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[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计

1,N 离散均匀分布样本中位数分布基于Wolfram Mathematica9,下表给出了 1,N 区间内离散均匀分布DU 1，N 样本中位数的概率密度（质量）函数、累积分布函数、累积分布函数、逆生存函数、风险函数（故障率）、矩母函数 MGF 、中心矩母函数 CMGF 、累积量母函数 CGF 、阶乘矩母函数 FMGF 、特征函数的计算和结果表达式，均值、中位值、众数、四分位数列表、q分位数、方差、标准差、一三四分位数间矩、偏度系数、峰度系数、四分偏度系数、r阶原点矩、r阶中心矩、r阶阶乘矩、r阶累积量、信息熵等描述性统计量的计算和结果表达式。

dist DiscreteUniformDistribution 1,N ;dist1 OrderDistribution dist,2n 1 ,n 1 ;"1.概率密度（质量）函数:"PDF dist1,k"2.累积分布函数:"CDF dist1,k"3.生存（可靠性）函数："SurvivalFunction dist1,k"4.逆生存函数："InverseSurvivalFunction dist1,q"5.风险函数（故障率）:"HazardFunction dist1,k"6.矩母函数 MGF :"MomentGeneratingFunction dist1,t"7.中心矩母函数 CMGF :"CentralMomentGeneratingFunction dist1,t"8.累积量母函数 CGF :"CumulantGeneratingFunction dist1,t"9.阶乘矩母函数 FMGF :"CharacteristicFunction dist1,t"10.特征函数:"CharacteristicFunction dist1,t"11.均值:"Mean dist1"12.中位值:"Median dist1"13.四分位数列表:"Quartiles dist1"14.q分位数:"Quantile dist1,q"15.方差:"Variance dist1"16.标准差:"StandardDeviation dist1"17.一、三四分位数间矩:"InterquartileRange dist1"18.偏度系数:"Skewness dist1"19.峰度系数:"Kurtosis dist1"20.四分偏度系数:"QuartileSkewness dist1"21.r阶原点矩矩:"Moment dist1,r"22.r阶中心矩:"CentralMoment dist1,r"23.r阶阶乘矩:"FactorialMoment dist1,r"24.r阶累积量:"Cumulant dist1,r"25.信息熵："Sum PDF dist1,k Log PDF dist1,k , k,1,N 1.概率密度（质量）函数:BetaRegularized 1N kN,1 n,1 n BetaRegularized kN,1 n,1 n k 1&&k N 01 BetaRegularized 1 1N,1 n,1 n k 1&&k N 0BetaRegularized 1N,1 n,1 n k 1&&k N 0 0True2.累积分布函数:BetaRegularized Floor kN,1 n,1 n 1 k N1k N0True3.生存（可靠性）函数：1k 1BetaRegularized N Floor kN,1 n,1 n 1 k N0True4.逆生存函数：ConditionalExpression Max 1,Ceiling N 1 InverseBetaRegularizedq,1 n,1 nInverseBetaRegularizedN InverseBetaRegularized 1True5.风险函数（故障率）:2[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb1 BetaRegularized k N N,1 n,1 n1 k 2&&k N 01k 2 0 k N 1 BetaRegularized k N N,1 n,1 nBetaRegularized 1 k NN,1 n,1 nBetaRegularized 1 k N N ,1 n,1 nk 2&&k N 0True6.矩母函数 MGF :MomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,t 7.中心矩母函数 CMGF :CentralMomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,t 8.累积量母函数 CGF :CumulantGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,t 9.阶乘矩母函数 FMGF :CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,t 10.特征函数:CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,t 11.均值:Mean OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n 12.中位值:ConditionalExpressionMax 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 12,1 n,1 nInverseBetaRegularized1InverseBetaRegularized NTrue13.四分位数列表:[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb3ConditionalExpression Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 14,1 n,1 nInverseBetaRegularized1InverseBetaRegularized N TrueConditionalExpression Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 12,1 n,1 nInverseBetaRegularized1InverseBetaRegularized N TrueConditionalExpression Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 nInverseBetaRegularized1InverseBetaRegularized N True14.q分位数:ConditionalExpression Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized q,1 n,1 nInverseBetaRegularized1InverseBetaRegularized N True15.方差:Variance OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n16.标准差:StandardDeviationOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n17.一、三四分位数间矩:4[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nbConditionalExpression 1 N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized1 N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 0&&InverseBetaRegularized1Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularizedNMax 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized1Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized0&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1NMax 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized1&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 nMax 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized34,1 n,1 n 10True0 InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n 118.偏度系数:Skewness OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n19.峰度系数:Kurtosis OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n20.四分偏度系数:1 InverseBetaRegularized1&&InverseBetaRegularize14,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized,1 n,1 n 1InverseBetaRegularized0&&InverseBetaRegularize1,1 n,1 n &&[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb54,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized12,1 n,1 n Indeterminate InverseBetaRegularized1&&InverseBetaRegularize12,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized,1 n,1 n 1InverseBetaRegularized0&&InverseBetaRegularize12,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized34,1 n,1 n1 InverseBetaRegularized1&&InverseBetaRegularize12,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized,1 n,1 n 1InverseBetaRegularized0&&InverseBetaRegularize12,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized34,1 n,1 n ComplexInfinity InverseBetaRegularized1&&InverseBetaRegularize14,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized,1 n,1 n 1InverseBetaRegularized0&&InverseBetaRegularize14,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized3 4,1 n,1 n1 2N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 14,1 n,1 n 1 Max 1, Ceiling N InverseBetaRegularized1 4,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized0&&InverseBetaRegularized2 N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 1,1 n,1 n N Max 1,0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&& InverseBetaRegularized1&&6[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nbConditionalExpression4,1 n,1 n N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 nInverseBetaRegularized1&&InverseBetaRegularized11 N 1 N 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 nInverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized0&&0 InverseBetaRegularize12,1 n,1 n 1 11 N 1 N 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 nInverseBetaRegularized14,1 n,1 n 0&&InverseBetaRegularized1&&0 InverseBetaRegularize12,1 n,1 n 11 Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 n 1 Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized0&&0 InverseBetaRegularize12,1 n,1 n 1N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 n N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized1&&0 InverseBetaRegularize12,1 n,1 n 11 2N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 n 1 Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized0&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized 2 N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 n N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized1&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized 2 Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized3,1 n,1 n 1&&[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb7Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n4,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized2N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized1 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n1 Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized0&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized12,1 n,1 n 1N 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 nN Max 1,CeilingN InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized1&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized12,1 n,1 n 1Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 14,1 n,1 n 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nTrue&&8 [1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb0 InverseBetaRegularized 12,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n 121.r 阶原点矩矩:Moment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,r 22.r 阶中心矩:CentralMomentOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,r 23.r 阶阶乘矩:FactorialMomentOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,r 24.r 阶累积量:Cumulant OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,r 25.信息熵：k 1NLogBetaRegularized 1Nk N ,1 n,1 n BetaRegularized k N,1 n,1 n k 1&&k1 BetaRegularized 11N,1 n,1 n k 1&&k BetaRegularized 1N,1 n,1 n k 1&&k 0True[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb9。

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[1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计

[1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计

1,N 离散均匀分布样本最大值分布基于Wolfram Mathematica9,下表给出了 1,N 区间内离散均匀分布DU 1，N 样本最大值的概率密度（质量）函数、累积分布函数、累积分布函数、逆生存函数、风险函数（故障率）、矩母函数 MGF 、中心矩母函数 CMGF 、累积量母函数 CGF 、阶乘矩母函数 FMGF 、特征函数的计算和结果表达式，均值、中位值、众数、四分位数列表、q分位数、方差、标准差、一三四分位数间矩、偏度系数、峰度系数、四分偏度系数、r阶原点矩、r阶中心矩、r阶阶乘矩、r阶累积量、信息熵等描述性统计量的计算和结果表达式。

In[105]:=dist DiscreteUniformDistribution 1,N ;dist1 OrderDistribution dist,n ,n ;"1.概率密度（质量）函数:"PDF dist1,k"2.累积分布函数:"CDF dist1,k"3.生存（可靠性）函数："SurvivalFunction dist1,k"4.逆生存函数："InverseSurvivalFunction dist1,q"5.风险函数（故障率）:"HazardFunction dist1,k"6.矩母函数 MGF :"MomentGeneratingFunction dist1,t"7.中心矩母函数 CMGF :"CentralMomentGeneratingFunction dist1,t"8.累积量母函数 CGF :"CumulantGeneratingFunction dist1,t"9.阶乘矩母函数 FMGF :"CharacteristicFunction dist1,t"10.特征函数:"CharacteristicFunction dist1,t"11.均值:"Mean dist1"12.中位值:"Median dist1"13.四分位数列表:"Quartiles dist1"14.q分位数:"Quantile dist1,q"15.方差:"Variance dist1"16.标准差:"StandardDeviation dist1"17.一、三四分位数间矩:"InterquartileRange dist1"18.偏度系数:"Skewness dist1"19.峰度系数:"Kurtosis dist1"20.四分偏度系数:"QuartileSkewness dist1"21.r阶原点矩矩:"Moment dist1,r"22.r阶中心矩:"CentralMoment dist1,r"23.r阶阶乘矩:"FactorialMoment dist1,r"24.r阶累积量:"Cumulant dist1,r"25.信息熵："Sum PDF dist1,k Log PDF dist1,k , k,1,N Out[107]= 1.概率密度（质量）函数:Out[108]= 1NkN n k N n k 1&&k N 0 1 1 1N n k N 0&&k 1 0k N 0 k 1 1 1N n k 1&&k N 0 N n TrueOut[109]= 2.累积分布函数:Out[110]= Floor k N n1 k N1k N0True Out[111]= 3.生存（可靠性）函数：Out[112]=1k 11 1 N Floor kN n1 k N 0TrueOut[113]= 4.逆生存函数：Out[114]=ConditionalExpression Max 1,Ceiling N 1 q 1n 0 1 1 q 1n 1N1 1 q 1n 01True,0 1 q 1n 1Out[115]= 5.风险函数（故障率）:2[1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nbOut[116]=1 k NN n1 k 2&&k N 0 1k 2 0 k N 11 k NN n 1 1 k N N n1 1 1 k NN n k 2&&k N 0 0TrueOut[117]= 6.矩母函数 MGF :Out[118]=MomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,t Out[119]=7.中心矩母函数 CMGF :Out[120]=CentralMomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,t Out[121]=8.累积量母函数 CGF :Out[122]=CumulantGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,t Out[123]=9.阶乘矩母函数 FMGF :Out[124]=CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,t Out[125]=10.特征函数:Out[126]=CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,t Out[127]=11.均值:Out[128]=1 N N n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 nOut[129]=12.中位值:Out[130]=ConditionalExpression Max 1,Ceiling 2 1 n N 0 2 1 n 112 1 n 0N True,0 2 1 n 1Out[131]=13.四分位数列表:[1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nb3Out[132]=ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 4 1 n N 0 4 1 n 114 1 n 0N True,0 4 1 n 1 ,ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 2 1 n N 0 2 1 n 112 1 n 0N True,0 2 1 n 1 ,ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 341nN 0341n11 341n 0NTrue,0341n1Out[133]=14.q 分位数:Out[134]=ConditionalExpressionMax 1,Ceiling N q 1n 0 q 1n 11q 1n 0N True,0 q 1n 1Out[135]=15.方差:Out[136]=1 N 11 nN nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N 2N nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N 1 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N2 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 nOut[137]=16.标准差:Out[138]=1 N11 nNnBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N2N nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N1 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N 2 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 nOut[139]=17.一、三四分位数间矩:4 [1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nbOut[140]=ConditionalExpressionN Max 1,Ceiling 341nN341n1&&41n 1N Max 1,Ceiling 4 1 n N341n 1&&41n 1Max 1,Ceiling 341n N Max 1,Ceiling 4 1 n N 341n 1&&41n 10True,0341n1&&0 4 1 n 1Out[141]=18.偏度系数:Out[142]=21 N11 nNnBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N33N n 1 N 11 nN n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 NBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N1 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N 2 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 nN nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N1 n3 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N 2 n3 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N 3 nBernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,N4 n1 N 11 nNnBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N2N nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N1 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N 2 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 n3 2[1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nb5Out[143]=19.峰度系数:Out[144]=31 N 11 nNnBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N46Nn1 N11 nN nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N 2BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N 1 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N2 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 n4N n 1 N 11 nN n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 NBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N 1 n3 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N2 n3 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 nBernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,N4 nN n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N1 n4 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N2 n6 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 n4 BernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,N4 nBernoulliB 5 n,1 BernoulliB 5 n,N5 n1 N 11 nNnBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N2N nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N1 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N2 n26 [1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nbBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 n2 Out[145]=20.四分偏度系数:Out[146]=ConditionalExpression 1 34 Indeterminate 34 ComplexInfinity 34N Max 1,Ceiling 34 1n N 2Max 1,Ceiling 2 1 n NN Max 1,Ceiling 34 1n N341 342N Max 1,Ceiling 34 1n N Max 1,Ceiling 4 1 n NMax 1,Ceiling 34 1n N Max 1,Ceiling 4 1 n N34N 2Max 1,Ceiling 2 1 n N Max 1,Ceiling 4 1 n NN Max 1,Ceiling 4 1 n N 34Max 1,Ceiling 34 1n N2Max 1,Ceiling 2 1 n N Max 1,Ceiling 4 1 n NMax 1,Ceiling 34 1n N Max 1,Ceiling 4 1 n NTrueOut[147]=21.r阶原点矩矩:Out[148]=Moment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,rOut[149]=22.r阶中心矩:Out[150]=CentralMoment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,rOut[151]=23.r阶阶乘矩:Out[152]=FactorialMoment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,rOut[153]=24.r阶累积量:Out[154]=Cumulant OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,rOut[155]=25.信息熵：[1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nb7Out[156]=k 1NLog1Nk N n k Nnk 1&&k N 01 1 1Nn k N 0&&k 10k N 0 k 1 11Nn k 1&&k N 0 N nTrue1Nk N n k Nnk 1&&k N 01 1 1Nn k N 0&&k 10k N 0 k 1 11Nn k 1&&k N 0 N nTrue8 [1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nb。

第三章描述性统计分析

第三章描述性统计分析

描述性统计分析指标

统计量可分为两类


一类表示数据的中心位置，例如均值、中位数、众 数等 一类表示数据的离散程度，例如方差、标准差、极 差等用来衡量个体偏离中心的程度。
描述单变量分布的三种方式

用数字呈现一个变量的分布 用表格呈现一个变量的分布 用图形呈现一个变量的分布
Frequencies

在交叉列联表中，除了频数外还引进了各种百分 比。例如表中第一行中的33.3％， 33.3％， 33.3 ％分别是高级工程师3人中各学历人数所占的比例 ，称为行百分比（Row percentage），一行的百 分比总和为100％；表中第一列的25.0％，25.0％ ，50.0％分别是本科学历4人中各职称人数所占的 比例，称为列百分比（Column percentage）， 一列的列百分比总和为100％，表中的6.3％，6.3 ％，12.5％等分别是总人数16人中各交叉组中人 数所占的百分比，称为总百分比（Total percentage），所有格子中的总百分比之和也为 100％。
例子

假设我们有以下的三组观测值：

观测A：11，12，13，16，16，17，18，21 观测B：14，15，15，15，16，16，16，17 观测C：11，11，11，12，19，20，20，20

这三组观测值的均值都是15.5，那么这三组数 据是否相似呢？
离散趋势
离散趋势的描述
本科 职称 高 级工 程师 Count % within 职 称 % within 文 化 程 度 % of Total Count % within 职 称 % within 文 化 程 度 % of Total Count % within 职 称 % within 文 化 程 度 % of Total Count % within 职 称 % within 文 化 程 度 % of Total Count % within 职 称 % within 文 化 程 度 % of Total 1 33.3% 25.0% 6.3% 1 25.0% 25.0% 6.3% 2 33.3% 50.0% 12.5% 0 .0% .0% .0% 4 25.0% 100.0% 25.0%

均匀分布种类

均匀分布种类

01.连续均匀分布（等概分布，一致分布） 02.离散均匀分布(稀疏分布，同致分布） 03.U(a,b)或或Unif （a,b ） X Continuous uniform distribution 或CU(a,b)X Inverse discrete uniform 或IU(a,b)或或或F(X)=(b-a)X+a或F(X)=(b-a+1)X+aba-a 2+a a b 横轴为x 轴横轴为x 轴，横轴为x 轴向上平移ba-a 2+a 横轴为x 轴向上平移ba-a 2+a密度函数-a)0 -a)图像为矩形，面积为1n=b--a+1，x=k 图像为矩形，面积为1 n=b--a+1，x=k或或连续型 离散型（最值），，支撑集域 或任何内的值任何内的整数值任何内的值任何内的整数值()，或原点阶距r 阶：.b-a n -a b EX n n n))(1(11+=++，中心阶距r 阶：,，，，其中是样本均值见注释1均匀分布是用来模拟一个同样的随机变量a 和均匀分布是“等可能”取值的连续化模型。

均匀分布或称规则分布。

植物种群的个体是等（1）当a ≤x 1<x 2≤b 时，X 落在区间（）内的概率为a b x x x X x P --=<<1221)(。

（2）若,则X 落在[a,b]内任一子区间[c,d]上的概率：只与区间[c,d]的长度有关，而与他的位置无关。

（3）均匀分布随机变量概率落在任何间隔固定长度间隔的位置本身独立(但它是依赖于时间间隔大小)，只要间隔分布中包含支持。

如果X ~(a,b)和[X,X + d]是[a,b]的子区间与固定d > 0,(3) X ∼U[0,1]和Y=a+(b−a)X ， 则Y ∼U[min(a,b),max(a,b)].如在生日问题中论述的那样，输出中选择，在次碰撞。

平方根对应一半的数字位数。

例如，一个数，无论在何种进制当中。

注释1：连续均匀分布第二种表达形式：对于一个取值在区间[a ,b ]上的均匀分布函数，它的概率密度函数：也就是说，当x 不在区间[a ,b ]上的时候，函数值等于0；而在区间[a ,b ]上的时候，函数值等于这个函数。

第3章统计学数据分布特征的描述

第3章统计学数据分布特征的描述

第3章统计学数据分布特征的描述统计学是一门研究收集、分析和解释数据的学科。

在统计学中，数据分布特征的描述是指通过一系列统计量和图表来描述数据的集中趋势、离散程度和分布形态等特征。

数据的集中趋势描述了数据的平均水平或中心。

常用的统计量有平均值、中位数和众数。

平均值是将所有观测值相加然后除以观测值的总数，它能够反映数据的总体平均水平。

然而，当数据包含异常值时，平均值的计算结果可能会受到影响。

因此，中位数和众数在这种情况下被认为是更稳健的集中趋势度量。

中位数是将数据按大小排序，然后找出中间位置的观测值。

众数是数据中出现次数最多的观测值。

数据的离散程度描述了数据的变异程度或分散程度。

常用的统计量有方差、标准差和四分位差。

方差是观测值与均值之间差异的平方的平均值，它反映了数据的总体离散程度。

标准差是方差的平方根，用于衡量数据的波动性。

四分位差是数据的上四分位数和下四分位数之差，它描述了数据的中间50%的变异程度。

数据的分布形态描述了数据的形状和对称性。

常用的分布形态有正态分布、偏态分布和峰态分布。

正态分布是最常见的分布形态，其特点是对称、钟形曲线。

偏态分布是指数据分布不对称的情况，主要分为正偏态和负偏态。

正偏态分布意味着数据的尾部偏向右侧，负偏态分布则意味着数据的尾部偏向左侧。

峰态分布用于描述数据的峰值的尖锐程度，主要分为正态分布、高峰态和低峰态。

除了统计量，还可以使用图表来对数据分布特征进行描述。

常用的图表包括直方图、箱线图和散点图。

直方图是通过将数据分组并在坐标轴上绘制各组的频率或相对频率来展示数据的分布形态。

箱线图通过绘制数据的分位数和异常值来展示数据的中位数、四分位数和离群观测值。

散点图用于展示两个变量之间的关系，特别适用于发现变量之间的相关性和异常值。

综上所述，统计学中的数据分布特征描述是通过一系列统计量和图表来描述数据的集中趋势、离散程度和分布形态等特征。

这些描述能够帮助我们更好地理解数据，并对数据进行分析和解释。

[N1,N2]离散均匀分布参数的点估计

[N1,N2]离散均匀分布参数的点估计

N1,N2 离散均匀分布参数的点估计本文基于Wolfram Mathematica 9,讨论了 N1,N2 离散均匀分布参数的点估计，包括矩估计法和极大似然估计。

并通过程序产生伪随机数进行模拟。

N1,N2 区间内的离散均匀分布，我们记作DU N1,N2 。

总体均值Μ m1 N1 N22，方差Σ2 1121 1 N1 N2 2 。

X 1,X 2, ,X n 为其一简单随机样本，X 1 ,X 2 , ,X n 为样本顺序统计量。

一、矩估计当N1，N2其中一个已知时，可知另一个即N1 2m1 N20或N2 2m1 N10，用样本矩估计总体矩m1 X 1n n i 1X i ，即得N1 2m1 N20或N2 2m1 N10。

当N1，N2其均未知时，显然方差是均值的函数，因此，无法用样本均值和方差估计出参数N1、N2。

我们考虑二阶原点矩m2 16N1 2N12 N2 2N1N2 2N22 ,将N2 2m1 N1代入，得到：m2 13m1 4m12 N1 2m1N1 N12 。

整理得到：N12 2m1 1 N1 4m12 m1 3m2 0,令b 2m1 1,c 4m12 m1 3m2,解方程得到：N1 b b 2 4c2.由于N1和N2对称且N1 N2,所以N1 b b 2 4c2，N2 b b 2 4c2。

同样，用样本矩m1 X 1n n i 1X i 代替同m1,m2 1n n i 1X i 2代替m2,即可得N1 ，N2 。

二、极大似然估计不管N1，N2是否其中一个已知，还是都未知，通过求解对数似然方程，容易得它们的极大似然估计为N1 X 1 ,N2 X n 。

三、计算程序及结果In[225]:=Needs "HypothesisTesting`"N10 6;N20 57000;X RandomVariate DiscreteUniformDistribution N10,N20 ,300 ;min Min X ;max Max X ;m1 Mean X ;m2 Moment X,2 ;"一.矩估计：""1.已知N1 N10，估计N2：""1.1公式法："N2ME1 Ceiling 2m1 N10"1.2函数法："N2ME2 CeilingN2ME2 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N10,N2ME2 , ParameterEstimator "MethodOfMoments"Clear N2ME1,N2ME2 ;"2.已知N2 N20，估计N1：""2.1公式法："N1ME1 Ceiling 2m1 N20"2.2函数法："N1ME2 CeilingN1ME2 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N1ME2,N20 , ParameterEstimator "MethodOfMoments"Clear N1ME1,N1ME2 ;"3.N1、N2均未知：""3.1公式法："a 1;b 2m1 1;c 4m12 m1 3m2;N1ME3 Floor b b2 4a c 2a ;N2ME3 Ceiling b b2 4a c 2a ;N1ME3,N2ME3"3.2函数法："N1ME3,N2ME3 N1ME3,N2ME3 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N1ME3,N2ME3 ,ParameterEstimator "MethodOfMoments" ;Floor N1ME3 ,Ceiling N2ME3Clear N1ME3,N2ME3 ;"二.极大似然估计：""1.已知N1 N10，估计N2：""1.1公式法："N2MLE1 max"1.2函数法："N2MLE2 Ceiling N2MLE2 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N10,N2MLE2 Clear N2MLE1,N2MLE2 ;"2.已知N2 N20，估计N1："2[N1,N2]离散均匀分布参数的点估计.nb[N1,N2]离散均匀分布参数的点估计.nb3"2.1公式法："N1MLE1 min"2.2函数法："N1MLE2 Ceiling N1MLE2 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N1MLE2,N20 Clear N1MLE1,N1MLE2 ;"3.N1、N2均未知：""3.1公式法："N1MLE3 min;N2MLE3 max;N1MLE3,N2MLE3"3.2函数法："N1MLE3,N2MLE3 N1MLE3,N2MLE3 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N1MLE3,N2MLE3 ; N1MLE3,N2MLE3Clear N1MLE3,N2MLE3 ;Clear N10,N20,X,min,max,m1,m2 ;Out[233]=一.矩估计：Out[234]= 1.已知N1 N10，估计N2：Out[235]= 1.1公式法：Out[236]=58932Out[237]= 1.2函数法：Out[238]=58932Out[240]= 2.已知N2 N20，估计N1：Out[241]= 2.1公式法：Out[242]=1938Out[243]= 2.2函数法：Out[244]=1938Out[246]= 3.N1、N2均未知：Out[247]= 3.1公式法：Out[253]= 434,58504Out[254]= 3.2函数法：Out[256]= 434,58504Out[258]=二.极大似然估计：4[N1,N2]离散均匀分布参数的点估计.nbOut[259]= 1.已知N1 N10，估计N2：Out[260]= 1.1公式法：Out[261]=56930Out[262]= 1.2函数法：Out[263]=56930Out[265]= 2.已知N2 N20，估计N1：Out[266]= 2.1公式法：Out[267]=203Out[268]= 2.2函数法：Out[269]=203Out[271]= 3.N1、N2均未知：Out[272]= 3.1公式法：Out[275]= 203,56930Out[276]= 3.2函数法：Out[278]= 203,56930。

正态分布的集中趋势和离散统计指标

正态分布的集中趋势和离散统计指标

正态分布的集中趋势和离散统计指标在统计学中，正态分布是一种非常重要且常见的概率分布，也被称为高斯分布。

它具有许多重要特性，其中包括集中趋势和离散统计指标。

在本文中，我们将探讨正态分布的集中趋势和离散统计指标，以及它们在实际应用中的意义和重要性。

1. 集中趋势指标正态分布的集中趋势指标是描述数据集中取值位置的统计量。

常见的集中趋势指标包括均值、中位数和众数。

其中，均值是所有数据值的平均数，是最常用的集中趋势指标之一。

在正态分布中，均值通常位于分布的中心位置，并且具有对称性。

除了均值，中位数和众数也是描述集中趋势的重要指标。

中位数是将数据集等分为两部分的数值，而众数则是数据集中出现最频繁的数值。

在实际应用中，集中趋势指标可以帮助我们理解数据分布的中心位置，判断数据的平均水平，并做出相应的决策。

在财务报表分析中，我们可以利用均值来评估企业的盈利水平，进而制定财务策略和规划预算。

在医学研究中，研究人员也常用中位数来描述疾病的发病率，以便做出治疗方案和预防措施。

2. 离散统计指标除了集中趋势指标外，正态分布还具有离散统计指标，用于描述数据的分散程度和波动性。

常用的离散统计指标包括标准差、方差和极差。

标准差是数据偏离均值的平均距离，是描述数据离散程度的重要统计量。

方差则是标准差的平方，用于衡量数据的波动性和离散程度。

另外，极差是描述数据取值范围的统计量，可以帮助我们了解数据的最大和最小取值之间的差异程度。

在实际应用中，离散统计指标可以帮助我们评估数据的波动性和风险程度，从而制定相应的风险管理和控制策略。

在金融投资中，我们可以利用标准差来衡量资产价格的波动性，进而评估投资风险并调整投资组合。

在生产制造中，研究人员也常用方差来评估生产过程的稳定性和一致性，以便提高生产效率和质量。

个人观点和理解对于正态分布的集中趋势和离散统计指标，我认为它们在数据分析和决策制定中起着至关重要的作用。

集中趋势指标可以帮助我们理解数据的中心位置，从而判断平均水平和典型取值。

离散均匀分布(Discrete Uniform Distribution)

（Ⅰ）離散均勻分配（Discrete Uniform on Distributi ）：一、 背景：若隨機變數有n 個不同值，具有相同機率，則我們稱之為離散型均勻分配，通常這都發生在我們不確定各種情況發生的機會，且認為每個機會都相等，例如：投擲骰子、銅幣、、、等等 二、定義：設離散隨機變數X 之可能變量有n ,...,2,1， 若其機率函數為nx f 1)(= n x ,...2,1= 則此種機率分配稱為離散均勻分配 三、性質： 1.21)(+=n X E ，由於機率值相等，故平均數為中心點， 即21+n 證明：∑=⋅=nx nx X E 11)(n n n 12)1(⋅+= 21+=n 2. 121)(2-=n X Var證明：nx X E nx 1)(122⋅=∑=nn n n 16)12)(1(⋅++=61322++=n n[]22)()()(X E X E X Var -==22)21(6132+-++n n n 1212-=n3.Moment Generating Function xt nx x e nt m ∑==11)( 證明：[]tx x e E t m =)( ∑=⋅=nx tx x f e 1)(xt n x e n∑==11)1()1(ttn t e n e e --=+ 例題：一輪盤分37個面積相等扇形，每個扇形上分別標明0 到36號，轉動輪盤，指針所指之數字為X ，若指針所 指之編號服從離散均勻分配，求 X a )(之機率函數？X b )(位在1到10號間機率為何？ )(c 奇數格內機率為何？ )(d 0號之機率為何？ 解：371)()(=x f a 36,...,2,1=x 3710)101()(=≤≤X P b3718)()(=為基數X P c （∵0到36共有18個奇數） 371)0()(==X P d 四、應用：我們可用隨機亂數表自均勻分配中抽出樣本，若自N 個物品之母體中抽出n 個物品為一簡單隨機樣本，則有)(Nn 個可能樣本，而這些樣本被抽出之機率均相同，則這些樣本之分配為)(1)(N nx f = )(,...,2,1Nn x =（Ⅱ）連續型均勻分配（Continuous Uniform on Distributi ）：一、 背景：當我們認為一變數值在某區間（α，β）內發生的機率一樣時，我們稱之為連續型均勻分配 二、定義：設X 為一隨機變數，若其機率密度函數為⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(βααβx x f 則稱X 為在區間（α，β）上均勻分布的隨機變數，以),(~βαU X 表示，其中α、β為均勻分布的兩個參數X的分布函數為⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<<--≤=ββααβααx x x x x F ,1,,0)( )(x f 及)(x F 以圖形表示如下：三、性質：1.2)(βα+=X E證明：⎰=βαdx x xf X E )()( dx x ⎰-⋅=βααβ1βααβ212x -=)(x fαβ-1α β x )(x F1x α β2122αβαβ--=2βα+=2.12)()(2αβ-=X Var證明：dx x f x X E )()(22⎰=βα dx x αββα-⋅=⎰12 βααβ313x -=3133αβαβ--=322βαβα++=22)]([)()(X E X E X Var -=222)2(3βαβαβα+-++=4232222βαβαβαβα++-++=12)(2αβ-=3.Moment Generating Function )()(αβαβ--=t e e t M t t X證明：][)(tX X e E t M = dx x f e tx )(⎰=βα dx e tx αββα-⋅=⎰1βααβtx e t 11⋅-=)(αβαβ--=t e e t t4.任一隨機變數與（0，1）間之均勻隨機變數有函數關 係，以下是此特性之定理：定理：令)1,0(~U Y ，)(1Y F X -=)(x F 為連續型分配函數且1)(,0)(==b F a F 在b x a <<時，)(x F 嚴格遞增（b a ,可能分別為∞∞-,），則隨機變數)(1Y F X -=的分配函數為)(x F證明：])([)(1x Y F P x X P ≤=≤-)(x F 為嚴格遞增，)()(1x F Y x Y F ≤⇒≤- )]([)(x F Y P x X P ≤=≤∴)1,0(~U Y10,)(<<=≤⇒y y y Y P1)(0),()]([)(<<=≤=≤∴x F x F x F Y P x X P X ∴的分配函數為)(x F 逆定理：令X 具有連續型且嚴格遞增的分配函數)(x F ，則隨機變數Y 定義為)(X F Y =具有)1,0(U 的分配證明：10],)([)(<<≤=≤y y X F P y Y P)()(1y F X y X F -≤⇒≤ )]([)(1y F X P y Y P -≤=≤∴ )()(x F x X P =≤y y F F y F X P y Y P ==≤=≤⇒--)]([)]([)(11 10<<y )1,0(~)(U X F Y =∴例題：設從7點開始每隔15分鐘有一班車到站，若一乘客到 站的時間是均勻分布在7點和7點半之間。

1统计学-数据的描述性分析


③ 对某些不具有数学特点或不能用数字测定的 现象，可用中位数求其一般水平。
负偏 注: (1)中位数总是介于众数和平均数之间.
正偏
(2) 皮尔逊经验法则 分布在轻微偏斜的情况下,众数、中位数和算术平均 数数量关系的经验公式为:
x M o 3( x M e )
根据卡尔· 皮尔逊经验公式，还可以推算出：
●
(1).各变量值与均值的离差之和等于零.
x
n i =1
n i
i
x =0

(2).各变量值与均值的离差平方和最小.
x
i =1
x = min

2
△ 算术平均数的特点
算术平均数适合用代数方法运算，因此运用 比较广泛； 易受极端变量值的影响，使 X 的代表性变小； 受极大值的影响大于受极小值的影响； 当组距数列为开口组时，由于组中值不易确 定，使 X 的代表性也不很可靠;同时要求各单位 标志值在组内是均匀分布的，此时各组的平均数正好 等于它的组中值。故用组中值计算得出来的平均数只 能是一个近似值。
总体均值常用X 或 表示,样本均值常用 x 表示,样本均值 的计算公式: 简单算术平均数:
x1 x2 xn x n n
x
x
i 1
n
i
加权算术平均数:
x
i 1 n
n
i
fi
i
f
权数的意义和作用
• 权数:各组次数(频数)的大小所对应的标志值对平均数 的影响具有权衡轻重的作用. • 当各组的次数都相同时,即当 f1 =f 2 =f3 = =f n 时: 加权算术平均数就等于简单算术平均数.
2.中位数(Median)
中位数是一组数据按一定顺序排列后,处于中间位置 上的变量

管理统计学名词解释知识点梳理

管理统计学名词解释一、绪论1.统计学：研究如何收集、整理、分析和解释涉及社会、经济、管理问题的数据，并对研究对象进行统计推断的一门科学2.描述统计学：利用获得的数据，绘制统计图，并计算一些数字特征值3.推断统计学：利用获得的样本数据，进行区间估计、假设检验、回归分析、方差分析、时间序列分析4.管理统计学：研究如何收集、整理、分析和解释涉及社会、经济、管理问题的数据，并对研究对象进行统计推断的一门科学5.总体：构成研究对象全部元素的集合6.样本：通过多次抽样观察可以得到总体指标X的一组数值（x1,x2,…,x n），其中每个x i是一次抽样观察的结果。

（x1,x2,…,x n）称为容量为n的一个样本，也称样本观察值7.总体参数：总体分布的某些特征，如分布位置、分布离散程度等8.统计量：由样本数据加工出来的、反映样本数量特征的函数，它不含任何未知量二、数据收集方法1.统计变量：调查现象的某种特征2.直接来源：第一手或直接的统计数据，包括专门调查和科学试验3.统计调查：方式可分为普查、抽样调查、统计报表、重点调查和典型调查；根据调查对象的不同，可分为全面调查和非全面调查4.间接来源：别人调查或科学试验的第二手或间接数据，包括公开出版或公开报道的数据5.数据误差：统计数据与客观现实之间的差距，包括抽样性误差和非抽样性误差6.统计推断：根据抽样分布律和概率理论，由样本结果（统计数）来推论总体特征（参数）。

7.普查：为某一特定目的而专门组织的一次全面调查三、描述数据的图标方法1.定类变量：定类变量的值就是定类数据2.定序变量：定序变量的值就是定序数据3.数字变量：数字变量的值即为定距数据或定比数据（统称为定量数据）4.定性数据：只能归入某一类而不能用数值进行测度的数据，包括定类数据和定性数据5.定量数据：用数值来表现观察值，包括定距数据和定比数据6.频数分布：由分组标志序列和各组相对应的分布次数两个要素构成7.茎叶图：用于直接描述未分组原始数据的探索性分析，是描述数据分布形状，如数据是否集中，是否有极端值等的图形方法，由茎、叶、每个茎对应叶的个数、茎的宽度这四元素组成8.交叉表：用来描述同时产生两个定性变量的数据的图形方法9.散点图：描述两个数字变量之间关系的图形方法10.直方图：用用矩形的高度和宽度来表示频数分布的图形四、描述统计中的测度1.均值：数据平均数，是度量集中趋势最主要的指标之一2.调和平均数：根据变量值倒数计算的均值，也叫倒数平均数（Hm）3.几何平均数：n个变量值连乘积的n次方根（G）4.中位数：一组数据按数值的大小从小到大排序后，处于中点位置上的变量值（M e）5.众数：一组数据中出现次数最多的变量值（M o）6.百分位数：用99个点将排列好的数据一百等分后，分别给出的从最小值到最大值区间内数据的信息分位点上的值7.四分位数：一组数据排序后处于25%和75%位置上的值8.极差：也叫全距，一组数据的最大值与最小值之差（R）9.四分位差：也称为内距或四分位距，是第一四分位数与第三四分位数的差，代表数据分布中间50%的距离（IQ R）10.平均差：变量数列中各个变量值与算术平均数的绝对离差的平均数（M D）方差：变量数列中各变量值与其算数平均数差的平方的算术平均数（s²）11.标准差：方差的平方根，又称均方差或均方差根的算术平均数（s）12.标准分数：也称标准化值或z分数，是变量值与其平均数的离差出一标准差后的值，是对每个数据在该组数据中相对位置的测量（z）13.离散系数：也称为标准差系数，是把离散趋势绝对数与数列均值进行对比，将其抽象化，反映数列离散趋势的相对程度，是一组数据的标准差与其对应的平均数之比，是测度数据离散程度的相对指标（C.V.）14.偏态：对分部偏斜方向和程度的测度，是次数分配的非对称程度15.峰度：是分布集中趋势高峰的形状，指次数分布曲线顶端的尖峭程度五、概率与概率分布1.随机事件：在同一组条件下，可能发生也可能不发生的事件2.必然事件：在同一组条件下，每次试验一定出现的事件。

[1,N]离散均匀分布样本最小值分布-描述统计

1,N 离散均匀分布样本最小值分布基于Wolfram Mathematica9,下表给出了 1,N 区间内离散均匀分布DU 1，N 样本最小值的概率密度（质量）函数、累积分布函数、累积分布函数、逆生存函数、风险函数（故障率）、矩母函数 MGF 、中心矩母函数 CMGF 、累积量母函数 CGF 、阶乘矩母函数 FMGF 、特征函数的计算和结果表达式，均值、中位值、众数、四分位数列表、q分位数、方差、标准差、一三四分位数间矩、偏度系数、峰度系数、四分偏度系数、r阶原点矩、r阶中心矩、r阶阶乘矩、r阶累积量、信息熵等描述性统计量的计算和结果表达式。

In[53]:=dist DiscreteUniformDistribution 1,N ;dist1 OrderDistribution dist,n ,1"1.概率密度（质量）函数:"PDF dist1,k"2.累积分布函数:"CDF dist1,k"3.生存（可靠性）函数："SurvivalFunction dist1,k"4.逆生存函数："InverseSurvivalFunction dist1,q"5.风险函数（故障率）:"HazardFunction dist1,k"6.矩母函数 MGF :"MomentGeneratingFunction dist1,t"7.中心矩母函数 CMGF :"CentralMomentGeneratingFunction dist1,t"8.累积量母函数 CGF :"CumulantGeneratingFunction dist1,t"9.阶乘矩母函数 FMGF :"CharacteristicFunction dist1,t"10.特征函数:"CharacteristicFunction dist1,t"11.均值:"Mean dist1"12.中位值:"Median dist1"13.四分位数列表:"Quartiles dist1"14.q分位数:"Quantile dist1,q"15.方差:"Variance dist1"16.标准差:"StandardDeviation dist1"17.一、三四分位数间矩:"InterquartileRange dist1"18.偏度系数:"Skewness dist1"19.峰度系数:"Kurtosis dist1"20.四分偏度系数:"QuartileSkewness dist1"21.r阶原点矩矩:"Moment dist1,r"22.r阶中心矩:"CentralMoment dist1,r"23.r阶阶乘矩:"FactorialMoment dist1,r"24.r阶累积量:"Cumulant dist1,r"25.信息熵："Sum PDF dist1,k Log PDF dist1,k , k,1,NOut[54]=OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 Out[55]= 1.概率密度（质量）函数:Out[56]= 1 kN n 1 1N k N n k 1&&k N 0 N n k N 0&&k 1 0k N 0 k 1 1 N n k 1&&k N 0 1 1 1N n TrueOut[57]= 2.累积分布函数:Out[58]=1 1 Floor kN n1 k N 1k N0TrueOut[59]= 3.生存（可靠性）函数：Out[60]=1k 1 N Floor k N n1 k N 0TrueOut[61]= 4.逆生存函数：Out[62]=ConditionalExpression Max 1,Ceiling N 1 q1n 0 q1n 1N q1n 01True,0 q1n 1Out[63]= 5.风险函数（故障率）:2[1,N]离散均匀分布样本最小值分布-描述统计.nbOut[64]=1 k N Nn1 k 2&&k N 01k 2 0 k N 1 1 k N Nn11 k N Nn1k N Nnk 2&&k N 00TrueOut[65]= 6.矩母函数 MGF :Out[66]=MomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,t Out[67]=7.中心矩母函数 CMGF :Out[68]=CentralMomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,t Out[69]=8.累积量母函数 CGF :Out[70]=CumulantGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,t Out[71]=9.阶乘矩母函数 FMGF :Out[72]=CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,t Out[73]=10.特征函数:Out[74]=CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,t Out[75]=11.均值:Out[76]=Mean OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 Out[77]=12.中位值:Out[78]=ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 1 2 1 n N 0 1 2 1 n 111 2 1 n 0NTrue,0 2 1 n 1Out[79]=13.四分位数列表:Out[80]=ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 1 34N 0 1 341n 111 341n 0NTrue,0341n1 ,ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 1 2 1 n N 0 1 2 1 n 111 2 1 n 0NTrue,0 2 1 n 1 ,ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 1 4 1 n N 0 1 4 1 n 111 4 1 n 0NTrue,0 4 1 n 1[1,N]离散均匀分布样本最小值分布-描述统计.nb3Out[81]=14.q 分位数:Out[82]=ConditionalExpressionMax 1,Ceiling N 1 1 q 1n 0 1 1 q 1n 111 1 q 1n0NTrue,0 1 q 1n 1Out[83]=15.方差:Out[84]=Variance OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 Out[85]=16.标准差:Out[86]=StandardDeviation OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 Out[87]=17.一、三四分位数间矩:Out[88]=ConditionalExpression1 Max 1,Ceiling N 341n N341n 1&&41n 11 Max 1,Ceiling N 4 1 nN341n1&&41n 1 Max 1,Ceiling N 341nN Max 1,Ceiling N4 1 nN341n1&&41n 10True,0341n1&&0 4 1 n 1Out[89]=18.偏度系数:Out[90]=Skewness OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 Out[91]=19.峰度系数:Out[92]=Kurtosis OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 Out[93]=20.四分偏度系数:4 [1,N]离散均匀分布样本最小值分布-描述统计.nbOut[94]=ConditionalExpression 1 34 Indeterminate 34 ComplexInfinity 341 341 Max 1,Ceiling N 34 1n N2Max 1,Ceiling N 2 1 n N1 Max 1,Ceiling N 34 1n N342 Max 1,Ceiling N 34 1n NMax 1,Ceiling N 4 1 n NMax 1,Ceiling N 34 1n N Max 1,Ceiling N 4 1 n N342Max 1,Ceiling N 2 1 n NMax 1,Ceiling N 4 1 n N1 Max 1,Ceiling N 4 1 n N34Max 1,Ceiling N 34 1n N 2Max 1,Ceiling N 2 1 n NMax 1,Ceiling N 4 1 n NMax 1,Ceiling N 34 1n N Max 1,Ceiling N 4 1 n NTrueOut[95]=21.r阶原点矩矩:Out[96]=Moment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,rOut[97]=22.r阶中心矩:Out[98]=CentralMoment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,rOut[99]=23.r阶阶乘矩:Out[100]=FactorialMoment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,rOut[101]=24.r阶累积量:Out[102]=Cumulant OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,rOut[103]=25.信息熵：[1,N]离散均匀分布样本最小值分布-描述统计.nb5Out[104]=k 1NLog1k Nn 11Nk Nn k 1&&k N 0N n k N 0&&k 10k N 0 k 1 1 N nk 1&&k N 0 1 1 1Nn True1k Nn 11Nk Nn k 1&&k N 0N n k N 0&&k 10k N 0 k 1 1 N nk 1&&k N 0 1 11Nn True6 [1,N]离散均匀分布样本最小值分布-描述统计.nb。

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