′＝BC＝BH;∠GB′D∵FD⊥BD;BD＝DB′;∴FB＝FB′.∵∠FB′G＝45°－∠GB′D;∠HBF＝90°－45°－∠CBD＝45°－∠CBD;∴∠FB′G＝∠HBF.在△FHB和△FGB′中;∴△FHB≌△FGB′;∴HF＝GF.法二：如图②;延长FD至点F′;使得DF′＝DF;先证△DGF≌△DCF′;再证△BHF≌△BCF′;∴HF＝GF.针对训练1.证明：1∵四边形ABCD是平行四边形;∴AB＝CD;AD＝BC;∠A＝∠C.又∵∠1＝∠2;∴△ABE≌△CDG ASA;∴AE＝CG.∵G为BC中点;∴CG＝BC;∴AE＝CG＝BC＝AD;∴E是AD中点．2如图;延长BE;CD交于点H.∵四边形ABCD是平行四边形;∴AB綊CD;∴∠A＝∠ADH;∠1＝∠4;又∵∠1＝∠2;∠3＝∠2;∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4;∴FH＝FB.由1;E是AD中点;∴AE＝DE;∴△ABE≌△DHEAAS;∴AB＝DH;∴CD＝AB＝DH＝DF＋FH＝DF＋BF;即CD＝BF＋DF.2.证明：1在菱形ABCD中;AB＝BC＝CD＝AD;∠ADF＝∠ABE; ∵∠DAE＝∠BAF;∴∠DAE－∠EAF＝∠BAF－∠EAF;即∠DAF＝∠BAE.∴△DAF≌△BAE;∴BE＝DF.又∵BC＝CD;∴CE＝CF2如图;延长DG交AB于H;连接EH;∵在菱形ABCD中;AB∥CD;∴∠DFA＝∠GAH.∵G为AF中点;∴AG＝GF.又∵∠DGF＝∠AGH;∴△DGF≌△HGA.∴DG＝又∵AB＝CD;∴BH＝CF.又∵AB∥CD;∠ABC＝120°;∴∠C＝60°.又∵CE＝CF;∴△CEF为等边三角形;∴CF＝EF;∠CFE＝60°;∴EF＝BH;∠DFE＝∠ABC＝120°.又∵BE＝DF;∴△EFD≌△HBE;∴HE＝ED;又∵HG＝DG;∴DG⊥GE.3.解：1MD=ME2MD＝ME.理由如下：如图①;延长EM交DA于点F.∵BE∥DA;∴∠FAM＝∠EBM.又∵AM＝BM;∠AMF＝∠BME;∴△AMF≌△BME;∴AF＝BE;MF＝ME.∵DA＝DC;∠ADC＝60°;∴∠BED＝∠ADC＝60°;∠ACD＝60°.∵∠ACB＝90°;∴∠ECB＝30°;∴∠EBC＝30°;∴CE＝BE;∴AF＝EC;∴DF＝DE;∴DM⊥EF;DM平分∠ADC;∴∠MDE＝30°.在Rt△MDE中;tan∠MDE＝＝.∴MD＝ME.3如图②;延长EM交DA于点F;∵BE∥DA;∴∠FAM＝∠EBM;又∵AM＝BM;∠AMF＝∠BME;∴△AMF≌△BME;∴AF＝BE;MF＝ME.延长BE交AC于点N;∴∠BNC＝∠DAC.∵DA＝DC;∴∠DCA＝∠DAC;∴∠BNC＝∠DCA;∵∠ACB＝90°;∴∠ECB＝∠EBC;∴CE＝BE;∴AF＝CE.∴DF＝DE;∴DM⊥EF;DM平分∠ADC;∵∠ADC＝α;∴∠MDE＝.∴在Rt△MDE中;＝tan∠MDE＝tan.4.解：1如图①;作EH⊥BC于点H.∵△ABC是等边三角形;∴∠ACB＝60°.∵CE平分∠ACB;∴∠ECH＝∠ACB＝30°;∵EC＝4;∠ECH＝30°;∴EH＝2;HC＝2.∵BC＝6;∴BH＝6－2＝4.在Rt△BHE中;BE2＝42＋22＝52;∴BE＝2.2如图②;延长DP至M;使DP＝PM;连接BM、AM.在△PDE和△PMB中;∴△PDE≌△PMB SAS．∴BM＝DE;∠1＝∠2.∴BM∥DE.∴∠MBD＋∠BDE＝180°.∵CE平分∠ACB;DE＝CD;∴∠BDE＝30°＋30°＝60∴∠MBD＝120°.∵△ABC是等边三角形;∴∠ABC＝60°;∴∠3＝60°.∵BM＝DE;DE＝CD;∴BM＝CD.在△ABM和△ACD中;∴△ABM≌△ACD SAS．∴AD＝AM;∠4＝∠5.∵PD＝PM;∴AP⊥PD.∵∠4＝∠5;∠BAD＋∠5＝60°;∴∠4＋∠BAD＝60°;即∠MAD＝60°.∴∠PAD＝∠MAD＝30°.∵在Rt△APD中;tan30°＝;∴AP＝PD.3第2问中的结论成立;理由如下：如图③;延长DP至使DP＝PN;连接BN、AN;取BE、AC交于点O.在△PDE∴△PDE≌△PNBSAS．∴BN＝DE;∠1＝∠2.∵DE＝CD;∴BN＝CD.∵∠AOB＝∠EOC;∴∠1＋∠3＋∠BAO＝∠2＋∠4＋∠DEC＋∠DCE.∵∠BAO＝60°;∠DEC＝∠DCE＝30°;∴∠1＋∠3∴∠3＝∠4.在△ABN和△ACD中;∴△ABN≌△ACDSAS．∴∠5＝∠6;AN＝AD.∵PD＝PN;∴AP⊥PD.∵∠NAC＋∠5＝60°;∴∠NAC＋∠6＝60°;即∠NAD＝60°.∴∠PAD＝∠NAD＝30°; ∵在Rt△APD中;tan∠PAD＝;∴AP＝PD.5.解：1∵∠ADB＝90°;∠BAD＝30°;AD＝6;∴cos∠BAD＝;∴＝;∴AB＝12.又∵AB＝AC;∴AC＝12;∴PM为△ABC的中位线;∴PM＝AC＝6.2证明：方法一：如图①;在截取ED上截取EQ＝PD;∵∠ADB＝90°;∴∠1＋∠2＝90°;又∵AD＝AE;∴∠2＝∠3;又∵∠3＋∠4＝90°;∴∠1＝∠4.在△BDP和△CEQ中;PD＝QE;∠1＝∠4;BD＝CE;∴△BDP≌△CEQ.∴BP＝CQ;∠DBP＝∠QCE;又∵∠5＝∠1＋∠DBP;∠6＝∠4＋∠QCE;∴∠5＝∠6;∴PC＝CQ;∴BP＝CP.方法二：如图②;过点B作EP的垂线交EP的延长线于点M;过C EP的垂线交EP于点N.∵∠ADB＝90°;∴∠1＋∠2＝90°;又∵AD＝AE;∴∠2＝∠3;又∵∠3＋∠4＝90°;∴∠1＝∠4;在△BMD和△CNE中;∠1＝∠4;∠BMD＝∠CNE＝90°;BD＝CE;∴△BMD≌△CNE.∴BM＝CN.在△BMP和△CNP中;∠5＝∠6;∠BMP＝∠CNP;BM＝CN;∴△BMP≌△CNP;∴BP＝CP.方法三：如图③;过点B作BM∥CE交EP略证△BMP≌△CEP;∴BP＝CP.3BF2＋FC2＝2AD2.类型4中位线：三角形中两中点;连接则成中位线例4:解：1PM=PN;PM⊥PN2△PMN为等腰直角三角形;理由如下：由题意知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形;∴AB＝AC;AD＝AE;∠BAC＝∠DAE＝90°;∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC;∴∠BAD＝∠CAE;∴△BAD≌△CAE;∴∠ABD＝∠ACE;BD＝CE.又∵M、P、N分别是DE、CD、BC的中点;∴PM是△CDE的中位线;∴PM∥CE且PM＝CE;∠MPD＝∠ECD＝∠ACD＋∠ACE.同理;PN∥BD且PN＝BD;∠DBC＝∠PNC;又∵BD＝CE;∠ABD＝∠ACE;∴PM＝PN;∴∠MPN＝∠MPD＋∠DPN＝∠ECD＋∠DCN＋∠CNP＝∠ACD＋∠ACE＋∠DCN＋∠CBD＝∠ACD＋∠DCN＋∠ABD＋∠CBD＝∠ACB＋∠ABC＝90°;∴PM⊥PN;∴△PMN为等腰直角三角形；3△PMN面积的最大值为.提示：在旋转的过程中;由2中的结论知△PMN为等腰直角三角形;S＝PN2＝BD2;当S△PMN有最大值时;则BD的值最大;由三角形三边关系可推断出当B、A、D三△PMN点共线时;BD的值最大;其最大值为14;此时S△PMN＝PN2＝BD2＝×14×14＝.针对训练：1.解：1证明：延长DA交BE于G点．∵∠BAE＋∠CAD＝180°;即∠EAG＋∠GAB＋∠CAD＝180°;∵∠GAB＋∠BAC＋∠CAD＝180°;∴∠EAG＝∠CAB.∵∠EAG＝∠AED＋∠ADE;∴∠CAB＝∠AED＋∠ADE.2证明：如图①;过E点作DA延长线的垂线;垂足为H.∴∠AHE＝∠ACB＝90°;由1可知;∠EAH＝∠BAC;又∵AE＝AB;∴△AHE≌△ACB;∴EH＝BC;AH＝AC.∵AC＝AD;∴AH＝AD.∵∠EHA＝∠FAD＝90°;∴AF∥EH.∵A为DH中点;∴AF为△DHE中位线;∴EH＝2AF;∴BC＝2AF.3成立．证明如下：如图②;延长DA至M点;使AM＝DA;连接EM;∵∠BAE＋∠CAD＝180°;∠CAD＋∠CAM＝180°;∴∠BAE＝∠CAM;∴∠BAE＋∠CAC＝∠CAM＋∠EAC;即∠BAC＝∠CAM.∵AM＝AD;AD＝AC;∴AM＝AC.又∵AB＝AE;∠BAC＝∠EAM;∴△BAC≌△EAM;∴BC＝EM.∵F、A分别为DE、DM中点;∴AF为△DEM中位线;∴EM＝2AF;∴BC＝2AF.2.解：1证明：∵∠BAC＋∠EAD＝180°;∠BAE＝90°;∴∠DAC＝90°;在△ABE与△ACD中;AE＝AD;∠BAE＝∠CAD＝90°;AB＝AC;∴△ABE≌△ACDSAS;∴CD＝BE;∵在Rt△ABE中;F为BE的中点;∴BE＝2AF;∴CD＝2AF.2成立;证明：如图;延长EA交BC于G;在AG上截取AH＝∵∠BAC＋∠EAD＝180°;∴∠EAB＋∠DAC＝180°;∵∠EAB＋∠BAH＝180°;∴∠DAC＝∠BAH;在△ABH与△ACD中;AH＝AD;∠BAH＝∠CAD;AB＝AC;∴△ABH≌△ACDSAS;∴BH＝DC;∵AD＝AE;AH＝AD;∴AE＝AH;∵EF＝FB;∴BH＝2AF;∴CD＝2AF.3.解：1证明：∵AB＝AC;∴∠ABD＝∠ACD;∵AE＝AD;∴∠ADE＝∠AED;∵∠BAD＋∠ABD＝∠ADE＋∠EDC;∠EDC＋∠ACD∴∠BAD＝2∠EDC;∵∠ABF＝2∠EDC;∴∠BAD＝∠ABF;∴△ABF是等腰三角形；2方法一：如图①;延长CA至点H;使AG＝AH;连接BH;∵点N是BG的中点;∴AN＝BH;∵∠BAD＝∠ABF;∠DAC＝∠CBG;∴∠CAB＝∠CBA;∴△ABC是等边三角形．∴AB＝BC＝AC;∠BAC＝∠BCA＝∵GM＝AB;AB＝AC;∴CM＝AG;∴AH＝CM;在△BAH和△BCM中;∴△BAH≌△BCMSAS;∴BH＝BM;∴AN＝BM;方法二：如图②;延长AN至K;使NK＝AN;连接KB;同方法一;先证△ABC是等边三角形;再证△ANG≌△KNB SAS;所以BK＝AG＝CM;然后可以证得∠ABK＝∠BCN＝120°;最后证△ABK≌△BCN SAS;所以BM＝AK＝2AN.类型5角的和差倍分例5：解：1如图;过点P作PG⊥EF于G.∵PE＝PF＝6;EF＝6;∴FG＝EG＝3;∠FPG＝∠EPG＝∠EPF.在Rt△FPG中;sin∠FPG＝＝＝.∴∠FPG＝60°;∴∠EPF＝2∠FPG＝120°.2如图;作PM⊥AB于M;PN⊥AD于N.∵AC为菱形ABCD的对角线;∴∠DAC＝∠BAC;AM＝AN;PM＝PN.在Rt△PME和Rt△PNF中;PM＝PN;PE＝∴Rt△PME≌Rt△PNF;∴NF＝ME.又∵AP＝10;∠PAM＝∠DAB＝30°;∴AM＝AN＝AP cos30°＝10×＝5.∴AE＋AF＝AM＋ME＋AN－NF＝AM＋AN针对训练：1.证明：如图;过D作DE⊥AB于E;过D作DF⊥AC于F;∵DA平分∠BAC;DE⊥AB;DF⊥AC;∴DE＝DF;∵∠B＋∠ACD＝180°;∠ACD＋∠FCD＝180°∴∠B＝∠FCD;在△DFC和△DEB中;∴△DFC≌△DEB;∴DC＝DB.2.解：1∵AC＝AB＝4;且CD＝1;∴AD＝AC－CD＝3.在Rt△ABD中;∠BAD＝90°;∴BD＝＝5;＝AB·AD＝AE·BD;∵S△ABD∴AE＝2.4.2证明：如图;取BC的中点M;连接AM交BD于点N.∵∠BAC＝90°;AB＝AC;点M为BC的中点;∴AM＝BM＝CM;AM⊥BC;∠NAD＝∠FCP＝45°;∴∠AMF＝∠BMN＝90°.∵AE⊥BD;∴∠MAF＋∠ANE＝∠MBN＋∠BNM＝90°;又∠ANE＝∠BNM;∴∠MAF＝∠MBN;∴△AMF≌△BMN;∴MF＝MN;∴AM－MN＝CM－MF;即AN＝CF.∵AP＝CD;∴AC－CD＝AC－AP;即AD＝CP.∴△ADN≌△CPF;∴∠ADB＝∠CPF.3.解：1∵AB＝BD;∠BAD＝45°;∴∠BDA＝45°;即∠ABD＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形;∴当E、C重合时;BF＝BD＝AB.∵在Rt△ABF中;AB2＋BF2＝AF2;∴2BF2＋BF2＝2;∴BF＝1;AB＝2.在Rt△ABD中;AD＝＝＝2.2证明：如图;在AF上截取AK＝HD;连接BK.∵∠AFD＝∠ABF＋∠2＝∠FGD＋∠3且∠ABF＝∠FGD＝90°; ∴∠2＝∠3.在△ABK与△DBH中;∴△ABK≌△DBH;∴BK＝BH;∠6＝∠5.∵四边形ABCD是平行四边形;∴AD∥BC;∴∠5＝∠4＝45°;∴∠6＝∠5＝45°;∴∠7＝∠ABD－∠6＝45°＝∠5.在△BFK与△BFH中;∴△BFK≌△BFH.∴∠BFK＝∠BFH;即∠AFB＝∠HFB.4.解：1证明：由折叠知∠EMN＝∠ABC＝90°∴∠EMB＝∠EBM;∴∠EMN－∠EMB＝∠ABC－∠EBM;即∠BMP＝∠MBC.∵在正方形ABCD中;AD∥BC;∴∠AMB＝∠MBC;∴∠AMB＝∠BMP;∴BM是∠AMP的平分线．2△PDM的周长没有发生变化．证明如下：如图;过B作BQ∵∠A＝90°;且由1知BM是∠AMP的平分线;∴BA＝BQ;∵∠A＝∠MQB＝90°;∠AMB＝∠BMP;MB＝MB;∴△AMB≌△QMB AAS．∴MA＝MQ.∵BA＝BC;∴BQ＝BC;又∵∠BQP＝90°＝∠C;BP＝BP;∴Rt△BPC≌Rt△BPQ HL．∴PC＝PQ;∴△PDM的周长＝MD＋MP＋DP＝MD＋MQ＋QP＋PD＝MD＋MA＋PC＋PD＝AD＋DC＝2AD.∴△PDM的周长没有发生变化．类型6旋转型全等问题：图中若有边相等;可用旋转做实验例6：解：1①∵四边形ADEF是正方形;∴AD＝AF;AB＝AC;∵∠BAC＝∠DAF＝90°;∴∠BAD＝∠CAF;∴△DAB≌△FAC;∴∠B＝∠ACF;∴∠ACB＋∠ACF＝90°;即CF⊥BC；②∵△DAB≌△FAC;∴CF＝BD;∵BC＝BD＋CD;∴BC＝CF＋CD.2结论①成立;结论②不成立．∵四边形ADEF是正方形;∴AD＝AF;AB＝AC.∵∠BAC＝∠DAF＝90°;∴∠BAD＝∠CAF;∴△DAB≌△FAC;∴∠ABD＝∠ACF;CF＝BD;∴∠BCF＝∠ACF－∠ACB＝∠ABD－∠ACB＝90°;即CF⊥BC；∵BC＝CD－BD;∴BC＝CD－CF.3如图;过A作AH⊥BC于H;过E作EM⊥BD于M;EN∵∠BAC＝90°;AB＝AC;∴BC＝AB＝4;AH＝CH＝BC∴CD＝BC＝1;∴DH＝3;同2证得△BAD≌△CAF;∴∠ABD＝∠ACF＝45°;∴∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝∴BC⊥CF;CF＝BD＝5.∵四边形ADEF是正方形;∴AD＝DE;∠ADE＝90°;∵BC⊥CF;EM⊥BD;EN⊥CF;∴四边形CMEN是矩形;∴NE＝CM;EM＝CN;∵∠AHD＝∠ADE＝∠EMD＝90°;∴∠ADH＋∠EDM＝∠EDM＋∠DEM＝90°;∴∠ADH＝∠DEM;∴△ADH≌△DEM;∴EM＝DH＝3;DM＝AH＝2;∴CN＝EM＝3;EN＝CM＝3;∵∠ABC＝45°;∴∠BGC＝45°;∴△BCG是等腰直角三角形;∴CG＝BC＝4;∴GN＝1;∴EG＝＝.针对训练：1.解：1AC＝AD＋AB.证明如下：∵∠B＋∠D＝180°;∠B＝90°;∴∠D＝90°.∵∠DAB＝120°;AC平分∠DAB;∴∠DAC＝∠BAC＝60°;∵∠B＝90°;∴AB＝AC;同理AD＝AC.∴AC＝AD＋AB.21中的结论成立;理由如下：如图①;以C为顶点;AC为一边作∠ACE＝60°;∠ACE的另一边交AB的延长线于点E;∵∠BAC＝60°;∴△AEC为等边三角形;∴AC＝AE＝CE;∠E＝60°;∵∠ABC＋∠D＝180°;∠DAB＝120°;∴∠DCB＝60°;∴∠DCA＝∠ECB.在△DAC和△BEC中;∴△DAC≌△BEC;∴AD＝BE;∴AC＝AE＝AD＋AB.3AD＋AB＝AC.理由如下：如图②;过点C作CE⊥AC交AB的延长于点E;∵∠ABC＋∠D＝180°;∠DAB＝90°;∴∠DCB＝90°;∵∠ACE＝90°;∴∠DCA＝∠BCE;又∵AC平分∠DAB;∴∠CAB＝45°;∴∠E＝45°;∴AC＝CE.∴△CDA≌△CBE;∴AD＝BE;∴AD＋AB＝AE.∵在Rt△ACE中;∠CAB＝45°;∴AE＝＝AC;∴AD＋AB＝AC.2.解：1证明：∵四边形ABCD是正方形;∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°;AB＝AD;∵△ABE沿AE翻折得到△AHE;∴△ABE≌△AHE;∴AH＝AB＝AD;BE＝EH;∠AHE＝∠AHF＝∠B＝∠D＝90°.在Rt△AHF和Rt△ADF中;∴Rt△AHF≌Rt△ADFHL;∴∠HAF＝∠DAF;∴∠EAF＝∠EAH＋∠FAH＝∠BAH＋∠HAD＝∠BAD＝45°;2以BM;DN;MN为三边围成的三角形为直角三角形．证明如下：如图;过点A作AH⊥AN并截取AH＝AN;连接BH、HM;∵∠1＋∠BAN＝90°;∠3＋∠BAN＝90°;∴∠1＝∠3;在△ABH和△ADN中;∴△ABH≌△ADN SAS;∴BH＝DN;∠HBA＝∠NDA＝135°;∵∠HAN＝90°;∠MAN＝45°;∴∠1＋∠2＝∠HAM＝∠MAN＝45°;在△AHM和△ANM中;∴△AHM≌△ANM SAS;∴HM＝NM;∴∠HBP＝180°－∠HBA＝180°－135°＝45°;∴∠HBP＋∠PBM＝45°＋45°＝90°;∴△HBM是直角三角形;∵HB＝DN;HM＝MN;∴以BM;DN;MN为三边围成的三角形为直角三角形．3.解：1如图①;将△PBC绕点B逆时针旋转90°得△P△AP′B≌△CPB;∴P′B＝PB＝;P′A＝PC＝1;∠1＝∠2;∠AP′B＝∠BPC.∵四边形ABCD是正方形;∴AB＝BC;∠ABC＝90°;∴∠2＋∠3＝90°;∴∠1＋∠3＝90°;即∠P′BP＝90°;∴∠BP′P＝45°.在Rt△P′BP中;由勾股定理;得PP′2＝ 4. ∵P′A＝1;AP＝∴P′A2＝1;AP2＝5;∴P′A2＋PP′2＝AP2;∴△P′AP是直角三角形;∴∠AP′P＝90°;∴∠AP′B＝45°＋90°＝135°;∴∠BPC＝135°.2仿照分析中的思路;将△BPC绕点B逆时针旋转120°;得到了△BP′A;连接PP′;如图②.则△PBC≌△P′BA;∴P′B＝PB＝4;P′A＝PC＝2;∠BPC＝∠BP′A;∴△BPP′为等腰三角形;∵∠ABC＝120°;∴∠PBP′＝120°;∴∠BP′P＝30°;过点B作BG⊥PP′于G;则∠P′GB＝90°;∴PP′＝2P′G.∵P′B＝PB＝4;∠BP′P＝30°;∴BG＝2;∴P′G＝2.∴PP′＝4;在△APP′中;∵PA＝2;P′A＝2;PP′＝4;∴P′A2＋P′P2＝PA2;∴△PP′A是直角三角形;∴∠AP′P＝90°;∴∠BPC＝∠BP′A＝∠PP′B＋∠AP′P＝30°＋90°＝120°.。
中考数学专题复习八几何证明题
专题八：几何证明题问题解析几何证明题重在训练学生应用数学语言合情推理能力;几何证明题和计算题在中考中占有重要地位．根据新的课程标准;对几何证明题证明的方法技巧上要降低;繁琐性、难度方面要降低．但是注重考查学生的基础把握推理能力;所以几何证明题是目前常考的题型．热点探究类型一：关于三角形的综合证明题例题12016·四川南充已知△ABN和△ACM位置如图所示;AB=AC;AD=AE;∠1=∠2．1求证：BD=CE；2求证：∠M=∠N．分析1由SAS证明△ABD≌△ACE;得出对应边相等即可2证出∠BAN=∠CAM;由全等三角形的性质得出∠B=∠C;由AAS证明△ACM≌△ABN;得出对应角相等即可．解答1证明：在△ABD和△ACE中;;∴△ABD≌△ACESAS;∴BD=CE；2证明：∵∠1=∠2;∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE;即∠BAN=∠CAM;由1得：△ABD≌△ACE;∴∠B=∠C;在△ACM和△ABN中;;∴△ACM≌△ABNASA;∴∠M=∠N．点评本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．同步练2016·山东省菏泽市·3分如图;△ACB和△DCE均为等腰三角形;点A;D;E在同一直线上;连接BE．1如图1;若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证：AD=BE；②求∠AEB的度数．2如图2;若∠ACB=∠DCE=120°;CM为△DCE中DE边上的高;BN为△ABE中AE边上的高;试证明：AE=2CM+BN．类型二：关于四边形的综合证明题例题22016·山东省滨州市·10分如图;BD是△ABC的角平分线;它的垂直平分线分别交AB;BD;BC 于点E;F;G;连接ED;DG．1请判断四边形EBGD的形状;并说明理由；2若∠ABC=30°;∠C=45°;ED=2;点H是BD上的一个动点;求HG+HC的最小值．考点平行四边形的判定与性质；角平分线的性质．分析1结论四边形EBGD是菱形．只要证明BE=ED=DG=GB即可．2作EM⊥BC于M;DN⊥BC于N;连接EC交BD于点H;此时HG+HC最小;在RT△EMC中;求出EM、MC即可解决问题．解答解：1四边形EBGD是菱形．理由：∵EG垂直平分BD;∴EB=ED;GB=GD;∴∠EBD=∠EDB;∵∠EBD=∠DBC;∴∠EDF=∠GBF;在△EFD和△GFB中;;∴△EFD≌△GFB;∴ED=BG;∴BE=ED=DG=GB;∴四边形EBGD是菱形．2作EM⊥BC于M;DN⊥BC于N;连接EC交BD于点H;此时HG+HC最小;在RT△EBM中;∵∠EMB=90°;∠EBM=30°;EB=ED=2;∴EM=BE=;∵DE∥BC;EM⊥BC;DN⊥BC;∴EM∥DN;EM=DN=;MN=DE=2;在RT△DNC中;∵∠DNC=90°;∠DCN=45°;∴∠NDC=∠NCD=45°;∴DN=NC=;∴MC=3;在RT△EMC中;∵∠EMC=90°;EM=．MC=3;∴EC===10．∵HG+HC=EH+HC=EC;∴HG+HC的最小值为10．点评本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识;解题的关键是利用对称找到点H的位置;属于中考常考题型．同步练2016·山东省济宁市·3分如图;正方形ABCD的对角线AC;BD相交于点O;延长CB至点F;使CF=CA;连接AF;∠ACF的平分线分别交AF;AB;BD于点E;N;M;连接EO．1已知BD=;求正方形ABCD的边长；2猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．类型三：关于圆的综合证明题例题32016·山东潍坊正方形ABCD内接于⊙O;如图所示;在劣弧上取一点E;连接DE、BE;过点D作DF∥BE交⊙O于点F;连接BF、AF;且AF与DE相交于点G;求证：1四边形EBFD是矩形；2DG=BE．考点正方形的性质；矩形的判定；圆周角定理．分析1直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出∠BED=∠BAD=90°;∠BFD=∠BCD=90°;∠EDF=90°;进而得出答案；2直接利用正方形的性质的度数是90°;进而得出BE=DF;则BE=DG．解答证明：1∵正方形ABCD内接于⊙O;∴∠BED=∠BAD=90°;∠BFD=∠BCD=90°;又∵DF∥BE;∴∠EDF+∠BED=180°;∴∠EDF=90°;∴四边形EBFD是矩形；2∵正方形ABCD内接于⊙O;∴的度数是90°;∴∠AFD=45°;又∵∠GDF=90°;∴∠DGF=∠DFC=45°;∴DG=DF;又∵在矩形EBFD中;BE=D同步练枣庄市 2015 中考 -24如图;在△ABC中;∠ABC=90°;以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D;E是BC的中点;连接DE;OE．1判断DE与⊙O的位置关系;并说明理由；2求证：BC2=CD 2OE；3若cos∠BAD=35;BE=6;求OE的长．类型四：关于相似三角形的证明问题例题42016·黑龙江齐齐哈尔·8分如图;在△ABC中;AD⊥BC;BE⊥AC;垂足分别为D;E;AD与BE 相交于点F．1求证：△ACD∽△BFD；2当tan∠ABD=1;AC=3时;求BF的长．考点相似三角形的判定与性质．分析1由∠C+∠DBF=90°;∠C+∠DAC=90°;推出∠DBF=∠DAC;由此即可证明．2先证明AD=BD;由△ACD∽△BFD;得==1;即可解决问题．解答1证明：∵AD⊥BC;BE⊥AC;∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°;∴∠C+∠DBF=90°;∠C+∠DAC=90°;∴∠DBF=∠DAC;∴△ACD∽△BFD．2∵tan∠ABD=1;∠ADB=90°∴=1;∴AD=BD;∵△ACD∽△BFD;∴==1;∴BF=AC=3．同步练2016·湖北武汉·10分在△ABC中;P为边AB上一点．1 如图1;若∠ACP＝∠B;求证：AC2＝AP·AB；2 若M为CP的中点;AC＝2;① 如图2;若∠PBM＝∠ACP;AB＝3;求BP的长；② 如图3;若∠ABC＝45°;∠A＝∠BMP＝60°;直接写出BP的长．达标检测1. 2016·黑龙江哈尔滨·8分已知：如图;在正方形ABCD 中;点E 在边CD 上;AQ⊥BE 于点Q;DP⊥AQ 于点P ．1求证：AP=BQ ；2在不添加任何辅助线的情况下;请直接写出图中四对线段;使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ 的长．2. 2016·四川内江9分如图6所示;△ABC 中;D 是BC 边上一点;E 是AD 的中点;过点A 作BC 的平行线交CE 的延长线于F;且AF ＝BD;连接BF ．1求证：D 是BC 的中点；2若AB ＝AC;试判断四边形AFBD 的形状;并证明你的结论．3. 烟台市 2015 中考 -23如图;以△ABC 的一边AB 为直径的半圆与其它两边AC;BC 的交点分别为D 、E;且=．1试判断△ABC 的形状;并说明理由．2已知半圆的半径为5;BC=12;求sin∠ABD 的值．4. 2015 内蒙古呼伦贝尔兴安盟;第22题7分如图;在平行四边形ABCD 中;E 、F 分别为边AB 、CD 的中点;BD 是对角线．1求证：△ADE ≌△CBF ；2若∠ADB 是直角;则四边形BEDF 是什么四边形 证明你的结论．5. 烟台市 2014 中考 -24如图;AB 是⊙O 的直径;延长AB 至P;使BP=OB;BD 垂直于弦BC;垂足为点B;点D 在PC 上．设∠PCB=α;∠POC=β．求证：tanα tan=．DCEF B A 图66. 2015 梧州;第25题12分如图;在正方形ABCD中;点P在AD上;且不与A、D重合;BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点;垂足为Q;过E作EH⊥AB于H．1求证：HF=AP；2若正方形ABCD的边长为12;AP=4;求线段EQ的长．7. 2015 北海;第25题12分如图;AB、CD为⊙O的直径;弦AE∥CD;连接BE 交CD于点F;过点E作直线EP与CD的延长线交于点P;使∠PED=∠C．1求证：PE是⊙O的切线；2求证：ED平分∠BEP；3若⊙O的半径为5;CF=2EF;求PD的长．参考答案类型一：关于三角形的综合证明题同步练2016·山东省菏泽市·3分如图;△ACB和△DCE均为等腰三角形;点A;D;E在同一直线上;连接BE．1如图1;若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证：AD=BE；②求∠AEB的度数．2如图2;若∠ACB=∠DCE=120°;CM为△DCE中DE边上的高;BN为△ABE中AE边上的高;试证明：AE=2CM+BN．考点等腰三角形的性质．分析1①通过角的计算找出∠ACD=∠BCE;再结合△ACB和△DCE均为等腰三角形可得出“AC=BC;DC=EC”;利用全等三角形的判定SAS即可证出△ACD≌△BCE;由此即可得出结论AD=BE；②结合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC;再通过角的计算即可算出∠AEB的度数；2根据等腰三角形的性质结合顶角的度数;即可得出底角的度数;利用1的结论;通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度;二者相加即可证出结论．解答1①证明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°;∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°．∵∠ACB=∠ACD+∠DCB;∠DCE=∠DCB+∠BCE;∴∠ACD=∠BCE．∵△AC B和△DCE均为等腰三角形;∴AC=BC;DC=EC．在△ACD和△BCE中;有;∴△ACD≌△BCESAS;∴AD=BE．②解：∵△ACD≌△BCE;∴∠ADC=∠BEC．∵点A;D;E在同一直线上;且∠CDE=50°;∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°;∴∠BEC=130°．∵∠BEC=∠CED+∠AEB;且∠CED=50°;∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°．2证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形;且∠ACB=∠DCE=120°;∴∠CDM=∠CEM=×180°﹣120°=30°．∵CM⊥DE;∴∠CMD=90°;DM=EM．在Rt△CMD中;∠CMD=90°;∠CDM=30°;∴DE=2DM=2×=2CM．∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°;∠BEC=∠CEM+∠AEB;∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°;∴∠BEN=180°﹣120°=60°．在Rt△BNE中;∠BNE=90°;∠BEN=60°;∴BE==BN．∵AD=BE;AE=AD+DE;∴AE=BE+DE=BN+2CM．点评本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形以及角的计算;解题的关键是：1通过角的计算结合等腰三角形的性质证出△ACD≌△BCE；2找出线段AD、DE的长．本题属于中档题;难度不大;但稍显繁琐;解决该题型题目时;利用角的计算找出相等的角;再利用等腰三角形的性质找出相等的边或角;最后根据全等三角形的判定定理证出三角形全是关键．类型二：关于四边形的综合证明题同步练2016·山东省济宁市·3分如图;正方形ABCD的对角线AC;BD相交于点O;延长CB至点F;使CF=CA;连接AF;∠ACF的平分线分别交AF;AB;BD于点E;N;M;连接EO．1已知BD=;求正方形ABCD的边长；2猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．考点正方形的性质．分析1根据正方形的性质以及勾股定理即可求得；2根据等腰三角形三线合一的性质证得CE⊥AF;进一步得出∠BAF=∠BCN;然后通过证得△ABF≌△CBN得出AF=CN;进而证得△ABF∽△COM;根据相似三角形的性质和正方形的性质即可证得CN= CM．解答解：1∵四边形ABCD是正方形;∴△ABD是等腰直角三角形;∴2AB2=BD2;∵BD=;∴AB=1;∴正方形ABCD的边长为1；2CN=CM．证明：∵CF=CA;AF是∠ACF的平分线;∴CE⊥AF;∴∠AEN=∠CBN=90°;∵∠ANE=∠CNB;∴∠BAF=∠BCN;在△ABF和△CBN中;;∴△ABF≌△CBNAAS;∴AF=CN;∵∠BAF=∠BCN;∠ACN=∠BCN;∴∠BAF=∠OCM;∵四边形ABCD是正方形;∴AC⊥BD;∴∠ABF=∠COM=90°;∴△ABF∽△COM;∴=;∴==;即CN=CM．类型三：关于圆的综合证明题同步练枣庄市 2015 中考 -24如图;在△ABC中;∠ABC=90°;以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D;E是BC的中点;连接DE;OE．1判断DE与⊙O的位置关系;并说明理由；2求证：BC2=CD 2OE；3若cos∠BAD=35;BE=6;求OE的长．思路分析：本题考查了切线的判定;垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点．故对于题1可以连接OD;BD;由AB为圆O的直径;得到∠ADB为直角;从而得出三角形BCD为直角三角形;E为斜边BC 的中点;利用斜边上的中线等于斜边的一半;得到CE=DE;利用等边对等角得到一对角相等;再由OA=OD;利用等边对等角得到一对角相等;由直角三角形ABC中两锐角互余;利用等角的余角相等得到∠ADO与∠CDE互余;可得出∠ODE为直角;即DE垂直于半径OD;可得出DE为圆O的切线；对于题2首先可证明OE是△ABC的中位线;则AC=2OE;然后证明△ABC∽△BDC;根据相似三角形的对应边的比相等;即可证得；对于题3在直角△ABC中;利用勾股定理求得AC的长;之后根据三角形中位线定理OE的长即可求得．解题过程：1证明：连接OD;BD;∵AB为圆O的直径;∴∠ADB=90°;在Rt△BDC中;E为斜边BC的中点;∴CE=DE=BE=12 BC;∴∠C=∠CDE;∵OA=OD;∴∠A=∠ADO;∵∠ABC=90°;即∠C+∠A=90°;∴∠ADO+∠CDE=90°;即∠ODE=90°;∴DE⊥OD;又OD为圆的半径;∴DE为⊙O的切线；2证明：∵E是BC的中点;O点是AB的中点; ∴OE是△ABC的中位线;∴AC=2OE;∵∠C=∠C;∠ABC=∠BDC;∴△ABC∽△BDC;∴BC ACCD BC=;即BC2=AC CD．∴BC2=2CD OE；3解：∵cos∠BAD=35;∴sin∠BAC=45 BCAC=;又∵BE=6;E是BC的中点;即BC=12;∴AC=15．又∵AC=2OE;∴OE=12AC=152．规律总结：熟练把握切线的判定;垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点是解决本题的关键．要证某线是圆的切线;已知此线过圆上某点;连接圆心与这点即为半径;再证垂直即可．类型四：关于相似三角形的证明问题同步练2016·湖北武汉·10分在△ABC中;P为边AB上一点．1 如图1;若∠ACP＝∠B;求证：AC2＝AP·AB；2 若M为CP的中点;AC＝2;① 如图2;若∠PBM＝∠ACP;AB＝3;求BP的长；② 如图3;若∠ABC＝45°;∠A＝∠BMP＝60°;直接写出BP的长．考点相似形综合;考查相似三角形的判定和性质;平行线的性质;三角形中位线性质;勾股定理..答案 1证△ACP∽△ABC即可；2①BP＝5；②71解析1证明：∵∠ACP＝∠B;∠BAC＝∠CAP;∴△ACP∽△ABC;∴AC：AB＝AP：AC;∴AC2＝AP·AB；2①如图;作CQ∥BM交AB延长线于Q;设BP＝x;则P Q＝2x∵∠PBM＝∠ACP;∠PAC＝∠CAQ;∴△APC∽△ACQ;由AC2＝AP·AQ得：22＝3－x35即BP②如图：作CQ⊥AB 于点Q;作CP 0＝CP 交AB 于点P 0;∵AC ＝2;∴AQ＝1;CQ ＝BQ; 设P0Q ＝PQ ＝1－x;BP －1＋x;∵∠BPM＝∠CP 0A ;∠BMP＝∠CAP 0;∴△AP 0C∽△MPB;∴00AP P C MP BP =;∴MP P0C ＝2012P C ==AP 0 BP ＝1＋x;解得x ∴BP ＝－11-．达标检测1. 2016·黑龙江哈尔滨·8分已知：如图;在正方形ABCD 中;点E 在边CD 上;AQ⊥BE 于点Q;DP⊥AQ 于点P ．1求证：AP=BQ ；2在不添加任何辅助线的情况下;请直接写出图中四对线段;使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ 的长．考点正方形的性质；全等三角形的判定与性质．分析1根据正方形的性质得出AD=BA;∠BAQ=∠ADP;再根据已知条件得到∠AQB=∠DPA;判定△AQB≌△DPA 并得出结论；2根据AQ ﹣AP=PQ 和全等三角形的对应边相等进行判断分析．解答解：1∵正方形ABCD∴AD=BA;∠BAD=90°;即∠BAQ+∠DAP=90°∵DP⊥AQ∴∠ADP+∠DAP=90°∴∠BAQ=∠ADP∵AQ⊥BE 于点Q;DP⊥AQ 于点P∴∠AQB=∠DPA=90°∴△AQB≌△DPAAAS∴AP=BQ2①AQ﹣AP=PQ②AQ﹣BQ=PQ③DP﹣AP=PQ④DP﹣BQ=PQ2. 2016·四川内江9分如图6所示;△ABC 中;D 是BC 边上一点;E 是AD 的中点;过点A 作BC 的平行线交CE 的延长线于F;且AF ＝BD;连接BF ．1求证：D 是BC 的中点；2若AB ＝AC;试判断四边形AFBD 的形状;并证明你的结论．考点三角形例行;特殊四边形的性质与判定..1证明：∵点E 是AD 的中点;∴AE ＝DE ．∵AF ∥BC;∴∠AFE ＝∠DCE;∠FAE ＝∠CDE ．∴△EAF ≌△EDC ．∴AF ＝DC ．∵AF ＝BD;∴BD ＝DC;即D 是BC 的中点．2四边形AFBD 是矩形．证明如下：∵AF ∥BD;AF ＝BD;∴四边形AFBD 是平行四边形．∵AB ＝AC;又由1可知D 是BC 的中点;∴AD ⊥BC ．DC EF B A图6∴□AFBD是矩形．3. 烟台市 2015 中考 -23如图;以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC;BC的交点分别为D、E;且=．1试判断△ABC的形状;并说明理由．2已知半圆的半径为5;BC=12;求sin∠ABD的值．思路分析：1连结AE;如图;根据圆周角定理;由=得∠DAE=∠BAE;由AB为直径得∠AEB=90°;根据等腰三角形的判定方法即可得△ABC为等腰三角形；2由等腰三角形的性质得BE=CE=BC=6;再在Rt△ABE中利用勾股定理计算出AE=8;接着由AB为直径得到∠ADB=90°;则可利用面积法计算出BD=;然后在Rt△ABD中利用勾股定理计算出AD=;再根据正弦的定义求解．解题过程：解：1△ABC为等腰三角形．理由如下：连结AE;如图;∵=;∴∠DAE=∠BAE;即AE平分∠BAC;∵AB为直径;∴∠AEB=90°;∴AE⊥BC;∴△ABC为等腰三角形；2∵△ABC为等腰三角形;AE⊥BC;∴BE=CE=BC=×12=6;在Rt△ABE中;∵AB=10;BE=6;∴AE==8;∵AB为直径;∴∠ADB=90°;∴AE BC=BD AC;∴BD==;在Rt△ABD中;∵AB=10;BD=;∴AD==;∴sin∠ABD===．规律总结：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中;同弧或等弧所对的圆周角相等;都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的判定与性质和勾股定理．4. 2015 内蒙古呼伦贝尔兴安盟;第22题7分如图;在平行四边形ABCD中;E、F分别为边AB、CD的中点;BD是对角线．1求证：△ADE≌△CBF；2若∠ADB是直角;则四边形BEDF是什么四边形证明你的结论．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．分析：1由四边形ABCD是平行四边形;即可得AD=BC;AB=CD;∠A=∠C;又由E、F分别为边AB、CD的中点;可证得AE=CF;然后由SAS;即可判定△ADE≌△CBF；2先证明BE与DF平行且相等;然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;再连接EF;可以证明四边形AEFD是平行四边形;所以AD∥EF;又AD⊥BD;所以BD⊥EF;根据菱形的判定可以得到四边形是菱形．解答：1证明：∵四边形ABCD是平行四边形;∴AD=BC;AB=CD;∠A=∠C;∵E、F分别为边AB、CD的中点;∴AE=AB;CF=CD;∴AE=CF;在△ADE和△CBF中;∵;∴△ADE≌△CBFSAS；2若∠ADB是直角;则四边形BEDF是菱形;理由如下：解：由1可得BE=DF;又∵AB∥C D;∴BE∥DF;BE=DF;∴四边形BEDF是平行四边形;连接EF;在 ABCD中;E、F分别为边AB、CD的中点;∴DF∥AE;DF=AE;∴四边形AEFD是平行四边形;∴EF∥AD;∵∠ADB是直角;∴AD⊥BD;∴EF⊥BD;又∵四边形BFDE是平行四边形;∴四边形BFDE是菱形．点评：本题主要考查了平行四边形的性质;全等三角形的判定以及菱形的判定;利用好E、F 是中点是解题的关键．5. 烟台市 2014 中考 -24如图;AB是⊙O的直径;延长AB至P;使BP=OB;BD垂直于弦BC;垂足为点B;点D在PC上．设∠PCB=α;∠POC=β．求证：tanα tan=．解析：连接AC先求出△PBD∽△PAC;再求出=;最后得到tanα tan=．解答：证明：连接AC;则∠A=∠POC=;∵AB是⊙O的直径;∴∠ACB=90°;∴tanα=;BD∥AC;∴∠PBD=∠A;∵∠P=∠P;∴△PBD∽△PAC;∴=;∵PB=0B=OA;∴=;∴tana tan===．点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质及圆周角的知识;本题解题的关键是求出△PBD∽△PAC;再求出tanα tan=．6. 2015 梧州;第25题12分如图;在正方形ABCD中;点P在AD上;且不与A、D重合;BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点;垂足为Q;过E作EH⊥AB于H．1求证：HF=AP；2若正方形ABCD的边长为12;AP=4;求线段EQ的长．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．所有分析： 1先根据EQ⊥BO;EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°．根据∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH;故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得出△APB≌△HFE;故可得出结论；2由勾股定理求出BP的长;根据EF是BP的垂直平分线可知BQ=BP;再根据锐角三角函数的定义得出QF=BQ的长;由1知;△APB≌△HFE;故EF=BP=4;再根据EQ=EF﹣QF即可得出结论．解答： 1证明：∵EQ⊥BO;EH⊥AB;∴∠EQN=∠BHM=90°．∵∠EMQ=∠BMH;∴△EMQ∽△BMH;∴∠QEM=∠HBM．在Rt△APB与Rt△HFE中;;∴△APB≌△HFE;∴HF=AP；2解：由勾股定理得;BP===4．∵EF是BP的垂直平分线;∴BQ=BP=2;∴QF=BQ tan∠FBQ=BQ tan∠ABP=2×=．由1知;△APB≌△HFE;∴EF=BP=4;∴EQ=EF﹣QF=4﹣=．点评：本题考查的是正方形的性质;熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．7.8. 2015 北海;第25题12分如图;AB、CD为⊙O的直径;弦AE∥CD;连接BE交CD于点F;过点E作直线EP与CD的延长线交于点P;使∠PED=∠C．1求证：PE是⊙O的切线；2求证：ED平分∠BEP；3若⊙O的半径为5;CF=2EF;求PD的长．考点：切线的判定．分析： 1如图;连接OE．欲证明PE是⊙O的切线;只需推知OE⊥PE即可；2由圆周角定理得到∠AEB=∠CED=90°;根据“同角的余角相等”推知∠3=∠4;结合已知条件证得结论；3设EF=x;则CF=2x;在RT△OEF中;根据勾股定理得出52=x2+2x﹣52;求得EF=4;进而求得BE=8;CF=8;在RT△AEB中;根据勾股定理求得AE=6;然后根据△AEB∽△EFP;得出=;求得PF=;即可求得PD的长．解答： 1证明：如图;连接OE．∵CD是圆O的直径;∴∠CED=90°．∵OC=OE;∴∠1=∠2．又∵∠PED=∠C;即∠PED=∠1;∴∠PED=∠2;∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°;即∠OEP=90°; ∴OE⊥EP;又∵点E在圆上;∴PE是⊙O的切线；2证明：∵AB、CD为⊙O的直径;∴∠AEB=∠CED=90°;∴∠3=∠4同角的余角相等．又∵∠PED=∠1;∴∠PED=∠4;即ED平分∠BEP；3解：设EF=x;则CF=2x;∵⊙O的半径为5;∴OF=2x﹣5;在RT△OEF中;OE2=OF2+EF2;即52=x2+2x﹣52;解得x=4;∴EF=4;∴BE=2EF=8;CF=2EF=8;∴DF=CD﹣CF=10﹣8=2;∵AB为⊙O的直径;∴∠AEB=90°;∵AB=10;BE=8;∴AE=6;∵∠BEP=∠A;∠EFP=∠AEB=90°;∴△AEB∽△EFP;∴=;即=;∴PF=;∴PD=PF﹣DF=﹣2=．点评：本题考查了切线的判定和性质;圆周角定理的应用;勾股定理的应用;三角形相似的判定和性质;熟练掌握性质定理是解题的关键．。
初中数学中考几何证明分类试题汇编
矩形24.已知:如图，在△ABC 中，AB=AC ，A D ⊥BC ，垂足为点D ，M 在BA 的延长线上AN 是∠MAC 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为E 。
（1）试说明：四边形ADCE 为矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？说明理由。
24．（本小题9分）已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为E ，连接DE 交AC 于F （1）求证：四边形ADCE 为矩形 （2）求证：DF ∥AB ，DF ＝12AB21.如图所示折叠长方形的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知AB ＝12cm ， BC ＝13cm,求EC 的长。
5.如图8，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点E 处，求证：EF =DF .BDECF19．如图，把一张矩形的纸ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点E 处，BE 与AD 交于点F ．①求证：ΔABF ≌ΔEDF ；②若将折叠的图形恢复原状，点F 与BC 边上的点M 正好重合，连接DM ，试判断四边形BMDF 的形状，并说明理由．12、如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB CD ，的延长线分别交于E F ，．（1）求证：BOE DOF △≌△； （2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A E C F ，，，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．1.如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF =BD ，连结BF 。
（1） 求证：BD =CD ； （2） 如果AB =AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论。
F D OB E AC D B A M 第22题图F EFED C B A 3.如图，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形内． 求证：（1）∠PBA =∠PCQ =30°；（2）P A =PQ ．7、已知:如图,在矩形ABCD 中,E 、F 分别是边BC 、AB 上的点,且EF=ED,EF ⊥ED. 求证:AE 平分∠BAD.8、如图，矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE ＝AD ，DF ⊥AE 于F ，连结DE ，求证：DF ＝DC ．23．（本小题6分）已知如图,在矩形ABCD 中,E 为BC 上的一点,且DE=BC,AF ⊥DE 于点F,求证:EF=BE 14、（本题8分）已知：如图，在矩形ABCD 中，AF=DE,求证：BE=CF（第23题）ACBD PQBDDC BAOE18.在矩形ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，EF 是线段AC 的中垂线，交AD 、BC 于E 、F .求证：四边形AECF 是菱形1、如左下图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，AE 平分∠BAD ，交BC 于E ，若∠CAE =15°，求∠BOE 的度数.2、如右上图ABCD ，四内角平分线相交于E 、F 、G 、H .求证：四边形EFGH 是矩形6．（2012•聊城）如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE∥AC，CE∥BD． 求证：四边形OCED 是菱形．9．（2010四川眉山）如图，O 为矩形ABCD 对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ．（1）试判断四边形OCED 的形状，并说明理由； （2）若AB =6，BC =8，求四边形OCED 的面积．10．（2012娄底）如图，在矩形ABCD 中，M 、N 分别是AD ．BC 的中点，P 、Q 分别是BM 、DN 的中点．（1）求证：△MBA ≌△NDC ；（2）四边形MPNQ 是什么样的特殊四边形？请说明理由．16．（2012六盘水）如图，已知E 是▱ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长AE 交DC 的延长线于点F ．（1）求证：△ABE ≌△FCE ．（2）连接AC ．BF ，若∠AEC=2∠ABC ，求证：四边形ABFC 为矩形．5.两个完全相同的矩形纸片ABCD 、BFDE 如图7放置，AB BF ，求证：四边形BNDM 为菱形．19. （2012.云南省）如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ，与BD 相交于点N ，连接BM ，DN ． （1）求证：四边形BMDN 是菱形； （2）若AB=4，AD=8，求MD 的长．8.如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD ，若∠EAO=15°，求∠BOE 的度数。
中考数学几何题总汇
1.三角形的有关概念知识考点：理解三角形三边的关系及三角形的主要线段（中线、高线、角平分线）和三角形的内角和定理。
关键是正确理解有关概念，学会概念和定理的运用。
应用方程知识求解几何题是这部分知识常用的方法。
【例1】已知一个三角形中两条边的长分别是a 、b ，且b a >，那么这个三角形的周长L 的取值范围是（ ） A 、b L a 33>> B 、a L b a 2)(2>>+ C 、a b L b a +>>+262 D 、b a L b a 23+>>- 变式与思考：在△ABC 中，AC ＝5，中线AD ＝7，则AB 边的取值范围是（ ） A 、1＜AB ＜29 B 、4＜AB ＜24 C 、5＜AB ＜19 D 、9＜AB ＜19 【例2】如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝450，∠ACB ＝610，延长BC 至E ，使CE ＝AC ，延长CB 至D ，使DB ＝AB ，求∠DAE 的度数。
一、填空题：1、三角形的三边为1，a -1，9，则a 的取值范围是 。
2、已知三角形两边的长分别为1和2，如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为 。
3、在△ABC 中，若∠C ＝2（∠A ＋∠B ），则∠C ＝ 度。
4、如果△ABC 的一个外角等于1500，且∠B ＝∠C ，则∠A ＝ 。
5、如果△ABC 中，∠ACB ＝900，CD 是AB 边上的高，则与∠A 相等的角是 。
6、如图，在△ABC 中，∠A ＝800，∠ABC 和∠ACB 的外角平分线相交于点D ，那么∠BDC ＝ 。
7、如图，CE 平分∠ACB ，且CE ⊥DB ，∠DAB ＝∠DBA ，AC ＝18cm ，△CBD 的周长为28 cm ，则DB ＝ 。
8、纸片△ABC 中，∠A ＝650，∠B ＝750，将纸片的一角折叠，使点C 落在△ABC 内（如图），若∠1＝200，则∠2的度数为 。
中考复习初中数学几何证明 试题(含答案)
初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）.如下图做GH ⊥AB,连接EO 。
由于GOFE 四点共圆，所以∠GFH ＝∠OEG , 即△GHF ∽△OGE,可得EO GF =GO GH =COCD,又CO=EO ，所以CD=GF 得证。
2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）.3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）APCDB D 2C 2 B 2 A 2D 1C 1B 1C B DA A 1 AFGCEBOD4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．BF求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEFB 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）经典题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5． 求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值． A P CB P A D CB C B D A F PD E CB A APCB3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．经典题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
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几何证明题分类汇编
一、证明两线段相等
1．如图3，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，EA AD ⊥，
M 是AE 上一点，BAE MCE =∠∠，∠（1）求证：（22线（1（2M ，求23的
ABE ．已知∠BAC =30º，EF ⊥AB ，垂足为F ，连结．
（1（2ADFE 是平行四边形．
4如图，在△ABC 中，点P 是边AC 上的一个动点，过点P 作直线MN∥BC ，设
MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． (1)求证：PE ＝PF ；
(2)*当点P 在边AC 上运动时，四边形BCFE 可能是菱形吗？说明理由； (3)*若在AC 边上存在点P ，使四边形AECF 是正方形，且＝,2)．求此时
A
B C
D F
第20题图
2
∠A 的大小．
二、证明两角相等、三角形相似及全等
1、（9分）AB 是⊙O 的直径，点E 是半圆上一动点（点E 与点A 、B 都不重合），
不重合。
（1（22是正方形，BE ⊥BF ，BE=BF （1（2分）
3、均为等腰直角三角形，∠＝的长．（3分） 21、BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥(1)求证：△CEB ≌△ADC ；
(2)若AD ＝9cm ，DE ＝6cm ，求BE 及EF 的长．
2、已知，在平行四边形ABCD 中，EFGH 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且
AE=CG ，BF=DH ，求证：AEH ∆≌CGF ∆
A
B
D F
E 图
B
F
C
三、证明两直线平行
22．(10分)如图10-1，在平面直角坐标系xoy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙
M 交x 轴于A B 、两点，交y 轴于C D 、两点，且C 为AE 的中点，AE 交y 轴于G
点，若点A 的坐标为（－2，0），AE 8= 21、
18∠（1）（３分）求证：（221∠（2）如果75ACB ∠=︒，⊙O 的半径为2，求BD 的长． 2、如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点D 恰好为BC 的中点.过点D 作⊙O 的切线交AC 边于点E .
（1）求证：DE ⊥AC ；
（2）若∠ABC =30°，求tan ∠BCO 的值.
（第2题
4
3．如图所示，矩形ABCD 中，点E 在CB 的延长线上，使CE ＝AC ，连结AE ，点F 是AE 的中点，连结BF 、DF ，求证：BF ⊥
DF
1、F 21 2.º， （2）设△ABC 的面积为S ，求证：AF ·BE=2S （3） 3.如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于
①求证：AB 2=AD ·AC.
②当点D 运动到半圆AB 什么位置时，△ABC 为等腰直角三角形，为什么？
第3题图
4、（本小题满分9分）
如图，AB 为O ⊙的直径，劣弧
B C B E B D =
，∥，连接AE 并延长交BD 于
D ．
求证：（1）BD 是O ⊙的切线；
5.（1（221DC （1（2212Rt ABC △90C ∠=°，E AB 以AE 为直径的O ⊙与BC 相切于点.D （1）求证：AD 平分.BAC ∠ （2）若3 4.AC AE ==，
①求AD 的值；②求图中阴影部分的面积.
3、如图，AB 是O ⊙的直径，点C 在BA 的延长线上，直线CD 与O ⊙相切于点D ，
B
C
第3（2）题
6
弦DF AB ⊥于点E ，线段10CD =，连接BD .
（1）求证：2CDE B ∠=∠；
（2
）若:2BD AB =，求O ⊙的半径及DF 的长. 七、证明线段的和、差、倍、分
22、（9分）AB 是⊙O 的直径，点E
A 、
B 都不重交于
不重合。
（1（221．⊥BD
(2)的延(3)E
是CL 上任一点,EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥BC 于点G ，猜想EF 、EG 、BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
(4)观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍
然具有EF 、EG 、ＣH 这样的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论.
2.设点E 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，F 是BC 边上一点，线段DE 和
AF 相交于点P ，点Q 在线段DE 上，且AQ ∥PC ．
(1)证明：PC ＝2AQ ．
(2)当点F 为BC 的中点时，试比较△PFC 和梯形APCQ 面积的大小关系，并对你的结论加以证明． CD 的
21．(∠2．
2..D
（1（23.（本题8分），如图，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的O ⊙经过
点D E ，是O ⊙上一点，且45AED ∠=°． （1）试判断CD 与O ⊙的位置关系，并说明理由； （2）若O ⊙的半径为3cm ，5cm AE =，求ADE ∠的正弦值.
图（2）。