2020年山东省淄博市周村区中考数学一模试卷 (解析版)

2020年淄博市周村区中考数学一模试卷一、选择题（共12小题）.1．如果a是无理数，那么下列各数中，一定是有理数的是（）A．﹣a B．a2C．D．a02．下列几何体中，俯视图为三角形的是（）A．B．C．D．3．下列各式，计算结果等于2﹣3的是（）A．22÷25 B．25÷22C．22﹣25D．（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）4．若4＜k＜5，则k的可能值是（）A．B．C．2D．5．某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，192，194．现用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（）A．平均数变小，中位数变小B．平均数变小，中位数变大C．平均数变大，中位数变小D．平均数变大，中位数变大6．只有1和它本身两个因数且大于1的自然数叫做素数，我国数学家陈景润在有关素数的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果．若从5，6，7，9这4个数中随机抽取一个，则抽到的数是素数的概率是（）A．B．C．D．17．下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（）A．2，3，4B．2，3，5C．3，4，4D．3，4，58．如图，矩形ABCD是由三个全等矩形拼成的，AC与DE、EF、FG、HG、HB分别交于点P、Q、K、M、N，设△EPQ、△GKM、△BNC的面积依次为S1、S2、S3．若S1+S3＝30，则S2的值为（）A．6B．8C．10D．129．如图，一次函数y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点C在x轴上，连接AC，BC．若∠ACB＝90°，△ABC的面积为20，则k的值是（）A．﹣8B．﹣10C．﹣12D．﹣2010．如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，BC＝FG＝8cm．把纸片ABCD 交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，sinα等于（）A．B．C．D．11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为（）A．B．C．6D．12．如图，在正方形ABCD中，BC＝2，点P，Q均为AB边上的动点，BE⊥CP，垂足为E，则QD+QE的最小值为（）A．2B．3C．D．二、填空题：本题共5小题，满分20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分．13．计算：＝．14．运用课本上的计算器进行计算，按键顺序如图，则计算器显示的结果是．15．在正方形网格中，A、B、C、D、E均为格点，则∠BAC﹣∠DAE＝°．16．如图，过函数y＝ax2（a＞0）图象上的点B，分别向两条坐标轴引垂线，垂足分别为A，C．线段AC与抛物线的交点为D，则的值为．17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．点M1，N1，P1分别在AC，BC，AB上，且四边形M1CN1P1是正方形，点M2，N2，P2分别在P1N1，BN1，BP1上，且四边形M2N1N2P2是正方形，…，点M n，N n，P n分别在P n﹣1N n﹣1，BN n﹣1，BP n﹣1上，且四边形M n N n﹣1N n P n是正方形，则线段BN2020的长度是．三、解答题：本大题共7小题，共52分．要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．化简：÷（x+2﹣）19．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，求AB的长．20．我市某校招聘数学教师，本次招聘进行专业技能笔试和课堂教学展示两个项目的考核，这两项考核的满分均为100分，学校将这两个项目的得分按一定的比例计算出总成绩．经统计，参加考核的4名考生的两个项目的得分如下：考生序号1234专业技能笔试90708675课堂教学展示70908086（1）经过计算，1号考生的总成绩为78分，求专业技能笔试得分和课堂教学展示得分分别占总成绩的百分比；（2）若学校录取总成绩最高的考生，通过计算说明4名考生中哪一名考生会被录取？21．已知关于x的一元二次方程kx2+（1﹣2k）x+k﹣2＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式α3+β2+β+2016的值．22．在▱ABCD中，经过A、B、C三点的⊙O与AD相切于点A，经过点C的切线与AD 的延长线相交于点P，连接AC．（1）求证：AB＝AC；（2）若AB＝4，⊙O的半径为，求PD的长．23．已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，将△ABC绕点A逆时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜90°），直线BD与CE交于点F．（1）如图1，当α＝45°时，求证：CF＝EF；（2）如图2，在旋转过程中，当α为任意锐角时，①∠CFB的度数是否变化？若不变，请求出它的度数；②结论“CF＝EF”，是否仍然成立？请说明理由．24．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx﹣7与y轴交于点C，与x轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+14a经过B、C两点，与x轴的正半轴交于另一点A，且OA：OC＝2：7．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在线段CB上，点P在对称轴的左侧抛物线上，PD＝PB，当tan∠PDB＝2，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q（7，n）在第四象限，点R在对称轴的右侧抛物线上，若以点P、D、Q、R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q、R的坐标．参考答案一、选择题：本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题4分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分．1．如果a是无理数，那么下列各数中，一定是有理数的是（）A．﹣a B．a2C．D．a0【分析】根据有理数和无理数的定义解答．解：A、如果a是无理数，那么﹣a一定是无理数，故这个选项错误；B、如果a是无理数，那么a2可能是无理数，也可能是有理数，故这个选项错误；C、如果a是无理数，那么一定是无理数，故这个选项错误；D、如果a是无理数，那么a0一定是有理数，因为a0＝1，故这个选项正确．故选：D．2．下列几何体中，俯视图为三角形的是（）A．B．C．D．【分析】注意几何体的特征，主视图与左视图的高相同，主视图与俯视图的长相等，左视图与俯视图的宽相同．解：根据俯视图的特征，应选C．故选：C．3．下列各式，计算结果等于2﹣3的是（）A．22÷25 B．25÷22C．22﹣25D．（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）【分析】根据负整数指数幂、同底数幂的除法，乘方，有理数的减法法则计算即可求解．解：A、22÷25 ＝2﹣3，故选项正确；B、25÷22＝23，故选项错误；C、22﹣25＝4﹣32＝﹣28，故选项错误；D、（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）＝﹣8，故选项错误．故选：A．4．若4＜k＜5，则k的可能值是（）A．B．C．2D．【分析】利用平方法比较数的大小，因为16＜k2＜25，将、、2、分别平方即可求解．解：∵4＜k＜5，∴16＜k2＜25，∵，，，，∴满足给定的范围，故选：D．5．某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，192，194．现用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（）A．平均数变小，中位数变小B．平均数变小，中位数变大C．平均数变大，中位数变小D．平均数变大，中位数变大【分析】分别计算出原数据和新数据的平均数和中位数即可得．解：原数据的平均数为×（180+184+188+190+192+194）＝188，中位数为＝189，新数据的平均数为×（180+184+188+190+186+194）＝187，中位数为＝187，所以平均数变小，中位数变小，故选：A．6．只有1和它本身两个因数且大于1的自然数叫做素数，我国数学家陈景润在有关素数的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果．若从5，6，7，9这4个数中随机抽取一个，则抽到的数是素数的概率是（）A．B．C．D．1【分析】四个数中素数为5和7，然后根据概率公式求解．解：若从5，6，7，9这4个数中随机抽取一个，则抽到的数是素数的概率＝＝．故选：B．7．下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（）A．2，3，4B．2，3，5C．3，4，4D．3，4，5【分析】根据勾股定理求出以较短的两条边为直角边的三角形的斜边的长度，然后与较长的边进行比较作出判断即可．解：A、∵＝＜4，2+3＞4，∴不能组成锐角三角形；B、∵2+3＝5，∴不能组成三角形；C、∵＝5＞4，3+4＞4，∴能组成锐角三角形；D、∵＝5，是直角三角形，∴不能组成锐角三角形．故选：C．8．如图，矩形ABCD是由三个全等矩形拼成的，AC与DE、EF、FG、HG、HB分别交于点P、Q、K、M、N，设△EPQ、△GKM、△BNC的面积依次为S1、S2、S3．若S1+S3＝30，则S2的值为（）A．6B．8C．10D．12【分析】先证明△EPQ∽△GKM∽△BNC，再证明△AEQ∽△AGM得到＝＝，＝，所以S1＝S2，同理得到S3＝S2，所以S2+S2＝30，从而得到S2的值．解：∵矩形ABCD是由三个全等矩形拼成，∴△ADE≌△EFG≌△GHB，∴∠AED＝∠EGF＝∠GBH，∴∠DEF＝∠FGH＝∠HBC，∵FE∥HG∥BC，∴∠AQE＝∠AMG＝∠ACB，∴△EPQ∽△GKM∽△BNC，∵QE∥MG，∴△AEQ∽△AGM，∴＝＝，∴＝（）2＝，∴S1＝S2，∵MG∥CB，∴△AGM∽△ABC，∴＝＝，∴＝（）2＝，∴S3＝S2，∵S1+S3＝30，∴S2+S2＝30，∴S2＝12．故选：D．9．如图，一次函数y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点C在x轴上，连接AC，BC．若∠ACB＝90°，△ABC的面积为20，则k的值是（）A．﹣8B．﹣10C．﹣12D．﹣20【分析】设点A为（a，﹣a），利用S△ACB＝×OC×（A y+|B y|）＝20，构建方程即可解决问题．解：设点A为（a，﹣a），则OA＝＝﹣a，∵点C为x轴上一点，∠ACB＝90°，且△ACB的面积为20，∴OA＝OB＝OC＝﹣a，∴S△ACB＝×OC×（A y+|B y|）＝×（﹣a）×（﹣a）＝20，解得，a＝±3（舍弃3），∴点A为（﹣3，4），∴k＝﹣3×4＝﹣12，故选：C．10．如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，BC＝FG＝8cm．把纸片ABCD 交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，sinα等于（）A．B．C．D．【分析】由“ASA”可证△CDM≌△HDN，可证MD＝DN，即可证四边形DNKM是菱形，当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，由勾股定理求出MD的长，即可得出答案．解：如图，∵四边形ABCD和四边形EFGH是矩形，∴∠ADC＝∠HDF＝90°，CD＝AB＝2cm，∴∠CDM＝∠NDH，且CD＝DH，∠H＝∠C＝90°，∴△CDM≌△HDN（ASA），∴MD＝ND，且四边形DNKM是平行四边形，∴四边形DNKM是菱形，∴KM＝MD，∵sinα＝sin∠DMC＝，∴当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，设MD＝KM＝acm，则CM＝8﹣a（cm），∵MD2＝CD2+MC2，∴a2＝4+（8﹣a）2，∴a＝（cm），∴sinα＝sin∠DMC＝＝＝，故选：B．11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为（）A．B．C．6D．【分析】设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，根据垂径定理得出CH＝DH，DM＝EM，BN＝CN，利用勾股定理求得OH，即可求得BH，进而求得BC，求得ON，根据三角形函数求得DG，因为MN＝DG，即可求得OM，根据勾股定理求得DM，得出DE．解：设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，∵DE∥BC，∴MN⊥BC，DG⊥DE，∴DG＝MN，∵OM⊥DE，ON⊥BC，∴DM＝EM＝DE，BN＝CN，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，弦DE∥CB．∴CH＝DH＝CD＝3，∴OH＝＝＝4，∴BH＝9，∴BC＝＝3，∴BN＝BC＝，∴ON＝＝，∵sin∠BCH＝＝，即＝，∴DG＝，∴MN＝DG＝，∴OM＝MN﹣ON＝，∴DM＝＝，∴DE＝2DM＝．故选：A．12．如图，在正方形ABCD中，BC＝2，点P，Q均为AB边上的动点，BE⊥CP，垂足为E，则QD+QE的最小值为（）A．2B．3C．D．【分析】作点D关于AB的对称点D'，连接D'Q，取BC的中点F，连接EF，过D'作D'G⊥BC于G，交CB的延长线于G，当D'，Q，E，F在同一直线上时，D'Q+QE+EF 的最小值等于D'F的长，此时QD+QE+EF的值最小，根据勾股定理进行计算，即可得到QD+QE的最小值．解：如图所示，作点D关于AB的对称点D'，连接D'Q，取BC的中点F，连接EF，过D'作D'G⊥BC于G，交CB的延长线于G，∵BE⊥CP，∴Rt△BCE中，EF＝BC＝1，∵D'G＝DC＝2，BG＝BC＝2，∴GF＝2+1＝3，当D'，Q，E，F在同一直线上时，D'Q+QE+EF的最小值等于D'F的长，此时QD+QE+EF 的值最小，∵Rt△D'GF中，D'F＝＝＝，∴QD+QE的最小值为D'F﹣EF＝﹣1，故选：D．二、填空题：本题共5小题，满分20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分．13．计算：＝．【分析】先化简二次根式、计算乘法，再合并同类二次根式即可得．解：原式＝2+3＝5，故答案为：5．14．运用课本上的计算器进行计算，按键顺序如图，则计算器显示的结果是﹣1．【分析】根据计算器的按键写出计算的式子．然后求值．解：根据题意得，计算器按键写成算式（﹣2）3sin30°+×9＝﹣8×+3＝﹣4+3＝﹣1．故答案为：﹣1．15．在正方形网格中，A、B、C、D、E均为格点，则∠BAC﹣∠DAE＝45°．【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用勾股定理的逆定理，可以判断△AEF 的形状，从而可以求得∠BAC﹣∠DAE的度数．解：连接AF、EF，则∠CAB＝∠FAD，∵∠FAB﹣∠DAE＝∠FAE，∴∠BAC﹣∠DAE＝∠FAE，设小正方形的边长为1，则AF＝，EF＝，AE＝，∴AF2+EF2＝AE2，∴△AFE是等腰直角三角形，∴∠FAE＝45°，即∠BAC﹣∠DAE＝45°，故答案为：45．16．如图，过函数y＝ax2（a＞0）图象上的点B，分别向两条坐标轴引垂线，垂足分别为A，C．线段AC与抛物线的交点为D，则的值为．【分析】设出OC的长，表示点C、B、A的坐标，进而求出直线AC的关系式，再利用方程组求出交点D的横坐标，得出DE的长，再利用三角形相似，求出结果．解：过点D作DE⊥OA，垂足为E，设OC＝m，则点C（﹣m，0），B（m，am2），A（0，am2），∴BC＝OA＝am2，设直线AC的关系式为y＝kx+b，把A、C两点坐标代入得，b＝am2，k＝﹣am，∴y＝﹣amx+am2，∴点D的坐标是方程组的一个解，解这个方程组得，x1＝m＞0（舍去），x2＝m，即：DE＝|x2|＝m，由△ADE∽△ACO得，＝＝＝，故答案为：．17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．点M1，N1，P1分别在AC，BC，AB上，且四边形M1CN1P1是正方形，点M2，N2，P2分别在P1N1，BN1，BP1上，且四边形M2N1N2P2是正方形，…，点M n，N n，P n分别在P n﹣1N n﹣1，BN n﹣1，BP n﹣1上，且四边形M n N n﹣1N n P n是正方形，则线段BN2020的长度是．【分析】根据相似三角形的性质求出BN1，BN2，BN3的值，找出规律即可求出线段BN2020的长度．解：∵N1P1∥AC，∴△B1N1P1∽△BCA，∴＝，设N1P1＝x，则＝，解得：x＝，∴BN1＝BC﹣CN1＝4﹣＝，同理，∵N2P2∥AC，∴△P1N1B∽△P2N2B，设P2N2＝y，∴＝，解得：y＝，∴BN2＝﹣＝＝．同理，BN3＝＝，∴线段BN2020的长度是．故答案为：．三、解答题：本大题共7小题，共52分．要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．化简：÷（x+2﹣）【分析】首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简．解：÷（x+2﹣）＝÷（）＝•＝．故答案为．19．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，求AB的长．【分析】过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD＝∠B，推出BD＝CD，根据含30度角的直角三角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案．解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD，∵∠A＝30°，AC＝2，∴CD＝，∴BD＝CD＝，由勾股定理得：AD＝＝3，∴AB＝AD+BD＝3+，答：AB的长是3+．20．我市某校招聘数学教师，本次招聘进行专业技能笔试和课堂教学展示两个项目的考核，这两项考核的满分均为100分，学校将这两个项目的得分按一定的比例计算出总成绩．经统计，参加考核的4名考生的两个项目的得分如下：考生序号1234专业技能笔试90708675课堂教学展示70908086（1）经过计算，1号考生的总成绩为78分，求专业技能笔试得分和课堂教学展示得分分别占总成绩的百分比；（2）若学校录取总成绩最高的考生，通过计算说明4名考生中哪一名考生会被录取？【分析】（1）可设专业技能笔试得分占总成绩的百分比是a，根据1号考生的总成绩为78分列出方程求解即可；（2）根据加权平均数公式分别求出4个考生总成绩，再比较大小即可求解．解：（1）设专业技能笔试得分占总成绩的百分比是a．根据题意，得90a+70（1﹣a）＝78．解这个方程，得a＝40%．1﹣40%＝60%．所以专业技能笔试得分和课堂教学展示得分占总成绩的百分比分别是40%，60%．（2）2号考生总成绩为70×0.4+90×0.6＝82（分）．3号考生总成绩为86×0.4+80×0.6＝82.4（分）．4号考生总成绩为75×0.4+86×0.6＝81.6（分）．因为82.4＞82＞81.6＞78，所以3号考生会被录取．21．已知关于x的一元二次方程kx2+（1﹣2k）x+k﹣2＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式α3+β2+β+2016的值．【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△＝（1﹣2k）2﹣4k（k﹣2）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；（2）k＝1．方程变为x2﹣x﹣1＝0，利用根与系数的关系得到α+β＝1，αβ＝﹣1，利用一元二次方程根的定义得到α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，则β2＝β+1，α3＝2α+1，然后利用整体代入的方法计算α3+β2+β+2016的值．解：（1）根据题意得k≠0且△＝（1﹣2k）2﹣4k（k﹣2）＞0，解得k＞﹣且k≠0；（2）∵k取满足（1）中条件的最小整数，∴k＝1．此时方程变为x2﹣x﹣1＝0，∴α+β＝1，αβ＝﹣1，∵α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，∴α2＝α+1，β2＝β+1，∴α3＝α2+α＝α+1+α＝2α+1，α3+β2+β+2016＝2α+1+β+1+β+2016＝2（α+β）+2018＝2×1+2018＝2020．22．在▱ABCD中，经过A、B、C三点的⊙O与AD相切于点A，经过点C的切线与AD 的延长线相交于点P，连接AC．（1）求证：AB＝AC；（2）若AB＝4，⊙O的半径为，求PD的长．【分析】（1）连接AO并延长交BC于点E，交⊙O于点F，根据切线的性质得到∠FAP ＝90°，证明AE是BC的垂直平分线，证明结论；（2）连接FC，OC，设OE＝x，根据勾股定理求出CF，再根据勾股定理列式求出x，证明△PAC∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】（1）证明：连接AO并延长交BC于点E，交⊙O于点F，∵AP是⊙O的切线，AF是⊙O的直径，∴AF⊥AP，∴∠FAP＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠FAP＝90°，∴AF⊥BC，∵AF是⊙O的直径，AF⊥BC，∴BE＝CE．∵AF⊥BC，BE＝CE，∴AB＝AC；（2）解：连接FC，OC，设OE＝x，则EF＝﹣x．∵AF是⊙O的直径，∴∠ACF＝90°．∵AC＝AB＝4，AF＝2，在Rt△ACF中，∠ACF＝90°，∴CF＝＝2．∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，∴CE2＝OC2﹣OE2．∵在Rt△FEC中，∠FEC＝90°，∴CE2＝CF2﹣EF2．∴OC2﹣OE2＝CF2﹣EF2，即（）2﹣x2＝22﹣（﹣x）2．解得，x＝．∴EC＝＝，∴BC＝2EC＝．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝，∵AD∥BC，∴∠PAC＝∠ACB．∵PA，PC是⊙O的切线，∴PA＝PC．∴∠PAC＝∠PCA．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∴∠PAC＝∠ABC，∠PCA＝∠ACB，∴△PAC∽△ABC，∴＝．∴AP＝•AB＝2．∴PD＝AP﹣AD＝．23．已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，将△ABC绕点A逆时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜90°），直线BD与CE交于点F．（1）如图1，当α＝45°时，求证：CF＝EF；（2）如图2，在旋转过程中，当α为任意锐角时，①∠CFB的度数是否变化？若不变，请求出它的度数；②结论“CF＝EF”，是否仍然成立？请说明理由．【分析】（1）先判断出∠BAC＝∠BCA＝45°，借助旋转求出∠ABD＝∠ADB＝67.5°，进而判断出CF＝DF，再判断出∠CED＝∠EDF得出EF＝DF，即可得出结论；（2）①先判断出∠ABD＝∠ACE，再用三角形内角和定理即可得出结论；②先判断出AD＝AB，得出∠ABD＝∠ADB，进而得出∠EDG＝∠CBF，再判断出EG＝ED，进而判断出△FEG≌△FCB（AAS），即可得出结论．解：（1）当α＝45°时，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∵由旋转知，∠AED＝∠ACB＝45°，∠ADE＝∠ABC＝90°，AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝67.5°，∴∠CDF＝∠ADB＝67.5°，同理，∠ACE＝67.5°，∴∠ACE＝∠CDF＝67.5°，∴CF＝DF，在Rt△CDE中，∠CED＝∠AEC﹣∠AED＝22.5°，∠EDF＝∠CDE﹣∠CDF＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠CED＝∠EDF，∴EF＝DF，∴CF＝EF；（2）①∠CFB的度数不变，∠CFB＝45°，理由：如图2，由旋转知，AD＝AB，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE，∴△ABD与△ACE均为顶角为α的等腰三角形，∴底角相等，即∠ABD＝∠ACE，设AC与BF的交点为O，则∠AOB＝∠COF，∵∠ABD+∠AOB+∠CAB＝∠ACE+∠COF+∠CFB＝180°，∴∠CFB＝∠CAB＝45°；②结论“CF＝EF”，仍然成立．理由：如图2，作EG∥CB交BF延长线于点G，由旋转知DE＝BC，∠ADE＝∠ABC＝90°，AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，又∵∠ADE＝90°，∴∠EDG+∠ADB＝∠CBF+∠ABD＝90°，∴∠EDG＝∠CBF，∵EG∥CB，∴∠G＝∠CBF＝∠EDG，∴EG＝ED，又∵ED＝BC，∴EG＝BC，∴△FEG≌FCB（AAS），∴EF＝CF．24．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx﹣7与y轴交于点C，与x轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+14a经过B、C两点，与x轴的正半轴交于另一点A，且OA：OC＝2：7．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在线段CB上，点P在对称轴的左侧抛物线上，PD＝PB，当tan∠PDB＝2，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q（7，n）在第四象限，点R在对称轴的右侧抛物线上，若以点P、D、Q、R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q、R的坐标．【分析】（1）由直线可求得C点坐标，代入抛物线可求得a的值，结合条件可求得A 点坐标，代入可求得b的值，可求得抛物线解析式；（2）可先求得B点坐标，过P作PF⊥x轴于点G，交BC于点F，作PE⊥BC，结合条件可找到PG与GF关系，再求得直线BC的解析式，设出F点的坐标，可表示出P 点坐标，代入抛物线可求得P点的坐标；（3）分两种情形DP∥QR和DR∥QP求解，当DP∥QR时，过P作PN∥BQ，过D作DN⊥BQ交PN于点N，过R作RM⊥BQ于点M．设PD交BQ于点T，DN交BM于点I，可求得RM＝DN，MQ＝PN，结合条件可求得D点坐标，设出R的坐标，可求得横坐标，代入抛物线可求得R的坐标，再根据平行四边形的性质可求得Q的坐标；同理可求得当DR∥QP时的R、Q的坐标．解：（1）∵直线y＝kx﹣7与y轴的负半轴交于点C∴C（0，﹣7），∴OC＝7，∵抛物线y＝ax2+bx+14a经过点C，∴14a＝﹣7，∴a＝﹣，∴y＝﹣x2+bx﹣7，∵OA：OC＝2：7．∴OA＝2，∴A（2，0）∵抛物线y＝﹣x2+bx﹣7经过点A，∴b＝∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x﹣7，（2）如图1，∵抛物线y＝﹣x2+x﹣7经过B点，令y＝0解得x＝7或x＝2（舍去），∴B（7，0），∴OB＝7，∴OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝45°过点P作PF⊥x轴于点G，交CB延长线于点F，则PF∥y轴，∴∠CFG＝∠OCB＝45°，∴BF＝GF，过P作PE⊥BC于点E，∵PD＝PB，∴∠PBD＝∠PDB，∴tan∠PBD＝tan∠PDB＝2，∴PE＝2BE，∵EF＝PE，∴BF＝BE，∴PF＝PE＝2 BE＝2 BF＝4GF，∴PG＝3GF，∵直线y＝kx﹣7过B点，∴k＝1，∴y＝x﹣7，设F（m，m﹣7），则P（m，﹣3（m﹣7）），∵点P在抛物线y＝﹣x2+x﹣7上，∴﹣3（m﹣7）＝﹣m2+m﹣7，解得m＝7（舍去）或m＝8，∴P（8，﹣3）；（3）如图2，当DP∥QR时，即四边形DQRP是平行四边形，∵B（7，0），Q（7，m）∴BQ∥y轴过P作PN∥BQ，过D作DN⊥BQ交PN于点N，过R作RM⊥BQ于点M．设PD交BQ于点T，DN交BM于点I，∴∠DTB＝∠DPN，∠PTQ＝∠RQM，∵∠DTB＝∠PTQ，∴∠DPN＝∠RQM，∵四边形DPRQ是平行四边形，∴DP＝RQ，在△RMQ和△DNP中，，∴△RMQ≌△DNP（AAS），∴RM＝DN，MQ＝PN，由（2）可求F（8，1），GF＝1，BD＝2BE＝2BF＝2 GF＝2 ，∵∠QBC＝45°，∴BI＝DI＝2，∴D（5，﹣2），设R点的横坐标为t，∵RM＝DN，∴t﹣7＝8﹣5，解得t＝10，∵点R在抛物线y＝﹣x2+x﹣7 上，∴当t＝10时，﹣×102+×10﹣7＝﹣12，∴R（10，﹣12），∵MQ＝PN，∴3﹣2＝﹣12﹣n，∴n＝﹣11，∴R（10，﹣12），Q（7，﹣11），如图3，当DR∥QP时，即四边形DQPR是平行四边形同理可求得R（6，2），Q（7，﹣7）．。