九年级数学上册 拓展资源 世界著名数学问题 (新版)北师大版(1)
北师大版九年级上册数学 拓展资源：聪明的主意
聪明的主意这是一个夏天，静寂的热气在大地上蒸腾，闪着光，闲散而轻柔的晃动着，俨如在小溪里游动着的鱼。
而远处，那些挡住了视野的山崖不停地闪着青的白的反光。
底下是一片被灼热的阳光所临照的田野，裸麦的花粉在田间飘浮着，像一片轻烟。
泰勒斯正在金字塔的阴影下歇息着，他身边坐着几位和他同龄的贵族子弟。
他们边抽着烟边议论着琐事。
一贵族说道：“亲爱的泰勒斯先生，请您告诉我，你到埃及的日子里有些什么收获呢？总不会空空而回吧？”因为泰勒斯也是贵族出身，在和家人分家的时候，泰勒斯一样东西也不要，只带些钱去埃及游学了。
所以，认识他的人都把他叫做傻子。
而这个贵族正是基于此，想找个法子戏弄他。
泰勒斯从容不迫地答道：“亲爱的先生们，我们或许追求不同、也许你喜欢金钱，也许你喜欢女人，而我则不同，只以追求科学知识为光荣。
”众贵族子弟望着他，泰勒斯又说道：“我这次到埃及游学，我认为我得到了我一生中最大的收获，我把埃及人的几何知识提到了理论高度，并给予证明。
”那贵族说道：“我请问泰勒斯先生，你的那些东西我们都看到过了，那又有什么用呢？它能算出金字塔有多高吗？”泰勒斯听这么一说，当时没有马上想出办法，便说：“怎样测出金字塔的高度，让我回去好好想一想，咱们5天后见！”其实，不但这些贵族子弟想知道金字塔的高度，全埃及的人都想知道。
最着急的应该算尼罗河的祭司们，因为正是这些祭司们掌握着埃及的数学。
到了第5天，泰勒斯如约而至。
由于这些贵族子弟回去后，把泰勒斯要算出金字塔高度的消息告诉了全城百姓，所以金字塔旁人山人海，尼罗河祭司站在最前边。
泰勒斯望着人们，清了清嗓子，说道：“你们不是想知道金字塔的高度吗？这其实是很简单的事。
”人们听他这么一说，嘈杂的人群立时静了下来，千百双眼直盯着泰勒斯。
泰勒斯说道：“当你自己的影子和你身体一样高时，你就去测量金字塔的影长，这便是金字塔的高度。
”多聪明的主意！全城的老百姓怔了一会，忽地拥向泰勒斯，把他高高抬起，欢呼着。
北师大版九年级上册数学 拓展资源：生日相同的故事
生日相同的故事
有一次，美国数学家伯格米尼去观看世界杯足球赛，在看台上随意挑选了22名观众，叫他们报出自己的生日，结果竟然有两人的生日是相同的，使在场的球迷们感到吃惊。
还有一个将军也作了一次试验。
一天他与一群高级军官用餐,席间大家天南地北地闲聊。
慢慢地,话题转到生日上来。
他说:“我们来打个赌。
我说,我们之间有两个人的生日相同。
”
“赌输了,罚酒三杯!”在场的军官们都很感兴趣,“行！”在场的各人把生日一一报出，结果没有生日恰巧相同的。
“快！你可得罚酒啊！”
突然，一个女佣在门口说：“先生，我的生日正巧与那边的将军一样”。
大家傻了似的望望女佣。
他趁机赖掉了三杯罚酒。
——摘自《初中新课标优秀教案》（有改动）。
数学北师大版九年级上册《猜想、证明与拓广》课件公开课(1)
已知正方形
所求正形
边长 周长 面积
证明 a
2a（2倍）
4a
8a（2倍）
a2
4a2（4倍）
5
任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积 分别是已知矩形周长和面积2倍？如果存在，所求矩形的长和宽
拓广 分别是多少？
6
猜想 猜想方法：将矩形的长和宽分别赋予具体的数值进行计算证明
（长，宽） 周长 面积
1
综合与实践
猜想、证明与拓广(一)
问题1
如图所示是一个美丽的正 方形，是否存在另一个正方形， 它的周长和面积分别是原来正
2 方形周长和面积的 倍？
2
龙川一中校园一角
3
猜想方法：将正方形的边长赋予具体的数值进行计算
已知正方形
所求正方形
边长 周长 面积
猜想 1
2（2倍）
4
8（2倍）
1
4（4倍）
4
证明方法一：将正方形的边长赋予一个不确定值的字母进行计算证明
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已知矩形 （2，1）
6 2
所求矩形 （？，？）
12 4
怎样求长和宽，使其周长是12，面积是4？
猜想方法 列举法：固定周长12，列举长和宽，查找面积是4的长和宽的数值 固定面积4，列举长和宽，查找周长是12的长和宽的数值 方程法：以长是2，宽是1的矩形为例
九年级数学上册2.6第1课时几何问题与数字问题习题课件新版北师大版
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•3
2．以正方形木板的一条边为边，在正方形的木板上锯掉一个2 m宽 的长方形木条，若剩余木板的面积是48 m2，则原来这块木板的面积 是__6_4_____m2.
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•7
5．(2016·巴彦淖尔)如图，某小区有一块长为30 m，宽为24 m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们 的面积之和为480 m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人 行通道，则人行通道的宽度为________m.
2
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•8
6．如图是一个矩形花园，花园长为100 m，宽为50 m，在它的四角 各建有一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭 等宽的观光大道，其余部分(图中阴影部分)种植的是不同花草．已 知种植花草部分的面积为3 600 m2，那么矩形花园各角处的正方形 观光休息亭的边长为多少米？
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•10
9．一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的 个位数字与十位数字互换后平方，所得的数值比原来的两位 数大138，求原来的两位数．
设原来的两位数的个位数字为 x，则十位数字为(x＋2)，根据 题意得(10x＋x＋2)2＝10(x＋2)＋x＋138，解得 x1＝－1114(舍 去)，x2＝1，则原来的两位数为 31.
设正方形观光休息亭的边长为x m．依题意，有 (100－2x)(50－2x)＝3 600.整理，得x2－75x＋ 350＝0.解得x1＝5，x2＝70.∵x＝70＞50，不合 题意，舍去，∴x＝5.答：正方形观光休息亭的 边长为5 m．
北师大版九年级上册数学 拓展资源：本章检测题
本章检测题一、填空题： 1．已知反比例函数xm y 23-=，当______m 时，其图象的两个分支在第一、三象限内；当______m 时，其图象在每个象限内y 随x 的增大而增大； 2．若直线)0(11≠=k x k y 和双曲线0)(22≠=k xk y 在同一坐标系内的图象无交点，则 1k 、2k 的关系是_________；3．若反比例函数xk y 3-=的图象位于一、三象限内，正比例函数x k y )92(-=过二、四象限，则k 的整数值是________；4．反比例函数xky =的图象经过点P （a ，b ），且a 为是一元二次方程042=++kx x 的两根，那么点P 的坐标是________ _，到原点的距离为_________；5．反比例函数x ky =的图象上有一点P （m ，n ），其坐标是关于t 的一元二次方程032=+-k t t 的两个根，且点P 到原点的距离为5，则该反比例函数解析式为___ __ 二、选择题：6.如果函数12-=m x y 为反比例函数，则m 的值是 （ ） A 1- B 0 C 21D 1 7．如图，A 为反比例函数xky =图象上一点，AB ⊥x 轴与点B ，若3=∆AOB S ，则k 为（ ）A 6B 3C 23D 无法确定 8．若b y +与ax +1成反比例，则y 与x 的函数关系式是 （ ） 9．A. 正比例 B. 反比例 C. 一次函数 D. 二次函数9．函数x ky =的图象经过（1，)1-，则函数2-=kx y 的图象是 （ ）10．在同一坐标系中，函数x ky =和3+=kx y 的图像大致是 （ ）A B C D11．已知反比例函数)0(<=k xky 的图像上有两点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，且21x x <，则21y y -的值是 （ ） A 正数 B 负数 C 非正数 D 不能确定12．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校。
九年级数学上册-北师大版九年级上册数学 拓展资源：趣味方程一例
趣味方程一例
方程在生活中的应用非常广泛。
生活中可以结合生活经验、生产实际情况及合理运算后，进行大胆的估测。
您知道吗？
根据下面文字您能猜出周瑜当时多少岁吗？
大江东去浪淘尽，千古风流人物，
而立之年督东吴，英年早逝两位数。
十位恪小个位三，个位平方与寿符。
哪位学子，多少年华属周瑜？
分析：
[列出方程式，并估算周瑜去世时的年龄]
由题意“则立之年督东吴”可估计周瑜年龄就在30-50之间。
解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为（x-3）。
依题意得
x2=10（x-3）+x
x2-11x+30=0
由题意可知：x-3在3，4之间选择，则x为6或7。
当x=6时，年龄为36，符合“个位平方与寿符”。
当x=7时，年龄为47，不符合题意。
故周瑜去世时年龄为36岁。
九年级数学上册-北师大版九年级上册数学 拓展资源：拼图游戏中的概率(2)
拼图游戏中的概率
记得小的时候，母亲和我经常用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图1所示，背面完全一样，将它们背面朝上搅匀后，先抽取一张后，放回搅匀，再抽取第二张．规则如下：
当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，我赢；
当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，母亲赢（如图2）．
结果总是母亲赢得多，而我赢的少。
问题：游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？
房子
电灯小山
小人
（图2）
（图1）。
北师大版九年级上册数学 拓展资源：聪明的主意
聪明的主意这是一个夏天，静寂的热气在大地上蒸腾，闪着光，闲散而轻柔的晃动着，俨如在小溪里游动着的鱼。
而远处，那些挡住了视野的山崖不停地闪着青的白的反光。
底下是一片被灼热的阳光所临照的田野，裸麦的花粉在田间飘浮着，像一片轻烟。
泰勒斯正在金字塔的阴影下歇息着，他身边坐着几位和他同龄的贵族子弟。
他们边抽着烟边议论着琐事。
一贵族说道：“亲爱的泰勒斯先生，请您告诉我，你到埃及的日子里有些什么收获呢？总不会空空而回吧？”因为泰勒斯也是贵族出身，在和家人分家的时候，泰勒斯一样东西也不要，只带些钱去埃及游学了。
所以，认识他的人都把他叫做傻子。
而这个贵族正是基于此，想找个法子戏弄他。
泰勒斯从容不迫地答道：“亲爱的先生们，我们或许追求不同、也许你喜欢金钱，也许你喜欢女人，而我则不同，只以追求科学知识为光荣。
”众贵族子弟望着他，泰勒斯又说道：“我这次到埃及游学，我认为我得到了我一生中最大的收获，我把埃及人的几何知识提到了理论高度，并给予证明。
”那贵族说道：“我请问泰勒斯先生，你的那些东西我们都看到过了，那又有什么用呢？它能算出金字塔有多高吗？”泰勒斯听这么一说，当时没有马上想出办法，便说：“怎样测出金字塔的高度，让我回去好好想一想，咱们5天后见！”其实，不但这些贵族子弟想知道金字塔的高度，全埃及的人都想知道。
最着急的应该算尼罗河的祭司们，因为正是这些祭司们掌握着埃及的数学。
到了第5天，泰勒斯如约而至。
由于这些贵族子弟回去后，把泰勒斯要算出金字塔高度的消息告诉了全城百姓，所以金字塔旁人山人海，尼罗河祭司站在最前边。
泰勒斯望着人们，清了清嗓子，说道：“你们不是想知道金字塔的高度吗？这其实是很简单的事。
”人们听他这么一说，嘈杂的人群立时静了下来，千百双眼直盯着泰勒斯。
泰勒斯说道：“当你自己的影子和你身体一样高时，你就去测量金字塔的影长，这便是金字塔的高度。
”多聪明的主意！全城的老百姓怔了一会，忽地拥向泰勒斯，把他高高抬起，欢呼着。
九年级数学上册-综合与实践-猜想、证明与拓广教案-(新版)北师大版-(新版)北师大版初中九年级上册数
猜想、证明与拓广1. 经历猜想、证明、拓广的过程, 增强问题意识和自主探索意识, 获得探索和发现的体验.2. 在问题解决过程中综合运用所学的知识, 体会知识之间的内在联系, 形成对数学的整体性认识.3. 在探究过程中, 感受由特殊到一般的思维规律和数形结合、函数与方程的思想方法,体会证明的必要性.4．在合作交流中扩展思路, 发展学生的推理能力, 培养团队合作精神．重点探究“任意给定一个矩形, 是否存在另一个矩形, 它的周长和面积, 分别是已知矩形周长和面积的2倍”, 从而获得解决问题的方法和途径.难点综合运用一元二次方程、方程组、函数等知识发现具有一般性的结论.一、情境导入教师: 同学们, 图片中的人物你们认识吗？对, 他是伟大的物理学家——牛顿. 他在思考苹果为什么落地的问题时, 首先做出了大胆的猜想, 最终得出了一个伟大的结论——牛顿万有引力定律. 同时也给我们留下了一句名言: 没有大胆的猜想, 就没有伟大的发现与发明. 当然, 仅靠大胆的猜想, 并不能对问题作出正确的决策和判断, 那么, 怎样才能对问题作出全面、正确的决策和判断呢？本节课我们就一起探究解决问题的策略与方法——猜想、证明与拓广.二、探究新知1. 感悟猜想教师: 已知一个正方形, 是否存在另一个正方形, 它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？引导学生思考：(1)要对这个问题作出合理的猜想, 首先应怎么做？(2)你得出的猜想是什么？你的猜想对任意正方形一定适用吗？学生讨论交流后回答, 教师点评, 并进一步讲解:猜想是在对具体事例的研究结论的基础上, 通过类比或归纳得出的具有普遍性的结论．猜想前所需经历的重要过程就是特例尝试, 要使得猜想合理化, 就要通过特例尝试．2. 体会证明猜想结论：任意给定一个正方形, 不存在另一个正方形, 使它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍．教师: 你的猜想正确吗？对任意正方形一定适用吗？如何知道猜想的正确性？学生思索、讨论、交流意识到: 通过几个特例得来的猜想不一定适用于所有正方形, 必须要经过证明从而体会到证明的必性．3. 学会拓广教师: 由正方形的倍增问题的结论出发, 从改变图形或改变条件或将此结论向更一般化的规律上去拓广等角度出发, 你能提出新的问题吗？学生思考、讨论、交流, 分析出：此命题受图形、周长、面积及2倍等条件因素的影响.教师：如果改变某一条件，新的命题就会生成，这就是拓广．拓广就是改变命题的某一条件，生成新的命题；拓广就是新一轮的猜想；拓广就是举一反三、思维的更高境界.三、举例分析例 1 任意给定一个矩形, 是否存在另一个矩形, 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？面对矩形倍增问题, 你有怎样的研究过程和步骤？请说出你的研究步骤.学生小组合作研讨解决此问题的主体步骤. 每组可任选一种矩形的长和宽进行研究. 然后得出确定的结论, 注意解题策略的多样性, 小组活动后展示本组的思维成果.例 2 任意给定一个矩形, 是否一定存在另一个矩形, 它的周长和面积, 分别是已知矩形周长和面积的一半？学生思考、讨论、交流、归纳.四、练习巩固1. 当矩形满足什么条件时, 存在一个新矩形, 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？2. 自学教材第168页“读一读”.五、小结1. 知识方面:(1)任意给定一个正方形, 一定不存在另一个正方形, 它的周长和面积分别是已知正方形的2倍；(2)任意给定一个矩形, 一定存在另一个矩形, 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍．2. 数学思想方法方面:(1)转化思想——几何中图形是否存在的问题, 常常把它转化为代数中方程是否有解的问题加以解决；(2)特殊到一般的思想——对一个问题的研究, 一般先从特殊开始, 然后再到一般．六、课外作业教材169～170页习题第1～4题.在实际教学中, 我们常被课本或教学参考书中的教学设计模式牢牢套住, 授课时按部就班, 有时显得十分牵强附会. 本设计尽可能做到摆脱课本内容模式对授课过程的束缚, 在学生行动上先从简单易操作的动手试验入手, 力求营造一个轻松愉快的课堂氛围, 激发学生的学习兴趣和求知欲. 在内容上先从最特殊的正方形的探究入手, 让学生在轻松愉快的活动过程中建立起思考和解决问题的模式. 然后循序渐进, 通过类比、实验、探索、猜想、验证和拓广的数学模型, 提出和解决了矩形的相关问题. 然而, 本课题中的具体问题仅是一个展示平台, 在教学活动中感悟问题的产生和提出, 体会知识的归纳、综合与拓展, 领会处理与解决问题的方法与策略, 积累一定的数学活动经验, 才是本课题教学应追某某现的目标. 因此, 本节课教学更侧重于学生数学活动水平的提高, 努力渗透数学思想方法、问题的处理和解决策略等, 并力求做到人人参与, 使不同的学生均有不同的收获.。
北师大版九年级上册数学拓展资源：三视图
三视图
能够正确反应物体长、宽、高尺寸的工程图（主视图，俯视图，左视图三个）
为三视图，这是工程界一种对物体几何形状商定俗成的抽象表达方式。
形成
以下图，第一将形体搁置在我们前方成立的V 、H 、W三投影面系统
中，而后分别向三个投影面作正投影。
形体在三投影面系统中的摆放地点应注意以下
两点：
1)应使形体的多半表面 ( 或主要表面 ) 平行或垂
直于投影面 ( 即形体正放 )
2)形体在三投影面系统中的地点一经选定，在
投影过
程中是不可以挪动或更改，直到全部投影都进行完成。
这样规定的目的主假如为了画图读图方便和研究问题的方便。
在三个投影面上作出形体的投影后，为了作图和表示的方便，将空间三个投
影面睁开铺平在一个平面上。
其规定展法是，以下列图所示：
V面保持不动，将 H 面和 W 面按图中箭头所指 ,
方向分别绕 OX 和 OZ 轴，使 H 面和 W 面均与
V面处于同一平面内，即得以下图的形体的。
从上述三面投影图的形成过程可知，各面投影图
的形状和大小均与投影面的大小没关。
此外，我们能够想象，假如形体上、下、前、后、左、右平行挪动，该形体的三面投影图仅在投影面上的地点有所变化，而其形
状和大小是不会发生变化的，即三面投影图的形状和大小与形体和投影面的距离也即与投影轴的距离没关。
所以，在画三面投影图时，一般不画出投影面的大小
( 即不画出投影面的边框线 ) ，也不画出投影轴。
规定： V 面投影图称为 ; H面投影图称为；W 面投影图称为。
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1
世界著名数学问题
哥尼斯堡七桥问题
18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和
河岸连结，如下图所示。城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走
遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是七桥问题，一个著名的图
论问题。
这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到
了大数学家欧拉那里。欧拉很快证明了这样的走法不存在。欧拉是这样
解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地
看成A、B、C、D四点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如下图。
于是“七桥问题”就等价于图中所画图形的一笔画问题了。欧拉注意到，
每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须
有偶数个才能完成一笔画。图2的每个点都连接着奇数条边，因此不可
能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次
的走法。欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个
初等的例子。
四色问题
地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里的英国大学生
提出来的。四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有
共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示，即“将平面任意地
细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之
一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这里所指的相邻区域，是指有一整
段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。因为用相同的颜
色给它们着色不会引起混淆。虽然四色定理证明了任何地图可以只用四个颜色着色，但是这
个结论对于现实上的应用却相当有限。现实中的地图常会出现两个不连通的区域属于同一个
国家的情况（如美国的阿拉斯加州），而制作地图时我们仍会要求这两个区域被涂上同样的
颜色，在这种情况下，四个颜色是不够用的。
哥德巴赫猜想
1742年德国人哥德巴赫给大数学家欧拉写了一封信，在信中提出两个问题：一，是否每个
大于4的偶数都能表示为两个奇质数之和？如6=3+3，14=3+11等。二，是否每个大于7的
奇数都能表示3个奇质数之和？如9=3+3+3，15=3+5+7等。这就是著名的哥德巴赫猜想。它
是数论中的一个著名问题，常被称为数学皇冠上的明珠。
实际上第一个问题的正确解法可以推出第二个问题的正确解法，因为每个大于7的奇数显然
可以表示为一个大于4的偶数与3的和。1937年，苏联数学家维诺格拉多夫利用他独创的
“三角和”方法证明了每个充分大的奇数可以表示为3个奇质数之和，基本上解决了第二个
问题。但是第一个问题至今仍未解决。由于问题实在太困难了，数学家们开始研究较弱的命
题：每个充分大的偶数可以表示为质因数个数分别为m、n的两个自然数之和，简记为“m+n”。
1920年挪威数学家布龙证明了“9+9”；以后的20几年里，数学家们又陆续证明了“7+7”，
“6+6”，“5+5”，“4+4”，“1+c”，其中c是常数。1956年中国数学家王元证明了“3+4”，随
后又证明了“3+3”，“2+3”。60年代前半期，中外数学家将命题推进到“1+3”。1966年中国
2
数学家陈景润证明了“1+2”，这一结果被称为“陈氏定理”，至今仍是最好的结果。陈景润
的杰出成就使他得到广泛赞誉，不仅仅是因为“陈氏定理”使中国在哥德巴赫猜想的证明上
处于领先地位，更重要的是以陈景润为代表的一大批中国数学家克服重重困难，不畏艰险，
永攀高峰的精神将鼓舞和激励有志青年为使中国成为21世纪世界数学大国而奋斗！