均值不等式综合复习题

基本不等式巩固提高

例 1.解不等式

25123

x

x x -<---

（答：(1,1)(2,3)-）； 2. 若2

log 13

a

<，则a 的取值范围是__________ 3 .关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02

>-+x b

ax 的解集为____________

（答：),2()1,(+∞--∞ ）

基本不等式

（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为

定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”

常用方法 (1)凑项 例1：已知5

4x <，求函数14245

y x x =-+-的最大值。

(2)凑系数 例2. 当时，求(82)y x x =-的最大值

(3)分离

例3. 求2710

(1)1

x x y x x ++=

>-+的值域。 配出含有（x ＋1）的项，再将其分离。

练习

1. 已知a ，b 都是正数，则 a ＋b 2

、

a 2＋

b 2

2

的大小关系是 。

2.已知

12

1(0,0),m n m n

+=>>则mn 的最小值是 3.已知：226x y +=， 则 2x y +的最大值是＿＿＿

4求1

(3)3

y x x x =

+>-的最小值. 5求(5) (05)y x x x =-<<的最大值.

6求1

(14)(0)4

y x x x =-<<的最大值。

7求12

3 (0)y x x x

=+<的最大值.

8若2x >，求1

252

y x x =-+-的最小值

9若0x <，求21

x x y x

++=的最大值。

10求222

y x =+的最小值.

习题A

1.已知a ＞0,b ＞0，a

1+b

3=1，则a+2b 的最小值为( )

+2

6

B.2

3

+2

3

2.设a ＞0,b ＞0,下列不等式中不成立的是( ) A.

b

a a

b +≥2 +b 2

≥2ab

C.b

a a

b 22+

≥a+b

D.b a

11+≥2+

b

a +2

3.已知x ＞0,y ＞0，x,a,b,y 成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则()cd

b a 2

+的最小

值是( )

B.1

D. 4

+3y-2=0，则3x +27y +1的最小值为 ( )

B.339

+2

2

5.若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1］恒成立，则a 的取值范围为( ) A.[)+∞,0

B.[)+∞-,4

C.[)+∞-,5

D.[]4,4-

6.在下列函数中，当x 取正数时，最小值为2的是( ) =x+x

4

=x

x lg 1

lg +

=1

1122++

+x x =x 2-2x+3

7.已知0＜x ＜1，则x(3-3x)取得最大值时x 的值为( ) A.3

1

B.2

1

C.4

3

D.3

2

8.若直线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）平分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0，则a

2+b

1的最小值是

( )

B.5

2

+2

2

9.函数y=log 2x+log x (2x)的值域是( ) A.(]1,--∞

B.[)+∞,3

C.[]3,1-

D.(][)+∞--∞,31,

10.有一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的框架，有下列四种长度的钢管供应用，其中最合理（够用且最省）的是( ) A.4.7 m

B.4.8 m

C.4.9 m

D.5 m

11.已知x,y,z ∈R +

，x-2y+3z=0,xz

y 2

的最小值是 .

12.若实数a,b 满足ab-4a-b+1=0 (a ＞1),则(a+1)(b+2)的最小值为 . 13.若a,b 是正常数，a ≠b,x,y ∈(0,+∞)，则x a 2+y

b 2≥()y

x b a ++2,当且仅当x

a =y

b 时

上式取等号.利用以上结论，可以得

到函数f(x)=x

2+

x

219-⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈210,x 的最小值为 ，取最小值时x 的值

为 .

14.（1）已知0＜x ＜3

4，求x(4-3x)的最大值；

（2）点(x,y)在直线x+2y=3上移动，求2x +4y 的最小值.

15.已知a 、b ∈（0，+∞），且a+b=1,求证： (1)a 2+b 2≥2

1;

(2)2

1a

+

2

1b

≥8;

(3)2

1⎪

⎭⎫

⎝

⎛+a a + 2

1⎪

⎭⎫

⎝

⎛+b b ≥2

25;

(4) ⎪

⎭⎫

⎝

⎛+a a 1⎪⎭

⎫ ⎝⎛

+b b 1≥

425.

习题B 一、选择题

1．若02522>-+-x x ，则221442-++-x x x 等于（ ）

A ．54-x

B ．3-

C ．3

D ．x 45-

2．函数y ＝log 2

1（x ＋11+x ＋1） （x > 1）的最大值是 （ ）