数学：2.2.1《综合法和分析法》教案(新人教A版选修2-2)
高中数学 2.2.1综合法和分析法教案 新人教A版选修1—2
2.2.1 综合法和分析法教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则12114a a +≥”，试请此结论推广猜想. （答案：若12,.......n a a a R +∈，且12....1n a a a +++=，则12111....n a a a +++≥ 2n ） 2. 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c++≥. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？3. 提问：基本不等式的形式？4.讨论：如何证明基本不等式(0,0)2a b a b +>>. （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）二、讲授新课：1. 教学例题：(1).出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc . 分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点(2).提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.(3) .练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>. (4) .出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？→ 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）(5). 出示例3>讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？→ 板演证明过程 （注意格式）→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法(6).提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.框图表示： 要点：逆推证法；执果索因.(7). 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：11223332()()x y x y +>+.先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.(8). 出示例4：见教材P 48. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）(9). 出示例5：见教材P 49. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）2. 练习：1.,A B 为锐角，且tan tan tan A B A B +，求证：60A B +=. （提示：算tan()A B +）2. 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c+≥--- 3. 证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：设截面周长为l ，则周长为l 的圆的半径为2l π，截面积为2()2l ππ，周长为l 的正方形边长为4l ，截面积为2()4l ，问题只需证：2()2l ππ> 2()4l .3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ⋅⋅⋅，直到所有的已知P 都成立；比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）三、巩固练习：1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P 52 练习 1题）（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c+=++++.3. 设a , b , c 是的△ABC 三边，S 是三角形的面积，求证：2224c a b ab --+≥.略证：正弦、余弦定理代入得：2cos 4sin ab C ab C -+≥，即证：2cos C C -≥cos 2C C +≤，即证：sin()16C π+≤（成立）.作业：教材P 54 A 组 1题.。
数学：2.2.1《直接证明与间接证明-综合法和分析法》PPT课件(新人教选修2-2)
P1 P2
P2 P3
…
得到一个明显 成立的结论
例:设a,b,c为一个三角形的三
边,且s2=2ab,s 试证s<2a
1 = (a + b + c), 2
例:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB 的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足 S 为F,求证 AF⊥SC
证明:要证AF⊥SC 只需证:SC⊥平面AEF 只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC 只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
F E
A
B
C
因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
π 例. 已知α, β≠ kπ+ (k Z),且 2 sinθ+ cosθ= 2sinα sinθcosθ= sin β 1 - tan α 1 - tan β 证: 求 = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β)
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-2
2.2.1《直接证明与间接证 明-综合法和分析法》
教学目标
结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两 种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和 综合法的思考过程、特点. 教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法 的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思 考过程、特点，选择适当的证明方法.
Q P1
P1 P2
2 2 2
P2 P3
…
得到一个明显 成立的结论
也可以是经过 证明的结论
例:已知数列{an}的通项an>0,(n∈N*),它 的前n项的和记为sn,数列{s2n}是首项为3, 公差为1的等差数列. (1)求an与sn的解析式; (2)试比较sn与3nan(n∈N*),的大小.
2.2.综合法与分析法-人教A版选修2-2教案
2.2.综合法与分析法-人教A版选修2-2教案
一、教学目标
1.理解综合法和分析法的概念。
2.掌握综合法和分析法的基本原理。
3.能够应用综合法和分析法解决实际问题。
4.培养学生系统思维的能力。
二、教学内容
1.综合法的概念和基本原理。
2.分析法的概念和基本原理。
3.综合法和分析法的应用。
三、教学过程
1. 导入（5分钟）
教师通过提问和讲解，引导学生了解问题解决的两种方法：综合法和分析法，并介绍本节课的教学目标和重点。
2. 讲解（25分钟）
2.1 综合法的概念和基本原理
1.综合法是从整体综合出发，从多个方面考虑，综合分析问题的方法。
2.综合法的基本原理是整体观念、多元观念和系统观念。
2.2 分析法的概念和基本原理
1.分析法是从局部出发，从单个方面考虑，分析问题的方法。
2.分析法的基本原理是简化化、抽象化和精确化。
3. 练习（25分钟）
1.给学生提供综合法和分析法的例子，让学生分别应用综合法和分析法解决问题。
2.针对不同的问题，让学生思考采用哪种方法更适合。
4. 总结（5分钟）
让学生回顾本节课的重点内容，并讲解综合法和分析法的区别和联系。
四、教学反思
本节课通过提供练习例子的方式，让学生更深入地理解了综合法和分析法的概念和应用方法。
同时，通过问题讨论的方式，培养了学生系统思维的能力。
高中数学 2.2.1 综合法和分析法学案 新人教A版选修2-2
§2.2.1 综合法和分析法学习目标：1、了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；2、理解综合法和分析的思考过程、特点，会用这两种方法证明数学问题。
一、主要知识：1、综合法： 。
2、分析法： 。
二、典例分析：〖例1〗：（1）设,,a b c 为不全相等的正数，且1abc =。
求证：111a b c++>。
（2）已知a b c >>，求证：114a b b c a c +≥---。
〖例2〗：设,,,a b x y R ∈，且22221,1a b x y +=+=，求证：1ax by +≤。
〖例3〗：已知,,a b c 是不全相等的正数，求证：lglg lg lg lg lg 222a b b c c a a b c +++++>++。
三、课后作业：1、函数()()ln 12x x f x e =+-（ ） A 、是偶函数 B 、是奇函数 C 、既是偶函数又是奇函数 D 、既不是奇函数也不是偶函数2、在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到A ∠为钝角的结论，对三边,,a b c 应满足的条件，判断正确的是（ ）A 、222a b c <+B 、222a b c =+C 、222a b c >+D 、222a b c ≤+ 3、设,a b R ∈，且,2a b a b ≠+=，则必有（ ） A 、2212a b ab +<< B 、2212a b ab +<< C 、2212a b ab +<< D 、2212a b +< 4、已知52x ≥，则()24524x x f x x -+=-有（ ） A 、最大值54 B 、最小值54C 、最大值1D 、最小值15、设01x <<，则11,1a b x c x==+=-中最大的一个是（ ） A 、a B 、b C 、c D 、不能确定6、若,,a b c R ∈，且1ab bc ca ++=，则下列不等式成立的是（ ）A 、2222a b c ++≥B 、()22a b c ++≥C 、111a b c++≥ D 、()13abc a b c ++≤7、a b c ==的大小关系是 。
2.2.1综合法和分析法-人教A版高中数学选修2-2课件
练一练：
练习、求证： 2 7 3 6
直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证
明方法称为直接证明，其一般情势为：
本题条件
已知定义 已知公理
… 本题结论
已知定理
二、综合法定义：
利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理等,经过一系列的推理论证,最后推导 出所要证明的结论成立,这种证明方法叫 做综合法(顺推证法)
用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论.
2 14 2 18 9 2 14 9 2 18 ( 2 7)2 ( 3 6)2 2 7 3 6
请结合上述例子和自己感受，说说综合法 和分析法的各自特点和它们的适用情况。
（1）综合法：已知条件 结论
由因导果，当条件明确，思路清楚时适用；
（2）分析法： 结论 已知条件
执果索因，当条件多，入手难，思路乱时适用。 （3）综合法是分析法的逆过程。
Pn-1 Qm-1
Pn … Q1
Qm
Q2 Q Q1
练一练：
已知 1 tan a 1,求证：3sin 2a 4cos2a 2 tan a
五、小结
1.在数学证明中，综合法和分析法是 两种最常用的数学方法，若从已知入手 能找到证明的途径，则用综合法，否则 用分析法.
2.综合法的每步推理都是寻找必要条 件，分析法的每步推理都是寻找充分条 件，在解题表述中要注意语言的规范性 和逻辑性.
高中数学选修2-2优质学案：2.2.1 综合法和分析法
2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法[学习目标] 1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题.[知识链接]1.综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”2.必修5中基本不等式a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)是怎样证明的？ 答 要证a ＋b 2≥ab ， 只需证a ＋b ≥2ab ，只需证a ＋b －2ab ≥0，只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立.[预习导引]1.综合法 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.2.分析法分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.要点一 综合法的应用例1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b≥4.证明 方法一 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4. 方法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0，1a ＋1b ≥2 1ab>0， ∴(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4.又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b≥4. 方法三 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋a b ＋1≥2＋2 b a ·a b＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号. 规律方法 利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法.(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路.(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结优化解法.跟踪演练1 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形.证明 由A 、B 、C 成等差数列，有2B ＝A ＋C .①因为A 、B 、C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π.② 由①②，得B ＝π3.③ 由a 、b 、c 成等比数列，有b 2＝ac .④由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac .再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，因此a ＝c ，从而有A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3.所以△ABC 为等边三角形. 要点二 分析法的应用例2 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b ). 证明 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立. 当a ＋b >0时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎡⎦⎤22(a ＋b )2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab . ∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立.综上所述，不等式得证. 规律方法 分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等).这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的.它的常见书写表达式是“要证……只需……”或“⇐”.跟踪演练2 如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F .求证：AF ⊥SC .证明 要证AF ⊥SC ，只需证SC ⊥平面AEF ，只需证AE ⊥SC (因为EF ⊥SC )，只需证AE ⊥平面SBC ，只需证AE ⊥BC (因为AE ⊥SB )，只需证BC ⊥平面SAB ，只需证BC ⊥SA (因为AB ⊥BC ).由SA ⊥平面ABC 可知上式成立，所以AF ⊥SC .要点三 综合法和分析法的综合应用例3 已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1.求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c . 证明 要证明：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c ， 只需要证明log x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc ). 由已知0<x <1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc . 由公式a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c 2≥ac >0， 又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc 成立. ∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立. 规律方法 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证.跟踪演练3 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，试证：a x ＋c y＝2. 证明 由已知条件得b 2＝ac ，①2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c .②要证a x ＋c y＝2，只要证ay ＋cx ＝2xy ， 只要证2ay ＋2cx ＝4xy .由①②得2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ，4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ，所以2ay ＋2cx ＝4xy .命题得证.1.已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )A.x <x ＋y 2<y <2xy B.2xy <x <x ＋y 2<y C.x <x ＋y 2<2xy <y D.x <2xy <x ＋y 2<y [答案] D[解析] ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38， ∴x <2xy <x ＋y 2<y ，故选D. 2.欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A.(2－3)2<(6－7)2 B.(2－6)2<(3－7)2 C.(2＋7)2<(3＋6)2 D.(2－3－6)2<(－7)2[答案] C[解析] 根据不等式性质，a >b >0时，才有a 2>b 2，∴只需证：2＋7<6＋3，只需证：(2＋7)2<(3＋6)2.3.求证：1log 519＋2log 319＋3log 219<2. 证明 因为1log b a ＝log a b ，所以左边＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 195＋log 1932＋log 1923＝log 19(5×32×23)＝log 19360.因为log 19360<log 19361＝2，所以1log 519＋2log 319＋3log 219<2. 4.已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α). 证明 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3， 只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12， ∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α， 即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立， ∴结论得证.1.综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因.2.分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语.3.在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的.没有分析就没有综合；没有综合也没有分析.问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却恰恰相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它.。
2.2.1 综合法和分析法(人教版选修2-2)
例1:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 1:已知a>0,b>0,求证a(b 已知a>0,b>0,求证
证明:因为b 证明:因为b2+c2
≥2bc,a>0
所以a(b2+c2)≥2abc. 所以a(b 又因为c 又因为c2+b2
≥2bc,b>0
所以b(c 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
2
sinθ cosθ = sin β
2 2
1 - tan α 1 - tan β 求 证: = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β )
11
练习. P89 EX1，EX2，EX3
12
则综合
Q2 ⇒Q3
…
Qn ⇒Q
5
例2：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ ＡＢＣ中 三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ 对应的边分别为a Ａ、Ｂ、Ｃ成 对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成 等差数列， 成等比数列，求证△ 等差数列，a、b、c成等比数列，求证△Ａ ＢＣ为等边三角形 为等边三角形． ＢＣ为等边三角形．
所以 a + b − 2 ab ≥ 0 所以 a + b ≥ 2 ab
a+b ≥ ab 成立 所以 2
只需证;a + b − 2 ab ≥ 0 只需证;
( a − b )2 ≥ 0 只需证; 只需证;
因为; 因为;( a − b )2 ≥ 0 成立
a+b 所以 ≥ 2
a b成立
8
高中数学新人教版A版精品教案《2.2.1综合法和分析法》
综合法和分析法教学目标：知识与技能：理解综合法和分析法的概念及它们的区别；能熟练的运用综合法、分析法证明题目。
过程与方法：通过综合法和分析法的学习，体会两种方法的相辅相成，辩证统一的关系。
情感态度与价值观：（1）通过本节的学习和运用实践，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性；（2）通过本节的学习，使学生在以后的学习和生活中，能自觉地、有意识地运用这些方法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的思维习惯。
教学重难点：重点：（1）了解综合法和分析法的思考过程和特点；（2）运用综合法和分析法证明数学问题。
难点：根据问题特点，结合综合法和分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。
内容分析：综合法和分析法是思维方向相反的两种思考方式。
在数学解题中，综合法是从数学题的已知条件出发，经过逐步的推理论证，最后达到待证结论或需求问题；分析法则是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步的探索下去，最后达到题设的已知条件。
对于解答证明题来说综合法表现为“由因导果”，分析法表现为“执果索因”，它们是寻求解题思路的两种基本思想方法，应用十分广泛。
教学方案设计：在以前的学习中，学生积累了较多的用综合法证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，他们也没有进行过综合法这一知识的较系统的学习。
因此，借助学生熟悉的数学实例引导学生归纳总结这两种方法的特点，促使他们形成对这两种方法的较完整的认识。
所以，本节课我将采用自助探究和合作交流（师生交流、生生交流）相结合的教学模式，充分发挥学生的主动性、体现学生的主体性，锻炼学生的数学思维，让学生归纳、总结出综合法何分析法的定义，特点等。
在教学时，我会充分考虑学生已有的知识体系，利用、结合学生已学过的数学知识，通过具体例题，充分暴露学生解决问题时的思维过程，帮助他们查缺补漏，进而，概括两种方法的思考特点，使重点突出，难点化解。
教学流程展示：（一）综合法的教学：通过实例，概括综合法的特点。
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数学：2.2.1《综合法和分析法》教案
教学目标：
（一）知识与技能：
结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合
法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
（二）过程与方法: 培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；
（三）情感、态度与价值观：
通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
第一课时 2.2.1 综合法和分析法（一）
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.
教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.教学过程：
一、复习准备：1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则
12114a a +≥”，试请此结论推广猜想.（答案：若12,.......n a a a R +∈，且12....1n a a a +++=，则12111....n a a a +++≥ 2n ）2. 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c ++≥.先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：
1. 教学例题：
① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc .
分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点
② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.
框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.
③ 练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证
3b c a a c b a b c a b c +-+-+-++>.④ 出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.
分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？
→ 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.
→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）
2. 练习：
①,A B 为锐角，且tan tan tan A B A B ++60A B += . （提示：算
tan()A B +）② 已知,a b c >> 求证：
114.a b b c a c +≥---3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.三、巩固练习：
1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos 2θθθ-=. （教材P 100 练习 1题）
（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c +=++++.3. 作业：教材P 102 A 组 2、3题.
第二课时 2.2.1 综合法和分析法（二）
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.
教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：基本不等式的形式？
2. 讨论：如何证明基本不等式
(0,0)2a b a b +≥>>. （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）二、讲授新课：
1. 教学例题：
① 出示例1+>.
讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？ → 板演证明过程 （注意格式）
→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法
② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 框图表示：
要点：逆推证法；执果索因.③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：11223332()()x y x y +>+.
先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.
④ 出示例2：见教材P 97. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）⑤ 出示例3：见教材P 99. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）
2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，
那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大. 提示：设截面周长为l ，则周长为l 的圆的半径为2l π，截面积为2(2l ππ，周长为l 的正方形边长为4l ，截面积为2(4l ，问题只需证：2(2l ππ> 2()4
l .3. 小结：分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ⋅⋅⋅，直到所有的已知P 都成立；
比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“
已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）
三、巩固练习：
1. 设a , b , c 是的△ABC 三边，
S 是三角形的面积，求证：2224c a b ab --+≥
.略证：正弦、余弦定理代入得：2cos 4sin ab C
ab C -+≥，即证：2cos C C -≥cos 2C C +≤，即证：sin(16C π+
≤（成立）.
2. 作业：教材P 100 练习 2、3题.
第三课时 2.2.2 反证法
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.
教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.
教学过程：
一、复习准备：
1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）
2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？
3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O 过A 、B 、C 三点，
则O 在AB 的中垂线l 上，O 又在B C 的中垂线m 上，
即O 是l 与m 的交点。
但 ∵A 、B 、C 共线，∴l ∥m (矛盾) ∴ 过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆.二、讲授新课：
1. 教学反证法概念及步骤：
① 练习：仿照以上方法，证明：如果a >b >0，那么b
a >② 提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.
证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾
→ 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立
应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公
理、定理、事实矛盾等）.
方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.
注：结合准备题分析以上知识.
2. 教学例题：
① 出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
分析：如何否定结论？ → 如何从假设出发进行推理？ → 得到怎样的矛盾？
与教材不同的证法：反设AB 、CD 被P 平分，∵P 不是圆心，连结O P ，则由垂径定理：O P ⊥AB ，O P ⊥CD ，则过P 有两条直线与OP 垂直（矛盾），∴不被P 平分.
② 出示例2. （ 同上分析 → 板演证明，提示：有理数可表示为/m n ）
/m n =（m ,n 为互质正整数），
从而：2(/)3m n =，223m n =，可见m 是3的倍数.
设m =3p （p 是正整数），则 22239n m p ==，可见n 也是3的倍数.
这样，m , n 就不是互质的正整数（矛盾）. /m n =是无理数.③ 练习：如果1a +为无理数，求证a 是无理数.
提示：假设a 为有理数，则a 可表示为/p q （,p q 为整数），即/a p q =.
由1()/a p q q +=+，则1a +也是有理数，这与已知矛盾. ∴ a 是无理数.
3. 小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”
等特征的问题）三、巩固练习： 1. 练习：教材P 102 1、2题
2. 作业：教材P 102 A 组4题.。