数值分析试题集
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
2 A J :;[则 || A 「一—
仙二 -------------
'a+1 2
3
设「_1 J ,当a
满足条件
时,A 可作LU 分解。
(试卷一)
一 (10 分)已知% =1.3409, x 2 =1.0125都是由四舍五入产生的近似值, 判断x-i x 2及x 1 - x 2
有几位有效数字。 二
(
1
多项式
三(15分)设f(x)・ C 4[a,b ],H (x )是满足下列条件的三次多项式
H (a)二 f (a) , H (b)二 f (b) , H (c) = f (c) , H (c)二 f (c)
( a ::: c :: b )
求f (x) -H(x),并证明之。
1
四(15分)计算,
: =10』。
o
1 +X
五(15分)在[0,2]上取X 。= 0, X 1 = 1, X 2 = 2,用二种方法构造求积公式,并给出其公式的代 数精度。
六(10分)证明改进的尢拉法的精度是 2阶的。 七(10分)对模型y ■ = ■・y ,
■:■ 0,讨论改进的尢拉法的稳定性。
八(15分)求方程x 3 4x 2 - 7x - 1 = 0在-1.2附近的近似值,;=10 "。
(试卷二)
一 填空(4*2分)
1 { k (x) }k£是区间[0,1]上的权函数为'(x)=x 2的最高项系数为1的正交多项式族,其中
1
(x ) =1,贝y . X 0( x )dx = ------------ , 1(X )工 -------
数值分析试题集
3 2 * * *
4设非线性方程f (x)二(x -3x - 3x -1)(x • 3) = 0,其根& = -3 ,他 =-1,则求为的近似值时,二阶局部收敛的牛顿迭代公式是 -------------------------------------- 。
广1 —0.5 a '
二(8 分)方程组AX=b,其中A= — 0.5 2 -0.5,X, R3
l -a -0.5 1 』
1试利用迭代收敛的充要条件求出使雅可比迭代法收敛的a的取值范围,a取何值时雅可比迭代
收敛最快?
2选择一种便于计算的迭代收敛的充要条件,求出使高斯-塞德尔迭代法收敛的a的取值范围。
"V " = f(X y)
三(9分)常微分方程初值问题丿'的单步法公式为y n* = y n」+2hf (x n, y n),求该
、、y°= y(x°)
公式的精度。
四(14分)设A X =b为对称正定方程组
1求使迭代过程X k 1二X k •〉(b-A・X k)收敛的数〉的变化范围;
『2 -1 -1、、
1、『0
、
2用此法解方程组-12 0-X2=1
L1 0 (取初值X。=( 1,1,1)T,小数点后保留4位,给出前6次迭代的数据表) (试卷三) on 一设A= ,求A的谱半径P (A),范数为1的条件数cond (A)1。 (—5 1丿 设f (x) =3x2 5,x i =i, (i =0,1,2,…),分别计算该函数的二、三阶差商 f [X n , x n1 x 2],f[x n, X n 1 ,x n '2 , x n '3] 设向量x = (% , X2 , X3)T X" + 2x2+ x3,问它是不是一种向量范数?请说明理由。 若定义||x 若定义11X ||二 2 -1 -1 x1 3x2 -1 2 X3,问它又是不是一种向量范数?请说明理由。 -1 0 ,将矩阵分解为 1」 A二LU,其中L是对角线元素l H0(^ 1,2,3)的 、 2 五 设有解方程12 - 3x 2cosx =0的迭代法x n 1 = 4亠cosx n 3 1证明:对任意x 0三(-::,::),均有lim Xn = x ( x 为方程的根); 2取X 。=4,用此迭代法求方程根的近似值,误差不超过 10;,列出各次迭代值; 3此迭代的收敛阶是多少,证明你的结论。 六对于求积公式 1求该求积公式的代数精度; 2 证明它为插值型的求积公式。 (试卷四) 一填空题(每空5分,共25分) 1设精确值为x =0.054039412,若取近似值x^ 0.05410281,该近似值具有 效数字。 2 2 设 f(x) =3x 5,X i =i (i = 0,1,2,),则三阶差商 f[x n ,x n 1,x n 2,x n 3] (1 1、 3 A = ,贝U P(A)= -------------- 。 5 1丿 勺+1 2" T 亠 4 设A= ,当a 满足条件 ------------ 时,必有分解式 A=LL ,其中 '、、a 4 丿 素为正的下三角阵。 1 1 2 1112 3 5 求积公式 f(x)d^ - f(—) _一 f(—) • _ f(—)的代数精度为 --------------- 。 0 3 4 3 2 3 4 二(10分)设f (X )• C 3[ 0,1],试求一个次数不超过 2的多项式P(x),使得 p(0) = f(0) =1, p(1) = f(1) =e, p(1) = f (1) =e 三(20分)1利用埃米特插值多项式推导带有导数项的求积公式 1 1 1 f(x)dx : 3 【2f (4) ------- 位有 L 是对角线元 b f (x)dx : a b 「a I f (a) f (b) (b - a)2 12 1 f (b) - f (a) -f (!) 2f 2