四边形间的关系和内角和
四边形 多边形的内角和
四边形多边形的内角和知识要点：1.四边形的有关概念:内角、外角、对角线、凸四边形。
2.凸四边形：把四边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫凸四边形。
如图（1）是凸四边形，下图（2）不是凸四边形。
图（1）图（2）我们只研究凸四边形和凸多边形。
3.多边形的对角线,四边形有两条对角线。
如图，四边形ABCD中，AC，BD是它的两条对角线。
类似地我们可以给出多边形对角线的概念，如图，五边形ABCDE中，AC，AD，BD，BE，CE是它的五条对角线。
即=5（条）。
同样，我们可以计算出六边形有=9（条）对角线（请同学们自己动手画图）……。
我们可以得出n边形的对角线有条（n为正整数）。
4.四边形内角和定理：四边形内角和等于360°，（一条对角线将四边形分成两个三角形，由此推出四边形内角和为2×180°=360°）。
类似地我们可以得出五边形内角和为3×180°=540°，n边形内角和等于(n-2)·180°（即多边形内角和定理）。
四边形外角和等于360°，任意多边形的外角和也是360°（多边形内角和定理的推论）。
5.多边形的有关问题多边形的内角和定理：n边形的内角和为180°(n-2)。
多边形的外角和定理：多边形的外角和为360°。
多边形的对角线：多边形共条对角线。
注意问题1、关于四边形的概念，可以仿照三角形，通过类比的分法来建立，但要注意的是，三角形的三个顶点确定一个平面，所以三顶点总是共面的，也就是说三角形一定是平面图形，但四边形就不是这样，它的四个顶点有不共面的情况，又限于我们现在研究的是平面图形，所以在四边形的定义加上“在同一平面内”这个条件。
2、三角形的三边确定后，三角形的形状就确定了，而四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变，四边形改变形状时，只改变某些角的大小，它的边长不变，周长不变，这正是四边形的不稳定性，但它仍是四边形，所以它的内角和不变。
与四边形有关的定理：
与四边形有关的定理：48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d wc呁/S∕-?84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值与圆有关的定理101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
四边形内角关系
四边形内角关系四边形是几何学中的基本图形之一，其内角关系也是几何学中的重要内容之一。
本文将从四边形的定义、分类、性质以及内角关系等方面进行详细阐述。
一、四边形的定义和分类1. 四边形的定义四边形是一个有四条边和四个顶点的平面图形，每两条相邻的边都在一个顶点处相交。
2. 四边形的分类按照四边形各边长度和角度大小不同，可以将其分为以下几类：（1）矩形：具有两组对称且相等的内角，每组内角之和为180度。
（2）正方形：具有四个对称且相等的内角，每个内角为90度。
（3）平行四边形：具有对称且相等的对边，并且对角线互相平分。
（4）菱形：具有对称且相等的对角线，并且每个内角为90度。
（5）梯形：具有一组平行且不等长的对边。
二、四边形性质1. 四边形各顶点连线成一条封闭曲线，称为周长。
2. 四边形面积可以用底和高计算得出。
其中矩形、正方形和菱形的面积可以用对角线计算得出。
3. 四边形内部有一条对角线，连接两个非相邻顶点。
对角线的长度可以用勾股定理计算得出。
4. 四边形的内角和为360度。
三、四边形内角关系1. 矩形内角关系矩形有两组对称且相等的内角，每组内角之和为180度。
因此，矩形的四个内角都是直角（90度）。
2. 正方形内角关系正方形具有四个对称且相等的内角，每个内角为90度。
因此，正方形的四个内角都是直角（90度）。
3. 平行四边形内角关系平行四边形具有对称且相等的对边，并且对角线互相平分。
因此，平行四边形的相邻两个内角互补（180度），非相邻两个内角互补（180度）。
4. 菱形内角关系菱形具有对称且相等的对角线，并且每个内角为90度。
因此，菱形的非邻接两个内角互补（180度）。
5. 梯形内角关系梯形具有一组平行且不等长的对边。
因此，梯形的相邻两个内角互补（180度），非相邻两个内角之和等于梯形的对角线夹角。
四、总结四边形是几何学中的基本图形之一，其内角关系也是几何学中的重要内容之一。
根据四边形的定义、分类、性质以及内角关系等方面进行详细阐述，可以更好地理解和掌握四边形的相关知识。
四边形内角和的性质
04
四边形内角和的实 际应用
在几何作图中的应用
利用四边形内角 和性质绘制平行 线
利用四边形内角 和性质构造直角 三角形
利用四边形内角 和性质证明几何 定理
利用四边形内角 和性质解决几何 问题
在建筑设计中的应用
利用四边形内角和性质优化建筑结构设计，提高空间利用率。 通过四边形内角和性质实现建筑外观的多样性和美观性。 利用四边形内角和性质进行建筑采光和通风设计，提高居住舒适度。 利用四边形内角和性质进行建筑节能设计，降低能耗，提高能源利用效率。
添加标题
对于凹多边形，其内角和的计算方法与凸多边形类似，但需要考虑凹进去的角的性 质。
拓展到高维空间
将四边形内角 和的性质推广 到三维空间， 可以得到四面 体的内角和性
质。
进一步推广到 n维空间，可 以得到任意n 维多边形的内 角和性质。
通过高维空间 的几何变换， 可以探究更复 杂的几何问题。
高维空间的几 何学在物理学、 工程学等领域 有广泛的应用。
证明方法
连接对角线，将 四边形分割成两 个三角形
利用三角形内角 和性质，计算四 边形内角和
证明四边形内角 和等于360度
总结证明过程， 强调四边形内角 和的性质
应用场景
几何学研究：四 边形内角和的性 质是几何学中的 基本概念，对于 理解几何形状的 性质和特点非常 重要。
数学教育：在数 学教育中，四边 形内角和的性质 是中学数学课程 中的重要内容， 对于培养学生的 逻辑思维和问题 解决能力具有重 要意义。
05
四边形内角和的推 广与拓展
推广到其他多边形
添加标题
三角形内角和为180度，四边形内角和为360度，五边形内角和为540度，以此类推， n边形内角和为(n-2)*180度。
《四边形的内角和》(教案)-四年级下册数学人教版
《四边形的内角和》（教案）四年级下册数学人教版教案：《四边形的内角和》一、教学内容本节课的教学内容来自于四年级下册数学人教版，主要涉及第四章《四边形》的一个知识点——四边形的内角和。
具体章节为第73页至第75页，内容包括四边形的定义、四边形的内角和定理以及如何计算四边形的内角和。
二、教学目标1. 让学生理解四边形的定义，掌握四边形的内角和定理。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：理解并证明四边形的内角和定理。
2. 教学重点：掌握四边形的内角和定理，并能运用到实际问题中。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。
2. 学具：课本、练习本、尺子、圆规。
五、教学过程1. 实践情景引入：让学生观察教室里的四边形物体，如桌椅、窗户等，引导学生发现四边形的特点。
2. 知识讲解：讲解四边形的定义，解释四边形的内角和定理，并通过多媒体展示四边形的内角和定理的证明过程。
3. 例题讲解：出示例题，如计算一个矩形的内角和，引导学生运用内角和定理进行计算。
4. 随堂练习：让学生独立完成课本上的练习题，检测学生对内角和定理的掌握情况。
5. 小组讨论：让学生分组讨论如何将内角和定理应用到实际问题中，如计算教室里某个四边形物体的内角和。
6. 成果展示：邀请几组学生上台展示他们的讨论成果，并解释他们的解题过程。
六、板书设计板书设计如下：四边形的内角和定理1. 定义：四边形是有四个边的平面图形。
2. 内角和定理：四边形的内角和等于360度。
七、作业设计（1）矩形（2）三角形（3）平行四边形2. 答案：（1）矩形：360度（2）三角形：180度（3）平行四边形：360度八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对四边形的内角和定理的掌握情况较好，但在实际应用中，部分学生仍存在一定的困难。
在今后的教学中，应加强学生的实际操作练习，提高他们的应用能力。
人教版四下数学四边形的内角和PPT
四边形的内角和
四边形的内角和
旧知回顾
人教版数学四年级下册第五单元
2 三角形的内角和是180 °
1
3
四边形的内角和
新知引入
人教版数学四年级下册第五单元
四边形的内角和是 多少度呢？
四边形的内角和
探索新知
人教版数学四年级下册第五单元
我们已经学过的四边形有哪些呢？
长方形、正方形、梯形……
拼
（拼角求和）
四边形的内角和
分析与操作
（分角求和）
人教版数学四年级下册第五单元
四边形的内角和 等用四于一边两条形对个的角三内线角角将形分四到边 形了分的两割内个成角三两角和个形三中角形
四边形的内角和
人教版数学四年级下册第五单元
回顾与反思 拼角求和、分角求和、量角求和
四边形的内角和都是 360°。
四边形的内角和
分析与操作
人教版数学四年级下册第五单元
长方形和正方形的内角和： 90°× 4 = 360°
四边形的内角四和边形的内角和
探索新知
人教版数学四年级下册人第教五版单数元学第四三年级下册第五单元 节第二课时
这些四边形 的内角和也 是360°吗 ？
四边形的内角和
分析与操作
剪
人教版数学四年级下册第五单元
四边形的内角和
拓展提升
人教版数学四年级下册第五单元
我发现： （1）分出的三角形个数=多边形的边数 （2）多边形的内角和=180°×边数-360°
四边形的内角和
课堂小结
人教版数学四年级下册第五单元
360 °
四边形的内角和
练习
人教版数学四年级下册第五单元
求多边形内角和的方法还有很多，希 望同学们课后继续认真探究、动手实践、 收获更多计算多边形内角和的方法。
四边形的内角和
解决问题
180°×2＝360°
结论： 四边形内角和等于360°
四边形内角和定理 ： 四边形内角和等于360°
在四边形ABCD中， D
A ∠A+ ∠B＋∠C+∠D=360°
B
C
知识的应用
1. 画一画，算一算，你发现了什么？
6 2 3
7
180º ×4 180º ×5
多边形的内角和＝180º ×（边数－2）。 我发现每个多边形都可以分成“边 数”－2个三角形，
知识的应用
2. 画一画，算一算，你发现了什么？
我也是把每个多边形分成三角形，但我的 分法与他的不同，分出的三角形的个数与 多边形的边数相同。
Hale Waihona Puke 多边形的内角和＝180º×边数－360º。
6
180º ×4－360º ＝360º 180º ×5－360º ＝540º
7
180º ×7 －360º ＝900º
7.3.2 四边形的内角和
复习回顾
三角形内角和定理：
三角形内角和等于180°
复习旧知
四边形可以分成几种图形：长方形、 正方形、梯形……
这些图形的内角和是不 是一样的呢？
画出不同的四边形，你知道四 边形四个角度数的和是多少吗？
看看你能有哪些不同 的方法，快试试吧！
长方形内角和
长方形的四个角也都是直 角，所以长方形的内角和 是360°
180º ×6 －360º ＝720º
知识的应用
这两种不同的分 法得出的结论相 同吗？
多边形的内角和＝180º×（边数－2）
多边形的内角和＝180º×边数－360º
谢谢！
正方形内角和
正方形的四个角都是直角， 所以正方形的内角和是 360°
多边形内角和和外角和的公式
多边形内角和和外角和的公式多边形是指由三个或更多条线段组成的封闭图形。
在数学中，多边形的内角和和外角和是一个重要的概念。
本文将介绍多边形的内角和和外角和的公式，并解释其含义和应用。
1. 多边形的内角和公式多边形的内角和指的是多边形内部所有角的和。
对于任意n边形（其中n大于等于3），其内角和可以通过以下公式计算得出：内角和 = (n - 2) × 180度这个公式的推导可以通过将多边形分割成n-2个三角形来进行。
每个三角形的内角和为180度，因此n边形的内角和就是(n-2)个三角形的内角和之和。
举例来说，对于一个三角形（3边形），其内角和为180度。
对于一个四边形（四边形），其内角和为360度。
对于一个五边形（五边形），其内角和为540度。
依此类推，随着边数的增加，多边形的内角和也会增加。
2. 多边形的外角和公式多边形的外角和指的是多边形外部所有角的和。
对于任意n边形，其外角和可以通过以下公式计算得出：外角和 = 360度这个公式的推导可以通过将多边形的每个外角和其相邻的内角相加得到。
根据三角形的性质可知，三角形的外角和为360度。
因此，不论多边形的边数是多少，其外角和始终为360度。
举例来说，对于一个三角形，其外角和为360度。
对于一个四边形，其外角和为360度。
对于一个五边形，其外角和为360度。
可见，不论多边形的边数是多少，其外角和始终为360度。
3. 内角和和外角和的关系内角和和外角和有一个重要的关系：它们的和始终等于多边形的边数乘以180度。
这可以通过以下公式表示：内角和 + 外角和= n × 180度这个公式的推导可以通过将多边形的每个内角和其对应的外角相加得到。
根据三角形的性质可知，内角和和外角和的和为180度。
因此，多边形的每个内角和其对应的外角的和为180度。
由于多边形共有n个内角和n个外角，所以它们的和为n × 180度。
举例来说，对于一个三角形，其内角和为180度，外角和为360度，满足内角和 + 外角和= 3 × 180度。